Métodos de Pesquisa Operacional - Luciana Assis · Algoritmo SIMPLEX. ... 1 + 30x 2 e...
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Programação Linear é a parte da Pesquisa
Operacional que trata da modelagem e
resolução de problemas formulados com
funções lineares.
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Considere o seguinte problema de Programação Linear max z = 100x1+30x2
sujeito a 10x1 + 4x2 ≤ 40
x1 + x2 ≤ 7 10x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Graficamente o que a função objetivo representa? Z = 100x1+30x2
} E as seguintes equações? } Z = 100x1+30x2 = 200 } Z = 100x1+30x2 = 250 } Z = 100x1+30x2 = 300 } Z = 100x1+30x2 = 350 } Z = 100x1+30x2 = 400
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Graficamente o que a função objetivo representa? } Para modelos com 2 variáveis ela representa uma reta. } A equações da transparência anterior representam
} Retas Paralelas !
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Vetor Gradiente A informação das derivadas parciais de uma
função, f, pode ser unificada na forma de um vetor, denominado gradiente de f e denotado por ∇. O vetor gradiente é calculado pela seguinte fórmula.
∇f(x, y) = ∂fdx(x, y), ∂f
dy(x, y)
#
$%
&
'(
Vetor Gradiente: ◦ O vetor gradiente indica a direção e o sentido
de maior crescimento da função a partir do ponto em que ele foi calculado.
◦ Exemplos: Calcular o vetor gradiente da
seguinte função objetivo f(x) = 100x1 + 30x2 e representá-lo graficamente.
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
Cálculo do Vetor Gradiente:
∇f(x, y) = ∂fdx(x, y), ∂f
dy(x, y)
#
$%
&
'(
f(x1, x2) =100x1+30x2
∇f(0,0) = ∂fdx1
(x1, x2), ∂fdx2
(x1, x2)#
$%
&
'(
∇f(x1, x2 ) = 100,30( )
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Vetor Gradiente
} O Vetor Gradiente é perpendicular a função objetivo e para funções lineares é traçado a partir da origem.
∇f(x1, x2 ) = 100,30( )
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Graficamente o que as restrições representam?
10x1 + 4x2 ≤ 40 x1 + x2 ≤ 7 10x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Graficamente o que as restrições representam? } Exemplo : 10x1 + 4x2 ≤ 40
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Procedimento para traçar as restrições de desigualdade.
} Para o exemplo anterior traçar a reta ◦ 10x1 + 4x2 = 40
◦ Indicar no espaço onde a restrição
10x1 + 4x2 ≤ 40 é atendida.
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} A intersecção de todas as restrições indica quais valores de x as atendem ao mesmo tempo.
Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos
} Qual a influência de R4 no espaço de soluções? } Por que isto acontece? } R4 é redundante em relação a R3, ou seja, os
valores que atendem R3 atendem R4.
} Método Gráfico ◦ Método utilizado para ser resolver problemas
de Programação Linear com duas ou três variáveis. Não há limite para o número de restrições.
Método Gráfico para Programação Linear
} Método Gráfico ◦ Consiste em obter-se a região viável do
problema e determinar-se em qual ou quais pontos desta região encontra-se a solução ótima do problema.
Método Gráfico para Programação Linear
} Método Gráfico ◦ Considerando o que foi visto em sala de aula
como você acha que poderíamos encontrar a solução ótima?
◦ Utilizando o vetor gradiente
Método Gráfico para Programação Linear
} Método Gráfico ◦ O vetor gradiente indica a direção de crescimento de
uma função. No nosso caso a direção de crescimento da função objetivo.
◦ A função objetivo é perpendicular ao vetor gradiente. ◦ O procedimento consiste em encontrar o vetor gradiente
e ir traçando retas perpendiculares a ele, na direção desejada. O ponto ótimo é aquele onde a reta de maior valor possível corta a região viável.
Método Gráfico para Programação Linear
} Método Gráfico ◦ No caso de problema de minimização o que deve ser
feito ? ◦ Deve-se seguir o sentido oposto ao indicado pelo
gradiente.
Método Gráfico para Programação Linear
} Resolver o seguinte problema de PL pelo método gráfico.
max z = 100x1+30x2
sujeito a 10x1 + 4x2 ≤ 40
x1 + x2 ≤ 7 10x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0
Método Gráfico para Programação Linear
} Traçar as retas correspondentes à função objetivo. Estas retas são perpendiculares ao vetor gradiente.
Método Gráfico para Programação Linear
} O ponto ótimo é aquele onde a reta de maior valor possível corta a região viável.
Método Gráfico para Programação Linear
Solução Ótima
} Qual é a solução ótima ? } Qual o valor da função objetivo no ótimo?
Método Gráfico para Programação Linear
} A solução ótima é calculada resolvendo-se o sistema formado pelas restrições que contêm o ponto de ótimo.
10x1 + 4x2 = 40 10x2 = 30 ∴x2 = 3 x1 = 2,8 Z = 100*2,8 + 30 * 9 = 370
Método Gráfico para Programação Linear
} Espaço de Soluções Viáveis Ilimitado min z = 3x1+2x2
sujeito a 4x1 + x2 ≥ 8
-2x1 + x2 ≤ 4 x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0
Método Gráfico para Programação Linear
} Espaço de Soluções Viáveis Vazio min z = 3x1+2x2
sujeito a 3x1 + 6x2 ≥ 4
0.5x1 + x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0
Método Gráfico para Programação Linear
} Resolver o seguinte problema de PL pelo método gráfico.
min z = 3x1+2x2
sujeito a 4x1 + x2 ≥ 8
-2x1 + x2 ≤ 4 x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0
Método Gráfico para Programação Linear