Resoluo das atividades complementaresMatemticaM19 Geometria Analtica: Pontos e Retas p. 08 1 (MACK-SP) Identifique a sentena falsa:a)O ponto (0, 2) pertence ao eixo y.b)O ponto (4, 0) pertence ao eixo x.c)O ponto (500, 500) pertence bissetriz dos quadrantes mpares.d)O ponto (80, 280) pertence bissetriz dos quadrantes pares.e)O ponto3 3 1 1 1 1,( ) pertence bissetriz dos quadrantes pares. 3 (Unitau-SP) Sabendo-se que o ponto Q(1 2 a, b 1 2) pertence ao quarto quadrante do plano cartesiano, pode-se concluir que os possveis valores de a e b so:a){a IR | a 5 0} e {b IR | b , 1}d){a IR | a , 22} e {b IR | b , 1}b){a IR | a , 1} e {b IR | b , 22}e){a IR | a 5 21} e {b IR | b 5 2}c){a IR | a . 1} e {b IR | b . 22} 2 (FURRN) O ponto P, do eixo Oy, eqidistante dos pontos Q(2, 0) e R(4, 2) :a)0,912( )c)(0, 4)e)(0, 0)b)0,112( )d)(0, 3)Resoluo:O ponto3 3 1 1 1 1,( ) tem as coordenadas iguais. Logo, pertence bissetriz dos quadrantes mpares.Resoluo:P(0, y); Q(2, 0); R(4, 2) d(P, Q) 5 dd(P, R)2 (0 4 (2y22 1 2 5 2 1 21 5 10 04 162222( ) ( ) y y ) )44 16 4 2 1 5 5 4y y 4y P(0, 4)2 y Resoluo:No quarto quadrante, devemos ter: abscissa positiva: 1 2 a . 0 a , 1ordenada negativa: b 1 2 , 0 b , 22Portanto, {a IR | a , 1} e {b IR | b , 22}.

4 (Vunesp-SP) Os vrtices da base de um tringulo issceles so os pontos (1, 21) e (23, 4) de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do terceiro vrtice, se ele pertence ao eixo das ordenadas? 5 (UFU-MG) So dados os pontos A(2, y), B(1, 24) e C(3, 21). Qual deve ser o valor de y para que o tringulo ABC seja retngulo em B? 6 (UESPI) Se os pontos P(1, 2), Q(3, 5), R(6, 7) so os vrtices de um tringulo, ento o tringulo :a)issceles e retnguloc)issceles e no-retnguloe)escalenob)retngulo e no-isscelesd)eqiltero p. 092,3Resoluo:d(A, C) d(B, C)(y 3 (y252 1 1 5 1 ( ) ) 1 12 2221 1 1 5 1 2 15 541 1 9 162)y 2y y 8y10y 23 y 2,32 2Resoluo:Desenhando o tringulo no plano caartesiano:d(P, Q) (3 1) (5 2)d(P, R)2 25 2 1 2 5513((6 1) (7 2)d(Q, R) (6 3) (7 5)Co2 22 22 1 2 55 2 1 2 55013mmo d(P, Q) d(Q, R) d(P, R) e d(P, R) d(P,25 Q) d(Q, R)o tringulo PQR issceles2 21 ,ee no-retngulo.B(3, 4)C(0, y)A(1, 1)AB C7y52PQR6 x 3 12143Resoluo:O tringulo ABC retngulo em B.Logo, o lado AC a hipotenusa.Usando o teorema de Pitgoras, temos:dA, C ( )) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]( )22 2dA, B dB, C(3 2) ( 1 y)5 12 1 2 22 222 2 225 2 1 2 2 1 2 1 2 11(1 2) ( 4 y) (3 1) ( 1 4)2y2 2 2 2( ) ( )y 11 5 1 1 1 522 13 y 8y 171432y

7 (UFAL) Sejam o ponto P(2, 1) e o ponto Q, de abscissa 4, localizado no 1o quadrante. Se a distncia de Q a P igual distncia de Q ao eixo das abscissas, ento Q o ponto:a) 52 , 4( )c)(4, 3)e)(4, 4)b)4,52( )d)(2, 4) 8 (Unicruz-RS) O ponto mdio do segmento (23, 7) e (11, 15) :a)(11, 4)c)(4, 5)e)(4, 11)b)(8, 4)d)(8, 11) 9 (FEI-SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: (0, 0), (m, 8), (n, n 1 3).Se Z o ponto mdio do segmento , XYento:a)m 5 2c)n 5 3e)n 5 2b)m 5 1d)m 5 5Resoluo:xyM(4,MM52 155153 11247 15211111)Resoluo:X(0, 0); Y(m, 8); Z(n, n 3)2151nm 0nnm1 51555530 8 22122n2nmn ay10 1 2PQ3 4xResoluo:d(Q, P) (4 2) (a 1)a 2a2 225 2 1 2 51 2 1a a 4 1155255 5a2aLogo, Q 4,522a( )

10 Calcule os comprimentos das medianas de um tringulo cujos vrtices so os pontos A(0, 0), B(4, 26) e C(21, 23).11 Determine as coordenadas dos pontos que dividem em trs partes iguais o segmento de extremidades (22, 21) e (3, 2).Resoluo:xy52 15 252 15 221 03 0212232M121 ,,32232t292M32 ,92252 1552 25 22( )z1 43 622223M(2, 3)d(A, M32( )uv515525 220 420 6))d(B, M )15 2 12 2 55 2 2 123209203 1021242 22( ) ( )( )33269 221 3 3222 2 55 2 2 1 2 2 2( )( ) ( )( )( ) ( ) d(C, M ) 23223 5Resoluo:xzytzxt 525251522(I)12(II)2(III)3 2 11y2(IV)Das equaes (I) e (III): Das equaees (II) e (IV):2xx 2z2yy2 5 22 1 52 5 22 1z t 231 22tResolvendo o sistema, obtemos: Resol5 2vvendo o sistema, obtemos:13e z e x y 5 2 5 5430 tOs pontos procurados so:13 , 0 e4521( )33 , 1( ).A(0, 0)M2(z, t)C(1, 3)M1(x, y)B(4, 6)M3(u, v)(2, 1) (x, y) (z, t) (3, 2)

13 (Fafi-BH) O baricentro do tringulo ABC de vrtices A(25, 25), B(1, 5) e C(19, 0) :a)(25, 0)b)(215, 0)c)(5, 0)d)(15, 0) 12 (UFPE) Dado um tringulo ABC, calcule as coordenadas (x, y) do vrtice A, sabendo-se que B(1, 1) e que os pontos mdios dos lados BC e AC so respectivamente (21, 22) e (1, 0). Indique o valor do produto x ? y.14 (Cesgranrio-RJ) A equao da reta mostrada na figura a seguir :a)3x 1 4y 2 12 5 0b)3x 2 4y 1 12 5 0c)4x 1 3y 1 12 5 0d)4x 2 3y 2 12 5 0e)4x 2 3y 1 12 5 04O3yx p. 16Resoluo:Seja o tringulo ABC da figura:1 2 5515 22 515 22 21231251xxyCCC 2 yC( 3, 5)C552 1552 15?3250525xxyyA(5, 5)Logo, xyy5 ? 5 5 5 25Resoluo:xyGG52 1 1552 1 155 1 19355 5 030G(55, 0)Resoluo:x y 14 0 12 0122 5 2 1 2 52 1 50 10 3 14y 3x3x 4y00B(1, 1) A(x, y)(1, 2)(1, 0)C(xC, yC)25

15 (Unifor-CE) Na figura, tem-se um tringulo eqiltero de lado 6 e cujos vrtices A, B e C situam-se sobre os eixos cartesianos. A equao da reta suporte do lado BC :OA BCyx16 (UFG) Sejam P(0, 0), Q(0, 2), R(2, 2) e S(2, 0) pontos do plano cartesiano. Sejam A e B pontos mdios dos segmentos QR e RS, respectivamente.a)Represente, num mesmo plano cartesiano, os pontos P, Q, R, S, A e B, destacando o tringulo APB.b)Mostre que o tringulo APB issceles.c)Determine a equao da reta que passa por A e B.17 (Fuvest-SP) A tabela mostra a temperatura das guas do oceano Atlntico (ao nvel do equador) em funo da profundidade.Admitindo que a variao da temperatura seja linear entre duas medies consecutivas quaisquer feitas para a profundidade, qual a temperatura prevista para a profundidade de 400 m?Profundidade(m)Temperatura(C)superfcie 27100 21500 71 000 43 000 2,8a) d)b) e)3xc)x y x yx y y1 2 5 1 2 51 2 5 1 2 53 0 3 3 3 03 3 3 0 3 033 3 3 0 x y 2 1 5Resoluo:Se cada lado de um tringulo eqilltero mede , ento a medida de sua altur aa 2. Como6, temos h . Ento, A(h55 5 233 3 33, 0), B(3, 0), C0, 3 3: 0 10 3 3 1( ). BCx y 13 0 5 3 3 0 x1 2 5 y 3b)d(P, A) (1 0) (0 2) 4d(P, B) (2 0)2 225 2 1 2 5 1 55 21 511 2 5 1 55(1 0) 1Logo, PA PB e o tringulo PAB24 5 issceles.c)Equao da reta que passa poor e : A B1 2 12 1 110 3 0x yx y 5 1 2 5 Resoluo:100 21 1400 1500 7 10 42 0 t t 5 2 5 5 4t 10,5 CQ RA(1, 2)B(2, 1)yP S xResoluo:a)Plano cartesianox 1 y 2 3 5 010,5 C

19 (PUCC-SP) Na figura abaixo tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B.Se os quatro pontos pertencem reta de equao 4x 2 3y 1 1 200 5 0, a distncia entre as cidades A e B, em quilmetros, aproximadamente:a)50c)800e)8 000b)500d)5 000x (km)y (km)MNAB18 (Faap-SP) Uma reta de demanda estabelece a relao entre o preo de venda p de uma unidade de um produto e a quantidade q que se deseja comprar. Um distribuidor de relgios de mesa estima que, se o preo for R$ 80,00, ele poder vender 1 000 unidades; se o preo subir para R$ 86,00, vender 700. Quantos relgios ele poderia vender se o preo fosse R$ 90,00?a)580c)500e)860b)900d)730Resoluo:O ponto A tem ordenada y 5 0.4x 2 3y 1 1 200 5 0 4x 2 0 1 1 200 5 0x 5 2300 kmDa: A(2300, 0)O ponto B tem abscissa x 5 0.4x 2 3y 1 1 200 5 0 0 2 3y 1 1 200 5 0y 5 400 kmDa: B(0, 400)A distncia entre A e B igual a:d5 1 1 2 5 1 (0 0) (400 0) 90Portanto, d2 230 000 160 00055 500 km.Resoluo:Pelos dados, temos:q px1000 80700 86990Os pontos , e esto alinhados, logo AB C ::86 11000 80 13 0003 000xxx x90 1700 0 6 06 505 2 55 5 00ABCx 700 1 000 qp908680

20 Determine k, sabendo que a inclinao da reta que passa pelos pontos A(k, 3) e B(21, 24) 45.21 (PUC-SP) Determine a equao da reta de coeficiente angular igual a 245 e que passa pelo ponto P(2, 25). 22 (Esam-RN) A equao da reta que tem coeficientes angular e linear, respectivamente, iguais a 23e 1 : 2a x c e yb d y) ) )) )1 2 5 2 1 5 52 2 5 53y 2x 3y23 x2x 3y5 0 3 03 0 22 1 x2323 (UERJ) Um atleta est treinando em uma pista retilnea e o grfico ao lado apresenta dados sobre seu movimento.A distncia percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 s, igual rea do trapzio destacado. Calcule essa distncia.5v (m/s)t (s)4102Ok 5 6Resoluo:Se o grfico representativo da velocidade est contido em uma reta, a funo horria da velocidade tem a forma v(t) 5 at 1 bDo grfico, temos:t 2 m/s10 s 4 m/5 55 50 vt v ssb10a b2455 1Substituindo b por 2, obtemos: 4 5 10a 1 2, ou seja, a515 .Logo, v(t)15 t 5 1 2A base maior do trapzio mede (para t 5 5 s):v(5)15Portanto, S S5 ? 1 55151 ?5 2 323 2 52( ) ( ) B b h 55 12,5A distncia de 12,5 m.12,5 m4x 1 5y 1 17 5 0Resoluo:mkk 5 52 22 25 5 tg 45 14 311 6 Resoluo:m 5 2 21 5 2 2 145 ; P(2, )y45 (x ) 5y55 2 25 55 2 1 1 1 5 4x 4x 5y 8 17 0 Resoluo:y n y x 5 1 5 2 5 2 2 2 5 mx 3y 2x 2x 3y 231 3 3 0

24 (FGV-SP) Quando uma famlia tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por ms; quando a renda R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00.a)Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em funo de X, sabendo-se que o grfico de C em funo de X uma reta.b)Chama-se poupana mensal da famlia (P) renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P em funo de X e encontre os valores da renda para os quais a poupana maior que R$ 1 000,00.25 (Vunesp-SP) A figura mostra os grficos de uma funo exponencial y 5 ax e da reta que passa pelo ponto0,53( ) e tem coeficiente angular 107. Pelo ponto C12 , 0( ) passou-se a perpendicular ao eixo x, que corta os grficos, respectivamente, em B e A.Supondo-se que B esteja entre A e C, conforme mostra a figura, e que a medida do segmento AB dada por 821 , determine o valor de a.ABCxy0, 53( )12 p. 17X . 9 000C(X) 5 0,8X 1 8004Resoluo:a)A sentena que define a funo do tipoC(X) 5 aX 1 b, uma vez que o grfico de C uma reta. Pelo enunciado: 4 800 5 0007 200 8 0005 ? 15 ? 1a ba b(I)(II)Fazendo (II) 2 (I): 3 000a 5 2 400 a 5 0,8 Substituindo a por 0,8, em (I): 4 800 5 0,8 ? 5 000 1 b b 5 800 Ento: C(X) 5 0,8X 1 800b)P(X) 5 X 2 C(X) e C(X) 5 0,8X 1 800, ento: P(X) 5 X 2 (0,8X 1 800) ou P(X) 5 0,2X 2 800 P . 1 000 0,2X 2 800 . 1 000 X . 9 000Resoluo:De acordo com a figura:r : y12 553100710712(x 0) ou y53r : xr r21 22 5 155xA { } ABC0 xyr2r10, 53( )12x y 5 5 ? 1 512107535021 y12Logo, A12 ,5021, B( )112 , y e d(A, B)( )( ) ( )55 2 1 2821821121250212y2282150212 5 2 5 y yEnto, B12 , 2Como per( )B ttence ao grfico da funo y ax55 5,2 412a a 026 (UFSM-RS)B(8, 0)xyP(x, y)A(0, 12)OA figura mostra um retngulo com dois lados nos eixos carte-sianos e um vrtice na reta que passa pelos pontos A(0, 12) e B(8, 0). As dimenses x e y do retngulo, para que sua rea seja mxima, devem ser, respectivamente, iguais a:a)4 e 6c)5 e 7e)6 e 3b)5 e92d)4 e 727 (UERN) Seja M o ponto de interseco das retas de equaes x 2 y 2 6 5 0 e 3x 1 y 2 2 5 0. A equao da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por M, :a)x 2 2y 5 10c)x 5 2e)y 5 24b)y 5 2d)x 5 24 p. 24Resoluo:AP B Os pontos , e esto alinhadoss, logo:24 2y 3x32 x (10 12 118 0 10 0 12 x y y 5 2 2 5 5 2 ))A (2)Substituindo (1) em (2),retngulo5 ? x yvem:A3x 12x 3x 24xPar2 25 2 521 5 2 1 x x A A 1232 2( ) aa que a rea seja mxima, temos:xb2axv v52 552? 25524342Substituindo x 4 em (1), vem:( )yyAs dimenses do retngulo s5 2 ? 5 12324 6 y .oo 4 e 6.Resoluo:12 2 51 2 52 5 52x 63x4xyyxx y02 08 0 222 52 2 5 5 2262 6 4400M(2, )A equao da retay y horizontal e que passa por y M 5 24.

28 (UFPA) Escreva a equao da reta que passa pelo ponto P12 , 1 2( ) e perpendicular a uma reta que forma com o sentido positivo do eixo do x um ngulo cuja tangente 52 .29 (UMC-SP) Dois barcos navegam durante um nevoeiro, segundo as direes das retas r e s, num sistema de coordenadas cartesianas.Sendo r: 2x 2y 6 0 e s:x3y32, pode-se af 1 2 5 1 5 iirmar que:a)O ponto possvel de coliso 23 ,23( ). d)O ponto possvel de coliso (3, 0).b)O ponto possvel de coliso 23 ,232 2( ). e)No poder haver coliso.c)O ponto possvel de coliso (0, 3).Resoluo:mm mm52? 5 2 5 252125P12 , 1( )y y m (x x )252x 5y1 22 5 21 5 2 21 1 5y x 1124 0( )Resoluo:Ponto de interseco:2x 2yx3y31 516551 51 5 236x yx yNo h ponto de coliso, pois as retas so paralelas.2x 1 5y 1 4 5 0

31 (UFPI) A equao da reta perpendicular reta y 5 2x 1 1 e que passa pela interseco das retas 2x 2 3y 2 1 5 0 e 3x 2 y 2 2 5 0 :a)2x 1 2y 1 7 5 0c)7x 2 7y 2 4 5 0e)22x 1 2y 2 5 5 0b)5x 2 5y 1 1 5 0d)7x 1 7y 2 6 5 030 (UFSM-RS) Sejam r: x 1 qy 2 1 5 0 e s: px 1 5y 1 2 5 0 duas retas perpendiculares entre si. Ento, correto afirmar que:apqcpqe p qbpqd p q) ) )) )5 2 5 ? 55 ? 5 25 1 55 1 p. 25Resoluo:t Reta:yObservando que5 2 1 5 2 x mt1 1 u t, temos:m ( 1)mCoordent u ? 5 2 2 5 2 5 m mu u1 1 1aadas do ponto , interseco das retas e P r .2x 3y3x yResolvendo o sistems2 2 52 2 51 02 0aa, temos x e y17 , ou seja, P57 ,E5 55717( ).qquao da reta : y177y 7x 57xu 2 5 22 5 221571x( )77y2 5 4 0r utsPResoluo:m1qe mp5Para as retas serer s5 2 5 2mm perpendiculares:m m1qp5r s? 5 2 2 2 5 2 1 1 j(\,( )pp5q5qpq5 2 5 2 5 2 1 5 p

Em questes como a 32, a resposta dada pela soma dos nmeros que identificam as alternativas corretas.32 (UEM-PR) Considere as retas r, s e t, dadas no grfico ao lado.Sabe-se que a equao de r 2y 5 x 2 3, que os pontos B e C so simtricos em relao ao eixo das abscissas, que as retas r e s so paralelas e que t perpendicular a r. Nessas condies, correto afirmar:(01)O ponto A sobre o eixo x, interseco de r e t, (2, 0).(02) O ponto 0,32C( ).(04)A distncia entre r e s 3.(08) Os coeficientes angulares das retas r, e so, respectivamente,12 ,12e s t 22.(16)A equao da reta t y 5 22x 1 6.(32)A equao da reta horizontal que passa por A x 5 0.(64)A equao da reta vertical que passa por A x 5 3.OBACtrsxyResoluo:r: 2y mComo as rr5 2 5 2 5 x y x 3123212 eetas e so paralelas, temos mArr s 5 5 ms12 .reta perpendicular reta . t rm mr t? 5 211121 2 ? 5 2 5 2 m mt t(01)Falsa. A reta intercepta o eixo qua r x nndoy3. Logo, A(3, 0).(02) Verd5? 5 2 502 0 3.x x aadeira. A reta intercepta o eixo quand r y oox2Ento, 0,2. Como o p55 2 52202 0 333.y y ( )oonto sim-trico de em relao ao eixCB oo das abscissas,0,2.(04)Falsa. A retaC3( )tem coeficiente angular12epassa pelospponto C0,32.s: y 2y( )2 5 2 2 1 532120 3 0 ( ) x x A distncia do ponto B0,32 reta :d2( )s((B, s)( 2)(08)252 ? 2 11 255 50 23231656 552( )VerdaadeiraVerdadeira.. (16)Equao da reta :yt2 00 6 5 2 2 5 2 1 2(x 3) 2x(32)A equao da reyFalsa.tta horizontal que passa por y(64)A 5 0.Verd dadeira.So corretas as afirmativas 2, 8, 116 e 64,somando 90.2 1 8 1 16 1 64 5 90

33 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere a reta r de equao 2x 2 y 1 3 5 0. Seja t a reta perpendicular a r, passando pelo ponto P(21, 5).a)Obter o ponto de interseco da reta t com o eixo da abscissas.b)Qual o ponto da reta r mais prximo de P?34 (UFSC) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A(4, 1), B(1, 1), C(4, 5) e a reta r representada pela equao x 1 y 2 2 5 0.Determine a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) verdadeira(s).(01)O ponto mdio do lado o ponto de BC M coordenadas52 , 3( ).(02)A distncia do ponto C origem do sistema de coordenadas cartesianas de 6 unidades.(04)O ponto A pertence reta r.(08)A reta s de equao 25x 1 5y 2 13 5 0 e a reta r so perpendiculares.(16)A equao da reta que passa pelos pontos A e B y 2 1 5 0.35215,( )Resoluo:a)Clculo do coeficiente angular da reta r 2x 2 y 1 3 5 0 y 5 2x 1 3 mr 5 2 Clculo do coeficiente angular da reta , p t eer-pendicular am m mEquao dar t tr? 5 2 5 2 112reta , passando pelo pontoP( 1, 5)yt22 5 2 51121 9 0 ( ) x x 1 1 2 5 2yPara obtermos o ponto A de interseco da reta t com o eixo das abscissas, devemos ter y 5 0.x 1 2 ? 0 2 9 5 0 x 5 9Portanto, A 5 (9, 0).b)Seja o ponto de interseco das retas M r e.Logo:2xx 2yResolvendo ot2 1 51 2 5y 3 09 0ssistema, temos M35 ,O ponto da reta5215( ).mais prximo de M35 ,r P5215( ).1 1 8 1 16 5 25Resoluo:(01) (1, 1); C (4, 5)xyMB 5 55151 4252MMM52 , 3Verdadeira.(02)d(C,51551 523( )O)Falsa.(04) A (4, 1); 5 2 1 2 5 5( ) ( ) 4 0 5 0 41 62 2r: x0Falsa.1 2 51 2 55y 2 04 1 2 03(08)s: 5x 5yr:2 1 2 5 5 151 2 5 5 213 013512 0y xmx y y xs115 2? 5 25211mm m srr s rVerdadeira.(16) A (4, 1);; B (1, 1)m0(x0Verdade552252 5 22 51 11 401 41yy)iira.So corretas as afirmativas 1, 8 e 16,ssomando 25.(9, 0)

35 (MACK-SP) Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vrtices de um tringulo ABC so A(0, 0), B(3, 6) e C(8, 0). A soma das coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) desse tringulo :a c eb d) ) )) )125136113112131236 (FGV-SP) O quadrado representado ao lado tem lados paralelos aos eixos x e y e sua diagonalABest contida numa reta cuja equao :a)y 5 x 2 1c)y 5 x 1 3e)y 5 3x 1 1b)y 5 2x 1 3d)y 1 x 1 1xyAB(, 2)(2, )Resoluo:Considerando a representao grfica do tringulo, temos:O ponto O (encontro das alturas) tem abscissa 3, pois BH2 uma altura do ABC. Sendo y sua ordenada, sabemos que o ortocentro da forma (3, y). Sabendo que OC perpendicular aAB, podemos afirmar quem mOC AB1, logo: ? 5 2y y 22?225 22? 5 225 2503 86 03 015631 115 6y156y yy y 5 515652Sendo O3,52, a soma dessas co( )oordenadas ser: 31 515526 52112.01 2 3 4 5 6 7 8 9 10x1234567yH1ABOCH2H3Resoluo:Sabendo que as diagonais do quadrado so perpendiculares, o coeficiente angular da reta AB ser m4 ( 2)1 552222 252252251 166111. Sendo A(21, 22), a equao de AB ser:y 2 (22) 5 1(x 2 (21)) y 1 2 5 x 1 1 y 5 x 2 1

37 (FGV-SP) No plano cartesiano, a reta de equao y 5 x 1 1 corta o lado AC do tringulo de vrtices A(1, 7), B(1, 1) e C(10, 1), no ponto:a)(3, 4)c)(5, 6)e)(5,5; 4)b)(4, 5)d) 1172,11721 1( )38 (MACK-SP) A equao de uma reta, paralela reta x 1 y 2 4 5 0 e distante 3 2 do ponto P(2, 1), :a)x 1 y 1 3 5 0c)x 1 y 2 3 5 0e)x 1 y 2 12 5 0b)x 1 y 1 9 5 0d)x 2 y 2 6 5 0Resoluo:Sendo A(1, 7) e C(10, 1), mAC52 1 7110 16 22525229 3A equao da reta AC ser: y772121 2 05222 5 2 1 1 2 533y 2x 2x 3y 23O ponto p( ) x rrocurado a interseco entre AC e a retaa y2x2x 2y2x 35 12 1 5 ?1 52 1 51xx yy11 23 232:( ) yy5yO ponto procura55 52 1 5 52325 55 1 4 yx xddo (4, 5).Resoluo:Uma paralela reta x 0 da 1 2 5 y 4 fforma x 0.Se a distncia de P(2, 1) at1 1 5 y c essa reta 3 2, ento:2 | ||1 11511 13 2 32 2c 11 5 ? 1 51 51 5 51 5 2c ccc cc| | | 3 2 2 3 663 6 33 6Se | 3 |ccy5 21 2 594 As paralelas reta x 0, distantes 3 2 do ponto so x 0 e x P, 1 2 5 1 1 5 y y 9 3 0.

39 (Fuvest-SP) A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r perpendicular reta s, no ponto A, intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a rea do tringulo OBC for o triplo da rea do tringulo OAB.40 (FGV-SP) Considere os pontos A(1, 22) e B(22, 4) e C(3, 3). A altura do tringulo ABC pelo vrtice C tem equao:a)2y 2 x 2 3 5 0c)2y 1 x 1 3 5 0e)2y 1 x 2 9 5 0b)y 2 2x 1 3 5 0d)y 1 2x 1 9 5 022Resoluo:O enunciado remete seguinte figuura:O coeficiente angular da reta ys ms5AAAAAXyx.Se considerarmos o OBC, tere225OO mmosbco A A , ento AOBC OAB OACmSends55 ?. 3 55 ? 5?5?222A , como Ae A , eOAB OACOAB C Xb yAAnnto:C X2b y2bymA A A?5 ??5 ? 5 21212 CXbcyXAAAss? 5 5 5 5 m m m msss s121212222 Resoluo:A altura do tringulo ABC pelo vr rtice perpendicular aAB, logo:ABCm 5222 2525 2 5252254 ( 2)AAB2 16321 12121mm.eequao da altura ser: y 2y 2 5 2 2 5 3123 6 ( ) x x 222 2 533 02y x .AXAXAyAxyAysrB(b, 0)C(0, c)O

41 (Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao grfico da funo y5 .1x , x 0. As abscissas de A, B e C so iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmentoAB paralelo ao segmento CD.a)Encontre as coordenadas do ponto D.b)Mostre que a reta que passa pelos pontos mdios dos segmentos AB e CD passa tambm pela origem.42 (FGV-SP) Escreva a equao da reta que passa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas equaes paramtricas: x 5 t 1 1 e y 5 t 2 2, num ponto B, tal que AB 3 2 5 . p. 26Resoluo:AB C a)Os pontos , e so, respectiivamente, 2,12, 3,13e 4,14. Send( ) ( ) ( )oo a abscissa do ponto ,esse ponto serk Ddda forma k,1k, kSe a reta que passa( ) 0.ppor e paralela reta que passa por A B CC D e , ento . Ou seja:AB CDm m 52131232252225222 52 22 21 1442 36144kkkk 4k 16(k 4)4k(k 44)32O ponto tem coordenadas3 2 5 2 5 4 6 k k .D22 ,23b)Os pontos mdios de AB e CD so,( ).respectivamente,52 ,512e114,1124.( ) ( )AA reta que passa por esses pontos ser:x y 110525121114112415x1211y45548554811x51 1 2 22245y210x 66y 11x 60y 0246yA2 51 2 25 2 1 50240 x .rreta 6y 0 passa pela origem. 2 1 5 xx 1 y 2 7 5 0Resoluo:Sendo r: , temos:x ty tt x 5 15 25 12225 12 5 1 2 2 55 1121 2 3 03t yx y yx y r: x(I)O pontto e e d 2. Logo: d (x )AB AB2B r 5 5 2 1 2 3 2 52( ) y 552 1 2 53 22 5 182 2(x (y (II)De I e II, vem: () )yy ) (y y 2y y 10y2y2 2 2 21 2 1 2 5 1 1 1 2 1 5 3 2 5 18 1 25 18 ) 228y B(5, 2)A reta que pas2 1 5 5 5 1 5 8 0 2 2 3 5 y x ssa por A(2, 5) e B(5, 2) ser:x y 12 5 15 2 10 5 55x 5y 2y 0 ( 3) 1 1 2 2 2 5 1 2 5 1 2 54 25 2 0 3 3 217x x yx y 00.

43 (FGV-SP) Na figura ao lado, os ngulos OCA e AMN^ ^ so retos, o ngulo COA^ mede 45, e as medidas dos segmentos OC e MN so, respectivamente, 2 cm e 5 cm.Escreva a equao da reta t, suporte do segmento MN.PMBCA ONtyx44 (FGV-SP)AEC BDa)Os lados do tringulo ABC da figura acima medem:AB 28 cm, AC 21 cm e BC 35 cmUma pa5 5 5rralela ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos e , respectivamente.DeteD Errmine a medida dos lados BD, DE, EC do trap pzio BDEC, sabendo que o seu permetro 774 cm.b)Escreva a equao da reta que passa a pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r ddada por suas equaes param-tricas: x t 5 1 11 e y 2, num ponto , tal que AB 5 2 5 t B 3 2.x y 1 2 5 3 2 0Resoluo:O tringulo ACO retngulo e isssceles. Se OC 2 cm, entoO tri5 5 5 AC OA cm 2 2 .ngulo AMN tambm retngulo e issceles. Se MN 5 cm, ento NA 5 2 cm.Se NA 5 2 e O5 5 55AMAA 2 2, ento ON 5 2 2; logo, as coordena 5 5 2 5 2 2 3 ddas desero 3 2, 0A reta passa porNt N( ).e tem inclinao de 135.Sendo N3 2, 0 e ( ) m , a equao da reta ser:y5 5 22tg135 10t55 2 2 5 2 1 1 2 5 1x 3 2 3 2 ( ) y x x y 3 2 0.8 cm, 25 cm e 6 cmx 1 y 2 7 5 0Resoluo:a)Os tringulos ABC e ADE so semeelhantes, ento:ADABAEACDEBCAD28AE215 5 5 5 x 55 5555DE35xAD 28xAE 21xDE 35xCom base nesssas igualdades, temos:BD 28xEC5 2 5 25AB ADA28CC AE 2 5 2 21 21xComo o permetro do trapzio BDE EC 74 cm, teremos:BD 74 (28 28x 1 1 1 5 2 DE EC BC )) 35x (21 21x)14x 14x1 1 2 1 52 5 2 5 235 7484 74 10 x555 2 ? 5 2 55 ?5728 285728 20355Portanto: BD 8 cmDE772521 215721 1555 2 ? 5 2 5cmEC 6 cmb)O item b eexatamente o exerccio 42 resolvido na pgiina anterior.045 (MACK-SP) Na figura, a reta r encontra o grfico de y 5 log3 x no ponto (9, b).O valor de a 1 b :a c eb d) ) )) )27429121 2 2byx9raResoluo:r A reta intercepta o grfico de y y x num ponto de abscissa 9 e num pont35 log oo de ordenada 0.Assim, temos:x 935 5 5 9 2 y log by x55 5 52, e o ponto ser (9, 2).x30 0 log 33 1, e o ponto ser (1, 0).A equao da r05eeta ser: y 9y 2x 8y rx yx19 2 11 0 10 2 2 0 5 1 2 2 5 2 2 22 0 5 .A reta intercepta o eixo no ponto r y dde ordenada , ou seja:2a? 2 ? 2 5 2 5 0 8 2 0 8 2 a a a 55 2121 52 1514121 8 74.. O valor de a b 4 4

46 (FGV-SP) Seja r a reta 4x 1 7y 2 56 5 0 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem O(0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a rea do tringulo OCB seja igual metade da rea do tringulo OAC.a)Encontre a equao da reta s.b)Determine as coordenadas do ponto C.yx814rsCABOmxxResoluo:s a) A reta da forma y mx. Saben 5 ddo que AA2e com base na figura tOCBOAC5 eemos:AAOCBOAC5?55?5 ?1427824| || | | || |mxmxx|| || | | || || |xm xxmmmD 742272727? ? 5 5 5552ees y x se modo, a reta ser y x oubs 5 52 2727.))O ponto a interseco entre as retas C rr s e .Se s: y x, temos:4x51 2 55277 56 027yy x 4x4x 2x1 ? 2 51 5 5 5 572756 056 6 565662xx x8832728383277 56yy5 ? 5521 2Se s: y x, temos:4x 5552122 52 502772756 056y xx( ) 4x4x 2x 2x55 552? 5 256 282728 8xyO ponto ter coordena C ddas283,83ou (28, 8).( )2y27 x ou y 5 5 227 x283,83ou (28, )( )28

47 (Fuvest-SP) Uma das diagonais de um quadrado est contida na reta x 1 y 5 4. Determine seus vrtices sabendo que um deles o ponto (1, 1).48 (FGV-SP) Dado o ponto P(2, 3), determine o ponto simtrico de P com relao reta y 5 x 2 3.(1, 3), (3, 3), (1, 1) e (3, 1)(6, 21)Resoluo:Diagonal :ym2 ADx mm5 2 1 5 25 24 1111mmAD x22 211 2 1 255 2 1 2 52 1d(C, M) (2A A(x,) ( ) 442 42) e M(2, 2)d (A, M) d (C, M)2 25 2 12 1 ( ) ( x x 22 5 2 1 55 5 5 52 2 4 3 01 3 3 12)A(1, 3)22( ) x xx y x y DD(3, 1)Logo, A(1, 3), B(3, 3), C(1, 1) e D((3, 1)Diagonal :yyyx ( )BCx y xxx2 5 2 2 55 2 151 1 1 0455551551522213213yM(2, 2)x2y2xyBB(3, 3)BMAD C(1, 1)Resoluo:s Clculo de m : Equao da reta :ry55 2 5 2 5 2 21 2 5x m yx ymr3 1 3 25 0 1(xClculo de m :s)rr ssmm? 5 2? 5 2 5 211 1 1 mPonto , interseco dsM aas retas e : e yLr sy xx yx5 21 2 55 535 04 1 oogo, M(4, 1).Clculo das coordenadas de P 51Como ponto mdio de , temos:xMM PPxPxx xxy y yP P PP MP P6 e y 515 51512422 2132 yyPLogo, P(6, ). 5 2 211P(2, 3)PM rs

50 (Fatec-SP) Sejam 3x 2 4y 1 10 5 0 e 6x 2 8y 1 15 5 0 as equaes das retas suporte das bases de um trapzio. Determine a altura desse trapzio.49 (UFPI) H dois pontos sobre a reta y 5 2 que distam 4 unidades da reta 12y 5 5x 1 2. A soma das abscissas desses pontos :a c eb d) ) )) )44564352425251 (PUC-MG) Na figura, a reta que passa pelos pontos C(2, 0) e M(0, 3) intercepta a reta que passa pelos pontos B(21, 0) e N(0, 1) no ponto A, formando com o eixo das abscissas o tringulo de vrtices A, B e C. A medida da altura do ABC, relativa ao vrtice A, :a)1,8b)1,9c)2,0d)2,1MNABCO xyResoluo:Seja A(a, 2) um ponto que dista 4 unidades da reta , 12yd(A, r)5r 5 155 24x .|aa5aResolvendo2 ? 11 25 2 512 2 25 124 22 522 2|( )| | aa equao modular: 5a ou 5a 2 5 5 2 22 5274522 a 55 2 5 212 552 66745a .( ) Soma das abscissas:74522 5 644512Resoluo:x yh5 ? 2 1 5 55?0 3 0 10 0520 4y 0,526( )11 2 ? 11 25( )( )852156 8122 2hResoluo:Equao da reta CM:x y 12 0 10 3 15 00 3 6 011 0 10xx y1 2 522yEquao da reta BN:11 10 1 0 5 2 1 51 5x yCoordenadas do ponto :3x 2yA66x y 1Resolvendo o sistema, obtemos x2 5 2544595e yLogo, A45 ,95e a medida da al5 .( )ttura do ABC relativa ao vrtice y A 5 59511,8.

52 (FGV-SP) No plano cartesiano, considere os pontos A(1, 3) e B(25, 4). Considere tambm a reta r de equao 2x 1 3y 5 7.a)Obtenha a equao da reta s que paralela a r e que passa por A.b)Obtenha a equao da reta t que perpendicular a r e que passa por A.c)Seja P o ponto onde a reta r intercepta o eixo x. Obtenha a distncia de P a B.d)Obtenha a distncia do ponto B reta r.53 (UEMA) Seja H a rea limitada pelas retas 3y 1 2x 5 0, y 2 x 1 5 5 0 e pelo eixo y. Identifique a rea H em um sistema de eixo cartesiano e calcule o seu valor.2x 1 3y 2 11 5 03x 2 2y 1 3 5 035325 1313Resoluo:r O coeficiente angular da reta 23O coeficiente angular da reta 22.) a s223Como a reta passa pelo ponto A(1, 3),.s uma de suas equaes y 1), ou s 2 5 2 2 323 (x eeja,2x 3yO coeficiente angular da r1 2 5 11 0b) eeta 32Como a reta passa pelo pontott.AA(1, 3), uma de suas equaes y 1 2 5 2 332 (x )), ou seja,3x 2yc)Como y 0 na equao2 1 553 0.de , temos xLogo, P72 , 0A distncr 572 ..( )iia pedida , ou seja,3532725 4 0221 1 2( )( ) .dd) A distncia do ponto reta |B r2 5 ? 2 ( )).1 ? 213 4 72 3132 2|, ou seja,5 13152Resoluo:Sejam as retas r: 3y 2x 0 e s: y 1 5 2xxxy1 51 55 02 0.Resolvendo o sistema, temos:3y22 1 55 5 2 2xx5 023 e y 2, logo P(3, )Clculo dda rea do tringulo OAP:S 13 15 ? 225120 0 10 5211215152| | 5(0, 5)(0, 0)yAPx Osr

55 (UFPel-RS) A rea de um tringulo 12 cm2. Dois de seus vrtices so (21, 22) e (2, 3).Sabendo-se que o terceiro vrtice est sobre a reta 2x 1 y 5 2, calcule as coordenadas desse vrtice.54 (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um tringulo cujos vrtices A, B e C tm coordenadas (21, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N so os pontos mdios de AB e BC, respectivamente, a rea do tringulo OMN ser igual a:a ua b ua c d ua ) . . ) . . ) . ) . .5385321 u.a 3111401117115611, , 2 2( ) ( )ouResoluo:M N Clculo dos pontos e , pontos mdios dos lados AB e BC.X2e YM52 152 1 021MMN N2, 2X e Y N(5152515 5150 42210 2214 022M( )11, 2)Clculo da rea do tringulo OMN:S51220 0 112332? 2 5 2 5122 11 2 1| |Resoluo:r: 2x 2xC(x, 2x ) um1 5 5 2 12 1y y 2 22ponto qualquer da reta . rS DDABC 5 ?5 122| |442 2 177 241711Dx xx52 12 2 5 2 12 1 5 5 21 2 12 3 111x11x e y C1711 ,561111x5 22 1 5 2 556117 24311( )oux 114011e y C3111 ,40115 2 2( )yx C O AM NBxC22BA1yr03

56 (Fuvest-SP) A hipotenusa de um tringulo retngulo est contida na reta r: y 5 5x 2 13, e um de seus catetos est contido na reta s: y 5 x 2 1. Se o vrtice onde est o ngulo reto um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine:a)todos os vrtices do tringulo;b)a rea do tringulo.Resoluo:a) A(k, 5) sEnto: A(6, 5 1 6 5 2 5 k k55)(r) y 5x(s) y x3e y C(3, 2)(5 25 25 51312 x mm 1et s)A(6, 5) t e 1(xs5 5 25 2 2 5 2 2 mm ytt11 5 6 ) y xx5 2 15 2 15 25 51111137(t) y x(r) y 5x4e yBB(4, 7)6 5 13 2 14 7 16 u.a b AABC) | |5 ? 5 ? 2 5121212 ..(6, 5), (4, 7) e (3, 2)6CA(k; 5)sy x 1Btry 5x 13