24

Por último, os alunos devem, com esta tarefa, estudar a influência que os parâmetros

das representações algébricas têm nas representações gráficas de uma família de funções

( )f x m x b= + . Partindo de exemplos concretos para os valores dos parâmetros m e b , de-

vem descrever o comportamento da representação gráfica da função e referir também algumas

propriedades da mesma.

No caso do parâmetro m , por exemplo, os alunos devem observar os três casos possí-

veis, em que este toma valores positivos, valores negativos ou o valor zero.

Na discussão dos resultados, o professor pode dar atenção especial ao caso específico

em que 0=m pois neste, como já referido nas explorações atrás apresentadas, algumas pro-

priedades sofrem grandes alterações. De facto, os alunos podem não dar a devida atenção a

esta situação particular ou podem não relacionar o parâmetro m com a inclinação da recta.

Para o estudo da influência do parâmetro b , os alunos devem observar também os três

casos possíveis, tal como fizeram anteriormente.

25

Após a análise dos parâmetros, os alunos devem então fazer algumas reflexões relati-

vamente ao papel de cada parâmetro, ao tipo de funções que estes determinam e algumas ca-

racterísticas das famílias de funções, como domínio, contradomínio e injectividade.

Na discussão com a turma, o professor deve levar os alunos a notar que algumas con-

clusões que fazem nem sempre estão correctas. Neste caso, por exemplo, se a função é cons-

tante então não é injectiva.

26

O professor pode ainda orientar a análise das características gerais desta família de

funções e, posteriormente, as especificidades de cada alteração que a mudança de um parâme-

tro provoca nas representações gráficas das funções.

Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Na discussão com a turma pode ser feito um resumo acerca das propriedades da fun-

ção afim considerando os dois parâmetros. Nesta, o professor deve dar atenção específica às

estratégias evidenciadas pelos alunos na exploração da tarefa e aos processos que eles vão

evidenciando à medida que se analisam as diversas questões e as suas resoluções.

Neste tipo de tarefas as ideias surgem naturalmente mas nem sempre resultam de um

pensamento correcto. Na discussão com a turma, o professor deve levar os alunos a notar que

algumas conclusões que fazem nem sempre estão correctas, fazendo com que analisem os

erros e aproveitem estas reflexões para esclarecer raciocínios, promover a clareza e o rigor nas

representações e nas respostas dadas às questões.

27

TRANSFORMAÇÕES DE FUNÇÕES

Considere a função real de variável real ( ) 3f x x= .

1. Utilizando a calculadora gráfica, visualize a representação gráfica da função e faça um

esboço da mesma em papel.

2. Visualize as representações gráficas de funções definidas por expressões do tipo

( ) ( )g x f x a= + , atribuindo a a diferentes valores.

Compare as representações gráficas obtidas. Registe as suas conclusões.

3. Considere a família de funções obtidas a partir da função f através da expressão

( ) ( )h x f x b= + , observando a influência do parâmetro b na representação gráfica. Visu-

alize as representações gráficas de funções desta família e compare as representações ob-

tidas.

Registe as suas conclusões.

4. Visualize as representações gráficas de funções definidas por expressões do tipo

( ) ( )i x c f x= , atribuindo a c :

� valores superiores a 1;

� valores positivos, mas inferiores a 1;

� valores iguais ou inferiores a – 1;

� valores negativos, mas superiores a – 1.

Para cada um destes casos, compare as representações gráficas obtidas e registe as suas

conclusões.

5. Faça, agora, um estudo semelhante ao anterior, mas considerando a família de funções

obtidas a partir de f através da expressão ( ) ( )j x f k x= . Compare as representações

gráficas obtidas e registe as suas conclusões.

28

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de:

� Identificar e relacionar objecto e imagem;

� Identificar domínio e contradomínio de uma função;

� Observar e interpretar representações gráficas;

� Identificar os zeros de uma função a partir da sua representação gráfica;

� Fazer um esboço da representação gráfica de uma função.

Aprendizagens visadas

Com o seu trabalho na tarefa Transformações de Funções pretende-se que os alunos

desenvolvam a capacidade de analisar representações gráficas de funções cúbicas e a capaci-

dade de identificar os efeitos das mudanças de parâmetros nas representações gráficas de fa-

mílias de funções.

Em particular os alunos devem ser capazes de:

� Observar e interpretar representações gráficas;

� Relacionar as representações algébrica e gráfica de uma função e de famílias de

funções;

� Observar, representar e analisar transformações de uma dada função, nomeada-

mente: translações verticais e horizontais, simetrias e dilatações/contracções;

� Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito;

� Formular conjecturas.

Orientações para o professor

1. Indicações gerais

A tarefa foi planificada para noventa minutos (cinquenta minutos para a exploração e

quarenta minutos para discussão da tarefa).

29

Transformações de Funções

Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados

90 min 50 min 40 min

Nos primeiros cinquenta minutos pretende-se que os alunos: explorem as representa-

ções gráficas de algumas famílias de funções e façam o estudo de características e proprieda-

des das mesmas, com o auxílio da calculadora; analisem propriedades de uma função e as

apliquem a outras funções obtidas a partir desta. Durante os quarenta minutos seguintes serão

confrontadas e discutidas as ideias e respostas às questões, assim como os processos utiliza-

dos pelos alunos.

Nesta tarefa os alunos podem trabalhar aos pares ou em grupos de três elementos e

pretende-se que, juntamente com as respostas, elaborem um pequeno relatório da resolução da

tarefa.

Assim, esta tarefa permite a identificação de algumas propriedades de uma função e a

sua relação com representações gráficas de outras funções obtidas a partir desta. A exploração

desta tarefa possibilita ainda o desenvolvimento de diferentes estratégias na resolução das

questões que envolvem representações de funções e relações entre as mesmas.

2. Algumas explorações

Através deste conjunto de questões, os alunos devem identificar algumas propriedades

partindo da representação gráfica que constroem inicialmente e relacionar funções e as suas

representações gráficas com ela, tendo em conta as propriedades das mesmas.

Observando a representação gráfica a partir da calculadora gráfica ou de um programa

específico de representação de funções, e respondendo ao pretendido na questão 1, os alunos

devem verificar que o domínio da função é � e o seu contradomínio é também o conjunto

dos números reais; os alunos podem ainda notar que a origem do referencial é um dos pontos

da representação gráfica da função.

Para responderem às questões seguintes, os alunos devem escolher vários valores a

atribuir aos parâmetros de modo a identificarem propriedades comuns nas diferentes famílias

de funções, observando as alterações nas representações gráficas das novas funções relativa-

mente à mudança do parâmetro. Neste processo, devem atribuir a cada um deles diferentes

valores e analisar as representações gráficas que resultam da variação do parâmetro em causa.

30

Assim, na questão 2, os alunos devem fazer um estudo cuidado sobre as representa-

ções gráficas de funções definidas por expressões do tipo ( ) ( )g x f x a= + , fazendo variar os

valores a atribuir ao parâmetro a . Sendo ( ) ( )g x f x a= + , tem-se ( ) 3g x x a= + . Podem,

então, obter-se as seguintes representações gráficas para a com valores positivos iguais ou

maiores que 1 e para a com valores positivos menores que 1 (estabelecendo a comparação

com a função representada por ( ) 3f x x= ):

Por outro lado, os alunos devem observar algumas representações gráficas quando

atribuem a a valores negativos inferiores ou iguais a 1− e valores negativos superiores a 1− :

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) 3g x x a= + , com 1a >

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) 3g x x a= + , com 0 1a< <

31

A representação gráfica da função ( ) 3g x x a= + , para 1a ≥ (respectivamente,

1a ≤ − ), obtém-se a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x= fazendo uma translação

vertical associada ao vector ( )0,a , ou seja, de a unidades no sentido ascendente (respectiva-

mente, descendente); o mesmo acontece com a representação gráfica da função

( ) 3g x x a= + , para 0 1a< < (respectivamente, para 1 0a− < < ).

Pode então verificar-se que mudanças no parâmetro a de funções do tipo

( ) ( )g x f x a= + afectam as representações gráficas desta família de funções, deslocando-as

verticalmente relativamente à função ( )f x .

Com a exploração da questão 3, os alunos devem estudar as funções obtidas a partir da

função f através da expressão ( ) ( )h x f x b= + , observando a influência do parâmetro b .

Sendo ( ) ( )h x f x b= + , temos ( ) ( )3h x x b= + . Podem então obter-se as seguintes representa-

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) 3g x x a= + , com 1a < −

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) 3g x x a= + , com 1 0a− < <

32

ções gráficas atribuindo a b valores positivos e valores negativos (estabelecendo a compara-

ção com a função representada por ( ) 3f x x= ):

A representação gráfica da função ( ) ( )3h x x b= + , para 0b > , obtém-se a partir da re-

presentação gráfica de ( ) 3f x x= fazendo uma translação horizontal associada ao vector

( ),0b− . Por sua vez, a representação gráfica da função ( ) ( )3h x x b= + , para 0b < , obtém-se

a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x= fazendo uma translação horizontal associada ao

vector ( ),0b− .

Pode verificar-se que mudanças no parâmetro b de funções do tipo ( ) ( )h x f x b= +

afectam as representações gráficas desta família de funções, deslocando-as horizontalmente

segundo o vector ( ),0b− relativamente à função ( )f x .

O professor deve realçar o facto de que as translações horizontais, ao contrário das

verticais, não são intuitivas. Enquanto nas verticais os alunos observam que o valor atribuído

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) ( )3h x x b= + , com 0b >

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) ( )3h x x b= + , com 0b <

33

ao parâmetro influencia a representação gráfica de forma evidente (a variação do parâmetro a

implica a translação vertical da representação gráfica associada ao vector ( )0,a ), nas transla-

ções horizontais os alunos devem verificar que a variação do parâmetro b implica a transla-

ção horizontal da representação gráfica associada ao vector ( ),0b− .

Relativamente à questão 4, os alunos devem estudar as representações gráficas de fun-

ções definidas por expressões do tipo ( ) ( )i x cf x= , observando a influência do parâmetro c .

Sendo ( ) ( )i x c f x= , temos ( ) ( )3i x c x= . Podem então obter-se as seguintes representações

gráficas atribuindo ao parâmetro c valores positivos superiores ou iguais a um ou inferiores a

um (estabelecendo a comparação com a função representada por ( ) 3f x x= ):

Através de diversos exemplos, os alunos devem observar que a representação gráfica

da função ( ) ( )3i x c x= , com 1c > , obtém-se a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x=

dilatando-a na vertical, uma vez que o valor de cada imagem é multiplicado por c . Da mesma

forma, e atribuindo valores distintos entre zero e um, a correspondente representação gráfica

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) ( )3i x c x= , com 1c >

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) ( )3i x c x= , com 0 1c< <

34

da função ( ) ( )3i x c x= obtém-se a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x= contraindo-a

na vertical, uma vez que o valor de cada imagem é multiplicado por c .

Tal como sugerido no enunciado, os alunos devem, também, analisar quais as mudan-

ças provocadas pelo parâmetro cnas representações gráficas, quando este assume valores

negativos. Assim, podem obter-se as seguintes representações gráficas atribuindo ao parâme-

tro c valores negativos inferiores ou iguais a um ou superiores a um (estabelecendo a compa-

ração com a função representada por ( ) 3f x x= ):

Os alunos devem observar que: a representação gráfica da função ( ) ( )3i x c x= , com

1c = − , obtém-se a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x= por meio de uma simetria

relativamente ao eixo Oy ; a representação gráfica da função ( ) ( )3i x c x= , com 1c < − , ob-

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) ( )3i x c x= , com 1 0c− < <

Representações gráficas de alguns elementos da família de

funções ( ) ( )3i x c x= , com 1c < −

35

tém-se a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x= por meio de uma simetria relativamente

ao eixo Oy , seguida de uma dilatação na vertical.

Da mesma forma, a representação gráfica da função ( ) ( )3i x c x= , com 1 0c− < < , ob-

tém-se a partir da representação gráfica de ( ) 3f x x= por meio de uma simetria relativamente

ao eixo Oy , seguida de uma contracção na vertical.

Na fase de discussão, o professor deve sintetizar os resultados observados anterior-

mente: se 1c > , a representação gráfica dilata verticalmente; se, por outro lado, 1c < , a

representação gráfica contrai verticalmente.

Na última questão devem ser analisadas as representações gráficas da família de fun-

ções obtidas a partir de ( ) 3f x x= através da expressão ( ) ( )j x f k x= , observando a influên-

cia do parâmetro k . Sendo ( ) ( )j x f k x= , vem ( ) ( )3j x k x= . Tal como na questão anterior,

devem ser levados em consideração diferentes valores relativamente ao parâmetro k . Neste

caso podem utilizar-se os exemplos já analisados, e os alunos devem observar que mudanças

no parâmetro k em funções do tipo ( ) ( )3j x k x= afectam a representação gráfica da mesma,

pois: se 1k > , a representação gráfica contrai na horizontal, segundo o factor 1

k; se, por

outro lado, 1k < , a representação gráfica dilata na horizontal, segundo o factor 1

k.

Explorações de Alunos

Como referido, nesta tarefa é pedido aos alunos que analisem a representação algébri-

ca de uma função cúbica e estudem as representações gráficas de funções definidas por ex-

pressões dos tipos ( ) ( )g x f x a= + , ( ) ( )h x f x b= + , ( ) ( )i x cf x= e ( ) ( )j x f k x= , reflec-

tindo sobre o papel dos diferentes parâmetros nessas representações.

Na resolução da primeira questão os alunos podem analisar a representação algébrica

de uma função cúbica e fazer um esboço da sua representação gráfica. Para este esboço, tor-

na-se necessário saber diferenciar objecto e imagem e relacionar os dois.

36

Após o estudo da representação gráfica da função definida por ( ) 3f x x= , os alunos

devem passar à análise das representações gráficas de funções definidas por expressões do

tipo ( ) ( )g x f x a= + , estudando a influência do parâmetro a . Podem, deste modo, observar

quais as mudanças que ocorrem nas representações gráficas, no que respeita, por exemplo, à

intersecção da representação gráfica com os eixos e às transformações geométricas ocorridas

relativamente à função inicial.

No tocante à intersecção com o eixo Oy , podem surgir respostas como as que se apre-

sentam:

37

Na discussão global na turma, o professor pode enfatizar as consequências que as alte-

rações do parâmetro provocam nas representações gráficas, ao nível da ordenada na origem.

Quanto ao estudo das transformações geométricas observadas na representação gráfica

associada aos vários valores concretos de a , os alunos podem apresentar alguns casos e re-

flectir em torno das suas explorações, exprimindo as suas intuições e conjecturas. Por vezes, a

generalização pode surgir de modo precipitado, pela simples observação de um exemplo:

Para além de observarem que a ordenada na origem se altera, os alunos verificam que

a representação gráfica da nova função resulta de uma translação vertical associada ao vector

( )0,a .

38

No caso especifico em que 0a = , o professor pode informar os alunos que esta situa-

ção é interpretada como sendo a translação identidade, ou seja, a associada ao vector ( )0,0 :

Relativamente à análise das representações gráficas de funções definidas por expres-

sões do tipo ( ) ( )h x f x b= + , a questão deve levar os alunos a atribuir vários valores concre-

tos a b e observar quais as mudanças que ocorrem nas representações gráficas.

Neste caso, os alunos afirmam que a representação gráfica da nova função sofre uma

translação horizontal, mas não identificam o vector que lhe está associada, dando a resposta

correcta em linguagem natural.

Com alguma frequência, como indicado na figura seguinte, os alunos reconhecem a

translação horizontal, mas identificam incorrectamente o vector que lhe está associado:

39

No caso especifico em que 0b = , de modo análogo ao anteriormente referido, o pro-

fessor deve esclarecer os alunos que pode ocorrer uma translação da representação gráfica

relativamente à função inicial, a translação identidade, ou seja, segundo o vector ( )0,0 .

Como referido atrás, é importante que o professor realce o facto de que as translações

horizontais não são observadas de forma intuitiva, pois a soma de um valor b implica a trans-

lação horizontal da representação gráfica associada ao vector ( ),0b− .

Segue-se a análise das representações gráficas de funções definidas por expressões do

tipo ( ) ( )i x cf x= , comparando-as e reflectindo sobre a influência de c nessas representações.

Neste caso, são ainda dadas algumas referências de apoio (valores a atribuir ao parâmetro), de

forma a orientar o trabalho e as reflexões dos alunos. As referências são:

• Atribuir a c valores positivos (menores e maiores que 1, respectivamente):

• Atribuir a c valores negativos, inferiores e superiores a 1− , respectivamente:

40

A par da análise das representações gráficas, os alunos apresentam as conclusões que

vão tirando ao longo das suas explorações, como mostram os exemplos que se seguem:

Nas conclusões apresentadas, os alunos referem-se à “abertura dos gráficos” quando

pretendem aludir à dilatação ou contracção da representação relativamente à da função inicial.

Na primeira resolução apresentada em cima, referem também “quanto maior é o valor de

c…” quando deveriam indicar “quanto maior é o valor absoluto de c ”. Estes são aspectos

que devem ser debatidos na fase de discussão colectiva.

Para além disso, focam ainda diversos aspectos relacionados com as observações que

fazem: quadrantes onde se situam as representações gráficas das funções ou proximidade da

representação com o eixo Oy .

Por último, os alunos devem fazer uma análise das representações gráficas de funções

definidas por expressões do tipo ( ) ( )j x f k x= , atribuindo valores concretos a k e obser-

41

vando quais as mudanças que ocorrem nas representações gráficas. Neste caso, são também

dadas as referências de apoio à exploração para orientar o trabalho e as reflexões dos alunos.

As referências são:

• Atribuir a k valores positivos, menores e maiores que 1, respectivamente:

• Atribuir a k valores negativos, inferiores e superiores a 1− , respectivamente:

A partir das explorações realizadas, os alunos podem retirar algumas conclusões:

Nas situações apresentadas, os alunos associaram as representações obtidas nesta fa-

mília de funções com as últimas que haviam observado (do tipo ( ) ( )3i x c x= ) e não com a da

42

função de referência ( ) 3f x x= , estabelecendo as analogias possíveis. Concluem, ainda, que

as transformações nas representações gráficas das funções do tipo ( ) ( )3j x k x= são seme-

lhantes às das funções do tipo ( ) ( )3i x c x= , pois a única diferença é que “o valor de k tam-

bém é elevado ao cubo”.

Nalgumas situações, retiram outro tipo de conclusões, como é o caso dos quadrantes

onde se situam as representações gráficas e a maior ou menor “abertura da função”.

Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Na fase de discussão colectiva, o professor deve dar atenção específica às estratégias

evidenciadas pelos alunos na resolução da tarefa, aos processos que vão utilizando à medida

que exploram e analisam as diversas questões propostas e às conclusões que retiram, pois es-

tas podem não estar correctas.

Como curiosidade, e no sentido de relacionar as questões 4 e 5 da tarefa, o professor

pode discutir com os alunos qual o tipo de simetria que se observa, em relação à representa-

ção gráfica ( ) 3f x x= , quando:

• na família de funções do tipo ( ) ( ) ( )3i x c f x c x= = , atribuímos a c o valor 1− ,

ou

• na família de funções do tipo ( ) ( ) ( )3j x f k x k x= = , atribuímos a k o valor 1− .

De facto, as representações analíticas são equivalentes ( ( )33x x− = − ), logo as repre-

sentações gráficas coincidem. No entanto, no primeiro caso, deve ser evidenciada a simetria

das representações gráficas, em relação ao eixo Oy ; já na segunda situação, deve identifi-

car-se a simetria em relação ao eixo Ox .

43

DE QUEM É A RESPONSABILIDADE ?

O ponta de lança da selecção nacional “cortou” uma jogada da defesa, fazendo um

“chapéu” ao guarda-redes da equipa adversária e colocando a bola na baliza, mesmo junto à

linha. Este golo foi decisivo, já que foi o único do jogo!

Depois dos noventa minutos, houve um debate acalorado nas bancadas da equipa que

perdeu, sobre a responsabilidade deste golo: teria o guarda-redes hipótese de saltar e apanhar

a bola ou deveriam os defesas ter feito um

melhor trabalho?

O Hugo, que tinha assistido ao jogo, fez aos amigos o seguinte esclarecimento da jo-

gada que terminou em golo:

Passados t segundos do pontapé na bola, esta encontrava-se à altura h (em

metros) do solo, sendo

( ) 2110 5

2h t t t= + − .

Com base nas palavras do Hugo, responda às questões que se seguem:

1. Quando 0t = , então ( ) 1

2h t = . No contexto deste problema, qual é o significado deste

valor?

2. Determine t quando ( ) 2,3h t > e descreva o significado dos valores que encontrou

para t .

3. Quanto tempo decorreu, após o pontapé, até que a bola atingiu o solo? (Apresente o

valor exacto ou um valor arredondado às centésimas).

44

4. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, procure responder à seguinte

questão:

Estando o guarda-redes por baixo da bola no instante em que esta atingiu a

altura máxima, conseguiria ele apanhá-la com um salto?

Apresente, na sua resposta:

• a representação gráfica da função, ajustada ao contexto, na qual deve estar devida-

mente assinalado o ponto necessário à resolução do problema;

• as coordenadas do(s) ponto(s) relevantes;

• os cálculos necessários que confirmam o valor encontrado graficamente.

45

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido anteriormente, os alunos devem ser capazes de:

� Identificar e relacionar objecto e imagem;

� Identificar domínio e contradomínio de uma função;

� Observar e interpretar representações gráficas e algébricas de uma função qua-

drática em contextos adaptados de situações do dia-a-dia;

� Relacionar as representações algébrica e gráfica de uma função quadrática;

� Determinar o vértice de uma parábola;

� Determinar os zeros de uma função a partir da sua representação algébrica;

� Exprimir processos e ideias matemáticas, oralmente e por escrito.

Aprendizagens visadas

Com o seu trabalho na tarefa De Quem é a Responsabilidade?, pretende-se que

os alunos desenvolvam a capacidade de enquadrar o modelo matemático referido na

tarefa, no contexto em que este foi proposto, de forma a dar significado ao mesmo e

responder às questões.

Trata-se de um problema adaptado de uma situação quotidiana e pode ser resol-

vido na aula ou enquadrado numa ficha para avaliação. Como tal, pretende-se que os

alunos interpretem os dados do enunciado e respondam às questões que são propostas,

com base nas aprendizagens feitas ao longo do estudo das funções quadráticas.

Orientações para o professor

1. Indicações gerais

A tarefa foi planificada para quarenta minutos (vinte minutos para a resolução e

vinte minutos para discussão da tarefa).

De Quem é a Responsabilidade?

Duração Prevista Exploração Apresentação e Discussão de Resultados

40 min 20 min 20 min

46

Nos primeiros vinte minutos pretende-se que os alunos interpretem os dados do

enunciado e respondam às questões que são propostas, com base nas aprendizagens fei-

tas ao longo do estudo das funções quadráticas. Durante os vinte minutos posteriores

(não seguidos, no caso de uma ficha de avaliação) são confrontadas e discutidas as idei-

as e respostas às questões, assim como os processos mentais utilizados pelos alunos.

2. Algumas explorações

Através do primeiro conjunto de questões, os alunos podem desenvolver a capa-

cidade de analisar um contexto semi-real, observando e interpretando a representação

algébrica que é indicada. Os estudantes devem verificar inicialmente que o modelo ma-

temático que ilustra a situação apresentada é ( ) 2110 5

2h t t t= + − , sendo t o tempo de-

corrido (em segundos) após o pontapé na bola e h a altura (em metros) desta relativa-

mente ao solo.

No contexto mencionado no problema, ou seja, em que o ponta de lança fez um

“chapéu” ao guarda-redes da equipa adversária, o valor 1

2h = no instante inicial signi-

fica que a bola se encontrava a meio metro do chão quando o jogador avançado a ponta-

peou.

Com a segunda questão do problema, os alunos devem determinar t quando

( ) 2,3h t > , ou seja, resolver a correspondente inequação de segundo grau e descrever o

significado dos valores encontrados para t .

A determinação analítica dos valores de t que verificam a condição ( ) 2,3h t =

conduz-nos aos valores 1 9

5 5t t= ∨ = e, por observação da representação gráfica da

função h , que serve de modelo à situação descrita, pode concluir-se que ( ) 2,3h t >

para 1 9

,5 5

t ∈

. Neste contexto, o intervalo de tempo obtido significa que 0,2 segun-

dos depois de pontapeada, a bola encontrava-se a 2,3 metros do solo, em subida, e 1,8

segundos depois de lançada, a mesma estava a descer e a uma altura de 2,3 metros do

solo.

47

Na terceira questão os alunos devem descobrir quanto tempo decorreu até que a

bola atingiu o solo. Neste caso, antes de efectuarem os cálculos, têm que notar que

quando a bola atinge o solo encontra-se a zero metros do chão e, portanto, o valor a

atribuir a h , no modelo definido pelo enunciado, é zero. Em seguida, devem determinar

o valor de t que satisfaz a equação e o problema. Assim, resolvendo a equação obtida,

vem:

21 110 1100 10 5 1 1

2 10 10t t t t= + − ⇔ = − ∨ = +

110 1101 ,1

10 10S

= − +

Como t tem de ser positivo no contexto considerado (trata-se do tempo decorri-

do), apenas pode ser considerada a solução 110

110

t = + , ou seja, 110

110

+ segundos

após o pontapé a bola atinge o solo. Considerando um valor arredondado às centésimas,

como pedido no enunciado, temos: 110

1 2,0510

t = + ≈ . Assim, 2,05 segundos após o

pontapé a bola atinge o solo.

Por último, depois de fazerem a interpretação do problema e resolução das ques-

tões através da representação algébrica, os alunos devem recorrer à calculadora gráfica

para representar o modelo matemático que traduz o problema:

Utilizando as potencialidades da calculadora (representação gráfica, tabela, e as

várias funções do menu de cálculo) os alunos podem verificar que a bola atinge a altura

máxima um segundo após o seu lançamento, que é de 5,5 metros.

Representação Gráfica

48

Para confirmar este resultado por processos analíticos, é necessário determinar

as coordenadas do vértice da parábola correspondente ao modelo, podendo para tal re-

correr a diferentes estratégias. Uma delas é o recorrer à tabela e encontrar as abcissas de

dois pontos com a mesma ordenada, calcular a abcissa do vértice e determinar a respec-

tiva ordenada, verificando que um dos pontos relevantes é ( )1; 5,5 . Para tal, podem ser

utilizados, por exemplo, os zeros determinados na questão anterior: (sendo

101 0

10h

− =

; 10

1 010

h

+ =

, a abcissa do vértice da parábola pode ser obtida por

10 101 1

10 101

2Vx

− + +

= = ; para determinar a altura, basta calcular ( )1h ).

Assim, pode-se concluir que, por muito alto que o guarda-redes pudesse ser, e

por muito grande que fosse o salto, ele nunca atingiria 5,5 metros de altura, não conse-

guindo por isso apanhar a bola. Portanto, pode dizer-se que os jogadores da defesa deve-

riam ter feito um melhor trabalho!

Explorações de Alunos

Nesta tarefa pretende-se que os alunos interpretem uma situação concreta à qual

se associou um modelo matemático, analisem o modelo, recorram às suas representa-

ções gráfica e tabelar, e estabeleçam relações entre eles de modo a responder às ques-

tões formuladas no enunciado.

Na primeira questão, os alunos devem fazer uma análise cuidada da representa-

ção algébrica, inserindo-a no contexto do problema. Para tal, podem começar por rela-

cionar objecto e imagem e interpretar o seu significado na representação algébrica e no

contexto em que esta se enquadra. Neste caso, observam que, no instante inicial, a bola

se encontra a meio metro do solo.