ESTATÍSTICA I

Prof.: Viviane Carla Fortulan

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Vamos conhecer um pouco mais de Estatística

Leia o texto abaixo e veja como o ensino de estatística vem crescendo em todos os aspectos.

PROJETO ENSINARCONVERSA DE PROFESSORES: MÚLTIPLAS FACES, EXPERIÊNCIAS PLURAIS

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO / VICE-REITORIA ACADÊMICA_____________________________________________________________________

Um ensino significativo de Estatística

 

RICARDO ROBERTO PLAZA TEIXEIRA

Doutor em Ciências

Professor do Departamento de Métodos e Técnicas/Faculdade de Psicologia da PUCSP

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 Durante julho de 2003, aconteceu no Rio de Janeiro o XI Seminário IASI (Inter American Statistical Institute) de Estatística Aplicada. O seu tema foi “Estatística na Educação e Educação em Estatística”. Estiveram presentes pesquisadores de diversos países e a discussão central girou em torno de como desenvolver o Raciocínio Estatístico e a Alfabetização Matemática, já que o dia-a-dia do nosso mundo está “transbordante” de dados estatísticos que muitas vezes são analisados erroneamente, levando a decisões equivocadas, devido justamente à falta de um raciocínio estatístico mais elaborado! A questão naturalmente é: como desenvolver em nossos alunos esse raciocínio estatístico, como alfabetizá-los na matemática? A matemática é - ou foi, na infância e na adolescência - algo de traumatizante na vida de uma grande parcela da população em nosso país. A sua desvinculação da realidade, a abstração pela abstração e a focalização no mais rígido formalismo, tudo isso transformou a matemática na mais odiada das disciplinas escolares! É claro que, por trás disso, há um círculo que se auto-alimenta: as crianças têm uma educação matemática descontextualizada, sofrem com isto, crescem aprendendo a evitar a matemática, não vendo finalidade alguma na sua aprendizagem e, muitos daqueles que mais a evitam, resolvem fazer um curso de graduação em Pedagogia, usando o argumento de que, nesse curso, não precisariam estudar matemática! Mas esse curso poderia ser um bom espaço para essas pessoas superarem os seus percalços se houvesse uma preocupação grande com a educação matemática. Infelizmente, espaços para isso acontecer são cada vez mais raros: diversos cursos de graduação em Pedagogia, pelo país afora, estão retirando de seu currículo, por exemplo, a Estatística, uma disciplina que poderia ajudar a viabilizar a tarefa de permitir que esses universitários superem os seus problemas com a Matemática. E a Estatística cai como uma luva para esse objetivo, já que, por ser a mais “impura” das Matemáticas, é, de certa maneira, aquela com maior potencial de contextualização do “impuro” mas real mundo em que vivemos! Essa expulsão da Estatística de muitos cursos de Pedagogia não aconteceu por acaso. Em muitos casos pelo país afora, professores universitários que ministravam essa disciplina para cursos superiores das Humanidades faziam um verdadeiro “estrago”, uma política de terra arrasada, ensinando uma Estatística “dura”, formal e sem vínculos com o cotidiano. Após reprovações em massa, conflitos repetidos, ressentimentos acumulados, muitos diretores e coordenadores de graduação devem ter resolvido tirar o “sofá” da sala, fazendo sumir a “Estatística” do currículo de seus cursos. O outro lado dessa moeda é o penúltimo lugar que o Brasil obteve no levantamento das habilidades em matemática do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Estudantes), um “exame” realizado com adolescentes de 15 anos, em 41 países do globo. Portanto, é importante resgatar a Estatística em muitos cursos das chamadas Humanidades e, particularmente, no curso de Pedagogia, mas sem “terrorismos”, pois o excesso de dose no remédio, por melhor que seja a intenção, pode matar o paciente.

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 O problema aqui também se relaciona às Licenciaturas em Matemática que, em muitas das Universidades do país, são desprivilegiadas com relação ao bacharelado, como de resto acontece também com outras Licenciaturas. O “locus” da Licenciatura perde-se e, em muitos casos, os seus professores ministram cursos desvinculados totalmente do futuro profissional como educador daquele aluno de licenciatura. Conclusão: formação em massa de professores de matemática para a educação básica que agirão como seus professores universitários agiram com eles.  Portanto, o problema da educação matemática permeia toda a nossa educação “de ponta a ponta” e só será resolvido com uma verdadeira mudança de cultura sobre o que seja ensinar matemática na educação fundamental, no ensino médio e na educação superior, mudança que não se faz da noite para o dia, mas que necessita, como toda caminhada, dos seus primeiros passos.  Um dos grandes argumentos contrários aos pontos de vista aqui expostos é o de que todas essas outras ênfases, contextualizações e preocupações baixariam o nível dos conteúdos de matemática trabalhados com os alunos, diminuindo os padrões de nossa educação. Isso como se esses já não fossem catastróficos! É claro que ninguém está aqui propondo a diminuição desses “standards” mas, de forma concreta, será que não é pela falta de contextualização, que os alunos deixam de aprender e aprendem a odiar a matemática e tudo a ela relacionado, inclusive a estatística? O rigor a todo custo; o conteúdo “maximizado”, goela abaixo do aluno, de acordo com a máxima “quanto mais melhor”; a abstração sem retorno à realidade; tudo isto não estaria por trás dos nossos baixos índices de alfabetização matemática? Há níveis de rigor e há níveis de abstração que devem ser dosados conforme o público. Ou será que, para muitos professores, a matemática está acima do seu público? Essa desumanização dos alunos é também uma desumanização da própria matemática, já que ela acaba de nada tendo serventia para a maioria da população! O problema é: como mudar? Os próprios Parâmetros Curriculares Nacionais da Educação Básica apontam para a importância da Estatística, ressaltando inclusive que ela deve estar diluída em toda a formação básica de nossos jovens, desde as primeiras séries do Ensino Fundamental até o fim do Ensino Médio e, porque não, até a formação universitária dos que trilharem esse caminho. Isso com razão, pois é por meio de dados estatísticos que, muitas vezes, nós temos acesso a números e a quantificações em geral. Ensinar a interpretá-los corretamente é uma tarefa importante na educação de todo cidadão.  Como contextualizar, então? Em primeiro lugar, usando criticamente a mídia: jornais, revistas, internet, TV, todos estão cheios de tabelas, gráficos e dados interessantes, motivadores e que permitirão, com solidez, enfoques didáticos que privilegiem o desenvolvimento e o conhecimento das técnicas estatísticas para tratamento de dados em geral. Em segundo lugar, utilizando os instrumentos tecnológicos disponíveis: “calculadoras de dez reais” que têm funções estatísticas básicas, programas acessíveis de computadores como a “Calculadora” da Microsoft e o Excel, ou mesmo programas mais sofisticados, quando possível, como o SPSS - que usamos com bons resultados na disciplina de Estatística para o curso de Psicologia da PUC-SP. Finalmente, valendo-se da História da Matemática e da própria Estatística, já que, sem conhecer a sua história, o conhecimento de nenhuma disciplina é realmente pleno e se perde todo o sabor da descoberta sobre o como as idéias científicas surgiram. Facilitar a aprendizagem da matemática pelo aluno jamais pode ser considerado equivalente a “facilitar na matéria para aprovar em massa os alunos”. Conseguir que um aluno aprenda a raciocinar matemática e estatisticamente deveria ser, sim, o nosso objetivo supremo, mesmo que não consigamos cumprir 100% do conteúdo planejado. Planejamento é planejamento; execução é outra coisa e exige flexibilidade!

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ESTATÍSTICA

1 - INTRODUÇÃO:

1.1 Definições :

Definição 1: A Estatística trata dos métodos científicos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação (conclusão) dos dados experimentais visando a tomada de decisões.

“Estatística”, palavra de origem latina, significou por muito tempo “ciência dos negócios do Estado”.

A Estatística pode ser dividida basicamente em 3 etapas:

- 1ª etapa : Coleta de dados a partir de uma amostra escolhida da população. Para esta primeira etapa estudaremos as técnicas de Amostragem.

- 2ª etapa : Análise descritiva (ou Estatística Dedutiva), que envolve a parte de resumo e interpretação dos dados por meio de tabelas, gráficos e medidas descritivas (quantidades).

- 3ª etapa : Escolha de um possível modelo explicativo para o comportamento do objeto em estudo, afim de se fazer, numa etapa posterior, a análise confirmatória dos dados, conhecida como inferência (ou Estatística Indutiva). Para esta última etapa, faz-se necessário a linguagem das probabilidades, para o esclarecimento de conclusões.

Definição 2: Estatística Dedutiva trata da organização, sumário e apresentação gráfica dos dados.

Definição 3: Estatística Indutiva consiste de métodos para tirar conclusões sobre uma população baseados em informações obtidas a partir de uma amostra da população.

1.2 População e Amostra

Ao se coletar dados sobre as características de um conjunto de elementos, como por exemplo, os brinquedos produzidos por uma indústria, os carros que passam por um determinado farol ou as preferências da população sobre candidatos a uma determinada eleição, nem sempre é possível considerar todos os elementos, ou seja, toda a população ou universo. Considera-se, então, apenas uma pequena parte do todo, chamada amostra. No caso da eleição, a população é formada por todos os cidadãos com direito a voto e a amostra é formada pelos eleitores que serão entrevistados.

Para se coletar uma amostra é preciso usar técnicas eficientes denominadas Técnicas de Amostragem que veremos mais adiante.

Definição 4: População: População estatística é a coleção completa e total dos elementos (pessoas, medidas, itens, etc.) a serem considerados em um estudo estatístico.

Definição 5: Amostra: é um subconjunto de uma população de interesse.

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1.3 Variáveis :

A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim por exemplo:

- para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e feminino;

- para o fenômeno “nº de filhos” há um nº de resultados possíveis expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, ... , n;

- para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um nº infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.

Definição 6: Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

Tipos de variáveis: - variável qualitativa (ou categórica); - variável quantitativa (ou numérica).

Definição 7: Variável qualitativa é quando seus valores são expressos por atributos, por exemplo: sexo (masculino – feminino), cor da pele ( branca, preta, amarela, vermelha, parda, etc.), tipo de sangue (A, B, AB, O), etc.

Definição 8: Variável quantitativa é quando seus valores são expressos em números, por exemplo: salários dos operários, idade dos alunos de uma escola, peso, altura, nº de filhos por família, etc.

Tipos de variável quantitativa: - Discreta; - Contínua.

- Variável quantitativa discreta: é uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável, ou seja, só assume valores inteiros.

- Variável quantitativa contínua: é uma variável que pode assumir qualquer valor dentro de dois limites, ou seja, pode assumir valores “quebrados” (decimais).

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA

1-) Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (discretas ou contínuas)a-) cor dos olhosb-) número de filhosc-) o ponto obtido em uma jogadad-) número de peças produzidas por horae-) diâmetro externo

2-) Sugira uma população a cada uma das variáveis citadas no exercício 1.

3-) Ligue as variáveis abaixo com sua possível população de interesse:

Variáveis Populaçãoa-) cor dos olhos 1-) aparelhos produzidos por uma linha de montagemb-) precipitação pluviométrica, (1 ano) 2-) seguimentos de retac-) número de ações negociadas 3-) casais residentes em uma cidaded-) salários 4-) funcionários de uma empresae-) tamanho 5-) estação meteorológica de uma cidadef-) sexo dos filhos 6-) alunos de uma escolag-) produção de algodão 7-) bolsa de valores de uma escolah-) comprimento 8-) pregos produzidos por uma máquinai-) número de volumes 9-) propriedades agrícolas do Brasilj-) número de defeitos por unidade 10-) bibliotecas da cidade de São Paulo

Em relação as variáveis, diga quais são qualitativas, quantitativas discretas e quantitativas contínuas.

4-) Defina com suas palavras:a-) Estatísticab-) Variável, variável quantitativa e variável qualitativac-) Populaçãod-) Amostra

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2 – DISTRIBUIÇÃO POR FREQÜÊNCIAS

Definição 9: Distribuição por freqüência é a tabela em que se resumem grandes quantidades de dados, determinando o nº de vezes que cada dado ocorre (freqüência) e a porcentagem com que aparece (freqüência relativa).

Tipos de freqüência:

- Freqüência absoluta ou simplesmente freqüência (F) : é o nº de vezes que cada dado aparece na pesquisa.

- Freqüência relativa ou percentual (Fr) : é o cociente da freqüência absoluta pelo número total de dados.

- Freqüência acumulada (Fa) : é a soma de cada freqüência com as que lhe são anteriores na distribuição.

Exemplo 1: Dada a tabela abaixo, defina qual é a variável em estudo e qual o tipo de variável. Depois, complete a tabela de distribuição de freqüências encontrando as freqüências relativa e acumulada.

Distribuição de renda no Brasil - 1971Faixa de renda Habitações

Até um salário mínimo 224.740De 1 a 3 salários mínimos 363.860De 4 a 8 salários mínimos 155.700

Mais de 8 salários mínimos 47.500Total 791.800

Fonte: Brasil em dados. Coutinho, M. T. e Cunha, S.E.Iniciação à Estatística. Belo Horizonte, 1979, p. 40

Solução:

2.1 Agrupamento em classes

Como vimos no exemplo 1, para representar a variável contínua “renda” foi necessário organizar os dados em classes. Portanto podemos dizer que a variável renda foi dividida em “4 classes de freqüências”.

O agrupamento em classes acarreta uma perda de informações, uma vez que não é possível a volta aos dados originais a partir da tabela. Assim, quando necessitarmos de

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informações mais detalhadas sobre os dados da tabela, devemos usar algumas medidas obtidas a partir das classes de freqüências. São elas:

- Limite inferior (Li) : é o menor valor que a variável pode assumir em uma classe de freqüências;

- Limite superior (Ls) : é o maior valor que a variável pode assumir em uma classe de freqüências;

- Ponto médio (Pm) : o ponto médio de uma classe de freqüências é a média

aritmética entre o Li e o Ls da mesma (classe), ou seja, ;

- Amplitude (h) : é a diferença entre o Ls e o Li da classe, ou seja: h = Ls – Li;- Amplitude Total (ht) : è a diferença entre o LS da última classe de freqüência com

o LI da primeira classe, ou seja: ht = LS – LI.

Exemplo: Considerando o exemplo 1, temos:

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA

1-) A partir das idades dos alunos de uma escola, fazer uma distribuição por freqüência, agrupando os dados em classes e depois tire as informações:

- ponto médio para cada classe;- amplitude para cada classe;- amplitude total.

Idades (dados brutos)8 8 7 6 9 9 7 8 10 10 12 15 13 1211 11 9 7 8 6 5 10 6 9 8 6 7 11 9

2-) Em uma escola tomou-se a medida da altura de cada um de quarenta estudantes, obtendo-se os seguintes dados (em centímetros):

160 152 155 154 161 162 162 161 150 160163 156 162 161 161 171 160 170 156 164155 151 158 166 169 170 158 160 168 164163 167 157 152 178 165 156 155 153 155

Fazer a distribuição de freqüência e usar 6 classes. (iniciando por 150cm e terminando em 180cm) e responder as questões abaixo:

a-) Quantos são os estudantes com estatura inferior a 160cm?b-) Que porcentagem de estudantes tem estatura igual ou superior a 175cm?

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c-) Quantos são os estudantes com estatura maior ou igual a 160cm e ao mesmo tempo menor que 175cm?d-) Qual a porcentagem de estudantes com estatura abaixo de 170cm?

3. MÉTODOS GRÁFICOS

Objetivo: Facilitar a compreensão do fenômeno estatístico por meio do efeito visual imediato que lhe é próprio.

3.1 Tipos de gráficos: Existem vários tipos de gráficos, os mais usados são:

- Gráficos de linha;

Diagramas de área:- Gráficos de coluna;- Gráficos de barras;- Gráficos de setores (ou gráfico de Pizza).

Representação gráfica para as distribuições de freqüências:- Polígono de freqüências;- Histograma e - Ogiva.

3.3.1 Gráficos de linha: Sempre que as categorias utilizadas representarem um intervalo de tempo, assim como sucede com os dados do exemplo 1 – Figura 1, os dados podem ser descritos também através de um gráfico de linha. Um gráfico de linha retrata as mudanças nas quantidades com respeito ao tempo através de uma série de segmentos de reta

3.3.2 Gráfico (ou Diagrama) de barras (ou colunas): O diagrama de barras representa por meio de uma série de barras, quantidades ou freqüências para diferentes categorias de dados. (Ver Exemplo 1 – Figura 2) A diferença entre um diagrama de barras e um histograma é que o histograma refere-se sempre aos dados de uma distribuição de freqüências, enquanto o diagrama de barras ilustra quantidades para qualquer tipo de categorias.OBS: O gráfico de barras, quando as barras estão dispostas no sentido vertical, também é chamado de gráfico de colunas.

3.3.3 Gráfico (ou Diagrama) de setores: O diagrama de setores, também conhecido como gráfico de Pizza, é uma gráfico particularmente apropriado para representar as divisões de um montante total. (Ver Exemplo 2 – Figura 3).

3.3.4 Histograma: Um Histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de freqüência com uma diferença: não há espaços entre as barras. Os intervalos de classe são colocados no eixo horizontal enquanto as freqüências são colocadas no eixo vertical. (Ver Exemplo 3 – Figura 4).

3.3.5 Polígonos de Freqüência: O polígono de freqüência é um gráfico de linha de uma distribuição de freqüência. Os eixos de um Polígono de freqüência são similares ao do Histograma, exceto que no eixo horizontal são colocados os pontos médios de cada intervalo de classe. (Ver Exemplo 3 – Figura 5)

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3.3.6 Ogiva: Um Ogiva é um gráfico de uma distribuição de freqüência acumulada. (Ver Exemplo 3 – Figura 6)

Exemplo 1: De acordo com os dados dos censos demográficos do FIBGE, temos os seguintes dados, em termos percentuais, sobre o analfabetismo no Brasil:

ANO 1872 1890 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990% 82,3 82,6 71,2 61,1 57,1 46,7 38,7 31,9 26,5

Construa: a-) um gráfico de linha;

GRÁFICO DE LINHAS

0102030405060708090

1872- 1890- 1920- 1940- 1950- 1960- 1970- 1980- 1990-ANO

b-) um gráfico de barras (ou colunas);

GRÁFICO DE BARRAS

0102030405060708090

1872- 1890- 1920- 1940- 1950- 1960- 1970- 1980- 1990-ANO

Exemplo 2: De 75.200 mortes por acidentes nos EUA, em um ano recente, 43.500 foram causadas por veículos motorizados, 12.200 por quedas, 6.400 por envenenamento, 4.600 por afogamento, 4.200 por incêndios, 2.900 por ingestão de alimentos ou de um objeto, e 1.400 por armas de fogo (com base em dados do Conselho de Segurança Nacional). Descrever estes dados através de um gráfico de setores.

GRÁFICO DE SETORES

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Veiculo Motorizado; 43500; 57%

Armas de fogo; 1400; 2%

Ingestçao de alimentos ou objeto;

2900; 4%

Incêndio; 4200; 6%

Afogamento; 4600; 6%

Envenenamento; 6400; 9%

Quedas; 12200; 16%

Exemplo 3: A tabela abaixo representa o salário de famílias de uma pequena comunidade.

Salário (em reais) Freq. Absoluta (F) Freq. Acumulada (Fa)

8000,00 |- 9000,00 18 189000,00 |- 10000,00 31 4910000,00 |- 11000,00 15 6411000,00 |- 12000,00 3 6712000,00 |- 13000,00 1 6813000,00 |- 14000,00 1 6914000,00 |- 15000,00 1 70

Total 70

Construa com estes dados:

a-) um Histograma;HISTOGRAMA

0

18

31

15

3 1 1 105

101520253035

0-8000 8000-9000 9000-10000 10000-11000 11000-12000 12000-13000 13000-14000 14000-15000

SALÁRIOS (EM REAIS)

b-) Um polígono de freqüências

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS

0

18

31

15

3 1 1 105

101520253035

0-8000 8000-9000 9000-10000 10000-11000 11000-12000 12000-13000 13000-14000 14000-15000

SALÁRIOS (EM REAIS)

c-) Um Ogiva

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OGIVA

01020304050607080

8000- 9000- 10000- 11000- 12000- 13000- 14000- 15000-SALÁRIOS (EM REAIS)

4. MEDIDAS DE POSIÇÃO

Definição 11: As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:

- a média aritmética;- a mediana;- a moda.As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:- a própria mediana;- os quartis;- os percentis.

Para dados não-agrupados (Quando os dados não estiverem na forma de distribuição de freqüência)

4.1 Média aritmética ( ): é o quociente da divisão da soma dos valores (dados, observações) da variável pelo número deles:

sendo:= a média aritmética;= os valores da variável;

n = o número de valores.

4.2 Moda (Mo): Denominamos moda de um conjunto de dados o valor (ou valores) que ocorre com maior freqüência.

Por ex..: o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.

4.3 Mediana (Md).: A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

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Obs: - Se o nº de elementos for ímpar, então a mediana será exatamente o valor “do meio” - Se o nº de elementos for par, então a mediana será exatamente a média “dos dois valores do meio”.

Emprego da Mediana

Empregamos a mediana quando:- desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;- há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média;- a variável em estudo é salário.

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, pergunta-se: Encontre a média, a moda e a mediana para a produção diária de leite desta vaca.

Média:

Logo, = 14 litros de leite em média por dia que representa uma produção de 98 litros de leite em média por semana.

OBS.: a média pode ser um número diferente de todos os valores da amostra que ela representa.

Moda: Como não existe um valor que aparece com maior freqüência que os outros, não há valor de moda para este exemplo.

Mediana: Ordenando os dados temos:

10 12 13 14 15 16 18

Desta forma, o valor mediano é o valor central dos dados, ou seja, 14 litros de leite por dia

Para dados agrupados (Quando os dados estiverem na forma de distribuição de freqüência)

Quando os dados estiverem agrupados, ou seja, na forma de distribuição de freqüências a forma de calcular a média aritmética muda um pouco. Nestes casos, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

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OBS.: A moda e a mediana são encontradas teoricamente da mesma forma citada anteriormente.

Exemplos:

1-) Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:

Nº de meninos

xifi

0 21 62 103 124 4

34

Qual é a média, a moda e a mediana do nº de meninos por família?

Solução:

Média:

Devemos usar a fórmula , já que estamos trabalhando com dados

agrupados, assim temos:

=

Portanto, .

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Interpretação: Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2 filhos e 3 décimos (ou 0,3) de menino?

O valor médio 2,3 meninos sugere, que o maior número de famílias com 4 filhos tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.

Moda: O valor encontrado com maior freqüência para este conjunto de dados é de 3 meninos por família de 4 filhos.

Mediana: Geralmente, quando os dados estão tabelados, a variável de interesse já está ordenada. Portanto, basta encontrar o valor central dos dados. Neste exemplo temos que a mediana é de 2 meninos.

2-) Calcule a média, a moda e a mediana da seguinte distribuição de freqüência e interprete os resultados obtidos:

Custos R$Classes de fr.

Pm ()

450 |- 550 500 8550 |- 650 600 10650 |- 750 700 11750 |- 850 800 16850 |- 950 900 13950 |- 1050 1000 51050 |- 1150 1100 1

Total 64

Solução

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3ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA

1-) Considere a distribuição de freqüências das estaturas de 40 alunos de uma determinada classe de 8ª série.

Estaturas(cm)

150 |- 154 4154 |- 158 9158 |- 162 11162 |- 166 8166 |- 170 5170 |- 174 3

Total 40

Pergunta-se: qual a estatura média, a estatura mediana e a moda dos alunos desta sala?

2-) Num estudo sobre consumo de combustível, 200 automóveis do mesmo ano e modelo tiveram seu consumo observado durante 1000 quilômetros. A informação obtida é apresentada na tabela abaixo em Km/litro.

Faixas Freqüência7 |- 88 |- 99 |-10

10 |- 1111 |- 12

2729464355

Determine:a-) Qual a variável em estudo? Esta variável é discreta ou contínua?b-) A média aritmética, a mediana e a moda da variável em estudo. Interprete os resultados.c-) Construa um histograma para os dados.

3-) Os salários-hora de sete funcionários de uma companhia são: R$180,00, R$220,00, R$253,00, R$220,00 e R$192,00 R$1200,00 e R$750,00. Determine a média a moda e a mediana e interprete os resultados.

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4-) A pulsação de 10 estudantes após exercícios físicos foram as seguintes (em batimentos por minuto): 80, 91, 84, 86, 80, 89, 85 e 86. Determine a média a moda e a mediana e interprete os resultados.

4.4 As Separatrizes

Definição 12: Além das medidas de posição, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua Segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série (no conjunto de dados). São elas:

- os quartis;- os percentis;- Os decis.

4.4.1 Quartis: denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.

Há, portanto, três quartis:

- O primeiro quartil (Q ) : é o valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.

- O segundo quartil (Q ) : é exatamente o valor da mediana, ou seja, o valor situado de tal modo na série que deixa metade (50%) dos dados a esquerda dele e a outra metade à direita (Q =Md).

- O terceiro quartil (Q ) : é o valor situado de tal modo na série que as três quartas partes (75%) dos dados são menores que ele e uma quarta parte restante (25%) é maior.

4.4.2 Percentis: denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais, ou seja:

, onde P = Md = Q , P = Q e P = Q

4.4.3 Decis: os decis por sua vez, são os dez valores que dividem a série em 10 partes iguais, onde, cada uma delas contém 10% dos dados.

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5. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE

Definição 13: Vimos que a moda a mediana e a média podiam ser usadas para resumir, num único número, aquilo que é “médio” ou “típico” de um conjunto de dados. Mas a informação contida fornecida pelas medidas de posição necessita em geral ser complementada pelas medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores. As medidas de dispersão que nos interessam são:

- a amplitude total;- o desvio-padrão;- a variância;- e o coeficiente de variação.

OBS: Quanto maior as medidas de dispersão, mais heterogêneos são os dados, e ao contrário, quanto menor essas medidas, mais homogêneo o conjunto.

Para ilustrar a necessidade de conhecermos as medidas de dispersão de um conjunto de dados iremos introduzir alguns exemplos:

Exemplo 1:Sabe-se que em Honolulu (Havaí) e Houston (Texas) a temperatura média diária é

quase a mesma em torno de aproximadamente 23,9ºC. Pergunta-se: Será que, por isso, podemos admitir que a temperatura é basicamente a mesma em ambas as localidades? Ou não será possível que enquanto uma cidade é melhor para natação a outra o seja para atividades externas?

Como ilustra a figura 1, a Temperatura em Honolulu varia muito pouco ao longo do ano, oscilando, em geral, entre 21,1ºC e 26,7ºC. Por outro lado, a temperatura em Houston pode diferir estacionalmente, isto é, apresentar-se baixa em janeiro (cerca de 4,4ºC) e alta em julho e agosto (bem perto de 37,8ºC). Desnecessário dizer que as praias em Houston não estão abarrotadas de gente o ano todo!

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Exemplo 2:Suponham que, numa particular cidade, tanto ladrões quanto professores secundários

tenham uma renda média anual de R$ 900,00. Será que essa informação indica que as duas distribuições de renda são necessariamente semelhantes? Muito ao contrário, poder-se-ia descobrir que elas diferem, e muito, num outro aspecto importante que é o fato de as rendas dos professores concentrar-se ao redor de R$ 900,00 (serem constantes, homogêneas), enquanto que as dos ladrões espalham-se mais (são descontínuas, heterogêneas), o que reflete, portanto, maiores oportunidades para prisões, desemprego, pobreza e, em alguns casos, fortunas excepcionais.

Tais fatos demonstram que necessitamos, além de uma medida de tendência central, de um índice que indique o grau de dispersão dos dados em torno da média. Este “índice” é uma medida indicativa do que costumamos chamar de variabilidade (ou dispersão).

Voltando ao exemplo 1, poderíamos dizer que a distribuição de temperatura em Houston (Texas) tem maior variabilidade do que a distribuição de temperaturas em Honolulu (Havaí). Da mesma forma podemos dizer que a distribuição de rendas entre professores apresenta menos variabilidade do que a distribuição de rendas entre ladrões.

Assim sendo, vejamos as definições das medidas de dispersão e uma aplicação simples dela para exemplificar.

Considere os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:

X: 70, 70, 70, 70, 70.Y: 68, 69, 70, 71, 72.Z: 5, 15, 50, 120, 160.

Calculando a média aritmética de cada um destes conjuntos, obtemos:

707070

Vemos então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70, entretanto é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z. Para quantificar o quão os dados são heterogêneos precisamos encontrar algumas medidas de posição. São elas:

5.1 Amplitude total (R): a amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado:

R =

OBS: A amplitude só leva em conta dois valores de todo o conjunto de dados e, assim, seria mais conveniente considerarmos uma medida que utilizasse todas as observações. Uma idéia inicial é considerar o desvio de cada observação em relação a média aritmética do conjunto de dados. Daí surgem as outras medidas de variabilidade.

Vamos definir a palavra desvio em estatística:

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Definição 14: o desvio é definido como sendo a distância entre qualquer valor do conjunto de dados em relação a média aritmética do conjunto de dados. Existem várias medidas de dispersão que envolvem os desvios, são elas: o desvio-padrão, a variância e o coeficiente de variação.

5.2 Desvio-Padrão (S): o desvio-padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por ser mais precisa e estar na mesma medida do conjunto de dados. Ele determina a dispersão dos valores em relação a média. Sua formulação é dada pela raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios, ou seja:

=

onde, é cada uma das observações do conjunto de dados, é a média do conjunto de dados e n é o número total de observações do conjunto de dados.

5.3 Variância ( ): a variância nada mais é do que o valor do desvio-padrão elevado ao quadrado, ou seja,

A variância não é uma medida conveniente de ser usada pois expressa o seu resultado numa medida ao quadrado. Portanto não vamos trabalhar com esta medida constantemente.

Por último, temos:

5.4 Coeficiente de V ariação (cv): .O coeficiente de variação (cv) é definido como o quociente entre o desvio-padrão e a média. É freqüentemente expresso em porcentagem. (Ele mede o “grau” de variabilidade do conjunto de dados).

Vamos exemplificar o cálculo da amplitude, do desvio-padrão, da variância e do coeficiente de variação utilizando os mesmos exemplos anteriores (aqueles utilizados para exemplificar as medidas de posição).

Para dados não-agrupados (Quando os dados não estiverem na forma de distribuição de freqüência)

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, pede-se calcular a amplitude, o desvio-padrão (S), a variância ( ) e o coeficiente de variação (cv).

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Solução:

Amplitude:

R= 18 – 10 = 8 litros de leite

ou seja, a maior variação do número de litros de leite produzidos por dia pela vaquinha A é de 8 litros.

OBS: Sabemos que a média para estes dados é: = 14 litros de leite por dia

Desvio-padrão:

= =

Variância:

Coeficiente de variação:

ou seja, existe uma variabilidade de 18,93% dos dados em

relação a média.

Para dados agrupados (Quando os dados estiverem na forma de distribuição de freqüência)

Para o Exemplo 1 temos:

Exemplo 1: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:

Nº de meninos ( )

0 2 (0-2,3)=-2,3 (-2,3) =5,29 2(5,29)=10,581 6 (1-2,3)=-1,3 (-1,3) =1,69 6(1,69)=10,14

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2 10 (2-2,3)=-0,3 (-0,3) =0,09 10(0,09)=0,93 12 (3-2,3)=0,7 (0,7) =0,49 12(0,49)=5,884 4 (4-2,3)=1,7 (1,7) =2,89 4(2,89)=11,56

34 =39,06

Calcule a amplitude, o desvio-padrão (S), a variância ( ) e o coeficiente de variação (cv).

Solução:

Amplitude:

R= 4 – 0 = 4 meninos

ou seja, a maior variação encontrada neste conjunto de dados é de 4 meninos.

OBS: Sabemos que a média para este conjunto de dados é =2,3 filhos

Desvio-padrão:

= =

ou seja, o número médio de filhos homens por família de 4 filhos é de 2,3 com uma variabilidade de aproximadamente 1 filho, ou seja, a maior parte das famílias com 4 filhos têm entre:

2,3 1 = (1,3 e 3,3) (1 e 3) filhos homens.

Variância:

Coeficiente de variação:

ou seja, existe uma variabilidade de 47,30% dos dados em

relação a média. (variabilidade alta).

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Exemplo 2: Considere a seguinte distribuição de freqüência referente aos salários de operários de uma determinada fábrica:

Custos R$Classes de fr.

Pm ( )

450 |- 550 500 8 (500-754,68)=-254,68

(-254,68) =64861,90

8(64861,90)=518895,2

550 |- 650 600 10 (600-754,68)=-154,68

(-154,68) =23925,90

10(23925,90)=239259,0

650 |- 750 700 11 (700-754,68)=-54,68

(-54,68) =2989,90

11(2989,90)=32888,9

750 |- 850 800 16 (800-754,68)=45,32

(45,32) =2053,90

16(2053,90)=32862,4

850 |- 950 900 13 (900-754,68)=145,32

(145,32) =21117,90

13(21117,90)=274532,7

950 |- 1050 1000 5 (1000-754,68)=245,32

(245,32) =60181,90

5(60181,90)=300909,5

1050 |- 1150 1100 1 (1100-754,68)=345,32

(345,32) =119245,90

1(119245,90)=119245,9

Total 64 =1518593,6

Calcule a amplitude, o desvio-padrão (S), a variância ( ) e o coeficiente de variação (cv).

Solução:

Amplitude:

R= 1150 – 450 = 700

ou seja, a maior diferença existente entre os salários dos operários desta determinada fábrica é de R$ 700,00.

OBS: Sabemos que a média para este conjunto de dados é =754,69 filhos

Desvio-padrão:

= =

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ou seja, o número médio de salários é de R$754,68 com uma variabilidade de aproximadamente R$155,26, ou seja, a maior parte dos operários recebem entre: 754,68 155,26 = (599,42 e 909,94) reais.

Variância:

Coeficiente de variação:

ou seja, existe uma variabilidade de 20,57% dos dados em

relação a média.

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA

1-) Para todos os exercícios da 3ª lista, encontre: a-) A amplitude;b-) O desvio-padrão;c-) A variância ed-) O coeficiente de variação.e-) Interprete os resultados obtidos nos itens a), b), c) e d).

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6. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

Em amostragem, é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, ou seja, no processo de amostragem, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da população.

Tipos de amostragem: probabilística e não-probabilística.

Definição 15: A amostragem será probabilística se todos os elementos da população tiverem probabilidade conhecida e diferente de zero, de pertencer à amostra. Caso contrário a amostragem será não probabilística.

6.1 Tipos de técnicas de amostragem probabilística: - Amostragem casual simples- Amostragem sistemática- Amostragem por meio de conglomerados- Amostragem estratificada

6.2 Tipos de técnicas de amostragem não-probabilística: - Inacessibilidade a toda população- Amostragem a esmo ou sem norma- Amostragens intencionais

Definições das técnicas de amostragem probabilística

6.1.1 Amostragem casual simples

É feita quando todos os elementos da população têm a mesma chance (ou probabilidade igual) de pertencer à amostra.

Na prática a amostragem casual simples é realizada numerando-se a população de 1 a N e sorteando-se, a seguir, de forma aleatória, n números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos sorteados para a amostra.

Ex: Seja uma população de 800 elementos da qual desejamos tirar uma amostra casual simples de 50 elementos.

Procedimento:- numeramos a população de 001 a 800, sendo os números tomados sempre de 3

algarismos.

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- Usar uma tabela de números aleatórios escolhendo (ou sorteando) uma linha e uma coluna da tabela e pegando os números com 3 algarismos subsequentes, os quais irão indicar os elementos da amostra.

OBS: Se o número 856 for sorteado, devemos substituí-lo pois não existe o elemento de número 856 na população.

6.1.2 Amostragem sistemática

É feita quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente.

Ex: Usando o exemplo anterior, onde a população é composta de 800 elementos ordenados, poderíamos utilizar a amostragem sistemática da seguinte forma:

que será o 1º elemento da amostra, os 49 que faltarão serão encontrados, a

partir do 16º elemento, retirados de 16 em 16.

OBS: Cuidados com ciclos de variação.

6.1.3 Amostragem por meio de conglomerados

Quando a população apresenta uma subdivisão em pequenos grupos, chamados conglomerados, é possível e até conveniente fazer-se a amostragem por meio desses conglomerados, a qual consiste em sortear um número suficiente de conglomerados, cujos elementos constituirão a amostra.

Ex: Suponhamos que desejamos estudar alguma característica dos indivíduos que moram na favela da Rocinha.

População: todos os indivíduos que moram na favela da RocinhaConglomerado: cada barraco da favelaAmostra: ordeno os barracos e sorteio (amostragem casual simples) um determinado

número deles. Cada indivíduo de dentro do barraco sorteado fará parte da minha amostra.

6.1.4 Amostragem estratificada

Muitas vezes a população se divide em subpopulações ou estratos. A amostragem estratificada consiste em especificar quantos elementos da amostra serão retirados em cada estrato. Geralmente, o número de elementos sorteados em cada estrato é proporcional ao número de elementos existente no extrato.

Ex: Estudar uma determinada característica do povo brasileiro, por exemplo, renda familiar.

População: todo cidadão que mora no BrasilEstrato: cada Estado do BrasilAmostra: nº x de elementos proporcional a cada estado

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Definições das técnicas de amostragem não-probabilística

6.2.1: Inacessibilidade a toda população

Nem sempre temos acesso a toda população, então somos obrigados a realizar o trabalho estatístico somente na parte acessível.

Ex: Suponha a produção de peças por uma máquina

População: todas as peças produzidas por esta máquina.Problema: não tenho acesso a todas as peças, pois existem peças que já foram

repassadas, peças que estão sendo produzidas (tenho acesso) e peças que ainda serão produzidas.

Amostra: pode-se usar amostra casual simples, ou sistemática na parte da população que tenho acesso.

6.2.2 Amostragem a esmo ou sem norma

É a amostragem em que o amostrador, para simplificar o processo, procura ser aleatório sem, no entanto, usar algum dispositivo aleatório confiável.

Ex: Suponha que desejamos retirar uma amostra de 100 parafusos de uma caixa contendo 10.000, evidentemente não faremos uma amostragem casual simples, pois seria extremamente trabalhosa, desta forma faríamos a retirada a esmo.

6.2.3 Amostragens Intencionais

É quando o amostrador deliberadamente escolhe certos elementos para pertencer à amostra, por julgar tais elementos bem representativos da população.

Ex: Avaliar o quanto determinada disciplina está sendo bem dada.

População: todos os alunos que fazem determinada disciplina.Amostra: os melhores alunos da sala.

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5ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA

1-) Os números seguintes representam as notas de Estatística de trinta alunos. Construa o histograma, polígono de frequências, a média e o desvio-padrão dos dados. A variável é contínua ou discreta?

5,5 3,0 4,0 4,5 7,06,5 3,5 4,5 3,0 7,54,5 0,0 4,5 3,5 4,57,0 9,0 6,0 4,0 5,08,0 9,5 4,5 4,5 4,52,5 2,0 5,0 6,0 4,5

2-) Uma população se encontra dividida em três estratos, com tamanhos respetivamente, , e Ao se realizar uma amostragem estratificada proporcional, doze

elementos da amostra foram retirados do primeiro estrato. Qual o número total de elementos da amostra?

3-) Uma amostragem entre os moradores de uma cidade é realizada da seguinte forma: em cada subdistrito, sorteia-se um certo número de quarteirões proporcional à área do subdistrito; de cada quarteirão, são sorteadas cinco residências, cujos moradores são entrevistados.

a) Essa amostra será representativa da população ou poderá apresentar algum vício?b) Que tipos de amostragem foram usados no procedimento?

4-) Uma indústria especializada em montagem de grandes equipamentos industriais recebeu setenta dispositivos de controle do fornecedor A e outros trinta dispositivos do fornecedor B. O aspecto relevante, que se deseja controlar, relativo a esses dispositivos, é a resistência elétrica de certo componente crítico. Vamos admitir que os cem dispositivos foram numerados de 1 a 100 ao darem entrada no almoxarifado, e que os setenta primeiros foram os recebidos do fornecedor ª Vamos admitir, também, que os valores reais da variável de interesse (a resistência elétrica do componente crítico) dos cem dispositivos recebidos sejam os dados seguintes, respectivamente na ordem de entrada no almoxarifado (lê-se segundo as linhas, tal como se lê um livro):

33 38 34 34 34 31 36 35 32 3735 34 30 37 36 33 34 34 32 3935 33 33 34 31 32 36 33 29 3634 35 34 33 31 35 35 35 37 3234 34 36 35 34 33 32 38 34 3333 32 34 35 37 35 35 30 35 34

28

36 36 33 34 33 32 31 37 35 3439 40 40 42 39 38 40 40 40 4040 41 45 41 40 39 41 41 40 4239 40 41 40 40 42 39 39 38 40

a-) Uma amostra simples, ao acaso, de dez dispositivos foi retirada da população de 100 dispositivos, com auxílio dos números aleatórios da Tab. A6.7. O processo de utilização da tabela foi o usual, com início no dígito situado na interseção da Quinta linha com a oitava coluna da referida tabela. A seguir, foi calculada a resistência elétrica média da amostra de dez dispositivos. Que valor você acha que foi obtido para essa média?

b-) Suponha agora que se pensasse em fazer amostragem estratificada. Em sua opinião, seria isso razoável, no caso? Caso afirmativo, indique como você procederia , ainda utilizando os números aleatórios. Suponha que o numero total de dispositivos a examinar na amostra continue sendo dez.

c-) Suponha agora que tivesse sido utilizada amostragem estratificada uniforme, num total ainda de dez dispositivos examinados, e que tivessem sido obtidos, no primeiro e no segundo estratos, respectivamente, e . Em quanto você estimaria a média da população de cem dispositivos?

d-) Suponha agora que, dos setenta dispositivos provenientes do fornecedor A, tenha sido colhida uma amostra sistemática de dez dispositivos, sendo constante o período de retirada dos elementos para a amostra, e sendo conhecido que o segundo dispositivo a entrar no almoxarifado (cujo valor da resistência elétrica é 38) pertencia a essa amostra. Calcule a média dos valores da resistência elétrica observados nessa amostra.

5-) Os registros de uma companhia de seguros mostram que, entre 3800 sinistros reportados ‘a companhia durante certo tempo, 2600 são sinistros pequenos (inferiores a $200), enquanto os outros 1200 são sinistros grandes ($200 ou mais). Para estimar o valor médio desses sinistros, a companhia extrai uma amostra de 1%, alocada proporcionalmente aos dois estratos, com os resultados seguintes (arredondados para o dólar mais próximo):

Sinistros pequenos Sinistros grandes 42 115 63 78 45 148195 66 18 73 55 89170 41 92 103 22 138 49 62 88 113 29 71 58 83

246 355 872 649 253 338 491 860 755 502 488 311

Determine as médias dessas duas amostras e, em seguida, sua média ponderada, tomando como pesos os dois tamanhos de estratos N1 = 2600 e N2 = 1200.

6-) Consideremos um estudo realizado em propriedades rurais de um município, composto por 1000 propriedades rurais, distribuídas, quanto a sua área, conforme Tabela 1 e que neste município sejam amostrados 50 propriedades.

Tabela 1: Distribuição do n° de propriedades rurais de um município qualquer, quanto a área e n° de propriedades a serem amostradas por estrato (classes).

Área (ha) N° de propriedades

Amostra estratificada (n=50)Uniforme Proporcional

29

0 ├ 20 50020 ├50 32050 ├ 100 100100 ├ 200 50200 ├ 400 30

Total 1000 50 50

a-) Qual deverá ser o tamanho da amostra dentro de cada estrato no caso uniforme e no proporcional?

b-) Determine a média amostral obtida para a amostragem estratificada uniforme e para a amostragem estratificada proporcional. Comente os resultados.

7-) Em uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada formada por 2432 elementos, qual dos elementos abaixo seria escolhido para pertencer a amostra, sabendo que o elemento de ordem 1420 a ela pertence?

1648, 290, 725, 2025, 1120

8-) Ordene uma amostra de 15 elementos de uma população ordenada formada por 210 elementos, sabendo que o elemento de ordem 149 a ela pertence.

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ANEXOS

ESTATÍSTICA USANDO O EXCEL

A palavra estatística provém do latim status, que significa estado. A primitiva utilização da estatística envolvia compilações de dados e gráficos que descreviam vários aspectos de um estado ou país. Em 1662, John Graunt publicou informes estatísticos sobre nascimentos e mortes. O trabalho de Graunt foi secundado por estudos de mortalidade, tamanho de populações, rendas e taxas de desemprego. As famílias, os governos e as empresas se apóiam largamente em dados estatísticos. Assim é que as taxas de desemprego, de inflação, os índices do consumidor, as taxas de natalidade e mortalidade são calculadas cuidadosamente a intervalos regulares, e seus resultados são utilizados por empresários para tomarem decisões que afetam a futura contratação de empregados, níveis de produção e expansão para novos mercados.

1. INTRODUÇÃO

Primeiramente devemos instalar o módulo de Estatística que se encontra na opção Ferramentas. Se Análise de Dados não aparecer como uma escolha no menu Ferramentas, a opção Suplementos, deste mesmo menu, deve ser selecionada e dentro da caixa de diálogo Suplementos deve-se selecionar Ferramentas de Análise, se existir tal caixa de verificação na lista “Suplementos Disponíveis”. Seguindo estes passos, a opção Análise de Dados será incluída no menu Ferramentas.

Figura 1.1. Seleção de Ferramentas de Análise na caixa de diálogo “Suplementos”.

31

Figura 1.2. Algumas técnicas estatísticas disponíveis na Análise de Dados.

2. GRÁFICOS E TABELAS

2.1 TIPOS DE GRÁFICOS

1-) Porcentagem de votos (Gráfico de Linhas)

Meses Lula FHCAbril 31,7 20,2Maio 38,3 23,5Junho 37,9 22,8Julho 30,1 30,5Agosto 27,6 36,3Setembro 21,0 42,8Outubro 22,8 43,5

2-) A tabela abaixo apresenta os percentuais de reprovação de uma determinada disciplina no ano letivo (Gráfico de Colunas):

Bimestres Porcentuais1º 45%2º 35%3º 55%4º 15%

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3-) A Próxima tabela apresenta a avaliação dos estudantes, em porcentagens, com relação à UNE (união Nacional dos Estudantes) (Gráfico de Barras)

Ótimo 4%Bom 25%Regular 27%Ruím 9%Péssimo 13%Não avaliaram 22%

4-) Situação conjugal dos presos de um determinada cadeia (Gráfico de Setores)

Solteiros 55%Casados 18%Namorados 27%

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Considere agora o exemplo A para desenvolver as próximas ferramentas estatísticas no Microsoft EXCEL

Exemplo A: Em uma escola tomou-se a medida da altura de cada um de quarenta estudantes, obtendo-se os seguintes dados (em centímetros):

160 152 155 154 161 162 162 161 150 160163 156 162 161 161 171 160 170 156 164155 151 158 166 169 170 158 160 168 164163 167 157 152 178 165 156 155 153 155

Fazer a distribuição de freqüência e usar 6 classes. (iniciando por 150cm e terminando em 180cm) e responder as questões abaixo:

a) Quantos são os estudantes com estatura inferior a 160cm?b) Que porcentagem de estudantes tem estatura igual ou superior a 175cm?c) Quantos são os estudantes com estatura maior ou igual a 160cm e ao mesmo tempo

menor que 175cm?d) Qual a porcentagem de estudantes com estatura abaixo de 170cm?

2.2 TABELAS DE FREQÜÊNCIAS

No Microsoft EXCEL, para obter tabelas de freqüências, a opção do Histograma da ferramenta Análise de Dados, encontrada no menu Ferramentas, pode ser utilizada. Para isto, os limites superiores dos intervalos de classe devem ser inseridos na planilha que contém os dados a serem analisados.

Passo 1: Após ter digitado os dados do exemplo A na coluna A da planilha 1 do Excel, digite os limites superiores desejados da tabela de freqüências na coluna C da mesma planilha.

Passo 2: Depois disso selecione a opção Histograma da ferramenta Análise de Dados, encontrada no menu Ferramentas e preencha a caixa Histograma. (ver figura 2.1).

34

Figura 2.1. Seleção do intervalo de dados e dos limites superiores das classes para a construção da tabela de freqüência.

Passo 3: Agora criamos uma tabela de freqüências na planilha 4 do Excel que é a seguinte:

Tabela 2.1.Tabela de Freqüência para a variável alturaBloco Freqüência

155 10160 10165 12170 6175 1180 1

Mais 0

A freqüência relativa e a percentagem de cada classe podem ser incluídas na tabela acima, através da inserção das seguintes funções:

Tabela 2.2. Tabela de Freqüência Completa para a variável altura

Bloco Freqüência Freq. Relativa

Percentagem

155 10 0,25 25160 10 0,25 25

165 12 0,330

170 6 0,15 15175 1 0,025 2,5180 1 0,025 2,5Mais 0 0 0Total 40 1 100

35

=(B2/$B$9)

=(C2*100)

=SOMA(B2:B8)

Através da tabela acima verifica-se que o intervalo com maior concentração dos dados é o intervalo entre 165 e 170, com 30% das observações, enquanto que nenhuma observação foi coletada acima de 180.

2.3 GRÁFICOS PARA TABELA DE FREQÜÊNCIA

Como vimos, para uma distribuição de freqüências, o gráfico mais apropriado é o Histograma

O histograma é uma importante ferramenta de análise porque fornece visualmente uma idéia da variação dos dados, da tendência central e indica a quantidade de dados que está fora das especificações.

No Microsoft EXCEL, um histograma pode ser construído da seguinte maneira:

2.3.1 HISTOGRAMA

Passo1: Selecione os comandos Ferramentas, Análise de Dados, Histograma e clique em OK;

Passo2: Defina o intervalo com os dados da variável a ser analisada e o intervalo com os limites superiores dos intervalos, digitando-os ou clicando no botão ao lado direito da caixa de edição e selecionando, na planilha, o intervalo de dados. Selecione, também, as opção Resultado do Gráfico como na figura a seguir e clique em OK;

Figura 2.2. Construção do Histograma.

O gráfico construído conterá dois erros. Existem lacunas entre as barras que correspondem aos intervalos de classe, e existe uma classe adicional, denominada Mais pelo Excel. Para eliminar as falhas, o seguinte procedimento deve ser realizado:

36

Passo 3: Com um clique duplo sobre uma barra do gráfico, abra a caixa de diálogo Formatar Seqüências de Dados, selecione a aba Opções;

Passo 4: Na caixa de edição Espaçamento, modifique o valor para zero (0). Clique no botão OK. O Histograma conterá, assim, barras contínuas.

Para remover a classe adicional, o procedimento a seguir deve ser feito:

Passo 5: Aparecerá um segundo conjunto de pontos de dados sobrepostos às barras junto com uma fórmula que começa com a palavra Seqüências na caixa de edição acima das planilhas de trabalho, na Barra de Fórmulas;

Passo 6: Na Barra de Fórmulas, modifique a célula final de $B$8 para $B$7 e tecle Enter;

Passo 7: O gráfico resultante tem agora o número apropriado de classes.

Figura 2.3. Histograma para a variável altura

Pelo Histograma acima, verifica-se que as observações de altura variam entre 150cm e 180cm. A maioria das observações esta entre 150cm e 165cm. O intervalo com maior número de observações é o terceiro que varia de 160cm a 165cm.

Se desejarmos ainda, podemos modificar os “títulos” do gráfico e das variáveis, inclusive o tamanho da letra (fonte) e a cor das barras. Para isso, basta clicarmos no cantinho do gráfico (ainda no excel) e depois que estiver marcado com uns quadradinhos pretos, basta clicarmos em cima de cada item a ser modificado (título do gráfico, título das variáveis, valores das variáveis e também na barra do histograma).

2.3.2 POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA

No polígono de freqüências, cada intervalo de valores é representado pelo seu ponto médio. Resumidamente, este gráfico é construído pela conexão, através de uma série de linhas retas, da seqüência de pontos médios em seus respectivos percentuais de intervalo.

Como no histograma, o fenômeno de interesse é exibido ao longo do eixo horizontal e o eixo vertical representa a freqüência relativa ou absoluta de cada intervalo.

No Microsoft EXCEL, o polígono de freqüência pode ser construído através do Assistente de Gráfico, através do seguinte procedimento:

Passo 1: Selecione na tabela de freqüências, descrita na seção 2.1., as colunas que contêm os limites superiores dos intervalos e as freqüências de cada intervalo de dados, como na figura abaixo;

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Figura 2.4. Seleção dos intervalos de dados.

Passo 2: Selecione Inserir, Gráficos e Linhas. Selecione, então, o formato do gráfico de linhas na etapa 1 das 4 etapas do assistente de gráficos e clique em Avançar, como na Figura 2.5.

Figura 2.5. Definição do formato do Polígono de Freqüência.

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Passo 3: Como os intervalos de dados já foram definidos, clique também em Avançar na etapa 2;

Passo 4: A etapa 3 consiste na definição estrutural do gráfico, na qual são definidos o título, a ausência ou não de legenda e linhas de grade, título dos eixos, entre outras opções. Realizadas as escolhas sobre o formato do gráfico, clique em Avançar e Concluir na etapa 4.

Se o polígono de freqüências for examinado, será possível verificar que as marcações de categorias no eixo X referem-se aos limites superiores das classes, não aos pontos médios. Para alterar estas marcações, clique duas vezes no eixo X a caixa de diálogo Formatar Eixos aparecerá. Selecione a aba Escala e selecione os cruzamentos do Eixo dos Valores (Y) entre as categorias da caixa de verificação. Clique no botão OK. Altere, na planilha da tabela de freqüências, os limites superiores pelos pontos médios de cada classe, automaticamente estes valores serão trocados no gráfico.

Dessa forma, o polígono de freqüência, construído como definido acima, para estes dados é o seguinte:

Figura 2.6. Polígono de Freqüências para a variável altura

Pelo polígono de freqüência acima, verifica-se que o intervalo de dados mais freqüente é o intervalo com ponto médio igual a 162.5cm.

3 RESUMO E DESCRIÇÃO DOS DADOS ATRAVÉS DE MEDIDAS

No Microsoft EXCEL, as medidas de tendência central e dispersão podem ser calculadas através da inserção de funções na planilha de dados, como será discutido em cada tópico específico.

3.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

A maioria dos dados apresenta uma tendência de se agrupar ou concentrar em torno de um ponto central, caracterizado pelo valor típico da variável observada. Determinar este valor típico é uma maneira de resumir a informação contida nos dados, pois um único valor será escolhido para representar todos os outros.

Nesta seção serão apresentados três tipos de medidas de posição: a média, a mediana e a moda.

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3.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA

Vários tipos de médias de um conjunto de dados podem ser definidas. Neste texto, porém, apenas a média aritmética, representada por , será apresentada por ser o tipo de média mais utilizada.

No Microsoft EXCEL, a média aritmética pode ser calculada através da inserção de função na planilha de dados, como será feito com o Exemplo A.

Então, voltando a planilha de dados do Excel, vamos considerar a coluna E como receptora dos resumos dos dados (como a média, mediana, moda, amplitude, desvio-padrão e coeficiente de variação), assim, devemos inserir, na célula E1 a função = MEDIA(A1:A40) e teclar enter.

O valor dessa média será 160,525. Embora nenhum aluno apresente altura igual a 160,525cm, este é o valor da média aritmética, ou seja, o valor típico ou médio de altura, para este conjunto de dados.

3.1.2 MEDIANA

Usada como alternativa, em relação à média, para caracterizar o centro do conjunto de dados, a mediana não é influenciada por pontos extremos ou discrepantes, por isso quando uma observação extrema está presente no conjunto de dados é mais conveniente o uso da mediana do que da média para descrever o conjunto de valores.

Para o Exemplo A, devemos inserir, na célula E2 a função = MED(A1:A40) e teclar enter.

O valor encontrado para a mediana será 160,5cm, ou seja, podemos dizer que 50% dos alunos têm estatura maior que 160,5cm.

3.1.3 MODA

A moda também não é afetada pela ocorrência de valores extremos. A moda é também a única das medidas de tendência central que faz sentido no caso de variáveis qualitativas. Assim, a categoria dessas variáveis que aparecer com maior freqüência é chamada de categoria modal.

Um conjunto de dados pode ser classificado como unimodal, bimodal, multimodal ou amodal quando possuir, respectivamente, uma, duas, mais de duas ou nenhuma moda.

Para o nosso exemplo, devemos inserir, na célula E3 a função = MODO(A1:A40) e teclar enter.

O valor encontrado para a moda será 160cm, ou seja, é mais freqüente encontrar alunos (nesse conjunto de dados) com estatura igual a 160cm.

3.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO

Sabemos que as informações fornecidas pelas medidas de posição necessita, em geral, ser complementada pelas medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. As medidas de dispersão caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores.

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Vamos então encontrar as principais medidas de dispersão (amplitude, o desvio-padrão e o coeficiente de variação) com o auxílio do Excel.

3.2.1 AMPLITUDE

No Microsoft Excel, a amplitude para o nosso exemplo será dada pela inserção de funções =MÁXIMO(A1:A40)-MÍNIMO(A1:A40).

Assim, as alturas dos alunos diferem entre si por, no máximo, 28cm.

3.2.2 DESVIO PADRÃO

O desvio padrão, será definido, no Excel, pela função =DESVPAD(A1:A40).

Então, o desvio padrão encontrado foi de aproximadamente 6,23cm, ou seja, houve uma dispersão “média” em torno da média aritmética de 6,23cm. Isto significa que a maioria das estaturas, nesse conjunto de dados, concentra-se entre (160,525 6,23).

3.2.3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Como o coeficiente de variação, denotado por CV, é definido como o quociente entre o desvio padrão e a média, freqüentemente expresso em porcentagem, devemos, no Excel, inserir a expressão =(E5/E1)*100, onde E5 é a célula que contém o valor do desvio-padrão e E1 a célula que contém o valor da média aritmética e *100 para expressarmos o mesmo em porcentagem.

Sua vantagem, é caracterizar a dispersão dos dados em termos relativos a seu valor médio. Assim, uma pequena dispersão absoluta pode ser, na verdade, considerável quando comparada com a ordem de grandeza dos valores da variável e vice-versa.

O valor obtido para o CV foi de aproximadamente 3,88%, isto dizer que este conjunto de dados é homogêneo, ou seja, não há grandes diferenças entre as estaturas dos alunos com relação a média.

OBS.: Algumas das principais medidas de tendência central e de dispersão podem ser calculadas conjuntamente no Microsoft EXCEL, sem a necessidade da inserção de funções na planilha de dados. Esta análise descritiva do conjunto de dados pode ser realizada através dos comandos Ferramentas, Análise de Dados e Estatística Descritiva. Selecionadas estas opções, a caixa de diálogo Estatística Descritiva, apresentada na Figura 3.1, será aberta para a especificação do intervalo de dados a ser analisado e das estatísticas de interesse, que serão calculadas.

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Figura 3.1. Módulos para realização da Análise Descritiva dos dados.

Especifique, então, o intervalo de dados a ser analisado na caixa de edição Intervalo de Dados, digitando-o ou selecionando-o diretamente na planilha através do botão ao lado direito da caixa de edição. Escolha a opção de saída das estatísticas e selecione a opção Resumo Estatístico. O resultado será uma nova tabela contendo várias das medidas descritas nas seções anteriores.

Figura 3.2. Caixa de Diálogo “Estatística Descritiva”.

Logo, teremos a seguinte Tabela-Resumo

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Coluna1

Média 160,525Erro padrão 0,985138Mediana 160,5Modo 160Desvio padrão 6,23056Variância da amostra 38,81987Curtose 0,216636Assimetria 0,542412Intervalo 28Mínimo 150Máximo 178Soma 6421Contagem 40

Tabela 3.1. Análise Descritiva da variável altura

Pela tabela acima, verifica-se que foram observados 40 valores de altura, variando entre 150 e 178 e resultando em uma amplitude de 28cm. O valor mais freqüente (moda) é 160 e a média dos dados coletados (160,525) é muito próxima ao valor da mediana (160,5), indicando a não existência de pontos muito extremos e discrepantes que afetam o valor da média. A maioria dos valores de altura, neste conjunto de dados, concentra-se entre 6,23cm em torno da média aritmética, situação evidenciada pelo desvio padrão.

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