Metodo General izado do Grupo deRenormaliza~ao Numerico para 0

Calculo de Propriedades Termodinamicas de Impurezas em Metais

Tese apresentada ao Instituto de Fisicade Sao Carlos,USP,para a obten~ao dotitulo de Doutor em Ciencias "FisicaBasica".

~\\ ~ UNIV~RSIDADE- DE SAO PAULO#

Instltuto de Flalca • Qulmlca de SAo carlos Fone(0162)72~Fax (0162) 72-2218

Av. Dr. Carlos Botelho. 1465Caixa Postal 369CEP 13560.970· Sio Cartos· SPBrasil

~~ ~~oe.-~~t..:-~---------------------------

Agradecimentos

Os mais sinceros agradecimentos ao meu orientador, Luiz Nunes de Oliviera, pela

proposta de tese, pelo pleno domfnio do tema desenvolvido, pela sua dedica~ao ao trabalho e

aos alunos, socorrendo-os em suas dtividas sempre com simplicidade e criticas construtivas,

consequentemente dignificando 0 aprendizado e a pesquisa cientffica.

Aos amigos do IF-UFF, el,l fico bastante grata a aqueles que me encorajaram e

ajudaram a prestar 0 doutoramento no IFQSC-USP, e que durante 0 perfodo de minha

ausencia da UFF mantiveram-se em contato fazendo-me sentir proxima a eles.

Com muita gratidao eu lembrarei dos amigos que fiz em Sao Carlos. Eu agrade~o

aqueles que me acolheram durante a minha estadia, preenchendo a minha vida com alegria

e serenidade nao deixando que eu me senti sse sozinha quando longe dos meus familiares.

Estou grata tambem aos grupos de estudo do IFQSC cujas discussOes e sugestOes tornaram

gratificante 0 meu trabalho.

Especialmente eu agrade~o a meus pais e irmaos pelo exemplo, amor e entusiasmo

que me abastecem.

A Deus agrade~o pelo Universo, que devido a sua complexidade tern tornado 0 nosso

trabalho amplo e estimulante e em particular pela conclusao de mais uma etapa da minha

carreira profissional.

Este trabalho foi realizado com 0 apoio financeiro do programa PICD/CAPES e da

Universidade Federal Fluminense.

,Indice

2 Extensao do metodo generalizado do grupo de renormaliza~io numerico

para 0 calculo de propriedades termodinamicas - Metodo intercalado 39

2.1 Introdu<;ao..................................... 40

42

44

45

49

52

58

65

2.2.1

2.2:2

2.2.3

2.3

2.4

2.5

3.3.1

3.3.2

G=O

V=O

66

67

75

78

78

80

85

3.1

3.2

3.3

89

90

4.2

4.3

4.4.1

4.4.2

J =I- 0, s =I- 0 e 10 = 0

J =I- 0, s = 0 e 10 =I- 0

104

104

106

5 Conclusoes e sugestoes

Apimdices

B Justificativa do comportamento oscilatorio na curva da suscetibilidade

magnetica da impureza 122

Lista de Figuras

1.1 Coeficiente do calor especifico versus T2, para 0 fermion pesado CeC u25 i2. 4

1.2 Inverso da Suscetibilidade versus T para 0 fermion pesado U2Zn17.. . . . . .5

1.3 Coeficiente do calor especifico versus suscetibilidade magnetica para varios

1.4 Razao da resistividade por concentra~ao de Ce versus T, para 0 compos to

(C exLal_x )Pb3• . • • . . • • . • • . • • . . . • • . . . . . . • • • . . • • . " 9

1.5 Curva universal da suscetibilidade do modelo Kondo em fun~ao da temperatura. 12

1.6 Diagrama de fiuxo para 0 modelo de Anderson simetrico. . . . . . . . . . .. 15

1.7 Suscetibilidade magnetica em fun~ao da temperatura para 0 modelo de An-

derson simetrico. 16

1.8 Curvas universais cia suscetibilidade e calor especifico em fun~ao da tempera-

1.9 Intera~ao RK KY em fun~ao da distancia entre impurezas.

1.10 Suscetibilidade magnetica em fun~ao da temperatura para 0 modelo Kondo

1.12 Suscetibilidade uniforme e staggered e 0 coeficiente do calor especifico em

fun<;ao da razao falTK para 0 modelo Kondo de duas impurezas ....

1.13 Suscetibilidade magnetica da Impureza em fun<;ao da temperatura para 0

modelo de Anderson de duas impurezas. (a) Limite de acoplamento ferro-

1.14 Diagrama de fiuxo de energla em fun<;ao do numero de itera<;ao impar do

modelo de Anderson de duas impurezas. (a) Efeito Kondo. (b) Acoplamento

antiferromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37

2.1 Representa<;ao esquematica das escalas de energias das bandas de condu<;ao. 43

2.3 Deslocamento de fases em fun<;ao da energia do Hamiltoniano de Anderson

2.4 Curvas das suscetibilidade magneticas das impurezas em fun<;aoda tempera-

tura para os Hamiltonianos de Kondo (curva universal) eo de Anderson com

C' = o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60

2.5 Suscetibilidade magnetica da impureza em fun<;aoda temperatura, obtida com

parametro de discretiza<;ao A = 9 e energia da impureza Cd = -0.05D, maior

em valor absoluto que a largura de nivel r = O.OlD. . . . . . . . . . . . . .. 61

2.6 Suscetibilidade magnetica da impureza ern fun~ao da temperatura, obtida

corn parametro de discretiza~ao A = 9 energia da impureza Ed = a e largura

de nivel r = O.OlD. Na inser~ao, apresentamos a curva da suscetibilidade

magnetiea da impureza eonsiderando A = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62

3.1 Suscetibilidade de carga da impureza ern fun<;:aoda temperatura, para 0 caso

particular ern que 0 Hamiltoniano de Falicov, Kimball e RamIrez do modelo

3.2 Suscetibilidade de carga da impureza em fUIl~aoda temperatura, para 0 caso

particular ern que 0 termo de hibridiza~ao entre os niveis de impurezas e a

banda de condu~ao do Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ram:rez de duas

4.1 Suscetibilidade de carga da impureza ern fun~ao da temperatura do Hamilto-

niano de Falicov, Kimball e RamIrez de duas impurezas, para 0 caso particular

4.2 Curvas da eontribui~ao da impureza para a suscetibilidade do Hamiltoniano

de Falieov, Kimball e Ram{rez de duas impurezas para J = -0.08, A = 10,

10 = a e diferentes valores da distancia entre impurezas: (a) s = 0, (b)

4.3 Diagrama de fluxo de energia para 0 Hamiltoniano de Falicov, Kimball e

Ramirez de duas impurezas considerando J = -0.08, A = 10, 10 = a e

s = 0.0096 para itera~oes (a) pares e (b) impares. . . . . . . . . . . . . . .. 107

4.4 Curvas da suscetibilidade de carga da impureza do Hamiltoniano de Falicov,

Kimball e Ramirez de duas impurezas considerando J = -0.08, A = 10. s = 0

e diferentes valores da intera<;ao RI\I\Y: (a) 10 = 0, (b) 10 = lac = -2.2TJ\·,

de duas impurezas considerando J = -0.08, A = 10, S = 0 e (a) 10= 80TK

(Efeito Kondo), (b) 10= -16TK (Intera<;ao RI\I\Y antiferromagnetica) ... 112

use SErNIC;:O DC: BIBLI~)TEC/.'l,. E)!'~FOR\/ AC;AO

Resumo

Este trabalho tern como objetivo desenvolver uma tecnica de calculo que permitadiagonalizar Hamiltonianos de mais de uma impureza e adapta-Ia ao calculo de suas pro-priedades termodinamicas.

Esta tecnica e uma extensao do metodo de grupo de renormaliza~ao, originalmentedesenvolvido por Wilson para calcular propriedades termodinamicas do modelo Kondo deuma impureza. 0 procedimento baseia-se na discretiza~ao logaritmica da banda de condu~aodo metal hospedeiro, definida por urn parametro de discretiza~ao A, que permite que seprojete 0 Hamiltoniano em uma base quantica finita, na qual 0 mesmo possa ser diagonalizadonumericamente. 0 tempo do custo computacional do calculo diminui exponencialmente amedida que A cresce, tornando melhor trabalharmos com valores grandes de A.

o grande problema em usarmos A grande e que aparecem oscila~oes nas curvasdas propriedades termodinamicas. Neste trabalho apresentamos 0 metodo generalizado queelimina essas oscila~oes. Inicialmente, testamos 0 metodo no modelo de Anderson semcorrela~ao de uma impureza para 0 calculo da suscetibilidade magnetica do sistema, comresultado satisfatorio.

Na sequencia, para verificar a potencialidade do metodo, diagonalizamos 0 Hamilto-niano de Falicov, Kimball e RamIrez (sem spin) do modelo de duas impurezas e calculamosa suscetibilidade de carga da impureza. A motiva~ao para esse calculo e a equivalencia exis-tente entre 0 Hamiltoniano de Vigman e Finkelshtein e 0 Hamiltoniano Kondo, para 0 modelode uma impureza. No caso de duas impurezas 0 nosso calculo demonstra que a intera~aoRI< I<Y destroi essa equivalencia, ainda que qualitativamente as curvas da suscetibilidadede carga neste modelo reproduzam as de suscetibilidade magnetica do modelo Kondo.

Abstract

This thesis develops an extension of the numerical renormalization - group method.The extended procedure is capable of computing the temperature dependence of the magneticsusceptibility for two-impurity models of dilute magnetic alloys.

The renormalization-group approach was devised by Wilson to calculate the thermo-dynamical properties for the one-impurity Kondo model. The numerical procedure is basedon a logarithmic discretization of the conduction band of the metallic host, which is definedby a dimensionless parameter A > 1, equal to the ratio of two sucessive discrete energies.Once the conduction Hamiltonian is discretized, the model Hamiltonian reduces to a discreteseries that can be diagonalized numerically. The computational cost of the diagonalizationdiminishes exponentially with 1/ In A, which makes it attractive to work with large A.

unfortunately, the thermodynamical averages computed with Wilson's original ver-sion of the numerical renormalization group method and large A, computed as function ofthe temperature, display artificial oscilations with period In A and amplitude proportional toe-

1r2/lnA

. By contrast, the generalized procedure in this work produces thermal dependencesthat converge so rapidly to the continuum (A ----+ 1) limit that curves computed with A = 10are virtually identical with those calculated with A = 3 in the original procedure.

As an illustration, we have diagonalized a two-impurity version of the (spinless),Falicov-Kimball-Ramfrez Hamiltonian and calculated its charge susceptibility. This applica-tion was motivated by the well-established equivalence between the single-impurity (spinless)Vigman-Finkelshtein and Kondo models. In the case of two impurities, our work shows thatthe RK KY interaction destroys the equivalence between the two models. Nonetheless, thecharge susceptibility curves for the two-impurity Falicov-Kimball-Ramlrez model show thequalitative features of the magnetic susceptibility for the two-impurity Kondo model.

Capitulo 1

Conceitos basicos

1.1 Sistemas eletronicos correlacionados

A teoria de sistemas eletronicos correlacionados, tais como as ligas magneticas

diluidas , os compostos de terras raras com valencias flutuantes, e os sistemas de fermions

pesados, tern sido urn amplo campo de pes quisa desde a descoberta por Steglich e outros [l.

2], em 1979, da supercondutividade em compostos de fermions pesados. Estes compostos.

aparentemente distintos, mostram caracteristicas semelhantes, e algumas vezes anomalas [3.

4] em suas propriedades fisicas, que os colocam numa mesma familia de materiais.

Na natureza, estes sistemas sao constituidos em geral por grupos de ions de im-

purezas imersas em meio metalico. Por sua vez. a fisica do Hamiltoniano de muitas impurezas

e pouco entendida. A dificuldade no tratamento de grupo ou aglomerados de impurezas nao

e devida somente ao calculo analitico, mas principalmente ao tempo de custo computacional

para 0 calculo das suas propriedades fisicas.

I Podemos dizer que 0 problema de impureza isolada e compreendido tant()_a nivel

gualitativo quanto a,o quantitativo. Entretanto, num caso seguinte a esse, 0 modelo de

duas impurezas, ainda inexiste consenso sobre 0 comportamento termodinamico de suas

propriedades, devido ao custo computacional para diagonalizac,;aodo Hamiltoniano.

Diante desses fatos, consideramos urn modelo constituido de duas impurezas imersas

num metal, onde a correlac,;aoentre elas, caracteristica import ante do problema de grupo de

impurezas, ainda e mantida e desenvolvemos urn metodo numerico com 0 objetivo de diminuir

o custo computacional do calculo das propriedades termodinamicas dessas impurezas.

Antes de apresentarmos 0 nosso metodo e suas aplicac,;oes,os quais serao discutidos

nos capitulos seguintes, faremos nest a sec,;aouma revisao dos resultados experimentais obtidos

dos sistemas de fermions pesados e ligas magneticas diluidas, os quais serao essenciais para

discussao.

I Os sistemas de fermions pesados sao constituidos por elementos do grupo dos Lan-

tanideos ou Actinideos imersos em meio metalico, sendo suas propriedades fisicas determi-

nadas pelo acoplamento entre os eletrons de condu<.;aodo metal e os eletrons 41 ou 51 dos

atomos de terras raras e pela intera<.;aoforte entre os eletrons- I. \Os elementos terras raras

possuem esses orbitais com momentos magneticos bem localizados. Devido a intera<.;aocom a

banda pode ocorrer fiutua<.;aode spin, assim como fiutua<.;aode carga, ja que os eletrons- I po-

dem saltar para a banda de condu<.;aodo metal hospedeiro, causando fiutua<.;aona ocupa<.;ao

desse orbital. A predominancia de urn desses efeitos depende da configura<.;aodo orbital-I.

Para temperaturas maiores que a temperatura ambiente esses compostos se compor-

tam como urn conjunto de eletrons- I interagindo fracamente com os eletrons de condu<.;ao;

porem para temperaturas pr6ximas de zero, os eletrons- I tornam-se fortemente acoplados

aos eletrons de condu<.;ao,e entre si, de modo que a massa efetiva do eletron de condu<;ao

aumenta de 10 a 100 vezes em rela<;ao a massa do eletron do metal simples. Dai, 0 nome de

fermions pesados.

A seguir, discutiremos algumas das propriedades fisicas, anomalas, desses compostos

quando comparados com os metais comuns.

Para urn metal simples, 0 calor especifico eletronico pode ser escrito na forma,

C(T) = IT + BT3, onde I e 0 coeficiente do calor especifico eletronico, 0 qual me de a

densidade eletronica no nivel de Fermi, e B e caracterizado pela contribui<.;ao dos fonons

para 0 calor especifico. Para temperaturas baixas nos sistemas de fermions pesados I emuito maior que 0 coeficiente do calor especifico para 0 metal simples, de modo que BT3

fica sendo desprezivel em rela<;aoa IT; uma vez que 0 calor especifico e nao linear, este pode

ser escrito como I(T) = C(T)jT. 0 importante e que para temperaturas abaixo de 10K, I

e dependente da temperatura, contrariamente ao coeficiente do calor especifico dos metais

simples, e aumenta de 102 a 103 vezes em rela<;aoaos metais convencionais. Como ilustra<;ao

apresentamos, na figura 1.1, a curva do coeficiente do calor especifico em fun<;aoda T2, para

o fermion pesado CeCu2Si2. Observe que para T < 10K a curva sobe abruptamente, 0

que pode ser analisado melhor no grafico menor, onde para T ---+ 0 ===} I ,...,103. Para

temperaturas altas a curva obedece a lei T2 (linhas s6lidas) como no metal simples.

--•...llo::-,E 0600E

Figura 1.1: Razao do calor especifico pela temperatura em fun<;ao do quadrado da tem-

'peratura, para 0 fermion pesado CeCu2Si2. Para temperaturas altas, a curva e tipica de

urn metal simples, C(T)jT = ,+ BT2, (linha s6lidaL enquanto para T < 10 J{, veja na

inser<;ilO,0 coeficiente do calor especifico cresce abruptamente, tendo magnitude duas ordens

Similarmente ao calor especifico dos fermions pesados, a suscetibilidade magnetica

desses materiais exibe caracteristicas diferentes das dos metais normais. Na figura 1.2 apre-

sentaremos a curva do inverso da suscetibilidade magnetica em fun<;aoda temperatura [41, do

composto U2Zn17. A temperaturas altas a suscetibilidade magnetica tern 0 comportamento

da forma de Curie- 'Weiss, isto e, como se a suscetibilidade fosse devida aos ions magneticos,

x = AfT - Ocw, onde A e uma constante, e a temperatura de Curie-Weiss para fermions

pesados, Ocw e negativa; porem 0 inverso da suscetibilidade magnetica se desvia desse com-

portamento linear quando T < 101\ havendo urn crescimento da curva quando T ---+ O. Esse

efeito tambem pode ser observado no grcificomenor da suscetibilidade magnetica em fun<;ao

da temperatura, onde e quase 10 vezes maior que a suscetibilidade de Pauli, independente

da temperatura nos metais simples.

150

T (K)

T (K)

200

Figura 1.2: Inverso da suscetibilidade em fun<;ao da temperatura para 0 fermion pesado

U2Zn17. Para temperaturas altas, a curva tern 0 comportamento da Lei de Curie-Weiss,

x = AfT - Ocw. Entretanto, no limite T ---+ 0, hci urn crescimento abrupto da curva,

como pode ser observado da inser<:;ao,onde a suscetibilidade e quase 10 vezes maior que a

suscetibilidade de Pauli dos metais simples.

Dada a dependencia do coeficiente do calor especifico e da suscetibilidade com a

temperatura, isto e, ,(T) e X(T), a temperaturas baixas, para os sistemas de fermions,

alguns autores [5, 6] calcularam a razao de Wilson-Sommerfeld adimensional,

R _ X(O)/gJIl~J(J + 1)w - ,(0)/~2I{1 '

a qual pode comparar 0 aumento relativo entre ,(0) e X(O) para a maioria dos compostos dos

fermions pesados. Apresentamos, na figura 1.3 0 coeficiente do calor especifico em fun<;aoda

suscetibilidade magnetica [6] para varios compostos de fermions pesados que podem tornar-

se supercondutores, magneticos ou nao terem ordem alguma. A linha solida, represent a os

metais normais, isto e, os eletrons livres tern J = 1/2 e ,Ix = ~2K1/31l~, 0 que result a

na razao de Wilson-Sommerfeld igual a 1. As linhas tracejadas se distanciam da linha

do eletron livre para valores apropriados de J, para os diferentes compostos, por exemplo,

Ce(fl, J = 5/2), U(j2 e j3, J = 4) e Yb(jl3, J = 7/2). It importante observar que esses

materiais, mesmo variando seus estados fundamentais, estao sobre uma mesma linha, com a

razao de Sommerfeld proxima it unidade, igual it dos eletrons livres.

Vma propriedade de transporte que nao pode deixar de constar deste trabalho e a

resistividade dos sistemas de fermions pesados. Para isso, devemos antes de mais nada fazer

uma descri<;aodas ligas magneticas diluidas, as quais devido as suas caracteristicas proprias.

tern urn grande valor historico para 0 avan<;odos nossos estudos.

As ligas magneticas diluidas sao constituidas por atomos de metais de transi<;ao, de

natureza magnetica, por exemplo, Fe, Ce, Mn, La, ... ; dissolvidos em metais nao magneticos,

como Pb, Au, Cu, etc.. Os ions magneticos possuem 0 orbital d nao completamente

preenchido, portanto podem ter moment os magneticos localizados nao nulos, conseqiientemente

interagindo antiferromagneticamente com os eletrons de condu<;ao. Os momentos magneticos

localizados fazem com que a resistividade tenha urn minimo em uma temperatura carac-

teristica denominada Temperatura Kondo, Tk, dependente da concentra<;ao de impurezas.

A existencia do minimo na resistividade foi explicado qualitativamente por Kondo

[7, 8], usando teoria de perturbac;:ao de 2Q, ordem. Ele mostrou atraves dessa teoria de que

maneira as inversoes sucessivas dos momentos magneticos dos ions de impurezas devido aos

eletrons de conduc;:ao contribuiam para a resistividade da liga, para a qual resultou uma

4f 5fo • superconducting

o • magnetic

l\ •• nol superconductrngor magnetic

-N~ 1000

E£o

..c!!oE.•......

'"?..§. 100>-.

Figura 1.3: Coeficiente do calor espeeifico em func;:aoda suscetibilidade para varios compostos

de Fermions pesados. A linha s6lida e a curva da razao, 1/X = 71"2K~ /3J11, que para eletrons

livres J = ~, result a na razao de Wilson-Sommerfeld igual a urn. As linhas tracejadas se

distanciam da linha s6lida, para valores de J apropriados como P (J = ~), j2 e j3 (J ::: 4)

e p3 (J = ~).

contribui~ao proporcional a In liT. Apesar dos resultados perturbativos para 0 problema do

minimo da resistividade concordarem corn os resultados experimentais, para temperaturas

proximas a OJ{, eles discordam apresentado urn comportamento divergente para a curva da

resistividade, indicando portanto que teoria de pertuba~ao nao funciona nesse regime de

temperatura.

o problema da divergencia na resistividade desses materiais somente foi resolvido

malS tarde, por Wilson [5], usando 0 grupo de renormaliza~ao numerico. Na figura 1.4

apresentamos a eurva da resistividade por concentra~ao de impureza [8] ern fun~ao da tem-

peratura, para 0 fermion pesado CexLal_xPb3. Minimos na resistividade existem tambem

nesses materiais, onde os orbitais-f representam os momentos localizados. Observe que a

medida que a concentra~ao do ion de impureza Ce aumenta, a resistividade para de divergir,

isto e, existe uma diferen~a importante nas propriedades dos sistemas diluidos e sistemas

concentrados para temperaturas baixas. Esse efeito, de coerencia da rede, so e importante

a temperaturas baixas; para T > 60J{, a curva se comport a como In T, sendo independente

da coneentra~ao do Ceo

A maior parte desta tese e dedicada a estudar impurezas magneticas ern metais, e

uma variedade de artigos [3-5, 7-9] cobrem os topicos aqui poueo discutidos. Urn grande

mimero de trabalhos nessa area estao restritos a modelos que embora simplificados, contem

elementos fundamentais para a descri~ao dos fenomenos fisicos desses sistemas.

Na formula~ao desses modelos supoe-se que 0 ion de impureza, representado pelo

orbital- f ou orbital-d localizado, interaja corn a banda de condu~ao dos eletrons de onda-s.

Na se~ao seguinte, apresentamos e discutiremos alguns desses modelos.

Para 0 modelo de uma impureza, cujas propriedades fisicas foram determinadas

por calculos essencialmente exatos, nao podemos deixar de ressaltar que varias teenicas

participaram desse avan~o, dentre as quais mereeem destaque 0 ansatz de Bethe [10, 11], 0

metodo do grupo de renormaliza~ao [5, 6], 0 metodo de Monte Carlo [12], e a expansao 11N

[13].

Urn ingrediente importante, ausente no modelo de uma impureza, e que nao podemos

desconsiderar no modelo de duas ou de grupo de impurezas imersas em meio metalico, e a

competi<;ilOentre a intera<;iwentre os ions magneticos. chamada de RKKY [14]e a tendencia

de cada ion de impureza de se acoplar com os eletrons ao seu redor. Esta caracteristica,

propria desses materiais, constitui urn dos problemas que precisam ser discutidos e resolvidos

para que possamos explicar as propriedades fisicas desses sistemas .

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1.2 Modelo de uma impureza

o Hamiltoniano Kondo [7, 8] consiste de uma impureza magnetica, de SpIll 1/2,

acoplada a urn gas de eletrons via intera<;ao de troca antiferromagnetica, J; e definido par:

onde 0 primeiro termo represent a a energia cinetica dos eletrons de condu<;ao, e 0 segundo

a intera<;ao antiferromagnetica entre 0 spin do eletron de condu<;ao Sc , e 0 spin do ion de

impureza 5. Sendo

...• 1 ~ i(k-k').rct (!....__)c __Sc = - L....- e k,il 2 (J a ,a' k' ,a' ,

N k- ki - -,, ,(1,0'

onde N e 0 mimero de vetores k e (J e a matriz de spin de Pauli.

Na ausencia de campo magnetico 0 espalhamento dos eletrons de conducao pelas

impurezas causa excita<;oes eletron-buraco com energias arbitrariamente pequenas. Essas

excita<;oes causam divergencias logaritmicas, na regiao infravermelha, para baixas tempe-

raturas. 0 principal problema consiste em remover essas divergencias logaritmicas, para

temperaturas baixas. Como ja citamos anteriormente, Kondo, usando teoria de pertuba<;ao

de 2Q,ordem nao conseguiu solucionar esse problema. 0 ccilculo perturbativo falha para

temperatura T ~ Tk•

o problema das divergencias nas curvas das propriedades fisicas do modelo Kondo,

para temperaturas baixas somente foi solucionado quando Wilson [5]usou 0 metodo do grupo

de renormaliza<;ao numerico para descrever 0 sistema de ions de impureza em meio metalico.

Foi tambem observado que, para temperaturas altas, T ~ Tk, a impureza fica, somente,

fracamente acoplada ao gas de eletron e 0 sistema se comport a essencialmente como de spin

livre. Para temperaturas baixas, T « Tk, e acoplamento antiferromagnetico, a impureza

esta fortemente acoplada ao eletron ao seu redor, e os demais eletrons comportam-se como

eletrons livres, sendo espalhados pelo spin da impureza num deslocamento de fase 1r/2; 0

spin da impureza e os eletrons de conduc;iw formam urn estado singleto. Para temperaturas

pr6ximas a Tk existe uma transic;ao entre essas duas situac;oes distintas. Para 0 regime de

temperatura T ~ Tk, 0 Hamiltoniano do modelo e dito estar num ponto fixo de acoplamento

fraco (J = 0), e, para 0 regime de temperatura T ~ Tk, ele e dito estar no ponto fixo de

acoplamento forte (J = -00).

No modelo descrito por Wilson [5, 17], para resolver 0 problema Kondo, foi definida

uma func;ao <P(y), denominada func;ao universal (isto e, independente de J e dos efeitos

das larguras das bandas), que desempenha urn papel importante para 0 entendimento de

suas propriedades termodinamicas. A suscetibilidade magnetica da impureza, para energias

KBT ~ D, onde D e a largura da banda de conduc;ao. e dada pelo argumento dessa func;ao,

onde 9/-lf3/n e a razao giromagnetica. Na figura 1.5 a func;ao <P(y) e representada pela

abcissa superior do grafico, sendo seu argumento descrito pelo eixo vertical direito. 0 ponto

essencial da (1.4) e que X(T) depende de J e sofre os efeitos da largura da banda atraves da

1/2 ( 1)Tk( J) ~ D(pIJI) exp - plJI '

para plJI ~ 1, onde pea densidade de estados dos eletrons de conduc;ao.

Tais caracteristicas podem ser analisadas na figura 1.5. Para temperaturas altas,

T ~ Tk, X se aproxima do valor dado pela lei de Curie, ~(9/-lf3? / KBT, regiao denominada

de regime de acoplamento fraco (J = 0). Para T 2:: Tk, X e tambem do tipo Curie-Weiss.

porem tern seu momenta magnetico efetivo diminuido, essa regiao de temperatura e chamada

de regime de momento local. Por outro lado, para T ~ Tk, denominado de regime de

acoplamento forte (J - -00), 0 momento local e compensado pelos eletrons de condu<;ao e

TX se aproxima de zero.

¢!(y)/ln (10)

0.252 -I 0 I 2 3 4 5 60.0

0.20 -0.2

0.15 -04keTX

y.QfLe)

20.10

-0.6

O.OS -0.8

000 -IKf' 10° 10' Id 103 10· 10'

.-1.010 10

TIT.

Figura 1.5: Curva universal da suscetibilidade magnetica f{BTX/(g/-lB)2 em fun<;ao de

'. In T /Tk, result ado dos calculos numericos obtidos por Wilson [5] para 0 modelo Kondo.

Para T = Tk, TX = 0.701. No mesmo grafico e represent ado a curva [5, 17] da fun<;ao

o novo metodo numerico definido por Wilson, e a dependencia das propriedades

fisicas em Tk, para baixas temperaturas, como previsto tambem por Nozieres [18, 19], cujas

curvas das suscetibilidades e calor espedfico a temperaturas baixas foram obtidas por meio

da teoria de liquido de Fermi, produziram urn grande avan<;ono tratamento desse modelo e de

modelos semelhantes, tais como 0 de Anderson [15-17, 20, 21], e 0 de Vigman e Finkelshtein

[22], para 0 modelo de uma impureza, os quais discutiremos nas se<;oesseguintes. Enfim,

muitos corpos, para 0 calculo de propriedades termodinamicas e propriedades dinamicas de

diferentes mode1os.

contribuido para 0 estudo de fenomenos fisicos de impurezas magneticas em metal foi 0

introduzido por Anderson. Esse Hamiltoniano inclui dois fatores importantes que podem

afetar 0 eletron no est ado da impureza: urn deles e a hibridizac;ao 11, do estado de impurezas

com os estados da banda de conduc;ao e 0 outro eo efeito de correlac;ao eletronica (repulsao

Coulombiana), U, entre os eletrons- f, localizados, de spins opostos no nivel da impureza. 0

Hamiltoniano de Anderson [20, 21] pode ser descrito por

onde Ck~~ e 0 operador que cria urn eletron de conduc;ao de spin a, Cft ~ e 0 operador que,u ,u

cria urn eletron- f com spin a na impureza, e n f,if e a ocupacao de spin no nive1da impureza

de energia C f .

o metodo do grupo de renormalizac;ao numerico descrito por Wilson para 0 modelo

Kondo foi gratificantemente estendido por Krishna-murthy, Wilkins e Wilson [15-17] para 0

modelo de Anderson. JEsses autores dividiram a discussao dos resultados das propriedades

fisicas calculadas por eles em duas partes, uma conhecida como modelo simetrico e outra

como modelo assimetrico. Nessa sec;aonao discutiremos 0 modelo de Anderson assimetrico,

por ser este desnecessario ao nosso estudo.

No modelo de Anderson simetrico, 0 Hamiltoniano, (1.6), possui simetria partieula-

buraco, isto e, as transformac;5es Cir ~ C~ e Cf ~ -C} deixam HA invariante. Nesse

modelo, estabelecido como E f = -U /2, a repulsao forte tende a conservar exatamente urn

eletron localizado no sitio-f, de modo que a energia de uma unica ocupa~ao do sitio- f e-U /2, e a energia para as ocupa~oes dupla e vazia e zero.

as Hamiltonianos de Anderson e de Kondo podem ser relacionados atraves de uma

transforma~ao canonica, denominada transforma~ao de Schrieffer-Wolff [23], valida somente

no limite U ~ f, onde f = P71V2, e a largura do nivel f.

A condi~ao f = 0 e U - 00 ===} -E f - 00, favorece somente a ocupa~ao do

orbital- f por urn unico spin eletronico. Entretanto, se U ~ f, mas f f=. 0, os niveis unica-

mente ocupado de spin para cima e 0 unicamente ocupado de spin para baixo combinam-se

forman do urn estado singleto e urn tripleto, separados por uma energia f = f{BTk, possibi-

litando excita~6es virtuais para os estados duplamente ocupados ou vazios.

No limite U ~ f, os para-metros estao relacionados por;

SfplJI = 1rU'

onde J e 0 acoplamento (antiferromagnetico), definido na se~ao anterior. A temperatura

(f)~ (1rU)Tk = D U exp - Sf .

Na figura 1.6, apresentamos urn diagrama de fiuxo do modelo de Anderson simetrico

[24], que descreve tres pontos fixos identificados pelos quadrados sobre os eixos, os quais saG:

(i) 0 ponto fixo do orbital livre corresponde f = U = O. Nesse caso, temos a banda

de condu~ao dos eletrons desacoplada da impureza, a qual possui quatro est ados

degenerados: vazio, unicamente ocupado corn eletron de spin para cima, ocupado

corn urn eletron de spin para baixo, e duplamente ocupado. A suscetibilidade,. d' 'KBTX 1magnetlca a Impureza e (9J.1.I3)2 = S'

(ii) 0 ponto fixo de impurezas congelada corresponde a U = 0 e r ~ 00. Assim, a

impureza esta fortemente acoplada ao spin do eletron de conduc;ao. A suscetibili-

dade magnetica e (KEY); = O. Esse ponto fixo e identico ao ponto fixo J ~ -009J1,{3

apresentado na discussao do modelo Kondo.

(iii) 0 ponto fixo de momento local corresponde a r = 0 e U ~ 00. Nesse caso a

banda de conduc;ao esta desacoplada da impureza, os niveis da impureza vazio

e duplamente ocupado tern energias muito altas, de modo que nao contribuem

para a energia termica do sistema; somente as configurac;oes degeneradas unica-

mente ocupadas de spin para cima ou para baixo contribuem. A suscetibilidade

magnetica e ~~~:; = ~. Esse ponto fixo e identico ao ponto fixo J = 0 do modelo

Kondo.

Figura 1.6: Diagrama de fluxo para 0 modelo de Anderson simetrico. Para r = U = 0;

o ponto fixo de orbital livre e instavel em relac;ao as perturbac;oes r e U. Para U = 0 e

r ~ 00, 0 Hamiltoniano e urn ponto fixo estavel de impureza congelada. Para r = 0

e U ~ 00, 0 Hamiltoniano torna-se urn ponto fixo de momento local, sendo instavel em

A curva da suscetibilidade magnetica da impureza para 0 modelo de Anderson

simetrico, figura 1.7, e representada para 0 caso r ~ U que descreve a transi~ao do regime do

ponto fixo de orbital livre para 0 ponto fixo de impureza congelada; TX nunca excede a 1/8.

Para 0 caso em que r ~ U, a transi~ao ocorre do ponto fixo de orbital livre para 0 ponto

fixo de momento local e depois vai para 0 ponto fixo de impureza congelada, portanto, K(·BT)~glJ.{3

cresce de 1/8 para 1/4 e diminui para zero; 0 ultimo passo corresponde a curva universal de

Wilson, que apresentamos na figura 1.5, para 0 modelo Kondo.

I r=o4keTX

i(g""e) 2

I'8

configura~oes de spins da impureza, result a na suscetibilidade de orbital livre igual a ~, a

cetibilidade aumenta em dire~ao ao regime de momento local, de valor ~. Para temperaturas

Como indicado nas curvas da suscetibilidade apresentadas acima, podemos ter curvas

qualitativamente diferentes, dependendo dos parametros escolhidos para descrever 0 sistema.

Vma discussao mais detalhada do problema pode ser visto nos trabalhos de Krishna-murthy,

Hamiltoniano de Vigman e Finkelshtein

A solu<;ao numerica para 0 calculo de propriedades termodinamicas do modelo

Kondo usando 0 metodo de grupo de renormaliza<;ao numerico apesar de apresentar 6timos

resultados, exige urn custo do tempo computacional bastante alto, 0 que dificultava princi-

palmente 0 avan<;odas pesquisas das propriedades flsicas de modelos complexos.

Vigman e Finkelshtein [22]propuseram urn Hamiltoniano equivalente ao Hamiltoni-

ana de Kondo, embora desprovido de spins. Essa caracterlstica 0 torna mais conveniente do

ponto de vista de calculos numericos que 0 de Kondo. Esse Hamiltoniano foi definido como

onde 0 primeiro termo represent a a banda de condu<;aodo eletron corn energia E:k; 0 segundo

termo a hibridiza<;ao entre a banda de condu<;aoe 0 nivellocalizado- f, onde a interac;ao V,

define uma taxa de transferencia de carga, r = p7r V2, entre a banda de conduc;ao e 0 nivel de

impureza; 0 terceiro termo represent a 0 potencial espalhador entre os eletrons- f e os eletrons

de conduc;ao.

Devemos ressaltar que 0 Hamiltoniano do modelo de Vigman e Finkelshtein e uma

extensao do definido por Falicov, Kimball e Ramirez [25]

onde, C k~~ e 0 operador de aniquila~ao de urn eletron no est ado Te, da banda de condu~aoJ.I., ,(7

/1, com spin a e bi,5 e 0 operador de aniquila~ao de urn buraco de spin a no nivellocalizado

o modelo de Falicov e Kimball [25] tambem conhecido como modelo de Falicov,

Kimball e Ramirez [26] foi empregado, inicialmente, para estudar transi~ao semicondutor-

metal nos oxidos de metais de transi~ao, tais como: V02, V203, Ti20

3e no compos to

5mB6• As transi~oes de fase resultaram ser em muitos casos de 1Q. ordem, entretanto.

elas tambem podem proceder do crescimento anomalo das propriedades termodinamicas de

alguns desses materiais. tais como 0 5mB6, Ti203, para certo intervalo de temperatura.

Este fato sugere que esses materiais possuem moment os magneticos localizados e que eles

Tomando como base a teoria de Landau sobre liquidos de Fermi, na qual 0 sistema

e represent ado por pares eletron-buraco, que se localizam proximos ao nivel de Fermi para

temperaturas proximas de zero, esses autores relacionaram a transi~ao semicondutor-metal

com a intera~ao Coulombiana eletron-buraco entre os estados dos eletrons de condu~ao e os

orbitais localizados. Atraves desse modelo, foram determinados a energia do gap .6. e 0 valor

de G critico para varios compostos, os quais concordaram favoravelmente com os resultados

No estudo do composto de valencia fiutuante, por exemplo, 0 5mB6, supoe-se que

antes da transi~ao do eletron do orbital localizado para a banda de condu~ao, haveria urn

ion Sm++ sem momento localizado, isto e, J = 0, e apos a transi~ao ele estaria com urn

ion Sm+++, com momenta localizado J = 7/2. Isto indica, portanto, que a transi~ao

metal-semicondutor pode ocorrer via transferencia de eletrons dos orbitais localizados para

a banda de condu~ao. Conseqiientemente, alguns autores [27-29] passaram a incluir 0 termo

de hibridiza~ao, V, entre os orbitais de niveis localizados e os niveis da banda de condu<;ao,

Posteriormente, Oliveira e Wilkins [30]utilizando 0 modelo de Vigman e Finkelshtein

e sua equivalencia com 0 modelo de Kondo, obtiveram a curva da suscetibilidade magnetica

e do calor especifico do sistema, como mostramos na figura 1.8. Esses dois modelos estao

relacionados. de maneira que para urn dado valor de J. obtem-se valores apropriados de G

e V para se determinar as propriedades termodinamicas do sistema.

Para mostrar a equivalencia entre os dois modelos, esses autores utilizaram 0 Hamil-

toniano de Kasuya e \'osida [31, 32] para 0 problema Kondo, descrito por:

HK = LCkC~'IiCk.1i - ~.L ~ (C~TCkllS- + C~lCkllS+) - ~I ~ (C~TCk'T - C~lCkll) Sz ,k,1i k,k' k,k'

(1.11)

onde, comparando 0 Hamiltoniano de Vigman e Finkelshtein com 0 Hamiltoniano Kondo.

Antes de discutir essa questao, e conveniente observar que 0 HVF e invariante sob a

transforma<;ao de simetria particula-buraco, como 0 HK.

Ao comparar os dois Hamiltonianos foi observado que 0 termo proporcional ao po-

tencial espalhador G de HVF, 0 qual produz uma defasagem ±8G nos eletrons de condu<;ao,

corresponde ao termo JII, do modelo Kondo, que represent a 0 espalhamento dos eletrons de

condu<;ao. No entanto, 0 termo de hibridiza<;ao, V, entre 0 est ado da impureza e os niveis da

banda de condu<;ao do HVF esta relacionado com 0 termo proporcional a J.L do HK

, 0 qual

represent a a inversao dos moment os de spins da impureza devido aos spins dos eletrons de

condu<;ao. Dutro componente da identifica<;ao entre os dois modelos foi relacionar 0 orbital

desocupado com 0 spin para baixo e 0 orbital ocupado com 0 spin para cima.

A partir dessa discussao qualitativa, Vigman e Finkelshtein mostraram que para as

fun<;5esde parti<;ao dos dois modelos serem iguais, e necessario que os parametros G do Hv F

(7rpG)aretg -4- ,

e

8JII = -aretg ( 7r :JII) .

Entretanto, uma relac;ao matematica entre V e J.L nao pode ser definida, como

ja discutido em alguns trabalhos [22, 33]. Utilizando esse modelo, Oliveira e \Nilkins [30]

mostraram ser possivel relacionar esses dois paramentros, atraves do mapeamento da susce-

tibilidade de carga do modelo de Vigman e Finkelshtein nos resultados ja conhecidos para a

mesma propriedade fisica do modelo Kondo.

Para 0 caso isot6pico, em que temos J = JII = J.L, temos nos dois modelos, a

expressao abaixo, que foi obtida por Wilson [5] para 0 modelo Kondo:

Tk = 0.85D(pJ)1/2 exp ( - p~ )

sendo 9 0 fator de Lande e J1B 0 magnet on de Bohr.

Assim, Oliveira e Wilkins calcularam graficamente as curvas da suscetibilidade de

carga do modelo de Vigman e Finkelshtein para varios valores do potencial, V, e ajustaram

esse parametro para obter 0 result ado numerico da equac;ao de Wilson.

Atraves desse artificio, Oliveira e Wilkins calcularam a suscetibilidade magnetica

e 0 calor especifico do modelo Kondo, com baixo custo computacional. As curvas dessas

propriedades termodinamicas para urn valor de J e G apropriados, estao apresentados na

figura 1.8 confirm ando 0 carater universal do modelo Kondo do sistema de impureza unica.

Para baixas temperaturas a dependencia das curvas com Tk esta em acordo com os resultados

obtidos por Wilson [5]. Esses resultados foram confirmados alguns &nos mais tarde, pela

solu~ao exata do problema Kondo atraves do metodo de Bethe ansatz [10, 11].

Tendo em vista que 0 problema de uma impureza est a solucionado, 0 passo seguinte

e tentar resolver 0 problema de duas. Infelizmente, cada urn dos diferentes metodos e mo-

delos tern suas proprias limita~6es; por exemplo , 0 metodo de Bethe ansatz que calcula as

propriedades termodinamicas para 0 modelo de uma impureza, nao consegue tratar as de

grupo de impurezas. Na proxima se~ao introduziremos alguns resultados de modelos de duas

impurezas as quais serao valiosos para as discuss6es do nosso trabalho.

use - SERVI<;:O DE BIBLIOTECA EINFOR'v A<;:AO

r*/30STRONG- CROSSOVERCOUPL.

C~:p ~I A0.1 .

C1mp

kB 0.00

30r* 0/30WEAK BAND-COUPL. EDGE

kBTX,mp

0.1 (9/-1.B)2

TIT 2 0.0K

Figura 1.8: Curvas universais [30] para 0 calor especifico Cimp/ KB e suscetibilidade da

impureza KBTXimp/(g/-lB)2 em func;aode T /TK para 0 modelo de Vigman e Finkelshtein [22].

As linhas s61idas que unem os circulos sao obtidas para valores de V = O.l1D e pC = 0.67

o que corresponde ao modelo Kondo pJ = -0.15. As linhas tracejadas sao resultados do

modelo de nivel ressonante, de largura de ressonancia f* = TK/(27r x 0.103). Na inserc;ao,

tem-se 0 mesmo gr<ifico na escala de temperatura linear. As linhas ponto tracejadas A

e B indicam a concordancia entre os resultados numericos e os do modelo Kondo [5, 10,

respectivamente. 0 eixo horizontal acima mostra quatro regioes em que as escalas de energia

f* e D dividem a escala de temperatura.

1.3 Modelo de duas impurezas

lima situa<;ao relevante para se entender sistemas eletronicos correlacionados seria

analisarmos 0 comportamento entre urn par de ions de impurezas, ja que existe dificuldades

numericas em tratarmos grupo de impurezas em meio metalico. Mesmo estando 0 modelo

de duas impurezas longe de representar os sistemas reais de aglomerados de impurezas,

encontrados na natureza, e aquele mais acessivel para 0 tratamento numerico do ponto de

vista do custo computacional, apos 0 modelo de uma impureza, e nao menos import ante pois

ainda nao tern suas propriedades fisicas praticamente resolvidas.

Particularmente, com a finalidade de descrever urn modelo para urn sistema de im-

purezas, e conveniente que fa<;amosuma extensao do Hamiltoniano Kondo de uma impureza,

e 0 spin do eletron de condu<;ao no sitio Rm.

Como urn exemplo ilustrativo do modelo de duas Impurezas apresentamos nessa

se<;ao0 Hamiltoniano Kondo descrito por Jones e outros [34-37], cujos resultados quanti-

tativos significantes foram obtidos usando 0 metodo do grupo de renormalizac;ao numerico.

Esses autores incluiram explicitamente, no Hamiltoniano Kondo de duas impurezas, urn

termo de intera<;ao entre os spins dos momentos localizados das impurezas, denominado de

intera<;ao RKKY [14] (Ruderman, Kittel, Kasuya e Yoshida), de modo que 0 Hamiltoniano

e a energia cinetica dos eletrons de condU<;ao.

e a energia de intera<;ao entre os spins dos eletrons condu<;ao sc( r1) e sc( r2) os spins das

irnpurezas 51 e 52 respectivarnente. Sendo

o operador ferrni6nico que aniquila urn eletron no estado de Wannier centrado na posi<;aor:.

e a intera<;ao rnagnetica, RK KY, entre os spins das irnpurezas 51 e 52.

Nesse modelo a origem de coordenadas esta a meio caminho entre as impurezas, isto

-+ _ Rr1 = -r2 = -

2

onde Rea separac;ao entre as impurezas.

Sendo R finito, '/{{r1) e 'l/J(r2) sao operadores de Wannier nao ortogonais, e no intuito

de incluir ortogonalidade no problema, sao introduzidas combinac;oes lineares dos est ados de

conduc;ao de ondas-s em redor dos sftios das impurezas, denominados par (e) e fmpar (0),

o sistema conserva simetria de paridade, isto e, a troca entre os sftios - R/2 por

R/2 e vice-versa nao modifica a ffsica do problema.

o Hamiltoniano de interac;ao de troca, (1.21), e entao reescrito na forma [34]:

HJ = ~ (51 + 52)' (JeCk~aCke + JoCk~aCkJ + (51 - 52)' (JJeJoCk~aCko + H.C),k,k'

(1.27)

sao as constantes de acoplamento, Je e Jo, par e fmpar respectivamente. A dependencia

-da constante acoplamento com 0 vetor de onda k dificulta os calculos; considerando que

exista interesse nas propriedades ffsicas do sistema para baixas energias, Jones e outros

aproximaram 0 modulo do vet or k pelo momento de Fermi, KF.

a qual e uma func;ao que depende da distancia entre as impurezas e que se anula quando

R ---+ 00. A figura 1.9 mostra a dependencia correta de 10com R, obtida sem a aproximac;ao

If 1---+ KF.

A interac;ao RK KY, tern sido colocada explicitamente em alguns trabalhos [34-37},

ainda que ela provenha do acoplamento das impurezas via banda de conduc;ao. Contrari-

amente ao modelo Kondo de uma impureza. onde para temperaturas baixas, somente Tk

define a escala de energia do problema, havendo uma universalidade em torno de Tk, no mo-

delo de duas impurezas existe uma competic;ao entre a interac;ao RK KY, 10,que represent a

a interac;ao entre os spins localizados dos ions de impureza, e a temperatura Kondo, Tk, que

represent a a interac;ao entre os spins dos eletrons de conduc;ao e os spins das impurezas.

A competic;ao entre 10e Tk govern a a fisica do problema de duas impurezas, e levanta

uma duvida: se 0 estado fundamental do modelo de duas impurezas e urn singleto, como no

modelo de uma impureza, determinado pela interac;ao indireta entre os eletrons de conduc;ao

e spin de impureza, ou pela interac;ao direta impureza-impureza.

Jayaprakash, Krishna-murthy e Wilkins (38] foram os que comec;aram a estudar

este comportamento; seu metodo permitia gerar urn Hamiltoniano efetivo a temperatura

de conduc;ao, produzindo urn Hamiltoniano efetivo cujos termos de interac;ao dependem da

largura da banda. Essa dependencia foi encontrada atraves de relac;ao de recorrencias difer-

entes, indicando em ultima analise a dependencia das constantes de acoplamento do sistema

sobre 0 Hamiltoniano efetivo. Os autores obtiveram a curva da suscetibilidade magnetica da

impureza, figura 1.10, para 0 caso em que os spins interagiam ferromagneticamente, 10> 0,

1.4

1.2N 1.0~

-::>3>N 0.8c0N 0.6"-~0:::

I.L. 0.4.::t:.'--"

0

0.2

0.0

-0.20.0 2.0 4.0 6.0

kFR

ou antiferromagneticamente 10 < O. Os seus resultados sac precisos para temperaturas altas,

correspondendo a dois moment os locais livres. Entretanto, as suas equa<;oes de escala fa-

lham para temperaturas menores que Tk/lO. Assim, a identifica<;ao,por eles feito, a situa<;ao

10~-Tk como urn sistema de dois modelos Kondos isolados, criou controversias.

A controversia se manifestou quando Varma e Abrahams [39), usando teoria de

pertuba<;ao encontraram divergencias logaritmicas no calculo da intera<;ao entre moment os

spins, de modo que a constante de acoplamento entre os spins localizados das impurezas,

10, mesmo sendo muito pequeno nao poderia ser desprezivel. Apesar de seu metodo nao ser

quantitativamente confiavel para temperaturas baixas, eles foram os primeiros a predizer a

forte infiuencia da intera<;ao R1{ ]{}" sobre a temperatura Kondo.

I cross :sa 2 : cross: :cross: 2LM2FT: over : : over: FF2 :over:

.6

N .5lD

::L40)

""'-0-

.3E«I-

.2lD~

.,0

TKA TK- TK ILog T

AFM- -FM--2.2 0

f .IO/TtcCRITICAL PT.

CORRELATEDKONDO

FIXED PT.

LOCAL MOMENTSINGLETFIXED PT.

Nesse calculo aparece tambem uma competi<;ao entre 10 e Tk, figura 1.11 , que define

dois pontos fixos estaveis: (i) para 10 ~ -00, a intera<;ao antiferromagnetica forte RK KY

acopla os dois spins localizados das impurezas, de forma que eles formam urn est ado fun-

damental singleto, e estao completamente desacoplados da banda de condu<;ao, e portanto,

o deslocamento de fase dos eletrons de condu<;ao e nulo; esse ponto fixo e denominado de

ponto fixo de impurezas acopladas. De outra forma, (ii) para 10 ---+ 00 a interac;ao e ferro-

magnetica; as impurezas se acoplam aos eletrons de conduc;iwao seu redor, porem os outros

eletrons sofrem urn deslocamento de fase de 7r /2; esse ponto fixo denornina-se ponto fixo de

impureza congelada. Os deslocarnentos de fase diferentes nos dois pont os fixos os tornarn

distintos.

--(100.

C 12.0

~ 10.0

c: 8.0.-~ 6.0.E

0.0-7.0 -5.0 -3.0 -1.0 1.0 3.0 5.0 7.0

lo/TK

Essa diferenc;;ade comportamento entre os dois pontos fixos estaveis e separada por

urn ponto critico. sendo identificado como urn ponto fixo instavellocalizado em fo/Tk

~ -2.2.

Consequentemente, para fo > -2.2Tk, no regime ferromagnetico, 0 est ado fundamental e

definido pelo ponto fixo de impureza congelada e para fo < -2.2Tk, no regime antiferro-

magnetico 0 estado fundamental e definido pelo ponto fixo de impurezas acopladas.

Uma import ante questao que passou a ser discutida no modelo de duas impurezas,

foi entao a existencia ou nao desse ponto fixo instavel, em fo == -2.2Tk, ja que nos calculos

de Jones, usando 0 metodo de grupo de renormalizac;ao numerico, as propriedades dinamicas

e termodinamicas apresentam comportamentos anomalos pr6ximos a esse ponto. Assim, por

exemplo, a suscetibilidade magnetica staggered assim como 0 calor especifico do sistema de

duas temperaturas, resultados obtidos por Jones na figura 1.12, divergem para valores de

fo/Tk pr6ximos a -2.2.

Affleck e Ludwig [40], em 1992, confirmaram os resultados obtidos por Jones, atraves

de metodos da invariancia conforme, isto e, eles confirmam a existencia do ponto critico, 0

qual deve acontecer em todo Hamiltoniano Kondo que possui simetria partfcula-buraco.

E no entanto, contrariamente a esses resultados Fye e Hirsch [41, 42] usando metodo

de Monte Carlo, e Schlottmann e Rasul [43] usando 0 tratamento do grupo de renormali-

zac;ao numerico, mostraram que as propriedades termodinamicas desse sistema saG finitas,

inexistindo, portanto, 0 ponto critico instavel.

Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramirez

Assim como no modelo Kondo de duas impurezas se faz uma extensao do modelo

Kondo de uma impureza para estudar sistemas eletronicos correlacionados, nesta sec;ao,para

descrever 0 sistema de duas impurezas, faremos uma extensao do Hamiltoniano de Vigman

e Finkelshtein [22]ou de Falicov, Kimball e Ramirez [25]. 0 fato que nos motiva a descrever

o modelo de duas impurezas at raVes do Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramirez e que

o sistema desprovido de SpIllSe, portanto. 0 torna simples numericamente. Como ja foi

observado no Hamiltoniano de Vigman e Finkelshtein de impureza tinica, 0 custo do tempo

computacional para 0 calculo de propriedades termodinamicas, usando 0 metodo do grupo

de renormaliza~ao numerico, e menor que em outros Hamiltonianos. Dada a sua possivel

equivalencia com 0 Hamiltoniano Kondo, 0 Hamiltoniano de Falicov e Kimball podeni ser

de grande contribui~ao para que se compreenda melhor 0 problema de sistemas de muitos

o Hamiltoniano de Falicov, Kimball e RamIrez [25, 26] (sem spins), para 0 modelo

He = L€;;C1C;;k

represent a os est ados da banda condu<;ao de urn metal hospedeiro. Cl (C;;) cria (aniquila)

urn eletron na banda de condu<;ao com energia c;;,

represent a os estados das duas impurezas CJl (Cn) cria (aniquila) urn eletron no nivel 1

Hi-e = V L [Clei;;.R/2CJ1 + Cle-i;;oR/2Cj2 + HoC.];;

use

represent a 0 acoplamento entre os estados de impurezas e de condu~ao, permitindo assim

uma transferencia de carga do nivel de impureza para a banda de condu~ao, via a intera~ao

represent a a intera~ao eletrostatica entre urn eletron localizado no est ado de impureza e os

eletrons da banda de condu~ao, onde Rea distancia entre as impurezas.

No capitulo 3 e 4 deste trabalho, faremos uma discussao mais detalhada do Hamilto-

niano de Falicov, Kimball e RamIrez, assim como uma aplica~ao do nosso metodo numerico

a esse modelo tambem sera apresentado. Consequentemente, analisaremos as rela~oes exis-

tentes entre 0 Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramfrez (sem spins) e 0 Hamiltoniano

Kondo (corn spins), para 0 modelo de duas impurezas, a fim de calcularmos as propriedades

1.4 Resultados recentes

o Hamiltoniano de Anderson ou de Kondo para 0 modelo de duas impurezas tern

sido ainda assunto de muitas investiga<;oes, como mencionamos anteriormente, ja que urn

entendimento completo de suas propriedades fisicas nao tern sido alcan<;ado. 0 quadro

result ante da competi<;ao entre a intera<;ao RK KY, 10, e a temperatura Kondo, Tk, ainda

domina 0 problema desde 0 aparecimento do ponto critico instavel predito por Jones e

outros [34-37], no modelo Kondo e confirm ado por Affleck e Ludwig [40]. Contrariamente,

nos calculos feitos com 0 Hamiltoniano de Anderson pelo metodo de Monte Carlo Quantico

[41, 42], Slave Boson [44], e tecnicas de grupo de renormaliza<;ao numerica [45-47], nao foi

descoberta divergencia na suscetibilidade staggered no modelo de duas impurezas.

Neste trabalho, uma nova abordagem do grupo de renormaliza<;ao numerica, atraves

de dois parametros de discretiza<;ao A e z, os quais sao essenciais nos calculos de propriedades

de excita<;oes [48-51], foi empregada 0 Hamiltoniano de Anderson de uma impureza e 0

Hamiltoniano de Falicov e Kimball de dois centros, para 0 calculo de suas propriedades

termodinamicas.

Paralelamente ao nosso trabalho; Silva e Oliveira [52] desenvolveram uma outra

tecnica de calculo, ligeiramente diferente da nossa, e a aplicaram no modelo de Anderson

de duas impurezas (com spins). Usando simetria de paridade para 0 problema atribuem

aqueles autores valores diferentes para 0 parametro z nas partes par e impar da banda de

condu<;ao. Essa nova tecnica, assim como a que nos desenvolvemos, reduz 0 custo do tempo

computacional com 0 erro implfcito do grupo de renormaliza<;ao numerico, e permitindo

trabalhar com valores grandes do parametro de discretiza<;ao A.

Para 0 modelo de Anderson, esses autores obtiveram os diagramas de fluxo de energia

e suscetibilidade magnetica da impureza para 0 limite de alta correla<;ao Coulombiana na

impureza. Para 0 limite de acoplamento ferromagnetico, urn efeito Kondo de dois estagios e

obtido, figura 1.13 (a). Para 0 acoplamento antiferromagnetico uma competi<;aoentre 0 efeito

Kondo e a intera<;ao RK KY antiferromagneticamente e observado. A defasagem no est ado

fundamental Kondo e de 7r /2 enquanto nunhuma defasagem e obtida no estado singleto

antiferromagnetico, como siw apresentados nas figuras 1.14 (a) e 1.14 (b) respectivamente.

o ponto critico entre 0 est ado singleto I~ondo e 0 singleto antiferromagnetico se

manifesta nos diagramas de fiuxo de energia, man tendo as energias num patamar constante,

indicando assim que a suscetibilidade magnetica deve se anular no ponto critico represent ado

na figura 1.13 (b), pelos espa<;osvazios sobre 0 eixo horizontal.

oIe-'I~ le-17 le-15 le-13 le-ll le-O~ le-U7 le-Oo 0.001 ().l

IcBT/D

1,.= 0$ = 41v = 100.000V = 1.1180

A = 10.0000

ole-19 1e-17 le-15 1e-13 Ie-ll le-09 le-07 Ie-Do 0.001 0.1

IcBT/D

• = -0.000W19t,1.,'$ = 0.0000

V = 100.000V = 1.1180

Jt. = 10.0000

Figura 1.13: (a) e (b) Curvas [52]dasuscetibilidademagneticadaimpurezaKBTXimp/(9f.LB)2

em fun<;iwde KBT / D para 0 modelo de Anderson de duas impurezas. Na figura (a) no limite

de acoplamento ferromagnetico aparece urn efeito Kondo de dois estagios. Na figura (b) para

o acoplamento antiferromagnetico existe uma competi<;ao entre 0 efeito Kondo e a intera<;ao

Figura 1.14: (a) e (b) diagramas de fluxo de energia [52] em func;;ao do mimero de iterac;;ao

impar. As figuras (a) e (b) se complement am, most ran do que h<imudanc;;a de defasagem, do

est ado Kondo para 0 estado antiferromagnetico, ou seja de 7r/2 para zero, respectivamente.

1.5 Organiza~ao geral do trabalho

Este capitulo foi utilizado para fazer urn histori.co do estudo de impurezas magneticas

imersas em metais nao magneticos e, portanto, apresentamos modelos e metodos utilizados

para a compreensao de sistemas eletronicos correlacionados, objetivando obter resultados

necessarios para a compara<;ao com 0 nosso trabalho.

No capitulo 2 e desenvolvido uma tecnica de calculo, que e uma extensao do grupo

de renormaliza<;ao numerico, originalmente desenvolvido por Wilson [5], a qual e aplicada ao

modelo de Anderson de nivel ressonante de uma impureza. Resultados para a suscetibilidade

magnetica da impureza sao obtidos e comparados com os de outros autores [10, 11, 30].

No capitulo 3 e apresentado urn procedimento numerico, atraves do grupo de renor-

maliza<;ao, para diagonalizar 0 Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramirez para 0 sistema

de duas impurezas. Sao discutidos alguns casos particulares do modelo. Sao calculadas e

discutidas as suscetibilidades carga do sistema, incluindo aquele em que R ~ 00 isto e, as

impurezas estao infinitamente afastadas e 0 modelo recai no de uma impureza.

No capitulo 4 objetivamos verificar se ha equivalencia entre 0 Hamiltoniano de Fali-

cov, Kimball e Ramirez e 0 Hamiltoniano Kondo para 0 modelo de duas impurezas; inicial-

'.mente fizemos uma analise qualitativa dos modelos, deduzindo expressoes que relacionam

os dois Hamiltonianos. Posteriormente, mostramos a nao equivalencia entre os modelos in-

cluindo a intera<;ao RK KY no Hamiltoniano. Calculamos a suscetibilidade de carga da

impureza para varios valores da intera<;ao RK KY, 10e da distancia entre impurezas, R, e

comparamos com os resultados obtidos por outros autores [36, 37, 52].

No capitulo 5 resumimos as conclusoes gerais deste trabalho e apresentamos suges-

toes para os uso das tecnicas aqui envolvidas.

Capitulo 2

Extensao do metodo generalizado dogrupo de renormaliza~ao numericopara 0 calculo de propriedadestermodinamicas - Metodo intercalado

2.1 Introduc;ao

o metodo do grupo de renormaliza<;ao numerico foi desenvolvido objetivando cal-

cular a contribui<;ao das impurezas para as propriedades termodinamicas dos metais. Ini-

cialmente foi aplicado no calculo da suscetibilidade magnetica dependente da temperatura

para 0 modelo Kondo [5], e 0 metodo de Anderson [15-17], nas ligas magneticas diluidas,

resultados ja mencionados, no capitulo 1.

Neste capitulo apresentamos uma nova tecnica de calculo, uma extensao do grupo

de renormaliza<;ao numerico, para 0 calculo de propriedades termodinamicas de impurezas

em metais, que denominamos de metodo infercalado do grupo de renormaliza<;ao numerico.

Para 0 calculo numerico de uma dada propriedade, comparada com 0 metodo original [5], 0

metodo infercalado produz a mesma precisao com 0 custo computacional substancialmente

menor. Ele portanto, super a urn obstaculo que tern limitado as aplica<;oes do metodo do

grupo de renormaliza<;ao numerico.

o procedimento baseia-se na discretiza<;ao logaritmica da banda de condu<;ao. Urn

parametro adimensional A > 1, a razao entre duas energias discretas sucessivas, controla essa

aproxima<;ao e define 0 tempo de custo de urn dado calculo computacional. Para A --4 1,

o limite continuo e recuperado, mas enquanto 0 procedimento se torna exato, 0 custo do

calculo da fun<;ao de parti<;ao de urn Hamiltoniano modelo se torna ilimitado. Por outro

lado, aumentando-se A, aquele custo diminui exponencialmente com 1/ In A, as custas da

precisao computacional.

Argumentos anaHticos [5], felizmente, mostram que as medias termodinamicas de-

pendem fracamente do parametro de discretiza<;ao A. Logo, espera-se que medias numericas

com A ::; 3 estejam dentro de alguns por cento do limite exato, como podemos observar da

curva suscetibilidade representada pela figura 1.5. Por isso, 0 limite superior, A = 3, tern

sido tornado como padrao para calculos de Ximp(T).

Com A = 3, calculos numericos das propriedades termodinamicas para modelos de

uma impureza de SpIll degenerado sac economlCOS. Infelizmente, 0 custo computacional

aumenta exponencialmente com a degeneresdmcia dos estados de conduc;ao e com 0 mimero

de impurezas. Essa limitac;ao obstrui aplicac;oes do metodo.

Urn procedimento generalizado do grupo de renormalizac;ao numerico, baseado na

discretizac;ao modificada da banda de conduc;ao, foi descrito por Yoshida e outros [48]. Esta

extensao, desenvolvida para calculos de propriedades de excitac;ao em modelos de impurezas,

foi testada em calculos computacionais de regra de ouro [48-51]. Tais estudos indicam

que as probabilidades de transic;ao computadas dependem tao fracamente do par<imetro

de discretizac;ao A que taxas calculadas com A = 10 tern urn desvio desprezivel do limite

continuo.

Nesse capitulo, nos adaptamos 0 procedimento do grupo de renormalizac;ao gene-

ralizado para 0 calculo de propriedades termodinamicas. Tambem discutimos os desvios

dependentes de A das medias calculadas daqueles do limite continuo e mostramos que para

urn dado A, comparado com 0 procedimento padrao [5],0 metodo intercalado produz desvios

consideravelmente menores; medias dentro de uma faixa de percentagem do limite continuo

podem ser obtidas com A = 10. Embora 0 desenvolvimento do metodo intercalado seja con-

centrado neste capitulo, e aplicado, como exemplo ilustrativo, ao calculo da suscetibilidade

magnetica para 0 modelo de Anderson (U = 0) de uma impureza, devemos enfatizar que com

o metodo intercalado, 0 calculo da suscetibilidade da impureza dependente temperatura para

o modelo de duas impurezas torna-se possivel em estac;oes de trabalho enquanto 0 mesmo

calculo pelo metodo padrao seria impraticavel mesmo em urn supercomputador. No capitulo

3 e 4 faremos uma aplicac;ao desse metodo ao Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ram(rez

de duas impurezas com 0 intuito de mostrar a sua potencialidade e na sequencia verificar se

ele e equivalente ao Hamiltoniano Kondo.

,+

404 McokbkecicmTgfsTbkbk emplkbc uhqrupdol~d«dr

l phwrgr gr juxsr gh uhqrupdol~df9lz qxphuJDP* ghvhqyroylgr frp d ilqdolgdgh

gh fdofxodu d frqwulexlf9dr gd lpsxuh~d sdud dv sursulhgdghv whuprglqdplfdv hp phwdlv*

shuplwh wudwdusureohpdv frp pxlwrv judxv gh olehugdghvdfrsodgrv h lghqwlilfdudtxhohv txh

vdr lqyduldqwhvvre xpd ghwhuplqdgd wudqvirupdf9drgd hvfdodgh hqhujld* txh wdqwrsrgh vhu

d whpshudwxud9hp sureohpdv whuprglqdplfrv frpr d iuhtxhqfld hp sureohpdv glqdplfrv,

Oxp phwdovlpsohv*d xqlfd hqhujld fdudfwhulvwlfdh d hqhujld gh Ghupl 8I0 Tdehprv

txh xuq vlvwhpdphwdolfr qr hvwdgrixqgdphqwdo, lvwrgcU 7 .* srvvxl wrgrv rv qlyhlv dedl{r

gr qlyhogh Ghupl rfxsdgrv h dflpd ghvvhqlyhorv hvwdgrvyd~lrv, Bvvlp* srghprv hvwxgdu.

frpsruwdphqwr gd edqgd gh frqgz9lz dqdolvdqgr dv yduldv hvfdodvgh hqhujldv txh srghp

vhuh{flwdgdvwhuplfdphqwh,

Whmdprvdwudyhvgd iljxud 0,/ 'd(* d dsuhvhqwdf9drhvtxhpdwlfd gd edqgd gh frqgxf9dr

rqgh* hp sulqflslr* vdr srvvlyhlv h{flwdf9rhvhohwurq+exudfrfrp hqhujldv gh . d 3D/

Jqlfldophqwh* d X 7 .* . vlvwhpd hvwdqr hvwdgr ixqgdphqwdo9 d phglgd txh d

whpshudwxudfuhvfh*lvwrh*d hqhujld gh h{flwdf9drdxphqwd* wruqdp+vhdfhvvlyhlvhvfdodvgh

hqhujldv fuhvfhqwhv*vhqgr txh hp fdgd xpd ghvvdvhvfdodv/ plphur gh qlyhlv dfhvvlyhlvhlqilqlwr*srlv d edqgd gh frqgxf9dr h frqwlqxd, Fvvh idwr wud~glilfxogdghv sdud d derugdjhp

qxphulfd9 dvvlp h qhfhvvdulr txh vh idf9dxpd vhohf9drdghtxdgd ghvvhvqlyhlv,

Bwudyhvgr juxsr gh uhqrupdol~df9dr qxphulfr* ghvhqyroylgr sru aWlovrq]3b*irl

srvvlyho frqvlghudu vrphqwh xuq juxsr ghvvhvqlyhlv*id~hqgr+vhxpd glvfuhwl~df9drorjdulwplfd

gd edqgd gh frqgxf9dr frp / lqwxlwrgh suhvhuyduxpd fdudfwhulvwlfdgd edqgd8 vhulqyduldqwh

sru wudqvirupdf9drgh hvfdod,

Od iljxud 0,/ 'e(* prvwudprv d phvpd edqgd gh frqgxf9dr gd iljxud 0,/ 'd(* dpsoldgd

sru xuq idwru B* h dvvlp srghprv whuh{flwdf9rhvsduwlfxod+exudfr frp hqhujldv gh ~hur d

3AD/ Qrghprv revhuydu txh sdud shtxhqdv h{flwdf9rhvhp wruqr gr qlyhogh Ghupl*dsduhfhp

hqhujldv qd edqgd dpsoldgd txh wdpehp rfruuhp qd edqgd ruljlqdo, Ohvvhfdvr* ydohgl~hu

txh dv sursulhgdghv ilvlfdv qdv gxdv vlwxdf93hvvdf ljxdlv* vhqgr / vlvwhpdlqyduldqwhsru xpd

wudqvirupdf9drgh hvfdodgh hqhujld, El~+vhtxh / vlvwhpdvhhqfrqwud qxp srqwr gh il{r* gh

xpd wudqvirupdf9drgr juxsr gh uhqrupdol~df9dr,

y

xk +!+oM+++++++«/ . 0

0+ )u2

y

zl++Q++-. ) C

0+ )u2

'W( 'X(

uhodf9drd hqhujld gh ihupl fI. hqtxdqwr d iljxud 'e( h d edqgd gh frqgxf9dr ruljlqdo dpsoldgd

sru xuq idwru B, Pevhuyh txh h{flwdf93hvsu4{lpdv d lG vdf lqglvwlqjlllyhlvqdv gxdv edqgdv*

hqtxdqwr h{flwdf93hvjudqghv frpr D2* qdr srvvxhp fruuhvsrqghqwhvqd edqgd ruljlqdo,

Qru rxwur odgr*ghylgr lwlpsxuh~d* vxujhp qd iljxud 0,/ 'e( hvfdodvtxh qdr h{lvwldp

qd edqgd, Ohvvhfdvr* k:l xpd txheud gd lqyduldqfld, Fp sduwlfxoduhvvdtxheud h ghylgd dr

whupr gr Idplowrqldqr gh kleulgl~df9dr*/ txdo dfrsod d edqgd gh frqgxf9dr frp d lpsxuh~d,

l vlvwhpd vh hqfrqwud qxp uhjlph gh wudqvlf9drrx evswws{gv gh xuq srqwr il{r sdud rxwur

srqwr il{r* sdud whpshudwxudgd rughp gd hvfdodgh hqhujld fj0

Fp frqvhtllhqfld* d edqgd gh frqgz9'dr gr phwdouhvsrqgh shor frpsruwdphqwr gr

vlvwhpd qr srqwr il{r hqtxdqwr d lpsxuh~d h uhvsrqvdyhoshor evswws{gv hqwuhrv srqwrv

il{rv, . srqwr il{r qd whruldgh juxsr gh uhqrupdol~df99drqxphulfd h pxlwr lpsruwdqwh*srlv

qhvvhuhjlph / vlvwhpd*hp jhudo*vhuhqgh d xuq wudwdphqwrqxphulfr vlpsohv*srvvlelolwdqgr

rewhu h{suhvvrhv dqdolwlfdvsdud dv sursulhgdghv ilvlfdv9 / phvpr qdr dfrqwhfh qr uhjlph

gh evswws{gv/ Od vhf99dr/,1,/* dsuhvhqwdprv xuq h{hpsor txdolwdwlyr*grv srqwrv il{rv gr

Idplowrqldqr Lrqgr rewlgrv sru Xlovrq,

Qruwdqwr*d uhjldr gh evswws{gv uhsuhvhqwd d pdlru glilfxogdgh qr fdofxor gdv sur+

sulhgdghv ilvlfdv gr sureohpd* / txh frqgx~lx Xlovrq* qr phwrgr gh juxsr gh uhqrupdol+

~df99dr*d wudwdud lpsxuh~d gh pdqhlud h{dwd*h id~hudsur{lpdf99rhvqd edqgd gh frqgxf99dr,

Bvvlp* hohuhsuhvhqwrx/ qxphur lqilqlwr gh hvwdgrv frqwlqxrv qd edqgd gh frqgxf99drsru

xuq frqmxqwr glvfuhwrgh hvwdgrv*rv txdlv ghyhuldp pdqwhu dv sursulhgdghv ixqgdphqwdlv

gd edqgd frqwlqxd* shor phqrv rv sur{lpr dr qlyhogh Ghupl, B glvfuhwl~df99drghvvhvhvwdgrv

vhudglvfxwlgd qd vhf99drvhjxlqwh,

Elvfuhwl~d«drgkeTmfohfaTbTVTibTbc frqgx«dr

Drp d ilqdolgdgh gh hvwxgdusursulhgdghv ilvlfdv gr vlvwhpd*sur{lpr dr qlyho gh

Ghupl* ghilqh+vhxpd edqgd gh frqgxf99dr*gh lqwhuydorgh hqhujld _/G. G, uhodwlyrdr qlyho

gh Ghupl* rqgh fs 7 .* vhsdud rv qlyhlv suhhqfklgrv grv qlyhlv yd~lrv,

r surfhglphqwr ruljlqdo ]3b edvhld+vhqd glvfuhwl~df99drorjdulwplfd gd edqgd gh

frqgxf99dr gh phwdo krvshghlur* loxvwudgrqd iljxud 0,0* / txdo hqyroyh grlv sdudphwurv gh

glvfuhwl~df99dr*B h •/ . sdudphwur dglphqvlrqdo B 8 /* / txdo h d ud~dr hqwuhgxdv hqhujldv

glvfuhwdvvxfhvvlydv*ghilqh hvvddsur{lpdf99dr, Rxdqgr B ,,* / / olplwhfrqwlqxr h uhfxsh+

udgr h . surfhglphqwr wruqd+vhh{dwr, . sdudphqwur •- h ghilqlgr qr lqwhuydor/ 6 • l /,

Rxdqgr • ; /* d glvfuhwl~df99drruljlqdo h uhfxshudgd,

,: +~+o

C CC$p$K

\? , .

: +~+o

C

A.•C ;

)/;

+/

Od uhsuhvhqwdf9drgd edqgd gh frqgxf9dr qr hvsdf9r+n- qr lqwhuydor].* /b*a ghilqlgr

/// DA o.•.p 8 fn 8 DA .•.p- rqgh xpd vhtllhqfld gh hqhujldv qhjdwlydv vdr ljxdophqwh

ghilqlgdv qr lqwhuydor]+/*.b* vhqgr p 7 /*0*1*2*, , ,, B ud~dr hqwuhwrgrv rv lqwhuydorv

a B* h{fhwr . sulphlur* rq gh d ud~dr a A]/ Pevhuyh txh . wdpdqkr gr lqwhuydorglplqxl

h{srqhqfldophqwh Wphglgd txh vhdsur{lpd gr qlyhogh Ghupl*frp lvvr ghvfuhyhqgr phokru

r frqwlqxr hp wruqr ghoh, Bvvlp* srghprv uhsuhvhqwdudv hqhujldv frpsuhhqglgdv qhvvh

n n\g 7 {nn:::ZI/ 7 D.-I -I

rqgh* XG h d yhorflgdgh gh Ghupl, OG h . prphqwr gh Ghupl* hp xqlgdghv dsursuldgdv hljxdo Wxqlgdgh, B hqhujld gh frqgx:9dr fn h . prphqwr n vdr phglgrv gr qlyhogh Ghupl h

gr prphqwr gh Ghupl uhvshhwlydphqwh,

..

Ide ; P enCk-C(;-lKl2-n<P

onde esta inicialmente escrito na base operadores de eletrons de condu<;aoCf,il; ele passara

a seguir por uma transforma<;ao de base para que se possa desacoplar todas as escalas de

energia.

Para cada intervalo discreto, existe uma iIl."finid.a.de._g~_!!!~Il~irasde seus operadores- - -_ ... - " .." ,- . ------ . -.,,---~k18 se~o~~~n~em linearmente. f\qui consideraremos as combina<;§~_~q!J.~__~§t.a.u-IDa.isJ.Q::

calizada~ ~r;nre<ior do sitioA~jmpureza. Assim, em cada intervalo entre niveis de energia,. ' ,-' "'-_ .._--~-_..-..•.- -----.- .._--.-. - ...•.._._---

f figura 2.2, se associaur;n cQIlillIltocompleto de fun<;6esorton~~~Ci.is:''>'-'''_''~'_-"~.-----_'-

1A mtz [ 21l"iAm+z ]-----exp ±---lk AI-z-m > ±k > A-z-m

t/{;!(k)= (1-A-I)1/2 1-A-I' (2.3)

0, fora do intervalo,

11 [21l"i](1 A- )1/2exp ±1 A_ lk , 1 > ±k > A-z

<I>~±)(k)= - z - z

. 0, fora do intervalo,

onde ± represent a os valores positivo e negativo da energia. Projetando os operadores Ck

nessa base, result a

Ck =L [al<I>~+)(k)+ bl<I>~-)(k)] + L [al,mt/{~(k) + bl,mt/{~(k)] (2.5)1 I,m

11 ((+) )* 11((-'-) )*al,m = -I dk tPl,m (k) ck, bl,m = -I dk tPl,m (k) Ck.

Tdehprv txh d glvfuhwl~d:9drgd edqgd gh frqgx:9dr qdr dihwd/ Idplowrqldqr gd

lpsxuh~d* Knsy ghilqlgd qr prghor gh Bqghuvrq 'V 7 .( frpr

lqghshqghqwh grv Fpr v,

Drp d ilqdolgdgh gh id~hu frp txh / Idplowrqldqr gh lqwhud:9dr*Ilrx- txh dfrsod

d lpsxuh~d frp rv hvwdgrv gh frqgx:9dr* qdr vhmddihwdgdshod glvfuhwl~d:9drgd edqgd gh

Ilrx ; P1P )Cmis * k/e/* /

)2bA.]*203 '/cB+/(/-0.. bp,•

ic ; 1 )cs * ds* * 1 >h: 1 )cP-p * ds-p*/

Qrghprv revhuydu gd ht, '0,/.( txh / rshudgru ic- vh dfrsod dshqdv frp / hvwdgr

3 7 r, Drqvhtxhqwhphqwh d lpsxuh~d lqwhudjhfrp d edqgd gh frqgx:9dr* vrphqwh dwudyhv

gr hvwdgr 3 ; r, Bvvlp* . qrvvr sureohpd wulglphqvlrqdo ilfd hihwlydphqwhuhgx~lgr d xuq

sureohpd xqlglphqvlrqdo,

htv, '0,4(* vxevwlwxlqgrqd ht, '0,0( h xvdqgr d uhod:98drgh glvshuvdr '0,/(* rewhprv

Qru phlr ghvvd htxd:98dr*srghprv revhuydu txh rv grlv xowlprv whuprv vdr surs ru+

flrqdlv d 0, B*rv txdlv vh dqxodp qr olplwhB ,,,,* 0gr frqwlqxr, Bvvlp* qhvvholplwhydprv

ghvsuh~durv hvwdgrv frp 2 l+ . hp uhod:98drd 2 7 . ]3b,Qruwdqwr*d surmh:98drgr Idplowrqldqr

gd edqgd gh frqgx:98dr vreuh d edvh glvfuhwdh xpd dsur{lpd:98dr frqwurodgd sru B, Ehvgh

txh rv fdofxorv qxphulfrv* qd sudwlfd*vr srghp vhuuhdol~dgrv*frp B 8 /* / surfhglphqwr

vr vh mxvwlilfdvh dv sursulhgdghv ilvlfdv fdofxodgdv frqyhujluhp udslgdphqwh sdud / olplwh

..

Kde 7 Es)•- A*)cdcs . ddds* * h4Ep)•- A*)cd-pcs-p . dd-pds-p*i70

0* A.•+ G

0* B+JDAJ.•.p1

vdr dv hqhujldv flqhwlfdvphgldv fruuhvsrqghqwhv drv lqwhuydorvgd iljxud 0,0,

A energia cinetica do sistema, definida pela eq. (2.12), e uma serie cujos termos

formam uma seqiiencia infinita que nao se pode tratar numericamente. Portanto, para

diagonalizar 0 Hamiltoniano, devemos truncar a serie. Porem, como nessa base a impureza

ainda se acopla com os estados de conduc;ao, 0 truncamento poderia afetar 0 calculo das

propriedades fisicas do sistema. Para evitar isso, Wilson [5]definiu uma nova base de est ados

discretos, os quais estao associados os operados {fn}, gerados a partir do operador fo, eq.

(2.10). Para reescrever a banda de conduc;ao nessa nova base, onde a impureza se acopla

diretamente somente com 0 est ado fo, ele usou urn procedimento equivalente a construc;ao

de Lanczos [53], 0 qual transforma a banda de conduc;ao na forma codiagonal:

00

Hbc = L c~(J~,ufn+l,U + h.c.).u,n=O

Alguns autores [48-51] tern calculado os coeficientes c~, resolvendo iterativamente a

seguinte relac;ao de recorrencia:

00

FN(Z, A) = (1 - A-Z)[Eo(z, A)]2N+2 + (1 - A-I) L A1-z-m[Em(z, A)]2N+2.m=l

llN+l e uma matriz (N + 1) x (N + 1), cujos elementos de matriz sao:

h Es)•- B( h Ep)•- B( dv hqhujldv flqhwlfdvphgldv ghilqlgdv qd ht, '0,/1(, Qdud xuq gdgr

B h • il{rv* hvvdvhqhujldv irupdp xuq frqmxqwrglvfuhwr, Rxdqgr • yduld gh ~hur d /* hodv

Qdud S 7 .* d pdwul~3t3- srvvxl xuq xqlfr hohphqwr ]/•/b// 7 .* dvvlp . 0R whupr

'D«(0 ; '0, :,/( PA3.•.p_Ep)•-A*a3 * '0, A.]*_Es)•-A*ip<2

Qdud O 8 .* d ht, '0,/4( ghwhuplqd GO)•- B(* d pdwul~2nO,2 srgh vhufdofxodgd

qxphulfdphqwh gd ht, '0,/5( frqvlghudqgr txh rv f«*fi* ,,, eOb2( mdwhqkdp vlgr frpsxwdgrv,

Ohvvhsurfhvvr lwhudwlyrd ht, '0,/3(* hqwdrghwhuplqd f«$

Qdudydoruhvjudqghv gh S. rv frhilflhqwhvf« srghp vhughvfulwrvsru xpd h{suhvvdr

Od sudwlfd*sdud S f /.* rv f« vdr fdofxodgrv shod ht, '0,/7( frp xpd suhflvdr gh

Wpd yh~ txh rv f« vdr ghwhuplqdgrv* d ht, '0,/2(* txh uhsuhvhqwd d edqgd gh

frqgxf*9dr*dlqgd qdr srgh vhugldjrqdol~dgd qxphulfdphqwh srlv frqwlqxd vhqgr xpd vhulh

lqilqlwd, Qdud hvfrokhuprv xuq ydoru olplwh gh O sdud wuxqfdud vhulh*irfdol~hprv qrvvd

dwhqf*9drqdv hvfdodvgh hqhujldv txh fdudfwhul~dpdv sursulhgdghv ilvlfdv txh ghyhprv frp+

sxwdu, Fp sduwlfxodu*qrv fdofxorv gh sursulhgdghv whuprglqdplfdv* d xpd whpshudwxud

X. d hvfdodgh hqhujld gh lqwhuhvvhh \N 7 LBU/ Fqhujldv gh h{flwdf*9rhvvljqlilfdwlydphqwh

phqruhv txh DU qr Idplowrqldqr srghp vhughvfrqvlghudgdv,

rqgh 24 h xuq ydoru shtxhqr* d vrpd lqilqlwdgd vhulhgd ht, '0,/2( srgh vhuwuxqfdgr hp xuq

S/r

Ide 7 P el)il-zi)r,o*-z * k/e/*/z-r<P

r Idplowrqldqr ghvfulwrshod ht, '0,00( h edvwdqwhdsursuldgr sdud / wudwdphqwr

qxphulfr gh gldjrqdol~df9dr, Or hqwdqwr*sdud ghilqlu xpd wudqvirupdf9drgh juxsr gh uhqru+

pdol~df9dr . Idplowrqldqr prghor qhfhvvlwdvhuhvfdodgr, Qdud hvvhhihlwrh hvfroklgr xuq

idwrugh hvfdodtxh id:9dfrp txh d phq ru hqhujld frgldjrqdo* DO+o$hvfdohsdud d xqlgdgh,

405 Eldjrqdol~d«dr bk JThfgokifTik bc Cibcmnki

rqgh . idwru gh hvfdod*GS. hvfroklgr dsursuldgdphqwh h gdgr sru

0 B+JDO 7 , DA .)O.o*03.•,2+ "

h d wudqvirupdf9dr gr juxsr gh uhqrupdol~df9dr5 txh ohydIO hp IO,o h gdgd shod uhodf9dr

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gd gldjrqdol~df9dr prvwud txh . idwru B/-0 txh lqwhqvlilfdIO h htxlydohqwhd hvfrokhu xpd

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Observe que os dois parametros Z = 0.25 e Z = 0.75, no lado direito da eq.

(2.47), correspondem aos intervalos intercalados na discretizac;oo logaritmica, mostrada na

figura 2.2; dessa imagem deduzimos 0 nome do nosso procedimento.

o resultado desse procedimento sao mostrados pelas linhas s6lidas da figura 2.5 e

2.6. Mesmo com essa aproximac;ao simples, a integrac;ao anula as oscilac;6esproduzindo uma

curva para a suscetibilidade dependente da temperatura que nao pode ser distinguida do

limite continuo [55-57] na escala do grafico.

Objetivando afirmar a validade do metodo intercalado, apresentamos na figura 2.4,

os resultados para a contribuic;ao da impureza para a suscetibilidade, circulos fechados,

calculados com parametros de discretizac;oo A = 9 e comparamos com os resultados da curva

universal para a suscetibilidade do Modelo Kondo, linhas s6lidas, obtidos por Bethe Ansatz

[10, 11]. Resultados para a suscetibilidade pelo metodo padroo de Wilson [5], para 0 Modelo

Kondo, circulos abertos, oscilam acentuadamente em redor do result ado exato.

Esta oscilac;ao e urn artefato da discretizac;ao, ao contrario, da suscetibilidade cal-

culada pelo metodo intercalado, que mostra nenhuma oscilac;oo; coincidindo com 0 limite

continuo da curva universal, mesmo com A too grande quanto 9. Resulta disso uma subs-

IFse - SERVI<;O DE BIBLIOTECA EINFCRvACAO

A introduc;ao do parametro z, atraves da discretizac;ao generalizada na figura 2.2,

contribuiu para que 0 alcance do metodo do grupo de renormalizac;ao incorporasse, inicial-

mente, 0 ccilculo numerico de propriedades de excitac;oes [48-51]. as resultados mostraram

ser essencialmente exatos, com uma representac;ao quantitativa do limite continuo sendo

obtidos com parametros de discretizac;ao tao grande quanto 12. Neste capitulo, mostramos

que 0 procedimento intercalado, derivado do metodo generalizado, com a discretizac;ao de-

pendente de z, calcula propriedades termodinamicas com valores A's muito maiores que 0

metodo padrao e produzindo medias essencialmente exatas.

Reduzindo apreciavelmente 0 custo computacional da diagonalizac;ao de Hamilto-

niano de muitos corpos, esse desenvolvimento ajuda a analisar Hamiltonianos envolvendo

mais graus de liberdade que 0 modelo de Anderson de uma impureza. Como uma aplicac;ao

desse procedimento, a suscetibilidade magnetica para 0 modelo de duas impurezas para 0

Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramirez, para A grande, sera apresentada nos capitulos

seguintes.

Capitulo 3

Aplica~ao do metodo do grupo derenormaliza~ao numerico intercaladoao sistema de duas impurezas

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B ghvful:9drgr vlvwhpdsru phlr ghvvhvrshudgruhv h lqdghtxdgd* fWtxh hohvvdr qdr

ruwrjrqdlv, F suhflvr* hqwdr*hqfrqwudurxwudedvh txh uhsuhvhqwh. vlvwhpd9qhvvhvhqwlgr

ghilqlprv grlv rshudgruhv ihuplrqlfrv ruwrjrqdlv mg, h mgb:

S $* U / ' wgr L T* L(o0Kgo-(o0Kgo b 7 3Al 0x LT :+H / H,.

Uhqgr frpr remhwlyrfdofxodudvsursulhgdghv ilvlfdv gr vlvwhpdsdud edl{dv hqhujldv*

ydprv frqvlghudu rv frhilflhqwhvgr vlvwhpdljxdlv drv vhxvydoruhvqd hqhujld gh Ghupl9dvvlp*

sruwdqwr*vxevwlwxlprv/ prphqwr n shor prphqwr gh Ghupl nAI qd ht, '1,/3(* dsur{lpdf9dr

mddgrwdgd sru rxwurv dxwruhv]12+15b,

Pv rshudgruhv $o-K'«( h $o-K'+«(* ghyhp vhurewlgrv lqyhuwhqgr+vhdv htv, '1,/1( h

fdofxodqgr+vh rv ydoruhvDh h Hg- frpr vhqgr

P CnClCn ) ef)flf2 ) flf3* ,n

,X3X _A,ix)f2 * f3* * A.iKmf2 . f3* * k/e/a ,

,3H _)AliK,is, * AlKNisb*)fofl * f3fl*,

, A,AbVxisb * iNis,*)f2fl . f3fl*a /

Drp d ilqdolgdgh gh h{suhvvdu/ Idplowrqldqr grv hohwurqvgh frqgxf9dr Ig- ghilqlgr

shod ht, '1,0( hp whuprv grv rshudgruhv ihuplrqlfrv 20Kgo- vxevwlwxlprv Fg h Hg- ghilqlgrv

shodv htv, '1,7( h '1,/0(* qdv htv, '1,/1(* h dvvlp rewhprv

l Idplowrqldqr gd edqgd gh frqgx:9dr* ghilqlgr shod ht, '1,02(* djrud hvwdqxpd

irupd frqyhqlhqwh sdud xvduprv / phwrgr gh glvfuhwl~df9drorjdulwplfd ghilqlgr sru Xlovrq

]3b*txh lqwurgx~lprv qd vhf9dr0,0, Ohvwhphwrgr xwlol~dprvxuqsdudphwur B sdud glvfuhwl~du

d edqgd gh frqgxf9dr gr phwdo*txh dvvrfldprv d frqvwuxf9drgh Mdqf~rv ghvfulwdsru xuq

frqmxqwrgh rshudgruhv iro(w jhudgrv d sduwlugr ic- d txdo wudqvirupd d edqgd gh frqgxf9dr

qxpd irupd frgldjrqdo, Ehvvd irupd hvfuhyhuhprv . Idplowrqldqr gd edqgd gh frqgxf9dr

S/r

Ig 7 PEl)K",i)r,o*, ) i"bi)r,o*b ) k/e/*/0)/

G,h

PEl)K",i)r,o*, * i"bi)r,o*. * k/e/*-0)/

Ef)flf3 * flf3*(

W0W_A,iK,)f3 ) f3* ) A.iN)f3 / f3* ) m0i0c.

'1,05(

'1,06(

'1,07(

Tpup,

2G [(A~f(tfo+ + A:fLfo_)(d1dt + d2d~)+

+ A+A_Utfo_ + fLfo+)(d1dt - d2d~)] .

N-l

He = L £~U!+f(n+l)+ + f!_f(n+l)_ + h.c.)n=O

2G [(A~ftfo+ + A:fLfoJ(d+d~ + d_d~)+

+ A+A_UJ+fo_ + fLfo+)(d+d~ + d_d~)] .

No problema de duas impurezas consideramos a base centrada entre elas, 0 que con-

duz ao Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramirez, eq. (3.32), ter simetria de paridade,

rx vhmd*d wurfd gr vlwlr .T03 sru T03 qdr prglilfd IGL/ Fvwhwhuqgxdv frpsrqhqwhv

glvwlqwdv*fodvvlilfdgdv shodv sdulgdghv sdu 'srvlwlyd( h lpsdu 'qhjdwlyd(, . whupr gh kl+

eulgl«K'«R,cM!il""'9Mj},«c,«mghJowlil:8Do,grshod wudJovihu«J8o:88lDo,,j«,ho«wuRj,«cRj/*opl8wmJEQ/Kuh\dsdul8w

0co!w"A,/,c}ldedqgd gh frq:,oxT«7,,oo$='(s8/«J8ow«Kolo8<ulfom«D/cRvq,l[hml=gh fRqgxK9,d,Rchcgh lpsxuh~dgh

J!!«v!oodsdulgdgh9hqwuhwdqwr*'(whupr Icuzg uhsuhvhqwd / srwhqfldo hvsdokdgru:ld*«ixq«'(c««

gh rqgd grv hohwurqvgh frqgx:9dr* ghvfuhyh qr vhx xowlpr whupr xpd lqyhuvdrg«s,Do,K8lgdfoh

qd edqgd gh frqgxf9dr dfrpsdqkdgd gh xpd lqyhuvdr qd lJJoQxuh~d,

Ohvvh frqwh{wr*ghyhprv uhvvdowdutxh* qr sur{lpr fdslwxor* fdofxoduhprv dojxpdv

gdv sursulhgdghv whuprglqdplfdv gr Idplowrqldqr gh Gdolfry* Llpedoo h Sdpluh~ h frp+

sduduhprv frp . Idplowrqldqr Lrqgr gh gxdv lpsxuh~dv frp . lqwxlwrgh yhulilfdu vhh{lvwh

xpd htxlydohqfld hqwuhrv Idplowrqldqrv, Fqwuhwdqwr*/ Idplowrqldqr gh Lrqgr h fdudfwhul+

~dgr sru srvvxlu vlphwuldsduwlfxod+exudfr*d txdo lqh{lvwhqr Idplowrqldqr jhudo gh Gdolfry*

Llpedoo h Sdpluh~, Qdud frqvhjxlu txh KIO. srvvxd hvvdvlphwuldh qhfhvvdulr txh idf9dprv

qd ht, '1,04( Fj 7 . h frpsohphqwhprv / whupr Kc- gr txh uhvxowd

S/r

PelV",i)r,J*, * i"bi)r,J*b * k/e/* -0)/

-0N5~_A,ix)f2 ) f3* ) A.iN)f2 . f3* ) k/e/* -

,3H _)Alixis, ) AliNisb . l*)fofx ) f3fl . /()

- A,AbVxisb * iNis,*)f2fx . f3fl** -

S/r

IGL N elV",i)r,J*, * i"bi)r,J*b * k/e/* -0)/

,3X )A,iK,f, * A.iNf. * k/e/* ,

,3H _)Alixis, ) AliNisb . l*)f,fl ) fbfl . /()

- A,AbVxisb * iNis,*)f,fl * fbfl** /

3.2 Diagonaliza~ao iterativa do modelo de duas im-

Na se~ao 2.3 diagonalizamos 0 Hamiltoniano de Anderson de uma impureza, uti-

lizando urn procedimento que se baseia na forma quadratica de HN. Entretanto, esse pro-

cesso nao pode ser aplicado ao Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ram(rez, que engloba

termos quarticos, 0 que nos leva a desenvolver urn procedimento iterativo atraves do grupo

de renormaliza~ao numerico, 0 qual gera configurac;6es de muitos corpos. Nesse processo

iterativo, 0 Hamiltoniano alem de ser discretizado, e truncado e deve ser escalado. Como

exemplo ilustrativo, utilizaremos a eq. (3.32), que pode ser reescrita como

{

N-1

A(N-1)/2 Az-1 ~ c~U1+f(n+1)+ + f1_f(n+l)- + h.c.) +

+gd(d~d+ + d~d_) +

- (t t )+2Vz A+fo+ d+ + A-fo_ d_ + h.c. +

+20z [(A~fJ+fo+ + A:ftfo_)(d+d~ + d_d~)+

+ A+A_UJ+fo_ + ftfo+)(d+d~ + d_d~)] },

2Az-1-zCd - D(l + A -1) Cd,

2Az-1VZ v:- -D-(1-+-A--1-) ,

2Az-1D(l + A-1) G.

Define-se uma relac;ao de recorrencia para 0 Hamiltoniano HN+b 0 qual e obtido a

partir de HN da equac;ao

Ohvvduhodf9dr*O h lqfuhphqwdgr dwhtxh qdr lqwhuiludqrv uhvxowdgrv*lqglfdqgr xuq

frpsruwdphqwr gh srqwr il{r hvwdyho,. surfhglphqwr uhfxuvvlyrh lqlfldgr frqvlghudqgr

r Idplowrqldqr lqlfldo Ks- frpr vhqgr / KO ghilqlgr shod ht, '1,17( phqrv / whupr txh

uhsuhvhqwd d hqhujld flqhwlfd grv hohwurqvgh frqgxf9dr* gr txh uhvxowd

B+J-0£z« )flf, ,flfb* ,

+ 'w w (,3X• A,is,f, * A.isbf. * k/e/ ,

,3H• _)AliK,is, ) A:iNisb*)f,fl ) fbfl* ,

, A,AbVxisb * iNis,*)f,fl * fbfl*ak/

l Idplowrqldqr Ks h surmhwdgrqd edvh gh /4 hohphqwrvtxh srgh vhufrqvwuxlgd d

sduwlugrv rshudgruhv is,- isb- f, h fb- h ghilqlprv gxdv rshudf9rhvgh vlphwuldv*S h R- txh

frpxwdp frp Is h IS. glplqxlqgr dv glphqvrhv gdv pdwul~hvd vhuhp gldjrqdol~dgdv,

..

V ; P Vl,ir, * ilbirb* * )flf, * flfb*-0)/

h d sdulgdgh U h ghvfulwdfrpr vhqgr / vlqdogr surgxwr gh lqglfhv grv rshudgruhv hp fdgd

hohphqwrgh edvh,

l sur{lpr sdvvr vhudgldjrqdol~du / Idplowrqldqr KL. txh vhudjhudgr shod htxdf9dr

gh uhfruuhqfld '1,21(* frp xpd qryd edvh dsursuldgd, B edvh vhudfrpsrvw d shorv dxwr

hvwdgrv gh Is- lghqwlilfdgrv sru CJ+R- .(/* frpelqdgrv frp rv rshudgruhv iJ, h i2. txh

dsduhfhp qr vhjxqgr whupr gd ht, '1,21(, Fvvd edvh txh h irupdgd gh 42 hvwdgrv*whuqfdgd

xuq gh vhxv hohphqwrvlghqwlilfdgrv sru Jxlts- ecvjc- tcvlfcfg- lwhud:9dr(hohphqwr*gd vhjxlqwh

irupd

LV.U.T,1 32. V. U. 3,1

00*CJ+U.T,L 33. V * /* tl- 3,3'1,25(

hFCJ+U.T,L 35. V * /* tl- 3,1

CphF CJ+U. 2,3 36. V * 0*tl- 3,1

Fuq vhjxlgd surmhwd+vhKL qd edvh jhudgd shod ht, '1,25( h gldjrqdol~d+vh/ Idplowr+

qldqr qxphulfdphqwh, F dvvlp vxfhvvlydphqwhrv dxwrhvwdgrvrewlgrv gh KS pdlv rv hvwdgrv

fuldgrv shod dsolfd:9dr grv rshudgruhv 3S-'. vreuh hvvhvdxwrhvwdgrv*jhudp xpd qryd edvh

sdud gldjrqdol~du KO-J h rewhuvhxvdxwrydoruhvh dxwryhwruhv,

Or surfhvvr jhudo . qxphur gh hohphqwrvgh edvh gh fdgd lwhud:9drh 7O-3; . txh

vljqlilfd txh sdud O 7 0*mdwhprv txh gldjrqdol~du xpd pdwul~034 { 034* / txh h{ljh xuq

jdvwr gh whpsr h phpruld frpsxwdflrqdo uhohydqwh,Eldqwhghvvhidwr*glylglprv / qxphur

gh hohphqwrv gh edvh qrv vxehvsd:9rhvgh fdujd h sdulgdgh* srlv frqvhuyd:9rhvglplqxhp d

glphqvdr gd pdwul~ h vhohflrqdprv huq fdgd vxehvsd:9r dxwrydoruhvedl{rv* frqvlghudqgr

txh hvwdprv lqwhuhvvdgrvqr uhjlph gh whpshudwxudedl{dv* rqgh dv hqhujldv pdlv dowdvvdf

ghvsuh~lyhlvqrv fdofxorv gdv sursulhgdghv whuprglqdplfdv, Pv qrvvrv fdofxorv vdd hihwxdgrv

huq phgld fruq pdwul~hvgh glphqvdr /6. h . qxphur gh lwhud:9drwrwdoS gd rughp gh 1.

mdh vxilflhqwhsdud rewhq:9dr gh xpd fxuyd frpsohwd sdud d vxvfhwlelolgdghhuq ixq:9dr gd

whpshudwxud,

Od gldjrqdol~d:9dr lwhudwlydgr Idplowrqldqr KS. h srvvlyho hvfrokhuydoruhvdsur+

suldgrv grv sdudphwurv*X h H* gh irupd txh srvvdprv rewhuuhvxowdgrvvljqlilfdwlyrv sdud

dojxqv fdvrv sduwlfxoduhvgr prghor gh gxdv lpsxuh~dv, Od vh:9drvhjxlqwh glvfxwluhprv

dojxpdv ghvvdvvlwxd:9rhv,

505 ETnknlTmofapgTmcn

Xpc vlwxdf9drlpsruwdqwh sdud . qrvvr hvwxgrvxujh txdqgr hvwdehohfhprvH 7 .*

qr Idplowrqldqr gh Gdolfry*Llpedoo h Sdp£uh~ gh gxdv lpsxuh~dv* ghilqlgr shod ht, '1,17(,

Ohvvhfdvr . vlvwhpdh lghqwlilfdgr frpr . prghor gh gxdv lpsxuh~dv lqghshqghqwhv*vhqgr

r Idplowrqldqr frqvwlwxlgr gh xuq whupr gh kleulgl~df9drdglflrqdgr lwhqhujld flqhwlfd grv

hohwurqvgh frqgxf9dr pdlv . qlyhogh lpsxuh~d orfdol~dgd, Ohvvdfrqglf9dr* . Idplowrqldqr

·

S/r

B )O.o*03 B~+/

« gl)i",i)r,o*, * i"bi)r,o*b * k/e/* ,

,jf)flf, * flfb* ,

, 3X• )A,ixf, * A.ixf. * k/e/*k-

l Idplowrqldqr IS srgh vhuuhduuxpdgr hp xpd sduwhsrvlwlyd 'fdqdo sdu( h rxwud

qhjdwlyd 'fdqdo lpsdu(* ghvfulwrvsru8

Ehvvd pdqhlud I, h Ib vdr txdgu:lwlfrv h srghp vhu idflophqwh gldjrqdol~dgrv*

vlploduphqwh dr phwrgr ghvfulwr qd vhf9dr0,1 sdud / Idplowrqldqr gh Bqghuvrq gh xpd

Bqghuvrq )V 7 .( vlphwulfr/ ghvfulwrvshodvhtv, '0,15(* sdud ydoruhvgh O lpsdu h O sdu/rqgh rv {rg vdr rv ghilqlgrv shod ht, '0,16(,

Ed htxd«dr pdwulfldo '1,33( srghprv revhuydu txh rv sdudphwurv Dg. txh pxowlsol+

hduq / whupr gh kleulgl~d«dr* Z3 vdr d xqlfd glihuhq«d hqwuhdv pdwul~hv3n- h 3nd0Fvvhv

sdudphwurv*ghilqlgrv shod ht, '1,27( hvwdruhodflrqdgdv frp d glvwdqfldhqwuhdv lpsxuh~dv

h sduwlfxoduphqwhtxdqgr w 7 .* . txh fruuhvsrqgh D- 7 Dd. . sureohpd h htxlydohqwhdr

gh gxdv lpsxuh~dv lqilqlwdphqwhdidvwdgdvfrp rv dxwrydoruhvgh I, h Ib ghjhqhudgrv,

Drqvlghudqgr d iuhtxhqfld nv 7 0nU Z3 Dg gh wudqvihuhqfldgh hohwurqvhqwuh/ qlyho

orfdol~dgr gd lpsxuh~d h d edqgd gh frqgx«dr/ whprv txh/ 040+ phglgd txh dxphqwdprv /

ydoru gh w-dxphqwdprv n* h k:l xpd txheud gd ghjhqhuhvfhqfld hqwuhqlyhlv gh hqhujld grv

fdqdlv sdu h lpsdu,

Or fdvr olplwhhp txh T 7 .* rx vhKd*dv lpsxuh~dv hvwdrxpd vreuh d rxwud/ rv

sdudphwurv whuqrv ydoruhvD- ; 0 h Dd ; .* h sruwdqwrK d uhsuhvhqwd vrphqwh edqgd gh

frqgx«dr gh hohwurqolyuhv, Tdehqgr+vh txh / whpsr gh wudqvl«drgrv hohwurqvgr qlyho gh

lpsxuh~d sdud d edqgd gh frqgx«dr h gdgr sru Uo 7 Xnozx* whprv M ,,* ..,

Wpd vlwxd«drqdr phqrv lpsruwdqwhtxh . sulphlur fdvr dfrqwhfh txdqgr . sdudphwur

gh kleulgl~d«dr* Z. hr qlyhogh lpsxuh~dfg* vdr qxorv, Ohvvhfdvr / Idplowrqldqr gh Gdolfry/Llpedoo h Sdpluh~ h vrphqwh uhsuhvhqwdgr shod hqhujld flqhwlfd grv hohwurqvgh frqgx«dr

h shodv lqwhud«4hvDrxorpeldqdv hqwuhrv hohwurqvgh frqgx«dr h rv hohwurqvrx exudfrv

qd lpsxuh~d orfdol~dgd/ d txdo jhud xpd ghidvdjhp qdv ixq«4hv gh rqgdv grv hohwurqvgh

frqgx«dr,

Jwsrvvlyhoglvfxwluhvvdvlwxd«drfrqvlghudqgr / Idplowrqldqr frp vlphwuldsduwlfxod+

exudfr/ ghilqlgr shod ht '1,16(/ / txdo srgh vhuuhhvfulwrqd irupd

: )O.ok03 s:R,0

t5 elVl,i)r,ok, * ilbi)r,okb * k/e/* -

,37• _)Alixis, ) A:iNisb . l*)f,fl ) fbfl . /()

- A,AbVxisb * iNis,*)f,fl * fbfl*a k/

Ehylgr drv whuprv txduwlfrv txh vxujhp qr whupr Kc gd ht, '1,34(* qdr h pdlv

srvvlyho gldjrqdol~du gluhwdphqwhKO/ Bvvlp* sruwdqwr*uhfruuhprv d xuq surfhglphqwr

Fvvh surfhglphqwr frqvlghud txh* vhqgr / sdudphwur Z qxor*qdr kd wudqvihuhqfld

gh hohwurqvhqwuhlpsxuh~d h d edqgd gh frqgxf9dr / txh frqgx~ lw frqvhuydf9drgh fdujd

qd lpsxuh~d, . Idplowrqldqr srgh vhuh{suhvvr hp whuprv grv hvwdgrv gh pxlwrv frus rv

dvvrfldgrv d glihuhqwhvrfxsdf9rhv gh qlyhlv*rx vhmd)J* dv gxdv lpsxuh~dv rfxsdgdv* )G_*

xpd lpsxuh~d hvwdyd~ld h d rxwudrfxsdgd rx )GLL, dv gxdv lpsxuh~dv hvwdryd~ldv, .

Idplowrqldqr ghilqlgr shod ht, '1,34(* fruuhvsrqghqwhd fdgd xpd ghvvdvwuhvvlwxdf9rhvh

ilo l )Jr, x irb*

h '1,36(

f( 0v , W0 )f, v fb*

Pv Idplowrqldqrv* ghilqlgrv shodv ht, '1,35( vdr djrud txdgudwlfrv h srghp vhu

gldjrqdol~dgrv gluhwdphqwh,

qldqr ghilqlgr shod ht, '1,35(9 hqwuhwdqwr*ghyhprv uhvvdowdutxh qd gldjrqdol~df9dr lwhudwlyd*

rv hvwdgrvgh pxlwrv frusrv qdr vdr gh vlpsohv lqwhusuhwdf9dr*ghylgr dv yduldvglvwulexlf9rhv

srvvlyhlv gh fdujdv qrv qlyhlv glvfuhwl~dgrv*rfxsdqgr rx qdr rv qlyhlv gh lpsxuh~dv* h frq+

gx~lqgr dr hvsdokdphqwr grv hohwurqvgh frqgxf9dr, Drqwxgr* hperud vhqgr dv sulphludv

lwhudf9rhvglilfhlv gh lqwhusuhwdu*d phglgd txh / plphur gh lwhudf9rhv*S. dxphqwd / surfhvvr

gh gldjrqdol~df9dr vhohflrqd rv hvwdgrvgh pdlv edl{d hqhujld*h rv hvwdgrv gh pxlwrv frusrv

vhlghqwlilfdp frp rv rewlgrv frp rv gh KyLL)Pv qlyhlv gh hqhujld vdr srqwrv il{rv h{suhvvrv

/ ' 5uQHBl(Joo ;98 cvgxj . G 0

Bvvlp* sruwdqwr*rv dxwrydoruhvgdgrv shod ht, '1,37(* srvvxhp xpd ghidvdjhp J5Ho

hp uhodf9drdrv dxwrydoruhvrewlgrv gr Idplowrqldqr txh uhsuhvhqwd d edqgd gh frqgxf9dr

olyuh9h txh frqiruph / srwhqfldo hvsdokdgru H vhmdqhjdwlyr rx srvlwlyr*hohvvhwruqdp pdlv

qhjdwlyrv rx srvlwlyrv hp uhodf9drdrv qlyhlv gh hqhujld grv hohwurqvgh frqgxf9dr olyuhv,

l ydoru gd ghidvdjhp J5Hg. hvwddvvrfldgr frp d uhjud gd vrpd gh Gulhgho]4.b*d

ydohqfld gh xuq qlyho gh lpsxuh~d orfdol~dgr vh uhodflrqd frp / ghvorfdphqwr gh idvh gdv

ixqf9rhv gh rqgd grv hohwurqvdr vhx uhgru sdud frpshqvdu d fdujd gd lpsxuh~d,

Uhqgr hp phqwh txh* qr fdslwxor 2*iduhprv xpd frpsdudf9dr hqwuh/ KyO hr KO h

txh qhfhvvlwduhprvgr h{srhqwh /4 gd suredelolgdgh gh wudqvlf9drhohwurqlfdhqwuhgrlv hvwdgrv

1e44KP+<544Iuu ;C;FCIN><: > +CG?+,+Kr: D988B/

C>' KKKKKKKKKKKKK K KK DD .(D1DD ).D.))D) DD) DKKDKKKI.

glvwlqwrvsdud hvvdilqdolgdgh*ghqrplqduhprv gh hvwdgr lqlfldo LL,. rv rewlgrv gh KL h gh

hvwdgr Glqdo LI,. rv rewlgrv gh KI_ h fd/fxoduhprv d suredelolgdgh gh wudqvl«drnv dwudyhv

gd uhjud gh dxud gh Ghupl*frqvlghudqgr txh / vlvwhpdvhmdshuwxuedgr*sru xuq srwhqfldo

gh kleulgl~d«dr Z 'gh ydorupxlwr shtxhqr( gr KIO. nv h ghilqlgd shod h{suhvvdr8

PC'?CBeVfoJ(/09)} . YU * EJ . EG*LI•

PC'?hcDv_vCC(009)} . YU * E_ . EG*/

LI•

Pqgh* LL, hr hvwdgr lqlfldo*frp hqhujld EL frqvwlwxlgrgh O dxwrhvwdgrvgh KL rv

txdlv hvwdrwrgrv rfxsdgrv dedl{r gr qlyhogh Ghupl9C?(hr hvwdgr ilqdo*frqvwlwxlgrgh S

Vuq fdvr lqwhuhvvdqwhrfruuh txdqgr T .. . ;;< Ab 7 .* whprv txh . whupr

sursruflrqdo d J hp KI_ vh dqxod*vhqgr hvwhuhsuhvhqwdgr xqlfdphqwh shor Idplowrqldqr

gh edqgd gh frqgx«dr Kf. sru rxwur odgr KL ilfd uhsuhvhqwdgr vrphqwh shod edqgd gh

rq gh 6A ; cvexj ). 5ui(* sdud txdotxhu ydoru gh J0 Fvvh uhvxowdgr h ljxdo dr ydoru gr

h{srhqwh d rewlgr sru Or~lhuhvh Eh Erplqlflv ]4/b sdud / sureohpd gh devru«dr gh udlr+Y,

Qdud / fdvr jhudo*ghyhprv uhvvdowdutxh rewhprv / h{srhqwh R* txh hvwWdvvrfldgr

frp d iuhtxzpfld YU- gh devruf9drgh udlr+Y h hplvvdr gh hohwurqsdud / frqwlqxr* ghilqlgr

shod htxdf9dr '1,41(* vhqgr +ILKndiLL, / ghwhuplqdqwhgd pdwul~rewlgd shor surgxwr grv

grlv ghwhuplqdqwhvgh Todwhuxvdgrv, Ohvvhfdvr . h{srhqwh whuqrv vhjxlqwhvydoruhv

] ' (0b(,- (,'J7, /) +9+)+9+

c ]/ )9H, 9H.* 0b 0 )9H, 9H.* b '/ €5H, €5H.* 0J,, * ,*, * ,*, ,, ,,,,5u 5u 5u 5u 5u 5u

Qrghprv revhuydu gdv htxdf9rhv dflpd txh xpd wudqvlf9drgh xuq hohwurqorfdol~dgr

sdud d edqgd gh frqgxf9dr* frqgx~ d xpd ghidvdjhp sdud rv fdqdlv srvlwlyr h qhjdwlyr txh

frpshwhp qr h{srhqwh R* lwphglgd txh d whpshudwxudglplqxl,

Qdud / fdvr jhudo*ghyhprv uhvvdowdutxh rewhprv / h{srhqwh d*txh hvwddvvrfldgr

frp d iuhtxhqfld YU- gh devruf9dr gh udlr+Y h hplvvdr gh hohwurqsdud / frqwlqxr* ghilqlgr

Qrghprv revhuydu gdv htxdf9rhv dflpd txh xpd wudqvlf9drgh xuq hohwurqorfdol~dgr

sdud d edqgd gh frqgxf9dr* frqgx~ d xpd ghidvdjhp sdud rv fdqdlv srvlwlyr h qhjdwlyr txh

frpshwhp qr h{srhqwh d*Wphglgd txh d whpshudwxudglplqxl,

506 ETgapgkbT npnacofVfgfbTbcbc aTmeTbT fhlpmcsT

B vxvfhwlelolgdghgh fdujd gd lpsxuh~d h ghilqlgd frpr d vxvfhwlelolgdghgh fdujd

wrwdo'phwdo * lpsxuh~d( phqrv d vxvfhwlelolgdghgr phwdo,Or dshqglfh D*ghwhuplqduhprv

xpd h{suhvvdr sdud hvwdsursulhgdgh txh* d xpd whpshudwxudU- h gdgd shod htxd:9dr )C/25*

\V /nsy /

rqgh* rv 'oo uhsuhvhqwd rv dxwrydoruhvgh KO h rv 'ol rv dxwrydoruhvgh KdeO/

> qhfhvvdulr hqidwl~dutxh d vxvfhwlelolgdghgh fdujd gd lpsxuh~d '1,45(* gh pdqhlud

vlplodu lwvxvfhwlelolgdghpdjqhwlfd gd lpsxuh~d '0,21( prvwudgd qr fdslwxor dqwhulru*dsuh+

vhqwdxpd ghshqghqfld orjdulwplfd frp d whpshudwxudghqwurgr dujxphqwr gr frvvhqr*

frlqr prvwudprv qd ht, '0,23(* surgx~lqgr rvflod:9rhvqdv fxuydv gh N·EXn<sy1+lkrk6,5 frp

shulrgr gh Jq B,

xwlol~dqgr+vh/ phwrgr lrxgvecocfs- ghvfulwrqd vh:9dr0,2*lqwhjudprv hp • d vxvfhwlelolgdgh

gh fdujd gd lpsxuh~d* rewhqgr dvvlp ydoruhvphglrv olyuhvgh rvflod:9rhv,

Od iljxud 1,/ dsuhvhqwdprv d frqwulexl:9dr gd lpsxuh~d sdud d vxvfhwlelolgdghgh

fdujd sdud / fdvr sduwlfxodu*glvfxwlgr qd vh:9dr1,1,/ hp txh J 7 P, Qrghprv revhuydu txh

vxsrqgr w ; .* B ; /. h n* ; nV; / Y /.+2* d fxuyd txh uhsuhvhqwd d vxvfhwlelolgdghgh

fdujd sru lpsxuh~d h vlplodu dr prghor gh xpd lpsxuh~d dsuhvhqwdgdqd iljxud 0,4, Qdud

whpshudwxudvdowdvN·EX\fy1+;krk6,5 7 u h sdud whpshudwxudvedl{d N·EX\fy1+;krk6C vh

dqxod kdyhqgr xpd wudqvl:9drtxdqgr N·EX z/00Nnx,

Qru rxwur odgr*prvwudprv qd iljxud 1,0*/ fdvr sduwlfxoduhp txh X ; r, Txsrqgr

w7 .* H 7 Hs h B ; /.* uhvxowd hp N·EX\fy1+;krk6,5 ; «*sdud wrgr lqwhuydorgh whpshud+

wxud,Fvvhydorufrqvwdqwhsdud d frqwulexl:9drgd lpsxuh~d sdud vxvfhwlelolgdghgh fdujd hvwd

em concordincia com 0 valor medio esperado. Sendo s = 0, as impurezas estao infinitamente

afastadas, no que result a somente duas configur~Oes para cada nivel:

" = 10R --..CD

G=O-4r+= r_= IxlO

~oooo

oo

oo

oooo

00o

Q.",e _- mX :1.•.... 0'm _

.:II::

- 0.0210-10

Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ram!rez de duas impurezas. Neste caso em que supomos

2052

2047

2042W-

h$C> ,0. pu u 2037u /0p +,{

2032

2027

# A 10K ; .H A 206968mAk

2022.36

10-6

10-0

10

Idplowrqldqr gh Gdolfry*Llpedoo h Sdpiuh~ gh gxdv lpsxuh~dv, Ohvwdvlwxd:9drvxsrprv txh

Aapitulo 1

Aompara~ao entre / Familtoniano deDalicov) Iimball e PamGrez e -

Familtoniano Iondo de duas•lmpurezas

724 3 LVighrlkgVkl Plkcl cd clgp bdkrolp

La sec8ao.+0+.) mostramos / Familtoniano Iondo utilizado por Hones e outros

Y01*04\ para estudar urn sistema de duas impurezas magneticas em meio metcilico+ Nara

aproveitar os resultados numericos obtidos por aqueles autores e para comparac8ao futura

com os nossos resultados) discutimos as consequencias) nas propriedades fisicas desse mo*

delo) da competic8ao entre a interac8ao VO Oc e a temperatura Iondo+ - Familtoniano

Iondo de duas impurezas foi definido por

Qabe*se que a diagonaliza~ao iterativa do Familtoniano Iondo de duas impurezas+

quer pelo metodo de grupo de renormaliza~ao numerico Y01*05\quer pelo metodo de Konte

Aarlo Y1.\)requer alto custo computacional) mesmo quando se exploram as suas simetrias+

como conserva~ao de paridade) spin ou carga) para reduzir a ordem das matrizes diagonali*

zadas+ Cm parte) as dificuldades que surgem em diagonalizar esse Familtoniano sao devidas

a degenerescencia de spins+ <ssim por exemplo) se efetuarmos / procedimento iterativo da

se98ao0+/) a base do Familtoniano inicial Kx sera construida apartir dos operadores nTmu ( nTmu (

nTxu( nTxu( d.el) d/el) d.-l e d/-. para R < -) enquanto que para R ; - a base e composta por

nxmu. nxm3. nTxu e nTxu( Nara R < - a base sera formada por 1 S ;4-S elementos) - que significa

que para .T ; /) temos que diagonalizar uma matriz .3051 x .3051) substancialmente maior

que a do Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamirez para a mesma itera98ao+<ssim por*

tanto) necessitamos de muito mais memoria e velocidade $Kfiops' para diagonalizar / Kye(

do que para diagonalizar KIO1

Eostariamos de enfatizar que a diagonaliza98ao do Familtoniano Iondo de duas

impurezas) embora dispendiosa) nao e impossivel+ Cntretanto esta fora do nosso proposito

de tese diagonaliza*lo) ja que nosso objetivo principal e testar / metodo intercalado no

Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamirez de duas impurezas e secundario) verificar se

KI"p e KO. para duas impurezas) sao equivalentes+

<ntes de passarmos para a se98aoseguinte) onde sera efetuada uma analise qualitativa

da rela98aoentre KIO e KO. reescreveremos / KO. eq+ $1+.') numa forma conveniente para

que possamos identificarcada termo de KIO com urn de KO0 - formalismo e argument os

matematicos do capitulo 0 serao repetidos aqui para KO0 <ssim) definimos dois operadores

- VP(CF) jD f.fOeo - 2 -D dc "Peeo'

Considerando que as constantes de acoplamentos Je,o sa-oconstituidas de duas partes,

JII e J.1., e introduzindo as componentes das matrizes de Pauli: O'z, 0'+ = (O'x + O'y)/2 e

0'_ = (O'x - iO'y)/2, que operam sobre os spins eletronicos, reescrevemos a eq. (4.8) como:

Vi {[JeUJtJOte - fJ!Jo!.) + JouJtJOto - f6!ofo!J] SZe+

.j JeJo [U6tJoto - fJ!Jo!o + h.c)] Szo}

Hh - Vi{(Je!6!JOte + Jof6!ofotJSe+ + (Jef6tefo!e + Jof6rJo!JSe_ +.jJeJo [U6!JoroSo+ - f6rJo!oSoJ + h.c)]), (4.12)

60

(40 * 84*m B 8m. * 8mg

/

(40 * 84*n B 2q * 8mg

/i

(40 * 84*o B 8om.

82. * 82g$1+.0'

(40 , 84*m B/

(40 , 84*n B 82. 0 82g

/i

(40 , 84*o B 8ox(

Dinalmente reescrevemos / Familtoniano de banda de condu98ao)Kkj na forma

truncada como fun98aodos operadores Lw3~ gerados apartir do nx. na forma codiagonal7

R05

Kkt ; P Hr )nrmun)w-u*mu * f~olf$n(l'ol * LrmN)w-3*m" * LrxN)w-3*T" * p0k*/(-

725 FkVhgpdnsVhgrVrgtV

Romando por base a associac87aofeita por Mliveira e Uilkins Y0-\entre - Familtoniano

de Tigman e Dinkelshtein e / Familtoniano Iondo) para mostrar a equivalencia entre os dois

Familtonianos de uma impureza) discutida na sec87ao.+/+0) faremos uma associac87aoentre -

Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamirez eq+ $0+0/' e / Familtoniano Iondo de duas

impurezas) eq+ $1+.') para tentar estabelecer uma equivalencia entre eles+

< principio) analisaremos as relac87oesexistentes entre cada termo dos dois Familto*

manos+ Aonsideramos / Familtoniano KJ/ definido pela eq+ $0+03' como7

4J d)Crn•nx- * CrnPnxg*)l-lr * lglr* .

C-Cg[•nxg * p0k*)l-lr * lglr*f .

e observamos semelhanc87ascom / Familtoniano K IGG'dado pela eq+ $1+..' por7

Ycm: fHRefoRe * nNrNTrm

Yox : nNZxnxZx/ nNrNTrx

~cm.x; nN}NTZx / nNrNTrx

foram substituidos na eq+ $1+.3' para simplificar a notac87ao+

<ssim) portanto+ existindo uma relac8iwdireta entre os termos de KJ e FIGG+onde a

parte $(' da banda de condu98aodo K E corresponde a parte +n, da banda de conduc8aodo

K IGGe a parte $*' do K E a parte +3, do K IGG-

C possivel ver*se essa correspondencia entre as partes+ mais claramente+ comparando

o Familtoniano que represent a a energia cinetica dos metais) do KIyj/ expresso pela eq+

R0y

Km ; J8Hl )nr-n)w-u*- * nrgn)w-u*/ * p0k*./(-

R0y

Kmt ; Pc~ )n3mN)w-u*mZ * n3xN)w-u*xZ * n3mN)w-u*mu * n3xN)w-u*xu * p0k*/(-

Cntretanto) / termo que representa a hibridizac8ao)Ks0m do KIO. definido pela eq+

$0+02')nao tern correspondencia direta com / KNy1)descrito pela eq+ $1+./' do KO/ nao sendo

possivel associar termo a termo esses dois Familtonianos+ Gssocomplica os nossos calculos)

pois sera diflcil expressarmos uma equac8aonumerica que relacione \ com I 0-- Nara isso)

726 Pela~ao ksidogbV dkrodlp LL d LJL

<o analisar as relac8oesexistentes entre a Familtoniano de Dalicov)Iimball e Pamirez

eo Familtoniano Iondo de duas impurezas) na sec8aoanterior) estabelecemos uma associac8ao

entre as termos de Ki com as de KNLL/ a que conduz a uma expressao numerica que conecta

as parametros E e NLL)

La sec8ao0+0+/)realizamos urn calculo pertubartivo de lO) ordem em Ks0k. supondo a

parametro ] pequeno) e em consequencia obtemos elementos de matriz do tipo )ILKr/kuL*.

as quais sao proporcionais a HUJ sendo H a energia do est ado final LI,1 Be maneira analoga)

para a Familtoniano Iondo) consideramos pequena a canst ante de acoplamento N.+) a que

torna elementos de matriz do tipo +ILKr GG)serem proporcionais a HUN1 <o igualar esses

elementos de matrizes) result a que as expoentes Oa de Ks0k e G;N de KN1N11se relacionam da

sendo G;j +G;N, dependentes dos deslocamentos de fase associados com as eletrons de conduc8ao

$spins eletronicos' na presenc8ado potencial espalhador E $do potencial NLL

,1

o expoente Oa) definido pelas equac8oes$0+32'e $0+33')e dado par7

TN : * Y.( )nNNm ( nNNx* /\ (/ )nNNm ( nNNx*}0 }0 }0 }0

}0zNCrnNN ; arctg $* Ti '+m.x 1

< conexao entre E e N pode portanto ser encontrada) considerando*se que para urn

dado valor de N $positivo ou negativo') result am da eq+ $1+/5' os valores de nNNm

e nNNx

( que

saE substituidos do lado direito da eq+ $1+/3') para valores de N positivos ou na eq+ $1+/4'

para valores de N negativos) dependendo da situa98aoa ser analisada+ < seguir) / valor de SN

e substituido do lado direito da eq+ $1+//') enquanto / lado esquerdo da eq+ $1+//') sendo

substituido pela eq+ $1+/0' para valores de E positivos) ou pela eq+ $1+/1' para E negativos)

r~sulta nurna equa98aoexplicita em E quando substituirnos os valores de nNJ. e nNJg da eq+

$1+/2' na eq+ $1+//'+

.\ sando esse procedirnento para urn dado valor da constante de acoplarnento N ne*

gativo) obternos / valor de E negativo nurnericarnente da equa98ao7

{Ti Y )4}0 N2++j/ '\ }f : tg }0 . * ,,,89,}0* arctg / ] }04N4CrC= 0

Be posse das expressoes matematicas que relacionam / parametro E do KIO com a

constante de acoplamento IG0 do KO/ - passo seguinte sera deduzir uma equacao que associe

o parametro de hibridizacao \ do KIO com a constante de acoplamento NN00do KO

1 <

principio) poderiamos pensar em relacionar ] com NI-- da analise perturbativa8 considerando

que ela e uma serie e que / termo de . O) ordem descreve de maneira satisfatoria uma rela~ao

simples entre E e IGG9entretanto) a teoria de perturba~ao levada a ordem suficientemente aha

conduz invarialvelmente a divergencias logaritmicas e portanto nao funciona para problemas

do tipo Iondo+

Bada essa dificuldade) resolvemos calcular a curva da suscetibilidade de carga da

impureza do Kw' eq+ $0+0/') inicialmente para / caso particular em que / modelo se

torne - de uma impureza e comparar graficamente com a curva universal da suscetibilidade

magnetica obtida por Uilson Y2).4\) para / Familtoniano Iondo de uma impureza+ Gsso

facilita a nossa analise para determinarmos uma rela~ao entre \ e NH+++

i procedimento foi iniciado) considerando X ,,* // na eq+ $0+.2') ou seja / sistema e

represent ado por duas impurezas infinitamente afastadas eo KIO e aquele de uma impureza+

< seguir supomos a inexistencia de transferencia de eletrons entre os niveis da impureza e a

banda de condu~ao) / que corresponde a reescrevermos / Familtoniano de Dalicov) Iimball

e Pamirez na forma

K)J ; Jx. ] ; -' ; Jx€NNx / r*)ll• / r* * Km ; K,

onde Jx corresponde ao valor de E para N ; i-

Lesse caso / Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamirez se transform a no Famil*

toniano de ponto fixo K-< conforme ja discutido na fig+ 0+/) a suscetibilidade de carga por

impureza e constante para todo intervalo de temperatura) com valor $expresso em unidades

adimensionais' de .,1+

i passo seguinte foi considerar a situa~ao em que / Familtoniano de Dalicov) Iim*

ball e Pamirez esteja proximo ao ponto fixo +\ pequeno'+ C assim devemos determinar

o Familtoniano efetivo que descreve os autovaloers e autovetores do KIO/ que se desviam

ligeiramente do ponto fixo+ Nara isso definimos / Familtoniano efetivo na vizinhanc8a do

ponto fixo de acoplamento fraco como sendo

Exv / objetivo de determinar agora uma relac8aoentre as constantes multiplicativas

UG e _6 do produto de operadores nx e m/ definimos operadores fermionicos que relacionam

os spins com cargas eletronicas) sendo as componentes de spin da impureza dadas Y.-\ por

Y / nlnx / nxnlMz * 1 '

as quais obedecem as relac8oesde comutac8ao

C / quadrado do spin total do sistema sendo descrito por

+Xmi * XS1,6 * +Xmg * XS1,6 * +Xmh * XSh,6

+Xmo * X~1,6 * 0* Xm.XSi * XS.Xmi

0 )l•l/ll•*)Nlnx/nxnN* )kU} }•l*7/ * / * . * NT * NT t

<o expressar a eq+ $1+0/' em func8aodas componentes de spins) obtemos

1 1H(G, V) = H* + V2V(fJd + h.c) + (G - Go)(fofJ - 2")(dtP - 2")'

(G - Go)V = - ...j2 cos fiGo,2 2

relat;ao valida no limite do continuo (A--+1). Apresentamos uma discussao da eq. (4.40)

no apendice D.

A seguir calculamos a suscetibilidade de carga da impureza definida pela eq. (3.67),

p~ra varios valores da constante de acoplamento J, 0 que corresponde a diferentes valores

do potencial de hibridizat;ao V, para urn determinado valor do para-metro de discretizac;;ao

A, e comparamos a curva result ante com a curva universal [15]. Como se poderia esperar,

uma vez que a discretizac;;ao quase sempre renormaliza os parametros do modelo, as curvas

das suscetibilidade de carga, calculadas com A > 1 e V definido pela eq. (4.40) coincidem

com a curva universal para urn valor adequado da temperatura Kondo, TK, a qual nao ea temperatura caracteristica do modelo Kondo. Tentamos por isso deduzir uma equac;;ao

efetiva para 0 potencial de hibridizac;;ao V.

Para a curva da suscetibilidade de carga coincidente com a curva universal [15],

representadas pela fig. 4.1, foi possivel obter uma equac;;aoaproximada que associa V com

Jl. da forma

'" (E , Jx* )4jJ, $<*G"EM ( <G"EM' t$l]~'/00 ; ****$AoQkJ, 0, , ,,,,, >>/- / Ro /

onde / indice zero corresponde a fazer H; - na eq+ $1+/5') de forma que

kJx.Jx ;,-

Ro

. $. * < *.'>> ; 1 0 V < ,0 Gn<)

< equac8aoaproximada para - potencial de hibridizac8ao ] foi construida apcs tes*

tarmos cada urn dos seus fatores isoladamente para / calculo da suscetibilidade de carga

da impureza utilizando / metodo intercalado) com diferentes valores do parametro de dis*

cretizac8ao <+ Cmbora esta equac8aotenha aparentemente uma forma complicada) podemos

dar uma explicac8aoqualitativa para cada urn dos fat ores que a compoem+ - expoente da

energia N8E : $. * 4;J1Zx* foi incluido na eq+ $1+1.' porque supondo*se E : - no KIO

. as

curvas result antes da suscetibilidade de carga coincidentes com a curva do modelo de uma

impureza Y6\)sac independentes do parametro de discretizac8ao<) ao contrario dependendo

fortemente da taxa de transic8ao k+a qual representamos na fig+ 0+. pela flecha vertical8

pode*se observar que no limite em que E ; Eo esse expoente e igual a H/ cancelando*se

com - denominador+ Rambem - incluimos no fator CA"4)3/42J13}*4 que esta associado com

o ajuste da curva da grandeza fisica a ser medida+ / fator (> *G"Eo * > ')Jx* ,/ represent a a

media sobre - parametro de discretizac8ao) visto que a curva da suscetibilidade para cada

valor de < varia com a defasagem dos eletrons de conduc8ao+

C necessario enfatizar que a equa~ao aproximada $1+1.') para a hibridiza~ao ]

descreve de maneira espetacular a coincidencia de curva universal Y.2\com a curva da sus*

cetibilidade de carga usando / metodo rw•m}kiuilx. para valores diferentes do parametro de

discretiza~ao) e para < tao grande quanto .- como pode ser observado da fig+ 1+.) / que

demonstra a precisao do nosso tratamento Y3/\+

o proximo passo foi introduzir na expressao $1+1.' que relaciona ] com N300(termos

em que considerem V finito) ou seja

)GJ- GJ* .$.*~] 3E]'/50000000C4 kk kk

4r 4r < )

$1+12'

C possivel observar da eq+ $1+12'que a hibridiza~ao) \/ tern intensidade diferentes

para / canal par $(' e / canal impar $*') entretanto esses valores ~e tornam iguais) quando

fazemos X ***t-- na eq+ $0+.2') e a equa~ao $1+12'result ante retorna ao valor da eq+ $1+1.'

em concordancia com - modelo de uma impureza+

Cm resumo) / procedimento que usamos permite que para urn dado valor da cons*

tante de acoplamento N : - do KO e da distancia entre as impurezas ~ ; ~mwOIV2 OIV

determinamos / parametro J correspondente do KIO dado pela eq+ $1+/6') e em con*

sequencia para urn dado valor do parametro de discretiza~ao <) calculamos / potencial de

hibridiza~ao \m da eq+ $1+12'+Be posse desses parametros podemos diagonalizar / Famil*

toniano de Dalicov) Iimball e Pamirez definido pela eq+ $0+0/' e obter seus autovalores para

calcular a suscetibilidade de carga da impureza definida pela eq+ $0+34'+

0T;0/H ; *-+-5M.RFO+

CV

sAB

++x7

A[G,AB7.*/0

o Ankoi nhco_klWfx Killil k_lnfmW\il

-+--*.-

0/-8

0/-7

0/-5

0/-3

0/o

0/

TKL0E

104

4.4 A nao equiv~lencia entre os Hamiltonianos de Fa-

licov, Kimball e Ramfrez e de Kondo no modelo

de duas impurezas

Com 0 intuito de verificarmos se ha equivalencia entre 0 Hamiltoniano de Falicov,

Kimball e Ramh-ez, eq. (3.32) eo Hamiltoniano Kondo eq. (4.1) de dois centros de impurezas,

inicialmente calcularemos a suscetibilidade de carga da impureza, definida pela eq. (3.67),

para 0 HFK. Nas sec;oes seguintes discutiremos situac;oes relevantes para a obtenc;ao da

suscetibilidade de carga do HFK e consequentemente compararemos estes resultados com as

curvas da suscetibilidade magnetica do modelo Kondo [34-37] e do modelo de Anderson [52].

J 1= 0, s 1= 0 e 10 = 0

Inicialmente calcularemos a suscetibilidade de carga, usando 0 HFK definido pela

eq. (3.32), 0 qual nao inclui explicitamente 0 termo de interac;ao RK KY. Em consequencia

nessa situac;ao estamos considerando que a interac;ao entre os spins das impurezas surja do

acoplamento entre as impurezas e a banda de conduc;ao.

Na figura 4.2 apresentamos algumas curvas da suscetibilidade de carga da impureza

do HFK para urn dado valor da constante de acoplamento J do HK e intensidades diferentes

da distancia entre os centros de impurezas representadas pelo valor de s = senKFR/ KFR.

Podemos observar da fig. 4.2 que para valores crescentes de s, as curvas da susceti-

bilidade se deslocam para a esquerda da curva universal. Na fig. 4.2 (c) aparece urn efeito

Kondo de dois estagios semelhante ao result ado para a curva da suscetibilidade magnetica

do modelo de Anderson de duas impurezas no limite de acoplamento magnetico, discutidos

na fig. 1.13 (a). Quando s 2: 0.01. hci uma saturac;ao da curva da suscetibilidade de carga

como mostramos na fig. 4.2 (d).

-+0-

-+/2

-+/--++

$GHC** AB -+.2x

G, 7.+AB -" -+,-

s-+-2

/////\ --x cSKcccccD-------------------------///////// //D/// //////// //0'"

to 1o 8X go

-- -o 1o §

=2 =NTo -------//////////////////////////

,[ : 0/I ; *-+-5GL: -

o--o

o

*-+-2 -410/

*/- *.2 *.- *2.- .- .- .-

TKL0E

o0/

de carga do Familtoniano de Dalicov+ Iimball e Pamirez) em fun98ao da temperatura+ <o

<presentamos na fig+1+0$a' e $b' os diagramas de fluxo de energia para ~ ; -+--63)

referentes as iterac8oespares e impares respectivamente+ < partir desses diagram as sao obti*

dos os deslocamentos de fase jJs ; 4r G,« definido pela equac8ao $0+3-'7 substituindo os

valores de energias lidos no grafico para os diferentes estados nas equac8oes$/+04') as quais

determinam os niveis de energia no ponto fixo em seguida calculando os expoentes 0.' Aomo

podemos observar os deslocamentos de fase dos el9~tronsde conduc8aoque deveriam ser zero

ou 4r,/ no limite de acoplamento ferromagnetico como ja mostramos na fig+ .+.1 $a') tern

valores diferentes nos diagramas result antes do Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamirez+

N :,7+ -) ~ : - e 32 :,7+ -

Lessa sec8aosera adicionado ao Familtoniano de Dalicov)Iimball e Pamirez) definido

pela eq+ $0+0/') urn termo correspondente ao Familtoniano de interac8aoXO Ob. eq+ $1+1'

do Familtoniano Iondo de duas impurezas+ Gssofacilitara) do ponto de vista computacional)

a comparac8ao entre os nossos resultados para a suscetibilidade de carga de impureza com a

suscetibilidade magnetica dos modelos com spins discutidos no capitulo .+

Be maneira similar ao Familtoniano de interac8aoXO Ob. usada por Hones e outros

Y01*04\para / modelo Iondo) descrevemos / Familtoniano de interac8ao XO Ob para /

modelo de Dalicov) Iimball e Pamirez8 entretanto devemos associar aos spins dos centros de

impurezas 40 e 41 as cargas das impurezas m3 e m4t

Qabemos que no modelo Iondo / Familtoniano de interac8aoXO Ob e definido pelaeq+ $1+1' como

Lx)YuoY4o* YumY4m * YunY4n*

L )Y Y Y-u ( Y/u Y-4 ( Y/4 Y-u / Y/uo 3o 4o* / / * /i

52dYucY4c * r)Y-uY/4 * Y/uY-4*f 0

./Lyy)2),1 x +•+'$ l" '$ 'm

0/ ..- 7; l'.-"7; •no; •

5 "..; "tXM; +•H Gt)< xO

3---•s.+3.

1 ---2z ,8BCB3

/• ••• H$ •

• aB

-+--------- fxsxsxxxx

-x G

/ 0/ 1/ 2/ 3/ 61 71lter-6§M

3.6·l/+-f-,x+2 .+2

• x 7*a ~ • 7 8 G _ b .b.

G x x x Gx xx x xx •• x •• x

Digura 1+07Biagrama de fiuxo de energia para / Familtoniano de Dalicov+ Iimball e PamYrez

< correspondimcia para urn sistema de carga e feita considerando que a componente

do spin Yo. pode ser escrita na forma)

o KVOOh que deve ser inclufdo no KIO/ e entao dado pela expressao7

X " () m m3« m4 /0 IO<o su stGtmr as eqs+ 0+0.) u : -I1 na equac8aoaAlma)reescrevemos / KVOOh

na forma

< interac8ao VO Oc/ 53/ pode ser determinada considerando que) inicialmente) /

estado fundamental do Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamfrez Kx ; Km ( KJ e degen*

erado+ Cste estado e represent ado pelo gas de Dermi dos eletrons de conduc8aocom nfveis

ocupados ou nao) $em analogia com - modelo Iondo com spins para cima e para baixo') ou

seja / est ado de vacuo em conjunc8aocom as quatro configurac8oespossfveis dos estados de

impurezas que tern urn eletron l em cada sftio de impureza+ <ssim)o estado fundamental

degenerado e gerado pelos est ados .- ij') .- i 5,/ .-. j' e .- F') onde por exemplo .- i .'significa / est ado com gas de Dermi ocupado) urn eletron no sftio . com spin para cima e urn

eletron no sftio / com spin para baixo+

< perturbac8ao Ks0m quebra a degenerescencia do est ado fundamental) caso os eletrons

l nos dois sftios de impurezas estejam no estado singleto LL* ou no est ado tripleto GGL*. LLLL*e GL]* dados por

0/7

GGr* 61( 0/ i 5, 0 0/ 5i''

LLL, s(GL il' * 0/ li''$1+2/'

LLLL, , 0/ R)

LL\, 0/ ii'

< diferenc8aentre as energias dos estados tripleto e singleto) e igual a interac8aoui. ou

seja 32 ; H56

, 0 Hl6,1 <s energias HC, e Hl6, sao determinadas usando teoria de pertubac8ao

de /a ordem) definida como

Mselementos de matrizes da pertubac8ao Ks0k. devem ser calculados considerando as

defasagens dos eletrons de conduc8aodevido ao potencial espalhador J/ as quais produzem

divergencias logaritmicas nos calculos perturbativos de ordem mais baixas+ Tma vez que a

teoria de pertubac8ao nao pode ser utilizada para - calculo da interac8aoVO Oc/ - melhor que

podemos fazer e considerar 53dado pela teoria de perturbac8ao aplicada ao modelo Iondo+

Lo sentido de comparar os nossos resultados da suscetibilidade de carga do KIO

com os resultados para a suscetibilidade magnetica obtidos por Y01*04\ inicialrnente supo*

mos 32 r /404ZOA sabendo*se que aqueles autores atraves de seus calculos demonstram

que a competic8ao entre 32 e ZO define dois pontos fixos estaveis separados por urn ponto

fixo instavel para esse valor de ui. que produz anomalias nas curvas das propriedades ter*

modinamicas) como apresentamos na fig+ .+./+ Cntretanto) a descontinuidade na curva da

suscetibilidade magnetica do Kodelo Iondo apresentada por estes autores) nao ocorre na

curva da suscetibilidade de carga do Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamirez8 como

mostramos na fig+ 1+1 $b') a curva continua se desloca suavemente para / lado direito da

curva universal $a' quando 32 ; uikr /404ZO0

Nara uma analise mais rninusciosa do problema) calcularnos diversas curvas da sus*

cetibilidade de carga para diferentes valores da relac8aoLx1ZO1 Mbservamos que para valores

B+ (TdF _(B9" DE

G, 80-AB /<

oV

-------8.7----// . .- - -/. 0././.z 3321x z

m= -77 7------7---87 +

o· •- -- -+7~ 7c 8\8-8sX88s ---

••+•••••• ~O •••• 77•••+•

" ; 0/H ; *-+-5s : -

*-+-2.-*01 .-0/ .-*5 .-*3 .-*3 .-*1 .-/

elQ.B

-+0-

-+/2 " : .- ---H: *-+-5 ---'

-+/- :---

B+ Q 8C +MS_

-+.2 -p AB

G,7.+ -'

AB /< -+.-oV "-

-+-2 --+--

8-------------

- "0'/////

h!ooo

ooo11,

* -+-2 *0- */2 */- *.20/ 0/ 0/ 0/

ePQ.B

-6 10/ 0/

Digura 1+17Quscetibilidade magnetica da impureza ern fun98a+oda temperatura) utilizando /

Familtoniano de Dalicov) Iimball e Pamrrez de duas impurezas+ Nara < : .-) N : *-+-5)

de ./ : -) as curvas se deslocam para a direita da curva universal) como mostramos na fig+

1+1$c'8 aumentando*se / modulo de 0/+a curva na denominada regiao de transic8ao tende a

ser paralela ao eixo vertical) como aparece na fig+ 1+1$d') quando ..-0 s YO1 / contrario

ocorre para valores de .- < -) onde as curvas se deslocam para / lado esquerdo da curva uni*

versal) como apresentamos nas figs+1+1$e' e 1+1$f'+ Mbserva*seque a fig+1+1$f' e identica

a fig+ 1+/ $c') no regime ferromagnetico) onde aparece urn efeito Iondo de dois estagios+

Nara valores de ./ < ;2O ha uma saturac8ao da curva da suscetibilidade similarmente ao

result ado da fig+1+/ $d'+

<o comparar os nossos resultados para suscetibilidade com os obtidos por Y01*04)

2/\ representados pelas figs+ .+./) .+.0$a' e $b') observa*se que as curvas de suscetibilidade

embora qualitativamente similares) nao apresentam nenhuma anomalia em valor algum da

relac8ao321ZO. em contraste com os resultados daqueles autores+

Aom / objetivo de analisar de outro cingulo a questao da equivalencia entre os

dois modelos) calculamos - diagrama de fluxo de energia para - limite de acoplamento

ferromagnetico ./ : ;2ZO e ~ : - represent ado na fig+ 1+2$a' e comparamos com - da

fig+ 1+0)para ~ : -+--63 e 0/ : -) os resultados saB levemente diferentes ainda que para

esses valores as curvas das suscetibilidades de cargas sejam identicas+ - proximo passo

foi compararmos a fig+ 1+2 $a' com - diagrama de fluxo de energia para - acoplamento

antiferromagnetico) represent ado pela fig+1+2$b' sendo .- : 059YO e ~ : -) onde sabemos

que existe uma competic8ao entre / efeito Iondo e a interac8ao VO Oc1 Mbserva*se dessa

comparac8ao que nao existe uma mudanc8ade defasagem de 4r ,/ para zero) como ocorre entre

os graficos Y2/\das figs+ .+.1$a' e $b'+

<o adicionar a interac8aoVO Oc/ eq+ $1+14'no KIO/ quebramos a simetria particula*

buraco do Familtoniano - que introduz operadores marginais) no KIO e consequentemente

destroi a equivalencia entre - Familtoniano de Dalicov)Iimball e Pamirez e - Familtoniano

Iondo de duas impurezas+

,lA,),H~a,Db ••j~> •Ul> •,ZO l> •Ill') tr

........I··".ax•".,; ...••••• - •• a• •• D

20 30 40'tarGCtoo

10 .

• • • • • x • • • • • M • M • M •B"

j 6-0~•I:

&AI 4-

2- • • • ~ • R • R • • • • • R • • • R•a.' ,•,•,•,•,••••I • I ,

0•••• j,6'.161 &'''I&l~I", •. rA

;0 20 ",.0 30 40 50 60It.r~ao

Figura 4.5: Diagrama de fluxo de energia para 0 Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ram(rez

de duas impurezas em func;ao das iterac;oes impares. Usamos J = -0.08, A = 10 e s = 0

nas seguintes situac;oes (a) de acoplamento ferromagnetico, considerando 10= 80TK e (b) de

acoplamento antiferromagnetico 10= -16TK. Ao comparar esses gnificos nao observamos

uma mudanc;a de fase de 7r/2 para zero. A interac;ao RK KY destroi a equival€mcia entre 0

Aapitulo 2

Aonclusoes e sugestoes

Leste trabalho desenvolvemos uma tecnica de calculo) uma extensao do metodo do

grupo de renormalizac8ao numerico) que diagonaliza Familtonianos de mais de uma impureza

e calcula suas propriedades termodinamicas+

< principio) no capitulo /) desenvolvemos urn procedimento numerico para a dia*

gonalizac8ao de Familtonianos de impureza como - de <nderson de uma impureza) que foi

facilmente diagonalizado+ Cste procedimento de diagonalizac8ao mostrou ter baixos custos

computacionais) para valores gran des do parametro de discretizac8ao<) $< ~ .-') em relac8iw

ao metodo padrao) > ",' 2+ utilizado por Uilson Y2\+Aonsiderando que) it medida que >

cresce) - custo computacional) proporcional a el,Gn< diminui substancialmente) est a tecnica

tem*se revelada altamente poderosa+ - prec8oque pagamos para ganhar baixos custos com*

putacionais) sao oscilac8oesacentuadas nas curvas das propriedades termodinamicas deste

modelo) consequencias da discretizac8ao da banda de conduc8ao+Aom / objetivo de eliminar

essas ocilac8oes)foi desenvolvido nesta tese uma tecnica de calculo) denominada de metodo

intercalado) que se baseia nas medias de suas propriedades termodinamicas+ Aom ela obte*

mos resultados para - calculo das suscetibilidades desse modelo que convergem rapidamente

para / limite do continuo $< ** .'+

Aom - intuito de testar a potencialidade do metodo intercalado) no capitulo 0) -

aplicamos ao Familtoniano de Dalicov) Iimball e PamGrez de duas impurezas+ Srn procedi*

mento iterativo para diagonalizar aquele Familtoniano foi desenvolvido) uma vez que alem

de termos quadraticos ele possui termos quarticos) / que dificulta sua diagonalizac8ao8du*

rante / processo iterativo introduzimos operac8oesde simetria que diminuem as dimensoes

das matrizes do Familtoniano) ocupando portanto uma menor memoria computacional e

reduzindo - tempo de diagonalizac8ao+

Fa urn outro fator importante em nosso trabalho7 alem do metodo intercalado efe*

tivamente resolver / modelo de duas impurezas) represent ado pelo Familtoniano de Dalicov)

Iimball e Pamirez) sem spins) foi possivel comparar este Familtoniano com / Familtoniano

Iondo de duas impurezas e mostrar a nao equivalencia quantitativa entre eles atraves das

curvas de suas propriedades termodinamicas. No capitulo 4, calculamos a constribui~ao da

impureza para a suscetibilidade de carga, para diversos valores da distancia entre os sitios de

impurezas R, e a da intera~ao RK KY 10• Mostramos que, no modelo de duas impurezas abaixas temperaturas. existe uma competi~ao entre a intera~ao RK KY e a tendencia de cada

impureza se acoplar com os eletrons em seu redor. Em conclusao, mostramos que 0 Hamilto-

niano de Falicov, Kimball e RamIrez nao e quantitativamente equivalente ao Hamiltoniano

Kondo de duas impurezas. No entanto, eles sao qualitativamente equivalentes.

Gostariamos de ressaltar que caso eles fossem equivalentes, seria do ponto de vista

computacional, preferivel calcular propriedades termodinamicas do Hamiltoniano de Falicov,

Kimball e Ramfrez, pois 0 problema numerico de sistemas sem spins e mais simples do que

os com spins. Mesmo sendo nosso objetivo principal a aplica~ao do metodo intercalado ao

modelo de Falicov. Kimball e Ramrrez de duas impurezas, e mesmo sendo este nao equivalente

ao de Kondo, essa analise serviu para enriquecer os nossos estudos.

Com a finalidade de dar enfase ao metodo intercalado, que mostrou ser uma ferra-

menta poderosa para 0 calculo de propriedades termodinamicas a baixas temperaturas, pode-

mos observar dos procedimentos numericos discutidos nos capitulos anteriores que, atraves

dele, tambem e possivel calcular propriedades termodinamicas de Hamiltonianos mais com-

plexos, como 0 de Kondo ou de Anderson de duas impurezas, 0 que deixaremos como nossas

sugestoes futuras.

Uma outra aplica~ao interessante e imediata do metodo intercalado seria calcular

a contribui~ao da impureza para 0 calor especifico do Hamiltoniano de Falicov, Kimball e

Ramfrez no modelo de duas impurezas. 0 calor especifico e facilmente computado atraves dos

calculos numericos, discutidos no apendice E; no entanto, sua dependencia termica merece

uma aten~ao especial em rela~ao a curva da suscetibilidade de carga desse modelo: a curva

do calor espeeifico apresenta oscila~Oesmais acentuadas do que a da suscetibilidade.

Para 0 caso particular em que 0 Hamiltoniano de Falicov, Kimball e Ramfrez de

duas impurezas recai no modelo de uma impureza, a curva do calor espeeifico apresentado

na figura C+l para os valores grandes de <. mesmo utilizando / nosso metodo intercalado

mostrou oscila98oes+<inda que. essas oscila98oespare98amser suaves quando comparamos com

os resultados obtidos por Mliveira e Uilkins Y0-J elas nao estiio sendo totalmente anuladas

como as da suscetibilidade de carga+ Cntretanto0 e provavel que tais oscila98oespossam ser

anuladas posteriormente. com / aprimoramento do metodo intercalado ou seja.

incluindo

urn mimero maior de valores do panimetro Xl para / calculo das medias termodinamicas+

<creditamos ser suficiente / material que temos para a tese de doutoramento e daremos

continuidade a esses calculos num futuro proximo+

Apendice A

Calculo analitico da equa~ao dasuscetibilidade magnetica da•lIllpureza

r-;;;;-:= cERVI<;:O Dc. BIBLlOTECA E ,,~ .c;;!-' INFORIVA<;:AO _..i

Neste apendice discutiremos os calculos da referencia [15] para a contribuic;ao da

impureza para a suscetibilidade magnetica, dependente da temperatura, do modelo de An-

derson (U = 0).

A suscetibilidade magnetica da impureza, e definida como, a suscetibilidade do sis-

tema (impureza + metal) menos a suscetibilidade dos eletrons de conduc;ao, dada por

• () significa a media termodinamica sobre os estados de impurezas e de conduc;;ao.

• 9 e 0 fator giromagnetico eletronico, J.Lb 0 magneton de Bohr e KB a constante de

Boltzmann.

1f3 = KBT'

Aonsiderando os Familtonianos do sistema e dos eletrons de condu98ao)truncados

e escalados) definidos pelas equa98oes$/+/5' e $/+/6' respectivamente) podemos reescrever a

)Z} )Yomrp5KS**4q

Z} n0+7KS

(>-4)

,0 ; . (<*0

GD0LS/3*14/o-3s5x1

Mbserve que a equa98ao$<+4' e uma conseqiiencia do truncamento da serie infinita)

em w ; R 0 .) da eq+ $/+.1' que define e~+ Cm resumo) a uma dada temperatura Y/ foi

escolhido urn fat or de escala) GR/ definido pela eqo $/+/1')- qual e aproximadamente igual

a energia HS/L( para urn valor de R tal que _O' s ODZx Mu seja) quando dN l . temos

Aonsiderando que no calculo iterativo para a obten98aoda) asz±/ temos que dado

uma constante ,0) cada itera98aoS corresponde a uma energia termica ODZ ; GR 2,0) onde

o Familtoniano truncado foi dividido por GR para seu menor autovalor ser da ordem de 09

GS a HvimGS0 Oueremos enfatizar que os pesos de =oltzmann para energias grandes QaEda

ordem de exp$/HvimGS LODZ* ; exp$/Hvimu ,0') sendo portanto esses pesos despreziveis

exp$*.0'8 considerando que r5 e rnuito pequeno) os autovalores rnenores que urn produzem

urn peso da ordem da unidade+ logo que esses autovalores podem ser considerados nulos+

Csses fatos simplificam - ca.culo computacional das propriedades termodillilrnicas+

o tra98ona eq+ (>-4) represent a a soma de todos os niveis de energia+ incluindo a

soma das configura98oesde cada nivel+ La forrnula98iwdo modelo de <nderson +Z ; -' supoe*

se que a irnpureza interage com os eletrons de condu98aode ondas*s) ou seja atraves de niA a

irnpureza e representada por urn nivel) El. que pode acomodar dois eletrons de onda*s com

spins opostos+ em 1 configura98oespossiveis7 urn estado vazio) dois est ados com urn eletron) e

urn estado com / eletrons+ La figura <+Grnostramos uma representa98ao esquematica desses

•0 ; !* /

,m, ,m, **Qendo os Farniltonianos quadraticos+ eles podem ser escritos como uma soma de

onde :t e / operador nurnero de ocupa978ao+

< suscetibilidade rnagnetica da irnpureza) definida pela eq+ $<+2') e reescrita na

<pendice =

Hustificativa do comportamentooscilat3rio na curva dasuscetibilidade magnetica da•lmpureza

Nara valores grandes de L impar) podemos reescrever a suscetibilidade magnetica

do sistema) definida pela eq+ $/+1.') a uma dada temperatura por

onde) os ·2ym ; mD50iAfA()cym/expressos pela eq+ $/+04') saE os autovalores positivos e negativos

Nor outro lado) a suscetibilidade dos eletrons de condu98ao)dada pela eq+ $/+1/'+

onde) os )·2y: )·2C. : )·2Ci : S/o. expresso pela eq+ $/+00') saE os autovalores de KjkS'

< contribui98ao da impureza para a suscetibilidade) descrita pela equa98aoasz±

a / ajk. para valores grande R impar sera entao descrita por7

onde separamos / termo 3B2 da segunda soma do lado direito da eq+ $=+0'+

o somando do lado direito da eq+ $=+0' torna*se muito pequeno para valores de L tal

que nsS r .+ <ssim) para valores grandes de R garantimos que podemos estender / limite

superior da soma para / infinito+

Nor outro lado) desde que ';N _ pequeno e os autovalores (}11- PWE da ordem de K+para pequeno L a exponencial exp$* ';N)·2y., e aproximadamente igual a unidade8 e / primeiro

termo da soma da eq+ $=+0' e aproximadamente igual a .,1)- segundo termo tambem e .,1)

enquanto / ultimo termo e *.,/+ <ssim portanto) a soma torna*se muito pequena) para

valores pequenos de L/ e entao podemos estender - limite inferior da soma para *--+ < eq+

m/rr- m/rr/ m/rr:G<(f) ; ,,,, * ,,s, , 1 V

(0 ( m/15·uu-*4 (0 ( m/15}1ug*4 (0 ( e*,0.H.'/

Aonsiderada como uma fun98aode variavel complexa ~) / somando :0<(/ e real e

analitica sobre / eixo real) ~ ; m0 Qob essas condi98oes)uma transforma98ao de Qommerfeld*

Uatson Y25\converte a soma na eq+ $=+1' em uma integral7

a:G<(f) ; 0--

?LB+g,mg * 36f' Lz6;)V+x,.:-- -- x

onde V+ x, indica - residuo da fun98ao

no polo ~ ; rt0 < linha no ultimo termo do lado direito da eq+ $=+3' indica uma soma sobre

todos os p3.-s no semi plano superior) Gm$~k'< M+

Tma vez que - denominador do lado direito da eq+ $=+4' nao se anula neste semi

plano) os p3los duplos) coincidem com aqueles de :0<(/ e sao dados por

onde) Lrt sao dados pela eq+ $/+05' substituindo 'uu por lx/ e por«

• facil mostrar que os palos de ?T+l, estao sobre - eixo ou acima da linha Gm$M;

}0,/.n +[+ < eq+ $=+4'+entao mostra que as maiores contribui98oes para (U)rt* sao propor*

cionais a exp$V60'1 ,Gn >)- Aada residuo V+ x, e portanto proporcional a este fator e para

pequenos valores de <) a soma do lado direito da eq+ $=+3' e desprezivel+ Nara < pequeno)

entretanto) a soma infinita do lado direito da eq+ $=+1' torna*se uma integral) mostrando que

a suscetibilidade da impureza calculada com a banda de condu98aodiscretizada esta proxima

do limite do continuo+

Mbjetivando substanciar esse ponto com uma discussao mais espeeifica) e mostrar

que para < grande - segundo termo do lado direito da eq+ $=+3' introduz oscila98oesna

suscetibilidade dependente da temperatura) nos calculamos / limite a temperatura baixa

para Zarvz)c. Y,1 Aonsideramos a impureza na energia de Dermi) Hm ; -) para tomar /

calculo ilustrativo mais simples+

Ouando Y l -) eq+ $/+/.' mostra que / limite de truncamento) R se aproxima do

infinito+ Be acordo com a eq+ $/+/1') a largura da banda escalada) GR entao se aproxima de

zero) e de acordo com a eq+ $/+05') fp ):3(LLs* r :foo+ Lesse limite) portanto) LLs r :fl,/)

logo que os autovalores na eq+ $/+04' tornam*se

"G"} * sCL0o.5'6·)G« ** +

< fun98ao?T+S na eq+ $=+2' entao se reduz para

Lo semi plano superior) Gm$M< -) / lado direito da eq+ $=+ll' tern palos duplos a

~ : 3 e ~ : ~~)dados por

. +8t ( l'i4r GnY$/H+~( .'4r\rt ; c / "1 ( /ln < ( E Gn<

+/ i +8t * l'i4r GnY$/k* . '4r\rt / o * /ln < * )=Gn<

onde de qualquer inteiro nao negativo+

Bado - denominador . * exp$ */4ri~k' no lado direito da eq+ $=+4') a fun~ao ?±+l,

diminui rapidamente com / aumento de Gm$M+< maior contribui~ao para a soma V+x, do

lado direito da eq+ $=+3') surge dos palos com d: - nas eq+ $=+.1' e $=+l+2'+Qeus resfduos

Y/ $. GnY/4r$/k* .'\ L{+OEY2GR,,f

x cos 4r c / "1 * Mk< * Mk< "

xcos Y/4r)c g r ( ]Gn]Y/]4r]$/]k](].]'\( iL{i+oi+EiYi2iGiSg**fq0/ Gn< ln<

Nara energia da impureza Ad ; -) os autovalores oN~i e zero para todo R1 <ssim

sendo) / primeiro termo do colchete da eq+ $=+.5' e .,1+ < integral Y26\)no segundo termo+

entretanto e igual a *.,1) logo os dois termos adicionados se anulam+ < eq+ $=+.Q' e entiw

Y/4r)o g r ( GnY/4r$/k( .'\ ( Gn$I=R , GR,,fk 1

/ Gn< Gn<$=+.6'

Apendice C

Calculo analitico da equa~ao dasuscetibilidade de carga da impureza

A suscetibilidade de carga da impureza, e definida como a diferen~a entre a sus-

cetibilidade de carga do metal mais a impureza e suscetibilidade de carga dos eletrons de

conduc;ao do metal. descrita por

onde, Q e Qo sao a carga total e a carga dos e1etrons de condu~ao.

Gostariamos de enfatizar que as equa~oes que express am a suscetibilidade de carga

sao definidas da mesma forma que aquelas empregadas, no ap€mdice A, para 0 ccilculo da

suscetibilidade magnetica fazendo-se a substitui~ao Sz por Q e SZQ por Qo na eq. (A.I) ate

a eq. (A.7). A suscetibilidade de carga da impureza, deve ser reescrita na forma

i~= (gJ-lt3)2 {Tr Q2e-nHN) _ Tr Q6e~nHcN) + (Tr Qoe~nHCN))2 _ (Tr Qe-OHN))2}Imp ]{BT Tr e-EHN Tr e-t3HcN Tr e-t3HcN Tr e-t3HN

(C.2)

1+ A-I(3 = ---DA -(N-I}/2-z-I {3.2

Embora, as suscetibilidades magnetica e de carga possuarn expressOes matematicas

parecidas, elas tern caraeteristicas fisicas diferentes, ou seja, uma esta relacionada corn 0 spin

e a outra corn a carga eletronica do sistema envolvido.

HeN = L'rJjgJ9jJ

onde, gj, e 0 mimero de ocupac;iw.

Define-se a carga dos eletrons de conduc;ao do metal, como

N-l 1Qo = L (f~fn - ?),

n=O -

onde estamos supondo que urn estado vazio, corresponde a uma carga Qo = -1/2 e urn

est ado com urn eletron a uma carga Qo = 1/2. Na figura C.1 associamos a carga eletronica

ao spin do sistema discutido no capitulo anterior, ou seja:

Sz = -1/2-+-Qo = 1/2

• corresponde

spin para baixoSz = 1/2-t-

< suscetibilidade de carga do metal e entiw+ descrita por7

N2 0 0 0/ -3( / /ZN4 d d

), ---------0 0 0 0-3( / / /

RHl d dVx ,0 - - 0

H - RHl ZN4 RHl * ZN4

Digura F16

Aomo ilustrac8ao+apresentamos urn exemplo do calculo da suscetibilidade de carga do

metal considerando dois niveis de energia simetricos RHl e .4/ de urn unico centro+ represent ados

na figura F161 <o substituir esses valores na eq+ $A+6')obtemos

U )/3*4mx-T-T-)3*4m/35)3:3-3:4*

a~ ; _L * m/353:3 * m/)=N3:4 * m/rN)3:3-3:4* .

Nara / caso particular de dois centros) hci dois niveis degenerados $par e impar' para

cada •. e a suscetibilidade de carga do metal e duas vezes ao valor da equac8aoanterior7

e assim pMl"diante) se considerarmos dois centros e • niveis) podemos descreveG"a suscetibi*

Cntretanto) / Familtoniano total de Dalicov) Iimball e Pamirez) KR definido pela

eq+ $0+06') e composto pMG"termos quarticos) - que nos impossibilita de determinar uma

equa98aodireta e simples como a anterior) para - calculo da suscetibilidade de carga total)

sendo esta possivel somente no caso em que E ; o+ <ssim) a suscetibilidade de carga total

$metal * impureza' e calculada numericamente usando a expressao7

onde) para cada itera98aoR existe urn conjunto de autovalores Lcorrespondente a carga Vo0

Qabe*se que a suscetibilidade de carga esta associada a suscetibilidade magnetica

atraves da rela98aoY//\ aV ; 6a/ cuja dedu98aofoi baseada na aproxima98aode tempo infinito

Y/-\) a qual consiste em aproximar fun98oesde Ereen de partieula unica dos eh~trons de

condu98ao dependente do tempo pMl"expressoes no limite de tempo infinito+ Cssa rela98ao

tambem foi comprovada pelos resultados numericos para / modelo de uma impureza obtidos

Aomo e nosso objetivo comparar os resultados da suscetibilidade magnetica dos

modelos com spins com os da suscetibilidade de carga) dividiremos est a pelo fator /+

< suscetibilidade de carga da impureza) e portanto definido como sendo

S-u*rG';;0

, / U7m/r5Z1LL

$\(f*i0R,~D +

Lo caso particular em que E ; - a equac8aoacima e reescrita na forma

hspd/,,,,,, --,g,s---8'v,,vV88,--a-:, zz T zzzzzz2zzz2xI72 TT 0-0 +MiXD(DE-. a ID -

At,8 xxxT"r"MBJ8' Pf_J- -' --V'-s' V/EE'U////U- KN Q/((Pe,# gr

, G!',!DLDsT(>m-'- '- FRV-V- G.. //-Q '"///d''''/////////////-/ /

FmdkcgbdJ

KumVkpVlcl lmdoVclo 7I kVvizinhan~a cl mlkrl egul

La vizinhanc8a do ponto fixo de acoplamento fraco / operador nx. definido pela

equac8ao $/+.-') pode ser expandido em termos dos auto*operadores 70 e pr do Familtoniano

efetivo K+ E+D'+ <o l*esimo autovalor positivo $negativo' de K associamos urn auto*operador

70 que aniquila urn eletron com energia YfL. $R\J'+ Befinindo pr ; :50 temos que sempre que

o autovalor for R\J) pr sera urn operador de criac8aode urn buraco no estado fundamental de

K/ que possue todos os niveis com energia negativa ocupados+ Cm conseqiiencia) na situac8ao

S-3nx ; >,(K,0).3 P -7-,$6. * rs, * S+D05S17*

0;0

S-3nx ; ETY $4r)' C/)S/3*17 PY-7-0$).('6. ( M7ol$)J'hj\ ( S+D05S17*

0;0

-"- ; (0 , >,.'.,/

Los nossos calculos desprezamos os termos de 0O)ordem nas eqs+ $B+l' e $B+0'+

Nodemos observar da equa98ao $B+0' que) supondo J ; Jx0 / operador nx sera

proporcional a ki~ )4.iEo' que result a em a eq+ $1+1-' ser proporcional ao fator FGX jJ~

) onde

rJx ; XEo,4.+

Apendice E

Determinac;ao do calor especifico da•Illlpureza

o significa a media termodinamica sobre os est ados de impurezas e de conduc;ao e 00 a

media sobre os estados de conduc;ao, e a energia media dada pela expressao:

Tre-13H H(E) = Tre-13H

Ao considerar a mesma aproximac;ao que usamos no apendice A, para 0 ccilculo da

suscetibilidade magnetica da impureza, ou seja quando eN ~ KBT temos j3 ~ 1; podemos

usar as seguintes expressoes aproximadas para as medias termodinamicas:

"$ = 1 + A-I DA -(N-1)/2-z-1 (3.2

HeN e 0 Hamiltoniano da banda de condut;ao dado pela eq. (C.5) e HN e 0 Hamil-

toniano de Falicov, Kimball e Ramfrez adicionado do termo de interat;ao RK KY.

Como exemplo ilustrativo, podemos calcular 0 calor espeeifico da impureza con-

siderando dois nfveis de energia simetricos de dois centros inifinitamente afastados, como

realizamos no apendice C para 0 calculo da suscetibilidade de carga da impureza. Assim,

observando a Fig. C.2, podemos determinar os resultados das eqs. (E.7) e (E.8) como sendo

e 0 calor especifico do metal para cada valor de 1.

Para 0 caso particular em que G = 0, a eq. (E.3) e reescrita na forma

/-1$ ......U./.... ////d///....///-//.....U// .-

-+/+ ~s

• :<vl2/-0$ *

:< 9;mut~ /:<

:<:<-+. * • aAB•ABa :<

-+-2 x- :<:< :<:< (,'1• AAB ABABa :< s

UR CC CAB 4E2 :< •• ]t + :")-

320< 531; 32/: tDZ1G 32/9 .-+2

Digura C+l7 Aurva do calor espedfico em func)8aoda temperatura do Familtoniano de Dalicov)

Iimball e Pamfrez para / caso particular em que / modelo de duas impurezas recai no modelo

de uma impureza+ Nara valores de < ; .-) ~ ; -) E ; -+/04 e k* ; kV; -+-40/+

. // ''/

RdedodkbgVpHgahglfoVegbVp

Y.\ Qteglich D+8<arts H+8=redl A+B+8Aordier E+8=oer D+P+8Jicke U+8 Panchssehwalbe

T+ Quperconductividy in d* and f*band metals+ p+ .12 Hlr•ml jn _0 D€ktmu iwl_0 _mjm}.3<;4

Y/\ Qteglich D+8<arts H+8=redl A+ B+8 Jicke U+8 Keschede B+8 Dranz U+8 Qchafer

H+ Y€zm}kxwl€k•rkrln rw z}m~mwkmxn ~•}xwo Ui€ur zi}iviowm•r~v= EmE€4Yr40

Nhys+Pev+ Jett+ v+ :5- n+/2) p+ .56/) .646+

Y0\Eruner E+8 Xawadowski <+ Riowm•rk rvz€}r•rm~ ow wxw/viowm•rk vm•iu~0Pep+ Nrog+Nhys+v+6: 0n+3.) p+ .164 ) .641+

Y1\Qtewart E+ P+

.651+Pev+ Kod+ Nhys+v+ 89 0n+ 1) p+ 442 )

Y2\Uilson I+ E+ Zpm }mwx}viuroi•rxw o}x€z= k}r•rkiu zpmwxvmwi iwl •pm Oxwlx z}xj/

umv0 Pev+ Kod+ Nhys+v+7:0 n+1) p+440) .642+

Y3\Hones =+ <+ S€vm}rkiu }mwx}viuroi•rxw o}x€z izz}xikp •x •pm •lx/rvz€}r•n OxwlxKivru•xwriw0 Rese de doutoramento p+ ./) .655+

Y4\Iondo H+ Qolid Qtate Nhysics+

0 )Ckilmvrk. Sml bx}t* 3<9<0v+25- p+.50) Hl0 I0 Ymr•o. Z€}wj€uu. K0 Hp}mw}mrkp

Y5\Jee N+<+8Pice R+K+8Qerene H+U+8Qham J+ H+8Uilkins H+U+ Zpmx}rm~xn pmikn/

mumk•}xw~n~•mv~0 Aomments Aondo Kat+ Nhys+T+ 450n+00)p+66) .653+

Y6\Azycholl E+ Czz}xmrvi•m •}mi•vmw•~ xn rw•m}vmlri•m kiumwkmpmikn nm}vrxw vxlmu~n~•mv~0 Nhys+Pep+ v+4760 n+2) p+/44) .653+

Lews B+ K+7 Pead L+ Rmiw/nrmul •pmx}n xn rw•m}vmlri•m kiumwkm/ pmikn nm}vrxw~n~•mv~0 <dv+ Nhys+v+5>- n+3) p+466) .654+

Y.-\ Rsvelick <+ K+8 Uiegmann N+=+ Hmik• }m~€u•~rw •pm •pmx}n xn viowm•rk iuuxn~0<dv+ Nhys+v+52- n+1) p+120) .650+

Y..\ <ndrei L+8 Duruya I+8 Jowenstein H+F+ Yxu€•rxw xn •pm Oxwlx z}xjumv0Pev+ Kod+ Nhys+v+880 n+/) p+00.) .650+

Pajan T+ R+8Jowestein H+F+8 <ndrei L+ Zpm}vxlnwivrk~ xn •pm Oxwlx vxlmu0Nhys+Pev+ Jett+ v+:C- n+4) p+164) .65/+

Y./\ Fir~ch H+8Dye P+ Rxw•m Ei}ux vm•pxl nxZ( viowm•rk rvz€}r•rm~ ow vm•iu~0Nhys+Pev+ Jett+ v+ ;>- n+/0) p+/2/.) .653+

Y.0\ =ickers L+ C+ Xmkrml xn •mkpwr{€m~rw •pm ui}om S mmziw~rxw nx} lru€•m viowm•rkiuuxn~0 Pev+ Kod+ Nhys+v+ ;C- n+1) p+512) .654+

Aoleman N+ Sml izz}xikp •x •pm vrmml/kiumwkm z}xjumv0 Nhys+Pev+ = v+ 2C- n+0) p+0-02) .651+

Y.1\ Puderman K+ <+8Iittel A+ Lwlr}mk•mmkpiwom kx€zurwo xn w€kumi} viowm•rk vxvmw•~

jn kxwl€k•rxw mumk•}xw~0 Nhys+Pev+ v+C>- n+ .) p+66) .621+

Y.2\ Irishna*murthy F+ P+8 Uilkins H+U+8 Uilson I+ E+ Xmwx}viuroi•rxw g J}x€z

izz}xikp •x •pm Cwlm}~xw vxlmu xn lru€•m viowm•rk iuuxn~ L0Y•i•rk z}xzm}•rm~ nx} •pm~nvm•}rk ki~m0( Nhys+Pev+ = v+540n+0) p+ .--0) .65-+

Y.3\ Irishna*murthy F+ P+8 Uilkins H+U+8 Uilson I+ E+ Xmwx}viuroi•rxw / J}x€z

izz}xikp •x •pm Cwlm}~xw vxlmu xn lru€•m viowm•rk iuuxn~ LL0Y•i•rk z}xzm}•rm~ nx} •pm

~nvm•}rk ki~m0 Nhys+Pev+ = v+540 n+0) p+ .-11) .65-+

Y.4\ Irishna*murthy F+ P+8 [Tilkins I- U+8 Uilson I+ E+ Zmvzm}i•€}m/lmzmwlmw•

~€~km•rjrur•n xn •pm ~nvm•}rk Cwlm}~xw vxlmu= Exwwmk•rxw •x •pm Oxwlx vxlmu0Nhys+Pev+ Jett+ v+680 n+ .3) p+ ..-.) .642+

Y.5\ Lozieres N+ C Im}vr/ur{€rl lm~k}rz•rxw xn •pm Oxwlx z}xjumv i• uxl •mvzm}i•€}m0H+Jow Remp+ Nhys+ v+ 4:0 n+ .) p+ 0.) .641+

Y.6\ Lozieres N+8=landin <+

.60) .65-+H+Nhysique v+ 740 n+ 0) p+

Y/-\ <nderson N+U+ and Wuval E+ Hmik• }m~€u•~rw •pm Oxwlx z}xjumv= H{€rkiumwkm •x

i kui~~rkiu xwm/lrvmw~rxwiu Ex€uxvj oi~0 Nhys+ Pev+ Jett+ v+ 25- n+ /) p+ 56) .636+

Y/.\ <nderson N+U+8 Wuval E+8 Famann B+ P+ Hmik• }m~€u•~rw •pm Oxwlx z}xjumv LL0

Ykiurwo •pmx}n0 Nhys+ Pev+ = v+ 1- n+ ..) p+ 1131) .64-+

Y//\ Tigman N+ =+8 Dinkelshtein <+ K+ Xm~xwiw•/umkmuvxlmu rw •pm Oxwlx z}xjumv0QMy+Nhys+ HCRN v+ :A- T/ 1- p+ .-/) .646+

Y/0\ Qchrieffer H+P+8Uolff N+<+ Xmui•rxw jm•lmmw•pmCwlm}~xw iwl Lpxwlx Kiuvru•xwriw~0

Nhys+ Pev+ v+ 47A0n+ /) p+ 16.) .633+

Y/1\ Mliveira J+ L+ Zpm w€vm}rkiu }mwx}viuroi•rxw o}x€z iwl •pm z}xjumv xn rvz€}r•rm~

rw vm•iu~0 =raz+ Hourn+ Nhys+ v+ 550 n+ 0) p+ .) .66/+

Y/2\ Dalicov 0- K+8 Iimball H+A+ Yrvzum vxlmu nx} ~mvrkxwl€k•x}/vm•iu •}iw~r•rxw~=

8vD9 iwl •}iw~r•rxw~ vm•iu/xmrlm~0 Nhys+ Pev+ Jett+ v+ 550 n+ .6) p+ 664) .636+

Y/3\ Pamirez P+8 Dalicov .+ K+8 Iimball H+A+ Rm•iu/Lw~€ui•x} •}iw~r•rxw~= C ~rvzum

•pmx}m•rkiuvxlmu0 Nhys+ Pev+ = v+ 2- n+ 5) p+ 0050) .64-+

Y/4\ Pobinson H+K+ ]iumwkm•}iw~r•rxw~ iwl rw•m}vmlri•m kiumwkm~•i•m~ rw }i}m mi}•p iwl

ik•rwrlm vi•m}riu~0 Nhys+ Pep+ v+ 840 n+ .) p+ 40 .646+

Y/5\ Qilva A+C+R+ E+8Dalicov 0- K+ Zpmx}n xn kiumwkmvrmrwo nx} }i}m/mi}•p kxvzx€wl~0Qol+Qtat+ Aomm+ v+ 4:0 n+ ./) p+ .2/.) .642+

Y/6\ <vignon K+8 Ehatak Q+ I+ Xxum xn pnj}rlroi•rxw zn vm•iu/rw~€ui•x} •}iw~r•rxw~0Qol+Qtat+ Aomm+ v+ 490 n+ .-,..) p+ ./10) .642+

Y0-\ Mliveira J+ L+8Uilkins H+U+

v+ :?- n+ /.) p+ .220) .65.+Nhys+ Pev+ Jett+

Nrog+ of Rheor+ Nhys+ v+ 490 p+ 12) .623+

Y0/\ Wosida I+ Cwxviux€~ mumk•}rkiu}m~r~•rkr•niwl viowm•x}m~r~•iwkm l€m •x ~ / l rw•m}/

ik•rxw rw E€/Rw iuuxn~0 Nhys+ Pev+ v+ 43:0 n+ -/) p+ 063) .624+

Y00\ Cmery T+ H+8Juther <+ Pxl/•mvzm}i•€}m z}xzm}•rm~ xn •pm Oxwlx Kivru•xwriw0Nhys+ Pev+ = v+ C- n+ .) p+ /.2) .641+

Y01\ Hones =+ <+7 Tarma A+ K+ Y•€ln xn •lx viowm•rk rvz€}r•rm~ ow i Im}vr oi~0

Nhys+ Pev+ Jett+ v+ 8=0n+ 6) p+ 510) .654+

Y02\ Hones =+ <+8Tarma A+K+ E}r•rkiu zxrw• rw •pm~xu€•rxw xn •pm •lx viowm•rk rvz€}r•nz}xjumv0 Nhys+ Pev+ = v+ :0- n+ .) p+ 0/1) .656+

Y03\ Hones =+ <+8 Tarma A+ K+8 Uilkins H+U+ Pxl/•mvzm}i•€}m z}xzm}•rm~ xn •pm •lx/

rvz€}r•n Oxwlx Kivru•xwriw0 Nhys+ Pev+ Jett+ v+ 940 n+ .) p+ ./2) .655+

Y04\ Hones =+ <+

p+ 20) .66.+Uir} kx}}mui•rxw mnnmk•~rw pmikn nm}vrxw~0 Nhysica = v+ 4:40 n+ .*1)

Y05\ Hayaprakash F1<Irishna*murthy F+ P+8Uilkins H+U+

Nhys+ Pev+ Jett+ v+ 7:0 n+ .-) p+ 404) .65.+

Y06\ Tarma A+ K+ Zpmx}n xn pmikn nm}vrxw~ iwl kiumwkmnu€k•€i•rxw~0 Qolid Qtate

Qciences) n+ 3/) p+ /44) Qpring*Terlag).652+ Cdited by Iasuya R+ and Qaso R+

Y1-\ <ffleck G+8Judwig <+ U+ Hmik• k}r•rkiu Zpmx}n xn •lx/rvz€}r•n Oxwlx vxlmu0Nhys+ Pev+ Jett+ v+ >A- n+ 4) p+ .-13) .66/+

Y1.\ Dye P+ K+8 Firsch H+C+8Qcalapino B+ H+ Oxwlx mnnmk•km}~€~ rwlr}mk• mmkpiwom rw

•pm •lx/rvz€•r•n Cwlm}~xw vxlmu= C Rxw•m Ei}ux ~•€ln0 Nhys+ Pev+ = v+ 5;- n+ .-)p+ 16-.) .654+

Y1/\ Dye P+ K+8 Firsch H+C+ V€iw•€v Rxw•m Ei}ux ~•€ln xn •pm •lx/rvz€•r•n Oxwlx

Kivru•xwriw0 Nhys+ Pev+ = v+730 n+ 4) p+ 145-) .656+

Y10\ Qchlottmann N+8Pasul H+U+ Zlx rw•m}ik•rxw viowm•rk rvz€}r•rm~ rw i vm•iu= Xmwx}/

viuroi•rxw o}x€z •}mi•vmw• xn i ~rvzum vxlmu0 Nhys+ Pev+ = v+ :;- n+ 6) p+ 14.-).66/+

Y11\ Hones =+ <+8 Iotliar =+ E+8Killis <+ H+ Rmiw/nrmul iwiun~r~ xn •lx iw•rnm}}xviowm•/

rkiuun kx€zuml Cwlm}~xw rvz€}r•rm~0 Nhys+ Pev+ = v+ 5C- n+ 2) p+ 01.2) .656+

Y12\ Qakai /-9 Qhimizu W+8Iasuya R+ Hmkr•i•rxw ~zmk•}i xn •lx rvz€}r•n Cwlm}~xw vxlmu0Qol+Qtat+ Aomm+ v+ ?;- n+ /) p+ 5.) .66-+

Y13\ Qakai /-9 Qhimizu W+ Hmkr•i•rxw ~zmk•}i xn •lx rvz€}r•n Cwlm}~xw vxlmu L0E}r•rkiu

•}iw~r•rxw~ rw •pm •lx viowm•rk rvz€}r•n z}xjumv iwl •pm }xum~xn •pm zi}r•n ~zur••rwo0H+Nhys+ Qoc+Hpn+ v+ 940 n+ 4) p+ /000) .66/+

Y14\ Qakai /-9 Qhimizu W+ Hmkr•i•rxw ~zmk•}i xn •lx rvz€}r•n Cwlm}~xw vxlmu LL0Lw•m}zuin

jm•lmmw•pmOxwlx mnnmk•iwl •pm rw•m}~r•mrw•m}ik•rxw~0 H+Nhys+ Qoc+Hpn+v+940n+4) p+ /015) .66/+

Y15\ Woshida K+8 Uhitaker K+ <+8 Mliveira .+ L+ Xmwx}viuroi•rxw/J}x€z kiuk€ui•rxw xn

mmkr•i•rxw z}xzm}•rm~ nx} rvz€}r•n vxlmu~0 Nhys+ Pev+ = v+ 740 n+ .0) p+ 61-0) .66-+

Y16\ Drota F+ -+8Mliveira .+ L+ Upx•xmvr~~rxw ~zmk•}x~kxzn nx} •pm ~zrw/lmomwm}i•mCw/

lm}~xw vxlmu0 Nhys+ Pev+ = v+ 00) n+ ..) p+ 454.) .653+

Y2-\ JGbera T+ J+8 Mliveira .+ L+ Yzmk•}iu lmw~r•n nx} nm}vrxw •€wwmurwojm•lmmw•lx

kmw•m}~rw i vm•iuurk mwkr}xwvmw•0 Nhys+ Pev+ Jett+ v+ 32) n+ .3) p+ /-1/) .66-+

Y2.\ Jibera T+ J+8 Mliveira 0- L+ Jmwm}iuroml}mwx}viuroi•rxw/J}x€z kiuk€ui•rxw xn a/}in

zpx•xmvr~~rxw ~zmk•}i nx} i ~rvzum vm•iu0 Nhys+ Pev+ = v+ 1/) n+ 2) p+ 0.34) .66-+

Rese de Boutoramento $em andamento'

Y20\ Faydock P+ Qolid Qtate Nhysics+

}mrkp 0 )Ckilmvrk. Sml bx}t* 3<;20v+02) p+ /.2) Hl0 I0 Ymr•o. Z€}wj€uu. K0 Hp}mw/

Y21\ <lascio =+8 <llub P+8 =alseiro A+ <+ Hnnmk•xn Ex€uxvj }mz€u~rxwjm•lmmwuxkiuroml

iwl mm•mwlml~•i•m~ rw •pm Cwlm}~xw vxlmu0 Nhys+ Pev+ = v+ 01) n+ 4) p+ 1453) .653+

Y22\Pivier L+8Xuckermann K+ H+ H{€rkiumwkmxn uxkiuroml~zrwnu€k•€i•rxw iwl •pmN)xwlx/

Sioixti ~zrw/kxvzmw~i•ml ~•i•m0 Nhys+ Pev+ Jett+ v+ /.) n+ .0) p+6-1) .635+

Y23\Qchotte I+ B+8Qchotte S+ Zxvxwioi(~ vxlmu iwl •pm •p}m~pxul ~rwo€ui}r•n xn a/}in

~zmk•}i xn vm•iu~0 Nhys+ Pev+ v+ 4=50n+ /) p+146) .636+

Y25\Kathews H+8Ualker P+ J+ Kathematical Kethods of Nhysics+

)Dmwsivrw. Rmwux Ui}t. Eiurnx}wri. 3<:2*

Y26\Eradshteyn 0- Q+8Pyzhik 0- K+ Rables of Gntegrals) Qeries and Nroducts+

Cq+ 0+2/4+0) )Ckilmvrk. Sml bx}t. 3<98*

Y3/\ Aontudo) para urn dado valor de < e diferentes valores de N/ha urn pequeno desvio $~ 0)

da curva da susceptibilidade de carga em relac8ao a curva universal+ Ba nossa analise

mostramos na tabela abaixo para < : .-) a relac8ao entre N e urn fator multiplicativo

x/ que anula esses desvios) quando incluimos na probabilidade de transic8ao como sendo

k: 5·±\4x1

N *-+/- *-+.3 *-+./ *-+-5 *-+-1 *-+-0 *-+-/

t .+-.2 .+-02 .+-22 .+-42 .+-62 .+.-. .+.-1