UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIS UNIDADE DE SANTA HELENA DE GOIS MBA GESTO ESTRATGICA DE NEGCIOS MTODOS QUANTITATIVOS E ESTATSTICOS PARA A TOMADA DE DECISO Prof. Nagib Yassin Santa Helena de Gois 2008 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 2 NDICE 1 Introduo 3 1.1 Varivel 3 1.2 Quantitativo vs. qualitativo 3 1.3 Escalas de medio 4 1.3.1 Escala nominal 4 1.3.2 Escala ordinal 4 .3.3 Escala intervalar 5 1.3.4 Escala de razo 5 1.4 Amostra vs. populao 6 1.5 Estatstica descritiva vs. inferencial 6 1.6 Amostragem 6 1.7 Tipos de amostragem 6 2 Organizao e apresentao dos dados 9 2.1 Classificao e caractersticas dos dados 9 2.2 Organizao de dados quantitativos 11 2.3 Organizao de dados qualitativos 11 3 Medidas descritivas numricas 13 3.1 Medidas de localizao central 13 Mdias 13 3.1.1 Mdia aritmtica13 3.1.2 Moda14 3.1.2.1 Moda de Czuber15 3.1.3 Mediana 15 3.2 Medidas de disperso 17 3.2.1 Tipos de disperso17 3.2.1.1Amplitude total17 3.2.1.2 Anlise grfica18 3.3 Desvio padro19 3.3.1 Desvio padro nas sries agrupadas com intervalos de classe20 3.3.2 - Coeficiente de Variao 21 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 3 1 Introduo 1.1 Varivel Os dados so os ingredientes bsicos da estatstica como disciplina, podendo esta ser definida como a coleo, organizao, sumrio, anlise e interpretao dos dados. Comecemos por definir alguns termos bsicos. Assim, entidade uma pessoa, local,data,horaoucoisaqueforneceoatributo,contagem,ouamediode interesse. Exemplos de entidades so, portanto: o nmero de empresas com a sede em Gois o nmero de pessoas que sofreram de enfarto do miocrdio em Gois, no ano de 2001 onmerodeautomveisquepassam,porhora,numdeterminado cruzamento. Algumasdestasentidadesestoassociadasacontagens,outrasamedies, outras ainda a atributos, representando todas elas um valor para um conceito. Para definir um conceito, usamos o termo varivel como sendo uma qualidade ou quantidade com um valor altervel por entidade. Aseguirapresentam-sealgunsexemplosdevariveis,possveisvalorese entidades. VarivelPossveis valoresEntidade Idade Sexo Forma de pagamento Metrosquadradosda sala Tipo de media 30, 31, 32 feminino, masculino numerrio,cheque,cartode crdito 25, 30, 50, rdio, televiso, jornal, Pessoa Pessoa Transao casa media Quadro 1.1 - Exemplos de variveis, valores e entidades Comoaentidadeestrelacionadacomaunidadeondeaexpresso realizada, este conceito est normalmente associado palavra "por". Assim, a varivel"nmerodehorasdetrabalhopordia"sugereaentidadedia.Do mesmomodo,varivel"nmerodehorasdetrabalhodeumoperriopor ms" esto associadas duas entidades, pessoa e ms. 1.2 Quantitativo vs. qualitativo fcil ver diferenas entre os possveis valores de duas variveis como idade esexo.Nestaltima,osvalorespossveissopalavras;naprimeira,so nmeros. Estesdoisestilosdevaloresrefletemdoistiposdiferentesdedados: quantitativos e qualitativos. Deumamaneiramaisgeralpodedizer-sequesemprequeasentidades conduzemaetiquetas,categorias,atributosoucdigos,osdadosresultantes so considerados qualitativos. Quando as entidadesproduzem uma contagem ou uma medio, os dados so considerados quantitativos. Porvezes,aintroduodecdigosconstituiumaexceoaestadicotomia nmeros-palavras.Outrasituaodeexceoochamadodadoordenado Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 4 (rankeddata). Osrespectivosvaloresestoordenados,por exemplode muito boaamuitomqualidadeouonmerodeestrelasdaclassificaodeum hotel.Osdadosordenadoseoscdigos,apesardenumricos,so normalmente considerados qualitativos. 1.3 Escalas de medio A determinao de qual a anlise estatstica mais apropriada para os dados de umadeterminadavariveldependedaescalademediousadaparaessa varivel. Existem quatro escalas de medio: nominal, ordinal, intervalar e de razo (ou proporcional).Aescalademediodeterminaaquantidadedeinformao contida nos dados e indica quais as formas mais apropriadas para sumariar os dados e quais as anlises estatsticas mais convenientes. Iremos, de seguida, descrever as quatro escalas de medio. 1.3.1 Escala nominal A escala de medio para uma varivel nominal quando as observaes paraavarivelsoapenasetiquetasusadasparaidentificar(nomear,darum nome a) um atributo de cada elemento. Exemplos de escalas nominais so as seguintes: sexo (masculino, feminino) estado civil (solteiro, casado, vivo, divorciado) religio (vrias possibilidades) cdigo de pea (A13622, 12B63) situao profissional (empregado, desempregado) nmero de polcia (5654, 2712, 35, 624) importante notar que as operaes aritmticas como a adio, a subtrao, a multiplicaoeadivisonofazemqualquersentidoemdadosnominais. Assim, mesmo quando os dados nominais so numricos, clculos como soma ou mdia no so admissveis. 1.3.2 Escala ordinal A escala de medio para uma varivel ordinal quando: 1. Os dados tm propriedades nominais e 2. Os dados podem ser usados para ordenar as observaes nessa varivel. Umexemplodeumaescalaordinalautilizadaemvriosquestionriosde satisfao ou de avaliao da qualidade. Consideremos o seguinte caso de um questionrio usado num restaurante: ExcelenteBoaMComentrio Comida ________________ Bebidas _______________ Servio ________________ Empregado/a ________________ Nestecasopede-seaosclientesqueavaliemaqualidadedacomida,das bebidas,doservioemgeraledaformacomoforamatendidospelo/a Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 5 empregado/a.Ascategoriasderespostaso,paracadavarivel,excelente, boa e m. Asobservaesparacadavarivelpossuemascaractersticasdedados nominais (cada resposta uma forma de etiquetar como excelente, boa ou m aqualidadedoservio).Paraalmdisso,asobservaespodemser ordenadasemtermosdequalidade.Porexemplo,considerandoavarivel 'qualidadedacomida'eapsrecolherosdados,podemosordenaras observaesemtermosdequalidadedecomidacomeandocomas observaesdeexcelentecomida,seguidaspelasobservaesdeboae, finalmente,pelasobservaesdemcomida.Talcomoosdadosobtidosde uma escala nominal, os obtidos de uma escala ordinal podem ser numricos ou nonumricos.NocasoanteriorpoderamosusarosvaloresE,BeMou, respectivamente,oscdigos1,2e3.Tambmaquinofazsentidoqualquer manipulao obtida por operador aritmtico. 1.3.3 Escala intervalar A escala de medio para uma varivel intervalar quando: 1. Os dados tm propriedades ordinais e 2.Ointervaloentreasobservaespodeserexpressoemtermosdeuma unidade fixa de medida. Atemperaturaumbomexemplodeumavarivelqueusaumaescala intervalardemedio.Aunidadefixademedidaograueumaobservao registradanumdeterminadopontodotemposerumvalornumricoque especificaaquantidadedegraus.Estesdadospossuemaspropriedadesdos dadosordinais,podendoosvriosvaloresdetemperaturaserordenadosdo mais frio para o mais quente. Para, alm disto, a escala intervalar possui a propriedade que o intervalo entre observaespodeserexpressoemtermosdeumaunidadefixademedida. Deste modo, o intervalo entre 35 e 40 graus de 5 graus, o intervalo entre 35 e 85grausde50grauseointervaloentre85e90grausde5graus.Com dadosnominaiseordinais,taisdiferenasentreobservaesnotinham qualquer significado. Aunidadefixademedidaexigidaporumaescalaintervalar,significaqueos dadostmnecessariamentedesernumricos.Ento,jfazsentidosomar, subtrair, multiplicar e dividir. 1.3.4 Escala de razo A escala de medio para uma varivel de razo quando: 1. Os dados tm propriedades intervalares e 2. Faz sentido dividir duas observaes. Asvariveis:distncia,peso,comprimentoetempomedem-seatravsde escalasderazo,exigindonecessariamenteapresenadeumzero, representando a no existncia de valor. Consideremos uma varivel indicando o preo de um automvel. O ponto zero correspondeaovalordeumautomvelsempreo(gratuito).Destemodo, comparandoopreode35.000comode17.500sepodededuzirqueo primeiro custa duas vezes mais do que o segundo. Os dados obtidos por uma escala de razo so tambm sempre numricos. Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 6 1.4 Amostra vs. populao Outropardeconceitosquenecessitasermencionadoodepopulaoe amostra. Se o conjunto de dados que possumos exaustivo dizemos simplesmente que formaumapopulao.Nestecaso,todaequalquerentidadetemdeestar presente.Quandoalgumas,masnotodas,asentidadesestopresentes,a coleo de valores obtidos denomina-se amostra. Normalmente,paradesignarmosonmerodeentidades(tamanho)deuma populao finita, usamos a letra maiscula N e a letra minscula n representa o nmero de entidades na amostra. 1.5 Estatstica descritiva vs. inferencial Hessencialmentedoistiposdeprocedimentosemestatsticas.Aestatstica descritivatemcomoobjetivoadescriodosdados,sejamelesdeuma amostra ou de uma populao. Pode incluir: verificao da representatividade ou da falta de dados; ordenao dos dados; compilao dos dados em tabela; criao de grficos com os dados; calcular valores de sumrio, tais como mdias; obter relaes funcionais entre variveis. Aestatsticainferencial,osegundotipodeprocedimentosemestatstica, preocupa-secomoraciocnionecessriopara,apartirdosdados,seobter conclusesgerais.Oseuobjetivoobterumaafirmaoacercadeuma populaocombasenumaamostra.Estasinfernciasougeneralizaes podemtambmserdedoistipos:estimaesoudecises(testesde hipteses). 1.6 Amostragem Aamostragemoprocessopeloqualrecolhemosdados.Istod-nosapenas umaimagemdapopulaoemestudo.Noentanto,eindependentementeda correodosprocessosusados,pararecolheraamostra,hsemprea considerar o chamado erro de amostragem. Devemos sempre esperar algumas diferenas entre a amostra e a populao. Poroutrolado,porexemplo,oerropoderesidirnosnaamostragem,mas tambmnosprpriosdados.Errosnoamostraisacontecemquandoos valores recolhidos no pertencem aos valores possveis da entidade (exemplo: registradoovalor21paraumanota,quandodeveriatersido12)ouquando apenas uma pequena proporo da populao recolhida. 1.7 Tipos de amostragem Deumamaneirageral,ostiposdeamostragempodemserdedoistipos: aleatrias e no aleatria. O mtodo de amostragem no aleatria consiste em selecionarmosentidadesatravsdeescolhapessoal.Asamostrasno aleatrias incluem: Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 7 asdeopinioquandoasentidadessoescolhidasporquecompemuma amostrarepresentativa(oshabitantesdeduasfreguesiaspodemserusados comorepresentativosdoseleitoresdeumazonamaisampladopas,por exemplo); as de convenincia quando escolhemos as entidades apenas estas estarem maisprximasdens(escolhemososalunosdeumaturmaquando pretendemos obter a opinio de todos os alunos de uma escola; easdequotaquandooselementosquecompemaamostrasode determinadascaractersticas(sesoubermosqueosconsumidoresdeum determinado produto so 60% do sexo feminino, podemos dizer a um inquiridor queestejaportadeumsupermercadoparaentrevistar60pessoasdosexo femininoe40dosexomasculino,cabendo-lheaeleadecisodeescolher quem entrevista). Porquedependemdeescolhapessoal,asamostrasnoaleatriaspodem efetivamente no ser representativas de uma populao, sendo difcil o clculo doerroamostral.Paraultrapassarmosesteproblema,asamostrasaleatrias deixam a escolha ao acaso, tendo em princpio cada elemento da populao a mesma hiptese de ser escolhido. Hquatrotiposdeamostragensaleatrias.Aprimeiradelasachamada amostraaleatriasimplesdetamanhonondenoscadaelementoda populao tem as mesmas hipteses de ser escolhido, como tambm qualquer conjunto de tamanho n pode ser escolhido. Umdosinstrumentos usadosparase obteruma amostraaleatriasimplesde tamanhonachamadatabeladenmerosaleatrios.ATabelaA1um exemplo de uma tabela de nmeros aleatrios usada para identificar entidades se N 100. Paraexemplificarousodestatabela,vejamosocasodeumaamostrade tamanhon=6deumapopulaodetamanhoN=76.Deincio,temosde especificar o ponto de partida e a orientao da leitura na tabela. Para ponto de partidasuponhamosqueescolhemosdoisdgitos(1e8porexemplo)que correspondem aos nmeros de linha e de coluna na tabela. Na interseco da 1 linha com a 8 coluna encontramos o valor 40, o primeiro elemento da nossa amostra. De seguida escolhemos o percurso na tabela (de cima para baixo, por exemplo). ento fcil identificarmos os seguintes cinco elementos: 61, 97, 12, 58e27.Comootamanhodapopulao76,impossvelrecolhermoso elementodeordem97.Assim,ignoramosestenmeroeescolhemoso prximo nmero possvel, no nosso caso, exatamente o nmero 76. ProcedimentosemelhantepodeserusadonaTabelaA2paraobtermos amostras da populao onde N 1000. Osegundotipodeamostragemaamostragemestratificada.Nestetipode amostragem, as entidades so agrupadas em estratos segundo caractersticas 10fsicasoumateriais.Paraassegurarquetodososestratosdapopulao estudantil afetados por determinado diploma sejam considerados, escolhem-se, porexemplo,umaamostraaleatriadeestudantesdecadaumdostiposde ensino: bsico,secundrioesuperior.Umanicaamostraaleatriasimplesno poderia garantir esta representao de estudantes dos trs tipos de ensino. Umterceirotipodeamostragemachamadaamostragemporcachos.Aqui, asentidadessoclassificadasemgruposoucachoseselecionadauma Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 8 amostraaleatriadecachos.Umcenso(detodaapopulao)ento conduzido dentro dos cachos selecionados. Por fim, a amostra sistemtica seleciona todas as entidades de ordem k numa populao finita de tamanho N. Normalmente k o valor arredondado de N/n. Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 9 2 Organizao e Apresentao dos Dados 2.1 Classificao e caractersticas dos dados Aorganizaoeapresentaodedadosnosoindependentesda classificaodasvariveisemquantitativasouqualitativas.Enquantoque possvelagruparosdadosqualitativosnumascategoriagenrica,os quantitativos so divididos em dados discretos e dados contnuos. Umavarivelquantitativaquetenhavalores separados empontos especficos aolongodalinhadosnmeroschamadadiscreta;casonosejapossvel encontrarem-se"buracos"entreospossveisvaloresdeumavarivel,esta dita contnua. Contar os empregados de uma empresa leva-nos a uma varivel discreta, ao passo que a taxa de desemprego, obtida atravs da razo entre o nmerodedesempregadoseotamanhodaforadetrabalho,constituiuma varivel contnua. Notarquenemsempreevidenteestadistinoentrevariveiscontnuase discretas.Devidoalimitaesdeespaoedepreciso,osvalorescontnuos sonormalmentetruncadosouarredondadoseportantoassemelham-sea valores de variveis discretas. 2.2 Organizao de dados quantitativos Existemdoisprocessoselementaresdeorganizarmososdadosquantitativos: soelesacriaode tabelasdedistribuiode freqnciasagrupadaseno agrupadas. Paraconstruirumadistribuiodefreqnciasnoagrupadasapenastemos de listar, numa coluna, todos os valores distintos da varivel e, numa segunda coluna, as contagens das freqncias de cada valor. Exemplo: Para se estudar a mobilidade da nossa sociedade, uma empresa de consultoriainquiriu47indivduoseperguntou-lhesquantasvezes,nos ltimos trs anos, que tinham mudado de residncia. As respostas foram: 51011153 00111130 24024003 00300612 45023040 1430720 A distribuio de freqncia no agrupada obtida a seguinte XF 0 1 2 3 4 5 6 7 16 10 5 6 5 3 1 1 n47 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 10 Aidiasubjacentedistribuiodefreqnciasagrupadasjuntarvalores prximosemclassesouintervalosdenmeros.Paraissonecessrio determinar-se o nmero de classes e o comprimento de cada uma delas. Paradeterminarmosonmerodeclasses,eapenascomoorientaogeral, podemosusaratabelaabaixoonde,porexemplo,seotamanhodaamostra estiver entre 16 e 32, se recomenda 4 a 5 classes. Tamanho da amostra n Nmero de classes c 11 16 16 32 32 64 64 128 128 - 256 256 512 Acima de 512 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 10 ou mais Quadro 2.1 - Nmero aconselhvel de classes por tamanho da amostra Escolhendoumvalorparac,necessitamosdeencontrarocomprimentode cada classe. Este dado por cmin - max w = ondemaxemincorrespondem,respectivamente,aosvaloresmximoe mnimo dos dados. Por exemplo, se tivermos uma amostra de tamanho n = 60 com valores de 0,30 a9,22,atabelaanterioraconselha-nosaagruparosdadosem6classes. Assim, cmin - max w == 47 1,60,33 - 9,22w = = Comoaprecisodosdadosdeduascasasdecimais,w=1.49.Asclasses obtidas podero ento ser as seguintes: 0,30 - 1,79 1,79 - 3,28 3,28 - 4,77 4,77 - 6,26 6,26 - 7,75 7,75 - 9,24 Paracadaclassenormalmenteaceitequeolimiteinferiorlhepertenceeo limitesuperiorlheexterno.Nonossocaso,aprimeiraclasseseriaento formada pelos valores X tal que 0,30 X < 1,79 Entretanto, se a nossa amostra fosse Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 11 3,280,391,146,877,066,481,291,213,672,60 0,572,179,181,579,225,992,911,340,394,57 0,560,534,504,872,841,831,914,553,601,78 2,421,532,060,802,271,254,940,934,572,97 0,301,303,411,433,830,316,183,301,782,60 0,453,804,404,195,612,952,425,042,972,37 obter-se-ia a seguinte distribuio de frequncias agrupadas: Classesf 0,30 |--- 1,79 1,79 |--- 3,28 3,28 |--- 4,77 4,77 |--- 6,26 6,26 |--- 7,75 7,75 |--- 9,24 21 15 13 6 3 2 60 Trsoutrosconceitosimportantesemergemdeimediato.Oprimeirooda freqnciarelativadeumaclasse,fr,definidacomosendoafreqnciadas observaesdessaclassedivididaporn.Osegundoodafreqncia acumulada,fa,deumaclassecomosendoasomadasfreqnciasnessa classe e em todas as que a precedem. Por fim, o terceiro conceito o do ponto mdio de uma classe, M, que obtido pela soma dos pontos extremos dividida por dois. No exemplo da nossa amostra de tamanho 60, podemos ter Classes(xi) fxi Fxi fr Pm 0,30 |--- 1,79 1,79 |--- 3,28 3,28 |--- 4,77 4,77 |--- 6,26 6,26 |--- 7,75 7,75 |--- 9,24 21210,351,05 15362,542,54 13490,224,03 6 550,105,52 3 580,057,01 2 600,038,50 601,00 2.3 Organizao de dados qualitativos Osdadosqualitativosso,pordefinio,caracterizadosporpalavrasou categorias,sendorelativamentesimplesaformadeosorganizarmos.So exemplosdedadosqualitativososobtidospelasseguintesquestes,por exemplo: Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 12 Qual o seu sexo?1 FEMININO 2 MASCULINO Qual o seu estado civil?1 CASADO 4 DIVORCIADO3 SEPARADO 2 SOLTEIRO5 VIVO Como tem sido a sua qualidade de vida nas ltimas 4 semanas? Como que as coisas lhe tm corrido? 1 MUITO BOA: NO PODIA SER MELHOR 2 BOA 3 BOA E M EM PARTES IGUAIS 4 M 5 MUITO M: NO PODIA SER PIOR A organizao dos dados qualitativos normalmente feita calculando o nmero derespostasemcadaumadascategorias,seguidodapercentagem correspondente. Tabelasdeumavia,comooQuadro2.2,someiosconcisoseefetivosde organizao. Qualidade de vidaNmero (n) Percentagem Muito boaBoa Em partes iguais Ruim Muito ruim 1117,2 3351,4 1015,6 812,5 2 3,1 64100,00 Quadro 2.2 - Distribuio das respostas referente qualidade de vida Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 13 3 Medidas Numricas Descritivas Nestecaptulovoserapresentadososalicercesfundamentaisdaestatstica descritiva.Iremosvervriosprocessosnumricosdestinadosasumariaros dados. Tambmaquiimportantedistinguir-seumaamostradeumapopulao. Assimchamaremosparmetroaumamedidadescritivanumricadeuma populao;acorrespondentemedidadescritivadaamostradenominada estatstica. 3.1 Medidas de localizao central Mdias So medidas descritivas que tem por finalidade representar um conjunto de dados. 3.1.1. - Mdia Aritmtica() Xou ():A mdia o nmero total de valores de um conjunto de dados dividido pelo nmero de valores.Parapopulaes,amdianormalmenterepresentadapelaletragrega, enquanto que para amostras, usamos o smboloX O processo usado para determinarmos o valor da mdia de um conjunto de dados x1, x2, x3, , xn depende da maneira como os dados estiverem agrupados. Se no houver qualquer agregao, a mdia dada por: a)Dados simples nniiXX==1 ou NNiiX==1 Exemplo: Temos uma amostra de 10 crianas de 5 anos de idade, com dados referentes a seus pesos (em kg):23,0 20,0 22,0 19,0 25,0 28,2 24,0 21,0 27,0 21,0 n = 10 kg 231021 27 21 24 28 25 19 22 20 23X =+ + + + + + + + +=b) Dados tabelados b.1) Tabela com Valores Ponderados Mdia Aritmtica Ponderada (Xi), (onde fi o peso) ==ifniif .iXX1 Exemplo: Nota do aluno "X" 10semestre de 2007 FESURV Notas (Xi)Pesos (fi)Xi.fi 7,8215,6 8,3324,9 9,2218,4 5,8317,4 1076,3 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 14 Fonte: Dados Hipotticos ===niifniif .iXX116 7103 76,,X =b.2) Distribuio de freqncias Mdia Aritmtica (X) ==ifniif .iXX1 Exemplo: Altura em centmetros de 160 alunos do Curso de Medicina Veterinria da FESURV - 2007 Altura (cm)XifiXi . fi 150 |--- 158153,5182763 158 |--- 166161,5254037,5 166 |--- 174169,5203390 174 |--- 182177,5529230 182 |--- 190185,5305565 190 |--- 198194,5152917,5 16027903 Fonte: Departamento de Estatstica (2007) ==ifniif .iXX1 =4 17416027903, X =cm 3.1.2 Moda (Mo) A moda outra medida de tendncia central, sendo,no entanto a menos importante. Suavantagemquepodeserusadaparavariveisqualitativas.Genericamente, pode-se definir a moda como o valor mais freqente da distribuio. a) Dados No Tabelados Ex.: 3 4 4 4 5 5 6 6 7 8 9 Mo = 4 (unimodal) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Mo = (amodal) 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 5 Mo1 = 3 Mo2 = 5 (bimodal) 5 5 6 6 7 7 8 8 Mo = (amodal) 5 5 6 6 7 7 8 Mo1 = 5 Mo2 = 6 Mo3 = 7 (multimodal) b) Determinao da Moda para Valores Tabulados. Nocasodedadostabeladosnoagrupadosemclasse,adeterminaodamoda imediata,bastandoparaisso,consultaratabela,localizandoovalorqueapresentaa maior frequncia. Distribuio de freqncias intervalar Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 15 3.1.2.1 - Moda de Czuber (Moc) OprocessoparadeterminaramodausadaporCzuberlevaemconsideraoas freqncias anteriores e posteriores classe modal. = =++ =Posf Mof AntfMof h . iloM212 11 onde: li limite inferior da classe modal; fMo freqncia absoluta da classe modal; h amplitude do intervalo de classe; fant freqncia absoluta da classe anterior a classe modal; fpos freqncia absoluta da classe posterior a classe modal; 3.1.3 Mediana (Md) definido como o valor que divide uma srie ordenada de tal forma que pelo menos a metade dos itens sejam iguais ou maiores do que ela, e que a outra metada dos itens sejam menores do que ela. Colocados em ordem crescente, a mediana o elemento que ocupa a posio central. Comoamedianadivideosdadosordenadosaomeio,elanosensvelavalores discrepantes.Adependerdecomoestejamosdados,deve-sediferenciaraforma como encontra-se a mediana. 1. Determinao da Mediana de Valores no-tabulados. Processa-seapartirdeumroloulistaordenadadosdados.Podemocorrerduas hiptesescomrelaoaonmerodeobservaesn:queelesejamparoupar. Veremos os dois casos: a) Nmero mpar de observaes: Requer, em primeiro lugar, que se determine a ordem em que se encontra a mediana na srie. Para isto encontramos: Posio = 2 1 + ++ + n termos impares O passo seguinte ser localizar a mediana na lista de valores, de acordo com o resultado obtido no clculo do elemento mediano (Emd). b) Nmero par de observaes: Neste caso, o elemento mediano ser determinado atravs da expresso: Posio = 12 + ++ +n termos pares A mediana ser determinada pela mdia aritmtica entre os valores que ocupam a posio definida pelo elemento mediano e a posio sucessora. 2. Determinao da Mediana de Valores Tabulados no-Agrupados em Classes. Da mesma forma como foi calculado anteriormente, definiremos o elemento mediano. Emseguida,acrescentaremostabeladefreqnciaumacolunadefreqncias acumuladasabaixodeabsoluta.Comousodestasfreqnciasencontraremosa posio definida pelo elemento mediano, na qual estar a mediana. Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 16 Exemplo: Clculo da mediana para os dados da tabela 4 da seco de mdia. Tabela 6: Nmero de cries em crianas de 7 anos de idade. Candeias. 1990. N0 de dentes careados (xi)N0 de crianas (fi)Fi 0 1 2 3 4 5 3 2 4 2 1 1 3 5 9 11 12 13 TOTAL13 Fonte: (dados hipotticos) Soluo: n = 13 ==>72 1 13P =+=Comonmpar>amedianadefinidapelovalorqueocupaa7aposio.Com basenasinformaesdacolunaquecontmas freqnciasacumuladasabaixode absoluta, a mediana igual a 2. Interpretao:50%dascrianasde7anosapresentaram2oumenoscriesnuma comunidade de Candeias em 1990. 3. Determinao da Mediana de Valores Tabulados Agrupados em Classes. Nestecaso,encontramosoelementomedianoatravsdafrmula 2nP = ,nose fazendodistinoentrenmeroparoumpardeobservaes.Apartirda, determinaremos a classe mediana, aps a qual a mediana ser calculada atravs da seguinte expresso: Mdfh .ANTFiflidM||

\|+ =2 onde: li limite inferior da classe que contm a mediana; 2n posio da mediana; Fant freqncia acumulada da classe anterior a que contm a mediana; h amplitude do intervalo de classe; f Md freqncia absoluta da classe que contm a mediana; Exemplo: Clculo da mediana para os dados da Tabela 5 Casos de Aids segundo faixa etria. Bahia. 1993 Faixa Etriafi(1000)Fi 15 |----- 25 25 |----- 35 35 |----- 45 45 |----- 55 25 30 15 10 25 55 70 80 Total80 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 17 Fonte: (Dados hipotticos) Soluo n=80402802nP = = = O elemento que ocupa a 40a posio encontra-se na 2a classe. Logo, 30 Md3025 40 1025 Md = + =) ( Interpretao:50%dospacientesdeAidsnaBahia,em1993,tinhamidadeigualou inferior a 30 anos. Figura 3.2 - Relaes entre a mdia (), a mediana (Md) e a moda (Mo) Asrelaesentreamdia(),amediana(Md)eamoda(Mo)parauma distribuiocomumasmodapodeserexaminadanaFigura3.2.Parauma distribuiosimtricaosvaloresdamdia,medianaemodacoincidem.Sea distribuioenviesadaparaaesquerda, H = 55 45 = 10 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 18 Operrio 2: H = Xmx Xmn => H = 70 30 = 40 Logo, a maior disperso ocorreu com o operrio 2 3.2.1.2 - Anlise Grfica 01020304050600 1 2 3 4 5 010203040506070800 1 2 3 4 5 Operrio a Operrio b Aamplitudenosdaidiadocampodevariaodosvaloresdasrie.Noentanto, devemosfrisarqueaamplitudenoumaboamedidadedispersoporqueseu clculo se baseia apenas nos valores extremos da amostra e no em todos os dados. 2. Varincia (S2 ou 2)Asmedidasdetendnciacentralsoinsuficientesparadescreveradequadamente umaamostra.necessriotambmdescreveremquemedidaosdadosde observaoestoagrupadosaoredordamdia.Avarinciamedeadispersodos dados de observaes de uma amostra em relao a respectiva mdia. A varincia amostral simbolizada por S2, calculada pela frmula: ( )==n1 i1 n2xix2S ou( )==n1 iN2xix2Em que xi so as observaes da amostra e n o nmero total de observaes. Em termos, a varincia a soma dos quadrados dos desvios em relao mdia, dividido pelo nmero de observaes menos uma. Exemplo Adeterminaodeglicoseplasmticaem9indivduosforneceuosseguintes resultados (mg/dL): 9086789098908276e 84

xi) ( xix d = 2xix2d ) ( =90 86 78 90 98 90 82 76 84 90-86=4 86-86=0 78-86=-8 90-86=4 98-86=12 90-86=4 82-86=-4 76-86=-10 84-86=-2 (4)2=16 (0)2=0 (-8)2=64 (4)2=16 (12)2=144 (4)2=16 (-4)2=16 (-10)2=100 (-2)2=4 0376 Soluo: Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 19 ( )==n1 i1 n2xix2S 471 93762S == A varincia S2, como estatstica calculada da amostra uma estimativa no viciada da varincia populacional. O denominador n-1 chamado de graus de liberdade (GL). O uso de n em lugar de n-1 como denominador no clculo da varincia amostral obter-se-ia um valor menor que o verdadeiro valor do parmetro populacional (2) .A situao corrigida reduzindo o denominador pela subtrao de uma unidade. Avarinciaamostraltambmpodesercalculadaporparticularmentebemadaptada para o emprego de calculadoras. ( )1 nn2ix2ix2S= Seja o exemplo xi2ix90 86 78 90 98 90 82 76 84 8100 7396 6084 8100 9604 8100 6724 5776 7056 77466940 ( )1 nn2ix2ix2S==478 66564 669401 992774669402S ===) ( 3.3 Desvio-Padro (S ou ) amedidadedispersomaisusadaemaisimportante.Medeaconcentraodos dados em torno da mdia. dado pela soma dos quadrados dos desvios dividido pelo nmero total de observaes. calculado pelas frmulas: a) Desvio-padro de dados brutos: ( )==n1 i1 n2xixS ou ( )1 nn2ix2ixS= O desvio padro, portanto a raiz quadrada da varincia. Para o exemplo da seo anterior Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 20 dL mg 85 6 471 9376S / , = ==O desvio padro da amostra uma estimativa do valor paramtrico (sigma), o desvio padro verdadeiro da populao. Paraosdadosdemedio,especialmenteemgrandesamostras,odesviopadro indicaoslimitesprovveisdentrodosquaissesituamcertasproporesdas observaes. Assim verifica-se que 68% das observaes da amostra estar entre os limitess x ;95%dasobservaesentres 2 x ;e99%dasobservaesentre s 3 x . b) Desvio-padro para dados tabulados Nestecasoemprega-seopontomdioparaapresentaodasmedidasincludas naquela classe. Deve-se levar em considerao tambm, a freqncia de cada classe aplicando a frmula: 2nifixnif2ixs ||

\| = Exemplo Considere a tabela de distribuio de freqncias sem intervalos de classe do exemplo dos exames solicitados por requisio mdica. xi fixifi if2ix2 3 4 5 6 7 8 13 9 6 3 1 16 39 36 30 18 7 32 117 144 150 108 49 40146600 Logo: 2nifixnif2ixs ||

\| = = 29 1 68 1 32 13 151600213161524014640600, , , = = = = ||

\| 3.3.1 Desvio padro nas sries agrupadas com intervalos de classe Paraosdadosgrupadoscomintervalodeclasseemprega-seamesmafrmula apresentada anteriormente, ou seja: 2nifixnif2ixs ||

\| =Exemplo Concentrao de colesterol em uma amostra controle iConcentraofi xi xifi if2ix1 2 3 4 5 6 154 |--- 158 158 |--- 162 162 |--- 166 166 |--- 170 170 |--- 174 174 |--- 178 4 12 14 10 7 3 156 160 164 168 172 176 624 1920 2296 1680 1204 528 97344 307200 376544 282240 207088 92928 5082521363344 Mtodos quantitativos e estatsticos para atomada de deciso Prof. Nagib Yassinnagiyassin@yahoo.com.br 21 Soluo 2nifixnif2ixs ||

\| = = 36 5 68 28 2 27238 9 272662508252501363344, , , , = = = ||

\| 3.3.2 - Coeficiente de Variao O coeficiente de variao (CV) a magnitude relativa do desvio padro expresso em percentagemdamdia.umaestatsticausadaquandosedesejacomparara variabilidaderelativaemdiferentestiposdedados,inclusiveemdiferentesdados medidos em diferentes unidades de medio. O coeficiente de variao independe da unidade de medio empregado. Isto permite a comparao de vrios tipos de dados, tais como, presso arterial com temperatura.C.V. =100 . ou100 .XS Exemplo Adeterminaodeglicoseplasmticaem9indivduosforneceuosseguintes resultados (mg/dL): 9086789098908276e 84 86984 76 82 90 98 90 78 86 90X =+ + + + + + + +=dL mg 85 6 471 9376S / , = ==% , .,96 7 1008685 6CV = = Obs.: 0% C.V 100% C.V 50% a mdia representativa C.V. 0 a maior representatividade da mdia (S = 0)