Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)
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Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)
Aula 6a
Por que fazemos ajustes?
Relação funcional que melhor descreve os dados experimentais dentro de um limite de validade.
Representa o “comportamento médio” dos dados.
Ajuste visual vs. MMQ
Depende de quem analisa
É difícil de ponderar dados com incertezas diferentes
Não é otimizado Bom para estimativas
Independe de quem analisa
A incerteza dos dados é ponderada
É o ajuste que mais se aproxima dos dados
Mais cálculos (PC)
MMQ e os resíduos
Qual é o ajuste que mais se aproxima dos dados? Menor distância entre os
pontos exp. e os dados
Mas e a incerteza?
i
iii s
xfyRr
)(
)( iii xfyRa
MMQ e os resíduos
Vários pontos, como fazer?
E se tiver com pontos acima e abaixo da reta?
i i
ii
ii s
xfyRr
)(0
?
2
2
2 )(
i i
ii
ii s
xfyRr
MMQ e os resíduos
Qual então é a melhor reta? Lembrando o que foi
discutido quanto as distâncias!!
i i
ii
s
xfy2
2 )( Mínimo
Como minimizar?
Chi^2 é uma função!!! Como achar o mínimo
de uma função?
i i
ii
s
xfy2
2 )(
x
F(x)
i i
i
s
ay2
2
01
..2)12(2
i ii
i
ss
ay
a
Caso 1: Ajuste de uma constante
Minimizando
axf i )(
i i
ii
s
xfy2
2 )(
Como achar o mínimo de uma função? Quais os parâmetros a?
01
.
ii i
i
ss
ay
N
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N
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sa
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y
12
12
1.
N
i i
N
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i
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s
y
a
12
12
1
É a média ponderada!!!
01
.1
.1
iii
N
i i
i
ss
a
ss
y
01
..21
2
N
i ii
i
ss
ay
a
Caso 1: Ajuste de uma constante
Caso 2: Ajuste de uma Reta
Nosso Caso!
Como achar o mínimo de uma função? Quais os parâmetros a e
b que minimizam?
i i
ii
s
xfy2
2 )(baxxf ii )(
i i
ii
s
baxy2
2 )(
Minimizando a ...
0.
..2
)12(2
i i
i
i
ii
s
x
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i
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12
12
2
21
Caso 2: Ajuste de uma Reta
Minimizando b...
i ii
ii
ss
bxay
b
1.
..2
)12(2
N
i i
N
i i
i
i
iN
i sb
s
xa
s
y
12
122
1
1
Caso 2: Ajuste de uma Reta
N
i i
N
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i
iN
i sb
s
xa
s
y
12
122
1
1
N
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iN
i i
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i
iiN
i s
xb
s
xa
s
xy
12
12
2
21
1.. SbSaS xy
xxyx SbSaS .. 2
N
i i
iqqcoisa
qqcoisaS
12Definindo:
21.2 xxSSS Onde:
1.. SbSaS xy
xxyx SbSaS .. 2
xyyx SSSSa 1
xyxxy SSSSb
2
1Ss a
2x
b
Ss
{Sistema de duas equações e duas incógnitas:
Propagando as incertezas
Para Mais detalhes vide:Tratamento Estatístico de Dados em física Experimental, O. Helene, V. Vanin
baxxf Melhor reta que descreve o conjunto de pontos experimentais, ou seja foi ajustada uma reta aos pontos experimentais
http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq5.html
Fazer:
MMQ utilizando os dados da sala!!! Na Mão!!
Determinar a e b com incertezas! Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!! Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ
no gráfico para comparação!!!
PS:
Fazer no formato Relatório!!! Colocar
MMQ utilizando os dados da sala!!! Determinar a e b com incertezas! Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!! Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ no
gráfico para comparação!!! Discutir as diferenças O que significa Chi^2 alto ou baixo?
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