MtododosmnimosquadradosOrigem:Wikipdia,aenciclopdialivre.

OMtododosQuadradosMnimos,ouQuadradosMnimosOrdinrios(MQO)ouOLS(doinglsOrdinaryLeastSquares)umatcnicadeotimizaomatemticaqueprocuraencontraromelhorajusteparaumconjuntodedadostentandominimizarasomadosquadradosdasdiferenasentreovalorestimadoeosdadosobservados(taisdiferenassochamadasresduos).[1]

aformadeestimaomaisamplamenteutilizadanaeconometria.Consisteemumestimadorqueminimizaasomadosquadradosdosresduosdaregresso,deformaamaximizarograudeajustedomodeloaosdadosobservados.

Umrequisitoparaomtododosmnimosquadradosqueofatorimprevisvel(erro)sejadistribudoaleatoriamente,essadistribuiosejanormaleindependente.OTeoremaGaussMarkovgarante(emboraindiretamente)queoestimadordemnimosquadradosoestimadornoenviesadodemnimavarincialinearnavarivelresposta.

Outrorequisitoqueomodelolinearnosparmetros,ouseja,asvariveisapresentamumarelaolinearentresi.Casocontrrio,deveriaserusadoummodeloderegressonolinear.

CreditaseCarlFriedrichGausscomoodesenvolvedordasbasesfundamentaisdomtododosmnimosquadrados,em1795,quandoGausstinhaapenasdezoitoanos.Entretanto,AdrienMarieLegendrefoioprimeiroapublicaromtodoem1805,emseuNouvellesmthodespourladterminationdesorbitesdescomtes.Gausspublicousuasconclusesapenasem1809.[2][3][4]

ndice

1 Regressosimples

1.1 Exemploderegressosimples

2 Regressomltipla

2.1 Exemploderegressomltipla

3 Premissas

4 CoeficientededeterminaoR

4.1 ExemplodeReRajustado

5 Testedesignificnciadoscoeficientes

5.1 Exemplodetestedesignificnciadoscoeficientes

6 Referncias

7 Vertambm

8 Ligaesexternas

Regressosimples

RAQUELRealce

RAQUELRealce

Queremosestimarvaloresdedeterminadavarivel .Paraisso,consideramososvaloresdeoutravarivel queacreditamosterpoderdeexplicaosobre conformeafrmula:

onde:

:Parmetrodomodelochamadodeconstante(porquenodependede ).:Parmetrodomodelochamadodecoeficientedavarivel .:Errorepresentaavariaode quenoexplicadapelomodelo.

Tambmtemosumabasededadoscom valoresobservadosde ede .Percebaque,usandoabasededados, esovetores,ouseja,representamumalistadevalores,umparacadaobservaodabasededados.Omtododos

mnimosquadradosajudaaencontrarasestimativasde e .Comoonomediz,serosomenteestimativasdessesparmetros,porqueovalorrealdosparmetrossodesconhecidos.Portanto,aofazeraestimativa,mudamosanotaodealgumasvariveis:

Parailustrarisso,Heij[5]menciona:

WedonotknowGreekbutwecancomputeLatinNosabemosgrego,maspodemoscalcularemlatim

Dessemodo,aoestimaromodelousandoabasededados,estamosestimando,naverdade:

onde indicacadaumadas observaesdabasededadose passaaserchamadoderesduo,aoinvsdeerro.Emalgunslivros,anotaoparaasestimativasdosparmetrosumpoucodiferente.Aoinvsdesubstituiraletra,apenasadicionaseosmbolochapu( ).

Omtododosmnimosquadradosminimizaasomadosquadradodosresduos,ouseja,minimiza .

Aideiaportrsdessatcnicaque,minimizandoasomadoquadradodosresduos,encontraremos e quetraroamenordiferenaentreaprevisode eo realmenteobservado.

Substituindo por ,temos:

Aminimizaosedaoderivar emrelaoa e utilizandoaregradacadeiaeentoigualarazero:

RAQUELRealce

Distribuindoedividindoaprimeiraexpressopor temos:

onde amdiaamostralde e amdiaamostralde .

Substituindoesseresultadonasegundaexpressotemos:

Algunslivrostambmusamumafrmuladiferentequegeraomesmoresultado:

Exemploderegressosimples

Considereaseguintebasededados:

Consumo Renda1 122 1392 114 1263 86 904 134 1445 146 1636 107 1367 68 618 117 629 71 41

10 98 120

Aplicandoasfrmulasacima,chegaseem:

portanto,

Interpretao:TirandoapartedoConsumoquenoinfluenciadapelaRenda,oincrementode$1naRendacausaumincrementoesperadode$0,4954noConsumo.

Regressomltipla

Aregressomltiplaapresentaumfuncionamentoparecidocomodaregressosimples,porm,levaemconsideraodiversasvariveisexplicativas influenciando aomesmotempo:

Aousarabasededadoscom variveisexplicativase observaes,omodelopodeserescritonaformamatricial:

,onde representaovalorda simavarivelda simaobservao.Afrmulatambmpodeserescritanaformaresumida:

Asoluodemnimosquadradoscontinuasendoalcanadaatravsdaminimizaodasomadoquadradodosresduos

,quepodeserreescritocomo ,ondeoapstrofesignificaqueamatrizfoitransposta.

Substituindo por ,temos:

Aminimizaosedaoderivar emrelaoa eigualarazero.Oprimeirotermonodependede ,ossegundoeterceirotermossoiguaiseoterceirotermoumaformaquadrticadoselementosde .

Exemploderegressomltipla

Considereabasededadosusadanoexemplodaregressosimples,porm,acrescentemaisumavarivelexplicativa(taxadejuros):

Consumo Renda TaxadeJuros1 122 139 11,5%2 114 126 12,0%3 86 90 10,5%4 134 144 9,0%5 146 163 10,0%6 107 136 12,0%7 68 61 10,5%8 117 62 8,0%9 71 41 10,0%

10 98 120 11,5%

Aplicandoafrmulaacima,chegaseem:

portanto,

Interpretao:TirandoapartedoConsumoquenoinfluenciadapelaTaxadeJuros,oincrementode$1naRendacausaumincrementoesperadode$0,6136noConsumoalmdisso,oincrementode1pontopercentual(0,01)naTaxadeJuroscausaumdecrscimoesperadode$10,3441noConsumo.

Premissas

Aousaromtododosmnimosquadrados,assumimosalgumaspremissasarespeitodasvariveis:

Osregressoressofixos:Asvariveisdamatriz nosoestocsticas.Erroaleatriocommdia0:Oerro aleatrioesuaesperana .Homoscedasticidade:Avarinciadoerroconstante.

Vertambm:heteroscedasticidade

Semcorrelao:Noexistecorrelaoentreoserrosdasobservaes,ouseja, paraqualquer

.Parmetrossoconstantes: e sovaloresfixosdesconhecidos.Modelolinear:Osdadosdavariveldependente foramgeradospeloprocessolinear .Errotemdistribuionormal:Oerrodistribudoconformeacurvadedistribuionormal.

Casoalgumadessaspremissasnosejaverdadeira,omtodopodegerarresultadossubtimosoucomvis.

CoeficientededeterminaoR

OCoeficientededeterminao,tambmchamadodeRumamedidadequalidadedomodeloemrelaosuahabilidadedeestimarcorretamenteosvaloresdavarivelresposta .

,sendoSQresoSomatriodosQuadradosdosResduoseSQtotoSomatriodos

QuadradosTotal

ouRajustado:

ExemplodeReRajustado

Usandoosdadosdoexemploderegressomltipla,podemoscalcular:

Issosignificaque88,729%davarinciade explicadapelavarinciade .

Testedesignificnciadoscoeficientes

Seumavarivel realmentepossuipoderexplicativosobre ,seucoeficiente deveserestatsticamentediferentedezero.Ouseja,devesersuficientementemaioroumenordoquezeroparaquetenhamosconfianadequeavarivelrealmentepossuipoderexplicativo.Casoissonosejaverdade,avarivelpoderiaserretiradadomodelosemqueexistagrandeperdadasuaqualidade.Paraverificarseoscoeficientessosignificantes,levamosemconsideraoqueoestimador temdistribuionormalcentradaem ecomvarincia ,onde avarinciadoerro.Ouseja:

Porm,comooerronoobservado,usamosaaproximaoamostral :

,onde representaonmerodevariveisexplicativasmaisaconstante.

Considerandoqueahiptesenulaadeque ,entoaestatsticatparaavarivelj:

RAQUELRealce

RAQUELRealce

RAQUELRealce

,onde ojsimoelementodadiagonalde .

Aplicandoovalorde nacurvaacumuladadadistribuiotdeStudentcom grausdeliberdade,podeseobteronveldeconfiananecessrioparaqueahiptesenulasejarejeitada.

Vertambm:Testesdehipteses

Exemplodetestedesignificnciadoscoeficientes

Usandoosdadosdoexemploderegressomltipla,podemoscalcular:

NadistribuiotdeStudentcom7(1021)grausdeliberdade,ovalorde quegaranteumnveldeconfianade95%2,3646.Como maiorque2,3646,ahiptesenuladeque rejeitadacom,pelomenos95%deconfiana.Omesmotambmocorrepara .

Referncias1. UniversidadedeBerkeley,EconometricsLaboratorySoftwareArchive.RegressionAnalysis

(http://elsa.berkeley.edu/sst/regression.html)(emIngls).Visitadoem18/05/2011.2. (emingls)IndianaUniversityBloomington,HumanIntelligence,KarlFriedrichGauss(17771855),German

Mathematician[1](http://www.indiana.edu/~intell/gauss.shtml)3. Memria,JosM.P.(2004).BreveHistriadaEstatstica(http://www.im.ufrj.br/~lpbraga/prob1/historia_estatistica.pdf)

(emIngls)EmbrapaInformaoTecnolgica.Visitadoem11/05/2011.4. Stigler,S.M..TheHistoryofStatistics:TheMeasurementofUncertaintybefore1900.[S.l.]:HarvardUniversityPress,

1986.410p.5. HEIJ,ChristiaanDEBOER,PaulFRANSES,PhilipHansKLOEK,TeunVANDIJK,HermanK.EconometricMethods

withApplicationsinBusinessandEconomics.OXFORD,2004

Vertambm

MnimosquadradosgeneralizadosMQGMximaverossimilhanaMtododosmomentosgeneralizadosMMGRegressoEconometriaDecomposioemValoresSingularesatcnicacomputacionalmodernapararegressoeprojeoortogonal.AsfuncoesScilab:svd,svaecontrabarra(backslash)

Ligaesexternas

(emingls)http://www.physics.csbsju.edu/stats/least_squares.html(emingls)http://zunzun.com(emingls)http://www.orbitals.com/self/least/least.htm(emingls)Ooperadorcontrabarraou'\'noScilabhttp://help.scilab.org/docs/5.3.3/en_US/backslash.html

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