Mecânica Das Vibrações - Cap. 8

Unidade 8 Controle de Vibraes

153

Unidade 8 - Controle de Vibraes

8.1 - Introduo

Existem inmeras fontes de vibraes no ambiente industrial: processos de impacto tais como cravamento de

estacas e exploses; mquinas rotativas ou alternativas tais como motores e compressores; veculos de transporte tais como

caminhes, trens e avies; o fluxo de fluidos; e muitos outros. A presena de vibraes frequentemente conduz a efeitos

indesejveis tais como falhas mecnicas ou estruturais, manuteno freqente e dispendiosa de mquinas, e danos e

desconforto para o homem. A vibrao pode ser eliminada algumas vezes com base em anlise terica. Entretanto, os custos

de manufatura envolvidos na eliminao de vibraes podem ser demasiado altos; um projetista deve enfrentar o dilema de

admitir uma quantidade razovel de vibrao a um custo de manufatura aceitvel. Em alguns casos a fora de excitao

inerente mquina. Mesmo uma fora de excitao relativamente pequena pode causar uma resposta inesperadamente

grande prximo ressonncia, especialmente em sistemas pouco amortecidos. Nestes casos a magnitude da resposta pode

ser significantemente reduzida pelo uso de isoladores e absorvedores auxiliares. Nesta unidade, considerar-se-o vrias

tcnicas de controle de vibrao, isto , mtodos que resultam na eliminao ou reduo da vibrao.

A primeira alternativa para controlar vibrao tentar eliminar, isolar ou alterar a fonte da vibrao. Isto nem

sempre possvel. Alguns exemplos de fontes de vibraes que no podem ser alterados so terremotos, turbulncia

atmosfrica (aviao), irregularidades em estradas e instabilidades em motores a combusto. Por outro lado, algumas fontes

de vibrao tais como desbalanceamento em mquinas rotativas ou alternativas podem ser alteradas. Isto pode ser atingido,

usualmente, utilizando-se procedimentos de balanceamento ou melhorando a preciso dos elementos de mquinas. O uso de

tolerncias mais rigorosas e melhor acabamento superficial para algumas partes de mquinas (que apresentam movimentos

relativos entre si) tornam a mquina menos suscetvel vibrao. Naturalmente existem restries econmicas e de

manufatura para o grau de balanceamento que pode ser atingido ou a preciso com a qual as partes das mquinas podem ser

fabricadas. Ser considerado, em primeiro lugar, a anlise de mquinas rotativas e alternativas na presena de

desbalanceamento assim como os meios de controlar as vibraes que resultam de foras desbalanceadas.

Figura 8.1 Carta de severidade de vibrao geral (IRD Mechanalysis)

8.2 Balanceamento de Mquinas Rotativas

A presena de uma massa excntrica ou desbalanceada em um disco rotativo causa vibrao, que pode ser aceitvel

at um certo nvel. A Fig. 8.1 uma carta de severidade de vibrao que pode ser usada para determinar nveis aceitveis de

vibraes em vrias freqncias ou rotaes de operao. Se a vibrao causada por uma massa desbalanceada no


154

aceitvlel, pode ser eliminada tanto pela remoo da massa excntrica como pela adio de uma massa igual em uma

posio que cancele o efeito do desbalanceamento. Para utilizar este procedimento deve-se determinar a quantidade e a

localizao da massa excntrica experimentalmente. O desbalancemento em mquinas prticas pode ser atribudo a

irregularidades como erros de usinagem e variaes em tamanhos de parafusos, porcas, rebites e soldas. Nesta seo, se

considerar dois tipos de balanceamento: um plano ou balanceamento esttico e dois planos ou balanceamento dinmico.

8.2.1 Balanceamento em um plano

Considere-se um elemento de mquina na forma de um disco circular tal como a ventoinha de um ventilador, um

volante, uma engrenagem ou uma embreagem montada em um eixo. Quando o centro da massa deslocado do eixo de

rotao devido a defeitos de fabricao, o elemento de mquina est estaticamente balanceado. Para determinar se o disco

est balanceado, pode-se montar o eixo em dois mancais de baixo atrito como mostra a Fig. 8.2. Gire-se o disco e permita-se

que retorne ao repouso. Marcar o ponto inferior da circunferncia do disco com um giz. Repetir o processo vrias vezes,

cada vez marcando o ponto inferior com o giz. Se o disco est balanceado as marcas de giz se espalharo aleatoriamente ao

longo da circunferncia. Por outro lado, se o disco est desbalanceado, todas as marcas de giz coincidiro.

O desbalanceamento detectado por este procedimento conhecido como desbalanceamento esttico. O

desbalanceamento esttico pode ser corrigido removendo-se metal na posio da marca de giz ou adicionando um peso a

180 da marca de giz. Como a magnitude do desbalanceamento no conhecida, a quantidade de material a ser removida ou

adicionada deve ser determinada por tentativa e erro. Este procedimento chamado balanceamento em um plano uma vez

que todas as massas esto localizadas praticamente em um plano. A quantidade de desbalanceamento pode ser determinada

girando-se o disco a uma velocidade de rotao conhecida e medindo-se as reaes nos dois mancais (Fig. 8.2). Se uma massa desbalanceada m localizada em um raio r do disco, a fora centrfuga ser mr2. Ento as reaes medidas nos mancais F1 e F2, so:

21

2

22

1

mrl

aF

mrl

aF

(8.1)

Figura 8.2 Balanceamento em um plano.

Outro procedimento para balanceamento em um plano, usando um analisador de vibrao ilustrado na Fig. 8.3.

Aqui, um disco montado em um eixo rotativo que tem um mancal em A e acionado por um motor rotativo eltrico com

uma velocidade angular .


155

Figura 8.3 Balanceamento com analisador de vibraes.

Antes de comear o procedimento, marcas de referncia, tambm conhecidas como marcas de fase, so feitas tanto

no rotor como no estator, como mostra a Fig. 8.4a. Um sensor de vibrao colocado em contato com o mancal, como

mostrado na Fig. 8.3, e o analisador de vibrao regulado para uma freqncia correspondente velocidade angular do

disco. O sinal da vibrao (amplitude de deslocamento) produzido pelo desbalanceamento pode ser lido no instrumento.

Uma luz estroboscpica acionada pelo analisador de vibrao na freqncia de rotao do disco. Quando o rotor gira a

uma velocidade , a marca de fase do rotor aparece estacionria sob a luz estroboscpica mas posicionada a um ngulo da marca feita no estator, como mostra a Fig. 8.4b, devido diferena de fase da resposta. Tanto o ngulo como a amplitude Au (lida no analisador) causada pelo desbalanceamento original so anotadas. O rotor ento parado e um peso de teste W

fixado ao rotor, como mostra a Fig. 8.4b. Quando o rotor gira com a velocidade , a nova posio angular da marca de fase e a amplitude de vibrao Au+w, causada pelo desbalanceamento combinado do rotor e do peso de teste, so anotados(ver Fig. 8.4c). (Observe-se que se o peso de teste colocado em uma posio que desloca o desbalanceamento lquido em uma

direo horria, a posio estacionria da marca de fase ser deslocada exatamente pela mesma quantidade na direo anti-

horria, e vice-versa).

Figura 8.4 Balanceamento em um plano utilizando analisador de vibraes.

Agora constri-se um diagrama vetorial para encontrar a magnitude e posio da massa de correo para o

balanceamento do disco. O vetor desbalanceamento original u

A

traado em uma direo arbitrria, com seu comprimento

igual a Au, como mostra a Fig. 8.5. ento traado o vetor de desbalanceamento combinado wuA

. O vetor diferena

uwuwAAA

, na Fig. 8.5 representa ento o vetor desbalanceamento devido ao peso de teste W. A magnitude de w

A

pode

ser calculada usando a lei dos cossenos

cos222wuuwuuw

AAAAA (8.2)

como a magnitude do peso de teste W e sua direo relativa ao desbalanceamento original ( na Fig. 8.5) so conhecidos, o prprio desbalanceamento original deve estar em um ngulo a partir da posio do peso de teste, como mostrado na Fig. 8.4d. O ngulo a pode ser obtido da lei dos cossenos:

wu

wuwu

AA

AAA

2cos

222

1 (8.3)

A magnitude do desbalanceamento original W0 = (Au/Aw)W, localizado na mesma distncia radial do eixo de rotao que o

peso W. Uma vez que a localizao e a magnitude do desbalanceamento original so conhecidas, o peso de correo pode

ser adicionado para balancear apropriadamente o disco.


156

Figura 8.5 Diagrama vetorial do balanceamento em um plano.

8.2.2 Balanceamento em dois planos

O balanceamento em um nico plano pode ser utilizado para balancear discos finos. Se o rotor um corpo rgido

alongado como mostrado na Fig. 8.6, o desbalanceamento pode estar em qualquer lugar ao longo do comprimento do rotor.

Neste caso, o rotor pode ser balanceado pela adio de pesos balanceadores em quaisquer dois planos. Por convenincia, os

dois planos so usualmente escolhidos como os planos extremos do rotor (mostrado por linhas tracejadas na Fig. 8.6).

Figura 8.6 Balanceamento em dois planos.

Para ver que qualquer massa desbalanceada no rotor pode ser substituda por duas massas desbalanceadas

equivalentes (em dois planos quaisquer), considerar um rotor com uma massa desbalanceada m a uma distncia l/3 da

extremidade direita, como mostra a Fig. 8.7a. Quando o rotor gira com uma velocidade , a fora devida ao desbalanceamento ser F = m2R, onde R o raio do rotor. A massa desbalanceada m pode ser substituda por duas massas m1 e m2, localizadas nas extremidades do rotor, como mostrado na Fig. 8.7b. As foras exercidas sobre o rotor por estas

massas so F1 = m12R e F2 = m2

2R . Para a equivalncia de foras nas Figs. 8.7a e 8.7b, tem-se

21

2

2

2

1

2 ou mmmRmRmRm (8.4)

Para a equivalncia de momentos nos dois casos, considerando-se momentos em relao extremidade direita, tem-se

1

2

1

2 3ou 3

mmRlml

Rm (8.5)

As equaes (8.4) e (8.5) resultam em m1 = m/3 e m2 = 2m/3. Ento qualquer massa desbalanceada pode ser substituda por

duas massas desbalanceadas equivalentes nos planos extremos do rotor.


157

Figura 8.7 Substituio de massa desbalanceada em dois planos.

Considere-se agora o procedimento de balanceamento usando um analisador de vibraes. Na Fig. 8.8 o

desbalanceamento total no rotor substitudo por dois pesos desbalanceados UE e UD nos planos da direita e da esquerda,

respectivamente. Na velocidade de operao do rotor , a amplitude de vibrao e o ngulo de fase devidos ao

desbalanceamento original so medidos em dois mancais A e B, e os resultados so registrados como vetores A

V

e B

V

. A

magnitude do vetor vibrao tomada como a amplitude de vibrao, enquanto que a direo do vetor tomada como o

negativo do ngulo de fase observado sob luz estroboscpica referenciada linha de referncia do estator. Os vetores

medidos A

V

e B

V

podem ser expressos como

DADEAEA

UAUAV

(8.6)

DBDEBEBUAUAV

(8.7)

Onde ij

A

pode ser considerado como um vetor, refletindo o efeito do desbalanceamento no plano j (j = E, D) na

vibrao no mancal i (i = A,B). Observar que DE

UU

, e todos os vetores ij

A

so incgnitas nas Eqs. (8.6) e (8.7).

Figura 8.8 Balanceamento em dois planos. Pesos de correo.

Como no caso do balanceamento em um plano, adiciona-se pesos de teste conhecidos e faz-se medies para obter

informao sobre as massas desbalanceadas. Primeiro adiciona-se um peso conhecido E

W

no plano esquerdo em uma

posio angular conhecida e mede-se deslocamento e fase da vibrao nos dois mancais enquanto o rotor gira com uma

velocidade . Denota-se estas vibraes medidas como vetores como

DADEEAEA

UAWUAV

(8.8)

DBDEEBEB

UAWUAV

(8.9)


158

Subtraindo Eqs. (8.6) e (8.7) das Eqs. (8.8) e (8.9), respectivamente, e resolvendo, obtm-se

E

AA

AE

W

VVA

(8.10)

E

BB

BE

W

VVA

(8.11)

Remove-se ento E

W

e adiciona-se um peso conhecido D

W

no plano direito em uma posio angular conhecida e

mede-se as vibraes resultantes enquanto o rotor est girando com uma velocidade . Denota-se estas vibraes medidas como vetores como

EAEDDADA

UAWUAV

(8.12)

EBEDDBDB

UAWUAV

(8.13)

Como antes, subtrai-se as Eqs. (8.6) e (8.7) das Eqs. (8.12) e (8.13), respectivamente, para achar

R

AA

AR

W

VVA

(8.14)

R

BB

BR

W

VVA

(8.15)

Uma vez que os operadores ijA

sejam conhecidos, as Eqs. (8.6) e (8.7) podem ser resolvidas para determinar os

vetores de desbalanceamento E

U

e D

U

:

BEADAEBD

BADABD

E

AAAA

VAVAU

(8.16)

BDAEADBE

BAEABE

D

AAAA

VAVAU

(8.17)

O rotor pode agora ser balanceado pela adio de pesos de balanceamento iguais e opostos em cada plano. Os

pesos de balanceamento nos planos esquerdo e direito podem ser chamados como os vetores EE

UB

e DD

UB

. Pode-

se ver que o procedimento de balanceamento em dois planos uma extenso direta do balanceamento em um plano. Embora

rotores de alta velocidade de rotao sejam balanceados durante a fabricao, usualmente se torna necessrio balance-los

novamente in situ devido a pequenos desbalanceamentos introduzidos devido a fissuras, operao em alta temperatura, etc.

Exemplo 8.1 Balanceamento em dois planos de um rotor de turbina

No balanceamento em dois planos de um rotor de turbina, os dados obtidos das medidas do desbalanceamento original, o

peso de teste do plano direito e o peso de teste do plano esquerdo so mostrados na Tabela 8.1. As amplitudes de

deslocamento esto em mils (1/1000 pol). Determinar o tamanho e a posio dos pesos de balanceamento requeridos.

Condio

Amplitude de vibrao

(deslocamento) ngulo de fase

Mancal A Mancal B Mancal A Mancal B

Desbalanceamento original 8,5 6,5 60 205

WE = 10,0 oz adicionada em 270 da

marca de referncia 6,0 4,5 125 230

WD = 12,0 oz adicionada em 180 da

marca de referncia 6,0 10,5 35 160

Tabela 8.1 Dados para o balanceamento.


159

Dados: medies para o balanceamento apresentados na tabela 8.1.

Determinar: tamanho e posio dos pesos de balanceamento necessrios.

Mtodo: Aplicar as equaes vetoriais (8.16) e (8.17), para obter o balanceamento.

Soluo: Os dados podem ser expressos em notao vetorial como

3612,72500,4605,8 iVA

7470,28910,52055,6 iVB

9149,44415,31250,6 iVA

4472,38926,22305,4 iVB

4415,39149,4350,6 iVA

5912,38668,91605,10 iVB

0000,100000,02700,10 iWE

0000,00000,121800,12 iWD

As equaes (8.10) e (8.11) resultam em

7691,02446,00000,100000,0

4463,26915,7i

i

i

W

VVA

E

AA

AE

2998,00700,00000,100000,0

7002,09985,2i

i

i

W

VVA

E

BB

BE

O uso das equaes (8.14) e (8.15) conduz a

3266,00554,00000,00000,12

9198,36649,0i

i

i

W

VVA

D

AA

AD

5282,03313,00000,00000,12

3382,69758,3i

i

i

W

VVA

D

BB

BD

Os pesos desbalanceados podem ser determinados das equaes (8.16) e (8.17)

6879,52930,83903,02234,0

9661,10725,4

)0063,01018,0()3840,03252,0(

)7721,12237,1()1941,02962,5(i

i

i

ii

ii

AAAA

VAVAU

BEADAEBD

BADABD

E

4592,51773,23903,02234,0

0693,26443,1

)3840,03252,0()0063,01018,0(

)8590,35540,3()7898,19096,1(i

i

i

ii

ii

AAAA

VAVAU

BDAEADBE

BAEABE

D

Ento os pesos de balanceamento requeridos so dados por

5548,3250561,106879,52930,8 iUBEE

2559,688774,54592,51773,2 iUBDD

Isto mostra que a adio de um peso de 10,0561 oz no plano esquerdo em 325,5548 e um peso de 5,8774 oz no

plano direito em 68,2559, medidos a partir da posio de referncia, balancear o rotor da turbina. Isto exige que os pesos

de balanceamento sejam adicionados na mesma posio radial (distncia a partir do centro do rotor) dos pesos de teste. Se o

peso de balanceamento tiver que ser posicionado em uma posio radial diferente, o mesmo deve ser modificado na

proporo inversa da distncia radial a partir do eixo de rotao.


160

8.3 Velocidades Crticas de Eixos Rotativos

Na seo precedente, o sistema rotativo (o eixo rotativo e o disco) foi assumido como rgido. Na prtica, entretanto,

todos os eixos rotativos so flexveis. Se um eixo flexvel possui uma massa rotativa desbalanceada, as foras centrfugas

geradas produziro flexo no eixo, o que por sua vez altera o efeito do desbalanceamento. A uma certa velocidade de

rotao, conhecida como velocidade crtica, a deflexo do eixo se torna muito grande. Nesta seo, so considerados os

aspectos de modelagem do sistema rotativo, velocidades crticas, resposta do sistema e estabilidade.

8.3.1. Equaes do movimento

Considere-se um eixo apoiado em dois mancais e possuindo um disco de massa m em seu centro, como mostra a

Fig. 8.9. Assume-se que o rotor est submetido a uma excitao de regime permanente devido a uma massa desbalanceada.

As foras atuantes no rotor so a fora de inrcia devido acelerao do centro de massa, a fora de elstica devida

deformao do eixo, e as foras de amortecimento internas e externas. (Qualquer sistema rotativo responde de duas maneiras

diferentes a foras de amortecimento ou atrito, dependendo se as foras giram com o eixo ou no. Quando as posies nas

quais as foras atuam permanecem fixas no espao, como no caso de foras de amortecimento - que causam perdas de

energia - atuantes no mancal, o amortecimento chamado estacionrio ou externo. Por outro lado, se as posies nas quais

elas atuam giram com o eixo no espao, como no caso do atrito interno do eixo, o amortecimento chamado rotativo ou

interno).

Figura 8.9 Rotor de Laval

Figura 8.10 Movimento do disco

Seja O a posio de equilbrio do eixo quando balanceado perfeitamente (Fig. 8.10). O eixo gira com uma

velocidade angular . Usa-se um sistema de coordenadas inerciais (x, y) com origem em O para descrever as equaes do movimento. Os pontos P e Q indicam o centro geomtrico e o centro de massa do disco, respectivamente. A equao do

movimento do sistema (massa m) pode ser escrita como


161

fora de inrcia (i

F

) = fora elstica (e

F

) + fora de amortecimento interno (di

F

) +

fora de amortecimento externo (de

F

) (8.18)

As vrias foras na Eq. (8.18) podem ser expressas como segue:

Fora de inrcia: rmFi

(8.19)

onde r

o vetor do raio do centro de massa dado por

ji teytexr sincos

(8.20)

com x e y representando as coordenadas do centro geomtrico e i e j denotando os vetores unitrios ao longo da

coordenadas x e y, respectivamente. As equaes (8.19) e (8.20) conduzem a

ji teytexmFi

sincos 22

(8.21)

Fora elstica: ji yxkFe

(8.22)

Onde k a rigidez do eixo.

Fora de amortecimento interno: ji xyyxcFidi

(8.23)

onde ci o coeficiente de amortecimento interno (rotativo).

Fora de amortecimento externo: ji yxcFede

(8.24)

onde ce o coeficiente de amortecimento externo. Substituindo Eqs. (8.21) a (8.24) em (8.18), obtm-se as equaes do

movimento em forma escalar:

temyckxxccxmiei

cos2 (8.25)

temxckyyccymiei

sin2 (8.26)

Estas equaes indicam que as equaes do movimento para a vibrao lateral do rotor esto acopladas e so

dependentes da velocidade de rotao em regime permanente. Por definio, uma quantidade complexa w

iyxw (8.27)

onde 1i e somando-se Eq. (8.25) a (8.26) multiplicada por i, obtm-se uma nica equao do movimento:

tiiei

emewcikwwccwm 2 (8.28)

8.3.2. Velocidades crticas

Uma velocidade crtica existe quando a freqncia de rotao de um eixo se iguala a uma das freqncias naturais

do eixo. A freqncia natural no amortecida do sistema rotativo pode ser obtida pela soluo das Eqs. (8.25), (8.26) ou

(8.28), retendo-se apenas a parte homognea com ci = ce = 0. Isto d a freqncia natural do sistema (ou velocidade crtica

do sistema no amortecido):

m

kn (8.29)

Quando a velocidade de rotao igual velocidade crtica, o rotor desenvolve grandes deflexes, e a fora

transmitida aos mancais pode causar falhas nos mesmos. Deve ser realizada uma transio rpida da velocidade de rotao

do eixo atravs de uma velocidade crtica para limitar as amplitudes de vibrao, enquanto que uma transio lenta promove

o desenvolvimento de grandes amplitudes.

8.3.3. Resposta do sistema

Sobre o rotor ilustrado na Fig. 8.10 atua uma fora desbalanceada harmnica devida ao seu desbalanceamento e

assume-se que o amortecimento interno ci zero. Resolve-se as Eqs. (8.25) e (8.26) e encontra-se as amplitudes dinmicas

do movimento do rotor produzido pela da massa desbalanceada. Com ci = 0, as Eqs. (8.25) e (8.26) se reduzem a


162

temkxxcxme

cos2 (8.30)

temkyycyme

sin2 (8.31)

A soluo das Eqs. (8.30) e (8.31) podem ser expressas como

2

2

11coscos teDmteCtx t (8.32)

4

2

32coscos teDmteCty t (8.33)

onde C1, C2, D, , , 1, 2, 3 e 4 so constantes. O primeiro termo nas Eqs. (8.32) e (8.33) contm uma exponencial decrescente representando uma soluo transiente, e o segundo termo representa um movimento circular de regime

permanente (precesso/whirl). Substituindo a parte de regime permanente da Eq. (8.32) na Eq. (8.30), pode-se determinar a

amplitude do movimento circular (whirl) como:

2222

1

ecmk

D

(8.34)

O ngulo de fase dado por

2

1

42tan

mk

ce (8.35)

Diferenciando a Eq. (8.34) com relao a e igualando o resultado a zero, pode-se achar a velocidade rotacional para a qual a amplitude do movimento circular se torna mxima:

2

2

11

n

e

n

c

(8.36)

onde n dado pela Eq. (8.29). Pode-se ver que a velocidade crtica corresponde exatamente freqncia natural n somente quando o amortecimento (ce) zero. Alm disso, Eq. (8.36) mostra que a presena do amortecimento, em geral,

aumenta o valor da velocidade crtica. Um grfico das Eqs. (8.34) e (8.35) mostrado na Fig. 8.11 mostrando a variao da

amplitude de vibrao em funo da velocidade . A amplitude do movimento circular, D, para baixas velocidades

determinado pela constante de mola k, uma vez que os outros dois termos m2 e 22e

c , so pequenos. O valor do ngulo de

fase 2 0 (Eq. 8.35) para pequenos valores de . Quando aumenta, a amplitude da resposta atinge um pico, uma vez que a ressonncia ocorre em k m2 = 0. Ao redor da ressonncia, a resposta essencialmente limitada pelo termo do amortecimento. A diferena de fase na ressonncia 90. Quando a velocidade cresce em direo a n, a resposta

dominada pelo termo da massa 42m na Eq. (8.34). Como este termo est 180 fora de fase com a fora desbalanceada, o eixo gira em uma direo oposta aquela da fora desbalanceada e, portanto a resposta do eixo ser limitada.


163

Figura 8.11 Resposta em freqncia ao desbalanceamento

8.4 Balanceamento de Motores Alternativos

Os elementos mveis essenciais de um motor alternativo so o pisto, a manivela e a barra conectora. Vibraes em

motores alternativos surgem devido a variaes peridicas da presso do gs no cilindro e a foras de inrcia associadas

com as partes mveis.

8.4.1. Foras desbalanceadas devido a flutuaes na presso do gs

A Fig. 8.12a um diagrama esquemtico de um cilindro de um motor alternativo. O motor acionado por um gs

que se expande no cilindro. O gs em expanso exerce no pisto uma fora de presso F, que transmitida ao eixo de

manivelas atravs da barra conectora. Na seo precedente, o sistema rotativo (o eixo rotativo e o disco) constitudo de

elementos rgidos. A reao fora F pode ser decomposta em duas parcelas: uma de magnitude cosF , atuando ao longo

da barra conectora, e outra de magnitude tanF , atuando em uma direo horizontal. A fora cosF induz um torque

Mt, que tende a girar o eixo de manivelas. (Na Fig. 8.12b, MQ atua em torno do eixo perpendicular ao plano do papel e passa

no ponto Q.)

coscos

rF

Mt

(8.45)


164

Figura 8.12 Sistema pisto-biela-manivela de um motor alternativo.

Para o equilbrio do sistema, as foras nos mancais do eixo de manivelas sero iguais a F na direo vertical e F

tan na direo horizontal. Ento as foras transmitidas s partes estacionrias do motor so:

1. fora F atuando na cabea do cilindro;

2. fora F tan atuando na parede do cilindro;

3. fora F atuando no mancal do eixo de manivelas;

4. fora F tan atuando no mancal do eixo de manivelas.

Estas foras esto mostradas na Fig. 8.12c. Embora a fora resultante total seja zero, existe um torque resultante MQ

= Fh tan sobre o corpo do motor, onde h pode ser determinado da geometria do sistema:

sin

cosrh (8.46)

Ento o torque resultante dado por

cos

cosFrM

Q (8.47)

Como era esperado, Mt e MQ, dados pelas equaes (8.45) e (8.47) podem ser vistos como idnticos, o que indica

que o torque induzido no eixo de manivelas devido presso do gs no pisto sentida nos apoios do motor. Como a

magnitude da fora do gs F varia com o tempo, o torque MQ tambm varia com o tempo. A magnitude da fora F varia de

um mximo a um mnimo em uma freqncia determinada pelo nmero de cilindros do motor, pelo tipo de ciclo de

operao, e pela velocidade de rotao do motor.

8.4.2. Foras desbalanceadas devido a inrcia das partes mveis


165

Figura 8.13 Sistema pisto-biela-manivela.

Acelerao do pisto. A Fig. 8.13 mostra a manivela (de comprimento r), a barra conectora (de comprimento l), e

o pisto de um motor alternativo. A manivela assumida como girando em uma direo anti-horria com uma velocidade

angular constante , como mostrado na Fig. 8.13. Considerando-se a origem O do eixo x como a posio superior do pisto, o deslocamento do pisto P correspondente a um deslocamento angular da manivela = t pode ser expresso como na Fig. 8.13, atravs de

2sin1coscoscos ltrlrlrlrxp

(8.48)

mas

trrl sinsinsin (8.49)

e ento

tl

r 2

2

2

sin1cos (8.50)

Substituindo a Eq. (8.50) na Eq. (8.48) obtm-se

tl

rltrlrx

p 2

2

2

sin1cos (8.51)

Devido presena do termo envolvendo a raiz quadrada, a Eq. (8.51) no muito conveniente em novos clculos.

A Equao (8.51) pode ser simplificada observando que, em geral, 41lr e usando a relao de expanso

211

(8.52)

a Eq. (8.51) pode ser aproximada para

tl

rtrx

p 2

2

sin2

cos1 (8.53)

ou

t

l

rtr

l

rrx

p 2cos

4cos

21 (8.54)

A Equao (8.54) pode ser diferenciada com relao ao tempo para obter expresses para a velocidade e a

acelerao do pisto:

t

l

rtrx

p 2sin

2sin (8.55)


166

t

l

rtrx

p 2coscos2 (8.56)

Acelerao do pino da manivela. Com relao ao sistema de coordenadas xy mostrado na Fir. 8.13, os

deslocamentos vertical e horizontal do pino da manivela C so dados por

trlABOAxc

cos1 (8.57)

trCByc

sin (8.58)

Diferenciando-se as Eqs. (8.57) e (8.58) com relao ao tempo, os componentes da velocidade e da acelerao do

pino da manivela so

trxc

sin (8.59)

tryc

cos (8.60)

trxc

cos2 (8.61)

tryc

sin2 (8.62)

Foras de inrcia. Embora a massa da barra conectora esteja distribuda ao longo do seu comprimento,

geralmente idealizada como uma ligao sem massa, com duas massas concentradas nas suas extremidades a extremidade

do pisto e a extremidade do pino da manivela. Se mp e mc denotam a massa total do pisto e do pino da manivela (incluindo

a massa concentrada da barra conectora) respectivamente, a componente vertical da fora de inrcia (Fx) para um cilindro

dada por

ccppxxmxmF (8.63)

Substituindo as Eqs. (8.56) e (8.61) para as aceleraes de P e C, a Eq. (8.63) se torna

tl

rmtrmmF

pcpx

2coscos

22

2 (8.64)

Pode-se observar que a componente vertical da fora de inrcia consiste de duas partes. Uma parte, conhecida

como a parte primria, tem uma freqncia igual freqncia rotacional da manivela . A outra parte, conhecida como parte secundria, tem uma freqncia igual ao dobro da freqncia rotacional da manivela.

Similarmente, a componente horizontal da fora de inrcia para um cilindro pode ser obtida:

ccppyymymF (8.65)

onde 0p

y e c

y dada pela Eq. (8.62). Portanto

trmFcy

sin2 (8.66)

A componente horizontal da fora de inrcia pode ser observada possuindo apenas uma parte primria.

8.4.3. Balanceamento de motores alternativos

As foras desbalanceadas ou de inrcia em um nico cilindro so dadas pelas Eqs. (8.64) e (8.66). Nestas equaes,

mp e mc representam as massas equivalentes alternativas e rotativas, respectivamente. A massa mp sempre positiva, mas mc

pode ser feita zero pelos contrapesos da manivela. possvel eliminar as foras de inrcia horizontais Fy, mas as foras

desbalanceadas verticais sempre existiro. Portanto um nico cilindro inerentemente desbalanceado.


167

Figura 8.14 Balanceamento de motores alternativos.

Em um motor multicilndros, possvel balancear algumas das foras e torques de inrcia atravs do arranjo

apropriado das manivelas. A Figura 8.14a mostra o arranjo geral de um motor N-cilindros (somente seis cilindros N = 6, so

mostrados na figura). Os comprimentos de todas as manivelas e barras conectoras so assumidos serem r e l,

respectivamente, e a velocidade angular de todas as manivelas considerada constante, . O deslocamento axial e a orientao angular do i-simo cilindro a partir do primeiro cilindro assumida como i e li, respectivamente; i = 2, 3, ..., N.

Para o balano de foras, as foras de inrcia totais nas direes x e y devem ser iguais a zero. Ento

01

i

N

i

xtotalxFF (8.67)

01

i

N

i

ytotalyFF (8.68)

onde (Fx)i e (Fy)i so as componentes vertical e horizontal das foras de inrcia do cilindro i dadas por (ver Eqs. 8.64 e

8.66):

iipiicpix

tl

rmtrmmF

22coscos

22

2 (8.69)

iiciy

trmF sin2 (8.70)

Por simplicidade, assume-se que as massas alternativas e rotativas para cada cilindro so iguais, isto (mp)i = mp e

(mc)i = mc para i = 2, 3, ..., N. Sem perda de generalidade, as Eqs. (8.67) e (8.68) podem ser aplicadas no tempo t = 0. Ento

as condies necessrias para o balano total das foras so dadas por

N

i

i

1

0cos e

N

i

i

1

02cos (8.71)

N

i

i

1

0sin (8.72)

As foras de inrcia (Fx)i e (Fy)i do i-simo cilindro induzem momentos em relao aos eixos y e x,

respectivamento, como mostrado na Fig. 8.14b. Os momentos em relao a z e x so dados por


168

N

i

iixzlFM

1

0 (8.73)

N

i

iiyxlFM

1

0 (8.74)

Substituindo as Eqs. (8.69) e (8.70) em (8.73) e (8.74) e assumindo t = 0, obtm-se as condies necessrias a

serem satisfeitas para o balanceamento de momentos em relao aos eixos z e x como

N

i

iil

2

0cos e

N

i

iil

2

02cos (8.75)

N

i

iil

2

0sin (8.76)

Ento pode-se arranjar os cilindros de um motor alternativo multicilindros de forma a satisfazer as Eqs. (8.71),

(8.72), (8.75) e (8.76); estar completamente balanceado em relao s foras de inrcia e momentos.

8.5 Controle de Vibraes

Em muitas situaes prticas, possvel reduzir mas no eliminar as foras dinmicas que causam vibraes.

Vrios mtodos podem ser usados para controlar vibraes. Entre eles, os seguintes so importantes:

1. Controlando as freqncias naturais do sistema e evitando ressonncia sob excitao externa.

2. Prevenindo resposta excessiva do sistema, mesmo na ressonncia introduzindo amortecimento ou mecanismo de

dissipao de energia.

3. Reduzindo a transmisso de foras de excitao de uma parte da mquina para outra, pelo uso de isoladores de

vibrao.

4. Reduzindo a resposta do sistema, pela adio de um neutralizador de massa auxiliar ou absorvedor de vibrao.

8.5.1 Controle de Freqncias Naturais

Sempre que a freqncia da excitao coincide com uma das freqncias naturais do sistema, ocorre ressonncia.

O aspecto mais proeminente da ressonncia um grande deslocamento. Na maioria dos sistemas mecnicos e estruturais,

grandes deslocamentos indicam tenses e deformaes indesejavelmente elevadas, o que pode conduzir a falhas no sistema.

Portanto, condies de ressonncia devem ser evitadas. Na maioria dos casos, a freqncia de excitao no pode ser

controlada, porque imposta pelos requisitos funcionais do sistema ou mquina. Deve-se concentrar a ateno em controlar

as freqncias naturais do sistema para evitar ressonncia.

Como indicado pela Eq. 2.11 (m

kn ) a freqncia natural de um sistema pode ser modificada variando-se a

massa m ou a rigidez k. (Embora esta afirmao seja feita com referncia em um sistema de um nico grau de liberdade,

verdadeira mesmo para sistemas de vrios graus de liberdade e sistemas contnuos). Em muitos casos prticos a massa no

pode ser modificada facilmente, uma vez que o seu valor determinado por requisitos funcionais do sistema.

Consequentemente, a rigidez do sistema o fator que mais frequentemente modificado para a alterao de freqncias

naturais. Por exemplo, a rigidez de um eixo rotativo pode ser modificada mudando-se um ou mais de seus parmetros, tais

como materiais ou nmero e posio de seus suportes (mancais).

8.5.2 Introduo de Amortecimento

Embora o amortecimento seja desconsiderado para a simplificao de anlises, especialmente na obteno de

freqncias naturais, a maioria dos sistemas possui amortecimento em alguma quantidade. A presena de amortecimento

til em muitos casos.

Em sistemas tais como suspenso de automveis, por exemplo, o amortecimento deve ser introduzido para reduzir

o durao de vibraes inevitavelmente geradas quando o veculo encontra irregularidades na via de trfego.

Quando o sistema opera em condies prximas ressonncia, ou necessita passar por elas para atingir a sua faixa

de operao, o amortecimento pode ser til ao reduzir as grandes amplitudes que podem ser geradas.


169

Uso de Materiais Viscoelsticos. Pode-se introduzir amortecimento no sistema atravs do uso de materiais

estruturais que possuem amortecimento interno. A equao do movimento de um sistema de um nico grau de liberdade com

amortecimento interno, sob excitao harmnica tieFtF 0

, pode ser expressa como

tieFxikxm 0

1 (8.77)

onde chamado fator de perda (ou coeficiente de perda), que definido como (ver Sec. 2.6.4)

ciclo no mxima deformao de Energia

radianopor harmnico todeslocamen de ciclo um durante dissipada Energia2

W

W

A amplitude da resposta do sistema na ressonncia ( = n) dada por

aE

F

k

F00 (8.78)

uma vez que a rigidez proporcional ao mdulo de Young (k = aE; a = constante).

Os materiais viscoelsticos possuem grandes valores do fator de perda e consequentemente so usados para

proporcionar amortecimento interno. Materiais viscoelsticos so usados para controle de vibrao quando esto sujeitos a

deformaes diretas e de cizalhamento. No arranjo mais simples, uma camada de material viscoelstico fixado em um

material de maior rigidez. Em outro arranjo, uma camada de material viscoelstico sanduichada entre duas camadas mais

rgidas. Fitas amortecedoras, constitudas de uma fina folha de metal coberta de um adesivo viscoelstico, so usadas em

estruturas vibratrias. Os valores dos coeficientes de perda para alguns materiais so dados na Tabela 8.2.

Material Fator de perda () Poliestireno 2,0

Borracha dura 1,0

Materiais fibrosos com matriz 0,1

Cork 0,13 0,17

Alumnio 1 x 10-4

Ferro e ao 2 6 x 10-4

Tabela 8.2 Fatores de perda de diversos materiais.

8.5.3 Uso de Isoladores de Vibrao

Mtodos de isolamento de vibraes so usados para reduzir os efeitos indesejveis da vibrao. Basicamente,

isolamento de vibraes envolve a insero de um membro resiliente (ou isolador) entre a massa vibratria (ou

equipamento) e a fonte da vibrao de para reduzir a resposta dinmica do sistema. Um sistema de isolamento pode ser ativo

ou passivo. ativo quando requer potncia externa para executar a sua funo e se isto no acontece, chama-se passivo. Um

isolador passivo consiste de um membro resiliente (rigidez) e um dissipador de energia (amortecimento). Exemplos de

isoladores passivos incluem molas metlicas, molas pneumticas e molas de elastmero (borracha). A Figura 8.15 mostra

montagens tpicas de isoladores.

(a) (b) (c) (d) Figura 8.15 (a) Mola metlica. (b) Mola metlica com carcaa. (c) Calo de neoprene. (d) Manta de elastmero com

fibras sitnticas.


170

Um isolador ativo composta de um servomecanismo com um sensor, processador de sinal e um atuador. A

efetividade de um isolador estabelecida em termos de sua transmissibilidade. A transmissibilidade (Tr) definida como

uma relao da amplitude da fora transmitida com a fora excitadora.

Sistema de isolamento de vibrao com fundao rgida

Quando uma mquina ou equipamento colocado sobre um membro resiliente em uma fundao ou suporte rgido,

o sistema pode ser idealizado como de um grau de liberdade, como mostrado na Fig. 8.16a. O membro resiliente assumido

possuir elasticidade k e amortecimento c modelado como uma mola e um amortecedor c, como mostra a Fig. 8.16b. Se

sobre a mquina atuam foras harmnicas tFtF cos0

, ento o movimento descrito de acordo com a seo 3.6.

Figura 8.16 Mquina e membro resiliente em fundao rgida.

A fora transmitida atravs da mola e do amortecedor so expressos pela Eq. (3.67), que pode ser escrita como

222222

0

cmk

ckFFt

(8.79)

A transmissibilidade ou razo de transmisso do isolador (Tr) definida como a razo entre a magnitude da fora

transmitida e a fora excitadora e pode ser obtida da Eq. 3.62a.

2222

21

21

rr

rTr

(8.80)

A variao de Tr com a relao de freqncias r = /n, mostrada na Fig. 8.17. Pode ser visto que para freqncias forantes maiores que 1,414 vezes a freqncia natural do sistema, o isolamento de vibrao ocorre de forma

que a fora transmitida menor que a fora excitadora.


171

Figura 8.17 Variao da razo de transmisso.

Sistema de isolamento de vibrao com fundao flexvel

Figura 8.18 Mquina com isolador em fundao flexvel.

Em muitas situaes prticas a estrutura da fundao qual o isolador conectado se move quando a mquina

opera montada sobre o isolador. Por exemplo, no caso de uma turbina fixada no casco de um navio ou um motor de

aeronave montado na asa de um avio, a rea ao redor do ponto de suporte tambm se move com o isolador. Em tais casos, o

sistema pode ser representado como possuindo dois graus de liberdade. Na Fig. 8.18, m1 e m2 denotam as massas da

mquina e da estrutura de suporte que se move com o isolador, respectivamente. O isolador representado por uma mola de

rigidez k, e o amortecimento desconsiderado para facilitar a soluo. As equaes dos movimentos das massas m1 e m2 so

tFxxkxm cos02111

(8.81)

01222 xxkxm (8.82)

Assumindo uma soluo harmnica na forma

tXxjj

cos (8.83)

as Eqs. (8.81) e (8.82) produzem

02221

02

2

11

mkXkX

FkXmkX (8.84)

As freqncias naturais do sistema so dadas pelas razes da equao


172

0

2

2

2

1

mkk

kmk (8.85)

As razes da Eq. (8.85) so dadas por

21

212

2

2

10

mm

kmm

(8.86)

O valor 1 = 0 corresponde ao movimento de corpo rgido uma vez que o sistema est sem vinculao. Em regime permanente, as amplitudes de m1 e m2 so governadas pelas Eqs. (8.84), cuja soluo conduz a

222

2

1

0

2

2

1kmkmk

FmkX

(8.87)

22

2

2

1

0

2kmkmk

FkX

(8.88)

A fora transmitida estrutura de suporte (Ft) dada pela amplitude de 22 xm :

22

2

2

1

0

2

2

2

2

2kmkmk

FkmXmF

t

(8.89)

A transmissibilidade do isolador (Tr) dada por

2

2

2

21

2

2

1

2

21

22

2

2

1

2

2

0 1

11

mm

m

k

m

m

mmkmkmk

km

F

FT t

r (8.90)

onde 2 a freqncia natural do sistema dado pela Eq. (8.86). A Eq. (8.90) mostra, como no caso de um isolador em uma base rgida, que a fora transmitida fundao se torna menor quando a freqncia natural do sistema 2 reduzida. O valor de Tr de um isolador com fundao rgida mostrado na Fig. 8.17. Pode ser visto que a fora transmitida

fundao no pode se tornar infinita na ressonncia a no ser que o amortecimento seja nulo. Se a fora transmitida

fundao se tornar pequena, n

dever ser elevado isto , o isolador dever possuir uma freqncia natural muito

menor que a velocidade de operao da mquina que suporta. Embora o amortecimento reduza a amplitude do movimento

(X) para todas as freqncias, reduz a fora transmitida (Ft) somente se 2n . Acima deste valor, a adio de

amortecimento aumenta a fora transmitida. Alm disso, a fora transmitida fundao maior que a fora aplicada pela

mquina (Tr > 1) quando 2n . Estas observaes sugerem que o amortecimento do isolador deve ser o menor

possvel, de forma a reduzir a fora transmitida. Se a velocidade da mquina (freqncia) varia, deve-se comprometer em

escolher uma quantidade de amortecimento para minimizar a fora transmitida. A quantidade de amortecimento deveria ser

suficiente para limitar a amplitude X e a fora transmitida Ft enquanto passando pela ressonncia, mas no tanto de forma a

aumentar desnecessariamente a fora transmitida nas velocidades de operao.

Exemplo 8.2 Suporte elstico para a ventoinha de um exaustor

A ventoinha de um exaustor, girando a 1000 rpm, deve ser suportada por quatro molas, cada uma delas com rigidez K. Se

somente 10% da fora desbalanceada da ventoinha deve ser transmitida base, qual ser o valor de K?

Dados: Ventoinha de exaustor com massa = 40 kg, velocidade de rotao = 1000 rpm, e fora de agitao permissvel a ser

transmitida base = 10%.

Determinar: rigidez (K) de cada uma das quatro molas de suporte.

Mtodo: Utilizar a equao da transmissibilidade.

Soluo: Como a transmissibilidade deve ser 0,1, tem-se da Eq. (8.86),


173

222

2

2

21

21

1,0

nn

n

(E.1)

onde a freqncia forante dada por

rad/s 72,10460

21000

(E.2)

e a freqncia natural do sistema por

1623,340

4 KK

m

kn

(E.3)

Assumindo que o fator de amortecimento seja = 0 obtm-se, da Eq. (E.1),

2

1623,372,1041

11,0

K

(E.4)

Para evitar valores imaginrios, deve-se considerar o sinal negativo no lado direito da Eq. (E.4). Isto conduz a

3166,31561,331

K

ou

K = 9969,6365 N/m

Exemplo 8.3 Isolamento de um sistema vibratrio

Um sistema vibratrio deve ser isolado de sua base de apoio. Determinar o fator de amortecimento requerido que deve ser

atingido pelo isolador para limitar a transmissibilidade na ressonncia a Tr = 4. Assumir que o sistema possui um grau de

liberdade.

Dados: Transmissibilidade na ressonncia = 4.

Determinar: Fator de amortecimento do isolador.

Mtodo: Determinar a equao de transmissibilidade na ressonncia.

Soluo: Fazendo = n, a Eq. (8.86) se torna

2

212

rT

ou

1291,0152

1

12

1

2

rT

Sistema de isolamento de vibrao com fundao parcialmente flexvel


174

Figura 8.19 Mquina com isolador em fundao parcialmente flexvel.

Considere-se agora uma situao mais realista. A Fig. 8.19 mostra um isolador cuja base, ao invs de ser

completamente rgida ou completamente flexvel, parcialmente flexvel. Pode-se definir a impedncia mecnica da

estrutura de base, Z(), como a fora na freqncia w requerida para produzir um deslocamento unitrio na base (como na Seo 3.5):

todeslocamen

frequncia com aplicada fora Z

As equaes do movimento so dadas por

tFxxkxm cos02111

(8.91)

Zxxxk212

(8.92)

Substituindo a soluo harmnica

2,1cos jtXxjj

(8.93)

nas Eqs. (8.91) e (8.92), X1 e X2 podem ser obtidas como no caso anterior:

21

2

1

0

2

2

1

2

1

02

1

kmmkZ

FkX

kmmkZ

FZk

k

XZkX

(8.94)

A amplitude da fora transmitida dada por

2

1

2

1

0

2

kmmkZ

FZkZXF

t

(8.95)

e a transmissibilidade do isolador por

2

1

2

10

kmmkZ

Zk

F

FT t

r

(8.96)

Na prtica, a impedncia mecnica Z() depende da natureza da estrutura da base. Pode-se encontrar experimentalmente medindo o deslocamento produzido por um excitador (shaker) que aplica uma fora harmnica na

estrutura da base. Em alguns casos, tais como no caso de um isolador apoiado em uma balsa de concreto ou solo, a

impedncia mecnica em qualquer freqncia pode ser encontrado em termos do modelo massa-mola-amortecedor do solo.

Controle ativo de vibrao


175

Figura 8.20 Sistema vibratrio com controle ativo.

Um sistema de isolamento chamado ativo se utiliza potncia externa para executar a sua funo. Consiste de um

servomecanismo com um sensor, processador de sinal e um atuador como mostrado esquematicamente na Fig. 8.20. Este

sistema mantm uma distncia (l) constante entre a massa vibratria e o plano de referncia. Quando a fora F(t) aplicada

massa se altera, a distncia l tambm ser alterada. Esta mudana em l percebida pelo sensor que produz um sinal

proporcional magnitude do movimento. Este sinal ser processado e ser enviado um sinal de comando ao atuador, que,

por sua vez, produz um movimento ou uma fora proporcional a este sinal. O atuador controlar o deslocamento da base de

forma que a distncia l seja mantida constante.

Os sensores podem ser de diferentes tipos: medidores de deslocamento, velocidade, acelerao, fora, contadores

de pulsos. Os processadores de sinal podem executar funes tais como adio, integrao, diferenciao, atenuao,

amplificao. Os atuadores podem ser sistemas mecnicos, pneumticos, eletromagnticos, piezoeltricos. Dependendo do

tipo de sensor, processador de sinal e atuador usado, um sistema de controle de vibrao ativo pode ser chamado um sistema

eletromecnico, eletrofluidico, eletromagntico, piezoeltrico ou fludico.

8.6 Uso de Absorvedores de Vibrao

Uma mquina ou sistema pode experimentar vibraes excessivas se est sob ao de uma fora excitadora cuja

freqncia se aproxima da freqncia natural da mquina ou sistema. Em tais casos, a vibrao da mquina ou sistema pode

ser reduzida usando um neutralizador de vibrao ou absorvedor dinmico de vibrao. Isto simplesmente outro sistema

massa-mola. Considerar-se- a anlise de um absorvedor dinmico de vibrao idealizando a mquina como um sistema de

um grau de liberdade. Os absorvedores de vibrao foram estudados na Seo 5.7, da Unidade 5.

Mecânica Das Vibrações - Cap. 8

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