MEC114 Métodos Comput. em Dinâmica DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Sobreposição modal1...

Sobreposição modal 1MEC114 Métodos Comput. em DinâmicaDEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA MECÂNICA

Objetivos:

• Conhecer o método de sobreposição modal para análise dinâmica com elementos finitos

SOBREPOSIÇÃO MODAL



Desprezando as operações dos cálculos iniciais nos métodos implícitos, temos um número total de nmKs operações necessárias para a integração.

Introdução

: função das características das matrizesn: ordem da matriz de rigidezmK: metade da largura de bandas: número de passos do tempo

Assim a integração direta implícita é efetiva para respostas de curta duração.

Contudo, se a integração deve ser efetuada para muitos passos no tempo, é melhor transformar primeiro as equações de equilíbrio de forma que a solução passo a passo custe menos.

O número de operações por passo de integração é menor no método explícito.

Como o número de operações é proporcional à metade da largura de banda mK da matriz K, uma redução em mK reduz o custo da solução passo a passo.

A topologia da malha de elementos finitos determina a ordem e a largura de banda das matrizes do sistema.

Para reduzir a largura de banda das matrizes do sistema, reordena-se a numeração nodal; mas existe um limite na largura de banda a ser obtida dessa maneira, sendo necessário seguir um procedimento alternativo.



Mudança de base para deslocamentos generalizados modais

As equações de equilíbrio utilizam uma transformação nos deslocamentos U dos pontos nodais dos n elementos finitos.

P: matriz de transformação, não é f(t)X(t): vetor deslocamentos generalizados

)1()()1()()(

nxnxnnxtt XPU

Substituindo na equação de equilíbrio e pré-multiplicando por PT.

RPRKPPKCPPCMPPM

RXKXCXMTTTT

tttt

~

;~

;~

;~

)(~

)(~

)(~

)(~

As novas matrizes de massa, amortecimento e rigidez apresentam uma menor largura de banda.

P deve ser não singular (rank n) para que exista uma relação única entre U e X.

Na prática, uma matriz de transformação efetiva é estabelecida usando as soluções de deslocamento das eqs. de equilíbrio para vibração livre sem amortecimento,

0KUUM

onde a solução é assumida como,

)(sen 0tt U

: vetor de ordem nt0: tempo constante: freqüência de vibração do vetor (rad/s)

obtendo-se o autoproblema generalizado, a partir do qual e são calculados.

MK 2O autoproblema gera n autosoluções (2

n,n), onde os autovetores são M-ortonormalizados:

222

210

;0

;1

n

jTι ji

ji

M

(i)



Mudança de base para deslocamentos generalizados modais

i: vetor do perfil do i-ésimo modoi: i-ésima freqüência de vibração (rad/s)

Definindo a matriz de autovetores e a matriz diagonal 2 de autovalores:

2

22

21

221 ;,,

n

n

ΩΦ

as n soluções são escritas como:2MΦΦK

Como os autovetores são M-ortonormais,

ΦMΦΦKΦ TT 2

Assim, a matriz pode ser uma adequada matriz de transformação P:

)()( tt XΦU

obtendo-se as equações de equilíbrio nos deslocamentos generalizados modais:

)()()()( 2 tttt TT RΦXΩXCΦΦX

As condições iniciais em X(t) para t=0 são obtidas como:

)()(

)()(00

00

UMΦX

UMΦX

XMΦΦMUΦ

XΦU T

T

TT tt

tt

Se a matriz de amortecimento não está inclusa na análise, as equações de equilíbrio de elementos finitos são desacopladas se usados os modos de vibração livre na matriz de transformação.



Exemplo

Calcule a matriz de transformação e as equações de equilíbrio desacopladas na base dos vetores modais do sistema:

10

0 ;

10

02 ;

42

26RMK

O autoproblema generalizado é:

10

02

42

26 2

e as soluções são:

3

23

2

2

1

;5 ;

3

13

1

;2 2221

21

Para as equações de equilíbrio de vibração livre do sistema,

0UU

)(

42

26)(

10

02tt

as duas soluções seguintes são possíveis:

202

101 5sen

3

23

2

2

1

)( ;2sen

3

13

1

)( tttttt

UU

A solução às equações é da forma:

20

10 5sen

3

23

2

2

1

2sen

3

13

1

)( ttttt

U

onde , e os tempos são calculados a partir das condições iniciais em U e Ů. Impondo valores só a ou o sistema vibra num modo e freqüência respectiva.

As equações de equilíbrio na base dos autovetores são:

10

0

3

2

3

2

2

13

1

3

1

)(50

02)( tt XX



Análise com amortecimento desprezível

A equação de equilíbrio sem os efeitos de amortecimento se reduz a:

)()()( 2 ttt T RΦXΩX

ou seja n equações desacopladas da forma de um sistema de um grau de liberdade com massa unitária e rigidez i

2:

UMUM

R

0

0

0

0

2

e :C.I.

,...,2,1 )()(

)()()(

Titi

Titi

Tii

iiii

xx

nittr

trtxtx

a ser resolvida com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel:

ttdtrtx iiiii

t

ii

i

cossen)(sen)(1

)(0

onde i e i são calculados com as C.I.

Os deslocamentos nodais são obtidos por sobreposição da resposta em cada modo.

n

iii txt

1

)()( U

A resposta por sobreposição modal requer:i. solução de autovetores e autovaloresii. resolver eqs. de equilíbrio desacopladasiii. sobrepor a resposta dos autovetores

A escolha entre análise de sobreposição modal e integração direta é por eficácia numérica, ao ser as respostas idênticas dentro dos erros numéricos dos esquemas de integração no tempo.

(ii)

(iii)



Exemplo

Utilize sobreposição modal para calcular a resposta por deslocamento do sistema:

10

0 ;

10

02 ;

42

26RMK

• Para calcular a resposta exata integra-se as eqs. de equilíbrio desacopladas:

3

2105 ;

3

102 2211 xxxx

0U0U 00 ,

0202

001

0

0

tt

tit

xx

xx

e usando as C.I.

Usando os autovetores, calculados com anterioridade, calcula-se U.

obtém-se:

)5cos1(3

22 );2cos1(

3

521 txtx

t

ttt

5cos13

22

2cos13

5

3

2

3

13

22

1

3

1

)()( XΦU

Para t=0,28, avalia-se em 12 passos:

Tempo t t t t . t

tU0,003 0,038 0,176 0,486 . 1,157

0,382 1,41 2,78 4,09 . 2,489



Análise com amortecimento desprezível (cont.)

UMUM

R

0

0

0

0

2

e :C.I.

,...,2,1 )()(

)()()(

Titi

Titi

Tii

iiii

xx

nittr

trtxtx

(ii)

Considerando as equações desacopladas,

e se ri(t)=0, i=1,2,...,n e ainda 0U e 0Ů são múltiplos só de j, logo só xj(t) é diferente de zero e a estrutura vibra só nesse modo.Na prática a resposta transiente decresce devido ao amortecimento e o efeito da carga externa é mais importante.

O conteúdo da freqüência da carga determina se a i-ésima equação contribui ou não à resposta.

A resposta xi(t) é relativamente grande se a freqüência de excitação contida em ri fica próxima de i.

Para o sistema de 1GDL dado por:

1 ,0 :C.I.

ˆ)()(

00

2

ttxx

tsenRtxtx

a resposta pode ser escrita como,

tR

tR

D

xxDtx transest

sen

/ˆ1

/ˆ1ˆsen

)(

22

3

2

e)(transient (estático)

onde D é o fator de carga dinâmica, indicando ressonância se ŵ=

Na análise de um sistema nGDL, a resposta é obtida como a sobreposição da resposta em cada GDL modal. Também, a carga pode ser apresentada como em uma decomposição de Fourier, ou seja como a sobreposição de senos e cos. harmônicos.

22 /ˆ11

D



Análise com amortecimento desprezível (cont.)

Com uma pequena fração do número total de equações desacopladas (p≤n), a solução de sobreposição modal consegue uma boa aproximação à solução exata.

Assim, precisa-se obter unicamente os menores autovalores e autovetores, e somar a resposta nos primeiros p modos:

UU

p

iii

p txt1

)()(

A eficácia da sobreposição modal depende do número de modos considerados. Em geral, o tipo de estrutura e sua distribuição espacial mais o conteúdo de freqüência da carga determina o número de modos a serem utilizados.

Para cargas de terremotos, em alguns casos é suficiente os 10 primeiros modos. Para choques p=2n/3.

Para análise de vibração, as freqüências intermédias devem ser excitadas, aquelas entre os limites inferior e superior.

Denominando UP a resposta predita por sobreposição de p modos, a exatidão da análise em qualquer tempo t é obtida calculando uma mensuração do erro:

2

2

)(

)()()()(

t

tttt

PP

P

R

KUUMR

Os erros na análise de sobreposição modal, para p<n, são devidos ao fato que modos não suficientes foram usados. Os erros na análise de integração direta ocorre devido ao passo de tempo grande.



Análise com amortecimentoA sobreposição modal é eficaz quando assumido o amortecimento proporcional, onde os autovetores são C-ortogonais:

ijiijTi 2 C

i: parâmetro de amortecimento modalij: delta de Kronecker, 1 (i=j), 0 (ij)

Logo as equações de movimento se reduzem a n equações de equilíbrio do movimento de sistemas de 1 GDL :

UMUM

R

0

0

0

0

2

e :C.I.

21 2

Titi

Titi

Tii

iiiiiii

xx

n,...,,i)t()t(r

)t(r)t(x)t(x)t(x

a serem resolvidas com os algoritmos de integração ou com a integral de Duhamel:

2

0

1 onde

cossen

sen1

iii

iiiit

itt

ii

i

tte

d)t(e)(r)t(x

ii

ii

onde i e i são calculados com as C.I.

O amortecimento total na estrutura é a soma dos amortecimentos modais.

O amortecimento em um modo pode ser observado, por exemplo, impondo C.I. a esse modo (0U=i para o modo i) e medindo o decremento de amplitude durante a vibração amortecida livre.

Para r=2, o amortecimento de Rayleigh pode ser usado, o qual pode ser da forma:

KMC

onde e são constantes a serem calculadas desde duas razoes de amortecimento dadas que correspondem a duas freqüências de vibração desiguais.

(1)



Assuma que para um sistema de 2 GDL, 1=2 e 2=3, precisando 2% e 10% de amortecimento crítico, 1=0,02 e 2=0,10.

Estabeleça as constantes e do amortecimento de Rayleigh para a integração direta passo a passo.

Exemplo

iii

iijTi

iijTi

α

α

αC

2

2

onde 2

2

KΜ

KΜC

Usando esta relação para 1,1 e 2,2 permite obter duas equações para e

6009

0804

,α

,α

cuja solução é:

1040

3360

,

,α

A matriz de amortecimento a ser usada é:

KMC 10403360 ,,

Com a matriz de amortecimento, podemos estabelecer a relação de amortecimento para qualquer valor de i. quando a matriz de amortecimento de Rayleigh é usada.

i

ii

,,

2

10403360 2

Caso as relações de amortecimento sejam conhecidas para mais de duas freqüências, então dois valores médios de são usados para avaliar e .



Assuma que o amortecimento aproximado para um sistema multi GDL é como segue:

Exemplo

19 1400

15 1000

7 4000

3 3000

2 0020

55

44

33

22

11

,

,

,

,

,

Escolha os parâmetros de

amortecimento de Rayleigh e

Considerando dois pares de espaçamento de freqüências:

17 120

4 300

22

11

,

,

Determinando e da relação:

014050 014980

084289

24016 22

,,,α

,α

,αα iii

KMC 014050014980 ,, Então:

i

ii

2

01405,001498,0 2

Mostra-se a relação de i como função de i , onde com base na eq. (1) indica-se as regiões de amortecimento “proporcional à massa” e “proporcional à rigidez”.



Análise com amortecimento (cont.)

Pode-se utilizar uma matriz mais geral de amortecimento caso mais de 2 relações de amortecimento são usadas para obter C.

Assumindo r relações de amortecimento i, i=1,2,...,r dadas para definir C, uma matriz C que satisfaz a eq. (1) é obtida através da serie de Caughey:

1

0

1r

k

k

ka KMMC

onde os coeficientes ak, k=0,...,r-1 são calculadas das r equações simultâneas:

32

13

210 ...

21 r

iriii

i aaaa

Se r>2, então C é uma matriz cheia.

Usando os modos de vibração livre sem amortecimento como vetores base, para o caso de amortecimento não proporcional TC é uma matriz cheia.

Assim, na base dos vetores modais, as equações de equilíbrio não estão mais desacopladas.

Pode ser assumido que a resposta primária do sistema ainda está contida no subespaço formado por 1,..., p.

Assumindo que o acoplamento na matriz de amortecimento TC entre xi (i=1,..,p) e xi (i=p+1,...,n) pode ser desprezada, as primeiras p equações desacoplam das p+1 a n equações, e podem ser resolvidas por integração direta.



Considere as equações de equilíbrio:

Exemplo

)(

210

141

012

5,0

0

1,0

21

121

tRUUU

Os modos de vibração livre sem amortecimento e freqüências são:

6

4

2

;

2

11

2

12

10

2

12

11

2

1

2Ω

Transforme as equações de equilíbrio em relações na base modal

Usando U=X obtém-se as relações de equilíbrio:

)()(

6

4

2

)(

3,022,03,0

22,06,022,0

3,022,03,0

)( tttt TRXXX

Se fosse conhecido que devido a certa carga aplicada, a resposta primária fica unicamente no primeiro modo, poderia se obter uma resposta aproximada via:

)(2

1

2

1

2

1)(2)(3,0)( 111 ttxtxtx R

e logo calcula-se

)(

2

12

12

1

)( 1 txt

U

Mas, observa-se que como TC é cheia, a solução de x1(t) não da a resposta real no primeiro modo ao ter sido omitido o acoplamento do amortecimento.

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