METODOLOGIA PARA O CÁLCULO DOS COEFICIENTES...

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METODOLOGIA PARA O CÁLCULO DOS COEFICIENTES DINÂMICOS DE

MANCAIS HIDRODINÂMICOS

Lucas Gomes Canzian

Projeto de Graduação apresentado no Curso de

Engenharia Naval e Oceânica da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Luiz Antonio Vaz Pinto, D.Sc.

Co-Orientador: Ulisses A. Monteiro, D.Sc.

Rio de Janeiro

Setembro de 2016

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METODOLOGIA PARA O CÁLCULO DOS COEFICIENTES DINÂMICOS DE

MANCAIS HIDRODINÂMICOS

Lucas Gomes Canzian

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.

Examinado por:

___________________________________________________

Luiz Antonio Vaz Pinto, D.Sc., DENO/COPPE/UFRJ

(Orientador)

___________________________________________________

Ulisses A. Monteiro, D.Sc., LEDAV/COPPE/UFRJ

(Co-Orientador)

___________________________________________________

Severino Fonseca da Silva Neto, D.Sc., DENO/COPPE/UFRJ

___________________________________________________

Ricardo Homero Gutierrez, D.Sc., LEDAV/COPPE/UFRJ

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2016

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Gomes Canzian, Lucas

Metodologia para o Cálculo dos Coeficientes Dinâmicos de

Mancais Hidrodinâmicos/Lucas Gomes Canzian. - Rio de Janeiro:

UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.

IX, 36 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Luiz Antonio Vaz Pinto

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Naval e Oceânica, 2016

Referências Bibliográficas: p. 36.

1. Mancal Hidrodinâmico. 2. Coeficientes Dinâmicos. 3.

Rotodinâmica. I. Vaz Pinto, Luiz Antonio. II. Universidade Federal

do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval

e Oceânica. III. Metodologia para o Cálculo dos Coeficientes

Dinâmicos de Mancais Hidrodinâmicos.

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DEDICATÓRIA

.

Aos meus pais, Leonidas e Míria,

e à minha irmã, Camila,

que me amaram, respeitaram e inspiraram

ao longo de toda minha vida.

Sem este apoio nada seria possível.

vi

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais por acreditarem na minha capacidade, incentivarem a minha

produção e também financiarem minha formação.

À minha irmã, Camila, que mesmo longe, mas nunca distantes, sempre me dá

forças para continuar.

Aos meus familiares que me apoiaram durante esta trajetória.

Aos meus amigos que entraram na minha vida por escolha, se mantiveram ao

meu lado por afinidade e se tornaram parte da minha família.

Ao professor, Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro, pela ajuda e

ensinamentos durante as sessões que transformaram este projeto em realidade.

Finalmente, à Petrobras pela ajuda financeira concedida para que eu pudesse me

dedicar integralmente a este projeto.

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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.

Metodologia para o Cálculo dos Coeficientes Dinâmicos de Mancais Hidrodinâmicos

Lucas Gomes Canzian

Setembro/2016

Orientador: Luiz Antonio Vaz Pinto

Co-Orientador: Ulisses A. Monteiro

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Neste projeto, um método de cálculo dos coeficientes dinâmicos de filmes de

óleo de mancais hidrodinâmicos foi implementado no Excel. Inicialmente, o número

Sommerfeld é utilizado para definir a posição de equilíbrio estático do rotor dentro do

mancal e, a partir daí, os oito coeficientes de rigidez e de amortecimento do filme de

óleo são calculados utilizando-se uma formulação matemática que depende da

excentricidade entre o centro do mancal e o centro do rotor.

Para efeito de comparação, foram calculados os coeficientes dinâmicos de um

mancal obtido da literatura e os resultados mostraram concordância com os dessa

mesma referência. Em seguida, como caso de estudo, foram calculados os coeficientes

de rigidez e de amortecimento de um mancal hidrodinâmico do tipo “tilting pad” (com

5 pads) cujos resultados ficaram próximos dos obtidos com um software comercial, para

o mesmo mancal.

Palavras-chave: Mancal Hidrodinâmico, Coeficientes Dinâmicos, Rotodinâmica.

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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as part of the fulfillment of

the requirements for the degree of Engineer.

Methodology for the Calculation of Fluid-Film Bearings Dynamic Coefficients

Lucas Gomes Canzian

September/2016

Advisor: Luiz Antonio Vaz Pinto

Co-Advisor: Ulisses A. Monteiro

Course: Ocean Engineering

In this project, a method of calculating the dynamic coefficients of

hydrodynamic bearings oil films was implemented in Excel. Initially, the Sommerfeld

number is used to define the static equilibrium position of the rotor inside the bearing

and thereafter, the eight fluid-film stiffness and damping coefficients are calculated

using a mathematical formula that depends on the eccentricity between the bearing

center and the rotor center.

For comparison, the dynamic coefficients of a bearing obtained from the

literature and the results after calculation showed concordance between these values.

Then, as a case study, we calculated the stiffness and damping coefficients of a

hydrodynamic bearing type "tilting pad" (with 5 pads) whose results were close to those

obtained with a commercial software for the same bearing.

Keywords: Fluid-Film Bearing, Dynamic Coefficients, Rotordynamics.

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SUMÁRIO

1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1 2 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS ........................................................................ 2

2.1 - Mancais Hidrodinâmicos de Geometria Fixa ................................................. 8 2.2 - Mancais Hidrodinâmicos “Tilting Pad” ....................................................... 12

2.2.1 - Carga Entre Pivôs x Carga no Pivô ..................................................... 13

2.2.2 - Influência do "Preload" nos Coeficientes Dinâmicos de Mancais Tilting

Pad 15

2.2.3 - Influência do Offset do Pivô ................................................................. 16

3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS .......................................................................... 17 3.1 - Equação de Reynolds ................................................................................... 18

3.2 - Considerações e Conceitos Básicos de Modelos de Mancais Hidrodinâmicos

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3.3 - Mancais Hidrodinâmicos Radiais Longos e Curtos ..................................... 24 4 - METODOLOGIA DE CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ E

AMORTECIMENTO ..................................................................................................... 26 4.1 - Fluxograma de Método para Mancais Hidrodinâmicos de Geometria Fixa 26

4.1.1 - Comparação com Resultados Publicados - Mancais de Geometria Fixa

30

4.2 - Método para Mancais Hidrodinâmicos Tilting Pad ..................................... 32

4.2.1 - Comparação com Resultados Publicados - Mancais Tilting Pad ......... 32

5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ........................................................... 35 6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 36

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1 - INTRODUÇÃO

Mancais são dispositivos fixos que compõem a parte de suporte de máquinas

rotativas, apoiando e servindo como guias para eixos. Assim sendo, são estruturas que

suportam consideráveis cargas estáticas e dinâmicas. A análise e o estudo de mancais

são fundamentais, pois se sabe que a maior parte dos problemas que ocorrem em

máquinas rotativas se dá em função da presença de mancais defeituosos. Além disso, o

correto alinhamento e posicionamento dos mancais são essenciais para que a operação

esteja ocorrendo de maneira mais segura e eficiente possível, considerando que os

mancais não estejam suportando esforços desnecessários e suas características

dinâmicas estejam fornecendo as propriedades que configurem a melhor influência na

rotodinâmica de seus respectivos equipamentos.

Assim sendo, os mancais constituem um dos componentes mais críticos em

turbomáquinas e máquinas rotativas em geral, atualmente. Sua influência no

desempenho rotodinâmico, na vida útil e na confiabilidade do maquinário não pode ser

desprezada. Muitos dos problemas encontrados nas máquinas, nos tempos atuais, podem

ser atribuídos ao projeto e aplicação de mancais. O entendimento de como os mancais

funcionam e algum conhecimento dos princípios básicos que guiam e especificam sua

operação é, portanto, essencial para se fazer a escolha apropriada para um projeto em

particular tal que os requerimentos de operação da máquina em questão sejam atentidos

da melhor forma possível. Mesmo após o projeto, construção e colocação da máquina

em operação, alterações nos mancais selecionados previamente podem constituir uma

das maneiras mais efetivas, diretas e econômicas para se alterar e se melhorar o

desempenho dinâmico da máquina.

Essa influência na dinâmica de máquinas rotativas se deve a, no caso de mancais

hidrodinâmicos, estes representarem uma fonte primária de amortecimento e, assim,

terem capacidade de inibir ou mitigar vibrações. Ao mesmo tempo, esses mesmos

mancais podem prover um mecanismo de auto-excitação no rotor em movimento,

tornando-se assim, potencialmente destrutivo; mostrando mais uma vez a importância

do conhecimento das características dinâmicas desses dispositivos.

O mercado de óleo e gás é um exemplo para a utilização adequada de mancais

hidrodinâmicos, visto que muitas das máquinas que viabilizam a exploração e produção

de petróleo têm seu funcionamento atrelado a esses elementos. Logo, quando se tratam

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de projetos desafiadores, desde o ponto de vista econômico até o ponto de vista da

segurança da operação, a qual coloca as questões ambientais e humanas em voga; a

segurança, a continuidade da operação e a viabilidade econômica dependem do perfeito

funcionamento de todos os equipamentos envolvidos na operação de produção de

petróleo.

O objetivo deste projeto é desenvolver uma metodologia para a determinação

das propriedades dinâmicas de diferentes tipos de mancais hidrodinâmicos através da

utilização de formulações empíricas. Seguindo referências adequadas, as metodologias

foram estudadas, aplicadas e comparadas com valores característicos de mancais reais a

fim de se assegurar a sua utilização de modo eficaz.

O conteúdo foi organizado da seguinte maneira: no capítulo 2 são apresentados

os mancais hidrodinâmicos de modo geral, suas aplicações, parâmetros associados à

operação, obtenção do estado de equilíbrio e as particularidades dos dois tipos de

mancais hidrodinâmicos, os de geometria fixa e os tilting pad. No capítulo 3, são

apresentados os fundamentos teóricos que norteiam o estudo de mancais

hidrodinâmicos, com inserção das hipóteses e conceitos a respeito deste tipo de mancal,

bem como as equações que regem a definição dos coeficientes dinâmicos de interesse.

No capítulo 4, apresentam-se as metodologias finais desenvolvidas para estudo de cada

tipo de mancal hidrodinâmico e sua validação é feita através de comparação de seus

resultados com valores retirados de referências compatíveis. No capitulo 5 são

apresentadas as conclusões e recomendações e, no capítulo 6, as referências

bibliográficas.

2 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS

Sendo os mancais dispositivos que compõem a parte de suporte de máquinas

rotativas, apoiando e servindo de guias para eixos, para exercer tal função, tais

elementos podem ser concebidos de diferentes maneiras. Existem assim os mancais de

rolamento, os hidrostáticos, os hidrodinâmicos e os magnéticos. Uma vez que o objetivo

desse trabalho é investigar as características dinâmicas de rigidez e amortecimento de

mancais hidrodinâmicos, as discussões aqui apresentadas se atem a esse tipo de mancal.

Os mancais hidrodinâmicos trabalham basicamente com o impedimento do

contato entre as peças com movimento relativo através do uso da lubrificação, onde a

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fina camada de fluido existente entre as superfícies é quem suporta o carregamento

solicitado. Esse filme de óleo é criado pelo movimento relativo entre o rotor e o mancal,

sendo decorrente das propriedades do óleo, como a viscosidade, assim como das

propriedades geométricas do mancal. Essa característica confere aos mancais de

deslizamento longa continuidade operacional por não trabalhar com o contato entre duas

diferentes peças, o que os levam a uma aplicação em operações que demandam longa

vida útil, como por exemplo, as turbomáquinas ou seu uso para sustentação do

virabrequim de motores de combustão. Assim sendo, a presença das buchas com

ranhuras que acomodam o lubrificante são fundamentais para o perfeito funcionamento

deste dispositivo.

Já que o fluido é um elemento fundamental para o pleno funcionamento desse

mancal e sua viscosidade é diretamente afetada pela temperatura, é preciso garantir que

a viscosidade permaneça dentro de faixas toleráveis para que a carga admissível não

diminua muito e o funcionamento desse dispositivo não seja prejudicado. Para manter

esse controle, pode-se, por exemplo, fazer uso da refrigeração no mancal.

Vale lembrar que a escolha do lubrificante depende da carga, da viscosidade e

do acabamento das paredes do mancal. Apesar disso, a lubrificação não está limitada

pura e simplesmente ao lubrificante. Deve-se considerar ainda a velocidade de

operação, as folgas e o comprimento e o diâmetro do mancal.

Tendo visto o funcionamento dos mancais de deslizamento, percebe-se que é

preciso garantir que a espessura operacional do lubrificante entre as superfícies seja

maior que a rugosidade das superfícies para que o lubrificante tenha atuação efetiva. De

acordo com o nível de separação observado entre as superfícies que se deslocam em

movimento relativo, observamos três tipos diferentes de lubrificação [1]:

Lubrificação Hidrodinâmica: superfícies completamente separadas;

Lubrificação Filme Misto: contato local intermitente;

Lubrificação Limite: contato local vasto e contínuo.

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Figura 1. Tipos de lubrificação em mancais hidrodinâmicos [1]

Obviamente, o tipo de lubrificação mais desejada é a hidrodinâmica na qual se

tem separação total das superfícies, fazendo com o filme de óleo evite o atrito e

consequente desgaste dos elementos e, ainda, garanta as desejáveis características

dinâmicas de rigidez e amortecimento ao sistema.

A figura 2 mostra as três diferentes caracterizações de um eixo sendo apoiado

por um mancal. A primeira delas - figura 1(a) - faz referência ao estado de repouso, no

qual a folga entre o eixo e o mancal está completamente cheia de óleo, porém o

carregamento imposto pelo eixo (W) acaba por colapsar o filme de óleo na parte inferior

do mancal. A segunda representa baixas rotações do eixo no sentido horário que acabam

fazendo com que o eixo role para a direita progressivamente em uma tentativa de

"escalar a parede do mancal" fazendo uso do atrito entre as superfícies. Apesar disso,

existe um limite até no qual se é possível subir pela parede do mancal e é aonde o eixo

se apoia em caso de contínuas rotações a baixas velocidades, apresentada na figura 2(b).

Caso a velocidade de rotação do eixo continue aumentando progressivamente, mais e

mais óleo que estava aderido à superfície do eixo tenta entrar na zona de contato ainda

existente entre o eixo e o mancal até que, finalmente, desenvolver-se-á um campo de

pressão dentro do óleo suficiente para fazer com que o eixo "flutue”, assim como

mostrado na figura 2(c), representando a terceira caracterização da sustentação do eixo,

agora pura e simplesmente por atuação do filme de óleo. Quando isso acontece, a alta

pressão do fluxo convergente de óleo a direita do ponto de espessura mínima do filme

de óleo move o eixo de modo sutil para a esquerda do centro do mancal. Sob

condições adequadas, o equilíbrio é estabelecido com a separação total entre as

superfícies do eixo e do mancal caracterizando, portanto, a etapa plena de lubrificação, a

hidrodinâmica. Associada a este equilíbrio atingido, tem-se dois parâmetros principais

de caracterização dessa etapa. O primeiro deles é a excentricidade , que representa o

desvio do centro do eixo entre sua posição de equilíbrio final e a posição do centro do

mancal; e o segundo trata do ângulo de atitude - vide figura 4 - o qual representa o

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ângulo formado a partir da direção vertical do centro do mancal até a linha de centros,

linha que une o centro do mancal e o centro do eixo em sua posição de equilíbrio

estático final.

Figura 2. Evolução do desenvolvimento do filme de óleo [1]

O comportamento hidrodinâmico tratado anteriormente tem influência de três

parâmetros básicos e no coeficiente de fricção resultante de cada etapa:

Viscosidade : quanto maior for a viscosidade, menor será a

velocidade de rotação necessária para que o eixo "flutue" sobre o filme

de óleo formado dado certo carregamento. O aumento da viscosidade

além do necessário para se estabelecer o regime hidrodinâmico de

lubrificação produz mais fricção no mancal através do aumento das

forças necessárias para se fazer o cisalhamento do filme de óleo;

Velocidade de rotação : quanto maior for a velocidade de rotação,

menor será a viscosidade requerida para que o eixo "flutue" sobre o filme

de óleo dado certo carregamento. Uma vez que a lubrificação

hidrodinâmica é atingida, aumentos na velocidade de rotação acabam por

produzir maior fricção no mancal através do aumento da taxa de tempo

na qual se realiza trabalho para realizar o cisalhamento do filme de óleo.

Carregamento unitário do mancal : definido como sendo o

carregamento do eixo (W) dividido pela área projetada do mancal,

definida pelo multiplicação do diâmetro (D) pelo comprimento (L) do

mancal. Quanto menor o carregamento unitário do mancal, menor serão a

velocidade de rotação e a viscosidade requerida para que ocorra a

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flutuação do eixo. Apesar disso, maiores reduções no carregamento do

mancal não produzem correspondentes reduções na força de resistência à

fricção do mancal. Logo, o coeficiente de fricção do mancal, o qual é a

razão entre a força de resistência à fricção do mancal e o carregamento

radial (W), aumenta.

O gráfico a seguir ilustra a influência desses parâmetros básicos combinados no

tipo de lubrificação e o resultante coeficiente de fricção de cada um deles:

Figura 3. Coeficiente de fricção (e tipo de lubrificação associado) x parâmetros básicos

combinados [1]

Vale ressaltar que a folga existente entre o eixo girante e o mancal tem grande

influência nesse desenvolvimento hidrodinâmico. Tal fato se sustenta já que sabe-se que

o mecanismo de formação do campo de pressão hidrodinâmico no fluido para suportar o

eixo necessita que o eixo gire excentricamente em relação ao mancal, ação viabilizada

graças à folga existente. Forma-se, assim, uma cunha de óleo convergente, devido ao

movimento relativo entre as superfícies, na qual se desenvolve o campo de pressão que

sustenta o carregamento na direção radial. Consequentemente, para que seja atingido o

regime hidrodinâmico de lubrificação, são necessárias três coisas:

1. Movimento relativo entre as superfícies a serem separadas.

2. Ação de convergência, proporcionado pela excentricidade do eixo.

3. Presença de um fluido adequado.

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Finalmente, pode-se listar os importantes fatores os quais devem ser levados em

consideração no projeto de um mancal que irá operar com lubrificação hidrodinâmica:

1. A espessura mínima do filme de óleo deve ser suficiente para se

garantir o regime de lubrificação hidrodinâmico, levando à menor fricção

possível.

2. Garantia de suprimento adequado de óleo limpo e suficientemente

refrigerado estando sempre disponível no ponto de entrada de óleo no

mancal. Isso pode requerer alimentação de óleo forçada, dispositivos de

refrigeração, ou ambos.

3. Garantia da operação dentro da faixa de temperatura aceitável (geralmente

abaixo de 93º até 121ºC).

4. Garantia de que o óleo admitido nos mancais seja distribuído ao longo de

todo o seu comprimento. Para tal, podem ser necessárias utilização de

ranhuras e buchas.

5. Seleção de materiais adequados para o mancal tal que sejam garantidas a

sua resistência em temperaturas de operação, conformidade e

embedabilidade suficientes e adequada resistência à corrosão.

6. Garantia de que o projeto do mancal é satisfatório para todas as

combinações antecipadas de folga e viscosidade do óleo. A folga de

operação será influenciada pela expansão térmica e eventuais desgastes.

Temperatura do óleo e, portanto, a viscosidade são influenciadas por fatores

térmicos (temperatura do ar ambiente, circulação de ar, etc.) e por outras

possíveis mudanças nas propriedades do óleo com o passar do tempo.

Do ponto de vista da rotodinâmica, a principal vantagem dos mancais

hidrodinâmicos vem das suas inerentes características de amortecimento. Mancais

hidrodinâmicos existem em uma variedade de configurações dependendo de cada

aplicação, viabilidade de espaço e requerimentos rotodinâmicos. A tendência ao longo

das últimas décadas tem favorecido a geometria variável "tilting pad" em relação à aos

mancais de geometria fixa, particularmente quando se trata de altas velocidades e

máquinas supercríticas devido suas características inerentes de estabilidade [2].

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2.1 - Mancais Hidrodinâmicos de Geometria Fixa

Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o livro "Machinery

Vibration and Rotordynamics" [2].

Um mancal hidrodinâmico de geometria fixa suporta o peso do eixo em

movimento através do desenvolvimento de pressão hidrodinâmica na cunha convergente

formada pelo eixo e pela superfície do mancal, assim como mostrado na figura 4.

Figura 4. Mancal hidrodinâmico de geometria fixa operando em equilíbrio estático [2]

O perfil assimétrico de pressão no filme de óleo é característico de mancais de

geometria fixa. Esse fenômeno dá origem à um ângulo de atitude formado entre a linha

de centro (linha que conecta o centro do eixo e o centro do mancal) e o vetor carga

. Essa característica, presente em todos os mancais hidrodinâmicos de geometria

fixa é o indicativo da presença do acoplamento no mancal. A carga, a qual nesse caso é

devida primeiramente ao peso do rotor, está agindo diretamente de cima para baixo no

mancal. A integração do perfil de pressão resulta em uma força que equilibra o peso do

rotor. Essa força gerada no filme de óleo é acompanhada por um deslocamento do eixo

com uma componente junto à direção do carregamento (direto) e também um

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deslocamento que é ortogonal à direção da carga e é deslocado na direção de rotação

(cruzado). Assim sendo, o deslocamento do eixo não se dá ao longo de uma linha que é

coincidente com o vetor de carga , e, assim, o carregamento em uma direção causa

não somente deslocamentos naquela direção, mas também deslocamentos ortogonais à

ela. Similarmente, um deslocamento do eixo no interior do mancal irá causar uma força

de reação oposta aquele deslocamento e, também, uma reação ortogonal a ele. Portanto,

existem grandes influências de acoplamento as quais são introduzidas devido ao

mecanismo segundo qual esse tipo de mancal tem sua operação caracterizada e, esse

conceito de acoplamento, é bastante significativo no que diz respeito às características

dinâmicas.

Essa característica de cruzamento-acoplado está presente em todas as máquinas

rotativas onde um fluido ou um gás está em movimento rotativo com o eixo dentro de

um pequeno anel.

É importante perceber que os coeficientes de rigidez e amortecimento acoplados

representam uma linearização das características do mancal. Quando eles são usados, a

posição de equilíbrio deve ser cuidadosamente determinada uma vez que os coeficientes

só são válidos em torno de uma região de deslocamento muito pequena que abrange a

posição de equilíbrio do eixo em movimento. Isto é verificado uma vez que os

coeficientes de rigidez e amortecimento permanecem constantes somente em uma

pequena região ao redor da posição de equilíbrio.

Vale resaltar que o acoplamento observado em mancais hidrodinâmicos tende a

mover ou empurrar o eixo para o lado oposto da cunha convergente. Portanto, esse

efeito de acoplamento é sempre influenciado pela direção de rotação, assim como

observado na figura 5:

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Figura 5. Viés de rotação causado pelos coeficientes de rigidez acoplados [2]

O vetor de força acoplada mostrada na figura a seguir 6 proporciona uma boa

representação gráfica dos efeitos dos coeficientes de rigidez acoplados nos mancais e

como eles agem no rotor. As forças de rigidez acopladas e se combinam

vetorialmente para produzir uma força que é tangencial à órbita circular de whirl e a

direção de rotação. Essa força gerada pela rigidez acoplada é normalmente dita como

força desestabilizadora que tende a adicionar energia ao sistema, a qual tende a

desestabilizar o sistema. Esse efeito de desestabilização age da mesma maneira que o

amortecimento direto (colinear com a velocidade instantânea), mas na direção oposta ao

amortecimento direto, levando assim ao termo “amortecimento negativo”.

Amortecimento positivo dissipa energia e, dessa maneira, reduz as vibrações e a

amplitude de whirl, enquanto que o amortecimento negativo adiciona energia ao sistema

dinâmico e, portanto, adiciona vibrações e amplitudes de movimento. O que pode

determinar a estabilidade final do sistema dinâmico selo-mancal-impelidor-rotor é

muitas vezes dependente do efeito líquido dessas duas forças que estão em oposição -

amortecimento direto e rigidez acoplada desestabilizadora (amortecimento negativo)

presentes em mancais, selos e impelidores.

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Figura 6. Representação da rigidez acoplada da força desestabilizadora em um disco de

rotor defletido [2]

O grau de rigidez acoplada desestabilizadora em um mancal hidrodinâmico de

geometria fixa é, sobretudo, influenciado pela geometria circular no mancal e a rotação

do fluido. Esses dois parâmetros podem ser alterados e/ou modificados a fim de auxiliar

um mancal instável ou marginalmente instável a ser tornar mais estável. Assim sendo,

mancais de geometria fixa podem atingir um limite maior de estabilidade através da

adição de ranhuras assim como mostrado na figura 7 para reduzir a rotação do fluido.

Quanto mais ranhuras são adicionadas, mais a rotação líquida do fluido no mancal será

reduzida e maior o limite de estabilidade. Existe um limite para a adição de ranhuras

internamente no mancal onde esse efeito se torna contraproducente. Isso ocorre visto

que quanto mais se adicionam essas ranhuras, mais se reduz a área de carregamento

efetiva, aumentando por sua vez a temperatura do mancal e, eventualmente, reduzindo o

amortecimento direto desejado. Logo, é importante notar que a melhoria em um aspecto

do desempenho do mancal pode ter efeitos prejudiciais em outros parâmetros de

operação. Portanto, um projeto pleno de mancal deve examinar todos os aspectos e

limites de desempenho do mancal.

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Figura 7. Mancal hidrodinâmico de geometria fixa com duas ranhuras axiais [2]

2.2 - Mancais Hidrodinâmicos “Tilting Pad”

Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o livro "Machinery

Vibration and Rotordynamics" [2].

Os mancais “tilting pad” são de geometria variável e são caracterizados pela

estabilidade inerente que surge da presença baixa ou desprezível do acoplamento nesses

mancais. Os pads rotacionam em torno do seus pivôs em resposta à carga radial

aplicada pelo eixo e sempre produz uma força de reação em linha com o centro do eixo,

assim como mostra a figura 8. Não há ângulo de atitude e assim as rigidezes acopladas

são muito baixas ou desprezadas, principalmente quando comparada com a rigidez

direta. O ângulo de atitude é praticamente nulo dado que a inércia do pad e a fricção no

pivô são baixas ou desprezíveis.

Mancais convencionais do tipo tilting pad usam um ponto ou uma linha de

contato com o pivô, e, assim, conseguem atingir o movimento de inclinação do pad

através desse mecanismo. Essa característica associada aos mancais ditos de geometria

variável (tilting pad) oferecem maior estabilidade a esse tipo de mancais quando

comparados aos mancais de geometria fixa, porém esse benefício vem com um custo e

traz consigo algumas desvantagens adicionais as quais se deve estar sempre atento. Em

virtude de possuir múltiplas partes, esse tipo de mancal acaba sendo mais caro e

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demanda maior tempo de produção. Além disso, os pads não carregados são

inerentemente suscetíveis à instabilidade do pad geralmente tratada como "pad flutter".

Em algumas aplicações, a instabilidade do pad pode levar ao significativo desgaste nos

pivôs dos pads descarregados, aumentando, por sua vez, a folga e influenciado

significativamente o desempenho do mancal através da alteração de suas propriedades.

Figura 8. Geometria de mancal tilting pad [2]

2.2.1 - Carga Entre Pivôs x Carga no Pivô

A orientação do mancal tilting pad com relação ao carregamento radial que

suporta tem um importante papel já que se relaciona diretamente com suas

características de rigidez e amortecimento. A figura 9 ilustra a orientação do mancal

com relação ao vetor de carga para os dois casos: LBP (Load between pivots) e LOP

(Load on Pivot).

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Figura 9. Representação esquemática de LOP x LBP em um mancal de 4 pads [2]

A rigidez nas direções vertical e horizontal mostram uma grande assimetria para

a orientação LOP, enquanto que, para a orientação LBP, as características de rigidez em

ambas as direção são simétricas tal que as curvas que representam essas rigidezes são

virtualmente idênticas, assim como mostrado na figura 10. Além disso, a configuração

LBP tende a permitir ambos os pads da parte inferior do mancal a dividirem o

carregamento, o que leva a essa orientação oferecer maior capacidade de carga quando

comparada à orientação LOP.

Figura 10. Coeficientes de rigidez direta para um mancal de 4 pads nas orientações LOP

e LBP [2]

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2.2.2 - Influência do "Preload" nos Coeficientes Dinâmicos de Mancais

Tilting Pad

O preload geométrico em mancais tilting pad é um importante e crítico

parâmetro para alterar a intensidade dos coeficientes de força. O preload pode ser

explicado através da figura 11.

Figura 11. Representação do preload positivo, nulo e negativo em mancais tilting pad

[2]

Ao se aumentar o preload no mancal, assim como mostra a figura 12, haverá

aumento também aumento da rigidez do mancal, particularmente para maiores valores

do número de Sommerfeld. O aumento da rigidez pode ser desejável do ponto de vista

de mover uma velocidade crítica localizada muito próxima à velocidade de operação

para um ponto mais afastado desta, para que se possa garantir uma maior margem de

separação entre tais valores. Apesar disso, também é importante notar que enquanto há

aumento do preload, há aumento da rigidez, que por sua vez irá resultar em um menor

amortecimento efetivo.

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Figura 12. Efeito do preload na rigidez de mancais tilting pad [2]

2.2.3 - Influência do Offset do Pivô

Outro importante parâmetro característico de mancais tilting pad é o offset do

pivô, definido, geralmente, na forma adimensional como uma razão do ângulo (1): entre

o pivô e o limite mais distante do pad e o ângulo (2): arco do pad. De acordo com o

controle desse parâmetro, a influência da localização do pivô pode ser observada no

aumento da capacidade de carregamento do mancal e na redução das temperaturas de

operação. Tais efeitos são verificados, quando, dependendo do deslocamento (offset) do

pivô, a rotação do pad permite uma maior lacuna no limite mais distante do pad em

relação ao pivô, permitindo que, assim, mais óleo entre no pad. A figura a seguir ajuda

na compreensão do que representa o offset do pivô e como este pode influenciar nas

características dos mancais.

17

Figura 13. Representação de um pivô centrado (0,5 offset) e um 0,6 offset pivô do

mancal [2]

3 - FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Assim como já foi dito, sabe-se que os mancais hidrodinâmicos podem assumir

um significante papel na dinâmica de rotores. O filme de óleo é equivalente a um

complexo arranjo de molas e amortecedores diretos e acoplados, logo, este tem poder de

influência sobre as velocidades críticas e respostas desbalanceadas do sistema

18

rotodinâmico. Além disso, as forças do filme de óleo do mancal podem causar

instabilidade no rotor, a qual resulta em altos níveis de vibração auto-excitada, como

por exemplo, os efeitos verificados no fenômeno de oil whirl, que representa uma

mudança na órbita do eixo que tende a operar numa órbita que remete a uma forma de

redemoinho, dada certa fração da sua velocidade de operação.

3.1 - Equação de Reynolds

Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o livro Analysis and

Identification in Rotor-Bearing Systems [4].

Sabe-se, da mecânica dos fluidos, que a condição necessária para a pressão se

desenvolver em um filme fino de fluido é tal que o gradiente e a inclinação do perfil de

velocidade devem variar através da espessura do filme. A análise de mancais

hidrodinâmicos pode ser feita teoricamente a partir da modelagem apropriada do filme

de fluido do mancal. As hipóteses para o cálculo do desempenho de mancais

hidrodinâmicos incluem:

1. A espessura do filme é pequena quando comparada às dimensões do eixo.

2. O eixo é cilíndrico e a superfície do mancal não possui deformações locais.

3. O eixo do elemento suportado é paralelo ao eixo do mancal.

4. A inércia do filme de óleo é desprezível.

5. O filme de óleo é incapaz de manter a pressão sub-atmosférica.

6. A pressão do óleo é atmosférica no ponto de suprimento, no dreno e nas

regiões onde o filme de óleo está quebrado ou ocorre cavitação.

7. O fluxo no filme de óleo é laminar.

8. Há perda do cisalhamento viscoso na região de folga fora do campo de

pressão e esse espaço é parcialmente completado com óleo.

9. Não há perdas por atrito do óleo nas ranhuras ou espaços de dreno

adjacentes ao eixo girante.

10. O óleo é um líquido newtoniano com viscosidade e densidade constantes ao

longo do mancal.

19

A equação de governo que representa o comportamento dinâmico dos mancais

hidrodinâmicos foi primeiramente derivada por Reynolds (1886) e é dada por:

(

(3.1)

onde x é a distância ao redor da circunferência do mancal do ponto de consideração

medido a partir de uma referência arbitrária, y é a posição do ponto de consideração na

direção axial, h é o espaço livre de filme, p é a pressão do lubrificante, U é a velocidade

tangencial da superfície do eixo girante, é a densidade do lubrificante, é a

viscosidade dinâmica do lubrificante, e t é o tempo. Os efeitos de curvatura podem ser

ignorados para os fins de avaliação da variação da pressão do lubrificante uma vez que a

espessura do filme de fluido é muito pequena quando comparada com o diâmetro do

eixo. Dessa maneira, o problema é reduzido à forma bidimensional e, para o propósito

de modelagem matemática, o filme de lubrificante pode ser considerado como se

estivesse esticado ao longo de todo o eixo.

Figura 14. Mancal hidrodinâmico com eixo girando em equilíbrio estático [4]

Na figura 14, é a posição angular em torno do mancal medida com base no

segmento de reta JB, é o ângulo de atitude, é o centro do mancal, é o centro do

eixo, é o raio do eixo e é a excentricidade. Em muitas aplicações, a densidade

do óleo lubrificante não varia substancialmente ao longo do filme de óleo. Sua

20

viscosidade pode variar, porém uma viscosidade efetiva constante baseada no balanço

térmico do lubrificante pode ser utilizada para os cálculos. Com valores constantes de

viscosidade e densidade, o fator pode ser desprezado e pode ser posto para o lado de

fora da equação (3.1). Com as hipóteses básicas mencionadas e considerando regime

permanente de operação (isto é, ), desenvolve-se a partir da equação (3.1):

(

(3.2)

A equação (3.2) permanece aplicável para mancais de geometria interna não

circular.

3.2 - Considerações e Conceitos Básicos de Modelos de Mancais Hidrodinâmicos



Para um dado mancal e uma velocidade de rotação, a teoria da lubrificação

apresentada anteriormente pode ser utilizada para calcular as forças de reação no eixo a

partir do filme de lubrificante. Essas forças são funções dos deslocamentos do eixo a

partir do centro do mancal e das velocidades e acelerações instantâneas observadas no

centro do eixo.

É possível determinar os quatro coeficientes de rigidez e os quatro coeficientes

de amortecimento do filme de óleo do mancal pela aplicação de deslocamentos e

velocidades no eixo a partir da sua posição de equilíbrio. Sabe-se que a posição exata de

operação do centro do eixo dentro do mancal depende do número de Sommerfeld. Uma

vez que os coeficientes do filme de óleo do mancal são específicos para uma localização

particular do centro do eixo, um incremento de deslocamento pode ser aplicado ao eixo

em uma das direções, o qual irá causar forças resultantes em ambas as direções do eixo,

vertical e horizontal, em relação à sua posição de equilíbrio estático inicial. Ao

relacionar essas forças resultante calculadas com o deslocamento aplicado, inicialmente

em uma direção e, depois, na outra, é possível determinar os quatro coeficientes de

rigidez do filme de óleo do mancal, tal que essas relações são dadas por:

21

(

(3.3)

onde e são os deslocamentos do eixo nas direções horizontal e vertical,

respectivamente (em relação à posição de equilíbrio em uma dada condição de

operação); e são as forças resultantes nas direções horizontal e vertical,

respectivamente, e os índices i,j de representam a direção da força resultante (i) e a

direção do deslocamento aplicado (j), respectivamente. Analogamente, pode-se obter os

quatro coeficientes de amortecimento do filme de óleo aplicando-se, ao invés de

deslocamentos, velocidades nas direções X e Y, a partir da posição de equilíbrio do

mancal, dada sua condição de operação.

Por conta disso, para movimentos de baixas amplitudes, medidas a partir da

posição de equilíbrio estático do eixo - vide figura 15 - uma expansão da série

de Taylor de primeira ordem produz:

(

(3.4)

22

Analogicamente, podem-se definir os coeficientes dinâmicos restantes do

mancal. Na matriz formada da equação (3.3) todos os termos diagonais são chamados

coeficientes diretos enquanto que os termos não diagonais são chamados de coeficientes

acoplados. Estes últimos termos surgem devido à rotação do fluido dentro do mancal.

é a força de reação do filme de fluido no eixo, é a força de excitação externa no eixo,

é a massa do eixo, e são as posições de equilíbrio estático do eixo em relação

ao centro do mancal, e são os deslocamentos do eixo a partir de sua posição de

equilíbrio estático, e são as velocidades instantâneas do centro do eixo assim como

e são as acelerações instantâneas do centro do eixo em movimento, nas direções

vertical e horizontal, respectivamente. O "ponto" indica a derivada em relação ao tempo

e (i,j=x,y) são os coeficientes de rigidez, amortecimento e massa

adicional (também denominado inércia ou massa do filme fluido), respectivamente. Os

índices dos coeficientes mencionados anteriormente tem o seguinte significado: o

primeiro índice dá a direção da carga que produz a força elástica

(amortecimento/inércia) e o segundo índice dá a direção do deslocamento

(velocidade/aceleração) imprimido. Uma vez que e representam a posição de

equilíbrio, então é o próprio carregamento estático

Figura 15. Localização geométrica do centro do eixo em equilíbrio em um mancal

hidrodinâmico [4]

23

Sommerfeld em 1904 propôs uma solução para a Equação de Reynolds que a

simplificava e a resolvia para um dos seus limites. Ele utilizou o limite para um mancal

infinitamente longo e assumiu que o gradiente de pressão axial fosse nulo. Nesse

processo, ele definiu um parâmetro adimensional, conhecido como número de

Sommerfeld, o qual é dado por:

(

(3.5)

O número de Sommerfeld é útil aos projetistas pois inclui os seguintes

parâmetros de projeto: , e sendo o comprimento, o raio e a folga radial do

mancal, respectivamente; é o diâmetro do eixo; viscosidade do óleo lubrificante,

velocidade de rotação e o carregamento no mancal . O número de Sommerfeld

define as condições de operação (velocidade, viscosidade do lubrificante, carga estática

e geometria). Os coeficientes dinâmicos são avaliados para uma posição de equilíbrio

estático particular, a qual é função do número de Sommerfeld , o que significa que,

para uma dada situação, elas são funções da velocidade do rotor. Além disso, os

coeficientes dinâmicos do mancal podem ser dependentes da frequência de excitação

externa , tal que e depende da velocidade de rotação .

A partir da teoria da lubrificação, a qual ignora os efeitos de inércia do fluido, os

coeficientes de amortecimento são simétricos enquanto que os de rigidez não os são.

Portanto, não existem direções principais e, na determinação experimental dos

coeficientes, é preciso obter dois conjuntos de medidas de força-amplitude

independentes. Lund em 1987 [5] enfatizou a medição experimental dos coeficientes do

mancal e estabeleceu um ajuste mais uniforme através de cálculos analíticos ao

considerar as influências das deformações térmicas e elásticas e os problemas práticos

de construção e tolerâncias de operação da geometria do mancal, sua folga e a

viscosidade do lubrificante a ser utilizado. Embora as características de carga-

deslocamento de um mancal sejam evidentemente não lineares, o conceito dos

coeficientes dinâmicos lineares ainda é usado para cálculos dinâmicos de rotores

modernos para respostas de desbalanceamento, frequências naturais amortecidas e

estabilidade já que a experiência tem demonstrado a utilidade desses coeficientes.

24

Claramente, a aplicabilidade destas técnicas é dependente de baixas amplitudes de

vibração do eixo, estas quando comparadas à folga do mancal.

3.3 - Mancais Hidrodinâmicos Radiais Longos e Curtos



A equação (3.2) descreve a variação da pressão do lubrificante tanto nas direções

axial (direção y) quanto na direção radial (direção x). Uma solução aproximada para tal

equação pode ser obtida através da utilização da aproximação de um "mancal curto"

definido por Ocvirk em 1952 [1] - como sendo um mancal no qual a variação de pressão

na direção radial é assumida como desprezível quando comparada a essa variação na

direção axial. Tal fato nos leva a , e, por conseguinte à equação (3.6). Esta

aproximação também permite obtenção da solução da forma fechada da equação (3.2)

uma vez que são fornecidas as condições de contorno apropriadas (figura 16) e

selecionadas para viabilizar a definição das constantes de integração.

(

(3.6)

Figura 16. Condições de contorno usadas para análise dos mancais em operação: (a)

Completa condição de Sommerfeld ( =0 para = 0 e =2 ) e Meia condição de

Sommerfeld (considera =0 em caso de <0); (b) Condição de Reynolds (d /d =0

quando =0) [4]

25

A condição de contorno convencional para o filme de óleo dos mancais

hidrodinâmicos é =0, com medido em relação à pressão atmosférica. A posição de

fronteira, onde essa condição se sustenta, é conhecida quando o filme começa em uma

ranhura de suprimento de óleo e termina na margem do mancal ou na ranhura de dreno.

Uma consideração adicional é necessária para determinar a posição na qual o filme do

mancal hidrodinâmico começa ou termina quando esse não é fixo por um suporte ou

uma ranhura de drenagem. Uma consideração amplamente utilizada considera o filme

de óleo do mancal hidrodinâmico começando em , posição relativa à máxima

folga (vide figura 14). Essa consideração é conveniente para os cálculos, mas não é

plena na prática a menos que exista quantidade de óleo disponível suficiente para

formar um filme contínuo nessa posição. Os cálculos mostram, entretanto, que se o

filme for assumido começando em um pequeno ângulo posterior à posição de máxima

folga, as características globais dos mancais são muito pouco afetadas quando se

consideram situações de operação regulares. A condição adicional considerada no

cálculo convencional como definição para a posição na qual o filme de óleo dos

mancais hidrodinâmicos termina dentro dos limites da folga é Essa

condição é justificada pelo argumento seguinte o qual se aplica quando é mantida

no ponto limite - se for positivo haveria um longo filme de óleo com pressão

positiva e se for negativo haveria pressão negativa no filme de lubrificante.

Os oito coeficientes linearizados de rigidez e amortecimento dependem das

condições de operação do estado permanente do eixo, e, em particular, da velocidade

angular de rotação. Para os mancais curtos, os coeficientes de amortecimento e rigidez

são dados em função da razão de excentricidade , considerada fixa:

(

(3.7)

26

Segundo [1], a solução dos mancais curtos de geometria fixa de Ocvirk, baseada

na equação (3.6) possui ótimos resultados para mancais de razão até 0,25 e, a

experiência tem mostrado que tal solução também apresenta aproximações bastante

razoáveis em casa de análise de mancais usuais, característicos da faixa

4 - METODOLOGIA DE CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ E

AMORTECIMENTO

4.1 - Fluxograma de Método para Mancais Hidrodinâmicos de Geometria Fixa



Para determinação dos coeficientes de rigidez e amortecimento de um mancal

hidrodinâmico, o primeiro passo a ser dado é calcular o número de Sommerfeld

(Equação 3.4). Uma vez conhecendo o valor de , é possível calcular o valor da razão

de excentricidade sob condições de operação em regime permanente:

27

(

(3.7)

Variações dos coeficientes adimensionais de rigidez e amortecimento com

números de Sommerfeld para o caso da aproximação de mancais curtos são mostrados

nas figuras 7 e 8, respectivamente.

Figura 17. Coeficientes Adimensionais de Rigidez x Número de Sommerfeld para

mancais curtos [4]

28

Figura 18. Coeficientes Adimensionais de Amortecimento x Número de Sommerfeld

para mancais curtos [4]

Vale ressaltar que a linearização dos coeficientes mostrados anteriormente se dá

segundo:

(

(3.8)

onde i,j = x,y.

Tendo feito todas estas considerações, pode-se chegar ao fluxograma que ilustra

o caminho para se obter os parâmetros dinâmicos dos mancais hidrodinâmicos de

geometria fixa tendo como base o número de Sommerfeld.

29

CALCULAR S:

SUBSTITUIR O VALOR DE S NA

EQUAÇÃO:

RESOLVER A EQUAÇÃO

ACIMA PARA OBTER AS

RAÍZES DE

ESCOLHER O VALOR

DA RAÍZ DE MENORES QUE 1

SUBSTITUIR O VALOR

DE SELECIONADO NA

EQUAÇÃO 3.6

PARÂMETROS DINÂMICOS DO

MANCAL:

30

4.1.1 - Comparação com Resultados Publicados - Mancais de Geometria

Fixa

Uma vez definida a metodologia para calcular os coeficientes de rigidez e

amortecimento de mancais hidrodinâmicos de geometria fixa, deve-se compará-la com

valores de referências apropriadas para que, após a comprovação de sua eficácia, essa

possa ser utilizada em um caso de estudo. Para validação da metodologia, os resultados

foram comparados com dados numéricos de duas referências distintas a fim de

assegurar a aplicabilidade do método discutido.

A comparação inicial se deu em relação aos resultados encontrados no paper

"Application of CFS Analysis for Rotating Machinery - Part I: Hydrodynamic,

Hydrostatic Bearings and Squeeze Film Damper [6]. Os cálculos dos coeficientes

dinâmicos em questão foram feitos a partir do uso do Excel.

Parâmetros de Entrada Unidade

Viscosidade (µ) 0,0125 [N.s/m²]

Diâmetro (D) 0,05 [m]

Comprimento (L) 0,025 [m]

Rotações por segundo (N) 159 [Hz]

Load (W) 1150 [N]

Raio (R) 0,025 [m]

Folga radial (Cr) 0,00005 [m]

Velocidade angular (w) 1000 [rad/s]

L/D 0,5

Sommerfeld Number 0,541

Razão de Excentricidade (ε) 0,5

COEFICIENTES DE RIGIDEZ [10⁶ N/m]

Calculado Referência [6] Diferença (%)

Kxx 50,8 41,1 19,1

Kxy -19,7 -22,2 11,1

Kyx 91,5 88 3,8

Kyy 54,5 56 2,8

31

COEFICIENTES DE AMORTECIMENTO [10⁴ N.s/m]


Cxx 7,0 7,16 1,9

Cxy = Cyx -5,2 -5,92 12,8

Kyy 10,5 18,4 42,8

Tabela 1. Comparação da metodologia - caso 1 [6]

A segunda comparação ocorreu em relação ao paper "Dynamic Characteristics

of Fluid-Film Bearings" [3]. Os cálculos dos coeficientes dinâmicos em questão foram

feitos a partir do uso do Excel.


Viscosidade (µ) 0,000002 [lb.s/in²]

Diâmetro (D) 5 [in]

Comprimento (L) 5 [in]


Load (W) 20780 [lbs]

Raio (R) 2,5 [in]

Folga radial (Cr) 0,0025 [in]

Velocidade angular (w) 523,6 [rad/s]

L/D 1



COEFICIENTES DE RIGIDEZ [10⁶ lb/in]


Kxx 18,4 12,4 32,5

Kxy -7,1 -4,64 53,6

Kyx 33,1 28,3 14,4

Kyy 19,7 20,41 3,6

COEFICIENTES DE AMORTECIMENTO [10⁴ lb.s/in]


Cxx 4,8 2,85 41,2

Cxy = Cyx -3,6 -2,69 32,5

Kyy 7,3 11,1 52,8

Tabela 2. Comparação da metodologia - caso 2 [3]

32

A partir dos resultados obtidos nas duas comparações, é possível perceber que

todos os resultados obtidos se encontram na mesma ordem de grandeza. A diferença

observada em termos percentuais assume valores máximos de 50% em alguns casos

isolados, sendo que, na maioria dos casos, essa discrepância assume valores

consideravelmente menores, o que mostra uma eficácia satisfatória da metodologia

apresentada para o cálculo dos coeficientes dinâmicos de mancais hidrodinâmicos de

geometria fixa.

4.2 - Método para Mancais Hidrodinâmicos Tilting Pad

Para suporte ao desenvolvimento deste tópico foi utilizado o paper "Spring and

Damping Factor for the Tilting-Pad Journal Bearing" [5].

Assim como apresentado ao longo do texto, as considerações e características

dinâmicas dos mancais tilting pad diferem daqueles de geometria fixa, verificados pela

consideração de diferentes parâmetros e pela ausência do acoplamento característico

desses últimos. Dessa forma, verificou-se que a metodologia apresentada anteriormente

para o cálculo dos coeficientes dinâmicos dos mancais de geometria fixa não se aplica

aos mancais tilting pad.

Segundo Lund [5], para um pad fixo, os coeficientes de rigidez e amortecimento

podem ser calculados a partir do gradiente de força do filme de óleo e que a análise do

mancal tilting pad assume que tais coeficientes são conhecidos. Dessa forma, para um

movimento arbitrário do rotor é possível estabelecer a equação de movimento para cada

pad, incluindo a inércia do pad. Ao acoplar essa equação com as equações da força do

filme de óleo, é possível determinar os coeficientes de rigidez e amortecimento para o

tilting pad. Um somatório dessa consideração para todos os pads resulta em coeficientes

combinados de rigidez e amortecimento para o mancal tilting pad completo. Essas

análises podem ser encontradas em detalhes em [5].

4.2.1 - Comparação com Resultados Publicados - Mancais Tilting Pad

Lund [5] desenvolveu gráficos com os coeficientes adimensionais de rigidez e

amortecimento em função no número de Sommerfeld para quatro diferentes geometrias

de mancais: 4, 5, 6 e 12 tilting pads, desprezando tanto a inércia do pad quanto o

33

parâmetro preload. Para se verificar a aplicabilidade de tal metodologia, os valores

obtidos de [5] serão comparados com valores da referência [2], considerando mancais

de 5 pads, localização central do pivô (0,5 offset pivot) e Load on Pad. Considerando

esses dados e os parâmetros de entrada expostos na tabela 3, é possível identificar os

dados obtidos de [3] (interseção entre a linha vermelha e as curvas da figura 19) a partir

do número de Sommerfeld calculado abaixo.


Viscosidade (µ) 0,000002 [lb.s/in²]

Diâmetro (D) 5 [in]

Comprimento (L) 5 [in]


Load (W) 2007 [lbs]

Raio (R) 2,5 [in]

Folga radial (Cr) 0,005 [in]

Velocidade angular (w) 523,6 [rad/s]

Pad Angle 60 [degree]

Tabela 3. Parâmetros de entrada do mancal tilting pad [3]



34

Figura 19. Resultados adimensionais dos coeficientes para mancal 5 tilting pads; pad

angle = 60º; pivô centralizado; L/D = 0,5; preload = 1; inércia do pad desprezível [5]

Preload 1,0

COEFICIENTES DE RIGIDEZ [lb/in]

Método [5] Referência [3] Diferença (%)

Kxx 1605600 65748,7 95,91

Kyy 120420 478170 297,1

COEFICIENTES DE AMORTECIMENTO [lb.s/in]

Método [5] Referência [3] Diferença (%)

Cxx 1149,9 547,14 110,2

Cyy 3296,4 1155,04 185,4

Tabela 4. Comparação da metodologia - mancal tilting pad

Percebe-se, com a análise dos resultados, que a metodologia desenvolvida para

mancais tilting pad apresenta resultados satisfatórios já que, quando se comparam os

resultados, todos possuem a mesma ordem de grandeza.

35

5 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

O presente projeto nos permite identificar as dificuldades do processo de

obtenção dos coeficientes de rigidez e amortecimento de mancais hidrodinâmicos e,

também, como superá-las. Nota-se a diferença evidente na caracterização da dinâmica

de operação entre mancais de geometria fixa e mancais tilting pad, o que deve levar a

um estudo detalhado da metodologia aplicável em cada caso.

Nas análises desenvolvidas, para ambos os casos, os resultados obtidos com a

aplicação das metodologias se mostraram bastante próximos daqueles obtidos com base

em referências apropriadas, realçando o êxito e a validez dos métodos desenvolvidos.

As diferenças observadas podem ser consideradas razoáveis visto que abrangem sempre

os valores comparados na mesma ordem de grandeza e, sob o ponto de vista percentual,

a variação é considerável, podendo essa ser atribuída à diferentes considerações e

hipóteses levadas em conta na metodologia das referências e nas desenvolvidas ao longo

desse projeto.

Assim, tendo obtido bons resultados com o desenvolvimento desse trabalho,

deve-se agora buscar um entendimento ainda maior sobre a metodologia aplicável à

mancais tilting pad, perseguindo o processo de formação das curvas experimentais, tal

que esses coeficientes possam ser calculados de maneira mais genérica, tendo como

base os dados do mancal e a condição de operação, e, desse modo, tal metodologia

possa ser extrapolada para aplicação em casos de estudo de interesse.

36

6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Juvinall, R.C., Marshek, K.M.; 2012,”Fundamentals of Machine Component

Design”, 5ª edição, 546-587.

[2] Vance, V., Zeidan, F., Murphy, B.,; 2010,”Machinery Vibration and

Rotordynamics”, 171-271.

[3] Shapiro, W., Colsher, R.,; 1959, ”Dynamic Characteristics of Fluid-Film Bearings”,

1-15.

[4] Tiwari, R.,; 2010,”Analysis and Identification in Rotor-Bearing Systems ”, 117-136,

813-831.

[5] Lund, J. W.;1964, ”Spring and Damping Factor for the Tilting-Pad Journal

Bearing”, 342-352.

[6] Guo, Z., Hirano, T., Kirk, R. G.,; 2005, ”Application of CFD Analysis for Rotating

Machinery – Part I: Hydrodynamic, Hydrostatic Bearings and Squeeze Film

Damper”, 1-7.

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