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Corpo Docente:
2° Tenente QOAPM 31.561 Jhonatha Junio Lopes Costa
Telefone/Whatsapp: 62-9.99934-1343
E-mail: [email protected]
“A ciência não pode prever o que vai
acontecer. Só pode calcular a probabilidade
de alguma coisa acontecer – César Lattes
(1924 - 2005)
Pós-graduação em “Polícia e Segurança Pública”
O que é probabilidade?
• A palavra probabilidade deriva do Latim probare, que significa provar,
ou testar.
• Suas origens remontam ao século XVI, principalmente em jogos de
azar.
• As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência
de determinado evento.
• A probabilidade de ocorrência de um evento é dada por um número
que pode variar de 0 a 1,00.
MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva”
O que é um experimento aleatório?
• Trata-se de procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas
condições, pode fornecer resultados diferentes
• Exemplos:
Resultado no lançamento de um dado;
Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;
Condições climáticas do próximo domingo;
Taxa de inflação do próximo mês;
Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao acaso.
MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva”
O que é um Espaço Amostral?
• O Espaço Amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis
de um experimento aleatório.
• Exemplos:
1. Lançamento de um dado.
Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Exame de sangue (tipo sanguíneo) .
Ω = {A, B, AB, O}
MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva”
O são Eventos?
Eventos são subconjuntos do espaço amostral Ω.
Notação: A, B, C ...
Ø (conjunto vazio): evento impossível
Ω : evento certo
Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Alguns eventos:
A: sair face par A = {2, 4, 6} ⊂ Ω
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}
C: sair face 1 C = {1}
MBA em “Gestão de Polícia Ostensiva”
⊂ Ω
⊂ Ω
A B: interseção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e
B.
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.
A B: união dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos
eventos, A ou B.
Como realizar operações com eventos?
O complementar de A é representado por Ac.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos
quando não têm elementos em comum, isto é,
A B =
• A e B são complementares se sua interseção é
vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,
A B = e A B =
Como realizar operações com eventos?
•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}
• sair uma face par e face 1A C = {2, 4, 6} {1} =
• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}
• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
Exemplo: Lançamento de um dado
• não sair face parAC = {1, 3, 5}
Pós-graduação em “Polícia e Segurança Pública”
• Medida da incerteza associada aos resultados do
experimento aleatório
• Deve fornecer a informação de quão verossímil é
a ocorrência de um particular evento
Como atribuir probabilidade aos
elementos do espaço amostral?
Duas abordagens possíveis:
1. Freqüências de ocorrências
2. Suposições teóricas.
PROBABILIDADE.
Exemplo: Lançamento de um dado
Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado
P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.
1. Através das freqüências de ocorrências.
• O experimento aleatório é repetido n vezes
• Calcula-se a freqüência relativa com que cada resultado
ocorre.
Para um número grande de realizações, a freqüência
relativa aproxima-se da probabilidade.
2. Através de suposições teóricas.
Qual a atribuição da probabilidade?
•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral de
tal forma que:
.
1ii21
i
1 )P(w ...}) , w,({w P )( P
e 1 )P(w 0
No caso discreto, todo experimento aleatório tem
seu modelo probabilístico especificado quando
estabelecemos:
•O espaço amostral = {w1,w2, ... }
Qual a atribuição da probabilidade?
Ainda no caso discreto,
• Se A é um evento, então
Aw
j
j
)(w P (A) P
Ω de elementos de nº.
Ade elementos de nº. (A) P
• Se } w..., , w,{w Ω N21
e
N
1 )(w P
i (pontos equiprováveis), então
Qual a atribuição da probabilidade?
Sejam A e B eventos de . Então,
• Para qualquer evento A de ,
P(A) = 1 - P(Ac).
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Conseqüências:
• Se A e B forem eventos disjuntos, então
P(A B) = P(A) + P(B).
Regra da adição de probabilidades.
Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B,
. 0 P(B) ,P(B)
B)P(A B)|P(A
Da definição de probabilidade condicional,
obtemos a regra do produto de probabilidades
B).|P(A P(B) B)P(A
Analogamente, se P(A) >0,
. A)|P(B P(A) B)P(A
Probabilidade condicional e independência.
A: 2ª bola sorteada é branca
C: 1ª bola sorteada é branca
P(A) = ???
Para representar todas as possibilidades,
utilizamos, um diagrama conhecido como
diagrama de árvores ou árvore de
probabilidades.
Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2 brancas
e 3 vermelhas. Duas bolas são sorteadas
sucessivamente, sem reposição.
53
52 B
V
42
42
V
B
43
41
V
B
1Total
V V
VB
BV
BB
ProbabilidadesResultados
20
2
4
1
5
2
20
6
4
3
5
2
20
6
4
2
5
3
20
6
4
2
5
3
e 5
2
20
6
20
2)A(P
Temos
. 4
1)C|A(P
1Total
VV
VB
BV
BB
ProbabilidadeResultados
25
4
5
2
5
2
25
6
5
3
5
2
25
6
5
2
5
3
25
9
5
3
5
3
Considere agora que as extrações são feitas com
reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é reposta
na urna antes da 2a extração. Nesta situação,
temos
53
52 B
V
53
52
V
B
V
B
53
52
ou seja, o resultado na 2a extração independe do
que ocorre na 1a extração.
e 5
2
25
6
25
4P(A) = P(branca na 2ª) =
Neste caso,
P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5
2
)A(P5
2P(A | C
c) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =
Dois eventos A e B são independentes se a
informação da ocorrência (ou não) de B não altera a
probabilidade de ocorrência de A, isto é,
P(B). P(A) B)P(A
Temos a seguinte forma equivalente:
P(A), B)|P(A 0. P(B)
Independência de eventos.
O valor esperado de um experimento é uma média,
e pode ser calculado como:
Valor esperado.
𝐸(𝑥) =
𝑖=1
𝑛
𝑃𝑖𝑋𝑖