UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CLCULO L2, 2015.1

MATERIAL AUXILIAR 2 - TURMAS 2X E 2Z

Relembrando Funes e Funes Lineares

Para comearmos esse material, uma reviso bsica sobre funes que visa sanar alguma dvidas que

foram constatadas no 1EE:

Denio. (intutiva) Seja U subconjunto do Rn, por uma funo f : U R entendemos umarelao que associa a cada ponto u U um nico ponto f (u) R. U dito domnio da funo.

Denio. Seja f : U Rn R uma funo, denimos a imagem de f como o conjunto

Im (f) = f (U) = {f (u) R|u U}

note que Im (f) um subconjunto de R. Denimos tambm a imagem de um subconjunto A U comosendo o conjunto

f (A) = {f (a) R| a A}

que subconjunto de Im (f).

Denio. Dada f : U Rn R uma funo, denimos o grfico de f como o conjunto

Graf (f) ={(u, f (u)) Rn+1u U}que um subconjunto de Rn+1.

Observao. Como vimos em sala de aula, a notao u como ponto do Rn lmos como u = (u1, . . . , un).

Denio. Dada f : U Rn R uma funo, e dado A R subconjunto, denimos a imageminversa de A como sendo o conjunto

f1 (A) = {x U | f (x) A}

que um subconjunto de U .

Com o conceito acima, podemos deninir curvas e superfcies de nvel.

Denio. Seja f : U R2 R. Dado k R, demos a curva de nvel k como sendo a imageminversa de {k} ,ou seja

f1 ({k}) = {u U | f (u) = k}1

assim como se f : U R3 R uma funo, demos a superfcie de nvel k como sendo a imageminversa de {k} ,ou seja

f1 ({k}) = {u U | f (u) = k}

Denio. Uma funo f : Rn R dita linear se para todos x, y Rn e para todo R vale:

a) f (x+ y) = f (x) + f (y)

b) f (x) = f (x)

vimos em sala de aula que toda funo linear f : Rn R satisfaz:

(1) f (0, . . . , 0) = 0

(2) Se f(x) 6= 0 para algum x Rn ento f sobrejetiva.(3) Existem nicos a1, . . . , an R tais que para todo x Rn, f (x) = f (x1, . . . , xn) = a1x1 + +

anxn. Vimos ainda que ai = f (ei), onde ei o i-simo vetor da base cannica do Rn.

O principal exemplo de funes lineraes do Rn que vimos so as projees

pii : Rnx7 Rxi

Vamos agora obter novas funes a partir de funes dadas: Sejam f : U Rn R e g : U Rn Rfunes com o memso domnio, denimos as funes:

Soma: f + g : U Rn R tal que (f + g) (x) = f (x) + g (x);Produto: fg : U Rn R tal que (fg) (x) = f (x) g (x);Quociente: Se g (x) 6= 0 para todo x Rn, ento f

g: U Rn R tal que

(f

g

)(x) =

f (x)

g (x).

Exerccios Resolvidos

Exerccio 1. Seja f : R3 R tal que f (x, y, z) = xsen (y) + zcos (y)

a: Calcule, pela denio, f (p, (1, 1, 1)) onde p = (p1, p2, p3) um ponto arbitrrio;

b: Determine as funes

f

x,f

ye

f

z;

c: Determine [dpf ] onde p = (p1, p2, p3) um ponto arbitrrio;

d: Determine f (p) onde p = (p1, p2, p3) um ponto arbitrrio;e: Use f (p), onde p = (p1, p2, p3), para calcular f (p, u) onde u = (u1, u2, u3) um vetor qualquerdo R3. Use isto para vericar sua resposta da letra (a).

f: Suponha que x, y e z so funes (R2 R) onde x (u, v) = u3 2uv + v, y (u, v) = u2 + v2 ez (u, v) = (u+ v)

2. Considere a funo g : R2 R tal que g (u, v) = f (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)).Determine a matriz da derivada de g no ponto (1, 1),

[d(1,1)g

], usando a regra da cadeia.

Resposta:

a: Por denio,

f (p, (1, 1, 1)) = limt0

f (p+ t (1, 1, 1)) f (p)t

= limt0

(p1 + t) sin (p2 + t) + (p3 + t) cos (p2 + t) p1sin (p2) p3cos (p2)t

= limt0

p1 [sin (p2 + t) sin (p2)]t

+ limt0

p3 [cos (p2 + t) cos (p2)]t

+ limt0

[sin (p2 + t) + cos (p2 + t)]

= p1cos (p2) p3sin (p2) + sin (p2) + cos (p2)

b:

f

x: R3 R tal que f

x(x, y, z) = sin (y). Analogamente

f

y(x, y, z) = xcos (y) zsin (y)

e

f

z(x, y, z) = cos (y)

c: Como as funes derivadas parciais so contnuas em todos os pontos do R3 temos, por um

teorema visto em sala de aula, que f diferencivel em p e portanto

[dpf ] =

[f

x(p)

f

y(p)

f

z(p)

]=

[sin (p2) p1cos (p2) p3sin (p2) cos (p2)

]

d: f (p) =(f

x(p) ,

f

y(p) ,

f

z(p)

)=(sin (p2) , p1cos (p2) p3sin (p2) , cos (p2))e: Vimos que quando f diferencivel em p (que o caso) temos que para todo vetor u R3 valeque

f (p, u) = f (p) , u = u1sin (p2) + u2 [p1cos (p2) p3sin (p2)] + u3cos (p2)

e portanto, f (p, (1, 1, 1)) = sin (p2) + p1cos (p2) p3sin (p2) + cos (p2), como na letra (a).f: Pela Regra da Cadeia, a funo g diferencivel em (1, 1) e

[d(1,1)g

]=

[g

u(1, 1)

g

v(1, 1)

]onde

g

u(1, 1) =

f

x(0, 2, 4)

x

u(1, 1) +

f

y(0, 2, 4)

y

u(1, 1) +

f

z(0, 2, 4)

z

u(1, 1)

g

v(1, 1) =

f

x(0, 2, 4)

x

v(1, 1) +

f

y(0, 2, 4)

y

v(1, 1) +

f

z(0, 2, 4)

z

v(1, 1)

e ai vocs fazem as contas.

Exerccio 2. Seja f : R2 R tal que f (x, y) = 4xy 3x 2y 1. Determine, usando a definio,[d(0,0)f

], a matriz da derivada de f no ponto (0, 0).

Resposta: Queremos encontar uma funo linear T : R2 R tal que lim(h1,h2)(0,0)

f((0,0)+(h1,h2))f(0,0)T (h1,h2)(h1,h2) .

Como vimos em sala de aula, toda funo linear T : R2 R da forma T (x, y) = ax+ by, onde a e bso nmeros reais (e so os coecientes da matriz de T ). Assim temos que

lim(h1,h2)(0,0)

f((0,0)+(h1,h2))f(0,0)T (h1,h2)(h1,h2) = lim(h1,h2)(0,0)

4h1h23h12h21+1ah1bh2(h1,h2)

e queremos determinar os coeciente a e b de maneira que o limite acima seja 0. Ora, tomando a = 3e b = 2, camos com

lim(h1,h2)(0,0)

4h1h23h12h21+1ah1bh2(h1,h2) = lim(h1,h2)(0,0)

4h1h2h21+h

22

e como

h2h21+h22 = h22h21+h22 1, portanto limitada, temos que o limite acima zero. Portanto a derivadade f no ponto (0, 0, 0) a funo linear d(0,0,0)f : R2 R tal que d(0,0,0)f (x, y) = 3x 2y. Portanto

[d(0,0,0)f

]=

[3 2

]Exerccio 3. Seja f : R2 R tal que f (x, y) = exy + xsen (y)

a: Seja p = (1, 2) e u = (1, 1). Calcule, pela definio, o valor de f (p, u) (a derivada direcional

de f no ponto p na direo u).

b: Determine as funes

f

x(x, y) e

f

y(x, y) e perceba que so contnuas.

c: Determine a matriz

[d(1,2)f

].

d: Determine f (p) , o gradiente de f no ponto p = (1, 2), e use f (p) para calcular f (p, u),p = (1, 2) e u = (1, 1), e verique a sua resposta da letra (a).

Resposta:

a:

f ((1, 2) , (1, 1)) = limt0

f ((1, 2) + t (1, 1)) f (1, 2)t

= limt0

e1+t (2 + t) + (1 + t) sin (2 + t) 2e sin (2)t

= limt0

2e1+t 2et

+ limt0

sin (2 + t) sin (2)t

+ limt0

te1+t + tsin (2 + t)

t

= 2e+ cos (2) + e+ sin (2) = 3e+ cos (2) + sin (2)

b:

f

x(x, y) = exy + sin (y) e

f

y(x, y) = ex + xcos (y), que so contnuas em todo o R2.

c: Como as derivadas parciais so contnuas em todo o R2(ver letra (b)) ento f diferencivel em

(1, 2) e

[d(1,2)f

]=

[f

x(1, 2)

f

y(1, 2)

]=

[2e+ sin (2) e+ cos (2)

]

d: f (1, 2) =(f

x(1, 2) ,

f

y(1, 2)

)= (2e+ sin (2) , e+ cos (2)) e como f diferencivel em (1, 2)

segue que

f ((1, 2) , (1, 1)) = (2e+ sin (2) , e+ cos (2)) , (1, 1) = 3e+ cos (2) + sin (2)

como na letra (a).

Exerccio 4. Seja f : R2 R tal que f (x, y) = exy + xsen (y) (a mesma da questo anterior).

a: Suponha x e y so dados como funes x (u, v) = 2uv v2 e y (u, v) = u2 + v2, onde (u, v) R2.Seja z (u, v) = f (x (u, v) , y (u, v)). Use a regra da cadeia para determinar

[d(1,1)z

], a matriz

da derivada de z em (1, 1). (Dica: Use a questo anterior para evitar contas desnecessrias)

Resposta:

a: Pela regra da cadeia,

z

u(1, 1) =

f

x(x (1, 1) , y (1, 1))

x

u(1, 1) +

f

y(x (1, 1) , y (1, 1))

y

u(1, 1)

=f

x(1, 2)

x

u(1, 1) +

f

y(1, 2)

y

u(1, 1)

= (2e+ sin (2)) 2 + (e+ cos (2)) 2 = 6e+ 2cos (2) + 2sin (2)

e, analogamente,

z

v(1, 1) =

f

x(x (1, 1) , y (1, 1))

x

v(1, 1) +

f

y(x (1, 1) , y (1, 1))

y

v(1, 1)

=f

x(1, 2)

x

v(1, 1) +

f

y(1, 2)

y

v(1, 1)

= (2e+ sin (2)) 0 + (e+ cos (2)) 2 = 2e+ 2cos (2)

e portanto: [d(1,1)z

]=

[6e+ 2cos (2) + 2sin (2) 2e+ 2cos (2)

]

Exerccio 5. Encontre, pela denio, as derivadas pedidas abaixo:

a: Derivada de f : R3 R, onde f (x, y, z) = xyz, no ponto (0, 0, 0).b: Derivada de g : R3 R, onde g (x, y, z) = x y z, no ponto p = (p1, p2, p3) arbitrrio.

Resposta:

a: Queremos encontar uma funo linear T : R3 R tal que

lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

f((0,0,0)+(h1,h2,h3))f(0,0,0)T (h1,h2,h3)(h1,h2,h3)

Como vimos em sala de aula, toda funo linear T : R3 R da forma T (x, y, z) = ax+by+cz,onde a, b e c so nmeros reais (e so os coecientes da matriz de T ). Assim temos que

lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

f((0,0,0)+(h1,h2,h3))f(0,0,0)T (h1,h2,h3)(h1,h2,h3)

= lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

h1h2h3ah1bh2ch3h21+h

22+h

23

e queremos determinar os coeciente a, b e c de maneira que o limite acima seja 0. Ora tomando

a = b = c = 0, camos com

lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

h1h2h3h21+h

22+h

23

= 0

pois

h3h21+h22+h23 = h23h21+h22+h33 1, portanto limitada, e assim temos que o limite acima zero. Portanto a derivada de f no ponto (0, 0, 0) a funo linear d(0,0,0)f : R3 R tal qued(0,0,0)f (x, y) = 0. Portanto a matriz

[d(0,0,0)f

]=

[0 0 0

]b: Queremos encontar uma funo linear T : R3 R tal que

lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

g(p+(h1,h2,h3))g(p)T (h1,h2,h3)(h1,h2,h3)

Como vimos em sala de aula, toda funo linear T : R3 R da forma T (x, y, z) = ax+by+cz,onde a, b e c so nmeros reais (e so os coecientes da matriz de T ). Assim temos que

lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

g(p+(h1,h2,h3))g(0,0,0)T (h1,h2,h3)(h1,h2,h3)

= lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

p1h1p2h2p3h3+p1+p2+p3ah1bh2ch3h21+h

22+h

23

= lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

h1h2h3ah1bh2ch3h21+h

22+h

23

e queremos determinar os coeciente a, b e c de maneira que o limite acima seja 0. Ora tomando

a = b = c = 1, camos com

lim(h1,h2,h3)(0,0,0)

0h21+h

22+h

23

= 0

Portanto a derivada de g no ponto p a funo linear dpg : R3 R tal que dpg (x, y, z) =x y z = g (x, y, z) (Ou seja, como esperado dpg = g pois g linear, e como vimos em salade aula a derivada de uma funo linear, em qualquer ponto, igual a prpria funo). Portanto

a matriz

[dpg] = [g] =

[1 1 1

]

Exerccio 6. Seja h : R3 R tal que h (x, y, z) = xyz x y z. Calcule a derivada de h no ponto(0, 0, 0) verique que [

d(0,0,0)h]=[d(0,0,0)f

]+ [dpg] = [dpg]

Resposta: (essa ca como exerccio mesmo).

Exerccios

Exerccio 7. Seja f : R2 R uma funo arbitrria.

a: Complete, de forma correta, a denio de diferenciabilidade para f : Uma funo f : R2 R dita ser diferencivel no ponto p R2 se existe uma funo linear T : R2 R tal que...b: Considere agora a funo g : R2 R tal que g (x, y, z) = 4xy 3x+ y. Encontre a derivada deg no ponto (2, 3) .

Exerccio 8. Considere a funo f : R2 R tal que f (x, y) = xcos (3y) y2sin (x). Calcule, pela

definio, a derivada direcional de f no ponto

pi, pi6

na direo (1, 1). Justique porque a funo diferencivel em todo o R2.

Exerccio 9. Seja f : R3 R uma funo arbitrria.

a: Complete, de forma correta, a denio de diferenciabilidade para f : Uma funo f : R3 R dita ser diferencivel no ponto p R3 se existe uma funo linear T : R3 R tal que...b: Considere agora a funo g : R3 R tal que g (x, y, z) = 4xyz 3x+ 2y 5z. Encontre, peladefinio, a derivada de g no ponto (1, 1, 1) .

Exerccio 10. Considere a funo f : R2 R tal que f (x, y) = exy x2sin (y). Calcule, pela

definio, a derivada direcional de f no ponto

pi, pi6

na direo (1, 1). Justique porque a funo diferencivel em todo o R2.

Exerccio 11. Seja f : R2 R tal que f (x, y, z) = z [exy + xsen (y)]

a: Seja p = (1, 2, 3) e u = (1, 1, 1). Calcule, pela definio, o valor de f (p, u) (a derivada

direcional de f no ponto p na direo u).

b: Determine as funes fx, fy e fz e perceba que so contnuas.

c: Determine a matriz

[d(1,2,3)f

].

d: Determine f (p) , o gradiente de f no ponto p = (1, 2, 3), e use f (p) para calcular f (p, u),p = (1, 2, 3) e u = (1, 1, 1), e verique a sua resposta da letra (a).

Exerccio 12. Seja f : R3 R tal que f (x, y) = z [exy + xsen (y)] (a mesma da questo anterior).

a: Suponha x, y e z so dados como funes x (u, v) = 2uv v2, y (u, v) = u2 + y2 e z = u + vonde (u, v) R2. Seja f (u, v) = f (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)). Use a regra da cadeia paradeterminar

[Df (1,1,1)

], a matriz da derivada de f em (1, 1, 1). (Dica: Use a questo anterior

para evitar contas desnecessrias)