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MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva” Estatística aplicada à Segurança Pública – UD V

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MBA em

“Gestão de Polícia Ostensiva”

Estatística aplicada à Segurança

Pública – UD V

Corpo Docente:

2° Tenente QOAPM 31.561 Jhonatha Junio Lopes Costa

Telefone/Whatsapp: 62-9.99934-1343

E-mail: [email protected]

Conceitos de

Probabilidade

“A ciência não pode prever o que vai

acontecer. Só pode calcular a probabilidade

de alguma coisa acontecer – César Lattes

(1924 - 2005)

Pós-graduação em “Polícia e Segurança Pública”

O que é probabilidade?

• A palavra probabilidade deriva do Latim probare, que significa provar,

ou testar.

• Suas origens remontam ao século XVI, principalmente em jogos de

azar.

• As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência

de determinado evento.

• A probabilidade de ocorrência de um evento é dada por um número

que pode variar de 0 a 1,00.

MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva”

O que é um experimento aleatório?

• Trata-se de procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas

condições, pode fornecer resultados diferentes

• Exemplos:

Resultado no lançamento de um dado;

Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;

Condições climáticas do próximo domingo;

Taxa de inflação do próximo mês;

Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.

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O que é um Espaço Amostral?

• O Espaço Amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis

de um experimento aleatório.

• Exemplos:

1. Lançamento de um dado.

Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Exame de sangue (tipo sanguíneo) .

Ω = {A, B, AB, O}

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O são Eventos?

Eventos são subconjuntos do espaço amostral Ω.

Notação: A, B, C ...

Ø (conjunto vazio): evento impossível

Ω : evento certo

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Alguns eventos:

A: sair face par A = {2, 4, 6} ⊂ Ω

B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}

C: sair face 1 C = {1}

MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva”

⊂ Ω

⊂ Ω

A B: interseção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e

B.

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A B: união dos eventos A e B.

Representa a ocorrência de pelo menos um dos

eventos, A ou B.

Como realizar operações com eventos?

O complementar de A é representado por Ac.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos

quando não têm elementos em comum, isto é,

A B =

• A e B são complementares se sua interseção é

vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,

A B = e A B =

Como realizar operações com eventos?

•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

• sair uma face par e face 1A C = {2, 4, 6} {1} =

• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lançamento de um dado

• não sair face parAC = {1, 3, 5}

Pós-graduação em “Polícia e Segurança Pública”

• Medida da incerteza associada aos resultados do

experimento aleatório

• Deve fornecer a informação de quão verossímil é

a ocorrência de um particular evento

Como atribuir probabilidade aos

elementos do espaço amostral?

Duas abordagens possíveis:

1. Freqüências de ocorrências

2. Suposições teóricas.

PROBABILIDADE.

Exemplo: Lançamento de um dado

Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado

P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.

1. Através das freqüências de ocorrências.

• O experimento aleatório é repetido n vezes

• Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado

ocorre.

Para um número grande de realizações, a freqüência

relativa aproxima-se da probabilidade.

2. Através de suposições teóricas.

Qual a atribuição da probabilidade?

•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de

tal forma que:

.

1ii21

i

1 )P(w ...}) , w,({w P )( P

e 1 )P(w 0

No caso discreto, todo experimento aleatório tem

seu modelo probabilístico especificado quando

estabelecemos:

•O espaço amostral = {w1,w2, ... }

Qual a atribuição da probabilidade?

Ainda no caso discreto,

• Se A é um evento, então

Aw

j

j

)(w P (A) P

Ω de elementos de nº.

Ade elementos de nº. (A) P

• Se } w..., , w,{w Ω N21

e

N

1 )(w P

i (pontos equiprováveis), então

Qual a atribuição da probabilidade?

Sejam A e B eventos de . Então,

• Para qualquer evento A de ,

P(A) = 1 - P(Ac).

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Conseqüências:

• Se A e B forem eventos disjuntos, então

P(A B) = P(A) + P(B).

Regra da adição de probabilidades.

Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B,

. 0 P(B) ,P(B)

B)P(A B)|P(A

Da definição de probabilidade condicional,

obtemos a regra do produto de probabilidades

B).|P(A P(B) B)P(A

Analogamente, se P(A) >0,

. A)|P(B P(A) B)P(A

Probabilidade condicional e independência.

A: 2ª bola sorteada é branca

C: 1ª bola sorteada é branca

P(A) = ???

Para representar todas as possibilidades,

utilizamos, um diagrama conhecido como

diagrama de árvores ou árvore de

probabilidades.

Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas

e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas

sucessivamente, sem reposição.

53

52 B

V

42

42

V

B

43

41

V

B

1Total

V V

VB

BV

BB

ProbabilidadesResultados

20

2

4

1

5

2

20

6

4

3

5

2

20

6

4

2

5

3

20

6

4

2

5

3

e 5

2

20

6

20

2)A(P

Temos

. 4

1)C|A(P

1Total

VV

VB

BV

BB

ProbabilidadeResultados

25

4

5

2

5

2

25

6

5

3

5

2

25

6

5

2

5

3

25

9

5

3

5

3

Considere agora que as extrações são feitas com

reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta

na urna antes da 2a extração. Nesta situação,

temos

53

52 B

V

53

52

V

B

V

B

53

52

ou seja, o resultado na 2a extração independe do

que ocorre na 1a extração.

e 5

2

25

6

25

4P(A) = P(branca na 2ª) =

Neste caso,

P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5

2

)A(P5

2P(A | C

c) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

Dois eventos A e B são independentes se a

informação da ocorrência (ou não) de B não altera a

probabilidade de ocorrência de A, isto é,

P(B). P(A) B)P(A

Temos a seguinte forma equivalente:

P(A), B)|P(A 0. P(B)

Independência de eventos.

O valor esperado de um experimento é uma média,

e pode ser calculado como:

Valor esperado.

𝐸(𝑥) =

𝑖=1

𝑛

𝑃𝑖𝑋𝑖

Pós-graduação em “Polícia e Segurança Pública”

Dúvidas?

• STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. São Paulo, 1981.

495 p. (Capítulos 3 e 4)

Referência

Pós-graduação em “Polícia e Segurança Pública”