Métodos Numéricos para EDO’s
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Métodos Numéricos para EDO’s
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Métodos Numéricos para EDO’s
• Esta parte compreende métodos que aproximam uma equação diferencial por uma equação de diferenças.
– Uma equação de diferenças de ordem n é uma sequência de equações da forma
gk(yk+n, yk+n-1, … yk) = 0 k= 0, 1, 2, … (9)
yi = i i = 0, 1, 2, …, n-1
– Os gksão funções de n+1 variáveis e os valores i, i = 0(1)n-
1, são específicos. Uma solução de tal equação é uma sequência {y0, y1, y2, y3, …, yn-1, yn} que satisfaz a (9).
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Métodos Numéricos para EDO’s
• Note que determinar numericamente uma solução de uma equação diferencial é encontrar os valores y1, y2, …, yn através de
uma aproximação da equação de diferenças.– Essa aproximação introduz um erro de
truncamento e um erro de arredondamento
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Métodos Numéricos para EDO’s
• Os métodos de passos simples necessitam apenas dos resultados de yk , do passo
anterior, para determinar a aproximação de yk+1.
• Os métodos de passos múltiplos servem para determinar a aproximação yk+1 a qual
depende dos valores de yk, yk-1 . . .
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Métodos de Euler
• O método de Euler é um método mais simples que oferece solução para EDOs com condições iniciais.
• A simplicidade do método serve ilustrar técnicas usadas em outros métodos.
• Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes (vide próximo slide).
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Métodos de Euler
• Vamos resolver uma EDO de primeira ordem da forma y’(x)
= f(x,y) sujeita à condição inicial y(x0) = y0 .
• Suponha que y = F(x) e que a solução analítica seja a curva ilustrada abaixo.
y2
y1y0
x0 x1 x2
y = F(x)
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Métodos de Euler
• Para fazer uma estimativa de y1, vamos considerar que:
(dy/dx)|(x0, y0) = f(x0,y0)
• Disso resulta:
(y - y0)/(x - x0) = f(x0,y0)
y2
y1y0
x0 x1 x2
y = F(x)
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Métodos de Euler
• Considerando que se h = x1 - x0 tender a zero, teremos que a
ordenada do ponto Q, y tende a y1 e daí:
y = y0 + hf(x0,y0) ou
y1 y0 + hf(x0,y0)
y
y1
y0
x0 x1
P1 = (x1,y1)
Q = (x1,y)
Generalizando, obtemos a seguinte equação de diferenças:
yk+1 = yk + hf(xk,yk)
que é a expressão do Método de Euler.
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Métodos de Euler (2)
• Outra interpretação do método de Euler• Considere o problema
• i.e., são dados um ponto de partida, (x0,y0), e uma direção a ser tomada, f (x, y ). • Desejamos determinar y (z ).
00 )(
),(
yxy
yxfdx
dy
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Interpretação geométrica do Método de Euler
Figura 1
x
y
y0
x0 z = x1
y1
y ( x )
h
Considere a Figura 1. A interpretação geométrica da figura nos permite escrever a equação:
F ’(x 0 ) = y’ (x 0) = f (x 0 , y 0) Fazendo x1 – x0 = h
Obteremos y1 = y0 + h f (x 0 , y 0)
ou
F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 ) (Taylor).
Métodos de Euler (2)
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Interpretação geométrica do Método de Euler
Figura 1
x
y
y0
x0 z = x1
y1
y ( x )
h
F(x 1) F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 ) (Taylor).
Podemos dizer, portanto, que:y1 F(x 1) = F( z )
Note que estamos substituindo a função desconhecida y( x ) por, simplesmente uma reta em todo intervalo [x0; z] e calculando a imagem de z sobre ela o que pode ser uma aproximação ruim para y( z ).
Métodos de Euler (2)
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• Todavia, note que podemos melhorar esta aproximação. Para isso, devemos subdividir o intervalo [x0; z] em subintervalos de amplitude constante, genericamente chamada de h. • Como sabemos calcular a direção da função incógnita y(x) em cada ponto, bastar substituir essa função por um segmento de reta, em cada um destes subintervalos. • Note que estes segmentos terão a direção que ela (função) tem no início de cada dos subintervalos, (veja Figura 2). • Assim, obtemos: yi + 1 = yi + hf(xi, yi), i = 0, 1, 2, ...
que vem a ser o método de Euler.
Métodos de Euler (2)
Método de Euler considerando dois subintervalos
Figura 2
x
y
y0
x0 z = x2
y ( x )
y1
y2
x1
h h
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Exemplo : Considere o problema de valor inicial y ( 1 ) = 1 da equaçãodiferencial y’ = f ( x, y ) = 2x + 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 1, 2 e 4 partes sucessivamentee aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 2 ) para a equaçãodada.
Solução:Temos y’ = f ( x, y ) = 2x + 3, com y (1) = 1 ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 1.Com uma divisão do intervalo, isto é, h = 1, obtemos: y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 1 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 5 = 6.Com duas divisões do intervalo, isto é, h = 0,5 , temosy1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,5 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 2,5 = 3,5y2 = y1 + h f (x 1 , y 1) = 3,5 + 0,5 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,5 + 3,0 = 6,5Finalmente, considerando quatro divisões, isto é, h = 0,25, temos y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,25 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 1,25 = 2,25 y2 = y1 + h f (x 1 , y 1 ) = 2,25 + 0,25 [ 2 x 1,25 + 3 ] = 2,25 + 1,375 = 3,625 y3 = y2 + h f (x 2 , y 2 ) = 3,625 + 0,25 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,625+ 1,5 = 5,125 y4 = y3 + h f (x 3 , y 3 ) = 5,125 + 0,25 [ 2 x 1,75 + 3 ] = 5,125 + 1,625 = 6,75
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• Um problema que ocorre no método “simples” de Euler é que ele pressupõe que a função que está sendo aproximada mantém, em todo intervalo, a direção que ela tem no extremo “de partida” dele. • • O método modificado de Euler irá considerar também uma única direção para a função y ( x ), só que uma direção média entre aquela do “início” do intervalo e uma estimativa da direção no “final” dele.• • Para tanto, em primeiro lugar, usando o método “simples” de Euler, fazemos uma previsão de yi + 1, chamada yi+1.
Método Modificado de Euler
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Dessa forma,
Previsão : yi + 1 = yi + hf (xi , yi ).
Com esta previsão, podemos obter o valor aproximado da direção da curva y(x) no ponto (xi + 1, yi + 1) através de f(xi + 1, y i + 1).
Determina-se a chamada correção,
Correção :yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)] .
Método Modificado de Euler
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Correção :yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi +
1)]
Esta expressão é conhecida como o método modificado de Euler.
Uma interpretação geométrica deste método pode ser vista na Figura 3.
Método Modificado de Euler
Interpretação geométrica do Método modificado de Euler
Figura 3
x
y
x0 x1
y ( x )
h
( x1 ; y1 )
( x1 ;
y1 ) Direção média
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Exemplo - Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y’ = f (x, y ) = 2x + 3 com a condição de valor inicial y ( 1) = 1.
Dividindo o intervalo [1; 2 ] em apenas uma parte, i.e, fazendo h =1 e, aplicando o método de modificado de Euler, determine o valor aproximado de y(2) para a equação dada.
Método Modificado de Euler
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Solução Sabendo que a cada aproximação é necessário fazer um processo de previsão – correção e, considerando h =1, temos yi + 1
Previsãoyi+1 = yi + hf(xi , yi )
no caso y1 = y0 + hf(x0, y0)
y1 = 1 + 1f(1, 1) = 1 + 1 (2x1 + 3) = 6
Método Modificado de Euler
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Solução Correçãoyi+1 = yi + h/2[f(xi , yi ) + f(xi+1 , yi+1)]
y1 = 1 + ½[f(1, 1) + f(2, 6)]
y1 = 1 + 1/2[5 + 2x2+3] = 1 + 6 = 7.
Método Modificado de Euler
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Referências
Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998.
Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, 1987.
Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.