MÉTODO DE COLOCAÇÃO ESTOCÁSTICA APLICADO À...

MÉTODO DE COLOCAÇÃO ESTOCÁSTICA APLICADO ÀQUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS EM FRATURA HIDRÁULICA

Souleymane Zio

Dissertação de Mestrado apresentada aoPrograma de Pós-graduação em EngenhariaMecânica, COPPE, da Universidade Federaldo Rio de Janeiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título de Mestre emEngenharia Mecânica.

Orientador: Fernando Alves Rochinha

Rio de JaneiroAbril de 2011


Souleymane Zio

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTOALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DEENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DEJANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA AOBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIAMECÂNICA.

Examinada por:

Prof. Fernando Alves Rochinha, D.Sc.

Prof. Rubens Sampaio, Ph.D.

Prof. Fernando Pereira Duda , D.Sc.

Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASILABRIL DE 2011

Zio, SouleymaneMétodo de colocação estocástica aplicado

à quantificação de incertezas em fraturahidráulica/Souleymane Zio. – Rio de Janeiro:UFRJ/COPPE, 2011.

XII, 55 p.: il.; 29, 7cm.Orientador: Fernando Alves RochinhaDissertação (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de

Engenharia Mecânica, 2011.Referências Bibliográficas: p. 52 – 55.1. Fratura hidráulica. 2. Colocação Estocástica.

3. Máxima entropia. I. Rochinha, Fernando Alves.II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

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A Deus.

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Agradecimentos

Agradeço, em primeiro lugar ao Programa de Pós-Graduação em EngenhariaMecânica(PEM) do Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisade Engenharia(COPPE-UFRJ) pela oportunidade de participar de um curso quevem obtendo conceito máxima pela avaliação Coordenação de Aperfeiçoamento dePessoal de Nível Superior(CAPES-MEC).

Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico(CNPq) pelo suporte financeiro.

Agradeço aos servidores e professores do PEM por proporcionaram um ambientefavorável ao desenvolvimento acadêmico e pessoal, em especial ao prof-FernandoAlves Rochinha pela amizade e orientação acadêmica.

Agradeço ao prof Hélcio Orlande e a Engenharia Mecânica pelas suas ajudasnos primeiros momentos da minha chegada ao Brasil. Agradeço ao prof AbdoulayeOuedrago pelas suas ajudas e informações sobre o Programa de Pós-Graduação emEngenharia Mecânica(PEM).

Agradeço aos meus colegas do Laboratório de Mecânica dos sólidos(LMS).Agradeço a Secretaria de Engenheira Mecânica.

Finalmente, agradeço à minha familia e amigos pelo apoio.Muito Obrigado.

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Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitosnecessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)


Souleymane Zio

Abril/2011

Orientador: Fernando Alves Rochinha

Programa: Engenharia Mecânica

Foi reconhecido que existe variabilidades significativas em formações geológicascomo reservatório de petróleo e gás. No entanto, apenas medidas limitadas dos dadosde reservatório estão geralmente disponíveis. A quantificação das incertezas fornecetécnicas para avaliar o impacto das variabilidades nas previsões. Neste estudo,apresenta-se um análise estocástico do problema de fratura hidráulica. Os parâmet-ros do reservatório tais que o Módulo de Elasticidade foi considerado como parâmetroincerto e, portanto, as equações governantes de fratura tornam-se equações diferen-ciais parciais estocásticas SPDE’s. Estas equações foram resolvidas através do al-goritmo de Implicit Level set e do método de Colocação Estocástica que apresentoudesempenho interessante comparando ao método de Monte Carlo. A distribuição deprobabilidade do Módulo de Elasticidade foi construída usando duas abordagens: Aprimeira consiste a assumir que o Módulo de Elasticidade tem uma distribuição log-normal. Na segunda a distribuição de probabilidade do Módulo de Elasticidade foiconstruída usando o método de maximum entropia e um gerador desta distribuiçãode probabilidade obtida foi construído através do algoritmo de MCMC. O estudodemonstrou a importância que há de levar em conta as incertezas num problema defratura hidráulica.

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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

A STOCHASTIC COLLOCATION METHOD APPLIED TO UNCERTAINTYQUANTIFICATION IN HYDRAULIC FRACTURE MODELING

Souleymane Zio

April/2011

Advisor: Fernando Alves Rochinha

Department: Mechanical Engineering

It has been recognized that exist significant spatial variability in geologic for-mations such as oil and gas reservoirs. However, only limited measurements areusually available. The theory of stochastic processes provides a natural methodfor evaluating these variability. In this study, we present a stochastic analysis ofhydraulic fractures. There, some of the reservoir properties, such as the ElasticityModule, are treated as random spatial functions and, therefore, the equations gov-erning of fractures become stochastic partial differential equations SPDEs. We usethe Implicit Level set algorithm and Stochastic Collocation Method to solve thisSPDEs because it presented performance interesting comparing to the Monte Carlosimulation. The probability distribution of the Elasticity Module was constructedusing two approaches: The first is to assume that the Elasticity Module follow alog-normal distribution. The second approach is to build the probability distri-bution of the Elasticity Module using the maximum entropy method and build agenerator of this probability distribution by the Metropolis-Hastings algorithm. Thestudy demonstrates the importance of taking parameter uncertainty into account forhydraulic fractures in order to assess the viability of numerical modeling.

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Sumário

Lista de Figuras x

1 Introdução 11.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Apresentação do presente trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Fratura Hidráulica 52.1 Equações governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Forma adimensional e soluções numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Formulação Estocástica - Quantificação de Incertezas 133.1 Caracterização Probabilística das Incertezas . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Construção de modelos probabilísticos para os dados de entrada . . . 143.3 Formulação estocástica para o problema de fratura hidráulica . . . . . 19

4 Método de solução do sistema de equações diferenciais parciais es-tocástico 214.1 A simulação de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Método de Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Resultados e Discussões 245.1 Desempenho Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Quantificação e propagação das incertezas . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1 Módulo de Elasticidade como parâmetro incerto . . . . . . . . 375.3 Comparação das duas abordagens de modelagem das incertezas sobre

o módulo de elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Observação da evolução de fratura usando inclinômetros acoplados

ao conceito de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Comentários finais 51

viii

Referências Bibliográficas 52

ix

Lista de Figuras

2.1 Geometria de uma fratura unidimensional.[1] . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Pε gerada através do MCMC comparada a Pε analítica. . . . . . . . . 183.2 PDF da segunda abordagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 PDF da primeira abordagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1 Soluções exata e numérica da abertura Ω nos tempos de bombeioτ = 51.39, τ = 102.79 ,τ = 154.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Soluções exata e numérica da abertura Ω(χ = 0, τ) na entrada do poço 265.3 Soluções exata e numérica da pressão do fluido Πf(χ = 0, τ) na en-

trada do poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Soluções exata e numérica do comprimento fraturado �(τ) . . . . . . 275.5 Convergência do algoritmo [2] em relação a Ω(χ, τ = 154.19) . . . . . 275.6 Convergência do algoritmo [2] em relação a Ω(χ = 0, τ) . . . . . . . . 275.7 Taxa de convergência média de abertura obtida pelo método de Monte

Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.8 Taxa de convergência do desvio padrão de abertura obtida pelo

método de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.9 Taxa de convergência média de abertura obtida pelo método de colo-

cação de Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.10 Taxa de convergência desvio de abertura obtida pelo método de Colo-

cação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.11 Histórico de convergência média de abertura obtido pelo método de

Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.12 Histórico de convergência média de abertura obtido pelo método

Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.13 Histórico de convergência média de abertura obtido pelo método de

Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.14 Histórico de convergência desvio padrão de abertura obtido pelo

método de Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

x

5.15 Histórico de convergência desvio padrão de abertura obtido pelométodo de Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.16 Histórico de convergência desvio padrão de abertura obtido pelométodo de Colocação Estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.17 Convergência do método de Colocação Estocástica em função dopasso espacial Δχ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.18 Convergência do método de Colocação Estocástica em função dopasso de tempo Δτ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.19 Histórico de convergência das pdf de abertura Ω(χ = 0, τ = 158)obtido pelo método de Colocação Estocástica, P=500 amostras . . . . 35

5.20 Histórico de convergência das pdf de abertura Ω(χ = 0, τ = 158)obtido pelo método de Colocação Estocástica, P=1000 amostras . . . 35



5.23 Média e variabilidade da abertura no poço. . . . . . . . . . . . . . . . 385.24 Média e variabilidade da abertura na entrada do poço. . . . . . . . . 385.25 Média e variabilidade da abertura na entrada do poço. . . . . . . . . 395.26 Média e variabilidade do comprimento fraturado. . . . . . . . . . . . 395.27 Análise de sensibilidade da abertura de fratura na entrada do poço

Ω(χ = 0, τ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.28 Análise de sensibilidade da pressão de fratura na entrada do poço

Πf (χ = 0, τ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.29 Análise de sensibilidade da abertura no tempo Ω(χ, τ = 411). . . . . . 415.30 Análise de sensibilidade do comprimento de fraturado �(τ). . . . . . . 425.31 Distribuição de probabilidade de Ω(χ = 0, τ = 411). . . . . . . . . . . 435.32 Distribuição de probabilidade da pressão Πf(χ = 0, τ = 411). . . . . . 435.33 Distribuição de probabilidade da abertura para diferentes valor de κ . 445.34 Distribuição de probabilidade da pressão fluido para diferente valor

de κ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.35 Comparação da abertura na entrada obtida para as duas abordagens. 465.36 Comparação pdf da abertura Ω(χ = 0, τ = 411) obtida para as duas

abordagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.37 Comparação da pressão na entrada obtida para as duas abordagens. . 475.38 comparação pdf da pressão na entrada obtida para as duas abordagens. 475.39 Deformação observada na entrada do poço para o inclinômetro na

posição (1,0.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

xi

5.40 Deformação observada na entrada do poço para o inclinômetro naposição (8,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.41 Deformação observada na posição χ = 6 do poço para o inclinômetrona posição (1,0.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.42 Deformação observada na posição χ = 6 do poço para o inclinômetrona posição (8,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

xii

Capítulo 1

Introdução

O Fraturamento Hidráulico [3] é uma técnica usada para aumentar a produçãode óleo e gás em reservatórios subterrâneos. Neste processo, a fratura é criada epropagada no meio rochoso devido a uma carga hidráulica aplicada numa seçãodo poço. Assim, uma zona de maior permeabilidade é criada no reservatório parapermitir o escoamento de hidrocarboneto entre a formação rochosa e o poço. Afratura hidráulica pode também ser usada para ligar zonas de grande concentraçãode petróleo com pontos de extração.

Esta técnica de fratura causada por um fluido é realizada num reservatório agrande profundidade com ambiente bastante complexo. Reproduzir este processo ex-perimentalmente demanda muito recursos bastante caros. Pois, extrair uma amostrade rocha reservatório a grandes profundidades é sempre uma operação cara. Alémdisso, deve-se cuidar para que as propriedades da rocha não sejam alteradas peloprocesso de extração. Também, devido a limitação nos aparatos de teste, a dimensãode uma amostra de rocha testada em laboratório é limitada [4]. Neste contexto, émuito difícil através de experiências prever as características completas do processode fratura hidráulica. Portanto, a simulação numérica do processo é usada paraobter informações sobre a evolução e sucesso do procedimento.

O objetivo dos simuladores é de dar uma visão acurada das dimensões ( aber-tura, comprimento, altura, direção etc.) da fratura induzida hidraulicamente. Essasprevisões permitem ao projetista tomar decisões para diminuir os riscos de falhado projeto. Com essa intenção, vários modelos de fratura foram desenvolvidos [5].Apresenta-se a seguir três modelos de fratura.

O modelo PKN é aplicado para fraturas longas e de altura constante [4, 5]. Omodelo assume que a fratura está submetida à condição de deformação plana noplano vertical e sua seção transversal é elíptica.

O modelo KGB é aplicado para fraturas curtas e supõe que a fratura está sub-metida à condição de deformação plana no plano horizontal [5].

O modelo de fratura circular. Este modelo supõe que a tensão mínima in situ é

1

distribuída uniformemente [5].Cada um desses modelos apresentados tem uma abordagem matemática do prob-

lema de fratura diferente. Outro desafio a ser tomado em conta numa modelagemde fratura induzida hidraulicamente é o regime de propagação de fratura. Segundo[2], num processo de fratura hidráulica existem quatro regimes de propagação defratura: o regime de viscosidade dominante (viscosity-dominated regimes), o regimede viscosidade e perda do fluido para o meio rochoso (leak-off-viscosity), o regime detenacidade (toughness-dominated regimes) e o regime de tenacidade e perda do fluidono meio rochoso (toughness-leak-off ). No processo de fratura, o regime de propa-gação de fratura depende das propriedades do fluido e da rocha reservatório. Estaspropriedades são informações importantes para ter uma saída acurada de fraturahidráulica.

Na maioria dos casos, as propriedades do reservatório são medidas com grandesincertezas. Isso pode ser devido ao número limitado de experimentos que permite dedar informações sobre as propriedades da rocha-reservatório, da distancia da rochareservatório ou do ambiente bastante complexo do reservatório. Essas variabilidadesou incertezas podem limitar a visão do projetista. A quantificação de incertezas[6] propõe técnicas para avaliar o impacto dessas variabilidades ou incertezas daspropriedades na modelagem numérica.

1.1 MotivaçãoO processo de fratura hidráulica é uma operação cara, bastante complexa e podecausar grande perda do ponto de visto econômico, humano e ambiental se não forbem monitorado. O estudo experimental deste processo é caro e fornece informaçõeslimitadas. Portanto, a simulação numérica é usada como uma alternativa para atomada de decisão. Neste caso, para ter uma visão completa do problema e diminuiros riscos, a simulação numérica deve levar em conta as variabilidades dos parâmetrosdo reservatório. Isso pode permitir calcular informações estatísticas para a tomadade decisão.

1.2 Revisão da literaturaA simulação numérica dos modelos físicos favorecida pelo aumento do desempenhodos computadores está assumindo uma grande importância nas tomadas de decisão.As incertezas no modelo parecem ser inevitáveis quando se busca previsões numéricasmuito importante, utilizáveis em processo de decisão. Existem dois grandes gruposde incertezas que podem ser encontradas num modelo físico: as incertezas aleatórias

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ou naturais e as incertezas epistêmicas que podem ser reduzidas pela coleta de maisinformações.

No processo de fratura hidráulica, as duas formas de incertezas podem ser encon-tradas [7]. Devido ao custo de experimentos e as limitações nos aparatos de mediçãoas propriedades do reservatório são incertas (incertezas epistêmicas), também dev-ido ao ambiente do problema de fratura podem-se considerar que existem incertezasnaturais.

Essas incertezas podem ser levadas em conta na simulação numérica através dareformulação das equações governantes em equações diferenciais parciais estocásticas(SPDEs). Para resolver as PDEs, varias técnicas são propostas na literatura.

A simulação de Monte Carlo [8] é um método não intrusivo que consiste emresolver as SPDEs para cada amostra dos parâmetros incertos. Um dos grandesatrativos deste método é a taxa de convergência que não depende do número devariáveis incertas e sua facilidade de implementação. Contudo, esse método torna-sefreqüentemente intratável, pois, usa grande número de realização para a convergênciadas soluções do problema estocástico. Nos últimos anos, outras abordagens surgirampara resolver as dificuldades encontradas no método de Monte Carlo entre eles,podem citar o método de Galerkin espectral [9] e de Colocação Estocástica [10].

No método de Galerkin espectral [11, 12], as aproximações no espaço conven-cional são feitas usando elementos finitos, volumes finitos, etc, e o campo aleatórioé tratado através uma dimensão adicional ao tempo e espaço. A idéia básica dessatécnica é de projetar as soluções do modelo determinístico num espaço estocásticoconstruído a partir de um conjunto de polinômios ortogonais. Estes polinômiossão função de um conjunto de variáveis aleatórias ξ. O método é adequado pararesolver equações diferenciais ordinárias e parciais. Este método é intrusivo, i.e épreciso mudar os códigos do problema determinístico já existente e construir umnovo problema acoplado ( determinístico + estocástico). Isso torna a técnica poucoatraente. Recentemente, [13] propõe um método de Galerkin espectral modificadoconhecido como o método de Colocação Estocástica [14].

O método de Colocação Estocástica é baseado na interpolação da função estocás-tica num conjunto do pontos pré-determinados usando os polinômios de Lagrange.O método é não-intrusivo, i.e, não é preciso mudar o código do problema determinís-tico. Nos métodos de resolução de SPDEs proposto até hoje, o método de ColocaçãoEstocástica parece ser um método ideal para propagar as incertezas num problema.

Antes da resolução das SPDEs através dos métodos propostos a cima existe umaparte muito importante que é a modelagem das incertezas sobre as variáveis deentrada do modelo físico.

3

1.3 ObjetivoO objetivo do presente trabalho consiste em levar em consideração as variabili-dades sobre o Módulo de Elasticidade da rocha-reservatório na simulação numéricado processo de fratura hidráulica. Essas variabilidades são propagadas no mod-elo numérico de fratura hidráulica proposto por Peirce e Emmanuel [2] através dométodo de Colocação Estocástica. Para a determinação de um modelo probabilísticodas incertezas, foram utilizados duas abordagens. A primeira consiste em assumiruma distribuição de probabilidade para o Módulo de Elasticidade [15]. A segundaconsiste a construir uma distribuição de probabilidade do Módulo de Elasticidadeatravés do método de máxima entropia e construir um gerador dessa distribuição deprobabilidade construída através do método de Metropolis-Hastings [16].

1.4 Apresentação do presente trabalhoNeste trabalho, as incertezas foram modeladas no modelo de fratura hidráulicaatravés o Módulo de Elasticidade da rocha-reservatório, Os efeitos desse parâmetrosobre as saídas do processo de fratura hidráulica foram analisados. Para o mel-hor entendimento dos resultados que serão apresentados os capítulos se dividem daseguinte forma:

No capítulo 2, apresenta-se um modelo para à propagação de uma fraturahidráulica. A física do problema de fratura e as equações que regem o problemade fratura são detalhadas. No capítulo 3 apresenta-se a formulação estocástica doproblema de fratura hidráulica. Este capítulo tem por objetivo de reescrever o prob-lema de fratura hidráulica levando um conta a dimensão estocástica. No capítulo4 apresenta-se os métodos usados para resolver o problema estocástico de fraturahidráulica. Parar obter as saídas na dimensão estocástica, técnicas de resoluçãocomo o método de Monte Carlo e de Colocação Estocástica foram apresentadas.No capítulo 5 apresenta-se os resultados obtidos. Neste capítulo, foi analisado odesempenho do método de Monte Carlo e de Colocação Estocástica a resolver umproblema de fratura hidráulica. A técnica que apresentou desempenho interessantefoi usada para propagar as incertezas no modelo de fratura. Os resultados obtidosforam analisados. No capítulo 6 apresentam-se os comentários finais.

4

Capítulo 2

Fratura Hidráulica

O princípio básico do fraturamento hidráulico consiste na aplicação de um elevadodiferencial de pressão, por meio da injeção de fluido na formação, de modo a levara rocha-reservatório à ruptura, vencendo a resistência mecânica da rocha e a tensãoconfinante a qual ele está submetida [3].

Na fig. 2.1 apresenta-se um esquema simplificado do processo de fraturamentohidráulico. Dado uma taxa de injeção Q0(t) e conhecendo o meio em que a fraturairá se propagar, procura-se a determinar o comprimento � que depende do tempo deinjeção t na direita ou esquerda do ponto de injeção, a abertura w e a pressão dofluido pf (p = pf − σc) onde p pressão e σc tensão do poço perpendicular à fratura.w e p dependem de duas posições ( uma posição espacial x e temporal t ). A posiçãoespacial x tem por origem o ponto onde ingressa o fluido de fratura. Esse fluido éconsiderado Newtoniano.

Para garantir a manutenção da fratura após o término da injeção de fluido, umagente de sustentação (material granular de alta resistência) é bombeado junta-mente com o fluido fraturante após um certo tempo de bombeamento. Desta forma,cria-se um caminho de alta permeabilidade, o qual facilitará o fluxo de fluidos doreservatório em direção ao ponto de extração. Os modelos estudados aqui não con-templam a modelagem do transporte e deposição do agente de sustentação, apenasmodelam a propagação da fratura.

Em resumo a fratura hidráulica é dominada pelos seguintes processos físicos:deformação da rocha, criação de novas superficies de fratura, fluxo de fluido viscosode fraturamento, perda do fluido para o meio rochoso. Para capturar esses fenômenosfísicos e modelar o problema, usa-se o modelagem de fratura proposto em [2, 5]. Omodelo supõe que a fratura está submetida à condição de deformação plana no planohorizontal.

Uma vez iniciada a fratura, do ponto de vista da dissipação de energia, doismecanismo distintos estão presentes. O primeiro deles diz respeito à energianecessária para fraturar a rocha. O segundo, corresponde à dissipação viscosa no

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escoamento. Ao longo do intervalo inicial do fraturamento, com excessão de umaregião muito próxima à fronteira da fratura, a dissipação viscosa se mostra predom-inante. Este fato é incorporado de forma explícita no algoritmo desenvolvido em[2].

Além desses dois mecanismos de dissipação, o balanço de massa resultante entrea mistura injetada e perdas para o meio poroso que circunda a fratura (Leak-off )influencia fortemente a evolução da fratura. Todos esses aspectos do modelo sãoapresentados, em detalhes, em [2].

Figura 2.1: Geometria de uma fratura unidimensional.[1]

O modelo matemático resultante é constituído por duas equações, condiçõesiniciais e de fronteira: (1) uma equação de elasticidade usada para calcular a aberturada fratura devido a pressão causada pelo fluido de fratura, (2) uma equação dofluido que exprime o movimento do fluido dentro do reservatório subterrâneo e égovernada pelas equações de continuidade e da lei de Poiseuille, (3) condições iniciais,de fronteira e de propagação. Todas essas equações e respectivas modelos serãodescritos de forma sucinta em seguida.

2.1 Equações governantes• Equação de Elasticidade

A Teoria da Elasticidade fornece uma relação entre a pressão p(x, t) = pf(x, t) − σ0

e a abertura da fratura w(x, t) [17], dado por.

p(x, t) =−E ′

4π

∫ �r

�l

w(x′, t)(x − x′)2 dx′, (2.1)

6

onde E’= E1−ν2 é o módulo da deformação plano escrito em termos de Módulo de

Young E e o coeficiente de Poisson ν. Além disso �l,�r são os comprimentos aesquerdo e a direito da fratura.

• Equação de lubrificação

A equação de lubrificação, ou de Reynolds, que governa o escoamento de fluido nointerior da fratura é dada por [18].

∂w

∂t+

∂q

∂t=

C ′H(t − t0(x))√(t − t0(x))

+ Q(t)δ(x). (2.2)

q =−w3

μ′∂pf

∂x, �l(t) < x < �r(t), (2.3)

onde q(x, t) é a vazão volumétrica; H(t) é a função de Heaviside; δ é a funçãodelta de Dirac; Q(t) é a taxa de injeção do fluido; μ′ = 12μ viscosidade do fluido;C ′ = 2Cl coeficiente de perda do fluido no meio rochoso; K’=4( 2

π)1/2KIC coeficiente

de tenacidade; to(x) é o tempo para qual a frente da fratura passa pelo ponto x.

• Condições iniciais e de Contorno

Tendo em conta a simetria do problema com relação a posição da fonte(que corre-sponde a origem das coordenadas x = 0), na entrada do poço o fluxo é:

±q

∣∣∣∣x=0−

x=0+=

Q0

2. (2.4)

Nas extremidades da fratura (x = ±�) a abertura e o fluxo são iguais a zero,

w(�r, t) = w(�t, t) = 0. (2.5)

As Eq 2.3 e 2.5 permitem escrever uma relação entre w e pf na extremidade dafratura,

w3 dpf

dx= 0, x = �r; x = ��. (2.6)

É importante ressaltar que as equações e relações acima formam um problema deevolução não linear de fronteira móvel.

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2.2 Forma adimensional e soluções numéricasPara reduzir as equações Eq. (2.1)-Eq. (2.5) a uma forma adimensional foram intro-duzidas as seguintes definições.

x = �∗χ, t = t∗τ, �(t) = �∗γ(τ), pf = p∗Πf , w = w∗Ω,

σc = p∗Σ0Φ(x), Q = Q0ψ(τ), (2.7)

onde �∗, t∗, p∗, w∗, Q0 representam respectivamente o comprimento, tempo, pressão,abertura e coeficiente de injeção característicos. As quantidades χ, τ , γ, Π e Ω repre-sentam as coordenadas espaciais adimensionais, tempo adimensional, a coordenadaadimensional da frente de fratura, a pressão adimensional e a abertura adimen-sional. Introduzindo esses parâmetros nas equações governantes, pode-se identificaros seguintes parâmetros adimensionais

gc =C ′t1/2

∗w∗

, ge =E ′w∗p∗�∗

, gm =w2p∗t∗

μ′�2∗, gv =

Q0t∗w∗l∗

, gk =K ′�1/2

∗E ′w∗

, (2.8)

portanto, a equação de elasticidade e de lubrificação podem ser reescrita nas formasadimensionais seguintes:

• Equação de elasticidade

Π(χ, τ) = Πf(χ, τ) − Σ0Φ(χ) = −ge

4π

∫ γr

γl

Ω(χ′, τ)(χ − χ′)2 dχ′. (2.9)


∂Ω∂τ

= gm∂

∂χ(Ω3 ∂Πf

∂χ) + gcH(τ − τ0(χ))√

(τ − τ0(x))+ Ψ(τ)gvδ(χ), γ�(τ) < χ < γr(τ). (2.10)

• Condições iniciais e de fronteira

Ω(γ�,r, τ) = 0, limχ→γ

Ω3 ∂Πf

∂χ= 0. (2.11)

A adimensionalização, introduzida em [2] e reproduzida acima, serve a um duplopropósito. Análises envolvendo valores assintóticos dos parâmetros adimensionaispermitem melhor compreender o comportamento da fratura. Além disso, a adi-mensionalização permite um melhor balanceamento dos termos das equações, o queconduz a algoritmos que apresentam, do ponto de vista numérica, um melhor condi-cionamento.

• Soluções Numéricas

8

Nesta seção descreve-se o procedimento usado para discretizar as equações gov-ernantes do processo de fratura hidráulica, bem como o algoritmo para resolvero problema resultante. No presente trabalho, este algoritmo foi usado como umaabordagem numérica confiável e robusta para o problema de fratura hidráulica.Como dito anteriormente, este algoritmo foi desenvolvido em [2] e a contribuiçãodo presente trabalho reside em usá-lo no contexto de modelagem e quantificação deincertezas. O algoritmo será apresentado de forma sucinta, apenas com o intuito detornar este texto minimamente auto-contido. Embora o problema seja de fronteiramóvel, o algoritmo foi construído de forma a tratá-lo através de uma abordagempuramente euleriana. A região em que a fratura vai se propagar é discretizada emN elementos uniformes de comprimento Δχ = 2a. No centro de cada elementossão calculados a pressão Π(χ, τ) e a abertura Ω(χ, τ), considerados constante aolongo do elemento. Assim sendo, ambos os campos são descontínuos na fronteirados elementos. A equação de lubrificação é aproximada usando o método de volumesfinitos.

• Equação de elasticidade

Assume-se que a abertura é aproximada para uma função Ω(χ, τ) = ΣmΩm(τ)Hm(χ)onde Hm(χ) é uma função característica de m elementos.

H(χ) =

⎧⎨⎩ 1, se χ ∈ (χm − a, χm + a)

0, se χ /∈ (χm − a, χm + a)(2.12)

Substituído a expressão Eq 2.12 na Eq 2.9 e integrando a expressão obtida em cadaelementos, obtemos seguinte resultado:

Πm(τ) = ΣnCm−nΩn(τ), (2.13)

ondeCm = ge

πΔχ

14m2 − 1

.

A Eq 2.13 pode ser escrita da forma matriciais seguinte:

Π = CΩ, (2.14)

onde Π e Ω são vetores de N posições.


A Eq 2.10 é integrada sobre o intervalo de tempo e espaço [χm − a, χm + a] ×[τ − Δτ, τ ]. Obtemos a expressão seguinte:

9

Ωm(τ) = Ωm(τ − Δτ) + ΔτA(Ω)Πf + �m

Δχ+ δm0

Δχ

∫ τ

τ−ΔτΨ(τ ′)dτ ′, (2.15)

onde o operador não linear A(Ω) é aproximado usando diferenças centrais:

[A(Ω)Π]k = 1Δχ

(Ω3k+1/2

Πk+1 − Πk

Δχ− Ω3

k−1/2Πk − Πk−1

Δχ) (2.16)

A Eq 2.15 pode ser escrita da forma simplificada seguinte:

ΔΩ = ΔτA(Ω)Π + ΔτΓ, (2.17)

onde a matriz A(Ω) é definida na Eq 2.16. Além das equações discretas apresentadasacima, é preciso incorporar as condições de contorno, que serão responsáveis peladefinição do domínio ocupado pela fratura a cada instante.

Segundo [2], o fraturamento hidráulico é governado por 4 diferentes regimes depropagações que se alternam ao longo da propagação. O regime de viscosidade, detenacidade, de viscosidade-filtração do fluido e de tenacidade-filtração do fluido. Obalanço de um regime a outro depende das propriedades do fluido e do reservatório.Exemplo para um regime de viscosidade dominante (K’=C’=0). A cada regimede propagação, corresponde um comportamento assintótico prevalente na ponta datrinca. A identificação destes joga um papel central no algoritmo de solução intro-duzido em [2]. A expansão assintótica no regime de tenacidade dominante pode serescrita como é bem conhecido na teoria da fratura linear.

Ω ζ−→0∼ ζ1/2, (2.18)

a inversão da Eq 2.18 que define, então, a distância até a ponta da trinca é dada por

F (ζ) = −ζ ∼ −Ω2. (2.19)

No regime de viscosidade dominante, a expansão pode ser escrita da seguinte forma:

Ω ζ−→0∼ βm0ν1/3ζ2/3, (2.20)

onde βm0= 21/333/6( μ′E′ ). Invertendo a expressão 2.20 temos a distância entre a ponta

da trinca é a entrada do poço.

F (ζ) = −ζ ∼ −( Ωβm0ν1/3 )3/2 (2.21)

neste regime, a velocidade da frente de fratura ν é: ν = −F −F0Δt

. As relações acimaformam a base para a construção de um algoritmo robusto que será descrito em

10

seguida.Este algoritmo é constituído por dois laços iterativos, sendo um interior ao outro.

A cada passo de tempo, e portanto conhecendo Ω, Π e o comprimento da fratura noinstante anterior, calcula-se os novos valores a serem assumidos por esses campos.

A idéia fundamental do algoritmo de Implicit level set consiste em dividir a regiãoem que a fratura vai se propagar em duas regiões: uma primeira região N c chamadacanal é representada para o índice c, esta região é sempre preenchida de fluido. Asegunda região N t chamada extremidade é representada pelo o índice t, esta regiãoé parcialmente preenchida pelo fluido. Também é usado para atualizar a posição dafrente de fratura e estimar a abertura Ω no contorno da região canal . A estimaçãoda abertura no contorno da região canal é feita através de uma expansão assintótica.Essa expansão depende do regime de propagação de fratura. As variáveis do canalsão representadas com uma anotação c e as variáveis da extremidade com umaanotação t. Ωc, Πc são abertura e pressão no canal e Ωt, Πt abertura e pressão naextremidade. Usando a Eq 2.14, a pressão no canal pode ser escrita da seguinteforma:

Πc = CccΩc + CctΩt, (2.22)

onde Ccc e Cct representam as parcelas C da Eq 2.14 na região canal-canal eextremidade-canal. A Eq 2.17 é usada para calcular a variação da abertura ΔΩc naregião do canal e, tem-se, então:

ΔΩc = Ωc − Ωc0 = Δτ(AccΠc + ActΠt) + ΔτΓc, (2.23)

onde Ωc0 é a abertura na região-canal do passo de tempo anterior. A Eq 2.17 permite

de calcular a variação da abertura na extremidade Ωt através da expressão

ΔΩt = Ωt − Ωt0 = Δτ(AtcΠc + AttΠt) + ΔτΓt. (2.24)

Usando a Eq 2.22 para eliminar a pressão Πc nas Eq 2.23 e Eq 2.24, obtemos umsistema de equação não-linear, que tem por solução Ωc e Πc. O sistema de equaçãoé o seguinte:

⎛⎝ I − ΔτAccCcc −ΔτAct

−ΔτAtcCcc −ΔτAtt

⎞⎠

⎛⎝ ΔΩc

Πt

⎞⎠ =

⎛⎝ ΔτAcc(CccΩc

0 + CctΩt) + ΔτΓc

−ΔΩt + ΔτAtc(CccΩc0 + CctΩt) + ΔτΓt

⎞⎠

(2.25)A solução de sistema não linear é a variação da abertura ΔΩc e a pressão na ex-tremidade de fratura Πt. Conhecendo ΔΩc, pode-se calcular Ωc = Ωc

0 + ΔΩc.

11

Depois de cálcular a abertura ΔΩc e a pressão Πt, a resolução da equação deEikonal [19, 20] permite de localizar a posição da frente de fratura. a equação deEikonal envolvendo a posição da extremidade da trinca é dada por

|∇F (ζ)| = 1. (2.26)

A forma iterativa mencionada anterior para resolver o sistema não linear acima édescrita na forma de um pseudo-código reproduzido abaixo.

algoritmo de implicit level set para resolver a fratura hidráulica1: for itime ← 2, nsteps do laço de tempo2: avanço do passo de tempo: τ ← τ + Δτ3: for k ← 1, Nf do laço da frente de fratura4: Resolver a Eq 2.25 para calcular Δ Ωc e Πt e usando um método iterativo

de Picard.5: Calcular a posição da nova frente de fratura Fk(ζ) resolvendo a equação

de Eikonal |∇F (ζ)| = 1. Tendo como condição de contorno o valor da aberturado elemento do canal mais próximo a frente de trinca obtida em 4.

6: Usar Fk(ζ) para calcular �.7: Estimar a abertura na extremidade Ωt(τ) Eq 2.20.8: Analisar a convergência usando a equação ‖Fk − Fk−1‖ < tol.F1.9: Parar se a convergência foi verificada.

10: end for11: end for

12

Capítulo 3

Formulação Estocástica -Quantificação de Incertezas

Neste capítulo analisam-se as fontes de incertezas e apresenta-se a formulação es-tocástica do problema de fratura hidráulica.

Na maioria das simulações numéricas do problema de fratura, as incertezas ouvariabilidades dos parâmetros da rocha-reservatório não são levadas em conta. Issopode limitar as informações numéricas obtidas. Neste trabalho, o Módulo de Elasti-cidade do reservatório E’ foi considerado como parâmetro incerto que vai representaras variabilidades encontradas nos parâmetros da rocha-reservatório [21].

3.1 Caracterização Probabilística das IncertezasPara a simulação numérica do processo de fratura hidráulica é preciso conhecer aspropriedades da rocha-reservatório que são: o Módulo de Elasticidade, o Módulode Poisson e a Tensão de confinamento na rocha. Varias técnicas existem paraa medição das propriedades da rocha [22, 23]. Entre esses métodos de medição,destaca-se o método de overcoring. Este método consiste em aplicar uma tensãosobre uma amostra da rocha reservatório extraída no poço. Depois da aplicação datensão, o Módulo de Elasticidade e a deformação da rocha são medidas. Admitindoque a amostra seja representativa do reservatório, e, ainda, que a rocha que o con-stitui é elastica, homogêneo e isotrópica, o Módulo de Elasticidade obtido atravésdo ensaio passa a caracterizar o comportamento da rocha.

Em [21], Ask afirmou que essas medições implicam em três grupos de incertezas:naturais; de medições; na análise de dados. As incertezas naturais são devidas àsheterogeneidades da rocha e as estruturas geológicas da rocha. As incertezas demedição são os erros ou enganos devidos à construção da célula de overcoring. Asincertezas na análise de dados podem ocorrer quando os pressupostos sobre as carac-

13

terísticas(continuo,homogêneo, etc) da rocha não são respeitadas. Exemplo, quandoos efeitos de anisotropia da rocha são desprezados [24]. Em [25], uma medição sobreos dados de uma amostra da rocha no Aspo HRL (Hard Rock Laboratory) mostrouque os parâmetros elásticos( Módulo de Elasticidade e de Poisson) são incertos.Neste mesmo estudo, o Módulo de Elasticidade medida apresenta uma variaçãocorrespondendo a 62± 5 GPa e o Módulo de Poisson de 0.25± 0.01.

Neste trabalho,as incertezas nos parâmetros da rocha foram tomadas em contapara resolver o problema de fratura hidráulica. Os três parâmetros da rocha-reservatório: módulo de elasticidade E ′, de poisson ν, e a tensão da rocha σ sãoparâmetros incertos. Neste estudo, o Módulo de Elasticidade E ′ é um parâmetroincerto e ν,σ constantes.

3.2 Construção de modelos probabilísticos paraos dados de entrada

A construção de um modelo probabilístico é geralmente baseada num conjunto dedados obtidos pela observação ou por experimentos. A Estatística propõe técnicaspara assumir ou construir uma família de distribuições de probabilidade que buscamrefletir os dados experimentais ou de observação. Entretanto, nem sempre é possívelobter um número suficiente de observação para estimar a distribuição de probabili-dade(pdf). Neste caso, a escolha da pdf é fortemente influenciada pelo julgamentode especialista. Neste trabalho, considera-se duas alternativas para a construção dapdf dos parâmetros incertos da rocha-reservatório.

A primeira, consiste em assumir uma distribuição de probabilidade para o Mó-dulo de Elasticidade do reservatório. Na literatura, existe um grande número dedistribuição de probabilidade, a mais freqüentemente usada para descrever a vari-ação aleatória que ocorre nos dados de muitas disciplinas científicas é a distribuiçãode Gauss (ou normal). Essa distribuição vale para problemas que apresentam umasimetria nos dados que podem ser negativas ou positivas. Os parâmetros incertosda rocha-reservatório não podem ter essa distribuição, pois são parâmetros sem-pre positivos. Segundo [15], a distribuição de probabilidade dos recursos mineraisna crosta terra(como a rocha-reservatório) são enviesados i.e que os valores médiossão baixos, grandes variações e os valores não podem ser negativos. Em [26–30]foi mostrada que as distribuições enviesadas podem ser aproximadas por uma dis-tribuição log-normal. As propriedades básicas da distribuição log-normal foram es-tabelecidas em [30]. Uma distribuição log-normal pode ser caracterizada da seguinteforma: uma variável aleatória X tem uma distribuição log-normal se log(X) segueuma distribuição normal. Para especificar essa distribuição é necessário então con-

14

hecer apenas a média μ e o desvio σ de X. A geração dessa distribuição foi feitausando a função lognrnd de Matlab. O Módulo de Elasticidade E ′=E ′(1 + κε) foigerado como sendo uma variável aleatória de distribuição log-normal de média E ′ ede desvio padrão dependendo de κ. E ′ e a variância de E’ foram escrita da seguinteforma: E ′ = 1

1+κ, σ2

E′=κ2

1+κ2 . Estas expressões foram obtidas considerando ε comoum parâmetro de distribuição lognormal de média 1 e desvio padrão 1. O símbolo∼ foi usado para representar as variáveis incertas da rocha reservatório e a barrahorizontal sobre a variável representa a média da variável.

A segunda abordagem consiste em considerar que, depois de alguns testes ex-perimentais, observa-se que o Módulo de Elasticidade varia no intervalo [0.4 , 1.6].Mas neste estudo o intervalo foi escolhido de forma que 96% das amostras obti-das usando-se a distribuição log-normal estivessem contidas nele. Essa informaçãoadicional mais a média=E ′ sobre o Módulo de Elasticidade, permite de construiruma distribuição de probabilidade para E ′ através do principio de Máxima Entropia[31–33] que respeita as condições impostas sobre a variável incerta.

Quando se busca a lei de probabilidade de uma variável X, com conhecimentode algumas informações experimentais ou de observação sobre a variável, pode-seusar o principio da máxima entropia [34]. O conceito de entropia foi introduzido porClausius em termodinâmica, no meio do século XIX. Em século atrás foi usado deuma forma diferente por Bolzmann em seu trabalho sobre a teoria cinética de gasesem 1966. Em 1948 um novo conceito de entropia foi criado por Shannon e em 1947Jaynes criou o conceito de máxima entropia. Basicamente, este esquema numéricoé utilizado para construir numericamente a função de densidade de probabilidadecom conhecimento algumas informações experimentais ou de observações.

A variável E ′ foi parametrizado com E ′=E ′(1+ε). Onde ε foi construída atravésdo método de máxima entropia. O principio pode ser apresentado de forma sucintaa seguir:

Seja PX : R −→ R+ a função de densidade de probabilidade de X e E(PX) a

entropia associada à PX é :

E(PX) = −∫

χPX(x)log(PX(x))dx (3.1)

A expressão 3.1 express uma medida de incerteza da lei de probabilidade PX .Quando nenhuma informação é disponível, a lei de probabilidade PX que maxi-miza a medida de entropia é a lei uniforme. Quando tiver informação, as restriçõessobre a lei de probabilidade podem ser traduzidas como:

∫χ

gi(x)PX(x)dx = E(gi(X)) = ai, i = 0...Nc. (3.2)

Para i = 0, g0(x) = 1 e a0 = 1 a Eq. (3.2) torna-se:

15

∫ b

aPXdx = 1 (3.3)

para i = 1..Nc, a Eq. (3.2) torna-se:

∫ b

aPXgi(x)dx = ai, i = 1..Nc. (3.4)

A função gi(x) = xi permite impor os momentos estatísticos da variáveis X obtidosa partir de observação, de experimentos ou de julgamento de especialista. Intro-duzindo as multiplicadores de Lagrange λNc

i=0, o problema consiste em resolver aequação seguinte:

H(pX , λ0..λNc) = ε(PX) −Nc∑i=0

λi(∫

χgi(x)PX(x)dx − di). (3.5)

O máximo ou minimo de H(X, PX(x)) deve verificar:

∂

∂PX(x)H(X, PX(x)) = 0. (3.6)

A solução única dessa equação é dada por :

PX(x) = 1[a,b] × exp(−Nc∑i=0

λigi(x)), i = 0..Nc. (3.7)

Onde supp[a,b] é o support de PX .A técnica foi aplicada para a determinação da distribuição de probabilidade de

E ′. O Módulo de Elasticidade foi considerado como uma variável de média= 1 evariando entre [0.4, 1.6]. Usando essas informações, a pdf de E ′ pode ser escrita daseguinte forma:

PX = 1[0.4,1.6] × exp(−λ0g0 − λ1g1(x) − λ2g2(x)),

onde g0 = 1, g1(x) = x, g2(x) = x2. O problema que surge agora é o cálculo dosmultiplicadores de Lagrange λ0, λ1, λ2. O cálculo desses valores foi feito através deuma otimização. Como E ′=E ′(1 + ε), para obter a pdf de E ′ foi construída a pdfde ε. Os multiplicadores de Lagrange devem ser calculados de tal maneira que asrestrições sobre a probabilidade de ε Pε sejam respeitadas. Essas restrições sobreε foram escolhidas devido à informação sobre E ′. As restrições são ε=0, variandoentre [-0.6, 0.6], σε=0.1 e podem ser escritas em seguinte:

16

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

max ε(Pε) = − ∫ 0.6−0.6 Pε(x)log(Pε(x))dx∫ 0.6

−0.6 Pεdx = 1∫ 0.6−0.6 gi(x)Pε(x)dx = ai

Pε ≥ 0

O método de Newton [35] foi usado para a otimização do problema devido a suavantagem de convergência rápida. Foram obtidos, λ0 = −0.022, λ1 = 1.054.10−17,λ2 = 1.863. Então a pdf é:

Pε = 1[−0.6,0.6] × exp(0.022 − 1.054.10−17x − 1.863x2). (3.8)

O problema que surge agora é achar um gerador para a pdf construída.Na literatura existem várias rotinas de geração de variáveis aleatórias. Entre

esses métodos, pode-se citar o método de transformação inversa e o algoritmo deMetropolis-Hastings [36].

O método de transformação inversa é baseado na observação de que, para umadada variável aleatória X com pdf conhecida e cdf F(X), os valores de X podemser obtidos gerando números aleatórios uniformemente distribuída u entre 0 e 1 eX = F (u)−1.

Outra alternativa é o método de Metropolis ou Metropolis-Hastings [16]. Estemétodo foi desenvolvido por Metropolis e Ulam em 1949, Metropolis e Hastings em1970. O algoritmo de Metropolis é um método baseado na cadeia de Markov MonteCarlo (MCMC). O ponto delicado dessa técnica é escolher uma distribuição a priori.Essa informação a priori sobre a pdf da variável que vai ser gerada é geralmentedada pela observação ou julgamento de especialista. Neste trabalho, a distribuiçãouniforme foi escolhida como a distribuição a priori, pois temos a informação que avariável está num intervalo bem definido. O algoritmo de Metropolis é baseado naidéia de aceitação e rejeição i.e um valor é gerado de uma distribuição auxiliar eaceito com uma dada probabilidade:

α(Xt, Y ) = min{1,Pε(Y )q(Xt | Y )Pε(Xt)q(Y | Xt)

}. (3.9)

A distribuição uniforme escolhida como distribuição a priora é simétrica entãoq(Y |Xt) = q(Xt|Y ) portanto:

α(Xt, Y ) = min{1,Pε(Y )Pε(Xt)

}. (3.10)

17

algoritmo de de MCMC para gerar variáveis aleatória da Pε

1: Iniciar a cadeia X0 a t=0.2: Gerar pontos candidatos Y (com distribuição uniforme neste trabalho q(. | Xt))3: Gerar u uma distribuição uniforme [0 , 1 ]4: if u ≤ α(Xt, Y ) then5: Xt+1=Y6: elseXt+1=Xt

7: t ← t + 18: end if

Na fig 3.1 foi comparado a pdf analítica Pε Eq 3.8 e a pdf Pε construída usandoo algoritmo de Metropolis-Hastings. Pode-se observar também na fig 3.2 a pdf doMódulo de Elasticidade da primeira abordagem e na fig 3.3 a pdf do Módulo deElasticidade da segunda abordagem, representadas na forma de histogramas.

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

300

400

500

Pε

PεPε

MCMC

Figura 3.1: Pε gerada através do MCMC comparada a Pε analítica.

0.4 1 1.6 2 2.50

100

200

300

400

500

PD

F E

’

Figura 3.2: PDF da segunda abordagem.

18

0.2 0.4 1 1.6 2 2.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

PD

F E

’

Figura 3.3: PDF da primeira abordagem.

3.3 Formulação estocástica para o problema defratura hidráulica

Levando em conta as incertezas no processo de fratura hidráulica, as soluções dafratura serão representadas em três dimensões: espacial χ, temporal τ e um espaçoestocástico completo (Γ,F,P), onde Γ é o espaço dos eventos, F ⊂ 2Γ σ-algebra eP: F−→ [0,1] a medida de probabilidade. As variabilidades que ocorrem devido àentrada podem ser representadas pelo campo aleatório θ. Nesse caso, as saídas eleitascomo representante do processo de fratura podem ser reescritas como: abertura Ω=Ω(χ, τ, θ), a pressão do fluido Πf = Πf (χ, τ, θ) e o comprimento �= �(τ, θ). Resolvero problema considerando os três dimensões gera um problema bastante complexo.Essa complexidade pode ser diminuída reduzindo o espaço probabilístico a um espaçofinito i.e que as variáveis que representam as incertezas do processo de fratura podemser representadas através um número finito de variável aleatória [ξ1(θ),....,ξN (θ)]:Γ −→ R

N . Portanto, as saídas de fratura são, formalmente, dados por

Ω(χ, τ, θ) = Ω(χ, τ, ξ1(θ), ..., ξN(θ)),

Πf (χ, τ, θ) = Πf (χ, τ, ξ1(θ), ..., ξN(θ)),

�(τ, θ) = �(τ, ξ1(θ), ..., ξN(θ)).

As soluções são obtidas considerando que ξi(θ) representam variáveis aleatórias in-dependente com distribuição de probabilidade ρi : Γi −→ R. A distribuição de prob-abilidade da variável aleatória ξ = (ξ1(θ), ..., ξN(θ)) é dada por ρ(ξ) = ∏N

i=1 ρi(ξi) ∀ξ∈Γ; onde Γ = ∏N

i=1 Γi ⊂ RN .

As equações Eq 2.1-2.20 devem ser reescritas levando em conta a dimensão estocás-

19

tica.A equação de elasticidade é então:

Πf (χ, τ, ξ) − Σ0Φ(χ, ξ) = −ge

4π

∫ γr

γl

Ω(χ′, τ, ξ)(χ − χ′)2 dχ′, (3.11)

onde ge = E′w∗�∗p∗ .

Na primeira abordagem, E ′ com distribuição log-normal

ge =E ′(1 + εκ)w∗

�∗p∗= (1 + εκ)ge

no regime de viscosidade, o parâmetro que caracteriza o comportamento assintóticopode ser reescrito como βm0=β( μ′

E′(1+κε)).Na segunda abordagem E ′ com distribuição construída através do método de máx-ima entropia

ge = E ′(1 + ε)w∗�∗p∗

= (1 + ε)ge

no regime de viscosidade, o parâmetro que caracteriza o comportamento assintóticopode ser reescrita como βm0=β( μ′

E′(1+ε)).A equação do fluido sobre forma estocástica pode ser escrita como seguinte:

∂Ω(χ, τ, ξ)∂τ

= 1gm

∂

∂χ(Ω(χ, τ, ξ)3 ∂Πf (χ, τ, ξ)

∂χ) +

gcH(τ − τ0(χ))√(τ − τ0(x))

+ Ψ(τ, ξ)gvδ(χ), γ�(τ, ξ) < χ < γr(τ, ξ).(3.12)

As condições de fronteira e de contorno podem ser escritas como:

Ω(γ�,r, τ, ξ) = 0, limχ→γ

Ω3(χ, τ, ξ)∂Πf (χ, τ, ξ)

∂χ= 0. (3.13)

O sistema de equação estocástica (3.11)-(3.13) obtido pode ser resumido como

B(Ω, Πf , � : χ, τ, ξ) = 0. (3.14)

Essas equações, geram um sistema de equação estocástico não-linear (3.14) quepode ser resolvido através varias técnicas. Entre essas técnicas, pode-se citar oMétodo de Monte Carlo [37] e de Colocação Estocástica [38]. O uso de uma dessastécnicas depende do problema a ser resolvido, do desempenho computacional, dasinformações disponíveis etc. No próximo capítulo, os dois métodos de resolução dosistema de equação estocástico são apresentados.

20

Capítulo 4

Método de solução do sistema deequações diferenciais parciaisestocástico

A literatura apresenta varias técnicas de solução de sistemas de equações estocásticas[34]. Cada técnica tem a suas eficiência e desvantagens para resolver as equaçõesestocásticas. Um dos grandes critérios usado para comparar essas técnicas é o custocomputacional usado para cada método de resolução estocástica. Além disso, aintrusividade é um elemento que surge como decisivo em muitos casos. Apresente-se em seguinte alguns métodos de resolução de sistemas de equações diferenciaisparciais estocásticos:

4.1 A simulação de Monte CarloEntre os métodos mais usados para resolver sistemas de equações estocásticos, porsua simplicidade está o chamado Monte Carlo [8]. Este método consiste em resolverequações diferenciais determinísticas para cada amostra aleatória dos parâmetros deentrada. Um esquema simplificado deste método pode ser descrito como:

1. Identificar os parâmetros e as densidades de probabilidade das variáveis deentrada.

2. Gerar M amostras aleatórias ξ = [ξ1(θ), ..., ξN(θ)].

3. Para cada realização ξk(θ) onde k=1,..,M resolver a Eq 3.14 .

4. Pós-processamento, avaliar as soluções estatísticas E[u] i.e (Ω, Πf , �) e variân-cias σ2

ui.e (σ2

Ω, σ2Πf

, σ2� ) das saídas de fratura.

21

E[u] =1

M

M∑j=1

uj, (4.1)

σ2u = 1

M − 1

M∑j=1

(uj − E[u])2. (4.2)

Uma das grandes atrações deste método é a taxa de convergência que não de-pende do número de variáveis incertas e é não intrusivo. Porém, para problemascomplexos o método torna-se intratável porque necessita grande número de realiza-ção [39]. Uma alternativa ao método de Monte Carlo é conhecido como o métodode Colocação Estocástica [10], que sera descrita a seguir.

4.2 Método de Colocação EstocásticaA idéia básica do método de Colocação Estocástica consiste em construir uma in-terpolação da variável de interesse e calcular essa interpolação a partir dos pontospré-determinados do espaço estocástico. Essa interpolação e feita numa base for-mada de polinômios de Lagrange. A formulação desse método pode ser descrita,sucintamente através de:

Seja {ξi}Mi=1 alguns pontos no espaço aleatório de dimensão N e ∏P

N , o subespaçodos N polinômios de grau máximo p - 1. O problema de interpolação de Lagrangepode ser descrito como: dado um conjunto de nós ΘN ={ξi}M

i=1 no domínio aleatórioΓ e uma função suave f : RN −→ R, achar um polinômio If tal que If(ξi)=f(ξi),∀i=1,..,M. Usando os polinômios de Lagrange é possível obter uma aproximação

If(ξ) =M∑

k=1f(ξk)Lk(ξ), (4.3)

ondeLi(ξj) = δij . (4.4)

Portanto, o valor da função de interesso em cada ponto ξ ∈ Γ é aproximado paraIf(ξ). No processo de fratura hidráulica, as saídas abertura Ω, pressão Πf , compri-mento � podem ser aproximadas como (Ω, Πf , �) com

(Ω, Πf , �) = (IΩ(ξ), IΠf(ξ), I�(ξ))

=M∑

k=1(Ω(ξk), Πf(ξk), �(ξk))Li(ξ). (4.5)

A Eq 4.5 permite de reescrever a Eq 3.14 como

22

B(M∑

i=1Ω(ξi)Li(ξ),

M∑i=1

Πf (ξi)Li(ξ),M∑

i=1�(ξi)Li(ξ) : χ, τ, ξ) = 0. (4.6)

Usando a Eq 4.4 obtemos uma equação desacoplada,

B(Ω(ξi), Πf(ξi), �(ξi), χ, τ, ξi) = 0, i = 1, .., M. (4.7)

Finalmente, o método de Colocação Estocástica é equivalente a resolver Mequações determinísticas nos pontos pré-determinados ξ a faixa de variabilidadedestes ponto é escolhida em função do intervalo de variabilidade da variável incerta.Os vários momentos estocásticos associados podem ser calculados 4.1-4.2. Para nívelde interpolação crescente das variáveis de interesse os momentos são calculados e aconvergência dos resultados é avaliada ver na seção 5.1.

Neste trabalho, a implementação do método de Colocação Estocástica foi feitausando-se o toolbox de Matlab desenvolvido por Andreras Klimke [40]. O toolboxapresenta algumas subrotinas para construir o grid espaço e interpolar a função nospontos selecionados. As subrotinas que foram usadas para gerar o grid espaço einterpolar a função nos pontos do grid são: (1) spset; (2) spvals; (3) spinterp. Ospset é uma subrotina usada para definir a opção do grid espaço que desejá-se. Nestetrabalho, foi usado o grid espaço de tipo Chebyshev. A subrotina spvals permite deter informações sobre a interpolação da função. Entre essas informações pode-secitar: o número de pontos usado para a interpolação, os erros absolutos e relativosde interpolação, o tempo usado para a interpolação. A subrotina spinter, estasubrotina corresponde à Eq 4.6 da formulação do método de Colocação Estocástica.Permite de calcular os valores da função interpolada. A subrotina spinter usa comodados de entrada, as funções que deseja-se interpolar e a variável ou as variáveisincertas do problema gerada com suas distribuições de probabilidade respectivas. Ainterpolação das variáveis de saídas é feita para um nível de interpolação crescenteaté a convergência. As distribuições de probabilidades das variáveis de saída foramconstruídas com M amostras da função interpolada. Essa função é obtida no nívelou ponto de convergência da variável.

23

Capítulo 5

Resultados e Discussões

Neste capítulo são apresentados resultados obtidos a partir da simulação computa-cional de situações envolvendo o fraturamento hidráulico. Alguns testes são uti-lizados para avaliar o desempenho do código computacional de fratura hidráulicadesenvolvido em [2]. Em seguida, são apresentados resultados e discussões do prob-lema de fratura hidráulica levando em conta potenciais variabilidades encontradosem um reservatório. Essas variabilidades foram representadas nestas simulaçõesnuméricas através do Módulo de Elasticidade E’, cujas incertezas foram modeladasatravés das abordagens apresentados no ítem 3.2. Para a escolha de um métodode propagação dessas variabilidades no problema de fratura, foram estudados os de-sempenhos computacionais dos métodos de Monte Carlo e de Colocação Estocástica.Depois desse estudo, foram analisados os efeitos das variabilidades sobre as saídasdo processo de fratura hidráulica. Também, foram comparadas as saídas de fraturahidráulica obtidas pelas duas abordagens de modelagem das incertezas do Módulode Elasticidade.

5.1 Desempenho ComputacionalA análise do desempenho computacional foi dividida em duas partes: a primeiraparte consiste a estudar o desempenho do algoritmo de Implicit level Set [2]. Esteestudo foi feito comparando-se os resultados numéricos e a solução exata para umproblema de fratura hidráulica. Além disso, através desses experimentos numéricos,foi possível determinar valores adequados para os parâmetros da discretização espa-cial e temporal. A segunda parte consiste em comparar o desempenho dos métodosde Monte Carlo e de Colocação Estocástica, aplicados ao algoritmo apresentadoanteriormente.

O resultado numérico do algoritmo Implicit level Set (ILSA) [2] foi comparadocom a solução analítica de uma fratura circular. Esta solução foi obtida considerandoque a fratura evolui no regime de viscosidade dominante e que a tensão da rocha-

24

reservatório é homogênea. A comparação das duas soluções foi feita considerando adiscretização espacial Δ χ = 2 e temporal Δτ = 10. O comprimento (raio) inicialda fratura foi considerado igual a � = 7 no tempo τ = 38.54.

A fig 5.1 apresenta a comparação dos resultados numéricos e exatos adimensionaisda abertura obtida nos tempos de bombeio τ = 51.39, τ = 102.79, τ = 154.19. Pode-se observar que o erro entre a solução numérica e exata diminuiu quando o tempode bombeio aumenta.

Na fig 5.2 foram comparadas as soluções numérica e exata da abertura na entradado poço. Observa-se que a solução exata e numérica se aproximam quando o tempode bombeio aumenta.

O gráfico da fig 5.3 apresenta a comparação entre as soluções numérica e exatada pressão do fluido Πf(χ = 0, τ) obtida na entrada do poço. As duas soluçõesficam quase iguais quando o tempo de bombeio aumenta.

Na fig 5.4 foi comparado a solução exata e numérica do comprimento fraturado.Pode-se ver que as duas soluções se aproximam com o tempo.

Nos gráficos das fig 5.5-5.6 foram comparados a convergência do algoritmo [2].Para este estudo foram usados três passos espaciais Δ χ = 4, Δ χ = 8, Δ χ = 16.A convergência do algoritmo foi analisada usando o resultado da abertura Ω(χ, τ =154.19) obtido no ultimo tempo de bombeio e a abertura Ω(χ = 0, τ). Observa-seque quando Δ χ diminui-se, a solução numérica aproxima-se da solução exata.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

χ

Ω

solução exatasolução numérica

Figura 5.1: Soluções exata e numérica da abertura Ω nos tempos de bombeio τ =51.39, τ = 102.79 ,τ = 154.19

25

20 40 60 80 100 120 140 1603.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

τ

Ω(χ

=0,

τ)

Solução exata

Solução numérica

Figura 5.2: Soluções exata e numérica da abertura Ω(χ = 0, τ) na entrada do poço

60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1601.1

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

τ

Πf(χ

=0,

τ)

Solução exataSolução numérica

Figura 5.3: Soluções exata e numérica da pressão do fluido Πf (χ = 0, τ) na entradado poço

26

20 40 60 80 100 120 140 1606

8

10

12

14

16

18

τ

�(τ)

Solução exataSolução Numérica

Figura 5.4: Soluções exata e numérica do comprimento fraturado �(τ)

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 800

2

4

6

8

10

12

χ

Ω(χ

,τ=

154)

Solução exataSolução numérica Δ χ=4Solução numérica Δ χ=8Solução numérica Δ χ=16

Figura 5.5: Convergência do algoritmo [2] em relação a Ω(χ, τ = 154.19)

20 40 60 80 100 120 140 1602

4

6

8

10

12

τ

Ω(χ

=0,

τ)

Solução exata Solução numérica Δ χ=4Solução numérica Δ χ=8Solução numérica Δ χ=16

Figura 5.6: Convergência do algoritmo [2] em relação a Ω(χ = 0, τ)

27

Para o estudo preliminar da convergência dos métodos de Monte Carlo e Colo-cação Estocástica foram considerados Δ χ=2 e Δτ = 10. A abertura de fraturafoi iniciada no tempo τ = 38.54. O estudo de convergência dos dois métodos foifeito usando o resultado da abertura nos três tempos de bombeio seguintes: τ=53,τ=105, τ=158. A comparação entre os desempenhos computacionais dos métodosde Monte Carlo e de Colocação Estocástica foi feito através do número de amostras,pontos usadas para obter a convergência das soluções.

A convergência do método de Monte Carlo foi avaliada para um número cres-cente de realização de 50 pontos até 3500 pontos. Para cada realização, foi cal-culada a média e o desvio padrão da abertura. A taxa de convergência foi es-timada através do cálculo da norma euclidiana do erro absoluto. Para o cál-culo do erro absoluto, foi considerado a solução de Monte Carlo com 3500 pon-tos como uma solução de refêrencia da solução estocástica do problema de fraturahidráulica. Assim, o erro absoluto é obtido calculando a norma euclideana dadiferença entre a solução de referencia e a solução obtida para cada realização i.e‖Ω(χ, τ, ξ = 3500) − Ω(χ, τ, ξi)‖2

2 = 1N

∑Nk=1(Ωk(χ, τ, ξ3500) − Ωk(χ, τ, ξi))2, onde N

é o número total de ponto fraturado. No método de Monte Carlo, ξi representa onúmero de realização que vai de 50 até 3500. Enquanto que no método de Colo-cação Estocástica ξi representa o nível de interpolação de 3 até a convergência dosresultados. A convergência dos dois métodos foi analisada na dimensão estocástica1D i.e o Módulo de Elasticidade como parâmetro incerto e os outros parâmetros darocha-reservatório ficam constante.

50 500 1000 1500 2000 2500 3000 35000.002

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

number of point

abso

lute

err

or o

f mea

n Ω

absolute error of mean Ω(χ,τ=53)absolute error of mean Ω(χ,τ=105)absolute error of mean Ω(χ,τ=158)

Figura 5.7: Taxa de convergência média de abertura obtida pelo método de MonteCarlo

28

50 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

0.00520.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

numero de pontos

erro

abs

olut

o do

des

vio

erro absoluto do desvio de Ω(χ,τ=53)erro absoluto do desvio de Ω(χ,τ=105)erro absoluto do desvio de Ω(χ,τ=158)

Figura 5.8: Taxa de convergência do desvio padrão de abertura obtida pelo métodode Monte Carlo

A convergência do método foi avaliada para nível crescente de interpolação atése ter um erro da mesma ordem que o método de Monte Carlo que é de 10−3. Podeobservar nas fig5.9-5.10 a convergência do método médias e desvios padrões.

3 5 9 100.002

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

number of point

abso

lute

err

or o

f mea

n Ω

absolute error of mean Ω(χ,τ=53)absolute error of mean Ω(χ,τ=105)absolute error of mean Ω(χ,τ=158)

Figura 5.9: Taxa de convergência média de abertura obtida pelo método de colocaçãode Colocação Estocástica

29

3 5 10 150.005

0.020.04

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

numero de pontos

erro

abs

olut

o do

des

vio

error absoluto do desvio de Ω(χ,τ=53)



Figura 5.10: Taxa de convergência desvio de abertura obtida pelo método de Colo-cação Estocástica

Observa-se na fig 5.7 que a convergência da simulação de Monte Carlo é obtidacom 2500 pontos para um erro absoluto de 0.002. Para este mesmo erro absoluto,o método de Colocação Estocástica usa a penas 9 pontos como pode-se observar nafig 5.9. Na fig 5.8 é apresentada a convergência dos desvios obtida pelo método deMonte Carlo. Observa-se que no método de Monte Carlo, uma boa convergência dodesvio padrão não é obtida enquanto que para o método de colocação estocástica fig5.10, nos três tempos de bombeio, a convergência dos desvios padrões é obtida com5 pontos. Também pode-se observar que a convergência nos desvios são diferentespara cada tempo de bombeio.

As médias e desvios padrões associados à solução estocástica da abertura obtidaspara nível de interpolação crescente do método de Colocação Estocástica são com-paradas à solução de refêrencia (Monte Carlo com 3500 pontos) e a solução nominalobtida considerando um modelo determinístico em que E’= E ′ = 1.

Pode-se observar nas fig 5.11-5.13 que a média de abertura Ω(χ, τ) obtida nostempos de bombeio τ = 53, τ = 105, τ = 158 converge para solução de referência apartir de 9 pontos. Também pode-se ver que para 9, 17, 33 pontos, a média obtidapelo método de Colocação Estocástica é a mesma, isso mostra a convergência dométodo. Note-se que a solução nominal difere da média da solução. Foi calculado oerro entre a solução nominal e a média da solução de referência como seguinte: error=‖Ω(χ, τ, ξ3500) − Ω(χ, τ)‖2 = 1

N

∑Nk=1(Ωk(χ, τ, ξ3500) − Ωk(χ, τ))2. Foi observado que

a medida que o tempo de bombeio aumenta, o erro entre as médias calculadas ea solução nominal aumenta. como exemplo para τ = 53 o error=0.17; τ = 105 oerror=0.27 e para τ = 158 o error=0.35. Isso indica a importância do uso de ummétodo de quantificação de incertezas para o presente trabalho.

As fig 5.14 - 5.16 apresentam a convergência dos desvios padrões σΩ(χ, τ) da

30

abertura nos tempos de bombeio τ = 53, τ = 105, τ = 158, pode-se observar quepara 5 pontos, os desvios obtidos pelo método de Colocação Estocástica se aproximada solução de referencia(Monte Carlo a 3500 pontos).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

χ

Ω(χ

,τ=

53)

Solução exata estocástica (MC 3500 pontos)Colocação 3 pontosColocação 5 pontosColocação 9 pontosColocação 17 pontosColocação 33 pontosSolução nominal (E’=valor médio)

Figura 5.11: Histórico de convergência média de abertura obtido pelo método deColocação Estocástica

−15 −10 −5 0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

χ

Ω(χ

,τ=

105)

Solução exata estocastica (MC 3500 pontos) Colocação 3 pontosColocação 5 pontosColocação 9 pontosColocação 17 pontosColocação 33 pontosSolução nominal (E’=valor médio)

Figura 5.12: Histórico de convergência média de abertura obtido pelo método Colo-cação Estocástica

31

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

χ

Ω(χ

,τ=

158)

Solução exata estocástica (MC 3500 pontos)Colocação 3 pontosColocação 5 pontosColocação 9 pontosColocação 17 pontosColocação 33 pontosSolução nominal (E’=valor médio)

Figura 5.13: Histórico de convergência média de abertura obtido pelo método deColocação Estocástica

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

σ Ω(χ

,τ=

53)

χ

solução exata( MC 3500 pontos)

colocação 3 pontos





Figura 5.14: Histórico de convergência desvio padrão de abertura obtido pelo métodode Colocação Estocástica

32

−15 −10 −5 0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

χ

σ Ω(χ

,τ=

105)

solução exata(MC 3500 pontos)colocação 3 pontoscolocação 5 pontoscolocação 9 pontoscolocação 17 pontoscolocação 33 pontos


−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

χ

σΩ

(χ,τ

=15

8)

solução exata(MC 3500 pontos)colocação 3 pontoscolocação 5 pontoscolocação 9 pontoscolocação 17 pontoscolocação 33 ponto


As fig5.17 e 5.18 apresentam a convergência do método de Colocação Estocásticacom 9 pontos em função do passo espacial Δτ e temporal Δχ. Na fig5.17, observa-seque para passos Δχ menores, a solução de Colocação Estocástica converge para asolução exata estocástica(MC 3500 pontos). A fig5.18 apresenta-se a convergênciado método de Colocação Estocástica em função do passo de tempo, foi observadoque a solução de Colocação Estocástica converge para a solução de referência(MC3500 pontos) independente do passo temporal.

33

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

5

10

15

20

χ

Ω(χ

,τ=

158)

Colocação 9 pontos Δχ=4Colocação 9 pontos Δχ=8Colocação 9 pontos Δχ=16Solução exata estocastica

Figura 5.17: Convergência do método de Colocação Estocástica em função do passoespacial Δχ

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

χ

Ω(χ

,τ)

Colocação 9 pontos Δτ=2

Solução exata estocástica Δτ=2





Figura 5.18: Convergência do método de Colocação Estocástica em função do passode tempo Δτ

Analisa-se também o histórico da convergência das densidade de probabilidade daabertura PDF Ω(χ = 0, τ = 158). A convergência da distribuição de probabilidadecalculada depende da variável N que representa o nível de interpolação e P que,por sua vez representa o número de amostras da função interpolada. Portanto, oestudo foi feito considerando N e P. Para diferentes níveis de interpolação N foicalculada a densidade de probabilidade de Ω(χ = 0, τ = 158) com P fixo. Foramcomparadas as pdf obtida à pdf da solução de referência(MC 3500 pontos) para cadavalor de P=500,1000,1500,2000 fig5.19-5.22. Observa-se que com 9 pontos as pdfobtidas convergem. Para valores de P crescente de 500 a 2000 amostras, a pdf obtidase proxima mais da pdf da solução de referência. Note que no método de Monte

34

Carlo o problema é resolvido 3500 vezes(3500 pontos) para obter 3500 amostras dasaída. Enquanto que no método de Colocação Estocástico, o problema é resolvidoou interpolado usando 9 pontos depois este cálculo, calcula-se P amostras da funçãointerpolada(com um custo muito baixo).

5 5.5 6 6.5 70

0.5

1

1.5

2

2.5P

DF

Ω(χ

=0,

τ=15

8)

Colocação 3 pontosColocação 5 pontosColocação 9 pontosColocação 17 pontosSolução exata estocástica(MC 3500 pontos)

500 amostras

Figura 5.19: Histórico de convergência das pdf de abertura Ω(χ = 0, τ = 158) obtidopelo método de Colocação Estocástica, P=500 amostras

5 5.5 6 6.5 70

0.5

1

1.5

2

2.5

PD

F Ω

(χ=

0,τ=

158)

Colocação 3 pontos




Solução exata estocástica(M)C 3500 pontos

1000amostras


35

5 5.5 6 6.5 70

0.5

1

1.5

2

2.5

PD

F Ω

(χ=

0,τ=

158)


1500amostras


5 5.5 6 6.5 70

0.5

1

1.5

2

2.5

PD

F Ω

(χ=

0,τ=

158)


2000amostras


Depois este estudo, Pode-se observar que o método de Colocação Estocásticaapresenta uma grande eficiência para propagar incertezas no modelo de fratura doque o método de Monte Carlo. Neste caso, o método foi escolhido para quantificaras incertezas no processo de fratura hidráulica. Também, este estudo permitiu deobter informações ótimas de Δ χ, Δ χ, N e P. Essas informações serão consideradasno estudo de quantificação e propagação das incertezas que será apresentando naseção seguinte.

36

5.2 Quantificação e propagação das incertezasA quantificação e propagação das incertezas consiste em estudar os efeitos das var-iáveis incertas sobre as saídas do problema de fratura hidráulica. O conhecimentodos efeitos das variáveis incertas sobre as saídas aprimora a visão da evolução doprocesso e com isto auxilia a diminuir os riscos de falha do projeto. Para dar contadessas variabilidades no modelo determinístico de fratura hidráulica é importanteter uma grande confiança sobre as soluções numéricas do problema. Essa etapa devalidação dos resultados numéricos de fratura hidráulica foi realizada na seção 5.1,onde foi comparado o resultado numérico e exato do problema de fratura hidráulica.Foi observado nesse estudo que a solução numérica e exata converge para um tempode bombeio maior e passo espacial Δ χ menores. Portanto, neste estudo considera-se30 passos de tempo que corresponde a um tempo de bombeio total de τ = 411 eum passo espacial Δ χ=2. O raio ou comprimento inicial considerado é de 7 quecorresponde a um tempo inicial de τ=38.54.

Na ítem 5.1, foi observado que o método de Colocação Estocástica presente umdesempenho atraente. Portanto, o método foi usado para propagar as incertezas nomodelo de fratura hidráulica. Para a representação das variabilidades no modelo defratura hidráulica foi considerado o Módulo de Elasticidade como parâmetro incerto.

5.2.1 Módulo de Elasticidade como parâmetro incerto

Nesta seção, os resultados de fratura hidráulica foram obtidos considerando o Mó-dulo de Elasticidade como parâmetro incerto seguindo uma distribuição lognormal.A propagação das incertezas no problema de fratura hidráulica foi feita através dométodo de Colocação Estocástica. As médias e variabilidades de algumas variáveisde interesse foram eleitas para a análise. Estas foram, nos três tempos de bombeioτ = 154,τ = 283, τ = 411, a abertura na entrada do poço, a pressão do fluido eo comprimento. Foram usados 9 pontos de Colocação. As médias das soluções sãoescritas como seguinte: Ω(χ, τ), Πf (χ, τ), l(t). As variabilidades ou incertezas sobreas soluções são calculadas através da média e do desvio padrão i.e μ ± σ. Essasincertezas são representadas nos gráficos através das barras "|". Quando a barra émaior i.e que as variabilidades ou incertezas são maiores.

A fig 5.23, apresenta a média e as incertezas sobre a abertura obtida no poçodepois a injeção do fluido fraturante, observa-se que a média e as incertezas da aber-tura crescem com o tempo de bombeio. Também pode-se observar que a incertezada abertura na entrada do poço é maior do que nas extremidades de fratura. Esseresultado significa que as incertezas sobre a abertura aumentam a medida que afratura esta crescendo e são maiores na entrada do poço e nos pontos fraturadosproximo da entrada do poço.

37

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 400

2

4

6

8

10

χ

Ω(χ

,τ)

Ω(χ, τ = 158)

Ω(χ, τ = 283)

Ω(χ, τ = 411)

Figura 5.23: Média e variabilidade da abertura no poço.

A fig 5.24 apresenta a abertura obtida na entrada do poço χ = 0 ao longo dobombeio. Observa-se que a média e a variância de abertura obtida na entrada dopoço crescem a medida que o fluido está sendo bombeado. Esse resultado confirma oresultado anterior i.e que as incertezas sobre a abertura aumentam quando o tempode bombeio aumenta.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503

4

5

6

7

8

9

Ω(χ

=0,

τ)

τ

Figura 5.24: Média e variabilidade da abertura na entrada do poço.

A fig 5.25 apresenta a média e as variabilidades da pressão do fluido na entradado poço. Pode-se observar que a média e a variabilidade da pressão fluido na entradado poço decrescem quando o tempo de bombeio aumenta. Esse resultado mostra queas incertezas sobre a pressão fluido na entrada de poço são maiores nos primeirostempos de bombeio, a medida que o fluido esta sendo bombeado esta incertezasdiminuem até se estabilizarem. No entanto, a variabilidade desta variável assumeuma grande importância por trata-se de um parâmetro de operação.

38

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4501.05

1.1

1.15

1.2

τ

Πf(χ

=0,

τ)

Figura 5.25: Média e variabilidade da abertura na entrada do poço.

Na fig 5.26 pode-se observar a evolução da média e variabilidade do comprimentofraturado, observa-se que a média do comprimento aumenta com o tempo tambémpode ver que as incertezas sobre o comprimento fraturada é baixo.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4505

10

15

20

25

30

35

τ

l(τ)

Figura 5.26: Média e variabilidade do comprimento fraturado.

Analisa-se, agora, a sensibilidade da respeita com respeito às incertezas, estuda-se o impacto de uma pequena variação do Módulo de Elasticidade sobre as saídasdo processo de fratura hidráulica. Neste caso, o parâmetro κ que regula a variânciafoi escolhido como κ=0.1, 0.2, 0.3. As saídas obtidas para os valores de κ foramcomparadas.

A fig 5.27 apresenta os resultados de abertura na entrada do poço obtidos paravalores de κ=0.1, 0.2, 0.3. Observa-se que as incertezas sobre Ω(χ = 0, τ) aumentamquando o valor de κ aumenta. Este resultado mostra que Ω(χ = 0, τ) é sensível aovalor de E’.

39

Na fig 5.28 foram apresentados os resultados da pressão Πf (χ = 0, τ) obtidospara valores de κ=0.1, 0.2, 0.3. Observa-se que para κ=0.2 a média de Πf (χ = 0, τ)é maior do que os outros valores de κ.

A fig 5.29 apresenta a abertura Ω(χ, τ = 411) para valores de κ, observa-se quea média de Ω(χ, τ = 411) e as incertezas aumentam quando o valor de κ aumenta.

Na fig 5.30 apresenta-se o comprimento de fratura �(τ) obtido para valores de κ.pode-se observar que a média e as incertezas para cada valor de κ não muda. Esteresultado mostra que o valor do comprimento de fratura não é influenciado para asvariações de E’.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503

4

5

6

7

8

9

τ

Ω(χ

=0,

τ)

κ=0.1κ=0.2κ=0.3

Figura 5.27: Análise de sensibilidade da abertura de fratura na entrada do poçoΩ(χ = 0, τ).

40

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4501.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

Πf(χ

=0,

τ)

τ

κ=0.1κ=0.2κ=0.3

Figura 5.28: Análise de sensibilidade da pressão de fratura na entrada do poçoΠf(χ = 0, τ).

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 400

2

4

6

8

10

χ

Ω(χ

,τ=

411)

κ=0.1κ=0.2κ=0.3

Figura 5.29: Análise de sensibilidade da abertura no tempo Ω(χ, τ = 411).

41

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4505

10

15

20

25

30

35

τ

�(τ)

κ=0.1κ=0.2κ=0.3

Figura 5.30: Análise de sensibilidade do comprimento de fraturado �(τ).

Também, as distribuições de probabilidades foram calculadas usando as soluçõesda variável interpolada no espaço estocástico. Para cada análise, foram usadas 500amostras de E ′ para o cálculo das soluções da variável de interesse obtido para 9pontos (pontos de convergência das soluções). As distribuições de probabilidade daabertura Ω(χ = 0, τ = 411) e da pressão Πf (χ = 0, τ = 411) foram estudadas. Naentrada, foi utilizado o Módulo de Elasticidade de distribuição lognormal de médiaE . Se o problema de fratura fosse linear, as saídas terão a mesma distribuiçãode probabilidade que a entrada. Nesse caso, compara-se as distribuições de prob-abilidade das saídas Ω(χ = 0, τ = 411) e Πf(χ = 0, τ = 411) com uma distribuiçãode probabilidade lognormal. Essa comparação foi feita usando a média e o desviopadrão das saídas para construir uma distribuição de probabilidade lognormal quesera usada para analisar a não linearidade do problema de fratura hidráulica. Osresultados das fig 5.31-5.37 foram obtidos com um valor de κ=0.3. Nas fig 5.33-5.34foi comparado as distribuições de probabilidade das saídas de fratura para diferentevalor de κ=0.1,0.2,0.3.

Na fig 5.31 a distribuição de probabilidade de Ω(χ = 0, τ = 411) foi comparadaa uma distribuição lognormal obtida usando-se a mesma média e desvio padrão.Observa-se que a distribuição de probabilidade da abertura tem uma forma bastantediferente da distribuição lognormal obtida. Este fato acentua a percepção inicial deque, é difícil obter uma previsão a priori. Neste contexto é importante conhecertudo as informações sobre o resultado de abertura através da simulação numérica.O calculado da distribuição de probabilidade pode ser uma informação importantepara prever o resultado de abertura no poço, através da distribuição de probabilidadeé possível calcular a probabilidade de obter o valor da abertura num intervalo. Comoexemplo, calcula-se a distribuição de probabilidade de abertura Ω(χ = 0, τ = 411)entre 8.5 ≤ Ω(χ = 0, τ = 411) ≤ 9 obtivemos 49%.

42

Na fig 5.37 apresenta-se a distribuição de probabilidade da pressão Πf(χ = 0, τ =411) e a distribuição lognormal obtida através da média e desvio da pressão Πf(χ =0, τ = 411). Observa-se que a forma da distribuição de probabilidade da pressão dofluido e a distribuição lognormal obtida são diferentes. Isso implica que baseandona distribuição de probabilidade da variável de entrada a variação da pressão Πf

no poço não pode ser estimada, pois, sua distribuição é diferente da distribuição deprobabilidade da entrada. Também foi calculado a probabilidade de obter a pressãofluido entre 1.05 ≤ Πf (χ = 0, τ = 411) ≤ 1.8 obtivemos 85%.

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.50

1

2

6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.50

1

2

PDFΩ(χ=0,τ=411)

Lognormal distribution

mean=8.46standart deviation=0.3

Figura 5.31: Distribuição de probabilidade de Ω(χ = 0, τ = 411).

0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.150

50

100

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.40

2

4

média=1.07desvio=0.01

Distribuição lognormal

Distribuição de probabilidade Π

f(χ=0,τ=411)

Figura 5.32: Distribuição de probabilidade da pressão Πf (χ = 0, τ = 411).

43

A fig 5.33 apresenta distribuição de probabilidade de abertura Ω(χ = 0, τ = 411)obtida para valores de κ=0.1, 0.2, 0.3. Para cada valor de κ, observa-se que asdistribuições de probabilidade obtidas tem forma bastante diferente.

Na fig 5.34 foi apresentado a distribuição de probabilidade da pressão fluidopara valores de κ=0.1 ,0.2, 0.3. Pode observar que as distribuições de probabilidadeobtidas tem também formas diferentes.

7 7.5 8 8.5 90

1

2

3

4

PD

F Ω

(χ=

0,τ=

411)

κ=0.1κ=0.2κ=0.3

Figura 5.33: Distribuição de probabilidade da abertura para diferentes valor de κ

1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.110

50

100

150

200

PD

FΠ

f(χ

=0,

τ=

411)

κ=0.1κ=0.2κ=0.3

Figura 5.34: Distribuição de probabilidade da pressão fluido para diferente valor deκ.

44

5.3 Comparação das duas abordagens de mode-lagem das incertezas sobre o módulo de elas-ticidade

No ítem anterior, foi apresentando a primeira abordagem. A segunda abordagemapresentada neste seção consiste em construir uma distribuição de probabilidade deE ′ atendendo algumas restrições.

A idéia dessa seção é de mostrar como pode-se construir uma distribuição deprobabilidade que respeita algumas informações obtidas no campo. considera-seque depois algumas medições do Módulo de Elasticidade no campo, observa-se quevaria de [0.4, 1.6] e de E ′. Para a construção desta distribuição de probabilidade foiusado o método de máxima entropia apresentando no ítem 3.2. Depois da construçãoda distribuição de probabilidade, foi construído um gerador através do métodode MCMC [41]. As saídas de fratura hidráulica obtida através desta abordagemforam comparadas á primeira abordagem. O estudo de convergência mostrou que assoluções da segunda abordagem convergem com 9 pontos de Colocação. Portanto,neste número de pontos as saídas foram estudadas.

A fig 5.35 apresenta resultados de abertura obtidos na entrada do poço para asduas abordagens. Observa-se que as duas médias de Ω(χ = 0, τ = 411) obtidas paraas duas abordagens são diferentes. Também pode-se ver que para cada tempo debombeio, as incertezas sobre Ω(χ = 0, τ = 411) são maiores na segunda abordagemdo que a primeira. A distribuição de probabilidade Ω(χ = 0, τ = 411) obtida para asduas abordagens foi comparada na fig 5.36. As duas distribuições de probabilidadeobtidas têm formas diferentes. A probabilidade de obter valores Ω(χ = 0, τ = 411)entre 8 ≤ Ω(χ = 0, τ = 411) ≤ 9 é de 87% na primeira abordagem e 37% na segundaabordagem.

45

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4503

4

5

6

7

8

9

10

τ

Ω(χ

=0,

τ=41

1)

E’ lognormalE’ máxima entropia

Figura 5.35: Comparação da abertura na entrada obtida para as duas abordagens.

6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

PD

F Ω

(χ=

0,τ=

411)




Figura 5.36: Comparação pdf da abertura Ω(χ = 0, τ = 411) obtida para as duasabordagem.

A fig 5.37 apresenta resultados da pressão na entrada do poço obtido para asduas abordagens. Pode-se observar que a média da pressão para as duas abordagenssão quase iguais. As incertezas sobre a pressão Πf (χ = 0, τ = 411) é maior nasegunda abordagem do que a primeira. A probabilidade de obter valores da pressãoentre 1.05 ≤ Πf(χ = 0, τ = 411) ≤ 1.09 é de 95% na primeira abordagem e de 61%na segunda 5.38.

46

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4501.05

1.1

1.15

1.2

1.25

τ

Πf(χ

=0,

τ=

411)


Figura 5.37: Comparação da pressão na entrada obtida para as duas abordagens.

1 1.05 1.1 1.150

10

20

30

40

50

60

70

PD

FΠ

f(χ

=0,

τ)




Figura 5.38: comparação pdf da pressão na entrada obtida para as duas abordagens.

Os resultados de fratura hidráulica obtidos usando as duas abordagens permitemmostrar a importância da escolha ou da construção de uma distribuição de probabil-idade para as variáveis de entrada. Portanto, a função de distribuição de probabili-dade das variáveis de entrada deve ser escolhida ou construída usando informaçõesconfiáveis para obter saídas com maior acuidade.

47

5.4 Observação da evolução de fratura usandoinclinômetros acoplados ao conceito de in-certezas

O inclinômetro [1] é um instrumento usado para medir pequenas deformações noreservatório subterrâneo. Este instrumento é usado para monitorar vulcões, fraturahidráulica etc. Na fratura hidráulica, o inclinômetro é utilizado para observar de-formações criadas pela injeção do fluido fraturante no reservatório. O inclinômetroé colocado na superfície horizontal ou vertical do poço. Neste trabalho, o conceitode incertezas é acoplado às observações do inclinômetro. A média da deformação eum envelope das observações serão construídos. O envelope representa o intervalode confiança construído através da (média± desvio padrão). Nos resultados que nosapresentamos, o inclinômetro foi colocado nas posições de coordenadas (1,0.5), (8,1).Nessas coordenadas a deformação de fratura foi observada na entrada do poço e nacoordenada χ = 6 e χ = 0) ( entrada do poço do poço).

Os gráficos das fig 5.39-5.40 apresentam o envelope das deformações no reser-vatório obtidas na entrada do poço χ = 0 para as duas posições do inclinômetrona superfície do poço. Observa-se que para as duas coordenadas o envelope deobservação tem a mesma largura. Mas para coordenadas próximas do ponto deobservação, observa-se deformações maiores.

50 100 150 200 250 300 350 4000

1

2

3

4

5

6

tempo de bombeio τ

Incl

inôm

etro

Ω(χ

=0,

τ)

posição de Inclinômetro ( 1, 0.5)

Figura 5.39: Deformação observada na entrada do poço para o inclinômetro naposição (1,0.5).

48

50 100 150 200 250 300 350 4000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

tempo de bombeio τ

Incl

inôm

etro

Ω(χ

=0,

τ)

posição de Inclinômetro ( 8, 1)

Figura 5.40: Deformação observada na entrada do poço para o inclinômetro naposição (8,1).

Os gráficos das fig 5.41-5.42 apresentam a deformação observada na posição χ = 6do poço para o inclinômetro localizado nas duas coordenadas. Na posição χ = 6,a deformação observada para o inclinômetro na posição (8,1) é maior do que naposição (1,0.5). O envelope representa o mínimo e o máximo das deformações quepodem ser obtidas. Esses resultados permitem minimizar o risco na monitoração defratura hidráulica.

50 100 150 200 250 300 350 400−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

tempo de bombeio τ

Incl

inôm

etro

Ω(χ

=6,

τ)

posição de Inclinômetro (1, 0.5)

Figura 5.41: Deformação observada na posição χ = 6 do poço para o inclinômetrona posição (1,0.5).

49

50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

tempo de bombeio τ

Incl

inôm

etro

Ω(χ

=6,

τ)

posição de Inclinômetro ( 8, 1)

Figura 5.42: Deformação observada na posição χ = 6 do poço para o inclinômetrona posição (8,1).

50

Capítulo 6

Comentários finais

Neste trabalho, apresentam-se resultados do processo de fratura hidráulica no regimede viscosidade dominante considerando o Módulo de Elasticidade como parâmetroincerto. A modelagem das incertezas sobre esse parâmetro foi feita usando duasabordagens. A primeira foi de considerar que o Módulo de Elasticidade tem umadistribuição log-normal [15] e a segunda abordagem consiste em construir uma dis-tribuição de probabilidade de E’ usando como informação a média e o suporte.As amostras da distribuição de probabilidade construída pelo método de máximaentropia foram geradas usando o método de Metropolis-Hastings (MCMC). Parapropagar as incertezas no modelo de fratura hidráulica foi utilizado o método deColocação Estocástica, pois, apresentou bom desempenho comparado ao métodode Monte Carlo. O impacto da não linearidade na propagação de incertezas noprocesso de fratura hidráulica foi observado através de um estudo da distribuiçãode probabilidade das saídas. Foi observado também que o valor do Módulo deElasticidade do reservatório é muito importante para obter resultados confiáveis daabertura e da pressão. Para observar a deformação da rocha reservatório criadopara o fluido fraturante com grande precisão, foi usado um inclinômetro acopladoao conceito de incertezas. Neste caso, um envelope de resultado de deformação darocha-reservatório um diferente posição foi apresentado.

Este trabalho apresentou algumas visões bastantes sobre a modelagem dasincertezas e resultados que podem servir para a tomada de decisão. Tambémapresentam-se como a escolha de uma técnica de modelagem das incertezas podeinterferir os resultados. As duas técnicas de modelagem das incertezas apresentadastêm a sua eficiência e desvantagem.

As variabilidades neste trabalho foram propagadas na simulação numérica doprocesso de fratura hidráulica através do Módulo de Elasticidade. Uma perspectivafutura pode consistir a considerar o regime de propagação de fratura como incerto.Pois, dependendo das propriedades do fluido e da rocha, o regime de propagaçãopode pular de um regime ao outro.

51

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