MÁXIMO DIVISOR COMUM

O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.).

Exemplo:

Consideremos os conjuntos dos divisores de 12 e 18.

D12={1,2,3,4,6,12 }D18= {1,2,3,6,9,18 }

Obtemos os divisores comuns fazendo a intersecção dos conjuntos.

D12∩D18={1,2,3,6 }

O maior desses divisores comuns é 6.

Indicamos o máximo divisor comum de 12 e 18 assim:

m.d.c.(12,18) = 6

EXERCÍCIOS

1 – Escreva o conjunto dos divisores de 8, 9, 10, 12,15 e 20:

a) D8b) D9c) D10

d) D12e) D15f) D20

2 – Escreva os conjuntos dos divisores comuns abaixo:

a) D9∩D12b) D8∩D20c) D10∩D15

d) D8∩D12e) D9∩D15f) D10∩D20

3 – Baseado nos resultados do exercício anterior, determine:

a) m.d.c.(9,12)b) m.d.c.(8,20)c) m.d.c.(10,15)

d) m.d.c.(8,12)e) m.d.c.(9,15)f) m.d.c.(10,20)

PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAÇÃO DO m.d.c.

Determinamos o m.d.c. através da fatoração utilizando apenas números primos. Devemos analisar os números que dividem todos os números em questão ao mesmo tempo e multiplicar os mesmos.

Exemplos: Determine o máximo divisor comum de 18 e 60.

18, 60 2 (*) 9, 30 2 9, 15 3 (*) 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 resultado: multiplicamos os números com asteristico →2.3=6

Portanto o número 6 é o maior divisor comum de 18 e 60, ou seja, m.d.c.(18,60) = 6.

EXERCÍCIOS

1 – Determine:

a) m .d . c . (25,10 )b) m .d . c . (48,18 )c) m .d . c . (30,18 )d) m .d . c . (60,36 )e) m .d . c . (120,75 )f) m .d . c . (336,186 )g) m .d . c . (77,280 )h) m .d . c . (450,348 )i) m .d . c . (30,15 )j) m .d . c . (80,48 )

k) m .d . c . (85,75 )l) m .d . c . (69,15 )m) m .d . c . (3,15,12 )n) m .d . c . (20,6,14 )o) m .d . c . (25,10,20 )p) m .d . c . (30,45,75 )q) m .d . c . (4,8,9 )r) m .d . c . (12,16,18 )s) m .d . c . (15,45,75 )t) m .d . c . (28,70,56,140 )

2 – Pretende-se cortar três fios em pedaços do mesmo comprimento e de modo que este comprimento seja o maior possível. As medidas são 100 m, 108 m e 120 m. Pergunta-se:

a) Quanto medirá cada pedaço?b) Quantos pedaços serão obtidos?

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual a 1 (um), dizemos que eles são primos entre si.

Exemplos:

a) 4 e 9 são primos entre si, pois o m .d . c . (4,9 )=1.b) 8 e 15 são primos entre si, pois o m .d . c . (8,15 )=1.

EXERCÍCIOS

1 – Calcule:

a) m .d . c . (4,7 )b) m .d . c . (6,8 )c) m .d . c . (12,5 )d) m .d . c . (6,9 )e) m .d . c . (12,14 )f) m .d . c . (18,25 )

2 – Quais os pares de números do primeiro exercício que são primos entre si?

EXERCÍCIOS EXTRAS

1 – Uma escola com mais de 500 alunos distribuirá:

1800 folhas de papel azul 1200 folhas de papel verde 3000 folhas de papel amarelo

Cada aluno deverá receber o mesmo número de folhas de cada cor e não sobrará nenhuma. Pergunta-se:

a) Quantos são os alunos?b) Quantas folhas receberá cada aluno?

2 – O número 8 e o número 25 são primos? São primos entre si?