Método da ação efetiva em Teoria Quântica de Campos

IntroducaoPotencial Efetivo

Expansao em LoopDivergencia Quadratica

Conclusao

Universidade Federal do ABC

Metodo da Acao Efetiva em Teoria Quantica deCampos

Leandro Seixas Rocha

26 de setembro de 2008

Leandro Seixas Rocha Metodo da Acao Efetiva em Teoria Quantica de Campos



Conclusao

Campo escalarIntegrais de TrajetoriasAcao Efetiva

Campo Escalar Real

I A Lagrangiana do campo escalar real e

L =1

2∂µϕ(x)∂ µ

ϕ(x)−V (ϕ), (1)

com o potencial V (ϕ) sendo

V (ϕ) =1

2m2

ϕ2 +

1

4!λϕ

4. (2)




Conclusao


Integrais de Trajetorias

I Metodo de quantizacao de campos classicos desenvolvido porFeynman.

I Possui um funcional Z [J] dado por

Z [J] = N∫

Dϕ exp

iS [ϕ]+ i

∫d4xJ(x)ϕ(x)

= 〈0+|0−〉 (3)

que gera as funcoes de Green.

I As funcoes de Green sao obtidas por

G (N)(x1, . . . ,xN) = (−i)NδN

δJ(x1) · · ·δJ(xN)Z [J]

∣∣∣J=0

. (4)

I O VEV do campo ϕ e dado por

〈ϕ〉 = limJ→0

〈0+|ϕ|0−〉J〈0+|0−〉J

. (5)




Conclusao


Funcional W[J] e Campo Classico

I E conveniente definir o funcional W [J]:

W [J] =h

ilnZ [J]. (6)

I Gerador das Funcoes de Green Conexas.

I Tambem vamos definir o campo classico ϕc(x):

ϕc(x) =〈0+|ϕ|0−〉J〈0+|0−〉J

, (7)

de modo que

δW [J]

δJ(x)= ϕc(x). (8)




Conclusao


Acao Efetiva

I A acao efetiva e definida como

Γ[ϕc ] = W [J]−∫

d4x ϕc(x)J(x). (9)

I Transformacao de Legendre de W [J] na variavel J(x).

I A acao efetiva obedece

δΓ[ϕc ]

δϕc(x)= −J(x). (10)

I Para J = 0 temos ϕc = 〈ϕ〉 e assim

δΓ[ϕc ]

δϕc(x)

∣∣∣ϕc=〈ϕ〉

= 0. (11)




Conclusao


Funcoes de Green 1PI

I O funcional Γ[ϕc ] e o funcional gerador das funcoes de Green1PI (one particle irreducible).

Γ[ϕc ] =∞

∑n=0

1

n!

∫d4x1 . . .d4xn Γ(n)(x1, . . . ,xn)ϕc(x1) . . .ϕc(xn),(12)

onde Γ(n)(x1, . . . ,xn) e a funcao de Green 1PI de n pontos.

I Diagramas de Feynman 1PI nao podem ser compostos poroutros diagramas 1PI.




Conclusao

Potencial Efetivo

I O potencial efetivo Veff(ϕc) e definido de forma que

Γ[ϕc ] =∫

d4x

(−Veff(ϕc)+

1

2∂µϕc∂

µϕc

). (13)

I Quando ϕc(x) = ρ = constante, temos

Γ[ρ] = −ΩVeff(ρ), (14)

onde Ω =∫

d4x = (2π)4δ 4(0) e o volume do espaco-tempo.




Conclusao

Expansao em Loop

I Expandindo a acao S [ϕ] em torno de ϕ0, com ϕ0 satisfazendo

δS [ϕ]

δϕ(x)

∣∣∣ϕ=ϕ0

= −J(x), (15)

obtemos

S [ϕ +ϕ0] = S [ϕ0]+∫

d4x ϕ(x)δS [ϕ]

δϕ(x)

∣∣∣ϕ=ϕ0

+ (16)

+1

2

∫d4xd4y ϕ(x)ϕ(y)

δ 2S [ϕ]

δϕ(x)δϕ(y)

∣∣∣ϕ=ϕ0

+ · · · .




Conclusao

Propagador de Feynman

I A segunda derivada funcional da acao esta relacionada com opropagador ∆[ϕ0] da seguinte forma

〈x |i∆−1[ϕ0]|y〉 =δ 2S [ϕ]

δϕ(x)δϕ(y)

∣∣∣ϕ=ϕ0

. (17)

I Assim obtemos

S [ϕ +ϕ0] = S [ϕ0]− (ϕ,J)+1

2(ϕ, i∆−1[ϕ0]ϕ). (18)

I O Funcional Z [J] fica na forma

Z [J] = exp

i

h(S [ϕ0]+(ϕ0,J))

N∫

Dϕ exp

i

2h(ϕ, i∆−1

ϕ)

.(19)




Conclusao

Expansao em Loop 2

I A integral de trajetoria anterior fornece∫Dϕ exp

i

2h(ϕ, i∆−1

ϕ)

=(det(i∆−1[ϕ0])

)−1/2. (20)

I Assim a equacao (19) torna-se

W [J] = S [ϕ0]+(ϕ0,J)+i h

2ln(det(i∆−1[ϕ0])

). (21)

I Usando ln(det(A)) = tr(ln(A)) obtemos

W [J] = S [ϕ0]+(ϕ0,J)+i h

2tr(ln(i∆−1[ϕ0])

). (22)




Conclusao

Expansao em Loop 3

I Para uma aproximacao em primeira ordem temos

ϕc = ϕ0 +ϕ1. (23)

I Assim,

S [ϕ0] = S [ϕc −ϕ1] = S [ϕc ]−∫

d4x ϕ1(x)δS [ϕ]

δϕ(x)

∣∣∣ϕ=ϕ0

.(24)

I A equacao (22) torna-se

W [J] = S [ϕc ]+(ϕc ,J)+i h

2tr(ln(i∆−1[ϕc ])

), (25)

e a acao efetiva fica

Γ[ϕc ] = S [ϕc ]+i h

2tr(ln(i∆−1[ϕc ])

). (26)




Conclusao

Expansao em Loop 4

I Para J = 0, ϕc = ρ e a equacao acima torna-se

Γ[ρ] = S [ρ]+i h

2tr(ln(i∆−1[ρ])

). (27)

O potencial efetivo Veff(ϕc) fica na forma

Veff(ϕc) = V (ϕc)−i h

2Ω−1tr

(ln(i∆−1[ϕc)

). (28)

Usando a definicao do traco obtemos


2

∫d4p

(2π)4ln(〈p|i∆−1[ϕc ]|p〉

). (29)




Conclusao

Campo escalar realCutoffProblema da Hierarquia

Divergencia Quadratica

I Para a teoria do campo escalar com massa mϕ o potencialefetivo e


2

∫d4p

(2π)4ln(−p2 +m2

ϕ

), (30)

com m2ϕ = µ2 + 1

2λϕ2.

I Fazendo a rotacao de Wick, p0 → ip4, o espaco-tempotorna-se pseudo-Euclidiano e a equacao (30) fica como

Veff(ϕc) = V (ϕc)+h

2

∫d4p

(2π)4ln(p2 +m2

ϕ

). (31)




Conclusao


Cutoff

I O integrando da equacao anterior e divergente, por essa razaovamos introduzir uma escala de corte (cutoff) Λ de forma queo resultado nao seja divergente, assim

Veff(ϕc) = V (ϕc)+h

16π2

∫ Λ

0dp p3 ln

(p2 +m2

ϕ

). (32)

Resolvendo a equacao (32) encontramos o resultado

V (1)(ϕc) =h

16π2

[Λ2

2m2

ϕ +m4

ϕ

4

(ln

(m2

ϕ

Λ2

)− 1

2

)−

m2ϕ

6Λ2+ · · ·

],(33)

onde V (1)(ϕc) = Veff(ϕc)−V (ϕc).




Conclusao


Problema da Hierarquia

I A minimizacao do potencial efetivo (33) leva a massa docampo com os efeitos das correcoes radiativas. A correcao notermo de massa µ2 vai ser de aproximadamente

δ µ2 =

3λ

16π2

[Λ2 + µ

2 ln

(m2

〈ϕ〉

Λ2

)]. (34)

I Essa divergencia quadratica na correcao de µ2 e conhecidacomo Problema da Hierarquia na Fısica de Partıculas.




Conclusao

Conclusao

No quantizacao de um campo classico varios efeitos ocorremdevido as correcoes radiativas desse campo, e possıvel formular aTeoria Quantica de Campos em termos de um campo classico efazer com que as correcoes radiativas venham de termos novos daacao. A acao de um campo classico que possui as correcoesradiativas e chamada de acao efetiva, e da mesma forma podemosintroduzir um potencial com tais correcoes radiativas tambem, quee chamado de potencial efetivo. A expressao do potencial efetivoem primeira ordem para o campo escalar e mostrada na equacao(29), e um fenomeno conhecido do campo escalar quantico que e adivergencia quadratica da correcao da massa, o Problema daHierarquia, e mostrada na equacao (34).


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