Mecnica AnalticaMEFT 2015/2016

Outros Problemas - Testes/Exames anteriores

1.

Considere um sistema fechado uni-dimensional de 4 partculas (com massas m1, m2, m3 e m4)cuja interaco mtua descrita por um potencial de forma desconhecida mas que apenasdepende da distncia inter-partculas.

a) Escreva o Lagrangiano do sistema. Identifique, justificando, uma quantidade conservada.

b) Considere o caso particular em que m1 = m4 = M e m2 = m3 = m M tal queas partculas de massa M podem ser consideradas estacionrias. Sabendo que o sistemase encontra em equilbrio estvel numa configurao tal que xeq1 < x

eq2 < x

eq3 < x

eq4 e

que apenas as interaes com os primeiros vizinhos so no desprezveis, mostre que oLagrangiano do sistema para coordenadas generalizadas i = xi xeqi (ou seja, os desviosrelativos s posies de equilbrio) no regime de pequenos desvios dado por

L =1

2m(22 +

23)

1

2(22

2 + 232 23 32) . (1)

c) Determine e caracterize fisicamente os modos normais de (pequenas) oscilaes do sistemadescrito pelo Lagrangiano em (b).

2.

Considere uma classe de animais que, embora diferindo na sua dimenso linear L, tm emcomum que a sua capacidade de armazenar gua proporcional ao volume do animal e que aperda de gua apenas depende da rea da superfcie do animal. Como varia o tempo que oanimal pode permanecer sem ingerir gua em funo do seu tamanho?

3.

Mostre que para um Lagrangiano puramente cintico (de um sistema com n graus de liberdade)

L = gabqaqb (2)

onde os coeficientes gab no dependem nem das coordenadas generalizadas nem do tempo (soconstantes), todos os momentos cannicos conjugados pd (d = 1, . . . , n) so constantes domovimento.

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4.

Considere um pndulo simples (haste rgida com massa desprezvel de comprimento l e massam) cujo ponto de suspenso (de massaM) est limitado a mover-se numa parbola y = ax2 noplano vertical. O movimento da massa m ocorre no mesmo plano a que o ponto de suspensoest restrito.

a) Quantos graus de liberdade tem este sistema? Justifique.

b) Escreva o Lagrangiano deste sistema em coordenadas generalizadas que tenham em contaas ligaes presentes.

c) Obtenha as respectivas equaes do movimento.

d) Determine e caracterize fisicamente os modos normais de pequenas oscilaes no caso par-ticular em que M = m e a = l = 1.

5.

Considere a funo de variveis independentes q, q, p e p

F (q, q, p, p) = pq G(q, p) . (3)

A partir da condio de estacionaridade

t2t1

F = 0 (4)

onde se impe q(t1) = q(t2) = p(t1) = p(t2) = 0, obtenha as equaes de Euler-Lagrangepara F e seguidamente escreva-as em termos de G.

6.

a) Tendo em conta a homogeneidade e isotropia do espao fsico mostre que, escolhendo comocoordenadas generalizadas as coordenadas cartesianas (x, y, z), o Lagrangiano mais geralpara uma partcula livre dado por:

L = a(x2 + y2 + z2) + C (5)

onde a e C so constantes.

b) O que necessrio ter em conta para estabelecer que a = m2 (m a massa da partcula)?

c) Mostre que, para uma escolha arbitrria de coordenadas generalizadas qi(x, y, z), o Lagran-giano para uma partcula livre toma a forma

L = qiaij qj (6)

e explicite os aij .

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7.

Considere um sistema fsico fechado de n graus de liberdade com energia potencial homognea(de grau k) nas coordenadas generalizadas, ou seja

U(q1, q2, . . . , qn) = kU(q1, q2, . . . , qn) (7)

a) Sabendo que neste sistema se temt

t=( ll

)2, (8)

onde l, l so as dimenses lineares de duas trajectrias e t, t os tempos correspondentes,determine a forma do potencial.

b) Como se relacionam os tempos de duas trajectrias num problema genrico de pequenasoscilaes.

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