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Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais Por que menos com menos da mais? (Corrigido e revisado em 19/02/09)

Introdução e visão geral do problema. A matemática tem lá suas duvidas? Não, na verdade nós é que criamos as duvidas! Naturalmente nossos instintos indagam algumas verdades, principalmente as que não são demonstradas, eis o motivo desta pesquisa, e com muito interesse proponho esta leitura, a fim de provar o que já esta provado, mas que poucos conhecem, normalmente culpamos o professor, e esse diz que tem pouco tempo para ensinar, um grande ciclo não é mesmo?! (um culpando o outro). Portanto o objetivo por hora é demonstrar com clareza o que a regra de sinais propõe e alguns conceitos que estão diretamente ligados a ela. Você já deve ter se deparado com a regra de sinais e já se questionou sobre o porquê da regra? Logicamente poderíamos concluir que: (+)(-) = (-) ou (-)(+) = (-) (Tenho cinco reais, mas devo o dobro, pago a divida, e continuo devendo) 5 + (2)(-5) = 5-10 = -5 (+)(+) = (+) (Tenho cinco reais, e recebo o dobro, somo e fico com mais) 5 + (2)(5) = 5+10 = 15 Se (+)(+) = (+), então (-)(-) = (-) ??? (Devo cinco reais, e multiplico pela divida de dois reais de um amigo, então ficamos com mais? Ora então é só multiplicar dividas que ficamos ricos!?) (-5)(-2) = 10 Bom o que eu estou propondo é o seguinte, considere o sinal de mais (+) para saldo e o sinal de (-) para debito. Como demonstrado anteriormente passamos de uma divida para um saldo, isso é estranho não é mesmo? Na verdade muitos interpretariam que o resultado seria uma divida maior, mas então o sinal deveria continuar negativo, porque estamos considerando o sinal de (-) como debito lembra? Então: (-5)(-2) = (-10) => (Devo cinco e multiplico por uma outra divida de dois reais então passamos a dever o dobro). É claro que não, mas por quê? Existe ainda aquele ditado que diz: “O inimigo do meu inimigo é meu amigo”, mas isto não prova nada, muito menos matematicamente. Com base neste problema serão exibidos a seguir os conhecimentos básicos necessários para que se desvende o mistério da regra de sinais, sabemos que dificilmente o professor demonstra a regra, na verdade ele mostra e pronto, como se não existisse um porquê. Sendo assim apresentarei uma demonstração prática para a regra de sinais e alguns outros conceitos preliminares.


Porque 0*k = 0 (zero vezes k é igual à zero)?

Obs.: Para entender é necessário que você conheça a “Teoria dos conjuntos”. Seja N* o conjunto dos números naturais, e "k" um elemento qualquer de N*.

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9...}, então k = 1 ou 2 ou 3 ou 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

=> para o lado esquerdo da igualdade sabemos que 0 + 0 = 0 => para o lado direito da igualdade utilizamos a propriedade distributiva k0 + k 0 = 0 => então concluímos que:

=> podemos então utilizar a regra da balança que consiste no seguinte:

=> adicionando um número qualquer dos dois lados da igualdade não alteramos a igualdade:

=> e subtraindo um número qualquer dos dois lados da igualdade também não alteramos a igualdade:

=> retornando à nossa igualdade e adicionando -(0k) aos dois lados da igualdade temos:

=> manipulando a igualdade concluímos que:

0 => o que é uma verdade, provando e encerrando a demonstração.


Elemento oposto Dado um número real “a”, existe um único número real indicado por “–a”, chamado oposto de “a”, tal que:

a + (-a) = 0

Demonstração da Regra de sinais. Iniciaremos finalmente a demonstração, partiremos de conceitos básicos e que já são conhecidos pela maioria dos estudantes, contudo será melhor que você deixe de lado o que você já sabe (pelo menos por alguns instantes) para poder entender melhor está proposição de demonstração da regra. Admita “e”, ”k”, “c” como variáveis pertencentes à R. 1ºCaso: Adição: Sinais iguais: A) Sejam “e”, “k”, “c” positivas, a adição destas variáveis será sempre um valor (x) positivo “+(x)”: (e) + (k) + (c) = +(x) Prova: (3) + (2) + (1) = +(6) B) Sejam “e”, “k”, “c” negativos, a adição destas variáveis será sempre um valor (x) negativo “-(x)”: (-e) + (-k) + (-c) = -e -k -c = -(x) Prova: (-3) + (-2) + (-1) = -3 -2 -1 = -(6) 2ºCaso: Adição: Sinais diferentes: Obs.: Para entender é necessário que você conheça a definição de “Módulo ou Valor Absoluto”. A) Sejam “e”, “k” variáveis de sinais opostos, a adição resultara num valor dependente do módulo de “e” ou de “k”: (+e) + (-k) = e - k = F(x)

1º: +(x) se: | e | > | k | 2º: -(x) se: | e | < | k |

Prova: 1º: 3 + (-2) = 3 – 2 = 1 � | 3 | > | -2 | e como 3 é maior que 2, o resultado é positivo. Prova: 2º: 2 + (-3) = 2 – 3 = -1 � | 2 | < | -3 | e como 2 é menor que 3, o resultado é negativo.

GUIDG.COM GUIDG.COM GUIDG.COM GUIDG.COM –––– DATABASE DATABASE DATABASE DATABASE –––– CIEX CIEX CIEX CIEX –––– PG. PG. PG. PG. 4 3ºCaso: Produto: Sinais diferentes: A) Seja “e” uma variável qualquer e “n” uma constante qualquer, ambas pertencentes a R, quando “e” e “n” tiverem sinais opostos, o produto será sempre um valor (x) negativo: (-e).(+n) = (-e) + (-e) + (-e) + ... = -(x) (Lê-se: “menos e” vezes “n” é igual à soma “n-ésima” de “menos e”) Lembre-se que multiplicar significa somar “n” vezes o número multiplicado. Nota: A multiplicação é uma operação comutativa. Prova: 1º: (-2).(3) = (-2) + (-2) + (-2) = -2 -2 -2 = -(6) 4ºCaso: Produto: Sinais iguais: A) Sejam “e” e “k” variáveis quaisquer positivas pertencentes a R. o produto será sempre uma valor (x) positivo. Isso é decorrência da proposição do “1ºCaso: A”. Se “e = 2” e “k = 3”, e.k = e + e + e = 3.e = 3.2 = 6 B) Sejam “e” e “k” variáveis quaisquer negativas pertencentes a R. o produto será sempre um valor (x) positivo. Veja a explicação: (-e).(-n) = ??? Obs.: Para demonstrar esta famosa regra é necessário que você já tenha visto a demonstração da multiplicação de 0*k e a definição de elemento oposto. Aplicação do conceito de elemento oposto: (-e).(0) = (-e).[(-e) + (e)] = 0 Aplicação da propriedade distributiva: (-e)(-e) + (-e)(e) = 0 (-e)(-e) + (-e.e) = 0 Aplicado a definição de potenciação

@ e` a

@e` a

+ @e2b c

= 0

Aplicado a conceito da regra da balança, somando e2 dos dois lados da igualdade:

@ e` a

@e` a

+ @ e2+ e2

b c

= 0 + e2

Aplicando o conceito de elemento oposto e elemento neutro: cancelando e2 com@e2 e somando zero com e2: @ e` a

@e` a

= e2 O encerramento da demonstração prova que a multiplicação de um número negativo por ele mesmo terá como resultado o seu oposto ao quadrado. Prova: (-3)(-2) = ? ...

(-3)(0) = (-3)[(-2) +2] = 0 => (-3)(-2) + (-3)(2) = 0 (-3)(-2) -6 = 0 => (-3)(-2) -6 +6 = 0 + 6

(-3)(-2) + 0 = 0 + 6 (-3)(-2) = 6

Como você viu não foi utilizado nenhuma lógica, apenas manipulação algébrica, foi posto os sinais que estavam sendo multiplicados em um lado da igualdade, enquanto somamos 6 dos dois lados da igualdade e não efetuamos a multiplicação, os opostos se cancelaram, resultando na última expressão vista, ou seja chegamos num resultado sem ter que multiplicar os sinais, e isso é decorrência das proposições vistas anteriormente. Portando (-)(-) = (+)


Por que “o primeiro pelo inverso do segundo”? Outro caso intrigante na matemática, e com o qual há pouco tempo me deparei, foi o caso de uma fração sobre outra fração (denominada fração composta), de comum aprendemos que para simplificar, multiplicamos a “primeira pela inversa da segunda”, isso me fez refletir sobre o assunto, me levando a pesquisar a respeito, pois bem aqui vão os resultados.

Não existe divisão por zero (essa eu não vou explicar!). A) Seja “a” um número real qualquer. Então “a” pode ser escrito da seguinte maneira: a =

a1ffff

Todo número que não apresenta denominador, tem na verdade “1” como denominador por convenção. Isso é fácil de verificar. Se você não esta dividindo este número “a”, então ele está sendo dividido por “1” já que “1“ é na multiplicação um “elemento neutro”. Decorre da definição: aA1 = a

[aA 1affffffffffff

=aaffff

[ 1 = 1

(Dividindo por “a” dos dois lados da igualdade)

Portanto a/a = 1, e todo número dividido por ele mesmo é igual a um.

Ex: 5/5=1 115/115=1 (x+2)/(x+2)=1 (x2+ 3x + 5

x2+ 3x + 5

fffffffffffffffffffffffffffffffffffa= 1

B) Elemento inverso: Dado um número real a ≠ 0, existe um único número real, indicado por 1affff, e também por a@ 1, chamado inverso de a, tal que: aA

1affff

= 1.

C) Existe uma operação chamada a “inversa da multiplicação”, denominada “divisão”. De onde concluímos que o processo de divisão é o inverso do processo de multiplicação, ou de uma forma simplificada: “dividir é multiplicar pelo inverso”.

Ex: aDa = aA1affff

= 1

D) Portando agora de forma generalizada podemos aplicar o conhecimento. Sejam “a”, “b”, “c” e “d” números reais quaisquer com “b” e “d” diferentes de zero. abffff, chamaremos dek

cdffff,chamaremos det

então:

abffff

cffffff

dffffff

=ktffff

[ k A t@ 1 ou kA1tff

1tff

=

1cffff

dffff

[11ff

Acdffff

d e@ 1

[11ff

Adcffff

f g

=dcffff

então:k A1tff

= k Adcffff

mas k=abffff

[abffff

Adcffff

#

abffff

cffffff

dffffff

=adbcffffffff

Resumindo, na matemática nada existe por acaso, tudo tem um porquê, basta buscarmos as respostas!


Referências bibliográficas e fontes de pesquisa: Boulos, Paulo. Pré-Cálculo/São Paulo: Makron Books, 1999. Complemento do livro Cálculo Diferencial e Integral http://www.submarino.com.br/portal/Artista/7657/+paulo+boulos Matemática com Prazer | A Origem dos Sinais | (IF-USP) Instituto de física – Universidade de São Paulo. http://www.geocities.com/matematicacomprazer Heily & Fran - Aulas Particulares | (IME-USP) Instituto de matemática e estatística – Universidade de São Paulo. http://br.geocities.com/medeiros_pet/regradesinais.html Home Page de Matemática | (FAINTVISA) Faculdades integradas da Vitória de Santo Antão | (ESUDA) Faculdade de Ciências Humanas. http://hpdemat.vilabol.uol.com.br/ Só Matemática | Portal Matemático | Origem dos Sinais http://www.somatematica.com.br/sinais.php Dicionário Michaelis – UOL - © 1998-2007 Editora Melhoramentos Ltda. | Déficit http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra=déficit Matemática Essencial | Médio | Teoria dos conjuntos http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm UDESC-CCT | Universidade do Estado de Santa Catarina – Centro de Ciências Tecnológicas http://www.joinville.udesc.br/ Gui Dg – Database | “Fundamentos para uma demonstração da regra de sinais” é uma pesquisa particular de Guilherme Dobrotinic Gonçalves aluno do curso de Licenciatura em Física 2008/2 da UDESC-CCT-JOINVILLE. http://www.guidg.com/

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