UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL MTODOS MATEMTICOS Problemas e exerccios propostos parte 1 Alunos: Filipe Rocha Guedes Professor: Paulo Marcelo V. Ribeiro RECIFE ABRIL, 2014 1. Problema proposto 1 Viga com vnculo semi-rgido Aula 05 25/03/2014 Problema: Resolver uma viga hiperesttica com apoio elstico de rotao (apoio semi-rgido) usando a equao da linha elstica. Figura 1.1. Viga com carregamento genrico e apoio semi-rgido (apoio A). Objetivos: a)Determinarasreaesdeapoioeesforosinternosemtermodeumkarbitrrio, sendo k a constante elstica ( rotao) do apoio. b) Verificar os casos particulares onde k tende a 0 e k tende a infinito. Conceitos e assuntos envolvidos: Apoios semi-rgidos; Equilbrio de foras; Estruturas estaticamente indeterminadas; Linha elstica e deformadas em vigas; Sistema de equaes lineares; Equaes diferenciais do tipo separveis e condies de contorno; Uso dos softwares: Maple 17 e Ftool. Soluo: 1 etapa) Tentativa de resolver o problema estaticamente:

+

qL = 0(1.1)

L

qL/2= 0(1.2) Obs:foiassumidoeixoverticalcomosendopositivodebaixoparacima.

e

como sendo as reaes verticais dos apoios A e B, respectivamente.

como sendo o momento reativo no apoio semi-rgido A, que assume valor:

= k onde o valor da rotao no apoio semi-rgido (ponto A da figura 1.1). Observando as equaes (1.1)e(1.2)vemosque h3incgnitas:Ra, Rbe Ma(), masapenasduasequaes,ouseja,conclui-sequeoproblemaestaticamente indeterminado. 2etapa)Utilizaodaequaodalinhaelsticapararesolverahiperestaticidadedo problema: Tem-seque,paraumaseoSqualquerdavigaovalordomomentofletor(x)dado por (ver orientao do eixo X na figura 1):

()

(1.4) , para o momento esquerda da seo S e

()

( ) ()

(1.5) , para o momento fletor direita da seo S. Comoaexpressodomomentodireita(1.5)temmenornmerodetermos,estasera escolhida para o desenvolvimento da equao da linha elstica, que funo da expresso do momento fletor ao longo do comprimento x da viga. Assim sendo:

() () Aequao(1.6)representaaequaodalinhaelsticadaviga,onde

a deflexo com sentido positivo para baixo. Desta forma, substituindo (1.5) em (1.6):

()Estaseraterceiraequaonecessriapararesolveroproblema.Ascondiesde contorno so: (L) = 0 (deslocamento nulo no ponto B) e (0) = (rotao no ponto A a incgnita , conforme equao 1.3). Ou seja, aplicando o problema no software Maple v.17, temos: Equao da linha elstica da viga (1.8) (1.9) (1.10) Encontrou-seaequaodalinhaelsticadaviga,v(x),e,apsseremaplicadasas condiesdecontorno,encontrou-seC2=0(em1.10,jquev(L)),eCv() Assim a equao da linha elstica sendo aplicada no ponto L : (1.11) Lembrando que v(L) = 0, temos a terceira equao necessria para resolver o problema. Sendo assim, temos um sistema de equaes lineares, formado pelas equaes (1.1), (1.2) e (1.11), onde as incgnitas do problema so Ra, Rb e {

()

()

. Utilizando o Maple17 para resolver o sistema de equaes, chegamos :

(1.12) Ouseja,temososvaloresdasincgnitas(reaes nosapoiosAeBerotaonoapoioA) para um valor k (rigidez do apoio A) arbitrrio, dados por (conforme soluo do Maple equao 1.12):

( ) ()

( ) ()

() 3 Etapa) Verificando a consistncia dos resultados. Paraverificaraconsistnciadosresultadosobtidosnaetapaanterior,serresolvidoum problema com valores de q, L, k e EI determinados para encontrar os valores das reaes e rotao no apoio semi-rgido. A ferramenta aqui utilizada ser o Maple17 e o Ftool. Utilizandoq=2kN/m;k=5000kNm/rad;I=0.000853m

;E=25000MPaeL=5m, chegamos aos valores de Ra, Rb e(conforme as equaes finais) de : ComparandoosvaloresencontradosdeRa=5.351kN,Rb=4.649kNe=0.0003512 rad, temos, no modelo do Ftool, com os mesmos dados: Os resultados obtidos no Ftool foram idnticos, mostrando a consistncia dos resultados. 4 Etapa) Limite quando k tende a 0 e k tende a infinito. Quando fazemos as expresses de Ra(k), Rb(k) e (k) (expresses 1.13 a 1.15) tenderem zero, temos: lim

()lim

( )

lim

()lim

( )

lim

()lim

Esses valores so exatamente os valores encontrados para o caso de vigas biapoiadas com carregamentouniformementedistribudo.Paraocasoondektendeinfinito,notamos queosvalorestendemparaosvaloresdeterminadoscasooapoiofosseumengaste (rigidez rotao infinita), o que bastante coerente: (Ra) (Rb) () Portanto quando k tende infinito, temos:

( ) Fazendo qL = 1, temos Ra = 0.625 kN, Rb = 0.375 kN, e, assim, como era de se esperar: Tem-se os resultados como sendo consistentes. 2. Problema proposto 2 Cabo em catenria Aula 04 20/03/2014 Problema:Oproblematrata-sedeumcaboemcatenria,ouseja,umcabosubmetido somente ao peso prprio como carga distribuda. importante observar que a variao da carga se d ao longo do comprimento do cabo (e no ao longo do vo). Objetivos: 1. Construir o modelo matemtico em termos do equilbrio do cabo2. Avaliar a linha elstica. 3. Avaliar a distribuio de tenses no cabo. 4.Verificaraconvergnciadasduasancoragens(cargaemxecargaems)paraum problema onde H