Mecanica e Ondas

fascıculo 25

June 3, 2008

Contents

25.1 Teoria da Relatividade Restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44625.2 O fenomeno da “aberracao estelar” . . . . . . . . . . . . . . . . . 44725.3 Experiencias de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . 44725.4 Postulados da Teoria da Relatividade Especial (ou Restrita) . . . 45325.5 Relatividade e medidas; ponto de vista operacional . . . . . . . . 45425.6 A transformacao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45525.7 Invariantes de espaco-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45625.8 O conceito de simultaneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45725.9 Medidas relativistas de comprimentos . . . . . . . . . . . . . . . 458

Mario J. PinheiroDepartamento de Fısica e Instituto de Plasmas e Fusao NuclearInstituto Superior Tecnicoemail: mpinheiro@ist.utl.pt

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Figure 1: Observador em Terra, referencial Oxy, e nave donde e disparado umfeixe de raios laser, referencial O’x’y’.

“Honest differences are often a healthy sign of progress.”

- Mahatma Gandhi, polıtico Indiano e leader espiritual (1869 - 1948)

25.1 Teoria da Relatividade Restrita

Na Mecanica Newtoniana usamos as transformacoes de Galileu para passarmosde um referencial de inercia para outro. Porem, existem eventos e fenomenos quenao podem ser descritos por este tipo de transformacoes. Por exemplo, imagineque viaja numa nave que se move com a velocidade v = 3c/4 em relacao ao solo.A nave dispara um raio laser para a direita. Qual e a velocidade do raio de luzna perspectiva de um observador que esta no solo (Fig. 1)? Se for utilizada atransformacao de Galileu, obtemos

vx = v′x + V= c + 3

4c = 74c

(25.1)

praticamente o dobro da velocidade da luz. Se o feixe de luz for direcionado nosentido -x, terıamos

vx = −c +34c =

14c, (25.2)

o que significa que a luz se apresentaria mais lenta. Na verdade, esta analiseesta incorrecta.

As transformacoes de Galileu sao unicamente validas para baixas velocidadesdos objectos quando comparadas com a velocidade da luz (v ¿ c). Elas admitemuma “relatividade” em relacao ao observador das medidas das coordenadas es-paciais e temporais, das distancias entre dois pontos materiais, implicando assimque as velocidades relativas e as aceleracoes sao invariantes pela transformacaode coordenadas de um referencial de inercia para um outro referencial de inerciacom movimento uniforme relativo. Destas invariancias das aceleracoes resultamexpressoes identicas do Princıpio fundamental da dinamica,

−→F = m−→a .

Destas invariancias resulta a impossibilidade de determinar por meio de pro-cessos mecanicos se um dado sistema (o laboratorio onde se executa uma ex-periencia dada, por exemplo) se encontra em repouso absoluto ou em movi-mento rectilıneo e uniforme. Os princıpios enunciados por Newton pressupoem

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um espaco absoluto e um tempo absoluto e o movimento dos corpos em relacaoa esse espaco absoluto.

A teoria ondulatoria da luz, desenvolvida por Young apresentava a luz comouma onda, sujeita aos efeitos de interferencia, difraccao, polarizacao,...A luzapresenta caracterısticas analogas as que sao evidenciadas nos processos ondu-latorios. O som precisa de um meio material para se propagar, o ar, por exemplo.Consequentemente, foi com naturalidade que se supos que a luz necessita igual-mente de um meio, historicamente denominado o eter luminıfero, tudo levando acrer que a rapidez da luz atraves desse meio deva ser independente da velocidadeda fonte que a produz.

Mas, se esse hipotetico meio existe, devera haver uma maneira de detectar omovimento atraves dele. Duas experiencias ficaram celebres pela sua tenta-tiva de determinar a velocidade “absoluta” da Terra em relacao ao “eter”: ofenomeno da “aberracao estelar” estudada por James Bradley (1726) e a ex-periencia de Michelson-Morley.

25.2 O fenomeno da “aberracao estelar”

25.3 Experiencias de Michelson-Morley

A experiencia de Michelson e Morley e uma das experiencias mais importantes(e das mais famosas) na historia da fısica. Ela foi realizada durante o ano de1887 por Albert Michelson (que acabou por receber o premio Nobel em 1907por esse trabalho) e Edward Morley, na que e hoje a “Case Western ReserveUniversity”. E considerada como a primeira evidencia experimental contra ateoria do “eter luminıfero”.

Referimos que a propagacao das ondas sonoras ocorre num meio fluido ou solido.Em particular, nos metais as ondas sonoras atingem valores mais elevados, tipi-camente 5000 m/s, aumentando com o valor das “constantes elasticas” entreatomos vizinhos. A velocidade do som vs depende das propriedades do meio,podendo parecer maior ou menor conforme o meio em que se propaga se aprox-ima ou se afasta do observador. En analogia com este bem conhecido fenomeno,Maxwell acreditava que a velocidade da luz tambem teria um valor diferentequando medida num laboratorio terrestre devido ao seu movimento em redordo Sol atravessando o eter a velocidade de 3× 104 m/s.

Apesar da analogia com as ondas sonoras, que consistem em movimentos decompressao e rarefaccao longitudinal dum fluido, a perturbacao ondulatoria denatureza electromagnetica tem um caracter diferente, consistindo em oscilacoestransversais periodicas no espaco e propagando-se atraves dele (Fig. 2).

Considere agora um feixe de luz propagando-se atraves do hipotetico eter, quepreenche o espaco inteiro. A Terra supostamente move-se atraves do eter comvelocidade v. Portanto, todo o observador em movimento no eter, devera estar

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Figure 2: Caracterısticas de uma onda electromagnetica propagando-se noespaco.

Figure 3: Trajecto de ida e volta descrito pela luz.

sujeito a um vento de eter. Michelson imaginou um aparelho de grande sensibil-idade, um interferometro, capaz de medir o movimento da Terra atraves desteeter.

Imaginemos que a luz descreve um trajecto de ida e volta: A → B → A, descritoentre entre dois pontos AB separados pela distancia L (Fig. 3).

Suponhamos que o conjunto AB (braco do interferometro) move-se para a dire-ita atraves do eter com velocidade v (Fig. 3-(a)). Por simetria, podemos suporque o eter se move para a esquerda com a mesma velocidade. Quando o feixe deluz se propaga para a direita, a sua velocidade e c− v, enquanto que sera c + vquando o feixe se propaga para a esquerda (Fig. 3-(b)). Podemos pois assimdeterminar os tempos de transito seguintes:

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tempo de transito A → B : t1 = Lc−v

tempo de transito B → A : t2 = Lc+v

Se o aparelho estivesse em repouso, v = 0 : to = Lc

O movimento de translaccao da Terra provoca um atraso no retorno do feixe deluz ∆t, que se estima assim:

∆t = t1 + t2 − 2to= L

c−v + Lc+v − 2L

c

= Lc

[1

1−v/c + 11+v/c − 2

]

= 2Lc

[1

1−v2/c2−1

]

' 2Lc

v2

c2

(25.3)

A orbita terrestre corresponde a v/c = 10−4, e se suposermos como valorrazoavel, como dimensao tıpica de um aparato experimental, L = 1 m, obtemos∆t = 2 × 1/(3 × 108) × 10−8 ≈ 7 × 10−7 s, na verdade um valor excessiva-mente pequeno para ser mensuravel. Porem, Michelson nao se desencorajou,imaginando em 1881 a seguinte solucao.

A luz provinda de uma fonte luminosa e dividida em dois feixes por meio de umespelho semi-transparente 1 colocado em M , como ilustra a Fig. 4-(a).

Metade do feixe propaga-se ate ao espelho M1 antes de ser reflectida de voltaao espelho M e depois ate ao observador.

A outra medade do feixe e desviado para o segundo braco do interferometroatingindo o espelho M2, sendo reflectido de volta para o observador.

O observador vera um padrao de interferencias resultando da subreposicao dosdois feixes e que dependera do atraso temporal ∆t entre ambos.

Se ∆t = 0, o que corresponde a um numero inteiro de o observador vera umafranja brilhante.

Se ∆t = T/2, o que corresponde a exactamente metade de um ciclo, as ondaschegam ao observador em oposicao de fase (180o) e cancelam-se uma a outra.O observador tera o campo de visao obscurecido.

Medidas precisas e cuidadosas permitem medir variacoes da ordem dos λ/100,fazendo de Michelson um precursor no campo das medidas de alta precisao.

Alinhando o interferometro de modo que M → M1 esteja orientado ao longo davelocidade da Terra, verifica-se que o tempo de percurso de ida e volta do feixe

1Em ingles, “beam-splitter”.

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Figure 4: (a) Versao simplificada do interferometro de Michelson mostrandoo feixe provindo da fonte S dividido em dois feixes por um espelho semi-transparente M . Os feixes sao reflectidos pelos espelhos M1 e M2, retornandoao espelho semi-transparente. Os feixes sao depois transmitidos ao telescopio Tonde interferem, dando como resultado um padrao de franjas de interferencia.Na Figura −→v e a suposta velocidade do eter relativamente ao interferometro.

Figure 5: (a) Sobreposica.o de ondas em fase; (b) sobreposicao de ondas emoposicao de fase.

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Figure 6: O interferometro esta orientado de modo que um dos seus bracos estaorientado ao longo da direccao do movimento da Terra.

Figure 7: Trajecto curvo em direccao ao espelho M2.

de luz dispendido no trajecto M → M1 e:

T1 = Lc−v + L

c+v

= Lc

[1

1−v/c + 11+v/c

]

= 2Lc

11−v2/c2

' 2Lc

[1 + v2

c2

],

(25.4)

onde L e o comprimento do braco AM1 do interferometro (Fig. 6).

Ocorre igualmente um atraso no braco-2. O espelho M2 move-se para a direitae a luz deve propagar-se no trajecto mostrado na Fig. 7.

Seja τ o tempo de percurso do feixe de luz (ou da frente de onda) dispendidono trajecto M → M2. A distancia percorrida pelo feixe de luz e calculado sem

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dificuldade:L′ =

√L2 + v2τ2

L′ = cτ

τ =√

L2+v2τ2

c

∴ τ = Lc

1√1−v2/c2

.

(25.5)

O tempo total para a luz viajar do espelho A ate M2 e voltar ao ponto departida e:

T2 = 2τ = 2Lc

1√1−v2/c2

T2 ' 2Lc

(1 + 1

2v2

c2

)⇒ ∆T = T1 − T2 = L

cv2

c2

(25.6)

onde ∆T representa o atraso temporal devido ao movimento de translaccao daTerra.

Como e evidente, torna-se muito difıcil construir na pratica um interferometrocom dois bracos exactamente iguais.

Michelson teve a ideia engenhosa de rodar de 90o os bracos do seu interferometro.Assim, o atraso temporal total devera ser 2∆T , e o deslocamento do padrao dasfranjas e rapidamente calculado.

Se a diferenca de percurso dos dois feixes e um numero integral de comprimentosde onda λ, a interferencia e construtiva. Se um dos espelhos se desloca de meio-comprimento de onda λ/2, a distancia percorrida pela luz nesse braco varia nototal de λ e o padrao de interferencia atinge um maximo, desde que δ = mλ.Esse incremento eventual de λ num dos bracos, corresponde ao deslocamento deuma franja. No total passarao ∆N franjas se o deslocamento total do espelhofor de δ

δ = ∆nλ. (25.7)

Assim, ao rodar os bracos do iterferometro de 90o o atraso temporal total e2∆T , dando origem ao deslocamento de N franjas no padrao de interferenciasdos dois feixes:

∆N =δ

λ=

2∆Tc

λ=

2L

λ

v2

c2. (25.8)

Apesar de todo o cuidado e complexidade da experiencia nao foi detectadoqualquer deslocamento das franjas de interferencia, isto e, a velocidade depropagacao da luz e a mesma em todas as direccoes, nao se podendo demonstrara existencia de um eter em repouso, logo nao fazendo sentido supo-lo existente.

Exemplo 1: Seja um interferometro de Michelson-Morley cujos bracos tem ocomprimento de 10 m cada um, um deles estando orientado ao longo do movi-mento que a Terra supostamente faz atraves do eter. Supondo que a velocidadeda Terra atraves do eter e igual a sua velocidade orbital v = 10−4c, calcule adiferenca de tempo de percurso ao longo dos bracos do interferometro dos doisfeixes luminosos.

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Vimos anteriormente que

∆T ≈ L

c

v2

c2=

2(10−4c)2

(3× 108)c2= 3.33× 10−16s (25.9)

Exemplo 2: O interferometro usado por Michelson e Morley tinha bracos de11 m e usava a luz de uma lampada de sodio emitindo no comprimento de ondaλ = 5900 A. Esta aparelhagem teria permitido observar um deslocamento de0.005 franjas. Qual e o limite superior da velocidade da Terra atraves do eterque este interferometro permite detectar? (Suponha o comprimento dos bracosiguais).

O numero de franjas que podemos observar a desfilar no retıculo e dado por

∆N = v2

c2λ (2L) = 2Lv2

λc2

0.005 = 2(11)v2

(5900×10−10m)(3×108m/s)2

∴ v = 3.47× 103m/s.

(25.10)

Como a velocidade orbital da Terra e v = 3× 104 m/s, o interferometro usadoera perfeitamente sensıvel para detectar o movimento atraves do eter. Porem,Michelson e Morley reclamaram ter sido impossıvel detectar tal movimento.

25.4 Postulados da Teoria da Relatividade Especial (ouRestrita)

A experiencia de Michelson-Morley deu um resultado nulo na tentativa de deter-minacao da velocidade da Terra atraves do eter - o meio transmissor das ondaselectromagneticas.

O resultado da experiencia de Michelson-Morley significa que dois observadores,A e B, em movimento relativo um ao outro com velocidade v, ambos vem umaonda esferica provinda dos seus respectivos pontos de observacao.

Mas este resultado da observacao encontra-se em contradicao com as trans-formacoes de Galileu:

x′ = x− vty′ = yz′ = zt′ = t

(25.11)

Ora vejamos. No sistema Oxyz, onde se encontra o observador A e valida aexpressao

x2 + y2 + z2 = c2t2, (25.12)

como equacao da superfıcie de onda decorrido o intervalo de tempo t, enquantoque a equacao da mesma superfıcie de onda no referencial O’x’y’z’ deveria serdada, aplicando as transformacoes de Galileu, pela expressao:

(x′ + vt)2 + y′2 + z′2 = c2t2. (25.13)

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Porem, o resultado da experiencia de Michelson-Morley exige que se tenha igual-mente uma esfera com centro em O’, ou seja, que se tenha

x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2. (25.14)

A experiencia de Michelson-Morley obriga a descrever o movimento no refer-encial O’x’y’z’ atribuindo um tempo local t′, que se relaciona com o tempo tatraves duma relacao de transformacao ainda por definir.

Einstein resolveu, de certa forma, este problema enunciando dois postulados queconstituem o cerne do celeberrimo artigo publicado em 1905 e intitulado “Onthe electrodynamic of moving bodies” 2:

1. Postulado 1: As leis da fısica tem a mesma forma (sao invariantes) emtodos os referenciais de inercia;

2. Postulado 2: A rapidez da luz no vacuo e a mesma em qualquer referencialde inercia, e igual a c = 1√

εoµo= 3× 108 m/s.

A expressao matematica do princıpio da relatividade encontra-se materializadanas Transformacoes de Lorentz (TL).

25.5 Relatividade e medidas; ponto de vista operacional

A aplicacao da algebra simples das transforcoes de Lorentz requer uma definicaoprevia de alguns conceitos elementares, em acordo com o ponto de vista opera-cional de Einstein.

• Evento: qualquer fenomeno que acontece e definido por meio de 4 coorde-nadas.

O referenciais sao denotados da seguinte forma:

• S: (x, y, z, t).

• S′: (x′, y′, z′, t′)

Coordenadas espaciais:

• Sistema de coordenadas preenchido com um sistema denso de reguas, ori-entadas ao longo de cada um dos eixos; as reguas fornecem a localizacaoprecisa de cada evento.

21905 e considerado o “anno mirabilis” de Einstein, e da fısica, tendo Einstein publicado5 notaveis artigos, cada um por si merecendo o premio Nobel...

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Figure 8: ...

Coordenadas temporais:

• Cada ponto na interseccao de cada regua contem um relogio;

• Os relogios sao colocados no seu lugar e simultaneamente sincronizadosno instante inicial t = 0 por meio de sinais luminosos (propagando-se avelocidade da luz).

• Todos os relogios sao perfeitamente iguais e trabalham ao mesmo ritmo.

Quando um evento ocorre, as coordenadas do evento no espaco-tempo ficamdeterminadas fazendo a medida das distancias com o auxılio das “reguas” e dorelogio mais pertos do evento (Fig. 8).

Para dois eventos, a diferenca temporal e calculada como sendo a diferencaregistada pelos relogios mais proximos do evento; a separacao espacial e obtidaa partir das diferencas das coordenadas registadas pelas reguas proximas decada evento.

25.6 A transformacao de Lorentz

O postulado da invariancia da velocidade da luz em todos os referenciais deinercia torna necessario substituir as transformacoes de Galileu pelas trans-formacoes de Lorentz.

Estas consistem num conjunto de equacoes que relacionam (x, y, z, t) em S com(x′, y′, z′, t′) em S′ movendo-se com velocidade v relativamente a S.

Requer-se, em particular, que se verifiquem os seguintes contrangimentos:

• a transformacao deve ser linear. Um unico evento em S deve ser transfor-mado num unico evento em S′;

• Quando v ¿ c, a transformacao deve tender para a transformacao deGalileu;

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Figure 9: Grafico de γ versus v/c.

• A rapidez da luz deve ser c em qualquer referencial de inercia.

Na verdade, as transformacoes de Lorentz (TL) verificam todos esses requeri-mentos. Por hipotese, admite-se que para x = x′ = 0 tem-se tambem t = t′ = 0.Para dois observadores em S e S′, as TL exprimem-se assim:

x′ = γ(x− vt)y′ = yz′ = z

t′ = γ(t− vxc2 )

(25.15)

ondeγ =

1√1− β2

(25.16)

sendoβ ≡ v

c. (25.17)

Nestas expressoes v conta-se como positivo se O′ desloca-se no sentido positivo,e conta-se como negativo no caso contrario.

Na Fig. 9 mostra-se a variacao muito rapida de γ quando o racio v/c → 1.

Por simetria, temosx = γ(x′ + vt′)

y = y′

z = z′

t = γ(t′ + vx′c2 )

(25.18)

Na verdade, estas equacoes foram propostas ad-hoc por Lorentz de modo a“explicar” o resultado nulo da experiencia de Michelson-Morley.

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25.7 Invariantes de espaco-tempo

Considere o evento E:

• (x, t) em S;

• (x′, t′) em S′.

Temosx′ = γ(x− vt)t′ = γ(t− vx

c2 ) (25.19)

Podemos verificar o seguinte:

(ct′)2 − (x′)2 = γ2[(ct− vxc2 )2 − (x− vt)2]

= γ2[(c2 − v2)t2 − (1− v2

c2 x2)]= (ct)2 − (x)2 = s2

(25.20)

A quantidade s2 chama-se de it invariante.

Exemplo 3: Um comboio de comprimento 1 km (medido por um observador-passageiro) desloca-se com a velocidade de 200 km/h. Dois claroes atingemsimultaneamente as duas extremidades do comboio no ponto de vista de umobservador no solo. Qual sera o intervalo de tempo entre os dois claroes, medidospelo observador-passageiro?

Temos(200km/h)(

1h

3600s) = 5.6× 10−2km/s. (25.21)

Defenimos os eventos A e B pelos instantes em que os claroes atingem o comboio.Para o observador O no solo, verificam-se as seguintes medidas:

tB − tA =(t′B−t′A)+ v

c2(x′B−x′A)√

1− vc2

0 =(t′B−t′A)+ 5.6×10−2

c2(103m)√

1− vc2

⇒ t′B − t′A = −4.02× 10−3s

(25.22)

O sinal negativo indica que o evento A precede o evento B.

25.8 O conceito de simultaneidade

Dois eventos aparecem como simultaneos a um observador se ele os observar nomesmo instante de tempo.

Suponhamos que dois eventos A e B sao simultaneos para um observador O′,de modo que t′A = t′B . De acordo com as transformacoes de Lorentz a diferencade tempo para o observador O sera

tB − tA =vc2 (x′B − x′A)√

1− v2

c2

(25.23)

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Se os dois eventos se produzem no mesmo lugar, x′A = x′B , e eles serao si-multaneos igualmente para O; de outro modo, se x′a 6= x′B , os dois eventos A eB nao serao simultaneos para o observador O.

25.9 Medidas relativistas de comprimentos

Se um objecto esta em repouso em relacao a um observador, o seu comprimentoavalia-se medindo a diferenca entre as coordenadas espaciais das suas extremi-dades. O comprimento determinado e chamado comprimento proprio do objectoconsiderado.

Se o objecto encontra-se em movimento, o procedimento de medida e maiscomplexo na medida em que as extremidades do objecto devem ser medidas nomesmo instante.

Consideremos entao uma regua orientada na direccao x− x′, e no repouso rela-tivamente a O′. Queremos estabelecer uma relacao entre as medidas efectuadaspelos observadores O e O′ quando O′ se desloca com velocidade v na direccaox − x′. Sejam A e B as duas extremidades da regua. De acordo com as trans-formacoes de Lorentz, tem-se

x′b − x′A =(xB − xA) + v(tB − tA)√

1− v2

c2

(25.24)

A diferenca x′B−x′A = Lo e o comprimento proprio da regua medido por O′. SexB e xA forem medidos no mesmo instante, tB = tA, a diferenca xB − xA = Lsera o comprimento da regua medido por O:

L = Lo

√1− v2

c2. (25.25)

Atendendo a que√

1− v2

c2 < 1, tem-se L < Lo, o comprimento da regua emmovimento sera menor, a regua estara contraıda, um resultado que se designapor contraccao de Lorentz-Fitzgerald.

Exemplo 4: Qual deve ser a velocidade atingida por um foguetao para que oseu comprimento represente 99% do seu comprimento proprio?

L

Lo= 0.99 =

√1− v2

c2⇒ v = 0.141c. (25.26)

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