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Mecánica y Termodinamica
Clase 1a
http://materias.df.uba.ar/mtb2019c1/laboratorio-martes-jueves/
Introducción a conceptos de error y
estadística
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Repaso: Magnitudes
→ Magnitud física: atributo cuantificable susceptible de ser medido
→ Medición: Instrumento + método + sistema de unidades (SI)
→ Definición de unidades atadas a
constantes físicas
→ Realización de unidades mediante
"experimentos"
→ Comparación
→ Calibración de instrumentos de
medición
Metrología
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Repaso: Incertezas
→ Resultado de una medición:
→ Valor (con unidad)
→ Medida de mi desconocimiento: Incerteza
x0
Δx
Intervalo
→
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¿Cómo se reporta el error?
→ Cifras signifiactivas
x0
Δx
→ ( x0 ± Δx ) u
→ ( 2.23 ± 0.12 ) m
→ ( 123 ± 4 ) s
→ x0(Δx) u
→ 2.23(12) m
→ 123(4) s
x0 = 3745.12845 mΔx = 0.04932 m → x0 = 3745.13 mΔx = 0.05 m
x0 = ( 3745.13±0.05 ) m
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Repaso: Fuentes de error instrumental
→ Error de apreciación σap
→ Error de exactitud σex
→ Error de interacción σint
→ Error de definición σdef
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Resolución del instrumentoPresición
Calibración del instrumento
Método de mediciónObservador
Naturaleza del objeto
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Repaso: Fuentes de error instrumental
→ Error de apreciación σap
→ Error de exactitud σex
→ Error de interacción σint
→ Error de definición σdef
Resolución del instrumentoPresición
Calibración del instrumento
Método de mediciónObservador
Naturaleza del objeto
σnom 2 = σap
2 + σex 2 + σint
2 + σdef2
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Repaso: Tipos de error
→ Error Sistemático
→ Ej: error instrumental de calibración
→ Siempre aporta en un mismo sentido
→ Error Estadístico
→ Producto del azar
→ Intrínseco (naturaleza)
→ Desconocimiento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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Medición,incertidumbre yestadística(una breveintroducción)
LucianoA.Masullo
Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica
FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires
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Probabilidad
• Variablealeatoria:esunacantidad cuyo valornoesfijo sino quepuedetomardiferentes valores como resultados deunexperimento aleatorio.
• Lavariablealeatoria toma una serie devalores asociados aunconjunto deeventos posibles• Nosepuedepredecir elpróximo resultado(ovalordelavariablealeatoria)perosísepuede,enprincipio,conocersuprobabilidad.
• Probabilidad: esunafunciónquevadeunconjunto(deeventosposibles)ylesasignaunvalorentre0(imposible)y1(seguro).
• Lasumadelasprobabilidadesdetodosloselementosdelconjuntodeeventosdebeseriguala1.
• Elconjuntodeeventosposiblespuedeserdiscreto(ej:“resultadosdetirarundado”)ocontinuo(ej:“resultadosdelamedicióndelladodeunamesa”).
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Resultados deunexperimentoTirar undadoN=100veces
Medición # Caradeldado
1 2
2 6
3 1
… …
99 4
100 1
Medición# Tiempo (s)
1 1,02
2 0,98
3 1,07
… …
99 1,22
100 1,10
Medir elperíodo deunfaroN=100veces
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Histogramas
→ Relevar variable aleatoria
→ bin size
→ Límites
→ Numero de bins
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Resultados deunexperimento:histogramaTirar undadoN=100veces Medir elperíodo deunfaroN=100veces
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Histograma normalizadoTirar undadoN=100veces Medir elperíodo deunfaroN=100veces
𝐹" =𝑛"𝑁 𝐹" = 𝑑"𝑎 𝑑" =
𝑛"𝑎𝑁
con
𝐹" =frecucencia delresultado k-ésimo𝑛" =número deresultadosenelbin k-ésimo𝑑" =densidaddeprobabilidaddelbin k-ésimo𝑎=tamañodelbin (bin size)𝑁 =númerototaldeeventos
Normalización:
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Distribución deprobabilidad N=10
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Distribución deprobabilidad N=100
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Distribución deprobabilidad N=1000
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Distribución deprobabilidad N=10000
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Distribución deprobabilidad N=10000
Distribuciones deprobabilidad
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Distribuciones deprobabilidaddiscretaycontinua
Condicióndenormalización
Discreto Continuo
𝑁 → ∞𝑎 → 0
𝐹" =𝑛"𝑁 𝐹" = 𝑑" 𝑎 𝑑" =
𝑛"𝑎𝑁con
𝑎:binsize
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X:variablealeatoria (ej:resultado deunamedición)xk:resultadok-ésimox:resultadocontinuo Fk:frecuenciadelresultadoxkf(x):densidaddeprobabilidad delresultadoxN:númerototalderesultados (ej:mediciones)nk:númerodevecesqueseobtuvo xk
f(x)dx esanálogoaFk
xesanálogoaxk
Notaciones
Caso discreto Caso continuo
Valormedio
Varianza
Desviaciónestándar
Valormedio,varianzaydesviaciónestándar
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Cálculodeprobabilidadenunciertointervalo¿Cuáleslaprobabilidad dequeunamediciónestécomprendidaentre𝑎 y𝑏?
¿Tienesentidopreguntarsecuáleslaprobabilidadde
medirunciertonúmeroreal?
𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
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Cálculodeprobabilidadenunciertointervalo¿Cuáleslaprobabilidad dequeunamediciónestécomprendidaentre𝑎 y𝑏?
¿Tienesentidopreguntarsecuáleslaprobabilidadde
medirunciertonúmeroreal?
ej: ej:
𝑎 𝑏
Ejemplo:¿Cuáleslaprobabilidadquealtirareldadosalga3omenorque3?
Ejemplo:¿Cuáleslaprobabilidadquealmedirelperíododelfaroelcronómetroindiqueentre1,0y1,1s?
𝑎 𝑏
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EjemplosdedistribucionesdeprobabilidadBinomial
Poisson
Gauss
Exponencial
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Ejemplosdedistribucionesdeprobabilidad
¡LadeGaussnoeslaúnicadistribución deprobabilidad!
Binomial
Poisson
Gauss
Exponencial
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DistribucióndeGauss
Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*
*Ver Teorema centraldellímite
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DistribucióndeGauss
Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*
*Ver Teorema centraldellímite
𝜇 = 2
𝜎 = 1
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𝜇 = 2
𝜎 = 1
DistribucióndeGauss
Ladistribución deGaussesunabuenaaproximación paramuchísimoscasos*
*Ver Teorema centraldellímite
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DistribucióndeGauss:algunaspropiedades• Estácentradaen𝑥 = 𝜇• Essimétricaalrededorde𝑥 = 𝜇• Tiendeexponencialmentea0para 𝑥 − 𝜇 ≫ 𝜎• Elparámetro𝜎 daunamedidadesuancho
𝜇 = 0𝜎 = 2
𝜇 = 2𝜎 = 1
𝜇 = 5𝜎 = 3
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Estadística
Objetivo:estimar losparámetros deladistribucióndeprobabilidaddelavariablealeatoriaapartirdelosdatos.
¿Dequédistribucióndeprobabilidad provienenmisdatos?
porejemplo𝜇 y𝜎 delagaussiana
¿ ?¿𝜇, 𝜎 ?
Datos obtenidos
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EstimacióndelosparámetrosdeladistribucióndeGauss
Sonestimadores:funciones delosdatos medidos 𝑥7 Parámetros desconocidosdeladistribucióndeGauss
n:cantidad demediciones delavariablealeatoria Xrealizadas
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Distribucióndelavariablealeatoria“unamedición”
n=10000
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Distribucióndelavariablealeatoria“promediodeNmediciones”
n=10000n=400N=25
*
*Lademostracióndeesteresultadogeneralestáenelapéndice
:variablealeatoria “una medición”
:variablealeatoria “promediodeNmediciones”
n:númerodecuentasenelhistograma
promedio de
desv.estándar de
desv.estándar de
promedio de
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Distribucióndelavariablealeatoria“promediodeNmediciones”
n=10000n=400N=25
*
*Lademostracióndeesteresultadogeneralestáenelapéndice
:variablealeatoria “una medición”
:variablealeatoria “promediodeNmediciones”
n:númerodecuentasenelhistograma
promedio de
desv.estándar de
desv.estándar de
promedio de
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Errorestadísticoyerrorinstrumental
LlamaremoserrorestadísticoaladesviaciónestándardelamediadeNmediciones
• Elerrorestadísticodisminuyeamedidaqueserealizanmásmedicionescondependencia ∝ 9:
• Elerrorinstrumentalnodependedelacantidaddemediciones realizadas
Elerrortotaldeunamedicióneslasumaencuadratura*detodaslascontribuciones deerrorindependientes.Sivolvemosalejemplodelamedicióndelperíododelfaroconsiderandoporahorasolamenteelerrorinstrumental(porej.laprecisiónparamedirtiempodelcronómetro)yelerrorestadístico(lavariabilidadenlamediciónporpartedelexperimentador)
¿Cuántas vecesesnecesariomedirparaque𝑒<=>=? seadespreciablerespectoa𝑒7@<=? ?
*Esteresultado esunresultado delaestadística yprovienedesuponerquelascontribucionessonindependientesentresí.VerporejemploBairdDC,Experimentación, Prentice-HallHispanoamérica(1991),pp 46-50
𝑒=A=? = 𝑒<=>=? + 𝑒7@<=?
𝑒<=>= ≡ 𝜎DEF
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Resultadodeunamedicióneintervalodeconfianza
¿Cuál eslaprobabilidad dequeunamedición(ounpromediodeNmediciones)estéentre𝜇 − 𝜎y𝜇 + 𝜎?
¿Yentre𝜇 − 𝑡𝜎y𝜇 + 𝑡𝜎?
Niveldeconfianza
Lanotación
resultado=valor± error
Significa error=𝜎(nivel deconfianza del68,3%)
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Resultadodeunamedicióneintervalodeconfianza
Laprobabilidad dequelapróxima mediciónseencuentreentre𝜇 − 𝜎y𝜇 + 𝜎esdel68,3%
Laprobabilidad dequeelvalorreal𝜇seencuentreentre 𝑥I − 𝜎y𝑥I + 𝜎esdel68,3%
Dosinterpretaciones:
=
resultado=valor± error
ej:T=(1,10± 0,07)s
𝜇𝑥I
𝑥I:valormedido
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Histogramas
→ Relevar variable aleatoria
→ bin size
→ Límites
→ Numero de bins
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Histogramas
bin size =
On optimal and Data
based histograms,
D. W. Scott,
Biometrika,
1979
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Estadísitca
Moda: Valor más frecuente
Mediana: Separa el 50% de los valores más bajos del 50% de los más altos
Media: Promedio de los valores
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Teorema central del límite
Suma de variables
aleatorias CON media y
varianza ....
... tiende a Gaussiana
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Sumario
→ Desviación Estándar (de la muestra)
→ Permite predecir probabilidad de hallar valores al medir
→ SD o σ
→ Error Estándar
→ SD/√N
→ Incerteza del valor medio μ o x0
→ SE o σX0
→ Valor medio
→ Estimación del valor real que se trata de medir
→ μ o x0 o <x> o x