metamatematica

- 1 - EPH: A Metamatemtica [MSL]

CAPTULO III

METAMATEMTICA


SECO 1

FUNES E RELAES ARITMTICAS

Definio 1. [ Relao Aritmtica ]

Uma relao R cujos argumentos so nmeros naturais

diz-se que uma relao aritmtica.

Definio 2. [ Funo Aritmtica ]

Diz-se que uma funo f cujos argumentos so

nmeros naturais e cujos valores so nmeros naturais

uma funo aritmtica.

Exemplo 1.:

A funo

x | y

uma funo aritmtica, pela Def. 2.

Exemplo 2.:

A frmula

(x + y) < z


determina uma relao ternria entre os argumentos x, y e z.

Se x, y e z so nmeros naturais, ento a frmula

R (x, y, z)

denota uma relao aritmtica, pela Def. 1.

Estas funes e relaes introduzidas pelas Definies 1 e 2 no

so objectos de uma teoria formal particular. Mas uma Teoria

Formal para a Aritmtica sem estas funes e relaes seria intil.

Assim -se colocado perante o problema de saber como transportar

estes objectos para uma Teoria Formal, em particular para Z.

Neste captulo estudamos este problema sob o ponto de vista do

conceito da sua formulao na sintaxe de Z.


SECO 2

A EXPRESSO DE RELAES ARITMTICAS

Nesta seco estudaremos relaes simples e relaes compostas

por meio de conectivas proposicionais.

Aos termos

0, f11(0), ...

que representam na interpretao os nmeros naturais

chammos numerais e tm a abreviatura j introduzida

0, 1 , ... .

Vamos agora fazer uso dessa notao para variveis, de modo a

que x designe o numeral correspondente, i.e., 0 com x ocorrncias

de f11.

Em particular

x 1

x designa o numeral com x 1 ocorrncias de f11.

Definio 1. [ Relao Numeralmente Exprimvel em Z ]

Uma relao aritmtica

R (x1, ..., xn)


numeralmente exprimvel em Z se e somente se existe

uma frmula bem formada de Z

(x1, ..., xn)

com n variveis livres e tal que

para qualquer n-tuplo de nmeros naturais

x1, ..., xn

as duas seguintes condies so satisfeitas:

1) Se

R (x1, ..., xn)

verdadeira, ento

(1

x , ..., n

x ) .

2) Se

R (x1, ..., xn)

falsa, ento

(1

x , ..., n

x ) .

O uso legtimo deste conceito depende da existncia de um

processo de deciso para a relao

R (x1, ..., xn) ,

de modo a que para qualquer n-tuplo x1, ..., xn

R (x1, ..., xn) R (x1, ..., xn)

e por isso em Z

(1

x , ..., n

x ) ou (1

x , ..., n

x ) .

Diz-se ento que


(1

x , ..., n

x )

decidvel ou numeralmente decidvel para qualquer n-tuplo

x1, ..., xn .

A frmula

(1

x , ..., n

x )

exprime numeralmente a relao

R (x1, ..., xn) .

Exemplo 1.: [ A relao de Igualdade Numeralmente

Exprimvel em Z ]

Seja

R (x1, x2)

a relao binria que exprime a igualdade entre os argumentos x1 e

x2.

A frmula

(x, y)

de Z agora a frmula

x = y ,

a qual uma frmula bem formada de Z.

Resta-nos determinar se a frmula

(x, y)

satisfaz as condies 1) e 2) .

[Caso 1.]


Se

x1 = x2

ento 1

x o mesmo termo que 2

x .

Mas usando o Teorema de Z

a = a

tem-se imediatamente

1

x = 2

x .

[Caso 2.]

Se

x1 x2

ento pela Proposio

(m n) (m n )

tem-se imediatamente

1

x 2

x .

Mas pela Definio de , essa frmula equivalente a

( 1

x = 2

x ) .

Exemplo 2.: [ A relao < Numeralmente Exprimvel

em Z ]

Seja

R (k1, k2)

a relao binria que exprime o facto de k2 ser maior do que k1.


A frmula

(x, y)

de Z agora a frmula

x < y

a qual uma frmula bem formada de Z.

Resta-nos determinar se a frmula

(x, y)

satisfaz as condies 1) e 2).

[ Caso 1.: (k1 < k2) ]

1. (n) (n 0) (k2 = k1 + n)

2. k2 = k

1 + n

3. n 0 n 0

4. (x) (x 0) (k2= k

1 + x)

5. k1 < k

2

[ Caso 2.: (k1 < k2) ]

1. (k1 < k2) [ (k2 < k1) (k2 = k1) ]

2. k2 < k1 k2 < k

1

3. k2 = k1 k2 = k

1

4. k2 k

1

5. (k1 < k

2)


Exemplo 3.:

A relao

x + y = z

exprimvel em Z.

Seja

R (x1, x

2, x

3)

a relao que exprime

x1 + x

2 = x

3.

Se

x + y = z

ento a frmula

(1

x , 2

x , 3

x )

verdadeira e

(1

x , 2

x , 3

x ) .

Se

(x + y = z)

ento a frmula

(1

x , 2

x , 3

x )

falsa e

(1

x , 2

x , 3

x ) .

Proposio 1. [ Negao ]


Se R numeralmente exprimvel em Z

ento a negao de R numeralmente exprimvel em Z.

Dem.:

1. R numeralmente exprimvel em Z ou pela frmula

(k1,..., k

n) ou pela frmula (k

1, ..., k

n).

1. Se R verdadeira ento R falsa e logo

(k1, ..., k

n).

3. Se R falsa ento R verdadeira e logo

(k1, ..., k

n) .

Proposio 2. [ Conjuno ]


e S numeralmente exprimvel em Z ento

R S

numeralmente exprimvel em Z.

Dem.:

1. Se R e S so numeralmente exprimveis em Z, ento tem-se

os pares de frmulas

(k1, ..., k

n), (k

1, ..., k

n) para R;

e (k1, ..., k

n), (k

1, ..., k

n) para S .

2. Se R S verdadeira ento tem-se a frmula


(k1, ..., k

n) (k

1, ..., k

n).

3. Se R S falsa ento tem-se uma das frmulas

(k1, ..., k

n) (k

1, ..., k

n) ;

(k1, ..., k

n) (k

1, ..., k

n) ;

(k1, ..., k

n) (k

1, ..., k

n) .

Proposio 3. [ Disjuno ]


e S numeralmente exprimvel em Z ento

R S

numeralmente exprimvel em Z.

Dem.:

1. Se R numeralmente exprimvel ento R numeralmente

exprimvel e logo S numeralmente exprimvel, pela

Prop. 1.

2. Ento a conjuno

R S

numeralmente exprimvel pela Prop. 2.

3. Mas R S R S .


SECO 3

A REPRESENTAO DE FUNES ARITMTICAS

Seja f (1

x , ..., n

x ) uma funo aritmtica e seja

( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

o predicado

f (1

x , ..., n

x ) = n 1

x+.

Diz-se ento que

( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

o predicado representativo da funo

f (1

x , ..., n

x ) .

A condio necessria e suficiente para ( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

ser o

predicado representativo da funo f (1

x , ..., n

x ) a de que para

qualquer n-tuplo

1x , ...,

nx

exista um nico n 1

x+ tal que ( ,..., , )

1 n n 1F x x x

+.

Se essa univocidade garantida ento a funo f (1

x , ..., n

x ) pode

ser definida descritivamente a partir do predicado ( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

como o n 1

x+ tal que ( ,..., , )

1 n n 1F x x x

+.

Definio 1. [ Funo Numeralmente Representvel ]


Seja

f (x1, ..., xn)

uma funo aritmtica.

Diz-se que f (x1, ..., xn) numeralmente representvel em Z

se e somente se

existe uma frmula bem formada

(x1, ..., xn, xn+1)

de Z com

x1, ..., xn, xn+1

variveis livres tal que, para qualquer

de nmeros naturais, as duas condies seguintes so satisfeitas:

1) Se

f (k1, ..., kn) = kn+1

ento

(k1, ..., k

n, k

n+1) ;

2) (1 xn+1) (k1 , ..., kn , xn+1) .

Diz-se ento que a frmula

( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

representa numeralmente a funo

f (1

x , ..., n

x ) .


Tal como foi observado a respeito da expresso numeral, o

conceito de representao numeral de um funo s tem sentido

construtivista se existir um algoritmo para calcular f (1

x , ..., n

x ), de

modo a que n 1

x+ pode ser sempre determinado para qualquer

1x ,...,

nx .

bvio que se f (1

x , ..., n

x ) numeralmente representvel por

( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

essa frmula representa numeralmente o predicado representativo

de f, ( ,..., , )1 n n 1

F x x x+

.

Assim, se

f (1

x , ..., n

x ) n 1

x+

1 n n+1F(x ,...,x ,x ) .

Definio 2. [ Representao- ]

Seja

f (x1, ..., xn)

uma funo aritmtica.

Diz-se que f (x1, ..., xn) representvel em Z

se e somente se existe uma frmula bem formada

(x1, ..., xn, xn+1)

de Z com

x1, ..., xn+1

variveis livres tal que, para quaisquer

< k1, ..., kn+1 >


nmeros naturais, as duas condies seguintes so satisfeitas:

1) Se

f (k1, ..., kn) = kn+1

ento

(k1, ..., k

n, k

n+1)

2) (1 xn+1) (x1, ..., xn, xn+1) .

Proposio 1. [ Representao- e Representao ]

Qualquer funo aritmtica representvel

tambm numeralmente representvel.

Dem.:

A clusula 2) da Definio 2 implica a clusula 2) da Definio 1

por Introduo e Eliminao de .

Definio 3. [ Funo Zero ]

A funo aritmtica Z, tal que para qualquer

nmero natural x

se tem

Z (x) = 0,

chama-se funo zero.

Proposio 2. [ A Funo Zero Representvel em Z ]


A funo zero representvel em Z.

Dem.:

Como frmula bem formada de Z podemos adoptar a frmula

(x = x) (y = 0) .

i) Para qualquer k1,

Z (k1) = k2

implica que

k2 = 0 .

A frmula resultante

( k1= k

1) (0 =0) .

Logo, a condio 1) satisfeita.

ii) A univocidade do zero garante a condio 2). A frmula

resultante

( 1 y) [ (x = x) (y = 0) ] .

Definio 4. [ Funo Sucessor ]

A funo aritmtica N, tal que para qualquer

nmero natural x

se tem

N (x) = x + 1 ,

chama-se funo sucessor.


Proposio 3. [ A Funo Sucessor Representvel em Z]

A funo sucessor representvel em Z.

Dem.:

Como frmula bem formada de Z podemos escolher a frmula

y = N (x) .

i) Para qualquer k1,

N (k1) = k2

implica que

k2 = k1 + 1 .

Logo,

k2 = N (k

1) .

Ento,

k2 = N (k

1) .

Logo a condio 1) da Def. 2 satisfeita.

ii) O Axioma Z4 assegura que a condio 2) satisfeita e a

frmula resultante

( 1 y) [ y = N (x) ] .

Definio 5. [ Funo Identidade ]

A funo aritmtica U tal que para qualquer

n-tuplo de nmeros naturais

x1, ..., xn


se tem

U (x1, ..., xn) = xi

chama-se funo identidade.

O nmero

U (x1, ..., xn) = xi

representa-se pela notao

nUi(x1, ..., xn) = xi .

Exemplo 1.:

A funo

2U1 (3, 1) = 3

uma funo identidade.

Exemplo 2.:

A funo

2U2 (0, 5) = 5

uma funo identidade.

Proposio 4. [ A Funo Identidade Representvel

em Z ]

A funo identidade representvel em Z.


Dem.:

Para frmula bem formada de Z escolha-se a frmula

( x1 = x

1) ( x

2 = x

2) ... ( x

n = x

n) ( x

n+1 = x

i) .

fcil verificar que as duas condies da definio 2 so

satisfeitas pela funo U.

i) Se

nUi (k1, ..., kn) = kn+1

ento

kn+1 = ki .

Logo,

kn+1

= ki .

E assim,

(k1 = k

1) (k

2 = k

2) ...

... (kn = k

n) (k

n+1 = k

i) .

ii)

(1 x

n+1) [ (x

1 = x

1) ( x

2 = x

2) ...

... ( xn = x

n) ( x

n+1 = x

i) ].

Definio 6. [ Substituio ]

Considere-se a seguinte sucesso de funes aritmticas:

h1 (x1, ..., xn)

.

.

.


hm (x1, ..., xn)

e ainda a funo aritmtica

g (x1, ..., xm) .

Por hiptese, considere-se que as funes

g (x1, ..., xm)

h1 (x1, ..., xn)

.

.

. hm (x1, ..., xn)

so representveis em Z pelas frmulas bem formadas seguintes:

i) g (x1, ..., xm) pela frmula bem formada

(x1, ..., xm, xm+1) ii) A sucesso de funes

h1 (x1, ..., xn), ..., hm (x1, ..., xn)

pelas frmulas bem formadas

1(x1, ..., xn+1), ..., m (x1, ..., xn+1) .

Defina-se agora uma nova funo aritmtica f

por meio da equao seguinte:

f (x1, ..., xn) = g [ h1 (x1, ..., xn), ..., hm (x1, ..., xn) ].

Ento diz-se que a funo f

obtida a partir da funo g e da sucesso de funes

h1, ..., hm

por substituio.

Uma funo f definida por uma aplicao da Definio 6

representa--se por vezes pela notao


nm

(g, h1, ..., hm) .

Proposio 5. [ O Processo de Substituio Conserva a

Propriedade de Ser Representvel ]

Uma funo aritmtica

f (x1, ..., xn)

obtida de

g (x1, ..., xm)

e da sucesso de funes

h1, ..., hm

por substituio representvel em Z, se

g (x1, ..., xm) e h1, ..., hm

o so.

Dem.:

Escolheremos como a frmula bem formada de Z

(x1, ..., xn+1)

a expresso seguinte:

(y1), ..., (ym) [ 1 (x1, ..., xn, y1) ...

... m (x1, ..., xn, ym) (y1,...,ym, xn+1) ] .

Dem.: (Parte I.: Condio 1 )

1. f (k1, ..., kn) = kn+1 Hiptese

2. hi (k1, ..., kn) = ti Hiptese (1 i m)


3. g (t1, ..., tm) = kn+1 Definio g

4. i (k1, ..., k

n, ti) 2, Def. i

5. ( ti, ..., t

m, k

n+1) 3, Def.

6. 1 (k1, ..., k

n, t1) ... 4, 5, Def.

m (k1, ..., k

n, tm

) ( t1, ..., t

m, k

n+1)

7. (y1), ..., (ym) [ 1 (k1 , ..., kn , y1 ) ... 6, -Int.

m (k1, ..., k

n, y

m) ( y

1, ..., y

m, k

n+1)

8. [ f (k1, ..., kn) = kn+1 ] (k1, ..., k

n, k

n+1) 1, 7, T. Ded.

9. (k1, ..., k

n, k

n+1) 1, 8, MP

Dem.: (Parte II.: Condio 2 [ Reductio ])

1. (y1), ..., (ym) [ 1 (x1, ..., xn, y1) ... Hip. Red.

m (x1, ..., xn, ym) (y1, ..., ym, u1) ] 2. (y1), ..., (ym) [ 1 (x1, ..., xn, y1) ... Hip. Red.

m (x1, ..., xn, ym) (y1, ..., ym, u2) ] 3. 1 (x1, ..., xn, b1) ... m (x1, ..., xn, bm) 1, -Elim.

(b1, ..., bm, u1) 4. 1 (x1, ..., xn, c1) ... m (x1, ..., xn, cm) 2, -Elim.

(c1, ..., cm, u2)

5. (1 xn+1) i (x1, ..., xn, xn+1) Def. h como -repres.

6. bi = ci 3, 4, 5


7. [ (b1, ..., bm, u1) b1 = c1 ... bm = cm ] 3, 6 (c1, ..., cm, u1)

8. (1 xn+1) (x1, ..., xn+1) Def. g como repres.

9. [ (c1, ..., cm, u1) (c1, ..., cm, u2) ] u1 = u2 7, 8 10. [ (x1, ..., xn, u1) (x1, ..., xn, u2)] u1 = u2 9

11. (xn+1) (x1, ..., xn, xn+1) 9 (parte I.), -Int.

12. (1 xn+1) (k1 , ..., kn , xn+1) 10, 11


SECO 4

EXPRESSO E REPRESENTAO

Definio 1. [ Funo Caracterstica ]

Seja

R (x1, ..., xn)

uma relao aritmtica.

Ento diz-se que a notao

KR (x1, ..., xn)

designa a funo caracterstica de

R (x1, ..., xn)

e define-se pela seguinte tabela:

R (x1, ..., xn) KR (x1, ..., xn)

V 0

F 1

Proposio 1. [ Expresso e Representao em Z ]

Uma relao aritmtica


R (x1, ..., xn)

exprimvel em Z se e somente se

a sua funo caracterstica representvel em Z.

Dem.: (Parte I.:)

1. Seja R (x1, ..., xn) exprimvel em Z.

2. Ento existem as frmulas

(x1, ..., xn) ou (x1, ..., xn)

conforme R (x1, ..., xn) verdadeira ou falsa,

i. e., KR (x1, ..., xn) = 0 ou KR (x1, ..., xn) = 1.

3. Logo, a frmula (1

k , ..., n

k , n+1

k ) tem a forma

[ (x1, ..., xn) xn+1 = 0 ] [ (x1, ..., xn) xn+1 = 1 ].

4. A univocidade de 0 e 1 garantem a frmula

(1 xn+1) [ (x1, ..., xn) xn+1 = 0 ]

[ (x1, ..., xn) xn+1 = 1 ].

Dem.: (parte II.:)

1. Se a funo caracterstica KR (x1, ..., xn) representvel em

Z, ento tem-se a frmula

(1

k , ..., n

k , n+1

k ) .

2. Se R (x1, ..., xn) verdadeira ento pode ser expressa pela

frmula (1

k , ..., n

k , 0) e se falsa pela frmula

(1

k , ..., n

k , 1) .


SECO 5

O ANEL COMUTATIVO n

Depois de termos provado que as funes iniciais e o processo de

substituio so representveis, segue-se provar que o processo

de recurso tambm representvel. Assim qualquer funo

recursiva representvel.

Para levar a cabo esta representao, no entanto, necessrio

dispor da notao e de alguns resultados da Teoria da Congruncia

de Gauss.

Para dar uma ideia do que a Teoria da Congruncia de Gauss

temos que regressar aos conceitos de divisibilidade e resto, j

introduzidos. Para orientao usamos um exemplo numrico: a

tabela dos restos da diviso por 5.

Dividendo divisor Quociente Resto D = d Q + R

0 5 0 0 0 = 5 0 + 0

1 5 0 1 1 = 5 0 + 1

2 5 0 2 2 = 5 0 + 2

3 5 0 3 3 = 5 0 + 3

4 5 0 4 4 = 5 0 + 4

5 5 1 0 5 = 5 1 + 0


6 5 1 1 6 = 5 1 + 1

7 5 1 2 7 = 5 1 + 2

8 5 1 3 8 = 5 1 + 3

9 5 1 4 9 = 5 1 + 4

10 5 2 0 10 = 5 2 + 0

11 5 2 1 11 = 5 2 + 1

12 5 2 2 12 = 5 2 + 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Assim o resto deixado por qualquer inteiro n ao ser dividido por

5 um dos nmeros

0, 1, 2, 3, 4 .

Definio 1. [ Congruncia ]

Dois nmeros inteiros a e b que ao serem divididos por m

tm o mesmo resto,

esto entre si na relao de identidade quanto ao resto.

relao de identidade quanto ao resto chama Gauss congruncia.

O nmero m, a respeito do qual os nmeros a e b

esto na relao de congruncia, o modulos da relao.

Assim, a expresso

a e b so congruentes modulo 5

denota a relao de identidade quanto ao resto entre os nmeros a e b

quando so divididos por 5.


A notao de Gauss para a relao de congruncia a seguinte:

a b (mod d)

que representa a congruncia entre a e b modulo d.

Exemplo 1.:

Os nmeros 27 e 15 so congruentes modulo 4.

i) 27 = 6 4 + 3

ii) 15 = 3 4 + 3 .

27 e 15 so idnticos quanto ao resto ao serem divididos por 4

o resto idntico 3.

Em geral, se a e b so congruentes modulo d, ento existe um

nmero x, que a soluo da equao

a b = x d .

Logo

a bx

d

= .

Exemplo 1. (conti.):

27 15 = 4 x

12 = 4 x

12x

4=

x = 3 .


Em particular, se

a b = x d

ento

a = b + x d .

Assim as seguintes proposies so equivalentes:

1. a b (mod d) ;

2. (x) [ a = b + x d ] ;

3. d|(a b) .

Proposio 1. [ Congruncia Identidade Quanto ao

Resto ]

a b (mod m) R (a, m) = R (b, m) .

Dem.: (Parte I.: a b (mod m) R (a, m) = R (b, m))

1. a b (mod m)

2. a b = k m

3. R (b, m) = b Q m

(0 R m)

4. a = b + k m

5. a = (Q m + R) + k m

6. a = m (Q + K) + R

7. R (a, m) = R

8. R (b, m) = R (a, m)

Dem.: (Parte II: R (a, m) = R (b, m) a b (mod m))


1. R (a, m) = R (b, m)

2. a = Q m + R

b = Q* m + R

3. a b = (Q Q*) m

4. m | (Q Q*) m

5. m | a b

6. a b (mod m)

Proposio 2. [ Congruncia como Relao de

Equivalncia ]

A relao de congruncia

uma relao de equivalncia.

Dem.:

A identidade quanto ao resto satisfaz a definio usual de uma

relao de equivalncia. Assim,

1. Reflexividade

a a (mod d)

2. Simetria

(a b) (b a) (mod d)

3. Transitividade

[ (a b) (b c) ] (a c) (mod d)

As classes de equivalncia induzidas pela relao de congruncia

chamam-se classes de congruncia e so formadas pelos conjuntos


de todos os nmeros que deixam o mesmo resto ao serem divididos

por d.

Na ltima tabela (dos restos da diviso por 5) fcil verificar que

a coluna dos restos se deixa organizar em ciclos de ocorrncias

sucessivas do conjunto de nmeros

{ 0, 1, 2, 3, 4 }.

No nosso exemplo h justamente

n5

ciclos de ocorrncias dos nmeros

0, 1, 2, 3, 4

quando

n = 0, 1, ..., n .

Esta observao est na origem de uma representao geomtrica

dos nmeros inteiros que diferente da usual. Na representao

usual, os nmeros so representados como pontos de uma recta

. . .

1 0 1

e a cada nmero corresponde um e um s ponto.

Mas do ponto de vista da relao de congruncia, dois nmeros

que so congruentes mod d so iguais quanto ao resto da sua diviso

por d e so por isso representados pelo mesmo ponto.

Para representar a coluna dos restos da nossa tabela vamos

comear por representar um ciclo de ocorrncias. Para isso adopta-

se uma circunferncia dividida num nmero igual, d, de partes.


Qualquer inteiro, ao ser dividido por d, deixa como resto um dos

nmeros

0, 1, ..., d 1

os quais constituem o ciclo recorrente mod d e aos quais atribudo

um dos pontos da circunferncia.

Exemplo 2.:

Representao dos restos modulo 6:

0 1

5 2

4 3

Mas qualquer inteiro congruente mod 6 com um dos nmeros

aqui representados e por isso representado pelo mesmo ponto que

representa o nmero com o qual congruente. Isto torna possvel

fazer uma representao de todos os inteiros volta dos restos de um

modulus. Para mod 6 a figura a que isso d origem tem os seguintes

valores positivos:

... , 12, 6, 0 1, 7, 13, ...

..., 11, 5 2, 8, 14, ...

..., 10, 4 3, 9, 15, ...


Aqui as classes de congruncia so as seguintes classes de

equivalncia:

[ 0 ]

[ 1 ]

[ 2 ] . . .

[ 5 ].

Para um tratamento elementar do conceito de congruncia

comeamos por identificar os valores de x que satisfazem uma

frmula, por exemplo,

4 x 0 (mod 2) .

Estas frmulas so conhecidas como congruncias e so

tratadas como equaes para as quais se determina o conjunto de

solues. Estas solues so

..., -4, -2, 0, 2, 4, ...

..., -5, -3, 1, 3, 5, ...

Em todo o caso possvel distinguir estes dois conjuntos de

solues, pelo facto de em cada conjunto todos os inteiros so

2


congruentes entre si mod 2 mas nenhum inteiro no primeiro

conjunto congruente com um inteiro no outro conjunto mod 2.

Definio 2. [ Classe de Congruncia ]

A classe de congruncia de a modulo n,

que se denota por

[ ]an

o conjunto de todos os inteiros que so congruentes com a mod n.

[ ]an = { b : b a (mod n) }

Definio 3. [ n ]

O conjunto de todas as classes de congruncia mod n,

que se denota por

n

o conjunto de todos os inteiros mod n.

Como se v pela anterior tabela dos restos da diviso por 5 este

conjunto tem exactamente n elementos, uma vez que s h n restos

na diviso de um inteiro por n. [ No exemplo da tabela 0, 1, 2, 3, 4.]

Definio 4. [ Classe de Congruncia Nula ]

A classe de congruncia nula ou a 0-classe de congruncia

a classe de congruncia de 0.


uma consequncia das definies que

[ ]an = [ ]b

n a b (mod n) .

Exemplo 3.:

Quando n = 2, como no exemplo acima, h exactamente duas

classes de congruncia

[ ]02, [ ]1

2

as quais so tambm as solues da equao

4 x 0 (mod 2) .

Definio 5. [ Elemento Representativo ]

Um elemento representativo de uma classe de congruncia

qualquer inteiro que pertence classe.

Exemplo 4.:

n = { [ ]0

n, [ ]1

n, ..., [ ]n 1

n } ;

5 = { [ ]0

5, [ ]1

5, ..., [ ]4

5 } ;

2 = { [ ]0

2, [ ]1

2 } .

Em particular tem-se a igualdade

k n + a = [ ]an .


Para identificarmos a estrutura de n precisamos de introduzir

as funes Adio e Multiplicao entre classes de congruncia.

Definio 6. [ +, ]

1. (n > 1) (a b )

[ ]an + [ ]b

n = [ ]a b

n+ .

2. (n > 1) (a b )

[ ]an [ ]b

n = [ ]a b

n .

Proposio 3.

Se

[ ]an = [ ]c

n ,

ento

i) [ ]a bn

+ = [ ]c bn

+ ;

ii) [ ]a bn

= [ ]c bn

.

Dem.: (Parte I.: i) )

1. [ ]an = [ ]c

n

2. n | c a

3. c = a + k n

4. [ ]c bn

+ = [ ]a k n bn

+ +


5. [ ]a k n bn

+ + = [ ]a b k nn

+ +

6. [ ]a b k nn

+ + = [ ]a bn

+

7. [ ]c bn

+ = [ ]a bn

+

8. [ ]a bn

+ = [ ]c bn

+

Dem.: (Parte II.: ii) )

1. [ ]c bn

= [( ) ]a k n bn

+

2. [ ]c bn

= [ ]a b k n bn

+

3. [ ]c bn

= [ ]a bn

4. [ ]a bn

= [ ]c bn

Em particular, se

[ ]an = [ ]c

n [ ]b

n = [ ]d

n

ento

i) [ ]a bn

+ = [ ]c dn

+ ;

ii) [ ]a bn

= [ ]c dn

.

[Dem.: substituir (na Proposio anterior) b por um outro

elemento d que pertence mesma classe do que b. ]

possvel construir tabelas para a Adio e para a Multiplicao

em n . A ideia bsica que na interseco da fila i com a coluna j

ocorre o nmero

[ ]an + [ ]b

n


no caso da Adio e

[ ]an [ ]b

n

no caso da Multiplicao.

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Definio 7. [ Inverso Multiplicativo ]

Diz-se que uma classe de congruncia [ ]an

tem um inverso multiplicativo modulo n


se existe um b tal que

[ ]an [ ]b

n = [ ]1

n.

Diz-se assim que [ ]bn o inverso multiplicativo de [ ]a

n,

o qual se denota por

[ ]1

na

.

Logo

[ ]an [ ]

1

na

= [ ]1n .

Em particular se o inverso existe, ento o produto

[ ]an [ ]b

n

igual classe de congruncia [ ]1n, o que significa que o nmero

a b est na classe congruncia [ ]1n. Logo congruente com 1

modulo n e assim

a b 1 (mod n).

A Estrutura de n tem as seguintes descries possveis:

1. Sob a Adio e a Multiplicao modulo n 2, o conjunto

0, 1, 2, ..., n 1

constitui um Anel Comutativo.

2. O conjunto das classes de congruncia que tm inverso

multiplicativo modulo n um Grupo sob a multiplicao. O

Elemento Identidade [ ]1n e o Inverso de um elemento [ ]a

n

[ ]1

na

.


3. O conjunto das classes de congruncia modulo n sob a

Adio um Grupo. O Elemento Identidade a classe de

congruncia [ ]0n e o Inverso Aditivo de [ ]k

n [ ]k

n .

Definio 8. [ Divisor-Zero ]

Diz-se que uma classe de congruncia no-nula [ ]an

um Divisor-Zero

se existe um inteiro b tal que:

i) [ ]bn [ ]0

n ;

ii) [ ]an [ ]b

n = [ ]0

n .

Exemplo 5.:

i) 5 tem inversos multiplicativos alm de [ ]1

5, como [ ]3

5 e

[ ]25 uma vez que

[ ]35 [ ]2

5 = [ ]6

5 = [ ]1

5.

ii) 5 no tem divisores-zero alm de [ ]0

5 mas fcil de ver que

6 tem divisores-zero alm de [ ]0

6 como [ ]2

6, uma vez que

[ ]26 [ ]3

6 = [ ]0

6.

Definio 9. [ Primos Relativos aos Pares ]

Num conjunto de nmeros inteiros positivos


m1, ..., mk

diz-se que os elementos m1, ..., mk

so primos relativos aos pares

se nenhum par tem um factor inteiro comum excepto 1.

Se dois nmeros a e b satisfazem a Definio 9, ento a notao

{ (a, b) = 1 }

denota que os nmeros a e b so primos relativos aos pares.

Exemplo 3.:

{ 3, 4, 5 }.

Pela Definio 9, estes nmeros so primos relativos aos pares.

Proposio 4.

Qualquer conjunto de inteiros M fechado sob a Adio e a Subtraco ou

consiste apenas em 0 ou contm um elemento mnimo ,

juntamente com todos os mltiplos de .

Dem.: (Parte I.: M contm um mnimo)

1. Seja a M a 0 .

2. Ento pelo fecho sob a subtraco

a a M, i. e., 0 M .

3. Como


0 a M

tambm a M.

4. Assim (a) (|a| = a ) |a| M .

5. Pela Boa Ordem de Z, seja o menor desses elementos a.

Dem.: (Parte II.: Todos os Mltiplos de esto em M (Induo))

Dem.: (Parte II. 1.: Base da Induo (n = 1))

1. n = 1

2. 1 =

3. 1 M

Dem.: (Parte II. 2. Passo Indutivo)

1. k M Hip. Indutiva

2. (k + 1) = k + Distrib.

3. [ (k M) ( M) ] [ (k + 1) M ] Fecho

Em particular, se n um mltiplo negativo, n M , uma

vez que pelo Fecho sob

n = 0 n .

Dem.: (Parte III.: M s contm Mltiplos de )

1. Seja a M um elemento arbitrrio de M.

2. Ento

| a ( a = q + R ).

3. E assim

R = a q .


4. Ora

0 R < .

5. Mas como o menor elemento em M, R tem que ser igual a

0.

6. Assim a frmula 2. a = q + R simplifica em

a = q .

7. Logo qualquer a M um mltiplo de .

Proposio 5. [ Existncia de Inverso Multiplicativo ]

{ (p, q) = 1 } (x) (y) [ p x + q y = 1 ]

(p > 0, q > 0, x , y ).

Dem.:

1. Seja M o conjunto de todos os nmeros da forma

p x + q y

que so maiores do que 0.

2. Ento pela proposio 4, M tem um mnimo , que se

representa por

(*) = p 0

x + q 0

y .

3. Para demonstrar

p x + q y = 1

em M suficiente provar que p e q so mltiplos de .

4. A diviso de p por pode ser representada pela frmula

(**) p = + R

em que


0 R < .

5. Multiplicando ambos os lados de (*) por tem-se

p 0

x + q 0

y = .

6. Mas por (**)

= p R .

7. Assim, por 5. e 6.,

p R = p 0

x + q 0

y .

8. Logo, por 7.,

R = p (1 0

x ) + q (0

y ) .

9. Ora, pelo passo 1., o mnimo positivo e por 4.

0 R < .

10. Logo R tem que ser igual a 0 .

11. Logo p mltiplo de .

12. Pelo mesmo raciocnio q mltiplo de .

13. Assim um divisor comum de p e de q e, pela hiptese 2.,

o mnimo.

14. Logo 0 < 1 e assim

= 1 .

Proposio 6. [ Mximo Divisor Comum Como

Combinao Linear ]

Qualquer par de inteiros

p 0, q 0

tm um mximo divisor comum positivo,

(p, q),


o qual pode ser representado como uma combinao linear de p e q

com coeficientes inteiros x e y com a seguinte forma:

(p, q) = p x + q y .

Dem.:

1. Formar o conjunto M de todos os nmeros da forma

p x + q y.

2. Para qualquer par de M tem-se a igualdade

(p x1 + q y1) (p x2 + q y2) =

= p (x1 x2) + q (y1 y2).

3. Logo M fechado sob a Adio e a Subtraco e pela

Proposio 4 consiste em todos os mltiplos de um mnimo

M com a forma

p x + q y = .

4. Assim, qualquer factor comum k de p e q tem que ser um

factor de .

5. Por outro lado, pela proposio 5, os nmeros p e q podem-se

representar por

p = 1 p + 0 q

q = 0 p + 1 q,

e so mltiplos do nmero .

6. Logo um divisor comum.

7. Assim, por 3., o mximo divisor comum.

Proposio 7.


(p x) + (q y) = 1 p x 1 (mod q) .

Dem.:

1. Se a equao (p x) + (q y) = 1 reduzida ao modulo q,

obtm-se

[ ]p xq

+ [ ]q yq

= [ ]1q .

2. Como no modulo q, q y congruente com 0, tem-se

[ ]p xq

+ [ ]0q = [ ]1

q .

3. Logo

[ ]p xq

= [ ]1q .

4. Assim x o inverso multiplicativo de [ ]pq.

5. Em particular, p x congruente com 1 modulo q e assim

p x 1 (mod q) .

Proposio 8.

Se [ ]pq tem um inverso multiplicativo

ento { (p, q) = 1 } .

Dem.:

1. [ ]pq tem um inverso [ ]x

q Hip.

2. [ ]pq [ ]x

q = [ ]1

q

3. p x 1 (mod q)

4. q | p x 1


5. (y) p x 1 = q y

6. p x q y = 1

7. { (p, q) = 1 }

Exemplo 6.:

1 = 3 2 + 5 (1)

1 = 6 5

Logo 2 o inverso multiplicativo de 3 modulo 5.

Exemplo 7.:

Se p = 50 e x = 25, ento no se tem

{ (50, 25) = 1 } ,

uma vez que 5|50 5|25.

Logo 50 no tem um inverso modulo 25.

Exemplo 8.:

Com nmero pequenos fcil detectar um inverso num modulo.

Para encontrar [ ]1

811

suficiente encontrar um nmero x tal que

8 x 1 (mod 11).

Como o Resto de 11|56 1,

x = 7.

Exemplo 9.: [ Auto-Inverso ]


No modulo 20 tem-se

121 1 .

Mas como 121 = 2

11 , tem-se

[ ]1120

[ ]1120

= [ ]120

e logo

[ ]1120

= [ ]1

1120

.

Proposio 9.

{ { (R, a) = 1 } [ R|(a b) ] } R|b.

Dem.:

1. a b = p R Hip., Definio

2. k R + m a = 1 Prop. 5

3. k R b + m a b = b 2, Subst.

4. k R b + m p R = b 1, 3, Ax. Identi.

5. R ( k b + m p ) = b 4, Distrib.

6. R|b 5, Def. |

A definio de um nmero p como primo quando tem

exactamente 2 divisores positivos, 1 e p, exclui 1 como nmero

primo, uma vez que 1 no tem 2 divisores positivos diferentes.

Em particular, o menor nmero primo 2 e qualquer outro

nmero par p > 2 tem pelo menos 3 divisores, 1, 2 e p.


Proposio 10.

[ P (p) p|(a b) ] [ (p|a) (p|b) ].

Dem.:

1. P (p) implica que os nicos factores de p so 1 e p.

2. Se (p|a), ento os nicos divisores comuns de p e de a so

1 .

3. Logo { (p, a) = 1 }.

4. (x) (y) [ x a + y p = 1 ]

5. Logo b = b (x a ) + b (y p ) .

6. Como por hiptese p|(a b), ento p divide

b (x a ) + b (y p ) .

6. Logo p|b .

Proposio 11.

[ P (p) p |(1

a ... n

a ) ] (i) p| ai .

Dem. [ Induo sobre n ]:

Dem.: (Parte I.: Base indutiva (n = 1))

1. p |1

a p |1

a

Dem.: (Parte II.: Passo indutivo)

1. Supor

p|(1

b 2

b ... n 1

b

) (i) p|bi .


2. Reformular

1

a ... n

a

num produto de n 1 inteiros

1b ...

n 1b

.

3. Definir a seguir

bi = a

i, i n 2

n 1

b

= n 1

a

n

a

4. Introduzindo parntesis, a frmula

1

a 2

a ... n 2

a

(n 1

a

n

a )

reproduz o produto dos primeiros n 1 inteiros.

5. Logo

p|1

a 2

a ... n 2

a

p|(n 1

a

n

a ) .

6. Se

p|1

a 2

a ... n 2

a

ento pela Hiptese Indutiva

(i) p| ai .

7. Se p|(n 1

a

n

a ) p|n 1

a

p|n

a .

8. Logo (i) p| ai .

9. Logo (i) p| ai , por -Elim.

Proposio 12. [ Teorema de Gauss, Teorema Fundamental

da Aritmtica ]


i) Qualquer inteiro positivo x 2 tem uma representao sob a forma

x = 1

p 2

p ... n

p

em que 1

p , 2

p , ..., n

p so nmeros primos e n 1.

ii) Esta representao nica.

Assim se existe uma outra representao

x = 1t

2t ...

kt

ento k = n e possvel redenominar 1t , ...,

kt de modo a que

pi = t

i com i = 1, 2, ..., n.

Dem. [Parte I.: Induo Completa ]:

Dem.: (Parte I. 1: Base da Induo (x = 2) )

1. Se x = 2, ento o Teorema reduz-se em 2 = 1

2 .

Dem.: (Parte I. 2.: Passo Indutivo)

A Hiptese Indutiva que o Teorema verdadeiro para

todos os valores < x.

1. Se x > 2 ento ou x primo ou x compsito.

2. Se x primo, o Teorema verdadeiro e x tem uma

representao com um nico factor.

3. Se x compsito ento pode ser expresso como um produto

a b

em que a e b so menores do que x.

4. Mas pela hiptese indutiva a e b tm uma representao

respectivamente i

e j

como um produto de primos.

5. Logo, pela Proposio 12 (Cap. I, seco 4), x tem a

representao


x = i

j

.

Dem. [Parte II.: Induo sobre o Comprimento da Representao n ]:

Dem.: (Parte II. 1.: Base Indutiva (n = 1))

1. Supor que x primo com uma representao

x = i 1

sti

=

.

2. Se s 2, ento x tem como divisores 1, 1t ,

1t

2t , i. e., 3

divisores.

3. Logo no pode ser primo.

4. Logo s = 1.

Dem.: (Parte II. 2.: Passo Indutivo)

A Hiptese Indutiva garante a univocidade da representao

at a um comprimento n 1.

1. Supor que

x = r

i 1ti

=

x = s

i 1mi

=

.

2. Como 1t divide x, tem-se que existe um

im que

1t tambm

divide, pela Proposio 11.

3. Pode-se redenominar i

m de modo a que 1t divida

1m .

4. Mas como 1

m primo, ento tem-se

1t =

1m .

5. Eliminando o ndice 1 em ambas as frmulas fica-se com


x = r

i 2ti

=

x = s

i 2mi

=

.

6. Mas

x = r

i 2ti

=

o produto dos r 1 primos, o qual igual ao produto dos

s 1 primos pela Hiptese da Induo.

7. Logo

r = s

e fazendo a redenominao

(i) ti = m

i .

Proposio 13. [ Teorema de Euclides ]

O conjunto dos nmeros primos infinito.

Dem. [Reductio]:

1. A Hiptese da Reductio

(*) 1

p , ..., n

p (com 1

p = 2)

ser a totalidade dos nmeros primos.

2. Definir a seguir um nmero E como

E = n

p ! + 1 .

3. Assim E deixa resto 1 ao ser dividido por qualquer dos pi.


4. Mas pelo Teorema de Gauss E tem uma representao com

um divisor primo p.

5. Logo p|E e (i) p pi .

6. Logo p primo e no est em (*).

A Lei da Cancelao usada entre equaes no sempre satisfeita

com congruncias.

Embora

2 3 2 8 (mod 5)

implique

3 8 (mod 5)

em geral o resultado no obtm.

Exemplo 10.:

2 4 2 1 (mod 4)

no implica

4 1 (mod 4).

Isto devido ao facto de 2 ser um divisor do Modulus. Mas a

cancelao pode ser restrita proposio seguinte:

Proposio 14. [ Teorema da Cancelao ]

{ (k, m) = 1 } [ k a k b (mod m) ] a b (mod m) .

Dem.:


1. k a k b (mod m)

2. [ ]km [ ]a

m = [ ]k

m [ ]b

m

3. { (k, m) = 1 } implica que existe o inverso de [ ]km

4. [ ]km [ ]a

m [ ]

1k

m

= [ ]km [ ]b

m [ ]

1k

m

5. [ ]am [ ]1

m = [ ]b

m [ ]1

m

6. [ ]am = [ ]b

m

7. a b (mod m)

Proposio 15. [ Divisibilidade de Mltiplos de Primos

Relativos ]

{ (a, b) = 1 } { [ (a|m) (b|m) ] (a b|m) }.

Dem.:

1. Se m um mltiplo de cada um dos primos relativos a e b e

tal que

a|m b|m

ento

m = a k .

2. Como por hiptese b|m , ento

b|k, uma vez que

b|a k b|k .

3. Como a|a , tem-se

a|a b|k .


4. Mas aa

kb =

a ka b

.

5. Logo a b |a k e assim

a b |m .

Proposio 16.

Seja n > 1. Ento um elemento [ ]0n em

n

ou tem um Inverso ou um Divisor-0 mas no ambos.

Dem.: (Parte I.:)

1. Supor que [ ]an no tem um Inverso.

2. Ento

(n, a) = d d > 1.

3. Logo

d|n d|a

e assim tem-se

a = k d

n = p d , com p < n.

4. Como p = nd , tem-se

a nd = k

nd d

e assim que

a p = k n .

5. Logo [ ]an [ ]p

n = [ ]k

n [ ]n

n


6. [ ]an [ ]p

n = [ ]0

n

7. [ ]an um Divisor-Zero.

Dem.: (Parte II.:)

1. Supor que [ ]an tem um Inverso, [ ]b

n, e que dada uma

equao

[ ]an [ ]b

n = [ ]0

n .

2. Ento tem-se

[ ]1

an

[ ]an [ ]b

n = [ ]

1a

n

[ ]0n.

3. Assim

[ ]bn = [ ]0

n.

4. Logo [ ]an no um Divisor-Zero.

Proposio 17. [ Teorema de Euler ]

Se p primo

ento qualquer elemento no-nulo de p tem um Inverso.

Dem.:

1. Se [ ]ap [ ]0

p, ento

( p|a ) .

2. Logo { (a, p) = 1 }.

3. Logo [ ]ap tem um Inverso.


Notao:

Para n > 1, o conjunto das classes de congruncia de n que tm

um Inverso denota-se por

n

.

Assim

[ ]an

n

{ (a, n) = 1 }.

Proposio 18. [ Fecho de n

Sob a Multiplicao ]

n > 2 [ ]an

n

[ ]bn

n

[ ]an [ ]b

n

n

.

Dem.:

1. [ ]an

n

[ ]bn

n

2. { (a, n) = 1 } { (b, n) = 1 }

3. Mas pela Proposio 10

p|a b p|a p|b .

4. Assim a b e n no tm um factor comum alm de 1.

5. Logo

{ (a b , n) = 1 }

6. Assim a b tem um Inverso modulo n, i.e.,


[ ]an [ ]b

n

n

.

[ Estrutura em n ]

< n , + > Grupo Comutativo

< n , > Grupo Comutativo

< n , +, > Anel Comutativo

< n

, +, > Corpo

Definio 10. [ Congruncia Linear ]

Uma congruncia linear

uma equao da forma

a x b (mod m) .

Proposio 19. [ Solues de uma Congruncia Linear ]

i) { (a, m) = 1 } a x b (mod m)

tem uma soluo inteira x.

ii) { (a, m) = 1 } [ a x1 b (mod m)

a x2 b (mod m) ] x1 x2 (mod m) .

Dem.: (Parte I.: Clusula i))


1. { (a, m) = 1 }

2. (p) (q) [ p a + q m = 1 ]

3. [ ]p am

+ [ ]q mm

= [ ]1m

4. [ ]p am

+ [ ]0m = [ ]1

m

5. [ ]p am

= [ ]1m

6. [ ]bm [ ]p a

m = [ ]b

m

7. [ ]b pm

[ ]am = [ ]b

m

8. b p a b (mod m)

9. Logo x = b p

Dem.: (Parte II.: Clusula ii): Congruncia das Solues)

1. (x = x1) (x = x2)

2. [ a x1 b (mod m) ] [ a x2 b (mod m) ]

3. (a x1 b) (b a x2) (a x1 a x2)

4. a x1 a x2

5. x1 x2 (mod m)

Exemplo 11.:

6 x 5 (mod 17)

Soluo:

1. { (6, 17) = 1 } (p) (q) [ p 6 + q 17 = 1 ]

2. [ ]p 617

+ [ ]q 1717

= [ ]117

3. [ ]p 617

= [ ]117


4. [ ]1

617

= [ ]317

5. [ ]617

[ ]317

x [ ]517

[ ]317

6. x [ ]1517

7. x = [ ]1517

Exemplo 12.:

2 x 3 (mod 5)

Soluo: x = [ ]45

Proposio 20. [ Congruncias Simultneas ]

i) Se os Moduli m1 e m2 so primos relativos e b1 e b2

so nmeros naturais, ento as congruncias simultneas

(*) x b1 (mod m1)

(**) x b2 (mod m2)

tm uma soluo comum x.

ii) Qualquer par de solues x1, x2 congruente modulo m1 m2

x1 x2 (mod m1 m2).

Dem.: (Parte I.:)

1. Se por hiptese se tem

(*) x b1 (mod m1)

ento


(y) ( x = b1 + y m1) .

2. Mas a condio necessria e suficiente para este valor

x = b1 + y m1

satisfazer a congruncia (**)

b1 + y m1 b2 (mod m2) .

3. Isto equivale a dizer que

m2 | b1 + y m1 b2 .

4. Assim

m2 | y m1 b2 + b1 .

5. Logo

y m1 b2 b1 (mod m2) .

6. Mas como { (m1, m2) = 1 } pela hiptese, o Teorema anterior

garante a existncia de uma soluo y para esta congruncia.

Dem.: (Parte II.:)

1. Suponha-se agora que x1 e x2 so duas solues das

congruncias simultneas

x b1 (mod m1)

x b2 (mod m2).

2. Ento pela Proposio anterior

x1 x2 (mod m1) .

3. Logo

m1 | x1 x2 .

4. Do mesmo modo


m2 | x1 x2 .

5. Logo pela Proposio 15 [ Divisibilidade de Mltiplos de Primos

Relativos ]

m1 m2 | x1 x2 .

6. Assim

x1 x2 (mod m1 m2).

A doutrina do Teorema anterior pode ser aplicada a uma

sucesso de moduli m1, ..., mk , os quais so primos relativos aos

pares e a um n-tuplo de nmeros naturais. A Proposio a que se

conduzido conhecida como o Teorema do Resto Chins.

Proposio 21. [ Teorema do Resto Chins ]

i) Se os moduli

m1, ..., mk

so primos relativos aos pares

e

b1, ..., bk

so nmeros naturais,

ento as congruncias simultneas

x b1 (mod m1)

.

.

.

x bk (mod mk)



ii) Qualquer par de solues congruente modulo

m1 m2 ... mk .

Dem. [ Induo em k ]:

Dem.: (Parte I. 1.:)

1. Se k = 1 ento a equao

x b1 (mod m1)

tem uma soluo

x = Q m1 + b1 .

Dem.: (Parte I. 2.:)

1. A hiptese indutiva que

x bk 1

(mod k 1) .

2. Logo esta congruncia tem uma soluo

x = Q mk 1

+ bk 1

.

3. Mas resolver

x bk (mod mk)

equivalente a mostrar que

Q mk 1

+ bk 1

bk (mod mk).

4. Logo

Q mk 1

bk b

k 1 (mod mk).

5. Mas pela hiptese tem-se

{ (mk 1

, mk) = 1 }.

6. Logo

Q mk 1

bk b

k 1 (mod mk)


uma congruncia linear que tem uma soluo pela

proposio 19 [ Solues de uma Congruncia Linear ].

Dem.: (Parte II.:)

Qualquer par de solues congruente modulo

m1 m2 ... mk

pelo mesmo argumento da parte II. da proposio 20 [

Congruncias Simultneas ].

Exemplo 13.:

As congruncias simultneas

x 2 (mod 3)

x 3 (mod 5)


1. Pelo Teorema do Resto Chins

x 2 (mod 3)

tem uma soluo

x = Q 3 + 2 .

2. Mas x ser uma soluo da 2 equao equivalente a

Q 3 + 2 3 (mod 5) .

3. Logo

[ ]Q 35

+ [ ]25 = [ ]3

5 .

4. Assim

[ ]Q 35

= [ ]3 25

.


5. Calculando [ ] 135

, obtm-se [ ]25.

6. Assim (por 4. obtm-se)

[ ] 135

[ ]35 Q [ ]1

5 [ ] 13

5

.

7. Logo

Q [ ]25.

8. Mas [ ]25 = 5 p + 2 .

9. Assim o conjunto de solues com a forma comum

x = Q 3 + 2

x = (5 p + 2) 3 + 2 .

10. x = 15 p + 8

e assim

x = [ ]815

.

fcil verificar que um dos valores de x 23, uma vez que

23 8 (mod 15)

23 2 (mod 3)

23 3 (mod 5).


SECO 6

RECURSO E REPRESENTAO

Definio 1. [ Sucesso de Gdel ]

Seja

1, ..., n

uma sucesso de nmeros naturais.

Ento existe o nmero n! tal que

n n 1 , ..., 1 = n! .

Assim o nmero n! divisvel por cada um dos elementos de 1, ..., n,

de tal modo que se obtm a sucesso de divisibilidades

1|n!, 2|n!, ..., n|n! .

Seja n! representado por l. Ento os elementos da sucesso de Gdel

so os nmeros da forma

(k + 1) l + 1.

A sua representao

= 1 l + 1, 2 l + 1, ..., n l + 1, (n + 1) l + 1 .

Proposio 1. [ Divisibilidade na Sucesso ]

Os elementos de

so primos relativos.


Dem. [ Reductio ]:

1. A Hiptese da Reductio a de que existe um nmero primo p

tal que p divide

1 + (j + 1) l

e p divide tambm

1 + (j + k + 1) l.

2. Ento

[ 1 + (j + k + 1) l ] [ 1 + (j + 1) l ] (mod p).

3. Logo p divide a diferena

[ 1 + (j + k + 1) l ] [ 1 + (j + 1) l ] .

4. Assim p divide

1 + j l + k l + l 1 j l l.

5. Logo p divide k l .

6. Ento

p|k l [ (p|l) (p|k) ].

Caso 1.: [ p|l ]

1. p|l [ p|(j + 1) l ] Definio

2. p|1 + (j + 1) l Hiptese

3. (p|l ) 1, 2

Caso 2.: [ p|k ]

1. k n max (1, ..., n) Definio

2. Logo, Definio


(k) ( k|l )

3. (p|k) (k|l) p|l Hiptese, 2

4. (p|l) p|l 3, Caso 1. passo 3

Para exprimir em Z asseres acerca de sucesses finitas de

nmeros naturais essencial dispor da funo de Gdel.

Definio 2. [ Funo de Gdel ]

Se m, l, k so nmeros naturais ento a funo

(m, l, k) calcula o resto da diviso de m por um termo

(k + 1) l + 1

da sucesso .

Assim,

(m, l, k) = R [ m, (k + 1) l + 1]

Proposio 2. [ Representabilidade de Sucesses de

Nmeros Naturais pela Funo ]

(m) (l) [ ak = (m, l, k) ] .

Dem.:

1. Seja

0a , ...,

na



2. Ento existe um nmero l tal que a sucesso

= 1 l + 1, 2 l + 1, ..., n l + 1, (n + 1) l + 1

pode ser construda.

3. Seja

l max (a1, ..., an) .

4. Ento

ak < (k + 1) l + 1.

5. Mas pela Proposio anterior os nmeros

(k + 1) l + 1

so primos relativos aos pares.

6. Ento as congruncias simultneas

1x

0a [ mod (1 l + 1) ]

. . . . . . . . .

nx a

n [ mod (n + 1) l + 1 ]

tm uma soluo comum m, pelo T. do Resto Chins.

7. Logo m k

a [ mod (k + 1) l + 1 ].

8. Assim k

a = R (m, (k + 1) l + 1).

9. Logo k

a = (m, l, k) .

Seja

0a , ..., an



Ento 0

a , ..., an tem uma representao por meio da funo com as congruncias simultneas nos moduli

1 l + 1 , ..., k l + 1 , (k + 1) l + 1 .

Essa representao possvel para qualquer sucesso

0a , ..., an .

Para demonstrar o carcter recursivo primitivo da funo de Gdel til redenominar as variveis do seguinte modo:

m = x1

l = x2

k = x3 .

Proposio 3. [ Recurso na Funo de Gdel ]

Seja a funo de Gdel. Ento a funo (x1, x2, x3)

recursiva primitiva.

Dem.:

1. A funo

(x1, x2, x3) = R [ x1, (x3 + 1) x2 + 1]. 2. Como as funes + , , e R so recursivas primitivas,

recursiva primitiva.

Convm agora recordar que uma funo


f (x1, ..., xn)

representvel em Z se e somente se existe uma frmula bem

formada

(x1, ..., xn, xn+1)

de Z com x1, ..., xn+1 variveis livres, tal que a expresso

f (k1, ..., kn) = kn+1

representada por

(k1, ..., k

n, k

n+1)

para qualquer

k1, ..., kn+1 .

Alm disso tem-se ainda que representar em Z a univocidade de

xn+1 por meio da frmula

(1 xn+1) (x1, ..., xn, xn+1) .

Proposio 4. [ Representabilidade da Funo ]

A funo

(x1, x2, x3) representvel em Z.

Dem.:

A frmula

(x1, ..., xn+1)

de Z tem a forma


B (x1, x2, x3, x4)

com a seguinte configurao:

(Q) { x1 = { [ (x3 + 1) x2 + 1 ] Q + x4 }

{ x4 < (x3 + 1) x2 + 1 } }.

1. (k1, k2, k3) = k4 Hiptese 2. k1 = [ (k3 + 1) k2 + 1 ] k + k4

3. k4 < (k3 + 1) k2 + 1

4. k1 = { [ (k

3+ 1) k

2 + 1 ] k + k

4 } T. Repres.

5. k4 < (k

3+ 1 ) k

2 +1 Expri.


conservam o conjunto das funes representveis em Z como

fechado a respeito destas aplicaes.

Uma parte da nossa demonstrao j foi feita no presente

Captulo, nomeadamente a parte que diz respeito

representabilidade das funes iniciais e da Regra da Substituio.

Por demonstrar fica apenas que a Regra da Recurso e a Regra do

Operador conservam fechado o conjunto das funes

representveis em Z.

Comeando pela Regra de Recurso, o nosso objectivo

demonstrar que se uma funo

f (x1, ..., xn, y)

definida por recurso em y a partir das funes representveis

g (x1, ..., xn)

e

h [ x1, ..., xn, y, f (x1, ..., xn, y) ]

ento a funo

f (x1, ..., xn, y)

tambm representvel.

A concepo da demonstrao consiste em conceber a funo a

representar

f (x1, ..., xn, y) = z

como equivalente assero de existncia de uma sucesso finita de

nmeros

0a , ..., a

n

construda da seguida maneira:


i) 0

a = g (x1, ..., xn)

ii) aj 1+

= h (x1, ..., xn, j, a j)

iii) an = z .

Pela Proposio 2 estas sucesses finitas de nmeros naturais

podem ser parafraseadas em termos de resultados do clculo da

funo de Gdel. E como a funo representvel em Z, a funo f (x1, ..., xn, y) tambm o .

Proposio 5. [ Fecho pela Regra da Recurso ]

O conjunto RZ das funes aritmticas representveis em Z

fechado a respeito da Regra da Recurso.

Dem.:

Comeamos por definir a funo

f (x1, ..., xn, y) = z

por meio do seguinte sistema de equaes:

1) f (x1, ..., xn, 0) = g (x1, ..., xn)

()

2) f (x1, ..., xn, y + 1) = h [ x1, ..., xn, y, f (x1, ..., xn, y) ].

A nossa hiptese que as funes

g (x1, ..., xn)

e

h [ x1, ..., xn, y, f (x1, ..., xn, y) ]

so representveis em Z por meio das frmulas bem formadas


(x1, ..., xn+1)

e

(x1, ..., xn+3) . Para proceder representao da funo

f (x1, ..., xn, xn+1)

utilizaremos a frmula bem formada

(x1, ..., xn+2)


( ) (u) (v) { (w) [ B (u, v, 0, w) (x1, ..., xn, w) ] }

(w) { w < xn+1 (y) (z) { [ B (u, v, w, y)

B (u, v, N (w), z) ] B (u, v, xn+1, xn+2)

(x1, ..., xn, w, y, z) } } .

Sinopse da demonstrao:

Parte I.: satisfeita a primeira condio da Definio de

Representabilidade.

Parte II.: satisfeita a segunda condio da Definio de

Representabilidade.

Como h duas equaes a considerar na definio de

f (x1, ..., xn, y) = z

a plano da demonstrao o seguinte:


( )

Parte I. Parte II.

Univocidade

1 Equao 2 Equao

Induo

Clculo de f Argumento Argumentos

por Estdios para n para os Base da

Predecessores Induo

de n

Passo Indutivo

Hip. Indutiva Anlise e Concluso

e Notao Redenominao n 2

x+ = c

de


Dem.: (Parte I. 1.: Representabilidade da Frmula ())

1. f (k1, ..., kn, n) = m Hiptese

2. n = 0 Hiptese

3. g (k1, ..., kn) = m 1, 2, Def. g

4. (b) (c) (b, c, 0) = m Prop. 2 5. B (b, c , 0, m ) 4, Prop. 4

6. (1

k , ..., n

k , m ) 3

7. B (b, c , 0, m ) (1

k , ..., n

k , m ) 5, 6, C. Prop.

8. (w) { B ( b, c , 0, w) (1

k , ..., n

k , w) } 7, -Int.

9. (u) (v) { (w) B (u , v , 0, w) (1

k , ..., n

k , w) } 8, -Int.

10. (1

k , ..., n

k , 0, m ) 9, Def.

Dem.: (Parte I. 2.: Representabilidade da Frmula ())

Enquanto que na demonstrao anterior considermos n = 0,

agora viramo-nos para o caso em que n > 0.

Crucial no argumento a identificao dos estdios do clculo da

funo

f (x1, ..., xn, n) ,

por meio dos quais determinado o valor genrico de n.

Dem.: (Parte I. 2.1: Clculo de f por Estdios)

1. Se n > 0

ento a funo


f (k1, ..., kn, n)

calculada por meio das equaes () em n + 1 estdios.

2. No estdio i o resultado do clculo

f (k1, ..., kn, i) = ai .

3. Formar a sucesso dos nmeros

0a ,

1a ,...,

na .

4. Ento existem os nmeros b e c tais que

(b) (c) (b, c, i) = ai em que o estdio i se encontra

0 i n .

5. Logo o resultado do clculo no estdio i representvel em Z

pela frmula

B (b , c , i , i

a ) .

6. Em particular para o primeiro estdio tem-se

(b, c, 0) = 0

a .

7. Assim,

f (k1, ..., kn, 0) = g (k1, ..., kn) .

8. Este resultado representvel em Z pela frmula

B (b, c , 0, ao) (

1k , ...,

nk , a

o).

9. E assim, por -Introduo,

(*) (w) { B (b , c , 0, w) (1

k , ..., n

k , w) }.

Dem.: (Parte I. 2.2.: Argumento para n )

1. f (k1, ..., kn, n) = m .


2. Ento, pelo passo 2. (parte I. 2.1.) aplicado a n, tem-se que

f (k1, ..., kn, n) = an .

3. Assim,

(b) (c) (b, c, n) = m . 4. Esta frmula representvel em Z por

(**) B (b , c , n , m ) .

5. Em geral tem-se para um estdio i

0 i n 1

que

(b, c, i) = ai . 6. E pelo passo 2. (parte I. 2.1.)

f (k1, ..., kn, i) .

7. Ora

(b, c, i + 1) = i 1

a+ .

8. Logo

f (k1, ..., kn, i + 1) = i 1a

+ .

9. Assim,

f (k1, ..., kn, i + 1) = h [ k1, ..., kn, i, f (k1, ..., kn, i) ] =

= h (k1, ..., kn, i, ai) .

10. Este resultado representvel em Z pela frmula

B (b, c , i , i

a ) B ( b, c , N (i) , i+1

a )

(1

k , ..., n

k , i , i

a , i+1

a ) .

11. Por -Introduo

(y) (z) { [ B (b , c , i , y) B (b , c , N (i) , z) ]


(1

k , ..., n

k , i , y, z) }.

Dem.: (Parte I. 2.3.: Argumento para os Predecessores de n )

1. Como j foi estabelecido no captulo II,

[ (0) (1) ... (k - 1 ) ]

(x) [ (x < k ) (x) ] .

2. Assim, tem-se

(***) (w) { (w < n ) (y) (z) [ B (b , c , w, y)

B ( b, c , N (w), z) (1

k , ..., n

k , w, y, z) ] } .

3. Formar a conjuno

(*) (**) (***) .

4. Aplicar -Introduo duas vezes.

5. (1

k , ..., k , n , m ) .

Dem.: (Parte II.: Univocidade)

Nesta parte demonstraremos

(1

n+2x ) (

1k , ...,

nk , n ,

n+2x ) .

A demonstrao feita por induo em n na metalinguagem.

Dem.: (Parte II. 1.: Base da Induo (n = 0) )

1. f (k1, ..., kn, n) = m

2. n = 0

3. f (x1, ..., xn, 0) = g (x1, ..., xn)

4. g (x1, ..., xn) = m


5. n 2

x+ = m

6. (1

n+2x ) (k1, ..., kn, 0, n+2x )

Dem.: (Parte II. 2.1.: Hiptese Indutiva e Notao )

1. Supor

(1

n+2x ) (

1k , ...,

nk , n ,

n+2x ).

2. O resultado do clculo das funes g e f ser representado

por

a = g (k1, ..., kn)

b = f (k1, ..., kn, n)

c = f (k1, ..., kn, n + 1) .

3. Ento o nmero c pode ser representado pela equao

c = h [ k1, ..., kn, n, f (k1, ..., kn, n) ] .

4. Logo, pelo passo 2.,

c = h (k1, ..., kn, n, b) .

5. Logo, este valor representvel por

(1

k , ..., n

k , n , b , c ) .

6. O valor de g, por sua vez, representado por

(1

k , ..., n

k , a ) .

7. Ento para a frmula tem-se no ponto n

(1

k , ..., n

k , n , b ) .

8. Finalmente para o sucessor de n

(1

k , ..., n

k , n +1 , c ) .


Dem.: (Parte II. 2.2.: Anlise e Redenominao de )

1. Suponhamos que se designa por n 2

x+ o resultado no estdio

n + 2 a ser representado pela frmula

(1

k , ..., n

k , n +1 , xn 2+

) .

2. Temos assim que demonstrar que n 2

x+ representado pelo

numeral c e assim,

n 2x

+ = c .

3. Mas pela Hiptese 1. j se pode concluir

(w) [ B (b, c, 0, w) (1

k , ..., n

k , w) ] .

4. Em particular tem-se para n + 1

B (b, c, n +1, xn 2+

) .

5. Ento resulta ainda da Hiptese 1. que

(w) { (w < n +1) (y) (z) [ B (b, c, w, y)

B (b, c, N (w), z) (1

k , ..., n

k , w, y, z) ] } .

6. Logo, para os predecessores de n

(w) { (w < n) (y) (z) [ B (b, c, w, y)

B (b, c, N (w), z) (1

k , ..., n

k , w, y, z) ] } .

7. Ento o Passo 5., -Elim. e a -Elim. do-nos a frmula

B (b, c, n , d) B (b, c, n +1, e) (1

k , ..., n

k , n, d, e) .

Dem.: (Parte II. 2.3.: Concluso: n 2

x+ = c )

1. (1

k , ..., n

k , n , d) Parte II. 2.2 passos: 3, 6, 7


2. d = b 1, Parte II. 2.1. passo: 7

3. (1

k , ..., n

k , n , b , e) Parte II. 2.2 passo: 7

4. c = e Parte II. 2.1. passo: 5

5. B (b, c, n +1, c ) Parte II. 2.2. passo: 7

6. n 2

x+ = c Parte II. 2.2. passo: 4

Resta-nos demonstrar que o conjunto das funes representveis

em Z fechado a respeito da Regra do Operador . O argumento

que se a funo a representar

f (x1, ..., kn)

calculada em termos de uma funo representvel por meio do

Operador , ento tambm representvel. A funo representvel

a funo

g (x1, ..., xn, y)

e para o menor dos seus zeros usamos a notao da Seco 1 do

Captulo I

y [ g (x1, ..., xn, y) = 0 ].

Proposio 6. [ Fecho pela Regra do Operador ]

O conjunto RZ das funes representveis em Z

fechado a respeito da Regra do Operador .

Dem.:


A fim de satisfazer a definio de representabilidade, a

demonstrao decorre em duas partes. Mas antes de a realizar til

considerar o seguinte:

1. A nossa hiptese a da existncia dos zeros da funo g sob

a forma

(x1, ..., xn) (y) [ g (x1, ..., xn, y) = 0 ] .

2. A representao de g em Z supe-se ser realizada pela

frmula bem formada

(x1, ..., xn+2) .

3. Seja agora

f (x1, ..., xn) = y [ g (x1, ..., xn, y) = 0 ] .

4. Ento diremos que f representvel em Z pela frmula bem

formada

(x1, ..., xn+1)


{ (x1, ..., xn+1, 0) (y) [ (y < xn+1)

(x1, ..., xn, y, 0) ] } .

Dem.: (Parte I.: Representabilidade de (x1, ..., xn+1) )

1. f (k1, ..., kn) = m Hiptese

2. g (k1, ..., kn, m) = 0 Hip. 3, 1

3. (k < m) g (k1, ..., kn, k) 0 2, Def.


5. (k < m) (1

k , ..., n

k , k , 0) 3

6. (y) [ (y < m ) (1

k , ..., n

k , y, 0) ] 5, -Int.

7. (1

k , ..., n

k , m , 0) 4, 6, -Int.

(y) [ (y < m ) (1

k , ..., n

k , y, 0) ]

8. (x1, ..., xn+1) 7, Def.

Dem.: (Parte II.: Univocidade )

Nesta parte estabeleceremos

1( )

n 1x

+ (

1k , ...,

nk ,

n 1x

+) .

[ Reductio ]

1. (1

k , ..., n

k , 1

z , 0) Hip.

(y) [ (y < 1

z ) (1

k , ..., n

k , y, 0) ]

2. (1

k , ..., n

k , 2

z , 0) Hip.

(y) [ (y < 2

z ) (1

k , ..., n

k , y, 0) ]

3. (1

z = 2

z ) (1

z < 2

z ) (2

z < 1

z ) Cap. II

4. 2

z < 1

z Hip.

5. (2

z < 1

z ) (1

k , ..., n

k , 2

z , 0) 1, -Elim.

6. (1

k , ..., n

k , 2

z , 0) 4, 5, MP

7. (1

k , ..., n

k , 2

z , 0) 2, -Elim.

8. 1

z < 2

z Hip.


9. ( 1

z < 2

z ) (1

k , ..., n

k , 1

z , 0) 2, -Elim.

10. (1

k , ..., n

k , 1

z , 0) 8, 9, MP

11. (1

k , ..., n

k , 1

z , 0) 1, -Elim.

12. 1

z = 2

z 3, 11, RAA

Uma consequncia associada s Proposies 5 e 6 a da

expressibilidade de qualquer relao ou predicado recursivo na

Linguagem Z. Esse o contedo da nossa ltima demonstrao.

Proposio 7. [ Expressibilidade em Z ]

Qualquer relao recursiva

R (x1, ..., xn)

exprimvel em Z.

Dem.:

1. Seja

R (x1, ..., xn)

um predicado ou uma relao recursiva.

2. Ento a sua funo caracterstica 1, Def. 4 (Cap. I, Sec. 4)

KR

uma funo recursiva.

3. Ento a funo KR representvel em Z. 2, Prop. 4

4. Logo Cap. III (R exprimvel

R (x1, ..., xn) KR representvel )


exprimvel em Z.


SUMRIO

DO CAPTULO III

As relaes e funes aritmticas tm o domnio e o contra-

domnio nos nmeros naturais.

As relaes aritmticas so (numeralmente) exprimveis em Z

atravs de frmulas bem formadas demonstrveis em Z. As funes

aritmticas so (numeralmente) representveis e -representveis

em Z por meio de frmulas que denotam o valor e a univocidade do

valor da funo. As funes iniciais Zero, Sucessor e Identidade so

assim representveis. Uma funo obtida de funes -

representveis atravs da regra da substituio -representvel. A

funo Caracterstica de uma Relao R tem o valor 0 se R

verdadeira e 1 se falsa. A expresso de uma relao em R

equivalente -representao da funo Caracterstica de R. Para a

representao de qualquer funo recursiva em Z necessrio usar

conceitos e notao da teoria da congruncia de Gauss. Nos axiomas

para o Anel Comutativo < n , +, > a Identidade Aditiva mod n

[ ]0n e o inverso de [ ]a

n [ ]a

n. A Identidade Multiplicativa mod n

[ ]1n. demonstrada a existncia de um Inverso Multiplicativo

num modulo e que existe uma soluo comum para congruncias

simultneas em mdulos que so entre si primos relativos.

A sucesso de Gdel constituda por termos com a forma geral

(k + 1) l + 1 e a funo calcula o resto da diviso de um nmero m


por um termo da sucesso. Esta funo recursiva, -representvel

e permite a representao de sucesses de nmeros naturais. Com

esta representao demonstra-se a representabilidade de qualquer

funo recursiva e, em particular, que recurso implica expresso

em Z.

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