Mecânica Quântica: Função de Onda
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Mecânica Quântica: Função de Onda
Teorema de Fourier: representar a partícula como uma superposição de muitas ondas.
dkekax ikx)()0,(Função de
onda do elétron
Amplitude da onda com número de onda k=2/
Somando quantidades variáveis de um infinito
número de ondasExpressão senoidal para harmônicos
Partícula: meio partícula…meio onda…
dxProbabilidade de encontrar um elétron entre x and x+dx
(x,t)2
Grande número de eventos:Comportamento estatístico
1),(2
dxtx
dxtxPb
a 2),( dxtxP
b
a 2),(
Assumindo que a partícula exista, em qualquer instante ela se encontra em algum lugar:
Procurando bem…
Você vai encontrar sua partícula uma única
vez
Função de Onda
Função clássica típica para uma partícula que se propaga na direção +x:
)sin(),( tkxAtx
)sin(),( tkxAtx
tkxtkxAtkxA
txtx
cossin2)sin()sin(
),(),(21
21
partícula desaparece para múltiplos inteiros de /2, 2/3, etc.
Analogamente, para a partícula que se propaga na direção –x:
Sabemos ainda que se 1 e 2 são ambas permitidas, 1 + 2 também será (Princípio da superposição)
Função de Onda
)cos(),( tkxAtx
)cos()}(cos{),( tkxAtkxAtx
x
Função de Onda
Considere outra função clássica típica
Trocando k -k e -:
sincossincos
EulerdeEquação
ieie
i
i
)}sin(){cos(),( )( tkxitkxAAetx tkxi
Representação gráfica de um número complexo z como um ponto no plano complexo.
As componentes horizontal e vertical representam as partes real e imaginária respectivamente.
Função de Onda
Função de Onda
Partícula: meio partícula…meio onda…
A partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que: Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula É uma função complexa É unívoca, finita e contínua Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas
2 2
22
dU E
m dx
Função de Onda: Probabilidades (Max Born 1926 - Nobel 1954)
Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a
probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.
-
*
*
1),(),( :ãoNormalizaç
),(),(),( :adeprobabilid de Densidade
dxtxtx
txtxtxP
Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…
“Deus não joga dados
com o universo”
(A. Einstein)
“Einstein, pare de dizer a Deus o que
fazer”
(Niels Bohr)
Função de Onda: Probabilidades (Max Born 1926 - Nobel 1954)
t
txitxtxV
x
tx
m
),(
),(),(),(
2 2
22
2
2
2
2
2
22
22
:Laplaciano
;),(
),(),(),(2
:3D Em
zyx
t
tritrtrVtr
m
A Equação de Schrödinger (Nobel 1933)
V(x,t): energia potencial e, se V(x) tiextx )(),(
Eq. Schrödinger independente do tempo:
)()()()(
2 2
22
xExxVx
x
m
)()(
222
2
2
22
2
2
22
2
22
2
22
2
22
),( :geral Solução2
)( :Solução
2
2
)( )(
1
2
1
)]()([)]()([
2
)()(),( : variáveisde Separação
),(),(
2
tkxitkxi
ikx
tiiEt
BeAetxm
kEk
dx
dex
mE
dx
dE
dx
d
m
EeetiE
dt
dE
dt
di
Edt
di
dx
d
m
t
txi
x
tx
m
txtxt
txi
x
tx
m
Relação de dispersão
(k)
(eletrons)
2
2
m
k
(fotons)
ck
k
Exemplo: partícula livre (V=0)
Observável: valor esperado
Valor esperado: resultado que se espera encontrar para a média de muitas medidas de uma certa quantidade.
Observável: qualquer quantidade mensurável para a qual podemos calcular o valor esperado (posição, momento, energia…)
Valor esperado de um observável: REAL
Valor médio de uma variável discreta x:
3 3 4 4
Variável discreta variável contínua Probabilidade P(x,t) de observar a
partícula em um certo valor de x
Função de onda valor esperado de x: < x >
Valor esperado de uma função qualquer g(x) para uma função de onda normalizada: < g >
Observável: valor esperado
Valor esperado do momento: necessário representar o momento p como função de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma partícula livre (V=0) com respeito à x:
Valor esperado e Operadores
pk
Logo: Podemos associar ao momento um operador:
Valor esperado de p:
A posiçao x é seu próprio operador. Considere a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre:
Valor esperado e Operadores: Posição e Energia
Logo:
Podemos associar à energia um operador:
Valor esperado de E :
2E h h
posição x x
momento p
energia potencial V V(x)
energia cinética K
energia total E
xi
2
22
2 xm
ti
obs
erv
áve
lo
pera
dor
Operadores
A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.
o potencialenergia cinética
Energia cinética + potencial = energia total
kpm
pKE ;
2
2
t
txitxxV
x
tx
m
),(
),()(),(
2 2
22
),(),(),(
livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O
:linear momentoOperador
)()( txptxkekex
itxp
px
ip
p
tkxitkxiop
op
op
op
Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida.
Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem valor bem definido, com incerteza nula.
Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.
Operadores, autofunção e autovalor
Operadores, autofunção e autovalor
),(),(),(
livre? partícula da onda de função na operamos quando acontece que O
: energiaOperador
)()( txEtxeet
itxE
Et
iE
E
tkxitkxiop
op
op
op
2
22
222
: cinética energiaOperador
xmm
xi
xi
m
ppT
T
opopop
op
Cxex
xx
tkxi
op
)(
:posição da autofunção uma é não livre partícula da a que Note posiçãoOperador
A da partícula livre também é uma autofunção do
operador energia, com autovalor ħ.
Operadores e a Eq. Schrödinger
o potencialexpressão para energia cinética
Energia cinética + potencial = energia total
kpm
pKE ;
2
2
t
txitxxV
x
tx
m
),(
),()(),(
2 2
22
no)Hamiltonia(operador
op
opopop
EH
EVT
energia da sautovalore osencontrar permite Solução
sautovalore de Equação
de teindependenr Schrödinge Eq.
EH
t
)()()()(
2 2
22
xExxVx
x
m
Partícula Livre
2 2
2
k
m
2
22
m
kE
k
E Momento bem determinado: posição desconhecida
2px x
Qualquer energia positiva é permitida
(E varia de forma contínua)
0ou ,
0 ,0)(
:Potencial
xLx
LxxV
m
kEBeAex
Edx
d
m
xVLx
xxLx
ikxikx
2 ;)( :Solução
livre) partícula a (como 2
:erSchroeding Eq.
:0)( temos,0 Em
0)(:proibida) (região 0ou Em
22
2
22
Partícula na Caixa: Poço de potencial infinitoV
Regiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
x0 L
xkAx
mL
n
m
kE
L
nk
nnkLkLALLx
kxAeeAx
BABAx
L
Lxx
nnn
nnn
ikxikx
sen)( :onda de Funções
)quantizada (energia
22
...)3,2,1(0sen)( : Em
..)constante. uma de menos (a
sen)(
0)0( :0 Em
0)()0(:CONTORNO DE CONDIÇÃO
e 0 em contínuaser deve onda de Função
2
22222
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
E1
E2
E3
V
Regiã
o
pro
ibid
a
Regiã
o
pro
ibid
a
x0 L
n : número quânticoPoço de potencial infinito
Condições de contorno: =0 para x = 0 e x = L. Soluções válidas para kL = nπ onde n=inteiro.
Função de onda:
Normalizando:
Idênticas à corda vibrante com extremos fixos.
Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito
Número de onda quantizado:
Resolvendo para a Energia: Energia depende dos valores de n; Energias quantizadas e não nulas Energia do estado fundamental:n = 1
Probabilidade de observar a partícula entre x e x+xem cada estado :
Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito
P < 100 %100% - P
P = 100 %Barreira
V
x0 L
Regiã
o
pro
ibid
a Regiã
o
pro
ibid
a
Barreira de Potencial
V
x0
V0
E < V0E
1 2
EVm
DeCex
EVEVm
dx
d
EVdx
d
m
xx
0
2
020
2
2
02
22
2 onde
,)( :Solução
0 ,2
2
:rSchrödinge Eq.- 2 Região
mEk
m
kE
BeAex ikxikx
2
2
refletida) (incidente
)(
:livreelétron - 1 Região
22
1
Potencial degrau
Encontrar B, C e D em termos de A
)1(
:0 em contínuaser Deve
0
:divergir pode não onda de Função
0,)(
0,)(
2
1
DBA
x
C
xDeCex
xBeAexxx
ikxikx
Aik
ikDDA
ik
ikA
Aik
ikBBABAik
DikBikA
dx
d
dx
d
x
xx
2
)()(
:obtemos (2), e (1) Combinando
)2(
:0 em contínuas derivadas ter Deve
0
2
0
1
Função de onda e suas derivadas: Finitas Contínuas
Barreira de potencial e Efeito Túnel
V
x0
V0 (x)
xe
Existe uma probabilidade de
encontrar o elétron na região classicamente
proibida
V
x0
(x)
a
incidente
refletido
transmitido
Se a barreira for suficientemente
pequena (largura a) o elétron poderá ser
transmitido (tunelar) com uma certa
probabilidade: EFEITO TÚNEL a
trans eaP 22
2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html
Regiões I e III:
Barreira e Tunelamento:
Região II:
Partícula com energia E incide sobre uma barreira de potencial Vo
E > V0
Onda incidente, refletida e transmitida: Eq. Schrödinger nas 3 regiões:
Barreira e Tunelamento:
Soluções: Onda se move para a direita:
Probabilidades de Reflexão e Transmissão
Probabilidade de reflexão R ou transmissão T :
R + T = 1.
Aplicando condições de contorno: x → ±∞, x = 0 e x = L
T pode ser = 1.
Existe probabilidade finita da partícula penetrar na barreira e aparecer do outro lado!
Probabilidade de transmissão descreve o fenômeno de tunelamento
E < V0
Classicamente a partícula não possui energia para vence a barreira
Tunelamento
Função de onda no Tunelamento