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Esboço de Curvas

Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html

Roteiro para esboçar uma curva

A. Verifique o domínio da função

Exemplo: f(x) =1

x

{x|x �= 0}


B. Intersecções com os eixos

Intersecção com o eixo y: (0, f(0))

Intersecção com o eixo x: { (x, f(x)) | f(x) = 0 }

Exemplo:

f(x) = x2-1

f(0) = 02-1 = -1 (0,-1) é intersecção com o eixo y

Exemplo:

f(x) = x - 1

f(x) = 0 x – 1 = 0 x = 1 (1, 0) é intersecção com o eixo y


C. Simetria

Exemplo:

f(x) = x2

f(-x) = (-x)2 = x2 =f(x)

Funções pares: f(x) = f(-x)

Exemplo:

f(x) = x3

f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)

Funções ímpares: f(-x) = -f(x)


C. Simetria

Funções periódicas: f(x+p) = f(x), p constante.


D. Assíntotas

Assíntotas horizontais:

limx→∞

f(x) = L limx→−∞

f(x) = LSe ou , y = L é assíntota horizontal.

Assíntotas verticais:

Retas do tipo x = a, onde ou limx→a−

f(x) = ±∞limx→a+

f(x) = ±∞


E. Intervalos de crescimento e decrescimento

Calcule f’(x) e os intervalos onde ela é positiva e negativa

F. Valores máximos e mínimos locais

1. Encontre os pontos críticos de f { c | f’(c) = 0 ou f’(c) não existe}

2. Use o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada

G. Concavidade e ponto de inflexão

Calcule f’’(x) e verifique seu sinal.

H. Esboce a curva

1. Coloque as assíntotas tracejadas 2. Marque as intersecções com os eixos, pontos de máximo e mínimo e inflexão

3. Desenhe a curva por esses pontos, subindo ou descendo de acordo om E e G

A. Domínio:


f(0) = 0 (0, 0)

C. Simetria

Função par, pois f(x) = f(-x)

Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva

f(x) = 0 x = 0 (0, 0)

D. Assíntotas:


y = 2 é assíntota horizontal

Assíntotas verticais: �a| lim

x→a±f(x) = ±∞

� (a2-1) = 0 a = ±1

são as assíntotas verticais

E. Crescimento e decrescimento:


Quando x < 0, f’(x) > 0

Quando x > 0, f’(x) < 0

f crescente

f decrescente

F. Máximos e mínimos locais:

Ponto crítico: f’(x) = 0 x = 0

Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de máximo local e f(0) = 0 é o valor máximo.

G. Concavidade:


Não há ponto de inflexão, pois

Concavidade para cima

Concavidade para baixo

x = ±1 não faz parte do domínio de f.


Concavidade para cima

Concavidade para baixo

Domínio:

Intersecções com os eixos: (0,0)

Simétrica em relação ao eixo y

y = 2 é assíntota horizontal

são as assíntotas verticais

Quando x < 0

Quando x > 0

f é crescente

f é decrescente

x = 0 é ponto de máximo local f(0) = 0 é o valor máximo local

A. Domínio:


f(0) = 0 (0, 0)

C. Simetria

Não há.


f(x) = 0 x = 0 (0, 0)

D. Assíntotas:


limx→∞

x2

√x+ 1

= limx→∞

x2

x12�

1 + 1x

= limx→∞

x32

�1 + 1

x

= ∞

Não há assíntota horizontal.

é assíntota vertical.


E. F. Crescimento, decrescimento, máximos e mínimos locais:

=2x(x+ 1)− 1

2x2

(x+ 1)32

=4x(x+ 1)− x2

2(x+ 1)32

2(x+ 1)32 > 0

3x+ 4 > 0 → x > −4

3

f’(x) < 0 (f decrescente) quando -1 < x < 0

f’(x) > 0 (f crescente) quando x > 0

f’(x) = 0 quando x = 0

Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo.


G. Concavidade

Logo, f’’(x) > 0 para x > -1 e f sempre tem concavidade para cima

=3x2 + 4x

2(x+ 1)32

4(x+ 1)52 > 0

3x2 + 8x+ 8 > 0

(seu determinante é negativo e o coeficiente de x2 é positivo) ∆ = 82 − 4 · 3 · 8 = −32

Não há ponto de inflexão


Domínio: x > -1 Intersecções com os eixos: (0,0)

é assíntota vertical.

f é decrescente quando -1 < x < 0

f é crescente quando x > 0

x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo local.

f sempre tem concavidade para cima


Domínio:

Intersecções com os eixos:

Simetria:

f(0) = 0.e0 = 0 f(x) = 0 xex = 0 x = 0

(0,0) intersecta os eixos

Não há.


Aplicando a Regra de L’Hospital:

y = 0 é assíntota horizontal.

Não há assíntota vertical.

limx→−∞

xex = −∞ · 0


Crescimento e decrescimento:

ex > 0 para todo x

x > -1 f’(x) > 0 f crescente

x < -1 f’(x) < 0 f decrescente

Máximos e mínimos locais:

f’(x) = 0 (x+1)ex = 0 x = -1

Pelo Teste da Primeira Derivada, x = -1 é ponto de mínimo local e f(-1) = -e-1 é o mínimo local.


Concavidade:

Ponto de inflexão:

ex > 0 para todo x

x > -2 f’’(x) > 0 concavidade para cima

x < -2 f’’ (x) < 0 concavidade para baixo

(-2, f(-2)) = (-2, -2e-2)

Domínio:

Intersecções com os eixos: (0,0)

Quando x < -1

Quando x > -1

f é decrescente

f é crescente


y = 0 é assíntota horizontal.

(-1, -e-1) é mínimo local.

x > -2: concavidade para cima

x < -2: concavidade para baixo

Ponto de inflexão: (-2, -2e-2)


Domínio:

Intersecções com os eixos: f(0) = 2 cos (0) + sen (2.0) = 2 f(x) = 0

eixo y: 2 cosx+ sin 2x = 0 2 cosx+ 2 sinx cosx = 0eixo x:

cosx = 0 x =π

2+ k · π , k inteiro.

sinx = −1

2 cosx · (1 + sinx) = 0

(1 + sinx) = 0 x =3π

2+ 2kπ , k inteiro.

No intervalo [0, 2π], temos os pontos de intersecção:

(0, 2) , �π2, 0�

, �3π

2, 0

�.

Simetria: Par? Ímpar?

f(x+2π) = f(x). Função periódica.


Assíntotas horizontais: Não há.


limx→±∞

f(x) =?

Não há número a tal que limx→a±

f(x) = ±∞

Não há.



f �(x) = 0 → 2 sin(x)− 1 = 0 ou sin(x) + 1 = 0

sin(x) =1

2

x =π

6ou x =

5π

6

sin(x) = −1

ou x =3π

2

crescendo decrescendo crescendo

crescendo


Mínimos e Máximos Locais

f �(x) = 0 → 2 sin(x)− 1 = 0 ou sin(x) + 1 = 0

sin(x) =1

2

x =π

6ou x =

5π

6

sin(x) = −1

ou x =3π

2


crescendo

x =π

6é máximo local é mínimo local x =

5π

6

Pelo Teste da Primeira Derivada:


Concavidade:

= −2 cosx− 4 · 2 sinx cosx

= −2 cosx(1 + 4 sinx)

cos x = 0 x = π/2 ou x = 3π/2

1 + 4 sen x = 0 sen x = -1/4

x = α1 ou x = α2

(0, π/2)

(π/2, α1)

(α1, 3π/2)

(3π/2, α2)

(α2, 2π)

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0


Concavidade: (0, π/2)

(π/2, α1)

(α1, 3π/2)

(3π/2, α2)

(α2, 2π)

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0

concavidade para baixo



concavidade para cima


Pontos de inflexão: x = π/2, α1, 3π/2 e α2


(0, π/2)

(π/2, α1)

(α1, 3π/2)

(3π/2, α2)

(α2, 2π)

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0

f’’(x) > 0

f’’(x) < 0






Pontos de inflexão: x = π/2, α1, 3π/2 e α2


crescendo

(0, 2) , �π2, 0�

, �3π

2, 0

�.

Intersecção com eixos:

x =π

6é máximo local

é mínimo local x =5π

6

f(π

6) =

3√3

2

f(5π

6) = −3

√3

2


Domínio:


f(0) = ln 4

f(x) = 0

eixo y:

eixo x: ln (4 – x2) = 0 4-x2 = 1

x = ±√3

Simetrias: função par: ln(4 – x2) = ln(4 – (-x)2) função simétrica em relação ao eixo y

Assíntotas horizontais: Não há.


x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais



-2 < x < 2 4-x2 > 0

x < 0 f’(x) > 0 f crescendo

x > 0 f’(x) < 0 f decrescendo

Ponto crítico: x = 0

Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de máximo local e f(0) = ln(4) é o valor máximo.


Concavidade:

f’’(x) < 0 para todo x em (-2, 2).

f tem concavidade para baixo.

Não existem pontos de inflexão.


f tem concavidade para baixo.

Não existem pontos de inflexão.

Domínio:


(0, ln 4) , (±√3, 0)

Função simétrica em relação ao eixo y

x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais

x < 0 f’(x) > 0 f crescendo

x > 0 f’(x) < 0 f decrescendo

(0, ln 4) é máximo local

Assíntotas oblíquas

A distância vertical entre uma reta y = mx + b e y = f(x) se aproxima de 0 no infinito.

Ocorre em funções racionais quando o grau do numerador é um a mais que o grau do denominador.


Domínio:


f(0) = 0

f(x) = 0

eixo y:

eixo x: x = 0

Simetrias:

função ímpar: f(x) = - f(-x)


Não há, pois o denominador nunca se anula. Assíntotas verticais:

limx→±∞

= ±∞Não há, pois


Assíntotas oblíquas:

−x3 − x

−x

x3 = x · (x2 + 1)− x

x3

(x2 + 1)= x− x

(x2 + 1)

f(x) = x− x

(x2 + 1)

quando

é assíntota oblíqua, pois , m = 1, b = 0.


Crescimento e decrescimento

f’(x) > 0 para todo x f sempre cresce.

Não há máximos e mínimos locais.


Concavidade

f’’(x) = 0 x = 0 ou

Pontos de inflexão: , (0, 0) ,

=x4 + 3x2

(x2 + 1)2

CB CC CB CC

(−√3,−3

√3

4) (

√3, 3

√3

4)


Pontos de inflexão: , (0, 0) ,

CB CC CB CC

(−√3,−3

√3

4) (

√3, 3

√3

4)

Domínio:

Intersecções com os eixos: (0, 0)

função ímpar

assíntota oblíqua:

f sempre cresce Pontos de inflexão


Domínio:


f(0) = 1

f(x) = 0

eixo y:

eixo x: ex = x (não há solução)

Simetrias: Não há.

Assíntotas verticais: Não há.


, pois:

Não há.


Assíntotas oblíquas:

limx→±∞

[ex − x− (mx+ b)] = 0

Tome m =-1, b = 0 e x → −∞

limx→−∞

[ex − x+ x)] = limx→−∞

ex = 0

A reta y = -x é assíntota oblíqua.



f �(x) = ex − 1

f’(x) > 0 ex > 1 x > 0 f crescendo

x < 0 f decrescendo

Ponto crítico: x = 0

Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo e f(0) = 1 é o valor mínimo.


Concavidade

f’’(x) = ex

ex > 0 para todo x. f tem concavidade sempre para cima

Não há ponto de inflexão.

f �(x) = ex − 1


Domínio:

Intersecções com os eixos: (0, 1)

Assíntota oblíqua: y = -x

x > 0 f crescendo

x < 0 f decrescendo

(0, 1) é mínimo local

f tem concavidade sempre para cima

limx→−∞

[ex − x+ x)] = 0

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