Metodos Matematicos Problemas Práticos

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    UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

    PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

    MÉTODOS MATEMÁTICOS

    Problemas e exercícios propostos parte 3 Problemas

    práticos e métodos numéricos

    Alunos: Filipe Rocha Guedes

    Professor: Paulo Marcelo V. Ribeiro

    RECIFE

    MAIO, 2014

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    1. Problema com EDO com ordem maior que 2 –  família de soluções repetidas emparticular e homogênea

    Considerando para o exemplo a EDO:

    yV + y = 1 x ² e−  1.1 Como sendo a EDO de ordem 4 não homogênea do nosso problema. A solução

    geral y(x) se dará pela soma da solução homogênea com a particular. Neste caso a

    homogênea associada terá raízes repetidas na equação característica, implicando em

    dependência linear. Assim na prática tem-se uma sequência de soluções multiplicadas

    por potências da variável independente x para garantir a independência linear, ou

    seja:

    yH = C + Cx + Cx ² + Ce−  1.2 Isso devido ao fato de que as raízes da equação característica são m1 = 0 com

    multiplicidade 3 (ou seja m1=m2=m3=0) e m4 = - 1.

    Para a parte não homogênea, ou seja o lado direito da equação, que chamaremos de

    g(x), e, utilizando a tabela prática para determinação da solução particular a partir dos

    métodos dos coeficientes a determinar temos:

    y = A + Bx + C x + De− 1.3 E a solução particular tem dois termos repetidos em relação à homogênea (1.2). Um

    artifício é necessário para eliminar a repetição de soluções em (1.3) e (1.2),

    multiplicando as soluções repetidas por potências de x. Porém o que se fará agora é

    aplicar a solução (1.3) e utilizar o método dos coeficientes a determinar para ver se

    ainda assim é possível encontrar a mesma solução.

    Nota-se que, ao substituir (1.3) na EDO de origem (1.1) chegamos à:

    C 6 B + 2 B xe− = 1 x ² e− 1.4 Onde assim podemos determinar os coeficientes C e B. Porém os outros coeficientes, Ae D, terminam que tendo seus termos cancelados após a substituição, fazendo com que

    não seja possível determinar seus valores por este método. Nota-se que A e D

    correspondem, justamente, às duas famílias de soluções repetidas na homogênea

    (1.2). Ou seja, A e C1, e D e C4 produzem, na homogênea e na particular,

    respectivamente, as mesmas famílias de soluções. Conclui-se então que o método dos

    coeficientes a determinar sem ser aplicado nenhum artifício recai nesta indeterminação

    neste caso

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    2. Análise de uma viga em base elástica por meio de modelos analíticos e com a

    utilização do F-Tool. Verificar casos com carga uniforme e concentrada.

    2.1) Modelo analítico da viga em base elástica

    A EDO que corresponde ao modelo matemático da viga em base elástica é não

    homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes. Assim:

    EIνx + kνx=q 2.1 Onde ks representa o coeficiente de mola (apoio elástico à translação) do modelo

    representado pelo terreno.

    Para o caso de uma viga infinita, temos como solução dessa EDO:

    νx = eAcosβx+Bsenβx + e−Ccosβx+Dsenβx 2.2 β = √ k4EI   2.3 

    E os coeficientes A, B, C e D a determinar em função das condições de contorno.

    Caso 1

    – carga concentrada

    aplicada na viga “infinita” 

    Admitindo que o deslocamento vertical e as curvaturas, em pontos infinitamente

    distantes da força P são iguais a zero, temos A = C = 0, resultando apenas em:

    νx = e−Ccosβx+Dsenβx  2.4 Considerando a origem no ponto de aplicação da carga (O), já que deve ser levado emconta o efeito da simetria.

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    No ponto x = 0, a linha elástica deve ter tangente horizontal, assim temos que:

    ν′0 =0 2.5 É uma condição de contorno.

    Outra condição de contorno é a de que no ponto x = 0 (origem), o valor do cortante éigual a –P/2, ou seja: EIν 0 = 2  2.6 É outra condição de contorno.

    Assim aplicando (2.5) em (2.4) resulta em:

    βe−

    Ccosβx+Dsenβx+CsenβxDcosβx = 0 

    C=D 2.7 E aplicando (2.6) e (2.7) em (2.4) resulta em:

    C = D = P8β³EI  2.8 Assim substituindo (2.8) em (2.4) temos a equação da linha elástica para a viga:

    νx = ³ e−cosβx+senβx  2.9 E a equação dos momentos fletores é obtida com a segunda derivada:

    EIvx = Mx = P4β e−senβx cosβx 2.10 Para um exemplo prático, será realizada uma modelagem no ftool com uma

    comparação analítica com os seguintes dados:

    { P=100kNE=25000MPak=1000kN/mI=0.0027m  A solução analítica apresentou os seguintes resultados:

    ν0 =12.335mm M0 =101.34kNm analítica 2.11 Contra praticamente os mesmos resultados da modelagem no ftool:

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    ν0 =12.3352mm M0 =100.31kNm ftool  2.12 Caso 2 – carregamento distribuído

    Neste caso tem-se para o ponto A:

    ν = q2k ( 2 e−cosβae−cosβb) 2.13 e para o momento fletor:

    M = q4β²

    (e−senβae−senβb) 2.14 As equações com os valores teóricos foram implantadas numa planilha do

    Mathcad para serem comparados com os valores dos modelos no ftool, assim como no

    exemplo anterior. Os resultados novamente mostraram-se bem próximos.

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    3. Problema de flambagem de uma coluna engastada-livre. Determinar carga crítica e a

    configuração deformada empregando as estratégias desenvolvidas até o momento.

    3.1 A equação diferencial para flambagem de coluna

    Os carregamentos críticos para colunas com os vários tipos de condições de

    apoio podem ser determinados a partir da equação diferencial da curva de deflexão da

    coluna.

    O procedimento se dá da seguinte maneira: primeiro, assumindo que a coluna

    já está no estado de flambagem, obtemos uma expressão para o momento fletor nacoluna e em seguida, utilizando a equação diferencial da linha elástica EIv’’ = M,obtém-se a solução geral, que, dependendo do caso, será composta por homogênea e

    particular.

    Caso 1 – Coluna engastada-livre

    Para este caso tem-se que o momento fletor a uma distância x da base é:

    M = Pδ ν 3.1Assim a equação diferencial para este caso será:

    EIν = Pδ ν  3.2 Fazendo k² = P/EI temos:

    ν + k ν = kδ 3.3 Que se trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes

    constantes.

    A solução homogênea se dá com a substituição do lado direito de (3.3) por zero.

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    Assim, temos: νH = Csenkx + C coskx 3.4 E a solução particular é obtida utilizando a tabela prática, onde g(x) = A (constante),

    assim: ν = A 3.5 E substituindo (3.5) em (3.3) podemos observar facilmente que:

    ν = A = δ 3.6 Assim a solução geral é a soma da particular com a homogênea:

    νx = Csenkx + C coskx + 3.7 

    Cujas condições de contorno são (rotação e translação restringidas no apoio – engaste):

    ν0 = 0 e ν0 =0 3.8 Aplicando (3.8) em (3.7) chegamos à:

    C = 0 e C =δ 3.9 Assim a equação (3.7) será:

    νx = 1 c o s 3.10 É importante lembrar que estas equações somente são válidas para a teoria das

    pequenas deformações.

    Fazendo v(L) =  resulta em:

    0 = cos  3.11 

    Onde assim como > 0 , então:coskL = 0 ∴ k L = nπ2   3.12 Ou seja:

    k² = PEI ∴ P = n²π²EI4L²   3.13 Sendo (3.13) a fórmula para os carregamentos críticos. Como o que nos interessa na

    prática é o menor dos carregamentos críticos, faremos n = 1 , assim:

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    P = π²EI4L²   3.14 Para o caso da barra engastada-livre.

    Caso 2 – Coluna com par de condição de contorno não abordada na literaturaPara este caso será utilizado um par de condição de contorno não abordado em livros

    de Resistência dos Materiais e será desenvolvido um problema semelhante ao caso 1,

    ou seja, avaliar a carga crítica e a deformação da coluna teórica. Na literatura usual,

    tem-se apenas os seguintes pares de condições de contorno nas barras: -articulada-articulada

    -engastada-livre

    -engastada-articulada-engastada-engastada

    Será avaliado um caso em que há uma extremidade articulada e outra com um apoio

    com translação livre e rotação restringida, ou seja, o caso ilustrado (esquematizado) a

    seguir:

    Uma consulta mostra que o resultado para o valor de Pcr teórico deve ser o mesmo do

    caso de coluna engastada-livre, ou seja, com comprimento de flambagem equivalenteigual a 2.

    Para este caso tem-se que o momento fletor a uma distância x da base é:

    M = Pν 3.15Assim a equação diferencial para este caso será:

    EIν =Pν 3.16 

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    Fazendo k² = P/EI temos:

    ν + k ν = 0 3.17 Que se trata de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem comcoeficientes constantes.

    A solução de (3.17) não é nada mais do que a solução homogênea de (3.3), ou seja:

    νx = Csenkx + C coskx  3.18 Só que agora as condições de contorno são:

    ν0 = 0 e ν

    L = 0 3.19 

    Aplicando as condições de contorno temos:C = 0 e C coskL =0 3.20Fazendo C1 = 0 obteríamos a solução trivial, assim temos que:

    coskL = 0 ∴ k L = 2   3.21 Substituindo o valor de k:

    k² = PEI ∴ P = n²π²EI4L²   3.22 E para o primeiro valor da carga crítica (n=1):P = π²EI4L²   3.23 

    Observa-se que o valor de Pcr (3.23) para este caso é exatamente igual ao do caso dacoluna engastada-livre (3.14), como queríamos demonstrar.

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    4. Métodos numéricos para EDOs

    Nesta Etapa será utilizado o método numérico de Euler e o método de Eulermelhorado para resolver o problema de torre em vibração não-amortecida com os dadosindicados na planilha.

    Para programação utilizando loop foi utilizado o software Mathcad, que permiteresolver estruturas de repetição com uma interface simples e intuitiva.

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    ANEXO 1 – PROBLEMA 1 – DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES

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