Resumo —Este trabalho visa mostrar a utilização de matrizes nos cálculos de análise de sistemas de potência, demonstrando a utilização de métodos que facilitam o cálculo e simplificam o circuito.

Palavras-Chave — Nós, laços, matriz.

1. MATRIZES

Ao separarmos as admitâncias das equações nodais de um circuito qualquer com dois nós independentes e as colocarmos em linhas e colunas segundo a ordem que aparecem obtemos a seguinte matriz:

[Y 11 Y 12

Y 21 Y 22] (1)

Observa-se que cada admitância é um elemento da matriz, e que os elementos da matriz procedentes de um sistema de equações podem ser números, operadores ou funções, não sendo necessário que todos tenham as mesmas dimensões. As matrizes são identificadas colocando-se seus elementos entre colchetes. Podemos representar uma matriz de admitância com o símbolo Y. Da mesma maneira podemos representar as tensões e correntes representadas por V e I:

V=[V 1

V 2]I=[ I1

I2] (2)

As matrizes podem ter um número qualquer de linhas e colunas. Uma matriz de m linhas e n colunas é uma matriz m x n. A matriz de admitância da equação 1 é uma matriz 2 x 2 e as correntes e tensões 2 x 1. Se m = n então é dita uma matriz quadrada. A diagonal que vai do canto superior esquerdo ate o canto inferior direito é chamada de diagonal central da matriz.A diagonal principal de uma matriz de admitancias nodais quadrada são as admitâncias próprias dos nós.

A manipulação das matrizes é regida com as regras de álgebra matricial. Tais regras proporcionam um método ordenado para a resolução de equações.

Quando uma matriz for designada por um símbolo como A, seus elementos são geralmente identificados por símbolos tais como a11, a12e a32. Os índices mostram a posição do

elemento da matriz; o primeiro índice indica linha e o segundo coluna. Duas matrizes m x n serão iguais se cada elemento for igual o da outra.

A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Se A for uma matriz 3 x 2 então sua transposta At será uma matriz 2 x 3. Assim:

A=[a11 a12 a13

a21 a22 a23] (3)

e,

At=[a11 a21

a12 a22

a13 a23] (4)

Se a matriz quadrada e sua transposta forem idênticas, diz-se que a matriz é simétrica em relação a diagonal principal.

2. ELIMINAÇÃO DE NÓS POR TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-MALHA

Para facilitar o cálculo de circuitos pode se utilizar a eliminação de nós, que é capaz de reduzir o número de equações do circuito. Mesmo causando uma diminuição de informações do circuito ainda é vantajoso. Os nós entre resistências e indutâncias em série geralmente são eliminados desde que não tenha interesse na tensão no ponto de junção. No circuito real, resistências, capacitâncias e indutâncias não

podem ser identificados individualmente, mesmo quando o valor de um ou mais sejam insignificantes comparado com o terceiro. Sua separação é feita para propiciar uma simplificação e uma representação simbólica.

O conhecimento da tensão no nó comum a mais de dois elementos é normalmente uma parte conveniente da solução, razão pela qual deve ser evitada a eliminação desse nó. Nos casos em que não for importante a tensão num certo nó ele pode ser eliminado.

Se em um sistema for preciso realizar muitos estudos de estabilidade, a eliminação dos nós reduz a quantidade de cálculos. Se apenas três elementos terminam em um nó e nenhum deles é uma fonte, esse nó pode ser eliminado por transformação Y – Δ. A figura 1 mostra um circuito Y e o circuito Δ equivalentes.

Rafael Saraiva Fundação Universidade Federal de Rondônia, Núcleo de Tecnologia – NT,

Departamento de Engenharia Elétrica – DEE Bacharelado em Engenharia Elétrica – 8° Período – Análise de Sistemas de Potência

Matrizes Nodais

1

Fig. 1 – Circuitos Y – Δ.

A relação entre eles é:

Zab=Za Zb+Zb Zc+Zc Za

Zc

=Za Zb∑ 1ZY

(5)

Zbc=Za Zb+Zb Zc+Zc Z a

Z a

=Zb Zc∑ iZY

(6)

Zca=Za Zb+Zb Zc+Zc Za

Zb

=Zc Za∑ tZY

(7)

Onde o termo ∑ 1ZY

é a soma dos inversos das três

impedâncias ligadas em Y. Se quiser convertar Δ em Y temos:

Za=Zab Zca

Zab+Zbc+Zca

=Zab Zca

∑ ZΔ

(8)

Zb=Zab Zbc

Zab+Zbc+Zca

=Zab Zbc

∑ Z Δ

(9)

Zc=Zbc Zca

Zab+Zbc+Zca

=Zbc Zca

∑ Z Δ

(10)

Se existirem mais que três impedâncias terminando em um nó, ele poderá ser eliminado aplicando-se as equações gerais de estrela-malha. A figura 2 da um exemplo de varias impedâncias ligadas em estrela, convergindo no nó e o circuito equivalente de malhas.

Fig. 2 – Circuitos equivalentes estrela-malha.

Nesse, existe uma impedância ligada entre cada par de terminais do circuito original. A impedância ligada entre dois terminais como p e q, no circuito de malhas é dada por:

Zpq=Z p Zq∑ 1Zo

(11)

Onde o termo ∑ 1Zo

é a soma dos inversos de todas as

impedâncias ligadas ao nó o no circuito original ligado em estrelas.

Quando um certo número de geradores e motores síncronos estão ligados a um circuito que contém diversos nós, e sendo conhecidas as FEMs de cada gerador e motor, a saída de cada um deles pode ser determinada pela eliminação de todos os nós do circuito; exceto aqueles em que estão ligadas as FEMs. A corrente que circula em cada impedância é igual à diferença de potencial entre seus dois terminais dividida pelo valor da impedância.

Quando existem muitos nós e são necessárias equações gerais de conversão estrela-malhas, o trabalho aumenta consideravelmente. Se as impedâncias não podem ser consideradas como reatâncias puras, o uso de números complexos aumenta e complica enormemente o trabalho. No entanto, para resoluções feitas à mão, a redução do circuito é ainda preferível à solução de equações simultâneas. O tempo requerido para uma solução analítica levou ao desenvolvimento dos analisadores de rede. Atualmente, a existência dos computadores fez com que as equações dos circuitos adquirissem grande importância para os engenheiros de sistema de potencia, uma vez que essas equações são as bases da programação dos computadores na solução de muitos tipos de problemas.

3. EQUAÇÕES DOS LAÇOS

Cada elemento de um circuito é denominado ramo, constituindo-se no caminho entre um par de nós. Considerando todos os elementos em série entre os nós principais da figura 3 verificamos que existem 5 nós e 8 ramos.

Fig. 3 – Circuito elétrico.

Conhecidas as diversas FEMs, para a determinação das tensões e correntes é necessária a utilização das leis de ohm e de Kichhoff ( 1ª e 2ª).Se cada elemento de um circuito for representado no

diagrama por uma reta, o resultado é chamado de grafo. A figura 4 é o grafo do circuito da figura 3, conhecidos os nós principais.

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Fig. 4 – Grafo do circuito da figura 3.Os ramos são numerados para sua identificação. Uma parte

da Matemática chamada Topologia lida com os grafos fornecendo informações que ajudam a formar equações dos circuitos.

Uma árvore de um grafo é aquela parte composta de ramos em números suficientes para interligar todos os nós sem formar nenhum caminho fechado. Os ramos restantes são chamados de elos. Quando um elo é adicionado a uma árvore, um caminho fechado denominado laço é formado. Pode-se formar um conjunto de laços determinando o caminho fechado formado pela colocação de cada elo, um de cada vez, na árvore.

Na figura 5 os ramos de uma árvore d nosso grafo são indicados por linhas grossas e os elos por linhas finas. Os ramos da árvore são os de números 1, 2, 4 e 7 e os elos 3, 5, 6 e 8. Quando o elo 3 é colocado no grafo, o laço resultante é composto por todos os ramos externos e o caminho fechado indicado é identificado pelo número 3 colocando dentro de um círculo. Os laços formados pela adição de cada um dos outros elos são identificados pelos número 5, 6 e 8 colocados dentre de círculos. Na figura é mostrado o sentido arbitrário de percurso de cada caminho fechado. Esse sentido é considerado positivo para a corrente no elo.

Fig. 5 – Grafo da figura 4 com a árvore indicada em linha cheia e os cios em linha fina.

Se imaginarmos a corrente em cada elo circulando independentemente no caminho fechado, a corrente em cada ramo de árvore será determinada pela superposição dessas correntes, chamadas de “correntes de laço”. A superposição dessas correntes determina cada corrente de ramo, uma vez que não poderá circular corrente num ramo se todas as correntes nos elos forem zero. O número de elos determina o número de correntes de laço independentes necessárias à determinação de todas as correntes de ramo do circuito.

Se o grafo de um circuito pode ser desenhado numa superfície, sem cruzamento de linhas, diz-se que o circuito é plano. As linhas não precisam ser retas. Os espaços abertos no diagrama de um circuito plano são chamados malhas. Uma

corrente de laço que circule pelo contorno de uma malha chama-se corrente de malha. Nos circuitos simples é conveniente escolher uma árvore tal que todos os elos definam correntes de malha, já que essas são facilmente identificáveis. O número de malhas é igual ao número de elos e portanto igual ao de equações de laço independentes.

Os circuitos mais complexos podem não ser planos, ou pode ser difícil a identificação das malhas. Em tais casos é recomendável utilizar o método geral dos elos para a formação das equações de laço.

A figura 6, é a mesma que a figura 3, exceto que as reatâncias em série foram somadas e indicados os percursos para as correntes de malha.

Fig. 6 – Circuito igual ao da figura 3.

Logicamente, a aplicação da 2ª lei de Kirchhoff para o percurso I 4 fornece:

0=−EA+ I 4 Zea+( I 4−I 1 ) Zad+ (I 4−I 3 ) Zdg+EC(12)

EA−EC=I1(−Zad)+ I3(−Zdg)+ I 4 (Zea+Zad+Zdg)(13)

O primeiro membro da equação 13 é a soma das quedas de tensão ao longo do laço, no sentido positivo. No segundo membro, a corrente do laço considerado é a multiplicada pela soma das suas impedâncias. A esse produto são adicionadas ( com o sinal correto) as que de tensão devidas a todas as outras correntes de laço que circulam por uma das impedâncias do laço original.

Para todos os laços da figura 6 temos:

E1=Z11 I1+Z12 I 2+Z13 I 3+Z14 I 4 (14)E2=Z21 I 1+Z22 I 2+Z23 I 3+Z24 I 4(15)E3=Z31 I 1+Z32 I 2+Z33 I 3+Z34 I 4(16)E4=Z41 I 1+Z42 I 2+Z43 I3+Z44 I 4 (17)

Os primeiros termos das equações são as elevações da FEM ao longo dos respectivos laços. As impedâncias Z11 , Z22 , Z33 eZ 44 são chamadas de impedâncias próprias dos laços e são iguais, respectivamente, à soma das impedâncias nos laços 1, 2, 3 e 4. As outras impedâncias são chamadas de impedâncias mútuas dos laços, sendo comuns aos laços indicados pelos índices.

Cada impedância mútua é ou a impedância real comum aos dois laços com os quais se identifica ou o valor negativo da impedância real, conforme sejam iguais ou opostos os sentidos

3

positivos das correntes dos dois laços na impedâncias considerada.

A ordem dos índices nas impedâncias mútuas é a de efeito-causa, isto é, o primeiro índice refere-se ao laço onde ocorre a queda de tensão e o segundo ao laço onde há a elevação de tensão. A manutenção dessa ordem de índices contribui para a simetria das equações mas, por outro lado, é superfulo porque ( com elementos bilaterais) a corrente no laço 1 produzirá a mesma queda de tensão no laço 3 que a que seria produzia no laço 1 pela corrente no laço 2. Portanto Z12 ≈ Z21 e o mesmo raciocínio aplica-se às outras impedâncias mútuas. Essas impedâncias podem ocorrer entre partes de um circuito acopladas somente por meio de campos magnéticos.

Uma expressão geral para a soma algébrica das FEMs ao longo de um laço k de um circuito com N laços independentes é:

E k=∑n=1

N

Z kn I n(18)

A vantagem da forma normalizada das equações de laço é que as mesmas equações se aplicam a qualquer circuito. Para a formulação numérica das equações devem ser seguidos os seguintes passos: determinação do número de equações de laço independentes, identificação dos laços e, finalmente, determinação das impedâncias nas equações e das FEMs nos laços.

4. EQUAÇÕES NODAIS

A formulação sistemática de equações determinadas nos nós de um circuito, mediante a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff, constitui a base para uma excelente solução de problemas de sistemas de potência usando computadores. A fim de examinar alguns aspectos das equações nodais, o circuito da figura 3, foi redesenhado com algumas ligeiras modificações, resultando na figura 7. As reatâncias em série foram combinadas por conveniência, como já fora feito com a figura referente às equações de laço; porém, o circuito foi alterado pela adição de capacitâncias em relação ao neutro em cada uma das barras de alta tensão foram substituídas por geradores de corrente com impedâncias em paralelo. As letras foram substituídas por número na designação dos nós e os símbolos das admitâncias foram referidos a cada ramo. Esses valores são os inversos dos valores das impedâncias dados na figura 3 para os mesmos ramos.

Fig. 7 – Circuito com adição de capacitores c com as fontes de corrente substituindo as fontes de tensão.

Utilizaremos índices simples na designação das barras em relação ao neutro, tomado como nó de referencia. Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff ao nó 1, igualando a corrente que entra no nó, proveniente da fonte, com a que sai, teremos:

I 1=V 1 (Y f +Y g )+(V 1−V 2) Y a+( V 1−V 4 ) Y c (19)

E para o nó 2:

0=(V 2−V 1 ) Y a+(V 2−V 3 )Y b+ (V 2−V 4 )Y c(20)

Rearranjando essas equações temos:

I 1=V 1 (Y f +Y g+Y a+Y c )−V 2Y a−V 4 Y c (20)0=−V 1Y a+V 2 (Y a+Y b+Y c )−V 3 Y b−V 4 Y g(21)

Equações análogas podem ser escritas para os nós 3 e 4, e as quatro equações podem ser resolvidas simultaneamente para as tensões V 1 ,V 2 ,V 3 eV 4. A partir dessas tensões, todas as correntes de ramo podem ser determinadas. Desse modo, o número necessário de equações nodais é um a menos do que o de nós do circuito.

A forma normalizada para as quatro equações nodais é:

I 1=Y 11 V 1+Y 12V 2+Y 13V 3+Y 14 V 4 (22)I 2=Y 21V 1+Y 22V 2+Y 23V 3+Y 24 V 4(23)I 3=Y 31V 1+Y 32V 2+Y 33 V 3+Y 34V 4(24)I 4=Y 41V 1+Y 42V 2+Y 43V 3+Y 44 V 4 (25)

A simetria das equações sob essa forma as torna de fácil memorização, sendo evidente sua extensão a um número qualquer de nós. Como nas equações normalizadas de laço, a ordem de índices é efeito-causa. As admitancias Y 11 , Y 22 , Y 33 eY 44 são chamadas de auto-admitancias dos nós e cada uma delas é igual à soma de todas as admitancias que terminam no nó identificado pelos índices repetidos. As outras admitancias são chamadas de admitancias mútuas dos nós sendo cada uma igual à soma, com sinal negativo, de todas as admitancias ligadas diretamente entre os nós identificados pelos dois índices. É preciso tomar cuidado ao comparar as equações de laço e de nó.

A expressão geral para a corrente de fonte que entra no nó k de um circuito contendo N nós independentes (isto é, N barras além do neutro) é:

I k=∑n=1

N

Y knV n(26)

A equação desse tipo deve ser escrita para cada uma das N barras em que a tensão do circuito é desconhecida. Fixando-se a tensão em qualquer um dos nós, para esse nó a equação não será escrita.

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5. ELIMINAÇÃO DE NÓS PELA ÁLGEBRA MATRICIAL

Na eliminação de nós podem ser utilizadas as operações com as matrizes das equações nodais normalizadas. A equação nodal normalizada, em notação matricial, pode ser expressa por:

I=YV (27)

Onde I e V são matrizes coluna, e Y é uma matriz quadrada simétrica. As matrizes coluna devem ser dispostas de tal maneira que os elementos associados aos nós a serem eliminados estejam nas linhas inferiores das matrizes. Os elementos de matriz quadrada das admitancias são situados de maneira correspondente. As matrizes coluna são particionadas de modo que os elementos associados aos nós a serem eliminados estejam separados dos outros elementos. A matriz admitancia é particionada de maneira que apenas os elementos identificados com os nós a serem eliminados fiquem separados dos demais por linhas horizontais e verticais. Efetuando-se a partição de acordo com essas regras, a equação (27) torna-se:

[ I A

I X]=[K L

Lt M ] [V A

V X](28)

Onde I X é a submatriz composta pelas correntes que entram

nos nós a serem eliminados e V X é a submatriz composta pelas tensões nesses nós. Obviamente, todos os elementos de I X são iguais a zero, do contrario os nós não poderiam ser eliminados. As admitancias próprias mutuas que forma K são as identificadas com os nós que permanecem. A matriz M é composta pelas admitancias prorias e mútuas correspondentes aos nós a serem eliminados. L e sua transposta Lt são constituídas apenas pelas admitancias mutuas comuns a um nó a ser mantido e a um nó a ser eliminado.

Efetuando a multiplicação indicada em (28) obtemos:

I A=K V A+ LV X (29)I X=Lt V A+M V X (30)

Sendo todos os elementos de I X iguais a zero, subtraindo

Lt V A de ambos os membros da equação (30) e multiplicando

ambos os membros por M−1 temos:

−M−1 LtV A=V X (31)

Substituindo a expressão de V X em (29) temos:

I A=K V A−L M−1 Lt V A (32)

Que é uma equação nodal cuja matriz de admitancia é:

Y=K−L M−1 Lt(33)

A matriz de admitancia nos permite construir o circuito com os nós eliminados.

13. DISCUSSÃO E CONCLUSÕES

Observa-se após o exposto que o sistema de matrizes quando aplicados a cálculos de análise de sistema de potência, facilita muito o cálculo do mesmo, possibilitando a analise de um circuito com vários nós e laços.

14. REFERÊNCIAS

[1] STEVENSON, William D. Jr. Elementos de Análise de Sistemas de Potencia; Editora McGRAW, 1974.

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