MestradoemEngenhariaMecânica Mecânicanãolinearstpinho/teaching/feup/y0506/...Viscoelasticidade...

11

Silvestre T Pinho

Mestrado em Engenharia MecânicaMecânica não linear

Dra. Lúcia Dinis

Viscoelasticidade

08 de Novembro de 2005

Conclusões

08 de 08 de NovembroNovembro de 2005de 2005 22

Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Objectivos

• Entender o que é viscosidade e visco-elasticidade

• Conceitos de fluência e relaxação de tensões

• Conhecer os elementos viscoelásticos básicos (Maxwell e Kelvin-Voigt)

• Reconhecer elementos básicos em modelos mais complexos

• Modelos viscoelásticos para grandes deformações (visco-hiperelasticidade)

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Sumário da aula

• Introdução

• Elementos e modelos viscoelásticos

•Elemento de Maxwell

•Elemento de Kelvin-Voigt

•Modelos mais complexos

• Modelos materiais visco-hiperelásticos

• Recapitulação e conclusões

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Alguns conceitos e modelos

ViscosidadeViscosidade

••A viscosidade A viscosidade éé uma quantidade uma quantidade que descreve a resistência que que descreve a resistência que um material oferece ao um material oferece ao escoaescoa--mento.mento. O material O material éé forforççado a ado a escoarescoar por uma forpor uma forçça a FF..

••Quando a forQuando a forçça a éé retirada, o retirada, o material para de material para de escoar.escoar.

••Este fenEste fenóómeno meno éé representado representado pelo elemento viscoso, de acordo pelo elemento viscoso, de acordo com a lei de Newton da com a lei de Newton da viscosidade:viscosidade:

FF

FF

σ η γ=.

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


ElasticidadeElasticidade

••Aos materiais que não Aos materiais que não escorrem, mas que mostram escorrem, mas que mostram propriedades tpropriedades tíípicas de spicas de sóólidos, lidos, éé usada uma mola para usada uma mola para representrepresentáá--loslos

••A mola A mola éé caracterizada pela lei caracterizada pela lei de de HookHook

••Quando a forQuando a forçça a FF éé retirada, a retirada, a mola retorna mola retorna àà configuraconfiguraçção ão inicialinicial

FF

FF

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


ViscoelasticidadeViscoelasticidade

••Um material Um material viscoelviscoeláásticostico apresenta apresenta simultaneamente caractersimultaneamente caracteríísticas viscosas e sticas viscosas e eleláásticassticas

••A A viscoelasticidadeviscoelasticidade depende da escala de depende da escala de tempo da experiência, quando comparada tempo da experiência, quando comparada com a escala de tempo do material (tempo com a escala de tempo do material (tempo de relaxade relaxaçção)ão)

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Materiais viscoelásticos

••Não sNão sóó os materiais usados em os materiais usados em engenharia (engenharia (egeg polpolíímeros) são meros) são viscoelviscoeláásticossticos

(Mow 1991)

FromFromBioE515Lecture2.pptBioE515Lecture2.ppt

Osso: material poroOsso: material poro--viscovisco--eleláástico stico

anisotranisotróópico gradativopico gradativo

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


ε

σ

1ε&12 εε && >

23 εε && >34 εε && >↑ε&••As tensões As tensões

dependem das dependem das deformadeformaçções e ões e das taxas de das taxas de defomadefomaççãoão

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Materiais viscoelásticos – relaxação de tensões

ε

Tempo

0ε

T

Input

>

≤≤=Tt

TtT

t

0

0 0

ε

εε

Output

Tempo

Tensão

T

30 εε =

20 εε =

10 εε =

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Materiais viscoelásticos – fluência

Tensão

Tempo

0σ

T

≤

≤≤=Tt

TtT

t

0

0 0

σ

σσ

Input

Tempo

ε

T

10 σσ =

30 σσ =

20 σσ =

Output

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Diferentes elementos

ElasticidadeElasticidade

Em elasticidade, a Em elasticidade, a mola mola éé a unidade a unidade principal, e assumeprincipal, e assume--se se que responde que responde instantaneamente e instantaneamente e de forma reversde forma reversíível a vel a cargas e deformacargas e deformaçções ões aplicadasaplicadas

MolaMola

εσ E=

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

••A unidade viscosa fundamental A unidade viscosa fundamental ééo amortecedor, onde a tensão o amortecedor, onde a tensão ééassumida ser uma funassumida ser uma funçção da taxa ão da taxa de deformade deformaçção e não da ão e não da deformadeformaççãoão

••O amortecedor O amortecedor éé normalmente normalmente assumido ser linear, e a constante assumido ser linear, e a constante de proporcionalidade de proporcionalidade éé chamada chamada viscosidadeviscosidade

ViscosidadeViscosidade

AmortecedorAmortecedor

( )εσ &f=

εησ &=


DashpotDashpot

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Um ponto chave em modelar o comportamento viscoelástico de diferentes materiais está em escolher a forma adequada das componenteselástica e viscosa (eg linear) bem comocombinar os elementos no melhorsistema possível por forma a que o comportamento em função do tempo seja previsto adequadamente


Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elementos em sElementos em séérie:rie:

εεε

σσσ

=+

==

21

21

εσ ,

22 ,εσ11,εσ

1 2 0== εσ

1 2


Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elementos em paralelo:Elementos em paralelo:

1

2

1

2

11,εσ

22 ,εσ

εσ ,

εεε

σσσ

==

=+

21

21


Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elemento de Maxwell

1 2

22 εσ E=11 εησ &=

12

21

21 εηεεεε

σσσ&=⇒

=+

==E

•• O elemento de O elemento de MaxwellMaxwell éé o modelo o modelo bbáásico de um flusico de um fluíído do ((flufluíídodo, porque a , porque a resposta a longo prazo resposta a longo prazo correspondente a uma correspondente a uma tensão constante tensão constante aplicada aplicada éé idêntica idêntica àà de de um um flufluíídodo――ieie continua a continua a deformardeformar--se)se)

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Tempo

Def

orm

ação 0ε

( )tH0εε =

Estado inicial:

Respostainstantânea:

Estado final:

Elemento de Maxwell - relaxação de tensões

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

1 2

22 εσ E=11 εησ &=

12

21

21 εηεεεε

σσσ&=⇒

=+

==E ( )tHEE 011 εεεη =+&

Tempo

0ε( )tH0εε =


Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


( )tHEE 011 εεεη =+&Tempo

0ε( )tH0εε =

( ) ηεσ EteEt

−= 0

Deformação viscosa:

Tensões:

( ) ( )ηεε Etet

−−= 101

Tempo

Ten

são

0εE

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elemento de Maxwell – fluência

Tempo

Ten

são

Estado inicial

Respostainstantânea

Estado final

0σ( )tH0σσ =

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Tempo

Ten

são 0σ

( )tH0σσ =

( )( ) 20

10

εσ

εησ

EtH

tH

=

= &

1 2

22 εσ E=11 εησ &=

12

21

21 εηεεεε

σσσ&=⇒

=+

==E

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Tempo

0σ( )tH0σσ =

( ) ( )η

σσε

ttH

Et 00 +=

Def. elástica:

( ) ( )tHE

t 02

σε =

Def. viscosa:

Def. total:

( )η

σε

tt 0

1 =

Tempo

E

0σ

def

orm

ação

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elemento de Kelvin-Voigt

•• O elemento de O elemento de KelvinKelvin--VoigtVoigt éé o modelo o modelo bbáásico de um ssico de um sóólido lido ((ssóólidolido, porque a , porque a resposta a longo prazo resposta a longo prazo correspondente a uma correspondente a uma tensão constante tensão constante aplicada aplicada éé idêntica idêntica àà de de um um ssóólidolido――ieie deixa de deixa de deformardeformar--se)se)

σεεηεεε

σσσ=+⇒

==

=+E&

21

21

2

22 εσ E=

11 εησ &=

1

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elemento de Kelvin-Voigt – relaxação de tensões

Tempo

Def

orm

ação

Estado inicial:


Estado final:

0ε( )tH0εε =

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elemento de Kelvin-Voigt – relaxação de tensões

Tempo

Def

orm

ação

0ε( )tH0εε =

σεεηεεε

σσσ=+⇒

==

=+E&

21

21

2

22 εσ E=

11 εησ &=

1

( ) ( ) σεδηε =+ tHEt 00

0εE

Ten

são

Tempo

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Elemento de Kelvin-Voigt – fluência

Tempo

Ten

são 0σ

( )tH0σσ =

Estado inicial:


Estado final:

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Tempo

Ten

são 0σ

( )tH0σσ =

σεεηεεε

σσσ=+⇒

==

=+E&

21

21

2

22 εσ E=

11 εησ &=

1

( )tHE 0σεεη =+&

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Tempo

0σ( )tH0σσ =( )tHE 0σεεη =+&

( ) ( )ησε Et

eE

t−−= 10

Soluçãohomogénea: ( ) ηε Et

cet−=

Solução particular:( )

Et 0σ

ε =

Solução total com c.i.

( )( ):00 ==tεTempo

Def.

E

0σ

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Modelos mais complexos

•• NemNem o o modelomodelo de Maxwell de Maxwell nemnem o o modelomodelo de Kelvinde Kelvin--Voigt Voigt produzproduzumauma respostaresposta viscoelviscoeláásticastica quequecapture capture qualitativamentequalitativamente o o comportamentocomportamento de de muitosmuitosmateriaismateriais reaisreais; ;

•• PortantoPortanto, , modelosmodelos maismaiscomplexoscomplexos devemdevem ser ser usadosusados

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Modelos mais complexos: 3 elementos

MaxwellMaxwell em paralelo com uma molaem paralelo com uma mola

εεεηεεε

εεηεεσ1111

21

21221EE

EEE=+⇒

+=

+=+=&

&

1ε 2ε

η

2E

1E

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Modelos mais complexos: 3 elementos

1ε 2ε

η

1E2E

KelvinKelvin--VoigtVoigt em sem séérie com uma rie com uma mola (mola (three three

parameter solidparameter solid))

( ) εεηεεεε

εεηεσ21121

21

22111EEE

EE=++⇒

+=

=+=&

&

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Kelvin-Voigt em série com uma mola –relaxação de tensões

Tempo

ε0ε

( )tH0εε =

η

1E2E

Estado inicial:


Estado final:

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Tempo

ε0ε

( )tH0εε =1ε 2ε

η

1E2E

( ) εεηεεεε

εεηεσ21121

21

22111EEE

EE=++⇒

+=

=+=&

&

( ) ( )tHEEEE 0221121 εεεηε ==++ &

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Tempo

ε0ε

( )tH0εε =( ) ( )tHEEEE 0221121 εεεηε ==++ &

Elemento elástico

( ) ( ) ( )[ ]ηεεε tEE

eEE

EtHt 211

21

0202

+−−+

−=

Tensão total

( ) ( ) ( )[ ]ηεεεσ tEE

eEE

EEtEt 211

21

0

2

20222

+−−+

−==

Tempo

Tensão

02εE21

021

EE

EE

+

ε

( ) ( )[ ]ηεε tEE

eEE

Et 211

21

021

+−−+

=

Elemento de Kelvin

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Kelvin-Voigt em série com uma mola –fluência

Tempo

Ten

são

0σ( )tH0σσ =

η

1E2E

Estado inicial:


Estado final:

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


( ) εεηεεεε

εεηεσ21121

21

22111EEE

EE=++⇒

+=

=+=&

&

( )21

221110

εεε

εεηεσσ

+=

=+== EEtH &

1ε 2ε

η

2E

Tempo

Ten

são

0σ( )tH0σσ =

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Elemento de Kelvin

( ) ( ) ( )ησεεηεσ tE

eE

tEtH 111

011110

−−=⇒+= &

Elemento elástico

( ) ( ) ( )2

02220

E

tHtEtH

σεεσ =⇒=

( )21

221110

εεε

εεηεσσ

+=

=+== EEtH &

Defomação total

( )

+

−=

−

21

0

11 1

EE

et

tE η

σε

Tempo

ε

2

0

E

σ

+

21

0

11

EEσ

Tempo

Ten

são

0σ( )tH0σσ =

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Kelvin-Voigt em série com uma mola –funções de relaxação e de fluência

A A funfunççãoão de de relaxarelaxaççãoão de de tensõestensões

e a e a funfunççãoão de de fluênciafluência sãosãodeterminadasdeterminadas tomandotomando um valor um valor unitunitááriorio dada varivariáávelvel de de entradaentrada(input), (input), sejaseja estaesta tensãotensão ououdeformadeformaççãoão

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


( ) ( )[ ]21

0

2

202 1 21e

EE

EEt

tEE ⇒−+

−= +−εεσ η

FunFunçção de relaxaão de relaxaççãoão

( )211

21

21

21 ,EEE

eEE

EE

EEtG

t

+=

++

=− η

ττ

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


( )21

0

11 1

EE

et

tE

σεη

⇒

+

−=

−

FunFunçção de fluênciaão de fluência

( )112

,11

EE

e

EtJ

t ητ

τ

=−

+=−

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Comparação - Fluência

Tempo

Ten

são

0σ( )tH0σσ =

Input

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Comparação - Fluência

TempoKelvinKelvin--VoigtVoigt

ε

E

0σ

KelvinKelvin--VoigtVoigt em em sséérie com uma rie com uma mola mola Tempo

ε

2

0

E

σ

MaxwellMaxwell

Tempo

E

0σ ε

Output

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Comparação – Relaxação de tensões

Tempo

ε0ε

( )tH0εε =

Input

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Comparação – Relaxação de tensões

MaxwellMaxwell

Tempo

Tensão0εE

KelvinKelvin--VoigtVoigt 0εE

Tensão

Tempo

KelvinKelvin--VoigtVoigt em em sséérie com uma rie com uma mola mola Tempo

Tensão

02εE

Output

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Modelos visco-hiperelásticos

Modelos constitutivos com variModelos constitutivos com variááveis internasveis internas

• Muitos materiais usados em engenharia são inelásticos

• Os modelos hiperelásticos estudados na última aula não são adequados para estudar esses materiais, em que pode haver dissipação

• No restante desta aula, vamos estudar materiais inelásticos com base no conceito de variáveis internas

• Aplicações: Modelação de dano e materiais viscoelásticos

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Conceito de variConceito de variááveis internasveis internas

• O estado termodinâmico corrente (com T=cte) de um

material (hiper)elástico pode ser determinado com base apenas no gradiente de deformação F

• O gradiente de deformação pode ser medido e por • O gradiente de deformação F pode ser medido e por isso é chamado variável externa

•isso é chamado variável externa

• O estado termodinâmico corrente de materiais que involvam dissipação pode ser determinado a partir de um número de variáveis internas

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



• Essas variáveis descrevem aspectos da estrutura interna de materiais, associados com efeitos irreversíveis (dissipação)

•• As tensões e deformações dependem das variáveis internas internas

• Portanto, o conceito de variável interna postula que o estado termodinâmico corrente num ponto de um material dissipativo é definido pelo gradiente de deformação F (variável externa; e também eventualmente a temperatura) e variáveis internas ξ

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



• Ou seja, o estado termodinâmico pode ser entendido como um estado fictício de equilíbrio termodinâmico

•como um estado fictício de equilíbrio termodinâmico

• O estado termodinâmico corrente é descrito pelos valores actuais (e não pela história) do gradiante de deformação (e temperatura), bem como de um determinado número de variáveis internas

• A natureza das variáveis internas pode ser física • A natureza das variáveis internas pode ser física (mecânica, térmica, química ou eléctrica), descrevendo processos microscópicos sob um ponto de vista macroscópico

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


EquaEquaçções constitutivasões constitutivas

• Energia livre de Helmholtz para caso isotérmico (energia de deformação): ( )mξξF ,...,, 1Ψ=Ψ

• Desigualdade de Clausius-Plank (Clausius-Duhem): ( ) 0,...,, 1intint ≥Ψ−= mwD ξξF&

( ) ∑= ∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

=Ψm

m

1

1 ::,...,,α

αα

ξξ

FF

ξξF &&&

( )( )( ) ( )

:,...,,

:,...,,

,...,,

1

11

1intint

∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂−=

=Ψ−=

∑=

mmm

mwD

αα

α

ξξ

ξξFF

F

ξξFP

ξξF

&&

&

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



• Equações constitutivas ( )

F

ξξFP

∂

Ψ∂= m,...,, 1

•F∂

• Dissipação:

0:1

int ≥Ξ=∑=

m

Dα

αα ξ&

• Equações constitutivas internas • Equações constitutivas internas ( )

αα

ξ

ξξF

∂

Ψ∂−=Ξ m,...,, 1

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



Equações de evolução e equilíbrio termodinâmico •

Equações de evolução e equilíbrio termodinâmico • É necessário complementar as equações

constitutivas + equações constitutivas internas com uma relação cinemática que descreva como as variáveis αξ variam no tempo―equações de evolução:

( )( )mAt ξξFξ ,...,,)( 1αα =&

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



• Postulado:

( ) ∑=

∞∞ ΓΥ+Ψ+Ψ=ΓΓΨm

m J1

isovol1 ),()()(,...,,α

αα CCC

com com

0),(,0)(,0)1(1

isovol =Υ=Ψ=Ψ ∑=

∞∞m

αα ΙII

)();( isovol C∞∞ ΨΨ J � Resposta volumétrica e

isocórica quando ∞→t

∑=

ΓΥm

1

),(α

αα C � Potencial dissipativo =1α

αΥ � Energia livre configuracional

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Materiais viscoelásticos• Cada variável interna αΓ caracteriza o

comportamento viscoso do material • Γ• αΓ � medida de deformações inelásticas

• Γ• αΓ � C • Para um material hiperelástico (em regime

isotérmico), o estado de equilíbrio termodinâmico é definido por C .

• Para um material viscoelástico (em regime

isotérmico), o estado (fictício) de equilíbrio termodinâmico é definido por ( )mΓΓΓ ,...,,, 21C

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



Tensões Segundas tensões de Piola-Kirchoff

( )C

CS

∂ΓΓΨ∂

= m,...,,2 1

Dissipação

02

1:

),(2

1

int ≥ΓΓ∂

ΓΥ∂−= ∑

=α

α α

αα &m

DC

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



Decomposição das segundas tensões de Piola-Kirchoff:

( )=

∂

ΓΓΨ∂= m1,...,,

2C

CS

∑=

∞∞

=∂

ΓΥ+Ψ+Ψ∂

m

J1

isovol ),()()(

2α

αα

C

CC

∑

=

∞∞

∂

ΓΥ∂+

∞∂

Ψ∂+

∞∂

Ψ∂=

mJ

1

iso

iso

vol

vol ),(2)(2

)(2

α

α

αα

44344214342143421Q

C

C

S

C

C

S

C

• αQ � tensões de desiquilíbrio

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade



• É possível mostrar que as tensões de desiquilíbrio

αQ são conjugadas energéticas de αΓ , e que as equações constitutivas internas se podem escrever:

α

ααα Γ∂

ΓΥ∂−=

),(2

CQ

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Exemplo

ε

1q

0>∞E

01 >E

0>mE0>mη

01 >η

mq

1γ

mγ0>=

α

αα

ητ

E

σ

qm

1

=

+==

∞ ∑

εσ

σσα

α

E

==

= ∞∞

αγη

εσ

mq ,...,1, == αγη ααα &

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Exemplo

αααα

α γηεσσσ &==+= ∞∞=

∞ ∑ qEqm

,,1

( )ααα γε −= EqTemos também

Derivando a expressão anterior: ( )ααα γε &&& −= Eq

O que leva a:•

=+ ετ α

α

αα E

qq&

E a dissipação é: ( ) 02

11

int ≥== ∑∑==

αα

ααα

α γηγ &&mm

qD

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Exemplo

( ) ( ) ( )∑=

∞ +=m

m

1

1 ,,...,,α

αα γευεψγγεψ

A energia de deformação pode ser definida como:

Com: ( ) ( ) ( )22

2

1,e

2

1ααα γεγευεεψ −== ∞∞ EE

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Exemplo

( ) ( ) ( )

( )

σ

σ

γεεε

γευε

εψε

γγεψ

α

αα

αα

=

+=

=−+=

=∂

−∂+=

∂

∂

∞

∞

∞

q

EE

m

d

d,...,, 1

( ) ( ) ( )22

2

1,e

2

1ααα γεγευεεψ −== ∞∞ EE

A derivada de ψ em ordem à deformação ε permite obter a tensão σ:

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade


Exemplo

Derivando ψ relativamente às variáveis internas γα, obtem-se:

( ) ( ) αααα

αα γεγ

γευqE =−=

∂

∂−

,

E a dissipação pode ser expressa como:

αα α

α γγυ

&∑= ∂

∂−=

m

D1

int

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Recapitulação

• Vimos o que é viscosidade e visco-elasticidade

• Conceitos de fluência e relaxação de tensões

• Vimos quais os elementos viscoelásticosbásicos (Maxwell e Kelvin-Voigt)

• Vimos modelos complexos como combinação de elementos básicos

• Modelos viscoelásticos para grandes deformações (visco-hiperelasticidade)

Conclusões


Introdução

Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Conclusões

• Vários materiais reais têm comportamento viscoelástico

• De um modo geral, o modelo mais adequado para cada material―o qual pode ser bastante complexo―pode ser obtido por combinação de elementos simples

• Para grandes deformações, é adequado usar uma formulação baseada em hiperelasticidade

Conclusões


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Elementos

Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

Referências

• G A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics, A continuumapproach for enginneers. John Wiley & Sons Ldt, England, 2000.

• L E Malvern. Introduction to the Mechanics of a ContinuousMedium. Prentice-Hall, Inc, USA, 1969.

• I Doghri. Mechanics of Deformable Solids, Linear and nonlinear, analytical and computational aspects. Springer-Verlag, Germany, 2000.

• V A Lubarda. Elastoplasticity theory. CRC Press LLC, 2002

• G T Mase, G E Mase. Continuum Mechanics for Engineers, Second Edition, CRC Press LLC, 1999

• J Bischoff, Viscoelasticity―Constitutive response of tissue at large strain rates. Esci 274 Mechanics of Biomaterials, The University of Auckland, 2002

Conclusões


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Maxwell

Kelvin-Voigt

+ Complexos

Hiper-elasticidade

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