Mecânica dos Materiais TA-431

FEA/Unicamp

Parte I - Sólidos Deformáveis

Cap. 1 – TENSÃO

Prof. Celso Costa Lopes 2º semestre de 2009

[utilizadas figuras dos editores – vide bibliografia]

Visão Geral

As tensões internas são decorrentes das forças externas às quais o corpo está submetido.

A análise e projeto de estruturas, assim como o conhecimento das propriedades mecânicas

dos materiais e corpos, exige a análise das tensões às quais o corpo está submetido e às

deformações decorrentes das mesmas

As deformações surgem devido ao limite que o material e o corpo apresentam às

tensões internas.

Conceitos Fundamentais• Tipos de Tensão

– Normal• tração• compressão

– Cisalhamento (cortante)

• Limites do corpo– Tensão última do material (Tensão Máxima Admissível)– Carga Admissível (para corpos e estruturas)– Fator de Segurança– Fadiga (influencia do tempo e dos eventos passados)

• Para análise de tensões

Diagrama de Corpo Livre EquilíbrioEquilíbrio

Força ≠ Tensão

0F

0M

Cargas Internas Resultantes de Forças Externas – Método das Seções

• Um corpo mantido em equilíbrio por forças externas pode ser analisado em duas partes.

• Um corte é feito em uma seção transversal ao eixo longitudinal (vertical).

• Desenhando o diagrama de corpo livre para uma das partes, já que essa parte também está em equilíbrio, pode-se verificar a existência forças internas, as quais são efeitos das forças externas que atuam na parte superior

• Embora não se saiba exatamente essa distribuição, as forças internas e, claro, as forças externa que atuam na parte superior, podem ser substituídas por uma força resultante (FR) e um momento

(MRO) em relação a um

ponto específico.

• Fazendo-se a decomposição da força resultante (FR) e do momento (MRO) no eixo normal (perpendicular) e no eixo paralelo à seção transversal, encontramos quatro tipos diferentes de cargas, resultantes dos esforços externos.

O ponto O é o centróide da área secionada

As quatro cargas internas resultantes

• Força Normal – perpendicular à área.– causa a tração ou a compressão

• Força de Cisalhamento – no plano da área.– causa o deslizamento

• Momento de Torção (Torque) – ao longo do eixo normal– torce uma parte do corpo em relação à outra

• Momento Fletor – ao longo do eixo localizado no plano da área– flete o corpo

Em duas dimensões

Não há Momentode Torção !!

Exemplos do Método das Seções para determinação das cargas

internas

Hibbeler 2004 - Exemplo 1.1 –

• Determinar a resultante das cargas internas em C

• Apoio A (único)

M A

A x

A y

Colocar as Reações do Apoios

• Resultante da carga externa distribuída – calcular carga total

– encontrar o centróide h = 1/3 = 3 m

1215(N)(m)/2270(N/m).9Total Carga

9 m

270 N/m

h

Colocar todas as forças externas

Diagrama de Corpo Livre

3 m

1.215 N

M A

A x

A y

Resolver as Equações de Equilíbrio

• ∑Fx= 0

-Ax = 0 => Ax = 0

• ∑Fy= 0

Ay - 1215 = 0 => Ay = 1215 N

• ∑MA= 0

MA + (-1215 N . 3 m) = 0 => MA = 3645 N.m

E no ponto C ??

Método da Seção...

Segmento CB

• Isolar o segmento, com as cargas externas correspondentes

Colocar a Carga distribuída e concentrada

• Fazer a proporção da carga distribuídaW (N/m) / 6 (m) = 270 (N/m) / 9 (m) => W = 180 N/m

• Determinar o centróide

180

1/3

C

2/3

6 m

• Apoio C (único)

M C

C x

C y

Colocar as Reações do Apoios

• Resultante da carga externa distribuída – calcular carga total

– encontrar o centróide h = 1/3 = 2 m

(N)405/2(N/m).6(m)801Total Carga

6 m

180 N/m

h

Colocar todas as forças externas

Diagrama de Corpo Livre

2 m

540 N

M C

C x

C y

Resolver as Equações de Equilíbrio• ∑Fx= 0

-Cx = 0 => Cx = 0

• ∑Fy= 0

Cy - 540 = 0 => Cy = 540 N

• ∑MC= 0

-MC + (-540 N . 2 m) = 0 => MC = -1080 N.m

O quer dizer este sinal?

Respostas: As cargas na seção C

540 N

1080 N

C B

Segmento AC

• Isolar o segmento, com as cargas externas correspondentes

Colocar a Carga distribuída

• Fazer a proporção da carga distribuída

retângulo w = constante = 180 N/m

triângulo no ponto A w=270 N/m => cateto menor = 90 N/m

A C

3 m

180 N/m

90 N/m

Colocar as Cargas Concentradas

• Determinar as cargasretângulo W = (180 N/m) . (3 m) = 540 Ntriângulo W = (90 N/m) . (3 m) / 2 = 135 N

• Determinar os centróides

A C

3 m

180 N/m

90 N/m

1,5 m1 m 2 m

540 N

135 N

• Apoio A• Apoio C

M C

C x

C y

Colocar as Reações do Apoios e obter o Diagrama de Corpo Livre

1 m

1,5 m

A C

540 N135 N

A yA x

M A

Resolver as Equações de Equilíbrio• ∑Fx= 0

-Ax + Cx = 0

• ∑Fy= 0

Ay + Cy - 540 - 135 = 0 => Cy = -540 N

• ∑MA= 0

MA + (-MC) + (-540N.1,5m) + (-135N.1m) + (-540N.3m) = 0

=> MC = 1080 N.m

O quer dizer este sinal?Ay = 1215 N

MA = 3645 N.m

Respostas: As cargas na seção C

540 N

1080 N

A C

Hibbeler 2004 - Exemplo 1.2 –

• Determinar a resultante das cargas internas em C. A e B são rolamentos, exercem apenas forças verticais sobre o eixo.

Diagrama Corpo Livre segmento AC

Ay

Diagrama Corpo Livre todo eixo

Diagrama Corpo Livre segmento AC com a reação em A

TENSÕES

1,5 m

2 m

Pode esta estrutura suportar a carga de 30kN?

Diagrama de corpo livre para toda estrutura

• Condições de Equilíbrio Estático:

∑MC = 0

∑Fx = 0

∑Fy = 0

∑MA = 0

∑MB = 0

1,5 m

2 m

Diagramas de corpo livre para as partes

• Por semelhança de triângulos

kN50kN40

3

kN30

54

0

BCAB

BCAB

B

FF

FF

F

As cargas internas

• FAB = 40kN Compressão

• FBC = 50kN Tração

• Estas forças são resultantes de forças distribuídas em qualquer seção transversal das respectivas barras

• Por exemplo, na barra BC

Tensão Normal

A

F

• Tensão Normal pode ser de tração (+) ou compressão (- )

• Tem sempre a dimensão de Força/Área ou Pressão

MPa159m10314

N105026-

3

A

PBC

• Para o aço σadm = 165MPa

• Então a barra BC suporta a carga

• Se fosse alumínio, qual o diâmetro mínimo da barra BC?

• σadm = 100MPa

mm2.25m1052.2m1050044

4

m10500Pa10100

N1050

2

26

2

26

6

3

Ad

dA

PA

A

P

alal

Aprofundando o conceito

A

P

A

Fmed

A

0

lim

A

med dAdFAP

• A distribuição real das tensões, em uma seção, é estaticamente indeterminada.

Carga centrada

• Distribuição uniforme de tensão somente se: – resultante das forças

internas passa pelo centróide

– cargas centradas

• Para carga excêntrica:– há um momento

resultante

– distribuição de tensão não é uniforme nem simétrica

Tensões de Cisalhamento

A

Fmed

A

F

A

Pave

Single Shear

A

F

A

P

2ave

Double ShearCisalhamento simples e duplo

Cisalhamento simples e duplo

A

F

A

Pmed

A

F

A

P

2med

Tensões de Esmagamento

dt

P

A

PE

Exemplo

• Da estática do corpo livre:FAB = 40 kN

(compressão) FBC = 50 kN (tração)

• A barra BC está tracionada com força de 50kN com tensão normal média de 159MPa

• Na extremidade achatada a tensão normal é

MPa167m10300

1050

m10300mm25mm40mm20

26

3

,

26

N

A

P

A

endBC

• As áreas das seções transversais para os

pinos em A, B, and C,

262

2 m104912

mm25

rA

• O pino em A está em cisalhamento duplo, com uma força igual à exercida pela barra AB,

MPa7.40m10491

kN2026,

A

PmedA

MPa102m10491

N105026

3

,

A

PmedC

• A força sobre o pino em C é igual à força exercida pela barra BC, então a tensão de cisalhamento é

• Dividindo o pino em B em seções para determinar a seção com a maior força de cisalhamento,

maior)(akN 25

kN15

G

E

P

P

MPa9.50m10491

kN2526,

A

PGmedB

• Calculando a correspodente tensão média de cisalhamento,

50 kN

• Para determinar a tensão de esmagamento do ponto A da barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm,

MPa3.53mm25mm30

kN40

td

PE

• Para determinar a tensão de esmagamento do ponto A das chapas de suporte, temos t = 25 mm e d = 25 mm, sendo que cada chapa tem metade da força AB = 40/2 = 20 kN

MPa0.32mm25mm25

kN20

td

PE

Bibliografia

• Beer, F.P. e Johnston Jr., E.R. Resistência dos Materiais. 3ª ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995. (impressão 2006).

• Hibbeler, R.C. Resistência dos Materiais. 5ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004. (impressão 2008).

Anexo: Reações dos Apoios (Hibbeler, 2004, Tabela 1.1)

Anexo: Centróides (Beer e Johnston, 1995, Apêndice F)