Métodos Indirectos o Métodos Iterativos_CN

7/25/2019 Mtodos Indirectos o Mtodos Iterativos_CN

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Seminario de Clculo Numrico Sistema de Ecuaciones LinealesMtodos Indirectos

Marcelo F. Berdaguer Pgina | 1

1. Mtodos Indirectos o Mtodos Iterativos

Son mtodos que parten de una aproximacin inicial y que por aplicacin de un determinado algoritmo,

conducen a aproximaciones sucesivamente mejores en cada paso.Pueden citarse, por ejemplo, los mtodos de Jacobi, Gauss Seidel, del gradiente conjugado, etc.

Son todos algoritmos de infinitos pasos, que por lo tanto, poseen involucrado un error de truncamiento

propio.Cuando hay que resolver un sistema donde la matriz A es muy grande por razones de almacenamiento

es preferible trabajar con mtodos iterativos. Estos mtodos son particularmente adecuados si lamatriz es poco densa (rala = matriz con muchos ceros).

Cuando se trata de una matriz densa (matriz con pocos ceros) en general convienen los mtodos

directos, dado que la mayora de los casos se trata de matrices no demasiado grandes.

Los mtodos aproximados no permiten determinar a priori el nmero de operaciones necesarias para

alcanzar la solucin de un SEL. Esto, a su vez, exige establecer un criterio de corte que permita finalizarel proceso de clculo.

Debe tenerse presente que, a pesar de ser llamados mtodos aproximados, los resultados que seobtienen al aplicarlos, suelen ser ms precisos que aquellos otros obtenidos por mtodos llamados

exactos.

Ello es debido a que un mtodo exacto acumula y eventualmente amplifica los errores debidos a laineludible aritmtica en uso el todos los pasos de clculo, mientras que un mtodo aproximado slo

acumula los errores del ltimo paso.

Los mtodos aproximados son especialmente tiles para grandes SEL de matrices ralas, es decirmatrices con un elevado nmero de elementos nulos. Este tipo de matrices aparecen naturalmente

cuando se resuelven ecuaciones en derivadas parciales por mtodos de diferencias finitas, por ejemplo.

Bsicamente requieren lo siguiente:

Analizar las condiciones de convergencia del mtodo a aplicar.

Asignar un valor inicial arbitrario a las incgnitas X(0). Cuanto ms "lejos" estn estos valores

de la solucin del sistema, ms pasos de clculo habr que dar.

Con esos valores X(0) calcular un nuevo valor X(1) con la esperanza que estos nuevos valores

estn ms "cerca" de la solucin del problema.

Continuar calculando valores hasta que alguna condicin del tipo hasta que alguna condicin del tipo:

se satisfaga.

Debe observarse que la condicin anterior es equivalente a expresar que el resto, definido

como : es un vector con la propiedad:

Describiremos los mtodos iterativos de

Jacobi

yGauss-Seidel

, mtodos clsicos que datan de fines del

siglo XVIII. Los mtodos iterativos rara vez se usan para resolver sistemas lineales de pequea

dimensin, ya que el tiempo necesario para conseguir una exactitud satisfactoria rebasa el querequieren los mtodos directos, como el de la eliminacin Gaussiana. Sin embargo, en el caso de

sistemas grandes con un alto porcentaje de elementos cero, son eficientes tanto en almacenamiento decomputadora como en el tiempo de cmputo. Este tipo de sistemas se presentan constantemente en los


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anlisis de circuitos y en la solucin numrica de los problemas con valor en la frontera y de ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales.

2.

Mtodo de Jacobi

Veremos un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas. Luego lo generalizaremos.

Veremos que en general, cuando un sistema predomina la diagonal principal sobre los restantes

elementos, se cumplen las condiciones de convergencia.

Esto ocurre generalmente cuando la matriz de coeficientes es poco densa (muchos ceros).Debemos partir de una determinada solucin elegida a priori:

[4]

[5] [6]Lo cual no es cierto, pero que podemos admitir en una primera aproximacin. A estos valores, los

denominaremos soluciones del primer paso o paso cero

Otro punto de partida que tambin podramos haber elegido es:

[7] [8] [9]

Pero es poco comn hacerlo y como veremos si partimos de [7], [8] y [9] llegaremos luego del primerpaso a [4], [5] y [6].

Calculamos el nuevo valor de a partir de la ecuacin [1]: [10]De la ecuacin [2] podemos calcular : [11]Y de la ecuacin [3] podemos calcular el valor de : [12]A este mtodo se lo llama Mtodo de Jacobi, cuya expresin genrica partiendo de [10], [11] y [12], paran ecuaciones es:

PASO 0


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En este mtodo una vez que obtenemos los valores de

del paso 1 con el mismo algoritmo podemos

calcular los del paso 2 y con los del paso 2, puedo calcular los del paso 3. Como ste es un algoritmode infinitos pasos, obtengo el proceso completo cuando la diferencia de valores sucesivos de sean tanpequeos como uno quiere. Adems debemos tener en cuenta que los residuos sean lo ms pequeosposibles, ya que, podemos no estar prximos a la solucin y converger a la misma, en forma muy lenta.

Por lo tanto, deben verificarse las dos condiciones que mencionamos:

Y adems

Ejemplo 1:

Resolver el sistema de ecuaciones lineales que se indica por el mtodo de Jacobi. Emplear el vectorinicial

Al despejar las incgnitas correspondientes

La matriz aumentada ser:

6 -1 -1 4 17

1 -10 2 -1 -17

3 -2 8 -1 191 1 1 -5 -14

Si se inicia el proceso iterativo con el vector cero se obtiene:

=2.833333


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cin x1 x2 x3 x4 x1,i+1 x2,i+1 x3,i+1 x4,i+1 ep1 ep2 ep3 ep40 0 0 0 0 2,83333333 1,7 2,375 2,8

1 2,83333333 1,7 2,375 2,8 1,64583333 2,17833333 2,0875 4,18166667 100 100 100

2 1,64583333 2,17833333 2,0875 4,18166667 0,75652778 1,86391667 2,82510417 3,98233333 72,1518987 21,958684 13,7724551 33,0

3 0,75652778 1,86391667 2,82510417 3,98233333 0,95994792 1,94244028 3,05507292 3,88910972 117,550945 16,8686011 26,1089193 5,0

4 0,95994792 1,94244028 3,05507292 3,88910972 1,07351238 2,0180984 2,98676832 3,99149222 21,1907475 4,04252383 7,52743899 2,3

5 1,07351238 2,0180984 2,98676832 3,99149222 1,00648297 2,00555568 2,97589398 4,01567582 10,5787757 3,74898097 2,28690656 2,5

6 1,00648297 2,00555568 2,97589398 4,01567582 0,98645773 1,99425951 3,00091728 3,99758653 6,65976619 0,62539891 0,36541394 0,60

7 0,98645773 1,99425951 3,00091728 3,99758653 1,00080511 1,99907058 3,00334155 3,99632691 2,03001515 0,56643418 0,833855 0,4

8 1,00080511 1,99907058 3,00334155 3,99632691 1,00285075 2,00111613 2,99900659 4,00064345 1,43358422 0,24066509 0,08071882 0,03

9 1,00285075 2,00111613 2,99900659 4,00064345 0,99959149 2,00002205 2,99929043 4,00059469 0,20398208 0,10222061 0,14454638 0,

10 0,99959149 2,00002205 2,99929043 4,00059469 0,99948895 1,99975777 3,00023304 3,99978079 0,32605939 0,05470348 0,00946366 0,00

11 0,99948895 1,99975777 3,00023304 3,99978079 1,00014461 2,00001742 3,00010368 3,99989595 0,01025901 0,01321572 0,03141785 0,02

12 1,00014461 2,00001742 3,00010368 3,99989595 1,00008955 2,0000456 2,99993712 4,00005314 0,06555597 0,01298279 0,00431173 0,0

13 1,00008955 2,0000456 2,99993712 4,00005314 0,99996169 1,99999107 2,99998446 4,00001446 0,005505 0,00140889 0,00555216 0,00

14 0,99996169 1,99999107 2,99998446 4,00001446 0,99998628 1,99999162 3,00001394 3,99998744 0,01278628 0,00272686 0,00157798 0,00

15 0,99998628 1,99999162 3,00001394 3,99998744 1,0000093 2,00000267 3,00000148 3,99999837 0,00245924 2,7539E-05 0,00098255 0,0

16 1,0000093 2,00000267 3,00000148 3,99999837 1,00000178 2,00000139 2,99999698 4,00000269 0,00230118 0,00055278 0,00041536 0,0

17 1,00000178 2,00000139 2,99999698 4,00000269 0,99999793 1,9999993 3,00000002 4,00000003 0,00075168 6,4167E-05 0,00015 0,00

18 0,99999793 1,9999993 3,00000002 4,00000003 0,99999987 1,99999979 3,0000006 3,99999945 0,00038448 0,00010419 0,00010127 6,6

19 0,99999987 1,99999979 3,0000006 3,99999945 1,00000043 2,00000016 2,99999993 4,00000005 0,00019324 2,4457E-05 1,9612E-05 1,4

20 1,00000043 2,00000016 2,99999993 4,00000005 0,99999998 2,00000002 2,99999989 4,0000001 5,6499E-05 1,8436E-05 2,2488E-05 1,

21 0,99999998 2,00000002 2,99999989 4,0000001 0,99999991 1,99999996 3,00000003 3,99999998 4,5231E-05 6,9313E-06 1,4814E-06 1,2

Los resultados del vector se utilizan para estimar el vector , los del vector para estimar el vector y as sucesivamente. Los resultados delproceso iterativo se ven en la tabla anterior.


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3. Mtodo de Gauss-Seidel

Es similar al mtodo de Jacobi, presentando una particularidad:

[3.1]

[3.2] [3.3]Como se observa en [3.2] para calcular se utiliza calculada por [3.1], en vez de .Generalizando para n ecuaciones con n incgnitas:

Ejemplo:Resolver el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo 1 que se indica por el mtodo de Gauss-Seidel

empleando el mismo vector inicial Al despejar las incgnitas que pertenecen a la diagonal principal del sistema, se genera:

Para la primera iteracin, al sustituir el vector inicial en la primera ecuacin se tiene: [3.5]El resultado de [3.5] se utiliza para calcular en la segunda ecuacin A su vez y se utilizan para calcular al sustituir estos valores en la tercera ecuacintenemos:

[3.4]


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Y finalmente las 3 aproximaciones anteriores se utilizan para estimar con la ltima ecuacin:

Los cuatro resultados anteriores que son la aproximacin da la solucin de la primera iteracin, se usanpara estimar los valores de las variables de la segunda iteracin y as sucesivamente. Los resultadosque se obtienen al apalicar el procedimiento descripto se muestran en la tabla siguiente:


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cin x1 x2 x3 x4 x1,i+1 x2,i+1 x3,i+1 x4,i+1 ep1 ep2 ep3 ep40 0 0 0 0 2,83333333 1,98333333 1,80833333 4,125

1 2,83333333 1,98333333 1,80833333 4,125 0,71527778 1,72069444 3,05256944 3,89770833 100 100 100

2 0,71527778 1,72069444 3,05256944 3,89770833 1,03040509 2,02378356 2,98175752 4,00718924 296,116505 15,2635402 40,7602885 5,83

3 1,03040509 2,02378356 2,98175752 4,00718924 0,99613069 1,99524565 3,00116106 3,99850748 30,5828569 14,9763604 2,37483835 2,73

4 0,99613069 1,99524565 3,00116106 3,99850748 1,00039613 2,00042108 2,99977015 4,00011747 3,44075354 1,4302958 0,64653428 0,2

5 1,00039613 2,00042108 2,99977015 4,00011747 0,99995356 1,99993764 3,00001651 3,99998154 0,42637519 0,25871687 0,04636699 0,046 0,99995356 1,99993764 3,00001651 3,99998154 1,00000466 2,00000561 2,99999735 4,00000153 0,04425952 0,02417262 0,0082118 0,0

7 1,00000466 2,00000561 2,99999735 4,00000153 0,99999948 1,99999926 3,0000002 3,99999979 0,0051107 0,00339874 0,00063876 0,0

8 0,99999948 1,99999926 3,0000002 3,99999979 1,00000005 2,00000007 2,99999997 4,00000002 0,00051872 0,00031748 9,5192E-05 4,3

9 1,00000005 2,00000007 2,99999997 4,00000002 0,99999999 1,99999999 3 4 5,7517E-05 4,0115E-05 7,7381E-06 5,7

10 0,99999999 1,99999999 3 4 1 2 3 4 5,7684E-06 3,7552E-06 1,0496E-06 5,0

11 1 2 3 4 1 2 3 4 6,2374E-07 4,4737E-07 8,7821E-08 6,2


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4. Condiciones de ConvergenciaTeorema

Los mtodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergirn si en la matriz de coeficientes el valor absoluto de cada

elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de todos los dems

elementos de la misma fila o columna.

Entonces se asegura la convergencia si:

para

para

Cabe subrayar que son pocos los sistemas de ecuaciones lineales que cumplen con el criterio de

convergencia, sin embargop, si se ordenan las ecuaciones para que el sistema cumpla con el criterio,entonces sta se alcanzar. En caso de no cumplirse por completo el teorema, por lo menos, se debe

aproximar lo ms que se pueda, para obtener algn beneficio.

5. Mtodo de Sobrerrelajaciones Sucesivas SOR)

Si introducimos una simple modificacin al Mtodo de Gauss-Seidel, podemos obtener una mejorasustancial en la velocidad de convergencia. Notemos que la expresin general del mtodo puede ser

escrita como:

Donde es el residuo de la i-sima ecuacin.Vamos a deducir este mtodo. Si tomamos la expresin general del mtodo de Gauss-Seidel:

Sumando y restando nos queda


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Reordenamos:

Si tomamos

nos queda:

La expresin anterior es otra frmula de clculo de Gauss-Seidel dondepreviamente la fila debe ser

dividida por el pivote para poder considerar

)El

mtodo de sobrerrelajaciones sucesivas o SOR Successive overrelaxation)

est caracterizado por la

frmula:

C onsderndo que e pretro de rej c n debemos elegirlo de modo que nos permita obtener lamxima velocidad de convergencia.

El factor se elije generalmente en forma emprica entre 1 y 2 o menos comnmente en forma terica

mediante los autovalores de la matriz de los coeficientes.

El coeficiente se denomina factor de relajamiento y si se es ms preciso en la expresin, se denominade sobrerrelajamiento si > 1 , abreviadamente SOR y de subrrelajamiento si < 1. En ningn caso se

expresa cual debe ser su valor numrico, que en principio queda librado a la iniciativa y/o experiencia

del calculista.No obstante, por mtodos que exceden largamente a estas pginas, se demuestra que 0 < < 2 y

existen trabajos de investigacin enfocados en la determinacin del valor ptimo, aunque otrostrabajos ponen en duda esa propiedad. (J. Dancis. "The optimal is not best for the SOR iterationmethod")

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