Matemأ،tica Recreativa Matemأ،tica Recreativa Trabalhando e aprendendo •Prof. Hector...

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  • Matemática Recreativa

    Trabalhando e aprendendo

    • Prof. Hector Salazar

    • ECT/UFRN

  • As façanhas do grande matemático Beremiz Samir

    • Contada pelo amigo de viagem

  • O problema da divisão dos 35 camelos da herança nos três irmãos na proporção a seguir:

    Três irmãos : A metade do total B terceira parte do total C novena parte do total

    Quantos camelos deve corresponder a cada irmão ?

    Do livro : “O homem que calculava”, Malba Tahan

  • A solução de Beremiz

    Beremiz pede ao amigo para doar o único camelo para completar 36 camelos e resolver o problema anterior, ele diz não se preocupar porque irá recuperar seu camelo. Logo A Irmão mais velho : recebe a metade de 36 = 36/2 = 18 B Irmão menor : recebe a terça parte de 36 = 36/3= 12, C O caçula : recebe a nona parte de 36 = 36/9= 4, total = 18+12+4 =34. Sobram dois camelos : 1 camelo vai para o amigo de Beremiz e o outro vai para o Beremiz, como pagamento por resolver o Problema.

  • Divisão em partes proporcionais

    Exercício 1 João e André decidem trabalhar juntos vendendo mercadorias durante uma semana. João trabalhou em total 5 dias na semana, e André trabalhou em total 7 dias. O lucro pela venda das mercadorias é de R$ 480,00 no total. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais aos dias trabalhados. Quanto irá receber cada um?

    Quem ? Dias trabalhados Lucro R$ 480,00

    João 5 dias x

    André 7 dias y

    http://www.matematicadidatica.com.br/DivisaoEmPartesProporcionaisExercicios.aspx

  • Primeiro Método

    Andre recebe João recebe .200)

    12

    5 (480

    ,280) 12

    7 (480

    Lucro total = 480 r = 280 r + 200 r, ok

    Solução

  • Solução

    Lucro de João 5 K

    Lucro de André 7K

    Total 12 K

    Lucro total 480 Reais = 12 K K = 480/12 = 40 Reais

    João recebe = 5 K = 5 (40) = 200 Reais André recebe = 7 K = 7 (40) = 280 Reais

    Segundo Método

  • Quantidade diretamente proporcionais

    • Em uma gráfica, certa impressora imprime 100 folhas em 5 minutos. Quantos minutos ela gastará para imprimir 1000 folhas?

    folhas tempo (minutos)

    100 5

    200 10

    300 15

    . .

    1000 Y ?

    Estamos considerando que a impressora trabalha ao mesmo ritmo sempre.

  • Quantidades diretamente proporcionais

    • Duas quantidades X e Y são diretamente proporcionais se o quociente delas é uma constante.

    K X

    Y Sendo K uma constate.

    No exemplo anterior : Y -> Tempo X -> Número de folhas impressas

    K Y

    1000 ...

    300

    15

    200

    10

    100

    5 Y = ???

  • Tarefa : 3 pessoas forma uma cooperativa, a idade de cada um deles é 20 anos, 30 anos e 50 anos, respectivamente. O capital da cooperativa deve ser 4000 reais. Quanto deve aportar cada membro da cooperativa em reais, considerando que o valor a aportar seja proporcional a idade de cada um?. a) 1000, 2000, 1000, b) 1000, 1500, 2500, c) 800, 1200, 2000,

    Resposta para o exemplo anterior : Y= 50 min.

  • solução

    Idade e o capital aportado são quantidades proporcionais, segundo dados do problema, logo:

    Em (*) : 20k+30k+50k = 4000, logo 100k=4000, k=40;

    x = 20 (40)=800; y= 30 (40)=1200; z= 50 (40)= 2000,

    resp: c

    Idade (anos)

    capital aportado (reais)

    20 x

    30 y

    50 z

    Sabemos : x+y+z = 4000.... (*)

    k zyx

    503020

    X= 20 k Y= 30 k Z= 50 k

  • Quantidades diretamente proporcionais

    • Dias trabalhos/ lucro (trabalho no mesmo ritmo).

    • Folhas impressas/ tempo (impressão no mesmo ritmo).

    • Espaço percorrido/ tempo (velocidade constante).

    • Peso (saco da farinha) na balança / quantidade em kg.

    (mesmo).

    • Número de operários /tempo necessário para eles construírem uma casa (trabalho no mesmo ritmo).

    estas quantidades são na verdade inversamente

    proporcionais.

  • Teorema de Pitágoras

    Exercício 3.- O cone circular reto do lado tem diâmetro 80 cm e a generatris g = 50cm , quanto mede a altura h do cone ?

    Cone reto de base circular

    Podemos calcular a altura deste cone?

  • Exercício 4.- Dois navios A e B partem simultaneamente em direções diferentes do mesmo porto: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 40 Km/h e o navio B com velocidade constante de 30 Km/h. Qual será a distância entre eles após 5 horas?

    A

    B porto

    Teorema de Pitágoras

    D=?

    Y

    X

  • O teorema de Pitágoras

    O teorema de Pitágoras estabelece que para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa c é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, a e b. Enunciando-se da seguinte forma : a2+b2=c2

    c b

    a

    c  hipotenusa a  cateto b  cateto

    Triângulo retângulo

  • Teorema de Pitágoras

    • Se acredita que o matemático hindu Baudhayana (800 a. c.) desenvolveu o teorema antes do Grego Pitagoras.

    • Pitágoras de Samos (580 a. c.- 500 a. c.).

    • Existem mais de 400 formas diferentes de

    demonstrar tal teorema, aqui vamos mostrá-los de duas formas diferentes.

    http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w

    http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w

  • Teorema de Pitágoras: primeira demonstração

    Alguns triângulos Pitagóricos

    ,..24725

    ,12513

    ,435

    222

    222

    222

  • c c

    a b

    a

    b b

    c

    c

    b a

    a

    a

    b

    a

    c

    As áreas dos dois quadrados são iguais (lados iguais).

    Como as áreas das partes coloridas são iguais, percebe-se que as áreas das partes em branco devem ser iguais, logo : a2+b2 = c2

    c a2

    b2

    c2

    Teorema de Pitágoras: Segunda demonstração

  • Voltando ao exercício inicial

    h

    g

    r

    g = 50 cm r= D/2 = 40cm h = ???

    Aplicando o teorema de Pitágoras h2+r2 = g2

    h2 + 402 = 502 h 2+ 1600 = 2500 h2 =900,  h= 30.30 h = 30, h=30cm

  • Exercício 4.- Dois navios A e B partem simultaneamente em direções diferentes do mesmo porto: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 40 Km/h e o navio B com velocidade constante de 30 Km/h. Qual será a distância entre eles após 5 horas?

    A

    B porto

    D=?

    Solução? Navio A 1h  40 km 5h  ??

    Navio B 1h  30 km 5h  ??

    Y

    X

  • Tarefa 4

    O cone da figura tem as seguintes medidas : - O comprimento lateral (generatriz) é de 100cm - O diâmetro da base inferior é 140cm e - O diâmetro da base superior é de 20cm - Determine a altura do cone

    r

    R

    h

    Vista lateral Do “cone” ao lado