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Funções algébricas do 1º grau

Maurício Bezerra Bandeira Junior


Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer

função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b

são números reais dados e a ≠ 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o

número b é chamado termo constante.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2


Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma

reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los

com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1)

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1/3, e outro ponto é (1/3, 0).



Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,

temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.


x y

0 -1

1/3 0


Zero da função do 1º GrauChama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal

que f(x) = 0.

Temos:

f(x) = 0 ax + b = 0 x = -b/a

Vejamos alguns exemplos:

• Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

f(x) = 0 2x - 5 = 0 x = 2/5

• Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:

g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

• Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das

abscissas:

O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:

h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5



Crescimento e decrescimento

• Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentesvalores de y também aumentam.

Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente.


x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -10 -7 -4 -1 2 5 8

x aumenta

y aumenta


Observamos novamente seu gráfico:


Regra geral:

• a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);

• a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);


Sinal

Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valor de x

para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula para a raiz x = –b/a . Há dois casos possíveis:

1º) a > 0 (a função é crescente)

y > 0 ax + b > 0 x > –b/a

y < 0 ax + b < 0 x < –b/a

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz



2º) a < 0 (a função é decrescente)

y > 0 ax + b > 0 x < -b/a

y < 0 ax + b < 0 x > -b/a

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo

para valores de x maiores que a raiz.



Proporcionalidade na função afim• Toda função afim do tipo y = ax (o gráfico é uma reta que passa pela origem)

é chamada de função linear.

• Em toda função linear os valores de x são proporcionais aos valores

correspondentes de y.

Exemplo:

A função y = 3x é linear. Se (m, n) é um ponto da função, então (km, kn)

também é ponto da função, para qualquer k real. Isso ocorre em qualquer

função linear.

• Em toda função afim y = ax + b, a razão entre a variação dos valores de y, ∆y,

e a variação correspondentes dos valores de x, ∆x, é uma constante não-nula

k, isto é (∆y/ ∆x)= k, ou ainda, ∆y = k(∆x).


Exemplo:

Dada a função: y = 3x – 2

Se atribuirmos dois valores reais distintos (x´ e x´´)

temos, como correspondentes valores de y, os

números distintos y´= 3x´-2 e y´´ = 3x´´- 2.

Observe a variação dos valores de y e a variação dos

valores correspondentes de x:

(∆y/ ∆x) = ´(y´´- y´)/(x´´-x´)

(∆y/ ∆x) = 3, ou ainda, ∆y = 3 ∆x.



Função definida por mais de uma sentença

Um projeto de lei propôs novas alíquotas para o imposto de renda, apresentadas

pela tabela:

De acordo com esta proposta, se a renda mensal de um cidadão é x reais, então o

imposto mensal f(x) a pagar pode ser descrito pela função:

f(x) =


Renda mensal Alíquota

Até R$ 1.000,00 Isento

Acima de R$ 1.000,00 até R$2.000,00 10%

Acima de R$ 2.000,00 até R$5.000,00 15%

Acima de R$5.000,00 20%

0, se x ≤ 10000,1x, se 1.000 < x ≤ 2.0000,15x, se 2.000 < x ≤ 5.0000,2x, se > 5.000

Perceba, por esse exemplo, nem sempre é possível definir uma função por uma única sentença. O exercício resolvido a seguir mostra com construir o gráfico de uma função com essa.

Funções algébricas do 1º grauExemplo:

Construir o gráfico da função: f(x) =

e determinar seu domínio e conjunto- imagem.

Resolução:

Para construir o gráfico, analisamos cada uma das sentenças separadamente:

I. f(x) = 4, se x ≤ 3, ou seja, essa parte do gráfico é uma semi-reta de origem (3,

4), paralela ao eixo Ox, cujos pontos têm abscissas no intervalo ] - ∞, 3].

II. f(x) = x + 1, se x > 3, ou seja, essa parte do gráfico é uma semi-reta contida

na reta de equação: f(x) = x + 1, cujos pontos têm abscissas no intervalo ]3,

+∞[. Para obter essa semi-reta, atribuímos a x o valor 3 e um outro valor

qualquer maior que 3, conforme mostra a tabela ao lado. (Embora a variável x

não possa assumir o valor 3, pois x >3, atribuímos a ela o valor 3 para

obtermos um extremo dessa parte do gráfico.)


4, se x ≤ 3x + 1, se x > 3

x x+ 1

3 4

5 6


A reunião das duas partes do gráfico obtidas em (|) e (||) é o gráfico da

função f:

O domínio e o conjunto-imagem de f são, respectivamente:

D=IR e Im= [4, +∞[


6

4

53


Variação de sinal da função afim

Dada a função f(x) = 2x-6.

• A função se anula para x=3;

• A função é positiva para todo x real, com x > 3;

• A função é negativa para todo x real, com x < 3.

Podemos estudar o sinal da função da seguinte forma:

• a raiz da função f é a raiz da equação: 2x-6=0 x=3

• os valores de x para os quais f(x) é positivo (f(x) > 0) são as soluções da

inequação: 2x-6 > 0 x>3

• os valores de x para os quais f(x) é negativo (f(x) <0) são as soluções

da inequação: 2x-6 < 0 x<3


f(x)=2x-6 - +

3

Inequação-produto

Sendo x € IR, consideremos os números 2x-10 e –x +3. Para que valores de x

o produto desses números é positivo? Ou seja, quais as soluções reais da

inequação (2x-10)(-x+3)>0?

Ganhando tempo (dispositivo prático)

S={x IR I3 < x < 5} ou ]3, 5[.

Genericamente, inequação-produto é toda aquela apresentada sob uma das

formas:

f(x) g(x)>0 f(x) g(x) <0 f(x) g(x) ≥ 0 f(x) g(x) ≤ 0 f(x) g(x)≠0



f(x)=2x-10 - - +

g(x)=-x+3 + - -

f(x) g(x)=(2x-10)( -x+3) - + -oo

3 5



Inequação-quocienteChama-se Inequação-quociente toda inequação apresentada em uma das seguintes formas:

Em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula. Exemplo:

Determine o conjunto – solução da inequação x+1 .

f(x)

g(x)

f(x) f(x)

g(x)g(x) g(x)g(x)> 0 ≠ 0< 0 ≤0≥0 f(x) f(x)

x+2> 0

-1-2x+1 - - +

x+2 - + +

(x+1)/(x+2) + - +

S= {x €IR| x < -2 ou x >-1}

o o


Fim

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