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ESTUDO DOS POLINÔMIOS Questão 01 Dê o grau de P em cada caso: a) 1xx7x3)x(P 24 −+−=

b) 2xx1)x(P ++=

c) 572 xxx)x(P +−= d) 1x2)x(P += e) 10)x(P = f) 0)x(P = Questão 02 Dado o polinômio 4cxbxax)x(P 23 +++= , verifique para que valores de a, b e c, temos: a) gr (P) = 3 b) gr (P) = 2 c) gr (P) = 1 Questão 03 Sendo 6x5x)x(P 2 ++= , calcule: a) P(0) b) P(−1) c) P(1) d) P(−2) e) P(2) f) P(3) Questão 04 Dado 6xx4x)x(P 23 −++= , determine os valores numéricos e identifique as raízes: a) P(0) b) P(1) c) P(−1) d) P(2) e) P(−2) f) P(−3) Questão 05 Determinar o valor de a de modo que 2 seja raiz de ax19axx)x(P 23 +−+= . Questão 06 Determinar m no polinômio

1mxx3x)x(P 23 ++−= de modo que se te-nha 3)1(P =

Questão 07 Determinar os valores reais de a e b de mo-do que 1 e 2 sejam raízes do polinômio

4x4bxaxx)x(P 234 +−+−= . Questão 08 Calcule m, n e k para os quais o polinômio

)k23(x)2n5(x)1m2()x(P 23 −+−−−= seja nulo. Questão 09 Calcular a, b e c de modo que se verifique a igualdade:

)2c(x)ba(x)3a(4x5x2 22 −+−+−=+− . Questão 10 Sabendo que a, b e c são tais que:

)1x)(cbx()1xx(a1x2x 22 ++−++=+− é uma identidade, calcule o valor de a +b + c. Questão 11

Sabendo-se que 4x3x

10x51x

B4x

A2 −+

+=−

++

,

calcular os valores de A e B.

QUESTÕES DE VESTIBULARES Questão 01 (Mack – SP) Considere o polinômio:

4x)4m(x)16m(x)4m()x(P 223 +++−+−= Este polinômio é de grau 2: a) se, e somente se, m = 4 ou m = −4 b) se, e somente se, m ≠ 4 c) se, e somente se, m ≠ −4 d) se, e somente se, m ≠ 4 e m ≠ −4 e) para nenhum valor de m Questão 02 (Unirio – RJ) Considere o polinômio:

18642 )18x(...)6x()4x()2x()x(P +⋅⋅+−+= . O grau deste polinômio é: a) !92 ⋅ b) 90 c) !929 ⋅ d) 180 e) !18

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Questão 03 (UFRGS) Se P(x) é um polinômio de grau 5, então o grau do polinômio [ ] [ ] )x(P2)x(P)x(P 23 ++ vale: a) 3 b) 15 c) 20 d) 30 e) 45 Questão 04 (ESAN – SP) Sendo 1xx)x(Q)x(P 2 +++= e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x), então

)2(Q)1(P − vale: a) 0 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10 Questão 05 (UFMG) O valor de “a” para que 21+ seja raiz do polinômio 1xaxx)x(P 23 +++= é: a) −3 b) −1 c) 1 d) 3 e) 4 Questão 06 (ESAL – MG) Seja )cbxx)(2x()x(P 2 ++−= e sabendo que P(−1 ) = 0 e P(0) = 6, os valores de b e c são, respectivamente: a) −2 e −3 b) 0 e 1 c) 1 e 0 d) 1 e 1 e) −3 e 4 Questão 07 (Fuvest – SP) Um polinômio cbxaxx)x(P 23 +++= satis-faz as condições P(1) = 0 e 0)x(P)x(P =+− qualquer que seja x real. O valor de P(2) é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Questão 08 (PUC – SP) Sendo )baxx)(1x(1x 23 +++=+ para todo x real, os valores de a e b são, respectivamen-te: a) −1 e −1 b) 0 e 0 c) 1 e −1 d) −1 e 1 e) 1 e 1 Questão 09 (PUC – SP) Dado 3xx...xx)x(P 21nn +++++= − . Se n for ímpar, então P(−1) vale: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 Questão 10 (UCMG)

Dado 1xCBx

xA

)1x(x3x2

22 −++=

−−

. A soma dos

valores de A, B e C é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Questão 11 (PUC – SP) Os valores de A e B tais que:

x1B

xA

xxx1

2 −+=

−+

, são respectivamente:

a) 2 e 1 d) 2 e 3 b) 3 e 2 e) 1 e 3 c) 1 e 2 Questão 12 (UnB) Calcule a, b e c na igualdade:

22

2

)3x(c

3xb

xa

)3x(x27x13x8

−+

−+=

−+−

Questão 13 (Mack – SP) Considere o polinômio:

011n

1nn

n axa...xaxa)x(P ++++= −− . Sabe-

se que 011nn aa...aa ++++ − é a soma dos

coeficientes do polinômio P(x). Nestas con-dições, a soma dos coeficientes do polinô-mio 3623 )1x2x4()x(P −−= é: a) 0 b) −36 c) 1 d) −1 Questão 14 (UFRN) Seja o polinômio

452 )1x3()1x6x4()x(P −+−= . A soma dos coeficientes deste polinômio é: a) 20 b) 18 c) 12 d) −16

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PARTE II Questão 01 Numa divisão de polinômios em x, o divisor é xx2 + , o quociente é 4x − 1 e o resto é

1x2 + . Qual é o dividendo? Questão 02 Determine o quociente e o resto da divisão de 342 x4x2xx3 −+− por 1xx2 ++ . Questão 03 Determinar o quociente e o resto da divisão de 1x9x7xx)x(A 234 −+−+= por

2x3x)x(B 2 −+= . Questão 04 O polinômio 2nxmxxx)x(A 234 ++++= é

divisível por 1x2x)x(B 2 −−= . Calcule o va-lor de m + n. Questão 05 Calcular o resto da divisão do polinômio

5x4x)x(P 2 ++= por 1x)x(B −= . Questão 06 Calcular o resto da divisão do polinômio

2x5x2x3)x(P 23 +−+= por 1x)x(B += . Questão 07 Achar o valor de k para que o polinômio

6kxx3x)x(A 24 +−−= seja divisível por 2x − .

Questão 08 Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto −1; por (x − 1) dá resto 1 e por (x + 2) dá resto 1. Determinar o resto da divisão de P(x) por (x + 1)(x − 1)(x + 2). Questão 09 Determinar o quociente e o resto da divisão de 2xx5x3)x(P 23 −+−= por x − 2. Questão 10 Determinar o quociente e o resto da divisão de 5x2x5x2)x(P 34 −−+= por x + 2.

TESTES DE VESTIBULARES

Questão 01 (UFRS) A divisão de P(x) por 1x2 + tem quociente

2x − e resto igual a 1. O polinômio P(x) é: a) 1xx2 −+ b) 1xx2 ++ c) xx2 + d) 2xx2x 23 −+− e) 1xx2x 23 −+− Questão 02 (Santa Casa – SP) Numa divisão de polinômios em que o divi-dendo é de grau n e o quociente é de grau

4n − , com n ∈ IN e n ≥ 4, o grau do resto pode ser, no máximo, igual a: a) 3 d) n − 4 b) 4 e) n − 5 c) 5 Questão 03 (Unirio – RJ) O resto da divisão de 1xx)x(P 3 +−= por

1xx)x(D 2 ++= é: a) 0 b) x + 2 c) x − 2 d) −x + 2 e) −x − 2 Questão 04 (UFRN) O quociente da divisão de qpxx3 ++ por

1xx2 ++ é igual a: a) 1x +− b) 1x − c) 1x + d) 1x2 − e) 1x2 + Questão 05 (UECE) Se na divisão de 12x5x5x12 34 +++ por

1x2x3 2 −+ , o quociente é Q(x), então Q(3) é igual a: a) 33 b) 34 c) 35 d) 36

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Questão 06 (Mack – SP) O polinômio 2bxaxx2)x(P 23 ++−= é divi-

sível por 2x5x2 2 −+ . Então a + b é igual a: a) −7 b) −3 c) 0 d) 7 e) −10 Questão 07 (Mack – SP) O resto da divisão de baxxxx 234 ++++ por 1x2 + é 3. O valor de a + b é: a) 5 b) 4 c) 2 d) −4 e) −2 Questão 08 (FGV – SP) O resto da divisão de 1xxxx 234 ++++ por

1x + é: a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 5 Questão 09 (PUC – SP) O resto da divisão de 3x4x7x4 369 +++ por

1x + vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Questão 10 (PUC – SP) Qual é o resto da divisão de 31x)x(P 31 += por 1x + ? a) 0 b) 1 c) 30 d) 31 e) um polinômio de grau 30 Questão 11 (Cesgranrio) O resto da divisão de 100x por 1x + é: a) x − 1 b) x c) −1 d) 0 e) 1

Questão 12 (UCPR) O resto da divisão de 1x5x2x2x 234 +++− por x − 2 é: a) 1 b) 20 c) 0 d) 19 e) 2 Questão 13 (Mack – SP) O resto da divisão de 5mxx2x4 23 +−+ por x + 2 é igual a 1. Então m vale: a) 22 b) −20 c) 20 d) 10 e) −10 Questão 14 (UFRS) O resto da divisão de axaxx 23 +−+ por

1x − é igual a 4. O valor de a é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 Questão 15 (UFPA) Sabendo que os restos das divisões do poli-nômio 1pxx2 ++ por x − 1 e x + 2 são iguais entre si, o valor de p é: a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2 Questão 16 (UFRN) Se os restos da divisão de 1xqxx 23 +++ por x − 1 e x + 2 são iguais, então q vale: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Questão 17 (PUC – RS) O resto da divisão de nn ax)x(P += pelo bi-nômio ax + , onde n é par, é: a) 0 b) na c) na2 d) na4

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Questão 18 (UFES) O resto da divisão do polinômio

3xx2x2)x(P 1n2n21n2 +−−= −+ , onde n ∈ IN, por 1x + é: a) 2 b) −2 c) 1 d) 0 e) 4 Questão 19 (UNIMONTES) O resto da divisão de 2x4x5 1n2n2 −− − (sen-do n natural) por 1x + é: a) 7 b) 8 c) −7 d) 9 e) −9 Questão 20 (Mack – SP) Um polinômio P(x) ao ser dividido por 1x − deixa resto 2 e ao ser dividido por 2x − dei-xa resto 1. Então o resto da divisão desse polinômio por )2x)(1x( −− é: a) 3x − b) 3x +− c) 3x + d) 5x − e) 5x +− Questão 21 (PUC – MG) O polinômio P(x) dividido por 1x − dá resto

4− e dividido por 2x − dá resto 4. O resto da divisão de P(x) por )2x)(1x( −− é: a) 6x2 − b) 7x3 − c) 9x5 − d) 10x6 − e) 12x8 − Questão 22 (ITA – SP) Um polinômio P(x) dividido por 1x + dá resto

1− , por 1x − dá resto 1 e por 2x + dá resto 1. O resto da divisão do polinômio P(x) por

)2x)(1x)(1x( +−+ é:

a) 1xx2 +− b) 1x − c) 1xx2 ++ d) 1xx2 −− e) 1xx2 −+

Questão 23 Calculando o resto da divisão do polinômio

x2x)x(P 100 += por 1x2 − , obtemos: a) 1x2 + b) 1x3 − c) 1x + d) 1x − e) 1x2 − Questão 24 O resto da divisão do polinômio

5x3x2x)x(P 3344 −+−= por 1x2 − é: a) 4x − b) 1x + c) 3x − d) x7 − e) x4 − Questão 25 Efetue a divisão de 342 xx4x2)x(P −+−= por 1x + . Questão 26 Determinar o resto da divisão do polinômio

3xx2x)x(P 1n2n21n2 +−−= −+ (n ∈ IN*) pelo binômio 1x + . a) 1 b) 2 c) x d) −x Questão 27 Determinar o resto da divisão do polinômio

nn ax)x(P −= (n ∈ IN*) por x − a. a) a b) −a c) −1 e) 0 (x) Questão 28 O gráfico da função polinomial y = P(x) é: Nestas condições, qual o resto da divisão de P(x) por )1x)(2x( −+ ?

x 1 −2

3

y

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Questão 29 Seja Q(x) o quociente da divisão do polinô-mio 1x)x(P 80 −= por 1x − . Calcule Q(1). Questão 30 Dê o valor de P(20) no polinômio

++++−= 34567 x19x39x38x22x)x(P

21xx20 2 −++ . Questão 31 (UnB) Na divisão do polinômio 13x8...x5 6 +++ por 2x − , encontrou-se o quociente

3...x5 5 ++ . Determine o resto da divisão. Questão 32 (UNIMONTES) As afirmações abaixo são falsas, EXCETO: a) Se P(x) e Q(x) são polinômios de grau n,

então )x(Q)x(P ⋅ é de grau 2n . b) Se P(x) e Q(x) são polinômios de grau n,

então )x(Q)x(P + é de grau n2 . c) O quociente de um polinômio de grau n

por (x − a) é um polinômio de grau n − 1. d) Se P(x) é um polinômio de grau (n + 1) e

Q(x) é um polinômio de grau (n − 3), en-tão o resto da divisão )x(Q:)x(P é um polinômio de grau 4.

Questão 33 (Mack – SP / 2001) Se nm2x)6m(mx2x)x(P 23 +++−+−= é divisível por 1x − e por 1x + , então nm + é igual a: a) 7 b) −7 c) 6 d) −6 e) 0 Questão 34 (UNIMONTES / 2002) Seja 3x3x2)x(P n21n2 ++= + , no qual INn ∈ . Dividindo esse polinômio por x + 1, obtém-se o resto: a) 0 b) 4 c) −2 d) 5 Questão 35 (PAES – UNIMONTES / 2002) A soma dos coeficientes do polinômio do 3º grau que se anula para x = 1e que, ao ser dividido por x + 1, x − 2 e x + 2, apresenta restos iguais a 6, é: a) 2 b) 0 (x) c) 4 d) 6

Questão 36 (UNIMONTES / 2003) Se o polinômio baxxx2)x(P 24 ++−= , de coeficientes reais, é divisível pelo polinômio

3x2x)x(Q 2 ++= , então a − b é igual a: a) 7 b) −13 (x) c) −7 d) 13 Questão 37 (Mack – SP / 2003)

Se 1x1x2

1xb

1xax

22 −−=

−+

−, para todo x, 1x ±≠

então a − b vale: a) 4 (x) b) −2 c) 3 d) 0 e) −1 Questão 38 (UNIMONTES / 2004) Seja 10050 )1x()x(P += . Calcule a soma dos coeficientes de P(x) Questão 39 (PAES – UNIMONTES / 2005) O valor do número real k, de modo que o po-linômio kxx2x)x(P 23 +++= seja divisível por 1x)x(q −= é: a) 6 b) −4 (x) c) 4 d) −6 Questão 40 (UNIMONTES / 2005) O resto da divisão do polinômio 16x12 + por

3 2x + é igual a: a) 3 216

b) 3 28 c) 32 d) 16 e) 8 Questão 41 (PAES – UNIMONTES / 2006) Se o volume de um paralelepípedo é dado por pxnmxx)x(V 23 +++= e suas arestas são 1, 2 e 3, então o quociente (área da ba-se) de V(x) por x − 3 é: a) 2x3x2 −+ b) 2x3x2 ++ c) 2x3x2 −− d) 2x3x2 +− (x)

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Questão 42 (PAES – UNIMONTES / 2006) O volume de um paralelepípedo é dado por

6x11x6x)x(V 3 −+−= e sua altura é 3. A soma das outras dimensões desse paralele-pípedo é: a) 3 (x) b) 2 c) 6 d) 4 Questão 43 (UNIMONTES / 2006) Se P(x) é um polinômio do segundo grau com coeficientes reais, tais que 1)0(P = e

2x8)x(P)1x(P +−=−− , então:

a) 1x4x2)x(P 2 ++=

b) 1x2x4)x(P 2 ++= (x)

c) 1x4x2)x(P 2 ++−=

d) 1x2x4)x(P 2 +−= Questão 44 (UNIMONTES / 2006) Os valores dos números reais m e n, para os quais o polinômio n2x6xmx)x(P 23 +++=

seja divisível por 2xx2 −− , são, respecti-vamente: a) 9 e −8 b) 7 e −10 c) 10 e −7 d) −9 e 8 (x) Questão 45 (UNIMONTES / 2006) O polinômio de variável x, indicado por V(x) que representa o volume do sólido abaixo, é dado por: a) x30x10x)x(V 23 ++=

b) 30x15x)x(V 23 ++=

c) x30xx5)x(V 23 ++=

d) x30x5x)x(V 23 ++= (x)

Questão 46 (UNIMONTES / 2007) O polinômio A(x) representa a área de um quadrado de lado 1a + , e o polinômio V(x) representa o volume de um cubo de aresta

1a + . O grau de )x(V)x(A + é: a) 3 (x) b) 6 c) 5 d) 4 Questão 47 (UNIMONTES / 2007) Os valores de A, B e C, de forma que

1xC

1xBAx

1xxx5x

223 −+

++=

−+−+

, são, respecti-

vamente: a) 2, 7 e 8 b) −5, 2 e 1 c) −2, 4 e −1 d) −3, −2 e 3 (x) Questão 48 (UNIMONTES / 2007)

O valor de

1x1

1

11

1)x(P

++

+= para x = a é:

a) 2a3a2

++

(x)

b) 3a22a2

++

c) 2a2

3a+

+

d) 3a22a

++

Questão 49 (UNIMONTES / 2008) Os valores de M, N e P, de forma que

1xP

1xN

xM

)1x)(1x(x1x2

−+

++=

−++

para todo x

real, 1x ≠ , 0x ≠ e 1x −≠ , são, respectiva-mente: a) −1, 2 e 0 b) −1, 1 e 1 (x) c) 1, −1 e 2 d) 1, −1 e 0

x x

x x

x x

6

5 5