MÉTODOS QUANTITATIVOS

APLICADOS ÀS CIÊNCIAS

CONTÁBEIS

4º MÓDULO

TEMA:

Regressão de Mínimos Quadrados.

META:

Obter modelos matemáticos que se ajuste a dados da vida real, e estes modelos devem ser simultaneamente tão simples e tão precisos quanto possível.

PROB:

Suponhamos que os dados observados consistem em pares (X1,y1) (X2,y2) ... (Xn,yn) sejam conhecidos, e que a meta seja encontrar uma função y=f(x) que melhor se ajuste a estes valores.

Para tanto, podemos nos basear

da seguinte maneira:

PASSO 1:

Decidir que tipo de função.

TESTAR:

A - Isto pode ser feito através de uma análise teórica da situação prática subjacente, ou

B – pela inspeção do gráfico dos pontos citados.

PASSO 2:

Determinar a função específica.

DICA:

Uma vez escolhido o tipo de função, o próximo passo é determinar a função específica desse tipo de gráfico que está “o mais próximo” do conjunto de dados de pontos.

EM RESUMO:

Queremos encontrar uma função y=f(x) que melhor se ajuste a estes valores.

GRAFICAMENTE, TEMOS:

y1

y2

y3

y4

y

x

P4

E4

E3

P3

P2

E2

E1

P1

Neste que, uma forma conveniente de medir quão próximo uma curva, y=f(x), está de um determinado conjunto de pontos é calcular a soma dos quadrados das distâncias verticais dos pontos até a curva. No caso acima temos:

E2 = E2+E2+...+E2 1 2 n

Onde:

Ei = é a distância vertical do ponto Pi até a curva y=f(x).

CONCLUSÃO:

Quanto mais próximo da curva estiverem os pontos, melhor será esta soma, e a curva para qual esta soma é mínima é a “melhor” aproximação das observações da vida real. Isto é matematicamente provado de acordo com critério dos mínimos quadrados.

No caso polinomial do 1º grau (caso estatística linear), temos:

f(x)=ax+b

E2 = (y1-ax1-b)2+(y2-ax2-b)2+...(yn-axn-b)2

Queremos a e b em termos das observações reais tais que:

E2 = min [(y1-ax1+b)2+...(yn-axn+b)2]min

Então pelo MMR segue-se:

a= M

n xiyi - xi yiM

M

M

n xi – ( xi) M

2 2

&

b= 1n

( M

yi - a xi)M

ou

b=

M

n xi – ( xi) M

2 2

xiM

2 M

yi - xiM

xiM

yi

Aprofundando a Análise do processo de Regressão Linear:

A regressão polinomial do 1º grau ou modelo estatístico de regressão linear, é utilizado para explicar o prever de determinados eventos, baseando-se em fatores que podem ser qualitativos ou quantitativos, mais que sejam relacionáveis entre si. Por exemplo, consumo de cigarros e mortes devido a câncer de pulmão ou para um dado país , ano e renda familiar.

Considere um conjunto de dados advindo de observações da vida

real: (x1,y1),...(xn,yn) o modelo

matemático “linear mais propício para exprimir estas duas variáveis é o seguinte:

yi = axi+b+Ei ^

Onde:

yi = é a y observado yi = “ “ y estimado

^

ATENÇÃO - 1 :

A pesar de terem sido estimados os valores dos parâmetros de um modelo matemático e mesmo sabendo que a soma dos erros, ao quadrado, é a mínima, não se pode afirmar que esta reta representa bem os dados empíricos.

Como a reta de regressão é um resumo útil da tendência das observações, surge a seguinte questão:

Qual útil é a reta de regressão de mínimos quadrados ?

A resposta é baseada em duas medições estatísticas importantes:

O Erro Padrão da Estimativa

O coeficiente de determinação

Variância da amostra Se com (n-2)

2

S2e=

M (yi – yi)2^

(n-2)

O valor de Se representa a parte não-explicada da regressão.

O desvio padrão Se é dado por:

Se=

M (yi – yi)2^

(n-2)

Onde:

Se- desvio padrão é conhecido como erro padrão da estimativa, que mede a dispersão dos desvios ao redor da reta regressão.

ATENÇÃO - 2 :

Sendo realizado o processo de regressão linear, se espera que aproximadamente 95%

dos dados observados y se encontrem dentro do intervalo:

y-2Se≤y≤2Se

De seus respectivos valores projetados pela

reta de regressão y.^

^+y^_ _

COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO :

M N

i=1 (yi – yi)2^

r = 2

M N

i=1 (yi – yi)

2

Onde y representa a média aritmética de y.

DEFINIÇÃO :

O coeficiente de correção r mede o grau de associação linear de duas variáveis de um mesmo experimento.

Suponhamos que escolhemos como modelo de regressão a reta horizontal y=y(*) isto é, a equação (*) representa a média de y. Neste caso a=0, isto mostra que o valor da variância é zero e, conseqüentemente, o coeficiente de correção é nulo. Na verdade, a reta média não explica nada mais é um ponto interessante de partida.

^

GRAFICAMENTE :

x xi

b

y

yi

yi

^

Variação Explicada

Variação não- explicada

Ø

y= ax+b^

TEMOS :

a = tg =

Ø yi – y^

xi – x

Variação Total =

Variação Explicada =

Variação Não-Explicada =

M

(yi – y)2

M

(yi – y)2^

M

(yi – yi)2^

Variação Total = Var.Não-Exp. + Var.Exp.

r = 2 Variação Explicada

Variação Total

r = 2 M

(yi – y)2^

M

(yi – y)2