Torção

01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é

feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para este cilindro, pede-se:

A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de

mesma área de seção transversal.

02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de adm

τ = 12 ksi. Supondo

que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo?

03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.

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CURSO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: MECÂNICA DOS SÓLIDOS II PROFESSOR: JOAQUIM G. A. JUNIOR 1º SEMESTRE / 2010

PRA – LISTA DE EXERCÍCIOS

04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado.

05. A viga de 4,0 m de comprimento apresentada na figura é feita em aço, tipo W310×60, possui

Tensão admissível igual a 40 MPa e Módulo de Elasticidade Transversal igual a 77 GPa e está submetida a um momento torçor de valor desconhecido ‘T’. Desprezando-se o efeito da concentração de tensões, determinar o maior torque ‘T’ que pode ser aplicado e o correspondente ângulo de torção. Se necessário, utilize a tabela de coeficientes de torção para seções retangulares, fornecida logo abaixo.

a/b C1 C2

1,0 0,208 0,1406

1,2 0,219 0,1661

1,5 0,231 0,1958

2,0 0,246 0,229

2,5 0,258 0,249

3,0 0,267 0,263

4,0 0,282 0,281

5,0 0,291 0,291

10,0 0,312 0,312

∞ 0,333 0,333

Flexão

01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo.

02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa.

03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte.

Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro.

04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura.

05. Para a viga e o carregamento aplicado, mostrados na figura, construa os diagramas de esforço cortante e momento fletor e determine a tensão normal máxima devido à flexão.

06. Uma viga simplesmente apoiada deve suportar o carregamento indicado na figura. O material utilizado possui tensão admissível de 160 MPa e estão disponíveis no mercado 5 perfis de abas largas, cujas dimensões e Módulo de Resistência estão indicados na tabela abaixo, conforme os dados fornecidos pelo fabricante. Selecione o perfil que deverá ser utilizado nesta viga.

07. A viga apresentada na figura possui transversal constante e dimensões (em centímetros) indicadas na figura ao lado. O material utilizado nesta viga possui tensões admissíveis de 140 MPa à tração e 84 MPa à compressão. Determine a maior carga q que pode ser aplicada sobre essa viga sem que ocorra a ruptura ou deformações excessivas.

Perfil W (mm³)

W410×38.8 637

W360×32.9 474

W310×38.7 549

W250×44.8 535

W200×46.1 448

08. Uma peça feita em alumínio de uma máquina industrial está sujeita a um momento fletor de 75 N⋅m, conforme indica a figura. Determine a tensão normal de flexão nos pontos B e C da seção transversal dessa peça decorrente da ação desse momento fletor.

Cisalhamento

01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.

02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a

tensão de cisalhamento admissível seja adm

τ = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações

verticais sobre a viga.

03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de

cisalhamento admissível seja adm

τ = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w

que pode ser aplicada sobre a viga.

04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar:

A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. B) A máxima tensão de cisalhamento.

Análise de Tensões

01. Para os estados de tensão esquematizados abaixo, pede-se: a) Esboçar o círculo de Mohr; b) Determinar as tensões normais principais; c) Determinar a máxima tensão tangencial; d) Posicionar as direções principais do ponto; e) Posicionar a direção da máxima tensão tangencial.

02. O Círculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: a) Colocar as tensões no plano y e no plano x adequadamente; b) Determinar as tensões normais principais e a máxima tensão cisalhante; c) Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante num plano a 30° anti-horário do plano y.

03. Uma força de 19.5 kN é aplicada no ponto D da barra de ferro fundido mostrado. Sabendo-se que a barra tem um diâmetro de 60 mm, determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento nos pontos H e K.

04. Calcular as tensões principais e a de cisalhamento máxima para os pontos “a” e “c” da estrutura abaixo.

05. Sabe-se que o tubo da figura tem paredes de espessura constante de 6 mm. Determinar as tensões

principais e de cisalhamento máxima: a) No ponto H; b) No ponto K.

Flambagem

01. Para as colunas mostradas na figura abaixo, pede-se determinar: a) A carga crítica para a coluna quadrada; b) O raio da coluna redonda, para que ambas as colunas tenham a mesma carga crítica; c) Expressar a área da seção transversal da coluna quadrada como uma porcentagem da área da seção transversal da coluna redonda. Usar E = 200 Gpa.

02. A barra AB tem seção transversal de 16 x 30 mm, e é feita de alumínio. Ela é presa aos apoios por meio de pinos. Cada extremidade da barra pode girar livremente em torno do eixo vertical pelas chapas de ligação. Adotando E = 70 GPa, determinar o comprimento L para o qual a carga crítica da barra é Pcr = 10 kN.

03. Uma coluna de 3 metros de comprimento efetivo será feita pregando-se juntas tábuas de 24 X 100 mm de seção transversal. Sabendo-se que E = 11 GPa e a tensão admissível à compressão, paralela às fibras, é de 9 MPa, determinar o número de tábuas que devem ser usadas para suportar a carga centrada mostrada, quando:

a) P = 30 kN; b) P = 40 kN.

04. Um tubo estrutural retangular tem a seção transversal mostrada e é usado como uma coluna de 5 m de comprimento efetivo. Sabendo-se que σ = 250 MPa e E = 200 GPa, determinar a maior carga centrada que pode ser aplicada na coluna.

06. Duas cantoneiras de aço L 102 x 76 x 9,5 são soldadas juntas para formar a coluna AB. Uma carga axial P, de intensidade 60 kN, é aplicada no ponto D. usando o método de interação, determinar o maior comprimento admissível L. E = 200 GPa; σy = 250 MPa; (σadm)flexão = 150 MPa.

Respostas Torção

01. A) T = 2,19 kN·m; B) °= 13,9φ

02. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol.

03. Ponto C: maxτ = 37,7 MPa; Ponto D: maxτ = 75,5 MPa.

04. A

φ = 1,78º.

05. T = 7952,16 lbf.pol e T’ = 6381,36 lbf.pol. Flexão

01. 8,42min, −=x

σ MPa e 2,69max, =x

σ MPa.

02. Diagrama de Esforço Cortante (N): Diagrama de Momento Fletor (N.m):

03. Diagrama de Esforço Cortante (N): Diagrama de Momento Fletor (N.m):

04. Diagrama de Esforço Cortante (lbf): Diagrama de Momento Fletor (lbf.pé):

05.

0,60max, =x

σ MPa

Diagrama de esforços cortantes (kN):

Diagrama de Momentos Fletores (kN⋅m):

06. W360×32.9.

07. q = 21,3 kN/m.

08. 612,3=B

σ MPa e 548,1=C

σ MPa.

Cisalhamento

01. maxτ = 4 V/3 A.

02. Pmax = 80,1 kip. 03. wmax = 5,69 kip/pés.

04. A) maxσ = 219,3 MPa; B) maxτ = 16,45 MPa.

Análise de Tensões

01. 02.

03. Ponto H: I

σ = 73,5 MPa; II

σ = -9,5 MPa ; maxτ = 41,5 MPa.

Ponto K: I

σ = 10 MPa ; II

σ = -140 MPa ; maxτ = 75 MPa.

04. Ponto a: I

σ = 38,36 MPa; II

σ = 0 ; maxτ = 19,18 MPa.

Ponto c: I

σ = 11,5 MPa; II

σ = -30 MPa; maxτ = 20,5 MPa.

05. Ponto H: I

σ = 87 MPa; II

σ = -4 MPa; maxτ = 45,5 MPa.

Ponto K: I

σ = 54 MPa; II

σ = -54 MPa; maxτ = 54 MPa.

Flambagem

01. a) 64,2 KN; b) 14,3 mm; c) Aquad = 97,3% Ared. 02. L = 1,57 m. 03. a) n = 4. b) n = 5. 04. 422 KN. 05. L = 6,62 m.

Torção

01. Um cilindro vazado de diâmetro externo (d1) igual a 100 mm e diâmetro interno (d2) igual a 80 mm é

feito em aço (G = 27 GPa) e possui um comprimento total de 2,5 m, conforme ilustra a figura. Para este cilindro, pede-se:

A) Determinar o valor do torque T necessário para provocar um ângulo de torção de 2,0°. B) Determinar o ângulo de torção, caso seja aplicado o mesmo torque T a um eixo maciço de

mesma área de seção transversal.

Solução:

A) Momento polar de inércia: J = (π/2)⋅[R4 – r4] = 5,8⋅10-6 m4 Torque: T = φ⋅J⋅G/L = 2186,5 N⋅m = 2,19 kN⋅m

B) Área da seção transversal do eixo vazado: A = π⋅(R² - r²) = 0,0028 m² Raio do eixo maciço da seção transversal equivalente: A = π⋅Req

2 � Req2 = A/π = 0,030 m = 30,0 mm

Momento polar de inércia: J = (π/2)⋅[Req

4] = 1,27⋅10-6 m4 Ângulo de torção: φ = T⋅L/J⋅G = 0,159 rad = 9,13º

Respostas: A) T = 2,19 kN⋅⋅⋅⋅m B) φφφφ = 9,13º

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PRA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

02. Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de adm

τ = 12 ksi. Supondo que

o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 1,0 pol de diâmetro ao longo do eixo?

03. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos.

04. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 1 pol, e eles estão apoiados por mancais em A, B e C, o que permite rotação livre. Supondo que o apoio D seja fixo, determinar o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostrado.

05.

06.

07.

08.

09.

Flexão

01. Calcular as máximas tensões normais da viga abaixo.

Solução: Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos:

Σ FY = 0: VA + VB = 100 kN

Σ MA = 0: 8⋅ VB – qL²/2 = 0 � VA = 37,5 kN; VB = 62,5 kN A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores:

Cálculo da posição do Centro de Gravidade:

Seção transversal Y (cm) Área (cm²) Y⋅⋅⋅⋅Área (cm³) Retângulo superior 30,0 100,00 3000,00 Retângulo médio 15,0 40,00 600,00 Retângulo inferior 2,5 30,00 75,00 ΣΣΣΣ 3675,00

YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 3675/170 = 21,61765 cm

Cálculo do momento de inércia:

I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 0,000219718 m4 Cálculo da tensões:

σmáx = M⋅c/I = 70312,5⋅0,216176/0,000219718 = 69,179 MPa σmin = M⋅c/I = 70312,5⋅(-0,133824)/0,000219718 = -42,825 Mpa

Resposta: 8,42min, −=

xσ MPa e 2,69max, =

xσ MPa.

02. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. Desprezar a massa da placa.

03. O encontro de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. Desenhar seus diagramas de força cortante e momento fletor quando ele é submetido às cargas da longarina mostrada. Supor que as colunas A e B exercem apenas reações verticais sobre o encontro.

04. Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga de madeira ilustrada na figura.

05.

06.

Cisalhamento

01. Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante V. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.

02. Determinar as maiores forças P nas extremidades que o elemento pode suportar, supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja

admτ = 10 ksi. Os apoios em A e B exercem apenas reações

verticais sobre a viga.

03. Os apoios em A e B exercem reações verticais sobre a viga de madeira. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja

admτ = 400 psi, determinar a intensidade da maior carga distribuída w

que pode ser aplicada sobre a viga.

04. Uma viga de aço em forma de perfil T está submetida a uma força atuante em seu plano de simetria, conforme ilustra a figura. Para esta viga, pede-se determinar:

A) A máxima tensão de compressão na seção A-A’. B) A máxima tensão de cisalhamento.

Solução: A) Utilizando as equações de equilíbrio na viga, temos:

Σ FY = 0: VA = 6,7 kN Σ MA = 0: – 6,7⋅38,0 + MA = 0 � MA = 254,6 kN⋅cm A partir das reações de apoio pode-se traçar o diagrama de momentos fletores:

Notar que na seção A-A’ o momento máximo vale M = 201,0 kN⋅cm Cálculo da posição do Centro de Gravidade:

Seção transversal Y (mm) Área (mm²) Y⋅⋅⋅⋅Área (mm³) Retângulo superior 55,0 1000,00 55000,00 Retângulo inferior 25,0 500,00 12500,00 ΣΣΣΣ 67500,00

YCG = ΣY⋅Área/ΣÁrea = 67500/1500 = 45,0 mm Cálculo do momento de inércia: I = Σ(b⋅h³/12 + A⋅d²) = 4,125⋅10-7 m4 Cálculo da tensões: σmáx = M⋅c/I = 2010⋅0,045/(4,125⋅10-7) = 219,27 MPa

B) O valor do cortante na seção A-A’ é dado pelo diagrama de esforço cortante.

Q = (100⋅10)⋅(55-45) = mm³ τmáx = VQ/Ib

Resposta: A) maxσ = 219,3 MPa; B) maxτ = 16,45 MPa.

Análise de tensões 01.

02.

03.

04.

05.

06.

Flambagem 01.

02.