Material de Apoio Unidade III(1)

Apresentao

UNIDADE 3RAZES, PROPORES E PORCENTAGEM

OBJETIVOSf f f

ESPECFICOS DE APRENDIZAGEM

Ao finalizar esta Unidade voc dever ser capaz de: Descrever e calcular razo, proporo e porcentagem; Aplicar regra de trs; e Aplicar grandezas diretamente proporcionais.

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Matemtica Bsica

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Bacharelado em Administrao Pblica

Unidade 3 Razes, Propores e Porcentagem

INTRODUOCaro estudante! O que vamos aprender nesta Unidade tem grande importncia, no apenas em Matemtica como, tambm, em sua vida. Estudaremos assuntos relacionados aplicao dos conceitos de razo, proporo e porcentagem, assuntos constantes em nosso cotidiano. Trabalharemos problemas simples e rpidos, como um desconto numa loja em liquidao e problemas mais complexos relativos inflao ou taxa de juros, por exemplo. Para tanto necessrio que voc dedique-se ao estudo desta Unidade, aproveitando-se deste momento que fundamental para sua formao. Leia, pesquise, realize as atividades e busque auxlio de seu tutor em caso de dvidas. Bons estudos.

Trataremos de razo, conceito antigo e essencial para o conhecimento matemtico e que, a princpio, usado para comparar duas quantidades ou duas medidas. Na sociedade moderna, o conceito de razo surge nos jornais e nas revistas para comunicar a concentrao de pessoas em uma determinada cidade ou o fluxo de carros em um pedgio. Aparece tambm nas mais variadas reas do conhecimento, sempre para melhorar a comparao de vrios dados de um problema. Outro termo que iremos estudar nesta Unidade diz respeito proporo. Embora sem empregar smbolos matemticos fazemos uso da proporo em nossas palavras e em nosso dia a dia. Por exemplo, quando fazemos um comentrio sobre a construo de um viaduto, dizendo que ele tem uma extenso muito grande,

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no estamos nos referindo medida absoluta da extenso do viaduto. Em um viaduto, a sua extenso pode ser "muito grande", mesmo medindo a metade, um quarto ou um dcimo da extenso verdadeira; muito grande proporcionalmente ao conjunto de todo o viaduto. O estudo das propores para ns, nesta Unidade, de inestimvel valor, pois todos os tpicos a serem desenvolvidos tm nas propores o seu alicerce. Outro assunto que iremos abordar nesta Unidade refere-se s porcentagens que so utilizadas desde o final do sculo XV e tm grande presena na Economia, na Geografia e em vrias outras reas da atividade humana, como calcular taxas de juros e tambm ganhos e perdas. Na Antiguidade, no tempo do imperador romano Augusto, os soldados tinham parte do seu salrio descontado e este valor era calculado mediante uma taxa (razo de 1 para 100) denominada centsima rerum venalium. O smbolo %, usado at hoje, foi criado no sculo XVII por comerciantes ingleses.

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RAZOA palavra razo vem do latim ratio e significa a diviso ou o quociente entre dois nmeros a e b, denotada por

a ou a : b, onde b

a chamado de antecedente e b chamado de consequente. Assim podemos denominar como razo de dois nmeros, diferentes de zero, o quociente formado por eles. Por exemplo, suponhamos que numa sala de aula haja 35 estudantes, sendo 28 destes, homens. Observe que a razo entre o nmero de estudantes homens e o total de estudantes da sala dada por

28 . 35

Conhea agora mais alguns exemplos de razo:

X Das 200 pessoas entrevistadas, 70 preferem o candidato A. Isto , 70 = 7 . Ou seja, de cada 20 entrevistados, 200 207 preferem o candidato A.

X Dos 1.200 inscritos num concurso, passaram 240 240 1 candidatos. Isto , = . Ou seja, de cada 5 1.200 5candidatos inscritos, 1 foi aprovado.

X Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Isto , 75 3 = . De cada 4 convidados, 3 eram mulheres. 100 4

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Razes inversasConsideramos razes inversas aquelas cujo produto igual

a e b a 1, ou seja, a . b = 1, o que implica que as razes sob a

b

a

inversas. Por exemplo, as razes

3 4 e so inversas, pois: 4 3 3 . 4 12 1. = = 4 3 12

RAZES

ESPECIAIS

Grandeza uma relao numrica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de um edifcio, o volume de um tanque de combustvel, o peso de um equipamento, a quantidade de horas para executar uma tarefa, entre outros, so grandezas. Grandeza tudo que voc pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. A seguir explicaremos razes especiais entre grandezas diferentes considerando situaes prticas, por exemplo, consumo mdio, velocidade mdia, densidade etc.

Velocidade mdiaA velocidade mdia a razo entre a distncia percorrida e o tempo gasto em percorr-la. Por exemplo, imagine que uma pessoa fez o percurso Rio de Janeiro So Paulo (450 km) em 5 horas.

Voc sabe qual a razo entre as medidas dessas grandezas e o que significa essa razo?

Razo = 450Km = 90Km/h. 5h

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Muito bem, esta razo nos informa que a cada hora foram percorridos em mdia 90 km. Neste caso, a velocidade mdia foi calculada pela razo entre distncia percorrida e tempo gasto.

Consumo mdioO calculo do consumo mdio implica em determinarmos a mdia de consumo para uma dada distncia. Suponha que seu amigo foi de So Paulo a Campinas (92 km) de carro e gastou nesse percurso 8 litros de combustvel. Qual a razo entre a distncia e o combustvel consumido? O que significa esta razo?

Razo = 92Km = 11,5Km/litro. 8litrosObserve que a cada litro consumido foram percorridos em mdia 11,5 Km, ou seja, o consumo mdio foi calculado sobre a distncia percorrida dividida pelo combustvel gasto.

Densidade demogrficaA densidade demografia a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio. Por exemplo, o estado do Cear, em um de seus censos, teve uma populao avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua rea de 145.694 Km. Determine a razo entre o nmero de habitantes e a rea desse estado. O que significa essa razo?

Razo = 6.701.924 hab = 46 hab/Km. 145.694KmSignifica que em cada quilmetro quadrado existem em mdia 46 habitantes.

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Atividades de aprendizagemAgora chegou a hora de analisarmos se voc est entendendo o que estudamos at aqui! Para saber, procure, resolver as atividades propostas a seguir. Lembre-se: voc pode contar com o auxilio de seu tutor.

1. Numa classe de 40 alunos, 32 foram aprovados. Determine a razo entre o nmero de alunos: a) aprovados e o total de alunos; b) reprovados e o total de alunos; e c) aprovados e o nmero de alunos reprovados. 2. Numa salada de frutas foram utilizados 4 abacaxis, 20 bananas, 8 laranjas, 6 mas e 2 mames. Determine a razo entre o nmero: a) de abacaxis e o nmero de laranja; b) de laranjas e o nmero de bananas; c) de mas e o nmero de mames; d) de bananas e o nmero de laranjas; e) de bananas e o total de frutas; e f) total de frutas e o nmero de mames. 3. O pas ZZZ tem uma rea de 500.000 Km e uma populao de 40.000 habitantes. Qual a sua densidade demogrfica? 4. A populao do Estado AAAAAA de 16.400.000 habitantes, sendo 5.528.000 mulheres. Qual a razo entre o nmero de mulheres e o nmero de habitantes?

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PROPOROChamamos de proporo a comparao entre duas razes. Assim para entendermos o que uma proporo devemos saber o que razo, j que proporo a igualdade de duas razes. Por exemplo:

X

3 27 uma proporo, pois 3 : 4 = 27 : 36, e = 4 36podemos ler assim: 3 est para 4 assim como 27 est para 36.

X X

5 10 uma proporo, pois 5 : 6 = 10 : 12. = 6 12 2 6 uma proporo, pois 2 : 7 = 6 : 21. = 7 21

Dados quatro nmeros racionais a, b, c e d, no nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporo quando a razo do primeiro para o segundo for igual razo do terceiro para o quarto. Assim a c = ou a : b = c : d, b d onde a e d so os extremos e b e c so os meios.

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PropriedadesAs propores apresentam algumas propriedades fundamentais, dadas a seguir. P1. Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

a c = ad=bc b dExemplos:

X X

5 10 = 5 24 = 12 10. 12 24 2 6 2 21 = 7 6. = 7 21

X Determine o valor desconhecido na proporo 5 15 obtido da seguinte forma: = 8 x5 x = 8 15 5x = 120 x = 120 = 24.

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P2. A soma (diferena) dos antecedentes est para a soma (diferena) dos consequentes, assim como cada antecedente est para o seu consequente, ou seja numa proporo

a= c , temos: b d

Xa+c= b+d ac = X bdExemplo:

a , ou b a , ou b

a+c= b+d ac = bd

c. d c. d

Na proporo, 15 = 5 voc tem 24 815 + 5 15 ou 15 + 5 5 , = = 24 + 8 24 24 + 8 8

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ou ainda,15 5 15 ou 15 5 5 . = = 24 8 24 24 8 8

NMEROS

PROPORCIONAIS

H dois tipos de proporcionalidade entre os nmeros racionais, uma diretamente e outra indiretamente. Diretamente : Os nmeros racionais a, b e c so diretamente proporcionais aos nmeros racionais x, y e z quando se tem:

a = b = c = k, onde k uma constante. x y zExemplo 3.1 Verificar se os nmeros 4, 10 e 30 so diretamente proporcionais aos nmeros 8, 20 e 60. Resoluo: Voc tem a=4; b=10 e c=30, x=8; y=20 e z=60. Logo,1 , 10 1 , 30 4 1 . = = = 8 2 20 2 60 2

Como 4 = 10 = 30 = 1 , portanto, os nmeros 4, 10 e 30 8 20 60 2

1 . so diretamente proporcionais aos nmeros 8, 20 e 60 e k = 2Exemplo 3.2 Verificar se os nmeros 12, 48 e 96 so diretamente proporcionais aos nmeros 20, 80 e 160. Logo,12 48 96 3 = = = , podemos dizer que 20 80 160 5 os nmeros 12, 48 e 96 so diretamente proporcionais aos nmeros

Resoluo: Como

20, 80 e 160 e k = 3 uma constante.

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Inversamente : Os nmeros racionais a, b e c so inversamente proporcionais aos nmeros racionais x, y e z quando se tem: x a = y b = z c = k, onde k uma constante. Exemplo 3.3 Verificar se os nmeros 120, 30 e 16 so inversamente proporcionais aos nmeros 2, 8 e 15. Resoluo. Voc tem a=120; b=30 e c=16, x=2; y=8 e z=15. Logo, 120 2 = 240 30 8 = 240 16 15 = 240. Como 120 2 = 30 8 = 16 15 = 240, portanto os nmeros so inversamente proporcionais e k = 240. Exemplo 3.4 Verificar se os nmeros 2, 3 e 6 so inversamente proporcionais aos nmeros 18, 12 e 6. Resoluo. Como 2 18 = 3 12 = 6 6 = 36, podemos dizer que os nmeros 2, 3 e 6 so inversamente proporcionais aos nmeros 18, 12 e 6 e k = 36 uma constante.

REGRA DE TRS SIMPLES E REGRA DE TRS COMPOSTAA regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos. Podemos dizer ainda que a regra de trs uma tcnica para resolver problemas que envolvem duas grandezas proporcionais, e a regra de trs composta uma tcnica para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas.

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Quando duas grandezas variam sempre na mesma razo da outra, dizemos que essas grandezas so diretamente proporcionais. Quando variam sempre uma na razo inversa da outra, dizemos que essas grandezas so inversamente proporcionais.

Exemplo 3.5 Um ingresso de show custa R$ 20,00, ento, o custo de 5 bilhetes ser? Grandeza 1: Nmero do bilhete Grandeza 2: Preo do bilhete Resoluo: 1 bilhete = R$ 20,00 5 bilhetes = R$ 20,00 u 5 Total: R$ 100,00

Chegou a sua vez! Veja se voc entendeu resolvendo a questo que separamos para voc.

Um automvel percorre um espao de 200 km em 4 horas. Quantos km ele percorrer em 6 horas? Resposta: 300 km.

Passos utilizados numa regra de trs simples: 1 passo: Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia. 2 passo: Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3 passo: Montar a proporo e resolver a equao.

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Ateno: como sugesto inicialmente voc pode colocar uma seta para baixo na coluna que contm a grandeza procurada. Em seguida, nas demais colunas, voc coloca a seta na mesma direo para as grandezas diretamente proporcionais e em direo contrria para as grandezas inversamente proporcionais.

Para um melhor entendimento acompanhe com ateno os exemplos, a seguir, que separamos para voc.

Exemplo 3.6 Um trator faz 150 metros de estrada em 30 dias. Trabalhando do mesmo modo em quantos dias far 350 metros de estrada? Resoluo:

Comprimento (m) 150 350 150 30 = x 350 x = 70 dias.

tempo (dias) 30 x

Portanto, trabalhando do mesmo modo o trator far 350 metros de estrada em 70 dias. Exemplo 3.7 Um automvel com velocidade mdia de 80 Km/h percorre certa distncia em 5 horas. Em quanto tempo percorrer essa mesma distncia em velocidade mdia de 100 Km/h? Resoluo:

Velocidade (Km/h) 80 100 5 100 = x 80 x = 4 horas.

tempo (dias) 5 x

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Observe que o tempo para percorrer a mesma distncia de 4 horas. Agora se voc precisar resolver problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, voc deve utilizar a regra de trs composta. Veja alguns exemplos. Exemplo 3.8 Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160 m de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125 m? Resoluo:

Igualando a razo que contm o termo com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas, voc tem

20 160 x 5 = x 125 8

x = 25.

Portanto, sero necessrios 25 caminhes.

Teste seu entendimento resolvendo a atividade a seguir.

Um pintor, gasta 5 gales de tinta para pintar um muro de 20 metros de comprimento e 5 metros de altura. Quantos gales ele gastaria para pintar um muro de 15 metros de comprimento e 3 metros de altura? Resposta: 2,25 gales.

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Atividades de aprendizagemVamos verificar se voc est acompanhando tudo at aqui! Para saber, procure, ento, responder s atividades propostas a seguir. Caso tenha dvidas, faa uma releitura cuidadosa dos conceitos ou resultados ainda no entendidos.

5. Determine o valor de k, sabendo que os nmeros 4k 1, 50, k+5 e 20 formam uma proporo nessa ordem. 6. Num restaurante, de cada 10 cervejas vendidas, 6 so da marca D. Num domingo foram vendidas 500 cervejas. Quantas cervejas da marca D foram vendidas? 7. Um avio consome 400 litros de gasolina por hora. Calcule o consumo dessa aeronave em 3,5 horas de vo. 8. Determine o valor desconhecido nas propores abaixo. a)

x3 4 , 1 . = x 2x + 1 5 2

3 7 4 8 , x 0. = b) 1 x 5

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PORCENTAGEMA porcentagem pode ser definida como a centsima parte de uma grandeza, ou o clculo baseado em 100 unidades. comum as pessoas ou o prprio mercado usarem expresses de acrscimo ou reduo nos preos de produtos ou servios. Veja alguns exemplos:

X O Leite teve um aumento de 25%. Isto quer dizer queem cada R$ 100,00 houve um acrscimo de R$ 25,00.

X O cliente teve um desconto de 15% na compra de umacala jeans. Isto quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00.

X Se em uma empresa, de cada 100 funcionrios, 75so dedicados ao trabalho, podemos dizer que, dos funcionrios que trabalham na empresa, 75% so dedicados. Tambm observamos exemplos de porcentagem em nosso dia a dia, atravs de expresses como:

X Desconto de at 40% na grande liquidao de inverno. X A inflao registrada em maio de 2008 foi de 1,23%. X O rendimento da caderneta de poupana foi de 4,15%no trimestre.

X 25% da populao da cidade B preferem o candidatoA na eleio para presidente da Repblica. Todas estas expresses envolvem uma razo especial qual damos o nome de porcentagem ou percentagem.

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TAXA PERCENTUALSuponhamos que um aluno tenha acertado em um exame 12 das 15 questes apresentadas. A razo entre o nmero de questes acertadas e o nmero total de questes 12 . Sabemos 15 que esta razo pode ser representada por uma infinidade de numerais racionais:8 20 80 ... 12 4 = = = = = 25 100 15 5 10

Quando uma razo for apresentada com o consequente (denominador) 100, no nosso exemplo 80 , ela chamada razo 100 centesimal. Exemplo 3.9 Escreva a razo

3 em forma de taxa percentual. 4 x = 75.

Resoluo: Portanto,

3 x = 4 100

3 na forma de taxa 75%. 4

Exemplo 3.10 Escreva 2,5% em forma de razo irredutvel. Resoluo: 2,5% =

2,5 1 . = 100 40 1 . 40

Portanto, 2,5% na forma de razo irredutvel

Elementos do clculo percentualVimos que:

12 80 , onde ao 12 denominamos = 15 100

percentagem, ao 15, principal e ao 80, taxa, ou seja,

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percentagem taxa . = principal 100

Observe as seguintes definies: Taxa o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em 100. Notao: i. Percentagem o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Notao: p. Principal o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. Notao: P.

O principal, a percentagem e a taxa so os elementos do clculo percentual. E, genericamente tem-se que:

Pode-se tambm representar a expresso acima por: p = P x i. 100 Exemplo 3.11 Um vendedor tem 4% de comisso nos negcios que faz. Qual sua comisso numa venda de R$ 460,00? Resoluo: 1 Resoluo P = 460,00 e i = 4. Assim,p 4 = 460 100 460 x 4 18,40 . 100% u p = 4% u R$ 460,00 = p= 100

2 Resoluo100% 4% R$ 460,00 p

Portanto, a comisso de R$ 18,40.

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Exemplo 3.12 Em um colgio, 28% dos alunos so meninas. Quantos alunos possui o colgio, se elas so em nmero de 196? Resoluo: 1 Resoluo P = 196 e i = 28. Assim,100% u 196 = 28% u P

2 Resoluo

100% 28%

P 196

P = 700. Logo, o colgio possui 700 alunos.

Veja se voc est acompanhando as explicaes. Resolva a atividade a seguir:

Um automvel foi adquirido por R$ 20.000,00 e vendido com um lucro de R$ 2.400,00. Qual a percentagem, de lucro? Resposta: 12%. Exemplo 3.13 Em um supermercado o preo da lata de azeite marca Sade, em determinado perodo de tempo, subiu de R$ 5,97 para R$ 6,25. Qual o percentual de aumento? Resoluo: Este exemplo trata de proporo, que voc verifica com frequncia em vrios supermercados de sua cidade. Para calcular o aumento voc inicialmente calcula fazendo 6,25 5,97 = 0,28, ou seja, a lata de azeite subiu R$ 0,28, logo R$ 0,28 est para R$ 5,97 assim como x est para 100, onde x o percentual de aumento, assim aplicando a regra de trs temos:

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Portanto, o percentual de aumento de 4,69%.

Avalie seu entendimento resolvendo a atividade a seguir.

Um imvel foi vendido por R$ 75.000,00, recebendo o intermedirio 4% da comisso. Calcule a comisso. Resposta: R$ 3.000,00.

Agora mudamos um pouco o enunciado da atividade anterior. Busque resolver esta nova situao.

Um corretor de imveis recebe R$ 75.000,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 4% a taxa de comisso. Qual o valor de venda das propriedades? Resposta: R$ 1.875.000,00.

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Atividades de aprendizagemPara saber se voc est entendendo, procure resolver as atividades propostas a seguir. Sempre que sentir dificuldades, retorne aos conceitos e exemplos apresentados e se necessrio busque o auxlio de seu tutor. Bons estudos!

9. Em uma liquidao, uma camisa que custava R$ 46,00 foi vendida com 15% de abatimento. De quanto foi o abatimento? 10. Um corretor de imveis recebe de comisso R$ 84.000,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 6,5% a taxa de comisso. Qual o valor de venda das propriedades? 11. Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 3.500,00; quantos por cento da dvida foram pagos? 12. Escreva sob a forma de taxa percentual cada uma das seguintes razes: a)

2. 5 1 . b) 20 5. c) 2d) 0,24. e) 0,012.

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13. Escreva as taxas percentuais abaixo como razes, sob a forma mais simples possvel: a) 80%. b) 25,2%. c) 0,48%. d) 18,6%. 14. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 15,00, para obter um lucro de 30%? 15. Uma nota promissria cujo valor era R$ 500,00 foi paga com um desconto de R$ 25,00. Qual a taxa de desconto? 16. Um jornal recebia por ms R$ 4.200,00 de anncios. Os preos dos anncios foram aumentados em 6%. Qual ser a nova receita mensal do jornal? 17. Um imvel foi vendido por R$ 96.000,00, recebendo o intermedirio 3% de comisso. Calcule a comisso. 18. Um vendedor recebe 3% de comisso sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas cujos valores so: R$ 800,00; R$ 375,00; e R$ 950,00? 19. Em um dos Grandes Prmios de Frmula 1, largaram 24 carros e terminaram a competio 10 carros. De quanto por cento foi o nmero de carros que no terminaram a corrida? 20. Um comerciante comprou 120 bons a R$ 22,00 cada um. Vendeu a metade a R$ 26.40 e o restante a R$ 30,80. De quanto por cento foi o lucro? 21. O gabinete do prefeito da cidade de Feliz Espera uma sala com 15 metros de comprimento. Este comprimento representado num desenho por 5 cm. Qual a escala do desenho?

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22. A Secretaria de Obras da Prefeitura de Cidade Alegre planeja construir a sua prpria sede e em sua maquete a altura da sede de 80 cm. Qual a altura real da sede da secretaria de obras, sabendo-se que essa maquete foi feita utilizando a escala 1:25? 23. Num concurso pblico realizado pela Prefeitura Municipal de Cidade Alegre havia 90 candidatos. Tendo sido aprovados 30, determine a razo entre o nmero de reprovados e o nmero de aprovados. 24. A cantina da Secretaria de obras do municpio de Arara comprou um refrigerador cujo preo de pauta R$2.500,00. Como o pagamento foi feito vista houve um desconto de 7,5%. Calcular o valor pago aps o desconto. 25. Sobre o salrio de R$840,00 do servidor Arapongas da Secretaria Municipal de Finanas da cidade Radar so descontados 2% para a associao de classe. Calcular o valor do desconto.

Complementando....Para aprofundar os conceitos estudados nesta Unidades consulte:

Vencendo a matemtica de Miguel Assis Name. Ensino Fundamental: Aplicaes das Razes e Propores de Desire Razo, proporo e porcentagem: aplicaes na farmacologia de Razo,F. Balielo e Ulysses Sodr, disponvel em: . Acesso em: 1 jun. 2009. Vilmontes Rocha e Douglas Pires de Oliveira, disponvel em: Acesso em: 1 jun. 2009. proporo e porcentagem disponvel no site . Acesso em: 1 jun. 2009.

Razo e proporo Porcentagem Regra de trs disponvel no site. Acesso em: 1 jun. 2009.

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ResumindoNesta Unidade voc compreendeu as noes bsicas de razes, propores e porcentagem. Estes trs assuntos so importantes no conhecimento bsico de Matemtica, principalmente o assunto de porcentagem, que utilizado dia a dia. Tambm voc aprendeu a aplicar este assunto na disciplina de Matemtica Financeira. A partir de agora vamos estudar potenciao, radiciao e logaritmo.

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Respostas das Atividades de aprendizagem4. 5 1. 2. a) 21. a) d) b) b) e)

1. 5

2. 55. 2

4. 1 3. c) 1c) f)

20 . 1

2 . 25 691 . 4. 2.0503. 5. k = 9. 6. D = 300. 7. 1.400 litros de gasolina. 8. a) x = 19 .

3

7. b) x = 30

9. R$ 6,90. 10. R$ 1.292.307,69. 11. 17,5% 12. a) 40%. d) 24%. 13. a) b) 5%. e) 1,2%. b) e) c) c) 250%.

4. 5 93 . d) 500

12 . 25

200 . 3

14. R$ 19,50. 15. 5%. 16. R$ 4.452,00.

90



17. R$ 2.880,00. 18. R$ 63,75. 19. 58,33%. 20. 30%. 21. 1:300. 22. 20 metros. 23. 2:1. 24. R$ 2.312,50. 25. R$ 16,80.

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