Materiais de Construção - Ibracon - C9

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Livro: Materiais de Construção Civil Organizador/Editor: Geraldo C. Isaia Luiz Eduardo T. Ferreira - Escola de Engenharia de São Carlos, USP. João Bento de Hanai - Escola de Engenharia de São Carlos, USP Mecânica da Fratura Capítulo 9

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Livro: Materiais de Construção Civil Organizador/Editor: Geraldo C. Isaia

Luiz Eduardo T. Ferreira -

Escola de Engenharia de São Carlos, USP.João Bento de Hanai

-

Escola de

Engenharia de São Carlos, USP

Mecânica da Fratura

Capítulo 9

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Transatlântico TITANIC

Colapsos estruturais associados à Mecânica da Fratura

•Figura 1 –

Foto do transatlântico que naufragou após colidir com um iceberg-

Fonte: desconhecida

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Outras estruturas navais ( navio Schenectady, 1941)

Colapsos estruturais associados à Mecânica da Fratura

•Figura 2 –

Navio que se partiu ao meio -

Fonte: desconhecida

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Estruturas aeronáuticas

Colapsos estruturais associados à Mecânica da Fratura

•Figura 3 –

Ruptura da fuselagem de um avião comercial. Propagação de fissuras por fadiga -

Fonte: desconhecida

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Obras civis (gasoduto)

Colapsos estruturais associados à Mecânica da Fratura

•Figura 4 –

Colapso por propagação de fissura de um gasoduto nos EUA. •Fonte: desconhecida

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Engenharia e Ciência dos Materiais

Projetos

estruturais:•

Mecânicos:•

Aeronáuticos, navais, automobilísticos

e industriais.

Civis:•

Estruturas metálicas (pontes e viadutos);

Estruturas de concreto armado e protendido;•

Redes adutoras e gasodutos (ex. gasoduto Brasil-Bolívia).

Algumas aplicações da Mecânica da Fratura

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Programas de tolerância ao dano

Vistorias periódicas

Manutenções preventivas•

Pontes e viadutos;

Vias permanentes metro-ferroviárias.

Avaliação da vida-útil das estruturas•

Aeronaves;

Componentes de máquinas.

Algumas aplicações da Mecânica da Fratura

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Fraturamento

hidráulico

Estimulação da produção em poços de petróleo

Exploração de lençóis profundos

Geração de energia geotérmica•

Utilização de recursos renováveis;

Energia “limpa”;•

Fonte “inesgotável”.

Algumas aplicações da Mecânica da Fratura

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Produção de energia geotérmica

Fraturamento hidráulico

•Figura 5 –

Sistema de fraturamento

estimulado de um maciço rochoso –

Fonte: Häring

Geo-Project

Sistema artificialmente fraturado para a circulação e aquecimento da água bombeada e produção de vapor

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Usinas de produção de energia geotérmica

East

Mesa, EUA

•Figura 6 –

Usina de produção de energia geotérmica de East

Mesa, EUA.•Fonte: International Geothermal Association.

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Usinas de produção de energia geotérmica

Nesjavellir, Islândia

•Figura 7 –

Usina de produção de energia geotérmica de Nesjavelir, Islândia•Fonte: International Geothermal Association.

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Usinas de produção de energia geotérmica

Hatchobaru, Japão

•Figura 8 –

Usina de produção de energia geotérmica de Hatchobaru,Japão.•Fonte: International Geothermal Association.

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A Mecânica da Fratura na evolução do projeto estrutural

Adaptações empíricas de projetos anteriores;•

Resistência dos materiais e teoria da elasticidade:•

Coeficientes de segurança elevados;

Concentrações de tensão: Inglish, 1913;•

Desenvolvimento da Mecânica da Fratura:•

Griffith, 1924;

Irwin, 1948.

Mecânica da Fratura Não-Linear e Fraturamento

Dinâmico:•

Décadas de 60 e 70;

Mecânica da Fratura dos Materiais Quase-frágeis (80, 90, 00):•

Fraturamento

do concreto e materiais assemelhados;

Fraturamento

de materiais cerâmicos e rochas.

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Modos de solicitação ao fraturamento

Modo I -

Abertura •Modo II –

Cisalhamento • plano

Cisalhamento antiplano

•Figura 9 –

Modos de solicitação ao fraturamento

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Tipos de fraturamento

Fraturamento

frágil;•

Fraturamento

dúctil;

Fraturamento

quase-frágil;•

Fraturamento

dinâmico;

Fraturamento

assistido pelo meio:•

Fragilização

pela presença de hidrogênio (certos metais);

Corrosão sob tensão.

Transição dúctil-frágil.

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Subdivisões da Mecânica da Fratura

Mecânica da Fratura Elástico-Linear (MFEL)•

Materiais de ruptura frágil (plastificação em pequena escala).

Mecânica da Fratura Não-Linear (MFNL)•

Elasticidade não-linear;

Fraturamento elastoplástico;•

Fraturamento quase-frágil.

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Fraturamento frágil (fraturamento por clivagem)

Clivagem: forma mais frágil de fraturamento

que pode ocorrer em materiais de estrutura cristalina•

Ocorre em metais por separação direta ao longo dos planos cristalográficos, devido à

rupturas das ligações atômicas.

Características do fraturamento

frágil:•

Envolve quantidades muito pequenas de deformações plásticas;

Sob condições normais de solicitação, o crescimento da fissura usualmente é

instável;

O crescimento da fissura pode ser intergranular

ou transgranular;•

Em virtude da pequena zona de dano à

frente da ponta da fissura,

os princípios da MFEL são aplicáveis.

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Fraturamento frágil

Ocorrência:•

Materiais com estruturas cristalinas cúbicas de corpo centrado (Ex: alguns aços, tungstênio, molibdênio, cromo);

Materiais com estruturas cristalinas hexagonais fechadas (Ex: zinco, berílio, magnésio).

Figura 10 –

Estruturas cristalinas de corpo centrado e hexagonal compacta

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Fraturamento dúctil

Características:•

Envolve grandes quantidades de deformação plástica;

O crescimento da fissura é estável:

Para que haja crescimento da fissura, há

a necessidade de

aumentar-se o nível de carregamento externo.

Ocorrência:•

Materiais com estrutura cristalina de face centrada (metais puros como o ouro e o cobre);

Chapas metálicas finas (geometria).

•Figura

11 -

Estruturas cristalinas de face centrada

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Fraturamento quase-frágil

Ocorrência:•

Concretos;

Argamassas;•

Certas

rochas

(arenitos, mármores, etc);

Cerâmicas.

Características do processo de fraturamento:•

Crescimento sub-crítico (ou estável) da fissura, antes da carga de pico;

Ruptura com amolecimento;•

Resposta fortemente não linear e predominantemente inelástica, antes da carga de pico.

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Natureza do colapso

Figura 12 -

Colapsos estruturais para materiais de diferentes naturezas

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Tenacidade

É

o termo utilizado para descrever a habilidade de um dado material de deformar-se plasticamente, absorvendo (e dissipando) energia, antes e durante o processo de ruptura.

••

Fragilidade e Ductilidade: Adjetivos usados para distinguir Fragilidade e Ductilidade: Adjetivos usados para distinguir colapsos ou materiais caracterizados por baixa ou alta colapsos ou materiais caracterizados por baixa ou alta tenacidadetenacidade.

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Situações de concentração de tensões

•Figura 13 –

Placa de grandes dimensões com (a) um furo central circular e (b)furo elíptico•Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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• Exemplo de uma placa com um furo circular

Tensão remotamente aplicada:

σ•

Tensão na borda do furo:

ση

= 3 σ•

Fator de concentração de tensão:

k=3

Concentração de tensões

•Figura 14 –

Placa de grandes dimensões com um furo central

circular

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• Exemplo de uma placa com um elíptico

Tensão remotamente aplicada:

σ•

Tensão na borda do furo:

ση

= σ(1+2a/b)(ση

>> σ)•

Fator de concentração de tensão*:

k= (1+2a/b)

Concentração de tensões

•Figura 15 –

Placa de grandes dimensões com um furo

central, elíptico

•*a e b são os semi-eixos da elipse

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Conclusões:•

Ao abaular-se o furo, a relação a/b cresce e o fator de concentração de tensão k cresce na mesma proporção;

Quando o semi-eixo menor b tender a zero, a relação a/b tenderá ao infinito e a tensão também crescerá

infinitamente. Nesse caso

teremos , em termos geométricos, uma “configuração de fissura”;•

A presença dessa singularidade na ponta da fissura afeta todo o campo de tensão à

frente dela e o campo de tensão em torno da

singularidade passa a ser descrito com o auxílio de um fator denominado Fator de Intensidade de Tensão (K).

Concentração de tensões

IMPORTANTE: o Fator de Intensidade de Tensão não deve ser confundido com o Fator de Concentração de Tensões.

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O Fator de Intensidade de Tensão é

o fator que descreve o estado de tensão à

frente da fissura e que associa essas

tensões à

singularidade.

Fator de intensidade de tensão

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Determinação

do estado

de tensão

em

um ponto

genérico

à

frente

da ponta

da

fissura

Problema de Griffith

•Figura 16 –

Diagrama de distribuição de tensões à

frente da ponta da uma fissura interna –

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Estado de tensão em um ponto à

frente da ponta da fissura, em coordenadas retangulares:

Campo de tensão – problema plano

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

23cos

22cos

2

23

21

2cos

2

23

21

2cos

2

θθθπ

τ

θθθπ

σ

θθθπ

σ

senr

K

sensenr

K

sensenr

K

Ixy

Iy

Ix

( )θπ

σ ijI

ij fr

K2

=

Forma compacta:

•MODO I - Abertura

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Deslocamento em um ponto à

frente da ponta da fissura:

Campo de deslocamento – estado plano de deformação

•MODO I - Abertura

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2cos22

22

221

2cos

2

2

2

θνθπ

θνθπ

senrGKv

senrGKu

I

I

•u =

deslocamento

horizontal •v= deslocamento

vertical

G=

módulo

de

cisalhamento •v = coeficiente

de

Poisson

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Observações importantes: •

KI

tem caráter local;

O Fator de Intensidade de Tensão não é

uma medida de tensão, mas um indicador da proximidade em que uma fissura se encontra, relativamente à

sua extensão

crítica;

Quando KI

atinge um nível crítico, o valor do fator de intensidade de tensão, crítico, KIC , é

representativo da

tenacidade ao fraturamento do material e representa um

critério de propagação da fissura.

Fator de intensidade de tensão

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Fatores de intensidade de tensão

Expressão geral:

Onde:

Y= Constante ou função adimensional (que depende da geometria da estrutura e das condições de contorno)

a

= Extensão da fissura;

σ = Tensão atuante.

YaKI ..πσ=

23

23

.;.;.;:−−

mmMNinksicmdaNmMPauaisUnidadesUs

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Intensificação das tensões e danificação

Figura 17 –

Zona de processos inelásticos (ZPI) que se forma à

frente da ponta da fissura, em virtude dos níveis elevados das tensões

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Distribuição de tensão à frente da ponta da fissura e extensão da ZPI

Estados planos de tensão e de deformação

•Figura 18 –

(a) Zona de domínio de K e zonas de processos inelásticos: (b) EPD e (c) EPT.•Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Aspecto tridimensional da zona de processos inelásticos ZPI

Estados planos de tensão e de deformação

•Figura 19 –

Aspecto tridimensional da zona de processos inelásticos •Fonte: adaptado de Broek, D. –

Elementary Engineering Fracture Mechanics

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Taxas críticas de liberação de energia, G

Parâmetro global (diferentemente de KI

, que é

local):

Decorre da análise da variação de flexibilidade do corpo-de- prova ou estrutura, antes e depois da propagação da fissura;

Significa a quantidade de energia que deve ser dissipada, para a propagação de uma fissura “unitária”.

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Taxa de liberação de energia G

Balanço Energético:•

Condição necessária para o equilíbrio de um sólido deformado durante a propagação estável de extensão infinitesimal, ∂a, de uma fissura:

“A primeira derivada (taxa) da Energia Potencial Elástica Total, π, relativamente à

extensão a da fissura, deve ser nula”.

U= Energia Potencial Elástica ou Energia de Deformação do sistema.F= Trabalho realizado pelas forças externas.

W= Energia requerida para a formação da fissura

( ) 0=+−∂∂

=∂∂ WFU

aaπ

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Taxa de liberação de energia G

Do equilíbrio energético :

Para um sólido deformado de espessura B, solicitado por uma força P que produz um deslocamento δ, tem-se :

ou:

( )aWUF

a ∂∂

=−∂∂

( )UFaB

G −∂∂

=1

).(1dadU

dadP

BG −=

δ

•Figura 20 –

Sólido arbitrário, arbitrariamente fissurado.•Fonte: adaptado de Broek, D. –

Elementary Engineering Fracture Mechanics

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Taxa de liberação de energia G

Considerando-se que e

e fazendo-se as substituições e simplificações necessárias,resulta:

P = cte

δ

= cte

PC δ= 2.

21.

21 PCPU == δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dadC

BP

dadU

BG

21 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dadU

BG 1

•Figura 21 –

Fissuração por força imposta ou deslocamento imposto, constantes.

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Taxa de liberação de energia G

Quando G atinge um valor crítico, a fissura passa a propagar de forma instável;

Nesse caso tem-se que:

Taxa Crítica de Liberação de Energia(Tenacidade ao Fraturamento)

cGG =

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Taxa de liberação de energia G

OBSERVAÇÕES:

A Taxa Crítica de Liberação de Energia GC é

um parâmetro resistente do material (propriedade mecânica);

O valor de GC é

constante, tanto para o caso de cargas prescritas, quanto para o caso de deslocamentos prescritos;

O parâmetro GC é

válido dentro do campo de aplicabilidade da Mecânica da Fratura Elástica Linear (danificação em pequena escala).

GC tem caráter global, pois decorre da análise da variação de flexibilidade do corpo fissurado.

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Energia de fraturamento, G, e fator de intensidade de tensão, K

Relação existente entre G e K:Modo I (abertura)

onde: E’

= E (estado plano de tensão)

E’

= E/(1-ν2) (estado plano de deformação)

'

2

EKG I

I =

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Energia de fraturamento G e fator de intensidade de tensão K

Para os Modos II e III:

Para um corpo solicitado ao fraturamento

nos três modos, simultaneamente:

'

2

EKG II

II = ( )E

KG III

III

2

1 ν+=

E.P.D)()1()()1(

E.P.T.)()1()(1

2222

222

IIIIII

IIIIII

KE

KKE

G

KE

KKE

G

νν

ν

+++

−=

+++=

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Superposição de efeitos

Carregamentos simultâneos:

σI

PI

TotI KKK +=.

•Figura 22 –

Sólido arbitrário externamente solicitado por ações de diferentes naturezas

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Determinação experimental de GC

Ensaio de fraturamento

no Modo I (abertura):

•Figura 23 –

Seqüência esquemática da determinação de GC

pela técnica de variação de flexibilidade.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

dadC

BP

dadU

BG crit

21 2

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Fraturamento dúctil

Principais características:

Envolve quantidades substanciais de deformação plástica;

O crescimento da fissura usualmente é

estável:•

Para que haja uma extensão adicional da fissura, o carregamento externo deve ser aumentado.

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Fraturamento elastoplástico

A Taxa de Liberação de Energia G assim como o fator de intensidade de tensão K são afetados pela extensão da Zona de Processos Inelásticos (geralmente de dimensões significativas) e a MFEL não pode ser diretamente aplicada ao estudo do fraturamento;

Alguns modelos alternativos de análise:•

Modelo de Dugdale/Barenblatt;

Modelo de Wells;•

Módulo de rasgamento;

Critério do ângulo de abertura da ponta da fissura

(CTOA);•

Curvas de resistência ao fraturamento;

Integrais

J.

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Modelo de Dugdale

Fundamentação do modelo:•

Existência de pressões de fechamento fy

atuando na ponta da fissura, que decorrem da plastificação

do material:

fy

é

a tensão de escoamento do material.

Consideração de uma fissura efetiva aef

, cujo comprimento é

dado pela soma de duas

parcelas:•

a extensão inicial da fissura a;

uma extensão adicional ρ, sobre a qual atuam as pressões de fechamento

fy

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Modelo de Dugdale

Princípio das tensões de fechamento:• ρ= Extensões adicionais sobre as quais atuam tensões de

fechamento, decorrentes da plastificação.

•Figura 24 –

Fissura central de extensão “efetiva”

(2a+2ρ) do modelo de Dugdale.Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Modelo de Dugdale

Superposição de efeitos e cancelamento da singularidade:

KIσ

deve-se ao carregamento externo

e KI

ρ,

à

tensão de fechamento.

Equacionando tem-se:

e:

0=+= ρσIII KKK

2

2

2

22

88 y

I

y fK

fa πσπρ ==

aef = 2a + 2ρ

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Fraturamento quase-frágil

Ocorrência:•

Concretos;

Argamassas;•

Certas

rochas

(arenitos, mármores, etc);

Cerâmicas.

Características do processo de fraturamento:•

Crescimento estável (ou sub-crítico) da fissura, antes da carga de pico;

Ruptura com amolecimento;•

Resposta fortemente não linear e predominantemente inelástica, antes da carga de pico.

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CONSIDERAÇÃO DO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR

PRINCIPAIS MODELOS DE FRATURAMENTO:

Modelos Coesivos:•

Modelo da Fissura Fictícia;

Modelo da Banda de Fissuração.

Modelos Elásticos Efetivos:•

Modelo dos Dois Parâmetros;

Modelo da Fissura Elástica Efetiva.

Modelo da Lei do Efeito de Escala.

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Análise da ruptura quase-frágil

Ruptura com amolecimento

•Figura 25 –

Sólido pré-fissurado

solicitado ao fraturamento

e diagrama Pxδ

(ou Px

CMOD) da ruptura -

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Modelagem da zona de processos inelásticos

Analogia ao modelo de Dugdale

•Figura 26 –

Tensão coesiva de fechamento das faces da fissura quase-frágil.•Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Modelagem da zona de processos inelásticos

Hipóteses de distribuição das tensões de fechamento

•Figura 27 –

Relações tensão-abertura para o modelo coesivo -

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Estudo do fraturamento dos materiais cimentícios

Energia de fraturamento

GF

•Figura 28 –

Decomposição da resposta global de deslocamentos no ensaio de energia de fraturamento

-

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Energia de fraturamento GF

Determinação experimental

•Figura 29–

Vigas entalhadas, submetidas à

flexão em três pontos -

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Energia de fraturamento GF

Determinação experimental

•Figura 30 –

Diagrama Carga x Deslocamento e parcelas dos trabalhos que compõe a energia de fraturamento

-

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

( ) δδδ

dPA

GL

F ∫=0

1

LF A

WWWG 210 ++=

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Modelos efetivos

Modelagem da zona de processos inelásticos

•Figura 31 –

Fissura elástico-efetiva ou elástico-equivalente -

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Livro: Materiais de Construção Civil Organizador/Editor: Geraldo C. Isaia

Modelo dos Dois Parâmetros

Determinação da tenacidade ao fraturamento

KSIC

•Figura 32 –

Rampas inicial e de recarregamento, para a determinação da variação de flexibilidade -

Fonte: 49o

Congresso Brasileiro do Concreto.

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Livro: Materiais de Construção Civil Organizador/Editor: Geraldo C. Isaia

Modelo dos Dois Parâmetros

A) Determinação do módulo de deformação na fase resiliente

da resposta

( )00

00 .

....6)(

...6 αααα g

WBCSg

WBCMODSPE

ii

i ==

•Figura 33–

Ensaio de viga entalhada, submetida à

flexão em 3 pontos, para a determinação da tenacidade ao fraturamento

)(..

.60

0 αα gWBE

SPCMOD ii =

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Modelo dos Dois Parâmetros

B) Determinação da tenacidade ao fraturamento

KSIC

Processo Iterativo: Utilizando Cu

determina-se o valor de αi que conduz ao valor do Módulo E calculado em (A).

( )iu

ii g

WBCSE αα .

....6

=

)(.

....5.12 i

efMAXIC

S fWB

aSPK α

π=

EEi ≈