UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO POLITÉCNICO

Graduação em Engenharia Mecânica

Disciplinas:

Mecânica dos Materiais 2 – 6º Período

E

Dinâmica e Projeto de Máquinas 2-10º Período

Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

Tema de aula 6: MÉTODOS DE ENERGIA

SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:

6.1-Trabalho externo X Trabalho interno (ou energia de deformação).

6.2-Energia de deformação elástica para vários tipos de carga.

6.3-Consevação de Energia.

6.4-Carga de impacto

6.5-Princípio dos trabalhos virtuais

6.6-Teorema de Castigliano

OBJETIVO:

Aplicar métodos de energia para resolver problemas que envolvam deflexão.

6.1-Trabalho externo X Trabalho interno (ou energia de deformação).

1- O Trabalho externo (Ue) de uma força variável F(x) , que cause deslocamento dx numa direção x é :

(1)Considere F(x) axial aplicada GRADU-ALMENTE de 0 à P na barra, defor-mando-a ∆ LINEAR- ELASTICAMENTE;

Depois P mantida cte, e uma nova força adicional P’ aplicada da mesma formadeformando-a mais ∆ ’:

Para esta situação temos o diagrama Px∆:Portanto:

(2) é o Trab. ext de F(x) variável de 0 à P (integral referente a área do triângulo claro) Note que escrevemos Ue em função da força P máxima aplicada no final. e (3) Trab. adicional com P mantida cte (integral da área do retângulo)

Analogamente o trabalho Ue de um Momento M causa um deslocamento dθ:

Logo: (4) e (5) .

e adicionando um momento M’ teremos: (6).

Ui para Tensão Normal:

2- O Trabalho Interno ou Energia de deformação (Ui ) é a energia armazenada em um corpo, que sob tensão interna σ ou τ se deformou ε ou γ;- O Trab. Ext. se converte em Trab. int. (desprezadas perdas que ñ causem deformação (calor, som))- Ui é sempre + pois tensão e def. possuem mesmo sentido.

Ui para Tensão Cisalhante:

Vamos considerar o elemento de volume ilustrado abaixo:

Onde: σz =dF z /dA, ou seja, dF z = σz.dA (8) e εz =Δ z /dz, ou seja, Δ z = εz .dz, (9)

Pelo que vimos o trabalho interno de dFz gradualmente aplicada é: dUi =Δ z (7)

Agora considere a face superior deslocada γ dz pela força de cisalhamento dFcis , ilustrado abaixo:

Onde: τ =dF cis /dA, ou seja, dF cis = τ .dA (13)

O trabalho interno de dFcis gradualmente aplicada é: dUi =γdz (12)

Substituindo (8) e (9) em (7), e fazendo dA=dx.dy, teremos: dUi = (10)

Finalmente lembrando do módulo de elasticidade E= , e que dxdydz=dV, temos: (11)

Subst. (13) em (12), com dA=dx.dy, temos: dUi = (14) Finalmente lembrando do módulo de rigidez G= γ , e que dxdydz=dV; (15)

Ui para Tensão Multiaxial:Somamos cada dUi =dUi = (Cisalhante) em todas as direções, e integramos em V;

(16)

Escrevendo em função das tensões principais máximas (direções onde τ = 0); (18)Exemplo: Considerando que o estado biaxal de tensão de um elemento pode ser representado por σx, σy e τxy, ou pelas tensões principais σ1, σ2 , e usando a equação da transformação de tensão, iguale as energias de deformação para os dois casos e mostre que G =E/[2(l + ν)].Sol;Com as tensões finais σx, σy e τxy ctes em (17) e as demais nulas;

Fazendo o mesmo para σ1 e σ2 ctes em (18) e σ3 nulo;

Utilizando a eq. da transf. de tensões principais podemos dizer que e então substituímos em (Ui)2 ,

agora igualamos (Ui)1 =(Ui)2; explicitando G;

Substituindo a lei de Hooke; G= γ , e E= teremos;

(17)

6.2-Energia de deformação elástica para vários tipos de carga. CARGA AXIAL:

Tomamos a equação da energia interna (11) para tensão normal σ=N/A, e substituimos a diferencial dV=A.dx, teremos:

Para uma barra prismática de seção Ae carregamento N constantes: MOM. FLETOR:

I= representa o momento de inércia da área em torno do eixo neutro da viga.

CIS. TRANSVERSAL:

MOM. TORÇÃO:

Para uma barra prismática de seção Ae Torque T constantes temos:

Novamente a equação (11) , substituindo dV=dA.dx e σ=My/I teremos:

Tomamos a equação da energia interna (15) para tensão cis. transversal τ = VQ/It, substituindo dV = dA.dx, teremos:

Mais uma vez a equação (15), substituindo dV= dA.dx e τ = Tρ/J teremos:

Q= representa o momento de inércia de 1º ordem.

Definimos como fator de forma para cisalhamento.

J= representa o momento de inércia polar no eixo

Nota: M aumenta com o comprimento da viga, mas V não, assim em barras de L>10h é desprezado, considerando apenas

Exemplo: Determinar a energia de deformação por torção no eixo de aço A-36 e raio de 30 mm.Sol;Teremos a seguinte distribuição ao longo do eixo;

A energia de def. total será obtida pela soma das energias dos torques constantes em cada trecho;

G tabelado e J=πc4/2;

Lembre-se: Ui dará sempre (+) .

Fazer: O parafuso tem diâmetro de 10 mm, e o elo AB tem seção retangular de 12mm delargura por 7mm de espessura. Determinar a en. de def. no elo devida à flexão e no parafusodevida à força axial do aperto de 500N. Ambos são de aço A-36 e despreze o furo no elo.

6.3-Consevação de Energia.

• Consideramos apenas carregamentos mecânicos lentos(desprezamos a energia cinética, térmica, química, eletromagnética ou sonora).

• As cargas externas deformam o corpo e causam trabalho externo Ue, que se transforma integralmente em energia de deformação Ui (trabalho interno).

• Removendo a carga externa, Ui garante que o corpo retorne ao seu estado inicial não deformado caso não ultrapassado o limite elástico.

Nessas condições : Ue = Ui Exemplo: A viga em balanço da figura abaixo tem seção transversal retangular , sabendoque ela está sujeita a uma carga P em uma extremidade, determine a expressão para odeslocamento sofrido pela carga, considerando GE e I ctes.Sol; Igualar o trab. ext. de P variável,com a en. de def. interna da flexão + da força cortante (pois não sabemos se L>10h);Obter o fator de forma;

onde;

Retomando;

e o deslocamento será;

Se a viga tiver L>10h desprezamos o 2º termo, então;

𝑓 𝑐=𝐴𝐼 2∫

𝐴

❑ 𝑄2

𝑡2 𝑑𝐴Fazemos t=b;

Fazer: Determinar a inclinação do ponto C na viga de aço A-36. I = 9,50(10 -6) mm4 (considere L>10h).

6.4-Carga de impacto

Até aqui consideramos cargas aplicadas gradualmente, que quando atingem um valor máximo permanecem constantes.

Colisões de objetos ocorrem durante um período de tempo muito curto, no qual forças mais intensas desenvolvem-se causando as chamadas cargas de impacto.

Ex: Comparando com o sistema massa-mola de peso w ao lado, onde o corpo em movimento é rígido, o corpo estático tem comportamento linear elástico com inércia desprezível e não há perda de energia na colisão;

que gera a equação quadrática:

de raíz máxima:

Caso a carga seja aplicada gradualmente teríamos:Com e então a raiz seria reescrita na forma

Dica: Vale lembrar que por exemplo = para carga axial P; ou= ν (deflexão) em vigas sob deflexão por carga P transversal.

pela conservação da energia temos,

O fator de impacto n será a razão òu .

• Resumo até o momento: Uma força externa realiza trabalho quando se move por meio de um deslocamento. Se for gradual em

intensidade de zero até P, o trabalho é se ela for constante enquanto o deslocamento ocorre então

A energia de deformação é provocada pelo trabalho interno das tensões normal e de cisalhamento e pode ser relacionada com os carregamentos internos resultantes N, V, M e T.

A carga dinâmica de impacto pode ser tratada como carga estaticamente aplicada, multiplicando-a por um fator de amplificação n.

Com h=0 temos para cargas no topo, portanto

e o fator de impacto é de n=2 (soltando do topo já daria o dobro da tensão aplicada gradualmente).

Uma aplicação prática: Um exemplo :O tubo de alumínio oco abaixo é usado para suportar a carga representada. Determine o deslocamento máximo em seu topo supondo:a)Carga aplicada gradualmente.b)Carga aplicada subitamente do topo do tubo (h=0). Adote e considere o alumínio se comportando elasticamente.

Resolução:a)

isolando Δest;

b) Obtemos através da equação da carga de impacto:

Fazer: O bloco de 75 lb tem velocidade de descida de 2 pés/s à 3 pés daparte superior da viga de madeira. Determine a deflexão em B ea tensão de flexão máx. devido ao impacto. Emad = 1,9(103) ksi.

6.5-Princípio dos trabalhos virtuais

Será usado para obter deslocamentos Δ e inclinações θ em pt qq de um corpo.Várias cargas externas P deslocadas Δ em um corpo, induzem várias cargas internas q, deslocadas dL, portanto;Ex: cargas reais P1, P2 e P3 causam as seguinte deformação no corpo;Note que nenhuma força atua em A, então imaginamos uma força P’ virtual unitária (P’=1) atuando em A na direção do Δ buscado;Resultado;Veja que P’ e a carga virtual interna u deslocam-se respect.Δ e dL, assim escrevemos a conservação dos trabalhos virtuais;

onde;

Analogamente podemos obter as inclinações;

onde;

(corta ½ )

Trabalho virtual interno(dado pelos termosda direita em função da carga interna virtual(n(normal), v(cortante.),m(mom.)ou t(torque);

( ½ some pois carga virtualñ age gradualmente, e sim integralmente antes da real)

Por exemplo a equação do trabalho virtual de um corpo com carregamento geral seria;

Aplicando em Treliças;Para determinar deslocamento Δ de um nó da treliça, consideraremos o trabalho virtual devido apenas as cargas axiais;Onde;

Procedimento;

Forças virtuais;1.Colocar uma carga virtual unitária no nó e na direção do Δ desejado;2.Obter n virtual em cada elemento da treliça (esquecer cargas reais) (supor tração +, compressão -);Forças reais;3.Determinar N em cada elemento (esquecer cargas virtuais).Equação Trabs. Virtuais;4. Aplicar a eq. dos trab. virtuais; se for (+) Δ ocorre na mesma direção da carga unitária, se for (–) ocorre ao contrário.

Exemplo: Determinar o deslocamento vertical do ponto D.Cada elemento tem área daseção transversal de 400 mm2 e todos são feitos de aço A-36.Sol; Forças virtuais;1.Colocar uma carga virtual unitária no nó e na direção do Δ desejado e,2.Obter n virtual em cada elemento da treliça (esquecendo as cargas reais) (tração(t)+,compressão (c)-);Forças reais;3.Determinar N em cada elemento (esquecer cargas virtuais) ((t) +,(c) - );Equação Trabs. Virtuais;4. Aplicar a eq. dos trab. virtuais; avaliar se for (+) Δ ocorre na mês-ma direção da carga unitária, se for (–) ocorre ao contrário.

(+) logo Δ ocorre na direção da carga virtual unitária( para baixo)

Aplicando em Vigas;Para determinar deslocamento Δ de um Pt A da viga, consideraremos o trabalho virtual devido apenas a flexão (L>10h);Onde;

analogamente para a inclinação θ; m= momento virtual interno na viga, em função de x, provocado pelacarga unitária virtual externa.

Exemplo; Determinar (a) o deslocamento de C e (b) a inclinação de A na viga de aço A-36. I = 70(106) mm4.Sol: (a)Mom. Virtuais m(x); 1.Colocar carga virtual unitária na direção do Δ desejadoe,2.Obter m(x) virtual em cada trecho(esquecer cargas reais)(usa convenção);Mom. Reais M(x);3.Determinar M(x) em cada elemento (esquecer cargas virtuais).Equação Trabs. Virtuais;4. Aplicar a eq. dos trab. Virtuais e obter Δ ; se soma das integrais for (+) Δ é na mesma direção da carga unitária, se for (–) ao contrário;

(integral+ (mantem p/ baixo)) (b) próximo slide;

Mas aqui aplicamos um momento virtual unitário (não uma carga unitária), e determinamos o momento virtual interno mθ(x).

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(b)Mom. Virtuais mθ(x); 1.Colocar momento virtual unitário em A e,2.Obter mθ(x) virtual em cada trecho(esquecer cargas reais)(usar convenção + de sinais);Mom. Reais M(x);3.Determinar M em cada elemento (esquecer cargas virtuais).mesmo gráfico do item (a)Equação Trabs. Virtuais;4. Aplicar a eq. dos trab. Virtuais e obter θ ; se soma das integrais for (+) θ na mesma direção do momento unitário,se for (–) ao contrário;

(integral +; (anti-horário como o sentido do mom. unitário virtual escolhido))

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‘ O deslocamento Δ em um pt, é igual à primeira derivada parcial da energia de defor-mação, em relação à uma força externa P que atue no pt na direção de Δ’‘A inclinação θ em um pt, é igual à primeira derivada parcial da energia de deforma-ção, em relação à um momento externo M’ que atue no pt na direção de θ’Obs: Valido apenas para corpos à Temp. cte;Aplicando em Treliças;P/ cada elemento, temos Ui apenas de carga axial , logo;P/ facilitar derivar a composta N(P) antes de integrar;

Expressar N em cada elemento em função de uma P externa genérica atuandono nó na direção de Δ , e no fim atribuir o valor de P.Exemplo: Determinar o deslocamento horizontal do ponto D. Cada elemento temárea da seção transversal de 300 mm2 e todos são feitos de aço A-36.Sol; Expressar N em cada membro em função de uma P genérica;

Método de Castigliano;Finalmente;

(‘E’ tabelado)

6.6-Teorema de Castigliano

Exige calculo de: ,, de N (com P=4kN),

para obter o somatório e de L,

(não sofre mudan-ça de inclinação θ )

(usamos regra da cadeia y=(N(P))2; ∂y/∂P=∂y/∂N . ∂N/∂P)

Aplicando em Vigas;Consideraremos Ui devido apenas à flexão, , desprezamos cisalhamento transversal (L>10h),logo; derivando antes de integrar;Expressar M em função de x e de uma força externa P genérica aplicada à viga no pt e direção de Δ.Em vigas calculamos tb a inclinação θ, analogamente teremos;Expressar M em função de x e de um momento externo M’ aplicado à viga no pt e direção de θ.Obs;Casos que exijam considerar carregamento geral;Exemplo; Determinar o deslocamento de C considerando EI=cte.Sol: Colocamos a força variável em C ( aqui P’ para não confundir com P);Expressar M em f. de x e de P’ (só nos dois trechos iniciais (simetria));Método de Castigliano;

(regra da cadeia; y=(M(P))2, ∂y/∂P=∂y/∂M .∂M/∂P)

Exige calculo de: ,

e de M (com P’=0),

para calcular a integral;

Fazer; Determinar a inclinação da polia em C ,supondo que o eixo de aço A-36 tenha 60 mm de diâmetro.

MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

– Bibliografia:

– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.