Matriz de lesie
description
Transcript of Matriz de lesie
![Page 2: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/2.jpg)
Sumário do Tópico
Meta: O aluno usará matrizes e gráficos para modelar relações e resolver problemas – Usar matrizes para modelar e resolver
problemas. Representar e interpretar dados.
Escrever e avaliar expressões de matriz para resolver problemas.
![Page 3: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/3.jpg)
Demografia discreta
Padrões e taxas refletiam hipóteses de transição sobre os processos biológicos – crescimento
– desenvolvimento
– maturação
– reprodução
– mortalidade
![Page 4: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/4.jpg)
Os Coelhos de Fibonacci
O problema original pesquisado por Fibonacci (1202) lidava com a velocidade de reprodução de coelhos em condições ideais.
Um par recém nascido de coelhos, um macho e uma fêmea, podem
reproduzir a idade de um mês e ao fim do segundo mês a fêmea pode produzir outro par de coelhos. Se os coelhos nunca morrem e a fêmea sempre produz um par novo (um macho e uma fêmea) a cada mês desde o segundo mês, Fibonacci perguntou...
Quantos pares haverão após um ano?
![Page 5: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/5.jpg)
Os Coelhos de Fibonacci
Ao fim do primeiro mês, os coelhos reproduzem, mas
ainda existe somente um par. Ao fim do segundo mês a fêmea produz um par novo,
somando dois 2 pares de coelhos. Ao fim do terceiro mês, a fêmea original produz um
segundo par, somando três pares. Ao fim do quarto mês, a fêmea original produz outro par
novo, e a fêmea nascido há dois meses produz seu primeiro par também, somando 5 pares.
![Page 6: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/6.jpg)
Os Bovinos de Dudeney’
O inglês, Henry E Dudeney (1857 - 1930) escreveu vários livros de rote desafios. Num livro ele adapta os coelhos de Fibonacci aos bovinos, e torna o problema mais fácil. Ele simplifica esse problema ao enfocar em que é somente o número de fêmeas que importa! Ele troca meses por anos e os coelhos por touros (machos) e vacas (fêmeas) no problema número 175 no seu,livro 536 puzzles and Curious Problems (1967, Souvenir press):
Se uma vaca produz sua primeira filha a idade de dois
anos e depois produz outra filha a cada ano, quantas filhas existem após 12 anos, se nenhuma morre?
![Page 7: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/7.jpg)
Usando a tabela de vida para construir um modelo de crescimento populacional com
estrutura etária:
A matriz de Leslie
![Page 8: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/8.jpg)
1) Precisa de N para cada classe etária: N0, N1, N2, N3
2)Também precisa as taxas que controlam a adição ou a subtração de indivíduos por classe de idade:
• Indivíduos são adicionadas pelo nascimento e envelhecimento. • Indivíduos são subtraídos pelo morte ou envelhecimento.
N4(t+1) = 0
x l(x) b(x) pi
0 1 0
1 0.8 2
2 0.4 3
3 0.1 1
4 0 0
pi : probabilidade de sobreviver de idade de i a idade de i+1: i
ii
l
lp 1
N0(t+1) = b1N1(t)+b2N2(t)+b3N3(t)
N3(t+1) = p2*N2(t) p2=0.25
N2(t+1) = p1*N1(t) p1=0.50
N1(t+1) = p0*N0(t) p0=0.80 0.25
0.50
0.80
0.0
![Page 9: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/9.jpg)
N1(t+1) = b1N1(t)+b2N2(t)+b3N3(t)
N4(t+1) = p3*N3(t)
N3(t+1) = p2*N2(t)
N2(t+1) = p1*N1(t)
Um modelo, quatro equações:
Outra maneira de escrever essas equações é na forma de matriz:
N1(t+1)
N2(t+1)
N3(t+1)
N4(t+1)
b1 b2 b3 0
p1 0 0 0
0 p2 0 0
0 0 p3 0
N1(t)
N2(t)
N3(t)
N4(t) =
A Matriz de Leslie
![Page 10: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/10.jpg)
Cla
sse e
tária
4
3
2
1
Número de indivíduos
100
50
15
20
Tempo 0: Tempo 1:
N1(t+1) = 2*N1(t)+3*N2(t)+N3(t)
N4(t+1) = 0.25*N3(t)
N3(t+1) = 0.5*N2(t)
N2(t+1) = 0.8*N1(t)
Cla
sse e
tária
Número de indivíduos
200+150+20
80
5
25
![Page 11: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/11.jpg)
1 10
100 1000
10000 100000
1000000 10000000
100000000 1E+09 1E+10 1E+11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
age 1
age 2
age 3
age 4
all
Número de indivíduos (escala logarítmica)
tempo
![Page 12: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/13.jpg)
Estrutura Estável de Idades
Uma condição na qual as proporções dos indivíduos nas classes etárias não mudam quando a população aumenta ou cai.
Em modelos de populações estruturadas por idade (Leslie), a estrutura estável de idades é
determinado pelos parâmetros do modelo (taxas de natalidade e sobrevivência específicas a
idade), e frequentemente (mas não sempre) se desenvolvem espontaneamente.
![Page 14: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/14.jpg)
N1(t+1) = l N1(t)
N4(t+1) = l N4(t)
N3(t+1) = l N3(t)
N2(t+1) = l N2(t)
A estrutura estável de idades, a Matriz de Leslie pode ser simplificada:
É igual a:
N1(t+1)
N2(t+1)
N3(t+1)
N4(t+1)
N1(t)
N2(t)
N3(t)
N4(t)
= l
r = ln(R0)/G
r = ln(l)/t
![Page 15: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/15.jpg)
Demografia discreta
Ciclo vital
estágios
Intervalo de projeção
transições
reprodução
![Page 16: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/16.jpg)
Ciclo vital classificado por idades
![Page 17: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/17.jpg)
•Matriz de Leslie para um modelo de
estrutura etária
Matrizes de Transição e Diagramas Circulares
![Page 18: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/18.jpg)
A Matriz de Leslie
A matriz de Leslie é uma das técnicas mais usadas para descrever o crescimento de populações (e sua distribuição projetada de idades), na qual a população é fechada a migração e onde consideramos somente um sexo, usualmente as fêmeas.
![Page 19: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/19.jpg)
O que é a Matriz de Leslie?
Método de representar a dinâmica de populações estruturadas por idade ou tamanho
Combina processos populacionais (nascimentos e mortes) num modelo único
Geralmente usadas para populações com ciclos anuais de reprodução
Por convenção, usamos somente as fêmeas de uma população
![Page 20: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/20.jpg)
A Matriz de Leslie como ferramenta na ecologia
A matriz de Leslie é usada na ecologia para modelar as mudanças numa população durante um período de tempo. No modelo de Leslie, a população é dividida em grupos de classes etárias ou estágios vitais. A cada passo temporal a população é representada com um elemento para cada classe etária na qual cada elemento indica o número de indivíduos atualmente em aquela classe.
![Page 21: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/21.jpg)
Importância?
Dinâmica populacional
Conservação (crescimento e persistência, invasão e a re-colonização)
Evolução (sucesso dos ciclos vitais, envelhecimento, resposta ambiental)
![Page 22: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/22.jpg)
Cadeias de Markov na demografia
partícula = organismo individual
estados = estágios no ciclo vital
Cadeias de absorção
Perguntas relativas a absorção – quando
– onde
– timing
– Analise de perturbação
![Page 23: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/23.jpg)
A Matriz de Leslie
Conceito do vetor populacional
Nascimentos
Mortes
![Page 24: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/24.jpg)
Vetor Populacional
N0
N1
N2
N3
…. Ns
s+1 filas por 1 coluna (s+1) x 1 Onde, s= idade máxima
![Page 25: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/25.jpg)
Nascimentos
N0 = N1F1 + N2F2 +N3F3 ….+FsNs
Recém nascidas = (Número de fêmeas da idade 1) X (Fecundidade das fêmeas de idade 1) + (Número de fêmeas da idade 2) X (Fecundidade das fêmeas de idade 2) + ….. Observe: fecundidade é definida como o número de proles fêmeas O termo “recém nascidas” pode ter definição flexível (ovos, l arvas....
![Page 26: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/26.jpg)
Mortalidade
Na,t = Na-1,t-1Sa
Ou seja usando a idade 1 como exemplo:
N1,t = N0,t-1S0-1 + N1,t-1 (0) + N2,t-1 (0) + N3,t-1 (0) + …
Número da idade no ano próximo = (Número da idade anterior do ano anterior) X (Sobrevivência da idade anterior a idade atual)
![Page 27: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/27.jpg)
Rattus norvegicus Vejamos a taxa de crescimento de uma
população de, Rattus norvegicus.
Longevidade de 15 a 18 meses.
Primeira ninhada a 3 meses de idade e continue de reproduz a cada 3 meses até atingir 15 meses de idade.
![Page 28: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/28.jpg)
Dados Essa tabela
proporciona as taxas de natalidade e sobrevivência específicas a idade.
Como premissas as taxas de natalidade e sobrevivência ficam constantes no tempo, e examinamos somente a população de fêmeas.
Idade Taxa de natalidade
Taxa de sobrevivência
0-3 0 0.6
3-6 0.3 0.9
6-9 0.8 0.9
9-12 0.7 0.8
12-15
0.4 0.6
15-18
0 0
![Page 29: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/29.jpg)
Número de Nascimentos de Fêmeas
Para calcular o número atual de nascimentos de fêmeas num grupo etário, precisamos multiplicar a taxa de natalidade pelo número de fêmeas no grupo.
A população original é 42 fêmeas com a distribuição etária a seguir.
Idade(meses) 0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18
Número 15 9 1 3 5 0 0
![Page 30: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/30.jpg)
Nascimentos Novos Após um Ciclo
Podemos encontrar o número de nascimentos novos, após um ciclo ap multiplicar o número de fêmeas pela taxa de natalidade correspondente e depois obter a soma:
15(0) + 9(0.3)+13(0.8)+5(0.7)+0(0.4)+0(0)
=0+2.7+10.4+3.5+0+0
=16.6
Por isso, o número de fêmeas no grupo etário de 0-3 após 3 meses é aproximadamente 17.
![Page 31: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/31.jpg)
Taxa de Sobrevivência Após 3 Meses
A taxa de sobrevivência é o número de indivíduos que sobrevivem em cada grupo etário e avançam ao próximo.
Para encontrar o número de indivíduos que sobrevivem, multiplica o número em cada grupo etário, pela taxa de sobrevivência.
![Page 32: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/32.jpg)
Número de Sobreviventes Idade Número Taxa de
sobrevivência
Número avançando ao
próximo grupo etário
0-3 15 0.6 (15)(0.6)=
3-6 9 0.9 (9)(0.9)=
6-9 13 0.9 (13)(0.9)=
9-12 5 0.8 (5)(0.8)=
12-15 0 0.6 (0)(0.6)=
15-18 0 0 Nenhum vive além de
18 meses
![Page 33: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/33.jpg)
O Tamanho da População Após 3 Meses
Assim, após 3 meses a população de fêmeas cresce de 42 a aproximadamente 50, com a seguinte distribuição:
Idade 0-3 3-6 6-9 9-12
12-15 15-18
Número 16.6 9.0 8.1 11.7 4.0 0
![Page 34: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/34.jpg)
População total =
16.6+9.0+8.1+11.7+4.0+0+0=
=49.4
O Tamanho da População Após 3 Meses
![Page 35: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/35.jpg)
Taxa de Crescimento A mudança percentual da população entre dois ciclos.
velho
velhonovo
P
PP
Exemplo: (população) P0 = 42 ratos e P1 = 49.4 ratos
Taxa de crescimento = %6.17176.040
404.49
![Page 36: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/36.jpg)
População Após 6 Meses
Para calcular a população de fêmeas após 6 meses (dois ciclos), o processo pode ser repetido usando os números da última tabela.
![Page 37: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/37.jpg)
Vantagens da Matriz de Leslie
Fazendo os cálculos para ciclos sucessivos fica mais e mais trabalhoso.
Por isso, a Matriz de Leslie facilita os cálculos.
![Page 38: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/38.jpg)
Leslie (1945) resumiu a teoria existente da época para as populações com uma estrutura etária. Cada idade fica uma unidade de tempo da outra
Matriz de Leslie
![Page 39: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/39.jpg)
Podemos combinar a matriz de coluna das taxas de natalidade com a serie de colunas da taxa de sobrevivência, resultando na matriz de Leslie.
Exemplo.
0 0.6 0 0 0 0 As taxas de natalidade formam a 0.3 0 0.9 0 0 0 primeira coluna e as taxas de 0.8 0 0 0.9 0 0 sobrevivência ficam no 0.7 0 0 0 0.8 0 super- diagonal, acima do
0.4 0 0 0 0 0.6 diagonal principal.
0 0 0 0 0 0 Essa matriz é chamada L.
A Matriz de Leslie
![Page 40: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/40.jpg)
A matriz de Leslie agora pode ser multiplicada pela matriz da população original (P0) para obter uma nova distribuição da população após um ciclo. 0 0.6 0 0 0 0
0.3 0 0.9 0 0 0 0.8 0 0 0.9 0 0
[ 15 9 13 5 0 0 ] * 0.7 0 0 0 0.8 0
0.4 0 0 0 0 0.6
0 0 0 0 0 0
Isso resulta em:
[ 16.6 9.0 8.1 11.7 4.0 0]
Cada elemento proporciona os nascimentos novos (primeiro número) e os sobreviventes que avançarão a próximo grupo etário. A soma dessas entradas proporciona a população total desse ciclo.
A Matriz de Leslie
![Page 41: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/41.jpg)
Conversão da Matriz Podemos calcular a distribuição da
população ao fim do primeiro ciclo (P1) usando duas matrizes: a distribuição original da população (P0) e a matriz L.
P L0 15 9 13 5 0 0
0 0 6 0 0 0 0
0 3 0 0 9 0 0 0
08 0 0 0 9 0 0
0 7 0 0 0 08 0
0 4 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
.
. .
. .
. .
. .
![Page 42: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/42.jpg)
A Matriz de Leslie A matriz L é a Matriz de Leslie, formada por aumentar ou juntar os vetores de colunas com as taxas de natalidade de cada grupo etário e a serie de vetores de colunas que contêm a taxa de sobrevivência como uma entrada e zero nas demais.
0 0 6 0 0 0 0
0 3 0 0 9 0 0 0
0 8 0 0 0 9 0 0
0 7 0 0 0 0 8 0
0 4 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0
.
. .
. .
. .
. .
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
![Page 43: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/43.jpg)
Colocação de Números numa matriz de Leslie
As taxas de sobrevivência ficam no super-diagonal, imediatamente acima do diagonal principal da matriz.
0 0 6 0 0 0 0
0 3 0 0 9 0 0 0
0 8 0 0 0 9 0 0
0 7 0 0 0 0 8 0
0 4 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0
.
. .
. .
. .
. .
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
Super-diagonal
![Page 44: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/44.jpg)
Projeção com a Matriz de Leslie: Eigenvetores
Associado com o eigenvalor dominante são dois conjuntos de eigenvetores Os eigenvetores do lado direto compõem a distribuição estável de idades Os eigenvetores do lado esquerda compõem o valor reprodutivo (Não fica preocupada da computação – a computação dos eigenvalores e eigenvetores é complicado!)
![Page 45: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/45.jpg)
Projeção com a Matriz de Leslie: Eigenvalores
O que e um eigenvalor? Não existe uma definição clara em português! Matematicamente, são as raízes da equação característica (existe s+1 eigenvalores para a Matriz de Leslie), quer significa que os eigenvalores nós proporciona uma equação única de crescimento populacional no tempo
![Page 46: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/46.jpg)
Multiplicidade do autovalor:
Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor:
1. A multiplicidade algébrica é dada pela sua multiplicidade como raiz da equação característica.
2. A multiplicidade geométrica é dada pela dimensão de seu auto-subespaço.
Exemplo:
Encontre as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz A, dada por:
452
100
010
A
![Page 47: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/47.jpg)
Matriz de Leslie
N0
N1
N2
N3
…. Ns
F0 F1 F2 F3 …. Fs
S0 0 0 0 …. 0
0 S1 0 0 …. 0
0 0 S2 0 …. 0
….
0 0 0 0 Ss-1 0
=
N0
N1
N2
N3
…. Ns
(s+1) x 1 (s+1) x (s+1) (s+1) x 1
![Page 48: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/48.jpg)
Matriz de Leslie
N0
N1
N2
N3
….
Ns
F0 F1 F2 F3 …. Fs
S0 0 0 0 …. 0
0 S1 0 0 …. 0
0 0 S2 0 …. 0
….
0 0 0 0 Ss-1 0
=
N0
N1
N2
N3
….
Ns
s x 1 s x s s x 1
![Page 49: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/49.jpg)
Matriz de Leslie
N0
N1
N2
N3
….
Ns
F0 F1 F2 F3 …. Fs
S0 0 0 0 …. 0
0 S1 0 0 …. 0
0 0 S2 0 …. 0
….
0 0 0 0 Ss-1 0
=
N0
N1
N2
N3
….
Ns
Nt+1 = A Nt
![Page 50: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/50.jpg)
Produto da Matriz de Leslie e P0
15 0 9 03 13 08 5 07 0 04 0 0( ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( ) [
]
15 0 6 9 0 9 13 0 9 5 08 0 0 6 0 0( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( )
16 6 9 0 81 117 4 0 0 0 1. . . . . P
![Page 51: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/51.jpg)
Distribuição da População Ao multiplicar a matriz L pela distribuição
da população Pk, obtemos uma nova distribuição da população Pk+1 . Para obter a distribuição da populaçao ao fim de outros ciclos pode continuar o processo.
P1= P0L P2 = P1L= (P0L)L= P0(LL)= P0L2
Em geral, Pk = P0Lk
![Page 52: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/52.jpg)
Podemos encontrar a distribuição da
população e a população total após 24
meses, ou oito ciclos
P P L8
0
8
8
15 9 13 5 0 0
0 0 6 0 0 0 0
0 3 0 0 9 0 0 0
08 0 0 0 9 0 0
0 7 0 0 0 08 0
0 4 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
.
. .
. .
. .
. .
Distribuição da População
Após 24 Meses
![Page 53: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/53.jpg)
P P L8
0
8
8
15 9 13 5 0 0
0 0 6 0 0 0 0
0 3 0 0 9 0 0 0
08 0 0 0 9 0 0
0 7 0 0 0 08 0
0 4 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
.
. .
. .
. .
. .
2103 12 28 10 90 9 46 7 01 4 27. . . . . .
A Distribuição da População Após 24 Meses
![Page 54: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/54.jpg)
A População Total Após 24 Meses
A população total =
21.03 + 12.28 + 10,90 + 9,46 + 7,01 + 4,27
= 64,95
Ou aproximadamente 65 indivíduos
![Page 55: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/55.jpg)
Taxa de Crescimento de Largo Prazo
Após vários ciclos a taxa porcentual de crescimento fica estável e muda pouco. A porcentagem na qual a distribuição fica estável é a taxa de crescimento de largo prazo. Para obter a taxa de crescimento de largo prazo pode calcular várias taxas de crescimento de vários ciclos até ficar estável a porcentagem.
![Page 56: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/56.jpg)
Para qualquer número de ciclos, n, podemos calcular a distribuição da população ao multiplicar as matrizes
P0 * Ln
Se quer encontrar a distribuição da população após 8 ciclos (24 meses), simplesmente leva a matriz aumentada de Leslie (L) a aquela potencia (número de ciclos). – Assim, P0 * L8 = [21.03 12.28 10.90 9.46 7.01
4.27]
A população após vários ciclos
![Page 57: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/57.jpg)
Projeção com a Matriz de Leslie
Nt+1 = ANt
Nt+2 = AANt Nt+3 = AAANt Nt+4 = AAAANt Nt+n = AnNt
![Page 58: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/58.jpg)
Projeção com a Matriz de Leslie
Porque a dinâmica populacional é ergódiga, não precisamos preocupar do vetor da população inicial. Podemos analisar da matriz A
Nt+n = AnNt
![Page 59: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/59.jpg)
A é a matriz de projeção da população
Matriz de Leslie
![Page 60: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/60.jpg)
Projeção com a Matriz de Leslie
Dado a matriz A, podemos computar seus eigenvalores e eigenvetores, que correspondem a taxa de crescimento populacional, distribuição estável de idades, e valor reprodutivo
![Page 61: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/61.jpg)
Projeção com a Matriz de Leslie: Equação Característica
1= F1λ-1 + P1F2 λ
-2 + P1P2F3 λ-3 + P1P2P3F4 λ
-4 …
A equação é polinomial, e pode ser resolvida para obter várias raízes da equação (algumas que podem ser “imaginarias”, com √-1 como parte de sua solução) A raiz (λ) que tem o maior valor absoluto é eigenvalor “dominante” e determinará o crescimento populacional no tempo. Os outros eigenvalores determinarão a dinâmica transiente da população.
![Page 62: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/62.jpg)
Polinômio característico Agora que já vimos algumas aplicações dos determinantes, vamos utilizá-lo
para mais uma aplicação.
Definições:
1. Seja A uma matriz de ordem n, denominamos polinômio caracterís-
tico de A, o polinômio P(l) obtido pelo cálculo de: P(l) = det(A- lI).
2. A equação P(l) = 0 é denominada equação característica de A.
3. Os autovalores de uma matriz A são precisamente as soluções l da
equação característica.
Assim, dada a matriz A temos o seguinte algoritmo:
1) Encontrar o polinômio característico de A;
2) encontrar os autovalores de A através de sua equação característica;
3) para cada autovalor encontrar o subespaço anulado por A- lI, esse é
o auto-subespaço associado ao autovalor l i , denominado El,
formado pelos autovetores de A;
4) Encontre uma base para cada auto-subespaço.
![Page 63: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/63.jpg)
Estudo qualitativo do sistema: polinômio característico
P(l) = det(A - lI)
P(l) = l10(- l+1- ) + 0 1 ... 9
P(l) = -l11 + (1- )l10 + K
K = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Seja = Max
11i1 onde
C se
se
i
ii
ll
ll
iRe
![Page 64: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/64.jpg)
Teorema: Cota de Kojima
Dado um polinômio p(x) = anxn +an-1x
n-1 + ... +a0
toda raiz, real ou complexa, verifica:
| | ≤ Q1 + Q2
onde Q1 e Q2 são os maiores valores obtidos do
conjunto:
ni
a
ai
n
i , ... ,2 ,1:
![Page 65: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/65.jpg)
Estudo qualitativo do sistema: avaliação gráfica
![Page 66: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/66.jpg)
Autovalores e autovetores:
Introdução e definições
Polinômio característico
Multiplicidade de autovalores
Aplicação de autovalores
![Page 67: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/67.jpg)
• Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem-se uma equação do tipo:
onde A é uma matriz nxn, x um vetor nx1 e l um número real.
• Exemplo:
1) 2)
Hoje vamos investigar este fenômeno de forma mais geral.
xAx l
6,0
4,0
6,0
4,0
8,03,0
2,07,0
1
6
18
5,1
1
6
18
025,00
005,0
340
Autovalores e autovetores:
![Page 68: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/68.jpg)
1. Considere A uma matriz nxn. Um escalar l é chamado de autovalor de A, se existe um vetor não nulo x tal que Ax = lx. Tal vetor é chamado de autovetor de A.
2. Dados uma matriz A de ordem n e l um autovalor de A, chamamos de auto-espaço de A a coleção de autovetores correspondentes a cada l acrescida do vetor nulo.
Exemplos: 1) Mostre que (1,1) é autovetor de A, onde e obtenha o autovalor correspondente. 2) Mostre que 5 é autovalor de 3) Encontre, geometricamente, os autovetores de
31
13A
34
21
10
01
Autovalores e autovetores:
![Page 69: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/69.jpg)
Propriedades do Modelo
Composição etária inicialmente têm um efeito sobre a taxa de crescimento populacional, mas some no tempo (ergodicidade)
No tempo a população aproxima uma distribuição estável de idade
Projeção da população geralmente demonstra um crescimento exponencial
![Page 70: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/70.jpg)
Propriedades do Modelo Ilustração Gráfica
Idade 0 Idade 1
![Page 71: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/71.jpg)
Propriedades do Modelo Ilustração Gráfica
Lambda = Nt+1 / Nt
Assim,
Nt+1 = λ Nt
![Page 72: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/72.jpg)
Propriedades do Modelo Ilustração Gráfica
![Page 73: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/73.jpg)
Projeção e Previsão
Até aqui, usamos o termo projeção – mas o que isso significa em termos técnicos, e como a projeção difere da previsão? Basicamente, a previsão enfoca a dinâmica de curta duração da população, e assim da dinâmica transiente. Projeção se refere a dinâmica de duração longa se todo fica constante. Por isso, o termo projeção proporciona uma base para comparar matrizes diferentes em preocupar da dinâmica transiente.
![Page 74: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/74.jpg)
Projeção e Previsão
Analogia simples (?): O velociômetro do carro proporciona uma medida instantânea da velocidade. Pode ser usado para comparar a velocidade de dois carros e indicar qual corre mais rapidamente, no momento. Para prever onde o carro estará de aqui uma hora, precisamos mais informação, como as condições iniciais: De onde o carro parte? Qual rodovia será usado? .... Por isso, as projeções proporcionam uma base para a comparação, e as previsões se enfocam na
provisão de previsões “fieis” da dinâmica do sistema.
![Page 75: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/75.jpg)
Modelos Estruturados por Estágio
A idade não é sempre o melhor indicador de mudança demográfica. – Determinar a idade precisa não é
prático
As taxas vitais podem ser ligadas fortemente ao tamanho ou estágio de desenvolvimento
Por isso, usamos modelos de matriz estruturados por estágio
ovo larva pupa adulto
![Page 76: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/76.jpg)
Ciclo vital classificado por tamanhos
1. Sementes dormentes 2. Sementes dormentes 3. Plântulas pequenas 4. Plântulas médias 5. Plântulas grandes 6. Plantas com flores
Dipsacus sylvestris
Plântulas
Plantas com flores
Sem
ent
es
Dor
ment
es
Sem
ent
es
Dor
ment
es
![Page 77: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/77.jpg)
Diomedea exulans
Croxall et al. 1990
Ciclo vital classificado por estágio
![Page 78: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/78.jpg)
Eubalaena glacialis
filhote Pós-mãe mãe matura imatura
Ciclo vital classificado por estágio
![Page 79: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/79.jpg)
Ovo /filhote Juvenil pequeno
Juvenil grande Sub-adulto Adulto
filhote Fêmea imatura
Fêmea matura
Fêmea matura com recém nascido (mãe)
Ciclo vital classificado por estágio
![Page 80: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/80.jpg)
F é a fecundidade específica ao estágio.
G é a taxa de sobrevivência de estágio i ao estágio i+1
Matriz de Lefkovitch
![Page 81: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/81.jpg)
Lefkovitch (1965) propus que os estágios da população não precisam ter a mesma duração e que alguns indivíduos num estágio sobreviverão e ficarão no mesmo estágio após de um ano (ou intervalo de tempo).
Matriz de Lefkovitch
![Page 82: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/82.jpg)
Em vez de usar técnicas de estrutura de idades, pode ser mais apropriado usar uma técnica de estrutura de estágio ou tamanho. Alguns organismos (insetos ou plantas) passam por estágios que são discretos. Em outros organismos, como peixes ou árvores, o tamanho do indivíduo é mais importante do que sua idade.
Matriz de Lefkovitch
![Page 83: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/83.jpg)
Cada um dos elementos da matriz não correspondem simplesmente a sobrevivência e fecundidade, mas as taxas de transição (probabilidades) entre estágios. As taxas de transição dependem em parte da taxa de sobrevivência, mas também das taxas de crescimento. Além disso, existe a possibilidade de um organismo “regressar” de estagio (passar a um estagio anterior), diferente do o que acontece na Matriz de Leslie, onde todos ficam mais velhos se sobrevivem, e depois avançam somente uma faixa de idade
Matriz de Lefkovitch
![Page 84: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/84.jpg)
Um modelo comum de estrutura de estágio
Os indivíduos podem ficar num estágio durante um passo o transição temporal
Nenhum pulo ou reversão de estágios
Matriz de Lefkovitch
![Page 85: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/85.jpg)
Lefkovitch (1965) propus que os estágios da população não precisam ter a mesma duração e que alguns indivíduos num estágio sobreviverão e ficarão no mesmo estágio após de um ano (ou intervalo de tempo).
Nessa matriz P1, P2, P3, P4 são as probabilidades que as fêmeas nos estágios de 1 a 4 ficarão no mesmo estágio no ano segui ente.
Matriz de Lefkovitch
![Page 86: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/86.jpg)
Esses valores ainda são de fecundidade
Exemplo da Matriz de Lefkovitch
Até o estágio: Pré-juvenil Juvenil adulto
Pré-juvenil 0 52 279,5
Juvenil 0,024 0,25 0
Adulto 0 0,08 0,43
![Page 87: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/87.jpg)
Uma vez que a matriz de estágios é formulado , o processo de multiplicação de matriz proceda como na matriz de Leslie.
A matriz de estágios de probabilidades de transição é multiplicada pelo vetor de abundancias dos estágios para projetar a população.
Lambda, distribuição estável de estágio, e valores reprodutivos têm o mesmo significado do que no modelo de estrutura etária.
Matriz de Lefkovitch 1 2 3 4 5
1 0,637 0,333 0100 0,163 0,230
2 0107 0,590 0.0 0.0 0.0
3 0.0 0,353 0.763 0.0 0.0
4 0.0 0.0 0,237 0667 0.0
5 0.0 0.0 0.0 0,277 0737
![Page 88: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/88.jpg)
N0
N1
N2
N3
….
Ns
F0 F1 F2 F3 …. Fs
T0-1 T1-1 T2-1 T3-1 ….. Ts-1
T0-2 T1-2 T2-2 T3-2 ….. Ts-2
T0-3 T1-3 T2-3 T3-3 ….. Ts-3
….
T0-s T1-s T2-s T3-s ….. Ts-s
=
N0
N1
N2
N3
….
Ns
Exemplo da Matriz de Lefkovitch
![Page 89: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/89.jpg)
Exemplo da Matriz de Lefkovitch
N0
N1
N2
N3
….
Ns
=
N0
N1
N2
N3
….
Ns
F0 F1 F2 F3 …. Fs
T0-1 T1-1 T2-1 T3-1 ….. Ts-1
T0-2 T1-2 T2-2 T3-2 ….. Ts-2
T0-3 T1-3 T2-3 T3-3 ….. Ts-3
….
T0-s T1-s T2-s T3-s ….. Ts-s
![Page 90: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/90.jpg)
•A adição da dependência de densidade aos modelos estruturados é complicado diferente do que nos modelos sem estrutura porque muitos variáveis são potencialmente dependentes da densidade (sobrevivência e fecundidade específicas a idade) e não somente a taxa de crescimento.
1. Quais taxas vitais são dependentes da densidade?
2. Como essas taxas mudam com a densidade?
3. Quais classes contribuem a dependência da densidade?
(Por exemplo, a sobrevivência juvenil é influenciada pela
densidade total ou pela densidade de juveneis?)
•Outro problema: geralmente não existem dados demográficos de largo prazo para detectar e estimar a dependência da densidade!
Dependência da Densidade
![Page 91: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/91.jpg)
Premissa que a abundancia total afeita proporcionalmente todos os elementos da matriz de estágio.
Para espécies territoriais, use o tamanho do território para estimar o limite superior do número de indivíduos reprodutivos e usar o modelo do têto. Isso permite a transição de classe pré-reprodutiva a reprodutiva em forma dependente da densidade.
Escolha uma (ou poucas) taxas vitais com dados existentes e modelar essas taxas com funções de dependência de densidade específicas (Ricker, Beverton-Holt). Premissa de que as outras taxas são independentes da densidade.
Todas essas técnicas podem requerer software de modelagem matemática.
Dependência da Densidade
![Page 92: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/92.jpg)
•We estimate temporal variations in vital rates from past observations and use these to predict future population sizes.
•At each time step, before doing the matrix multiplication, we randomly sample the matrix elements (or vital rates) from statistical distributions with appropriate means and standard deviations.
Adição de Estocasticidade
![Page 93: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/93.jpg)
Resumo:
1. A informação da tabela de vida pode ser usada para escrever um modelo de crescimento populacional para populações com gerações que se sobrepõem.
2. Os modelos da matriz de Leslie são independentes de densidade e resultam no crescimento exponencial, crescimento zero, ou decomposição exponencial.
3. Esses modelos prevêem que freqüentemente, mas nçao sempre, as populações aproximam uma distribuição estável de idades.
4. A distribuição estável de idades, todas as classes etárias crescem ou diminuam a taxas iguais.
![Page 94: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/94.jpg)
Usando a equação de diferencias
Nt+1=Ant
O eigenvalor dominante é l=1.04.
Qual é a taxa de aumento da população?
4% de aumento por ano
Perguntas
![Page 95: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/95.jpg)
Usando a equação
O eigenvalor dominante é r=.02. qual é o valor da taxa de aumento da população?
2% de aumento por ano
ANdt
dN
Perguntas
![Page 96: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/96.jpg)
Qual é a transposição dessa matriz?
153
726
241
A
Perguntas
![Page 97: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/97.jpg)
Qual é a transposição dessa matriz?
172
524
361TA
Perguntas
![Page 98: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/98.jpg)
Dados de uma simulação de uma populaão de largo prazo.
Qual é o eigenvalor dominante dessa população?
E qual é a taxa percentual de crescimento?
tempo 100 101 102 103
N 262 290 321 355
Perguntas
![Page 99: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/99.jpg)
Dados de uma simulação de uma populaão de largo prazo.
Qual é o eigenvalor dominante dessa população?
1.11
E qual é a taxa percentual de crescimento?
11 %
tempo 100 101 102 103
N 262 290 321 355
Nt+1/Nt > 1,11 1,11 1,11
Perguntas
![Page 100: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/100.jpg)
A matriz de projeção da população e a população inicial indica qual tamanho da população após um ano?
____
____
____
0
0
10
N
110
115.
241
1
0
N
A
Perguntas
![Page 101: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/101.jpg)
A matriz de projeção da população e a população inicial indica qual tamanho da população após um ano?
Use a premissa de N1=AN0
_0
5
10
0
0
10
N
110
115.
241
1
0
N
A
Perguntas
![Page 102: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/102.jpg)
Perguntas Para responder as perguntas a seguir, usamos uma
estrutura da matriz de projeção de população de Lefkovitch a seguir
![Page 103: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/103.jpg)
Usando os dados de 2008 a 2009 qual é a fecundidade F dos casais reprodutivos? (F2=0)
F=F3=33/88=0.38
Use a premissa de P1=P2=0 , ou seja, os indivíduos no estágio 1 ou 2 automaticamente avançam a próximo estágio e que P3=0.94 ou seja, uma taxa de sobrevivência de 94% dos casais reprodutivos.
Estágio 2008 2009 2010 2011
Juvenis e recém
nascidos, 1
36 33 30 30
Solitários, 2 9 7 5 6
Casais
reprodutivosk3
87 87 87 85
Perguntas
![Page 104: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/104.jpg)
Usando os dados de 2008 a 2009 qual é o valor da fração de indivíduos de estágio 1 que avançam a estágio 2, G1?
G1=7/36=0.19
Use a premissa de P1=P2=0 , ou seja, os indivíduos no estágio 1 ou 2 automaticamente avançam a próximo estágio e que P3=0.94 ou seja, uma taxa de sobrevivência de 94% dos casais reprodutivos.
Estágio 2008 2009 2010 2011
Juvenis e recém
nascidos, 1
36 33 30 30
Solitários, 2 9 7 5 6
Casais
reprodutivosk3
87 87 87 85
Perguntas
![Page 105: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/105.jpg)
Usando os dados de 2008 a 2009 qual é o valor da fração de indivíduos de estágio 2 que avançam a estágio 3, G2?
G2=(87-88*.94)/9=0.48
Use a premissa de P1=P2=0 , ou seja, os indivíduos no estágio 1 ou 2 automaticamente avançam a próximo estágio e que P3=0.94 ou seja, uma taxa de sobrevivência de 94% dos casais reprodutivos.
Estágio 2008 2009 2010 2011
Juvenis e recém
nascidos, 1
36 33 30 30
Solitários, 2 9 7 5 6
Casais
reprodutivosk3
87 87 87 85
Perguntas
![Page 106: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/106.jpg)
Resumo: 1. A informação de tabelas de vida pode ser usado para
escrever um modelo para o crescimento de populações com gerações sobrepostas.
2. Os modelos da Matriz de Leslie são independentes da densidade, resultando em crescimento exponencial, crescimento zero, ou declínio exponencial.
3. Esses modelos prevê que frequentemente, mas não sempre, as populações aproximam uma distribuição estável de idades.
4. Na distribuição estável de idades, todas as classes etárias crescem ou caiem a mesma taxa.
![Page 107: Matriz de lesie](https://reader033.fdocumentos.tips/reader033/viewer/2022051213/559e8f541a28ab9b5d8b474e/html5/thumbnails/107.jpg)
Tarefa Crescimento Populacional – Uma espécie de besouro vive no máximo
3 anos. As fêmeas podem ser divididas em 3 faixas etárias: ninfas (de 0 a 1 ano), juvenis (de 1 a 2 anos) e adultas (de 2 a 3 anos). As ninfas não põem ovos; cada fêmea juvenil produz uma média de 4 fêmeas e cada adulta uma média de 3 fêmeas. A taxa de sobrevivência é de 25% para as juvenis e de 50% para as ninfas. Supondo que a população inicial era de 40 ninfas, 40 juvenis e 20 adultas, obtenha:
1. A matriz de Leslie associada a esta população.
2. A previsão da população para os próximos 5 anos.
3. Os autovalores e autovetores de sua matriz de Leslie.
4. O gráfico população x tempo com pelo menos 10 anos, indicando a população de cada classe etária.
5. O gráfico porcentagem da população x tempo, com pelo menos 10 anos, indicando a porcentagem para cada classe etária.
6. A partir desses gráficos, que conclusões você pode tirar ?