Usando o método de Lagrange

Seja q(x,y,z)= 2x²+2y²-2z²+4xy-4xz+8yz

Completando o quadrado, vemos que a soma das parcelas que contêm o fator x se escreve

como:

2x² +4xy – 4xz = 2[x²+2x(y-z) ]

= 2[x²+2x(y-z)+(y-z)²] – 2(y-z)²

= 2(x+y-z)² - 2(y-z)²

A mudança de variáveis s=x+y-z nos dá então,

q(x,y,z) = 2s²-2(y-z)²+2y²-2z²+8yz

= 2s²-4z²+12yz

Novamente completando quadrado, agora na soma das parcelas que contêm z, e obtemos:

-4z²+12yz = -4(z²-2z.

)

= -4(z²-2z. .

+

y²) +9y²

= -4(z-

y)²+9y²

A mudança de variáveis t= z-

y nos dá portanto,

Q(x,y,z) = 2s²-4t²+9y²

Este exemplo é do livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima.

Resolução da questão 4 da página 113

i) q( )

=

= .

Sendo , obtemos:

q(y) = y².

ii) q( )

=

=

Sendo encontramos:

q(y) = y²

iii) q( )

= (

= (

=

Sendo e , chegamos a

q( ) =