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CINEMÁTICA VETORIAL

e composição de movimentos

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185

MÓDULO 5 – aula 51

(posição e deslocamento vetorial)

FERA, sempre bom lembrar que posição é o mesmo que localização,

ok? E que a diferença entre duas posições corresponde ao deslocamento.

Posição e deslocamento vetorial

0ssssTOTAL

LEMBRE - SE

ATENÇÃO




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186

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

AULA 51 – Exemplo 01 (UFC)

A figura mostra o mapa de uma cidade em que as

ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente e

cada quarteirão mede 100m. Você caminha pelas

ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa

de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua

escola, situada na esquina C.

A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua

casa e a escola, são, respectivamente:

a) 1.800m e 1.400m b) 1.600m e 1.200m

c) 1.400m e 1.000m d) 1.200m e 800m e) 1.000m e 600m

AULA 51 – Exemplo 02 (FUNREI)

Um aeroplano decola de um aeroporto para um voo panorâmico. Após

algumas manobras no ar, encontra-se acima do aeroporto e na altitude

adequada para, desta posição, iniciar o percurso do voo. A partir de então, e

sempre mantendo a mesma altitude, efetua diversos deslocamentos

sucessivos, 40 km para o norte, 20 km para o oeste, 30 km para o sul e 20

km para o leste. Para retornar ao local de origem do percurso do voo, acima

do aeroporto, deve se deslocar:

a) 10 km para o norte b) 20 km para o leste

c) 10 km para o sul d) 20 km para o oeste




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187

AULA 51 – Exemplo 03 (UNIFOR)

Numa sala cúbica, de aresta a, uma mosca voa numa diagonal (segmento

que une dois vértices, passando pelo centro da sala). O deslocamento da

mosca tem módulo:

a) a b) a 2

c) a 3 d) 4

9a e) 3a


(velocidade vetorial)

FERA, a velocidade vetorial média é taxa temporal de variação da

posição vetorial, quando o intervalo de tempo é tão pequeno, mas tão

pequeno que é quase zero, temos a velocidade instantânea.

Velocidade vetorial média

COMO ss ||

TEMOS mm vv ||

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188


AULA 52 – Exemplo 01 (FGV)

Um elevador movimenta-se no sentido ascendente e percorre 40m em 20s.

Em seguida, ele volta à posição inicial, levando o mesmo tempo. A

velocidade média vetorial do elevador durante todo o trajeto vale:

a) 4,0 m/s b) 8,0 m/s

c) 0,0 c) 16 m/s e) 2,0 m/s

AULA 52 – Exemplo 02 (UNIFEI)

Uma partícula descreve uma circunferência de raio 20 cm percorrendo 1/6 da

mesma em 8 segundos. Qual, em cm/s, o módulo do vetor velocidade média

da partícula no referido intervalo de tempo?

a) 1,8 b) 2,0

c) 2,5 d) 2,8 e) 3,5

ATENÇÃO




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189

AULA 52 – Exemplo 03 (UNICAMP)

A figura a seguir representa um mapa da cidade de Vectoria o qual indica a

direção das mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos

trafegam com a velocidade média de 18 km/h. Cada quadra dessa cidade

mede 200m por 200m (do centro de uma rua ao centro de outra rua). Uma

ambulância localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio

da quadra em B, sem andar na contramão.

a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?

b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em km/h) entre os pontos A

e B?




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190


(aceleração vetorial)

FERA, a aceleração vetorial média é a taxa temporal de

variação da velocidade e, quando o intervalo de tempo tende a zero,

temos a aceleração vetorial instantânea.

Aceleração vetorial média

vam

//

LEMBRE - SE

ATENÇÃO




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191


AULA 53 – Exemplo 01 (FT)®

Uma bola de tênis é rebatida de tal forma que mantenha a direção inicial, o

módulo da velocidade inicial, 20m/s; e inverta o sentido do movimento. Se a

duração do contato entre a bola e a raquete é 0,1s. Qual o || ma

bola

durante o contato com a raquete?

a) 20 m/s2 b) 40 m/s2

c) 200 m/s2 d) 400 m/s2 e) 2.000 m/s2

AULA 53 – Exemplo 02 (UNITAU)

Uma partícula tem movimento circular uniforme de velocidade escalar de 10

m/s, dando uma volta a cada 8 segundos. O módulo da aceleração vetorial

média para um intervalo de tempo de 2s é:

a) 2 m/s2 b) 5 2 m/s2

c) 2 2 m/s2 d) 2 m/s2 e) 5 m/s2




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192


(componentes ortogonais da aceleração)

FERA, quando va

// há mudança no || v

mas não há mudança

na direção de v

, ok? Já quando va

há mudança na direção de v

sem que haja mudança no || v

. Atenção com isso, ok?

Aceleração tangencial Aceleração centrípeta

ANOTAÇÕES

ANOTAÇÕES




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193

Aceleração total

LEMBRE - SE




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194


AULA 54 – Exemplo 01 (PUC RJ)

Um pequeno avião acelera, logo após a sua decolagem, em linha reta,

formando um ângulo de 45o com o plano horizontal. Sabendo que a

componente horizontal de sua aceleração é 6,0 m/s2, calcule a componente

vertical da mesma. (considere g = 10 m/s2)

a) 6,0 m/s2 b) 4,0 m/s2

c) 16,0 m/s2 d) 12,0 m/s2 e) 3,0 m/s2

AULA 54 – Exemplo 02 ( )

A aceleração vetorial de um corpo em movimento circular uniformemente

variado tem, em um dado instante módulo 10 m/s2 e direção que forma 30o

com o raio da circunferência. Determine as acelerações tangencial e

centrípeta desse corpo no instante considerado.

AULA 54 – Exemplo 03 (FEI)

Um móvel descreve uma trajetória circular com raio de 200m e velocidade

constante de 72 km/h. Qual é a aceleração total do móvel?

a) nula b) 4 m/s2

c) 40 m/s2 d) 2 m/s2 e) 36 m/s2




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195

AULA 54 – Exemplo 04 (FT)®

A aceleração centrípeta de um ponto material diminui de 1,5 m/s2 quando

aumentamos em 4m o raio da pista onde este se encontra. Sabendo-se que

o ponto material move-se com velocidade constante de 6 m/s, o raio da

pista, em m, valia, inicialmente:

a) 8,0 b) 2 23

c) 9,2 d) 92,0 e) 12,0


(composição de movimentos)

FERA, é fácil imaginar situações do cotidiano onde um corpo é

movido (arrastado) por outro e pode, em relação a esse segundo mover-se

com velocidade diferente de zero. Uma pessoa caminhando sobre uma

escada rolante seria um exemplo. Um nadador atravessando um rio com

correnteza seria outro exemplo. Muitos outros exemplos poderiam ser

citados, há uma relação matemática entre as velocidades:

arrastorelativanteresulta vvv




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196

1, 3 ... 1, 2 ... , 2, 3

231213 vvv


AULA 55 – Exemplo 01 (FUVEST)

Num vagão ferroviário, que se move com

velocidade v0 = 3,0 m/s em relação aos

trilhos, estão dois meninos A e B que correm

um em direção ao outro, cada um com

velocidade v = 3,0 m/s em relação ao vagão.

As velocidades dos meninos A e B em relação aos trilhos serão,

respectivamente, de:

a) 6,0 m/s e 0,0 m/s b) 3,0 m/s e 3,0 m/s

c) 0,0 m/s e 9,0 m/s d) 9,0 m/s e 0,0 m/s e) 0,0 m/s e 6,0 m/s

LEMBRE - SE

(1)

(2)

(3)




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197

AULA 55 – Exemplo 02 (FATEC)

Sob a chuva que cai verticalmente, uma pessoa caminha horizontalmente

com velocidade de 1,0 m/s, inclinando o guarda-chuva a 30o (em relação à

vertical) para resguardar-se o melhor possível. A velocidade da chuva em

relação ao solo ( tg 60o = 1,7 )

a) é de 1,7 m/s

b) é de 2,0 m/s

c) é de 0,87 m/s

d) depende do vento

e) depende da altura da nuvem


(questões de travessia de rios)

FERA, em muitas questões que veremos daqui para a frente, a

decomposição de vetores será útil. Atenção ao ângulo e a componente

que está adjacente a ele, ok?

Velocidade da correnteza

LEMBRE - SE




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198

SUBIR O RIO DESCER O RIO

EIXO LONGITUDINAL

PERPENDICULAR À MARGEM

VELOCIDADE RESULTANTE

PERPENDICULAR À MARGEM

ANOTAÇÕES

ANOTAÇÕES

BMv

BAv

AMv

ANOTAÇÕES

BMv

BAv

AMv

ANOTAÇÕES




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199

FERA, vamos que vamos. Nessa nossa lista de

cinemática vetorial fique atento(a) as operações

vetoriais, ok?

Bons estudos.

Divirta-se

#LQVP

P 166 ( )

João caminha 3 m para oeste e depois 6 m para sul. Em seguida ele

caminha 11 m para leste. Em relação ao ponto de partida, podemos afirmar

que João está.

a) a 10 m para Sudeste. b) a 10 m para Sudoeste.

c) a 14 m para Sudeste. d) a 14 m para Sudoeste.

e) a 20 m para Sudoeste.

P 167 (Uneb BA)

Um jogador de golfe necessita de quatro tacadas para

colocar a bola no buraco. Os quatro deslocamentos estão

representados na figura.

Sendo d1 = 15 m, d2 = 6,0 m, d3 = 3,0 m e d4 = 1,0 m, a

distância inicial da bola ao buraco era, em metros, igual a:

a) 5,0. b) 11.

c) 13. d) 17. e) 25.




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200

P 168 (UESPI)

Uma partícula P sobre um plano horizontal só se desloca em direções

paralelas aos eixos ortogonais de referência x e y. Partindo da origem, ela se

desloca 8 unidades de espaço no sentido positivo do eixo y. Faz então uma

curva de 90° e se move 2 unidades no sentido negativo da direção x.

De sua nova posição, ela parte paralelamente ao eixo y e percorre 4

unidades no sentido negativo. Finalmente, a partícula realiza um percurso de

5 unidades no sentido positivo de x. O comprimento do vetor deslocamento

total da partícula é:

a) 4 unidades. b) 5 unidades.

c) 7 unidades. d) 13 unidades. e) 19 unid.

P 169 (UFMG)

Um automóvel está sendo testado em uma pista circular de 200 m de raio.

Qual será a intensidade do vetor deslocamento do automóvel após ele ter

completado meia volta?

P 170 (OBF 1ª fase)

Os quadriculados representam canteiros de um

jardim. O módulo do vetor deslocamento de uma

pessoa, para ir de A até B, sem pisar nas plantas

de nenhum canteiro é igual a:

a) a2 + 2ab + b2 b) a b

c) a 2 + b 2 d) (a + b) 2 + (a + b) e) 2a + 2b




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201

P 171 (Fac. Med. de Catanduva SP)

Em uma nave espacial há um compartimento semelhante a uma caixa de

sapatos e cujas

dimensões são iguais a 4 m × 3 m × 2 m. Sabendo que a mesma se

encontra em repouso em relação a três estrelas fixas e livre da ação de

campos gravitacionais, quer se saber qual será a intensidade do vetor

deslocamento devido à movimentação de um astronauta de um dos cantos do

compartimento para o outro, diametralmente oposto, em busca de uma

ferramenta.

a) 63 m b) 29 m

c) 8,3 m d) faltam dados para o cálculo.

e) nenhuma das respostas anteriores.

P 172 (Fiube MG)

Na figura está representada a trajetória de um

móvel que vai do ponto P ao ponto Q em 5 s. O

módulo de sua velocidade vetorial média, em

metros por segundo nesse intervalo de tempo, é

igual a:

a) 1. b) 2.

c) 3. d) 4. e) 5.

P 173 (CESESP PE)

Um barco sai do porto do Recife, navegando na direção leste. Após duas

horas de viagem, muda o curso e passa a navegar na direção sudeste por

uma hora, quando finalmente passa a navegar na direção Norte. Se durante

toda a viagem o módulo da velocidade do barco for constante e igual a 30

km/h, qual a sua distância, em km, ao ponto de partida, após cinco horas de

viagem?




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202

P 174 (SANTA CASA)

Um automóvel percorre um trecho retilíneo de uma estrada mantendo

constante sua velocidade escalar linear. O ponto de contato entre um pneu e

a estrada:

a) tem velocidade nula em relação à estrada;

b) tem velocidade nula em relação ao automóvel;

c) está em repouso em relação à qualquer ponto do pneu;

d) executa movimento circular e uniforme em relação à estrada;

e) tem a mesma velocidade linear do centro da roda, em relação à estrada.

P 175 (PUC BA)

Entre as cidades A e B existem sempre correntes de ar que vão de A para B

com uma velocidade de 50 km/h. Um avião, voando em linha reta, com

uma velocidade de 150 km/h em relação ao ar, demora 4h para ir de B

para A. Qual é a distância entre as duas cidades?

a) 200 km b) 400 km

c) 600 km d) 800 km e) 1000 km

P 176 ( )

Volte ao enunciado na questão anterior e assinale a alternativa que indica o

intervalo de tempo da viagem de avião da cidade A para a cidade B.

a) 4h b) 3h

c) 2h d) 1h e) 30 min




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203

P 177 (FATEC SP)

Um avião teco-teco mantém a velocidade de 120 km/h em relação ao ar, o

nariz estando voltado para leste. Sopra vento sul com velocidade 90 km/h.

Podemos afirmar que:

a) a velocidade do avião em relação à Terra mede 210 km/h.

b) a velocidade do avião em relação à Terra mede 30 km/h.

c) a velocidade do avião em relação à Terra mede 150 km/h.

d) o avião dirige-se exatamente para nordeste (NE).

e) nenhuma das anteriores.

P 178 (FATEC SP)

Em relação ao ar, um avião voa para norte com velocidade v1 = 240 km/h.

A velocidade do vento ( em relação ao solo ) é de 100 km/h. Sendo v2 a

velocidade do avião em relação ao solo, podemos afirmar que:

a) v2 = 340 km/h se o vento for de norte para sul.

b) v2 = 140 km/h se o vento for de sul para norte.

c) v2 = 260 km/h entre nordeste e leste se o vento for de oeste para leste.

d) v2 = 260 km/h entre norte e noroeste se o vento for leste para oeste.

e) nenhuma das anteriores.

P 179 (IE Itajubá MG)

Um barco atravessa um rio, seguindo a menor distância entre as margens,

que são paralelas. Sabendo-se que a largura do rio é de 2,0 km, a travessia

é feita em 15 min e a velocidade de correnteza é 6,0 km/h, podemos afirmar

que o módulo da velocidade do barco em relação à água é:

a) 2,0 km/h b) 6,0 km/h

c) 8,0 km/h d) 10 km/h e) 14 km/h




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204

P 180 (PUC RS)

A correnteza de um rio tem velocidade constante de 3,0 m/s em relação às

margens. Um barco, que se movimenta com velocidade constante de 5,0 m/s em

relação à água, atravessa o rio, indo em linha reta, de um ponto A a outro ponto

B, situado imediatamente à frente, na margem oposta. Sabendo-se que a direção

AB é perpendicular à velocidade da correnteza, pode-se afirmar que a velocidade

do barco em relação às margens é de:

a) 2,0 m/s b) 4,0 m/s

c) 5,0 m/s d) 5,8 m/s e) 8,0 m/s

P 181 (UFMG)

Um barco tenta atravessar um rio com 1,0 km de largura. A correnteza do rio é

paralela às margens e tem velocidade de 4,0 km/h.A velocidade do barco, em

relação à água, é de 3,0 km/h, perpendicularmente às margens.

Nessas condições, pode-se afirmar que o barco:

a) atravessará o rio em12 minutos. b) atravessará o rio em15 minutos.

c) atravessará o rio em 20 minutos. d) nunca atravessará o rio.

P 182 ( )

Nadando contra a correnteza de um rio, a qual tem um valor igual a 0,5 m/s, um

atleta percorreu a distância de 90m em 60s, com velocidade constante e

desempenho máximo. Em que tempo mínimo conseguirá atravessar uma

piscina de 50m de comprimento?

a) 30s b) 25s

c) 50s d) 20s e) 40s

P 183 (FESP SP)

Um barco leva um tempo mínimo de 5 m/s para atravessar um rio quando não

existe correnteza. Sabendo-se que a velocidade do barco em relação ao rio é de 4

m/s, podemos dizer que quando as águas do rio tiverem uma velocidade de 3

m/s o mesmo barco levará para atravessá-lo, no mínimo:

a) 8 min 45s b) 5 min

c) 6 min 15s d) 4 min e) 7 min




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205

EHC 46. H20 (UFPI)

Na figura abaixo, A e B são cidades, situadas numa planície e ligadas por

cinco diferentes caminhos, numerados de 1 a 5.

Cinco atletas corredores, também numerados de 1 a 5, partem de A para B,

cada um seguindo o caminho correspondente a seu próprio número. Todos os

atletas completam o percurso em um mesmo tempo. Assinale a opção

correta.

a) Todos os atletas foram, em média, igualmente rápidos.

b) O atleta de número 5 foi o mais rápido.

c) O vetor velocidade média foi o mesmo para todos os atletas.

d) O módulo do vetor velocidade média variou, em ordem decrescente, entre

o atleta 1 e o atleta 5.

e) O módulo do vetor velocidade média variou, em ordem crescente, entre o

atleta 1 e o atleta 5.




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206

EHC 47. H20 (UFPA)

Uma partícula percorre, com movimento uniforme, uma trajetória não-

retilínea. Em cada instante teremos que:

a) os vetores velocidade e aceleração são paralelos entre si.

b) a velocidade vetorial é nula.

c) os vetores velocidade e aceleração são perpendiculares entre si.

d) os vetores velocidade e aceleração têm direções independentes.

e) o valor do ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração muda

ponto a ponto.

EHC 48. H17 (TI 2012)

Num dia chuvoso, um estudante sai

de casa com seu guardachuva e

percebe que para não se molhar

estando parado, figura 1, deve

colocar a haste do guarda-chuva na

vertical. Para não se molhar,

enquanto se movimenta com

velocidade v, deve inclinar o guarda-chuva, como mostrado na figura 2.

A partir do exposto acima é correto concluir que:

a) A velocidade de queda da chuva não influencia o ângulo de inclinação da

haste do guarda-chuva, que depende apenas da velocidade do estudante.

b) A velocidade do estudante não influencia o ângulo de inclinação da haste

do guarda-chuva, que depende apenas da velocidade de queda da chuva.

c) Na situação exposta na figura 2, o módulo da velocidade do estudante é

maior que de queda da chuva.

d) Na situação exposta na figura 2, o módulo da velocidade do estudante é

menor que de queda da chuva.

e) Na situação exposta na figura 2, o módulo da velocidade do estudante é

igual ao da queda da chuva.




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207

EHC 49. H17 (MACK SP)

Um passageiro em um trem,

que se move para sua direita

em movimento retilíneo e

uniforme, observa a chuva

através da janela. Não há ventos e as gotas de chuva já atingiram sua

velocidade limite. O aspecto da chuva observado pelo passageiro é:

EHC 50. H20 (PUC RS)

Com relação à velocidade e à aceleração de um corpo, é correto afirmar que:

a) A aceleração é nula sempre que o módulo da velocidade é constante;

b) Um corpo pode estar acelerado mesmo que o módulo de sua velocidade seja constante.

c) A aceleração centrípeta é nula no movimento circunferencial.

d) Sempre existe uma aceleração tangencial no movimento circunferencial.

e) A velocidade é diretamente proporcional à aceleração em qualquer movimento

acelerado.

EHC 51. H20 (ESAL MG)

O movimento retilíneo uniformemente acelerado tem as seguintes

características:

a) aceleração normal nula; aceleração tangencial constante diferente de zero

e de mesmo sentido que a velocidade.

b) aceleração normal constante diferente de zero; aceleração tangencial

nula.

c) aceleração normal nula; aceleração tangencial constante diferente de zero

e de sentido oposto ao da velocidade.

d) aceleração normal constante diferente de zero; aceleração tangencial

constante diferente de zero e de mesmo sentido que a velocidade.

e) as acelerações normal e tangencial não são grandezas relevantes ao

tratamento deste tipo de movimento,




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208

EHC 52. H17 (PUC SP)

Para calcular a aceleração tangencial média de um corpo em movimento

circular cujo raio de curvatura é m, você dispõe de uma tabela que

relaciona, a partir do repouso e do instante t = 0, o número de voltas

completas e o respectivo intervalo de tempo.

O valor da aceleração tangencial média sofrida pelo corpo durante essa

experiência é:

a) 20 m/s2. b) 40 m/s2.

c) 40 voltas/s2. d) 80 voltas/s2. e) 100 voltas/s2.

G A B A R I T O

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

166 A 167 C 168 B 169 400 170 C 171 B

172 A 173 90 174 A 175 B 176 C 177 C

178 D 179 D 180 B 181 C 182 B 183 B

G A B A R I T O

EXERCITANDO as HABILIDADES em CASA:

46 C 47 C 48 D 49 B 50 B

51 A 52 C

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