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Matemática Financeira 2015

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Matemática Financeira

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Editorial

© UniSEB © Editora Universidade Estácio de SáTodos os direitos desta edição reservados à UniSEB e Editora Universidade Estácio de Sá.

Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, de qualquer forma ou meio eletrônico, e mecânico, fotográfi co e gravação ou qualquer outro, sem a permissão expressa do UniSEB e Editora Universidade Estácio de Sá. A violação dos direitos autorais é

punível como crime (Código Penal art. 184 e §§; Lei 6.895/80), com busca, apreensão e indenizações diversas (Lei 9.610/98 – Lei dos Direitos Autorais – arts. 122, 123, 124 e 126).

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Comitê EditorialDurval Corrêa Meirelles

Juarez Jonas Thives JúniorOrnella Pacífi co

Jair do Canto Abreu JúniorAndreia Marques Maciel

Autora do OriginalOrnella Pacífi co

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Matemática FinanceiraCapítulo 1: Juros Simples e

Juros Compostos .............................................. 7Objetivos da sua aprendizagem ................................. 7

Você se lembra? ................................................................ 7Introdução .............................................................................. 8

1.1 Matemática Financeira e o Valor do dinheiro no tempo ....... 81.2 Inflação .................................................................................... 13

1.3 Juros Simples ................................................................................ 141.4 Juros Compostos .............................................................................. 22

1.5 Taxas de Juros ...................................................................................... 261.6 Títulos de renda fixa ................................................................................ 33

Atividades .......................................................................................................... 36Reflexão ............................................................................................................... 38

Leituras recomendadas ........................................................................................... 38Referências ............................................................................................................... 38

No próximo capítulo .................................................................................................. 39Capítulo 2: Desconto simples e desconto composto ................................................ 41

Objetivos da sua aprendizagem .................................................................................... 41Você se lembra? ............................................................................................................. 41Introdução ...................................................................................................................... 422.1 Desconto simples .................................................................................................... 432.2 Desconto Composto ................................................................................................ 492.3 Fórmulas utilizadas ................................................................................................ 52Atividades .................................................................................................................... 52Reflexão..................................................................................................................... 55

Leitura Recomendada ............................................................................................. 55Referências .......................................................................................................... 56

No próximo capítulo ........................................................................................ 56Capítulo 3: Série de Pagamentos/Recebimentos ...................................... 57

Objetivos da sua aprendizagem ................................................................ 57Você se lembra? .................................................................................... 57

Introdução ......................................................................................... 583.1 Série uniforme de pagamentos postecipada .......................... 64

3.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada ..................... 693.3 Plano de Poupança ...................................................... 71

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oAtividades ....................................................................................................................... 74Reflexão .......................................................................................................................... 74Leitura recomendada ....................................................................................................... 75Referências ...................................................................................................................... 75No próximo capitulo ....................................................................................................... 75Capítulo 4: Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos ................. 77Objetivos da sua aprendizagem ...................................................................................... 77Você se lembra? .............................................................................................................. 77Introdução ....................................................................................................................... 784.1 Sistema de amortização constante – Tabela SAC ................................................... 784.2 Sistema de amortização francês – tabela price ....................................................... 824.3 Sistema de amortização americano – tabela saa ...................................................... 884.4 Sistema de Amortização Misto (SAM) .................................................................... 904.5 Comparação entre os métodos SAC, SAF e SAM ................................................... 93Atividades ....................................................................................................................... 93Leitura recomendada ....................................................................................................... 94Referências ...................................................................................................................... 94No próximo capítulo ....................................................................................................... 94Capítulo 5: Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback ................................. 95Objetivos da sua aprendizagem ...................................................................................... 95Você se lembra? .............................................................................................................. 95Introdução ....................................................................................................................... 965.1 Payback .................................................................................................................... 975.2 Valor presente líquido (VPL) ................................................................................. 1025.3 Taxa interna de retorno (tir) ................................................................................... 106Atividades ..................................................................................................................... 108Reflexão ........................................................................................................................ 109Leitura recomendada ..................................................................................................... 109Referências .................................................................................................................... 110Gabarito ..........................................................................................................................111

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o Prezados(as) alunos(as)A Matemática Financeira tem como ob-

jetivo principal o estudo do valor do dinheiro no tempo. Além disso, esta disciplina visa mos-

trar ao aluno as formas de utilização da matemática financeira em transações empresariais e pessoais. Toda

empresa e pessoa necessitará, em algum momento, utilizar a matemática financeira para calcular taxas e valores no de-

correr do tempo e tomar suas decisões econômicas. Podemos então, usá-la de maneira simples e correta.

Muitos alunos e alunas sentem medo da matemática. Mas, aqui a sensação pode ser diferente. Temos duas opções: ou vamos odiar a

matemática financeira ou vamos aprender a gostar dela. Eu fico com a última opção.

E vocês? Vamos todos aprender a gosta da matemática e assim o aprendizado será prazeroso. Imagina que você descobrirá como os ban-cos cobram os juros. Irão saber se suas aplicações realmente são lucra-tivas economicamente. Aos comerciantes, entenderão como os bancos descontam seus títulos a receber etc. De forma interdisciplinar, a mate-mática calcula valores ($) e taxas (%) no decorrer do tempo. Assim, este material está dividido em cinco capítulos, além de um apên-dice com um manual básico da calculadora HP-12C.No primeiro capítulo são apresentados os regimes de capitalização sim-ples e composta e também suas utilizações e forma de cálculo. Neste ca-pítulo também são abordadas as taxas de juros referentes a cada regime de capitalização.

Se demorarmos em pagar uma dívida pagamos juros, já se antecipa-mos o pagamento temos direito a um desconto. No capítulo dois

são apresentadas as metodologias de desconto tanto no regime simples quanto no composto.

Já o terceiro capítulo aborda como devemos calcular as prestações de um financiamento, além dos planos de pou-

pança. Neste caso são apresentadas as série uniforme de pagamentos.

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O quarto capítulo traz os sistemas de amortização: Constante, Francês, Americano e Misto.E por fim, no capítulo cinco são apresentadas as ferramentas para análise de viabilidade dos projetos de investimentos, o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o payback.Muitos exercícios além de serem resolvidos algebricamente também são resolvidos com auxílio da calculadora financeira HP-12C, nos casos em que são possíveis.

Vale lembrar que a matemática financeira pode ser cursada com o uso da HP-12C. Para quem já a tem, ótimo. Para quem não a tem, é possível encon-trar vários emuladores gratuitos disponíveis na internet.

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Cap

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C Juros Simples e Juros

CompostosNeste primeiro capítulo aprenderemos

os conceitos iniciais relativos à Matemática Financeira. Será apresentado o conceito de valor

do dinheiro no tempo os dois regimes de capitaliza-ção, o regime de juros simples e o de juros compostos.

Também será demonstrado o comportamento das taxas de juros em cada regime de capitalização.

Objetivos da sua aprendizagem• Entender o mecanismo do cálculo dos juros simples;

• Construir um diagrama de fluxo de caixa;• Conhecer as taxas de juros empregadas no regime de capitalização

simples.• Conhecer a aplicação de juros compostos

• Calcular valores e taxas ao longo do tempo com juros compostos

Você se lembra?De algum dinheiro que pediu emprestado? Ou de ter emprestado algum dinheiro para alguém? Se sim, você teve que pagar algo em troca? Ou se emprestou dinheiro, cobrou algo de volta?Isso são os juros, que aprenderemos agora como é calculado no regime de juros simples e no regime de juros compostos que é o utilizado pelo mercado.

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IntroduçãoSegundo Kuhnen e Bauer (1996, p. 19), o objetivo principal da Ma-

temática Financeira é responder aos seguintes questionamentos:• Quanto receberei por uma aplicação de determinado valor no

final de n períodos?• Quanto deverei depositar periodicamente para atingir uma pou-

pança desejada?• Quanto vale hoje um título vencível no futuro?• Quanto deverei pagar mensalmente por um empréstimo?

As respostas para essas questões, assim como para diversas outras que também poderiam ser utilizadas como exemplo, são “valores datados, ou seja, uma receita ou desembolso acontecendo em determinada data. Dessa forma, empréstimos, financiamentos, descontos bancários, investi-mentos, transações comerciais a prazo, entre outros, são casos típicos de valores datados.

A importância desses valores e, consequentemente, da Matemática Financeira está intimamente ligada a um problema abordado no curso de Economia: a escassez dos recursos. As necessidades das pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja oferta é limitada. Considerando que o dinheiro (ou capital) é um recurso escasso e que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro, os indivíduos desejam uma recompensa por não consumir hoje (MATHIAS; GOMES, 1996).

É nesse contexto que os juros e as taxas de juros ganham relevância.

C.C Matemática Financeira e o VaCor do dinheiro no tempo

Se seu amigo lhe pedisse R$ 1.000,00 emprestados para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a 1 ano, você aceitaria a proposta?

Provavelmente você pensaria em algumas questões:– Será que eu consigo comprar as mesmas coisas com R$ 1.000,00 daqui a 1 ano?– Se eu permanecesse com o dinheiro, poderia aplicá-lo na pou-pança e assim ganharia juros durante todo este período!

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O juro é como uma compensação (alu-guel) que se paga pelo uso de determinado

valor em dinheiro. Combinado o prazo, valor e taxa, o tomador arcará com os custos do

capital e o investidor receberá a remuneração da aplicação (valor emprestado).

Por estar se privando do seu dinheiro, nada mais justo que você re-ceba algo em troca, ou seja, os juros!!

Assim, podemos observar que o dinheiro tem um custo associado ao tempo. Os juros podem ocorrer a partir de dois pontos de vista:

• De quem paga: é o custo do capital, ou seja, o custo por não ter dinheiro na hora para consumir ou quitar dívidas. Branco (2002) afirma que o juro caracteriza-se, em tese, pela reposição financeira das perdas sofridas com a desvalorização da moeda (a inflação), durante o tempo em que estes recursos estão em-prestados.

• De quem recebe: é a remuneração do capital empregado.

O tempo é uma variável importante para a Matemática Financeira. Existem duas for-mas básicas para considerar a evolução dos juros durante o tempo: o regime de capitalização simples e o regime de capitalização composta.

Além dos juros, devemos conhecer outros termos importan-tes dentro da Matemática Finan-ceira:

• Capital inicial (C) ou Valor Presente (VP) ou Present Value (PV): é o recur-so financeiro transacionado no iní-cio de uma determinda operação financeira, ou seja, é o valor do capital na data focal zero. A data focal zero é a data de início da operação financeira.

• Juros (J): como definido anteriormente, é o custo do capital. Os juros podem ser obtidos a partir de uma taxa de juros.

• Taxa de juros (i): simbolizado pela letra i, do inglês, interest rate, taxa de juros. A determinação da taxa de juro deve ser efi-ciente de forma a remunerar o risco envolvido na operação de empréstimo ou aplicação.

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Na calculadora HP-12C será usada a forma percentual, enquanto que nas operações algébricas serão usadas taxas unitárias.

A taxa pode ser representada em forma percentual ou unitária¸ e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, mês, etc.).

Exemplo 1.1:

i = 10 % ao mês = 10 % a.m = 10/100 = 0,10

Taxa unitáriaTaxa percentual

• Montante (M) ou Valor Futuro (VF) ou Fu-ture Value (FV): é a quantidade acumu-lada após um certo período de tempo, ou seja, é a soma do Capital (PV) mais o Juro (J).

FV = PV + J

Tempo ou período (n): corresponde à dura-ção (em dias, semanas, meses, anos, etc) da operação financeira

C.C.C Diagrama de FCuxo de CaixaO diagrama de fluxo de caixa é uma representação gráfica da movi-

mentação das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo, como pode ser visto na figura 1.1.

No diagrama é demostrado:• O tempo, na escala horizontal, que podem ser meses, anos, se-

mestres, etc.• As entradas de dinheiro (recebimentos), que têm sinal positivo

e são representadas por setas apontadas para cima.• As saídas de dinheiro (pagamentos, que têm sinal negativo e

são representadas por setas apontadas para baixo.

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O objetivo da Matemática Financeira écalcular valores ($) e taxas (%) ao longo do tempo

Em Matemática Financeira: “Tudo é fluxo”

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$ $ Entradas

Saídas

Figura 1.1 – Diagrama de fluxo de caixa

Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mes-ma coisa. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por determinado tempo requer um sacrifício, que deve ser pago por meio de uma recom-pensa (juros). Dessa forma, os juros efetivamente induzem o adiamento do consumo, o que permite a formação de poupança e novos investimen-tos na economia.

O valor da taxa a ser cobrada em determinada operação financeira, segundo Assaf Neto (2003), será determinada pela soma de fatores de ris-co de cada tomador de empréstimo, ou seja:

• O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), repre-sentado genericamente pela incerteza com relação ao futuro.

• A perda do poder de compra de capital motivada pela inflação. A inflação é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo valor em dinheiro.

• O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportu-nidades de investimento e definido por custo de oportunidade.

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O quadro seguinte apresenta alguns exemplos de taxas de juros existentes no Brasil:

Taxa Sigla Descrição

Taxa Referen-cial de Juros TR

• Apurada e divulgada mensalmente pelo Banco Central.

• Cálculo: regras próprias que levam em consideração as taxas prefixa-das de juros praticadas pelos maiores bancos na colocação de títulos de sua emissão.

• Utilizada como um indexador em diversos contratos de financiamento e em aplicações financeiras (ex.: caderneta de poupança).

• Importância: sinaliza para o mercado o comportamento das demais taxas de juros.

Taxa Financeira Básica TBF

• Apurada e divulgada periodicamente pelo Banco Central.

• Cálculo: regras próprias que levam em consideração os rendimentos médios mensais oferecidos pelos CDBs de 30 dias.

• Taxa futura de juros dos títulos de renda fixa do mercado financeiro nacional.

• Importância: transmite aos agentes uma idéia sobre o comportamento dos juros previstos para os próximos 30 dias.

Taxa do Banco Central TBC

• Apurada e divulgada mensalmente pelo Banco Central.

• Formada livremente nos mercados (resultado das forças de oferta e demanda de recursos).

• Importância: referencia o nível mínimo dos juros nas operações de open market e para o mercado financeiro de uma maneira geral.

Taxa de Assistência do Banco Central

TBAN

• Apurada e divulgada periodicamente pelo Banco Central.

• Aplicada ao mercado aberto.

• Cálculo: estabelecida pelo Comitê de Política Monetária (Copom).

• Importância: percentual máximo a ser adotado como referência em ope-rações de compra e de venda de títulos públicos pelo Banco Central.

Taxa de Juros de Longo Prazo

TJLP

• Apurada e divulgada trimestralmente pelo Banco Central.

• Taxa de juros aplicada, preferencialmente, em operações de longo prazo.

• Cálculo: regras próprias que levam em conta as taxas de juros dos títulos da dívida externa e interna do Brasil.

• Importância: remunera, entre outros, os recursos do PIS/PASEP e do Fundo de Amparo do Trabalhador (FAT); principal fator de correção das linhas de financiamento geridas pelo BNDES.

Quadro 1.1 – Brasil: exemplos de taxas de jurosFonte: Assaf Neto (2008).

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As diferentes taxas de juros existentes na economia apresentam, ao longo do tempo, a mesma tendência de variação.

C.2 InfCaçãoO processo inflacionário é o aumento ge-

neralizado dos preços dos vários bens e servi-ços. Para Padoveze (2007) inflação representa aumentos nos preços que reduz o poder aquisi-tivo da moeda. Por isso, a finalidade da correção monetária é proteger os ativos dos efeitos negati-vos da inflação.

Existem diversos índices de inflação. IPA e IGPM, ambos da FGV IPC da FIPE-USP. INPC e IPCA, ambos do IBGE. O oficial no Brasil é o IPCA.

Inflação acumuladaSe desejarmos encontrar a inflação acumulada de um determinado

período não podemos simplesmente somar as taxas, mas sim somamos um a cada taxa e multiplicamos. Vejamos a fórmula:

Iac = (1 + I1) × (1 + I2)... –1

Vejamos o exemplo:

Exemplo 1.1: Considere 5%, 3%, 2%, 5%, 4%, 7% respectivamen-te, as taxas de inflação para seis primeiros meses de um ano e um ativo de R$1.000,00 no início desse mesmo ano. Pede-se:

a) Qual o valor do bem corrigido no final dos seis meses?b) Qual a inflação acumulada no final dos seis meses?

Resolução: a) valor corrigido do bem:

1º mês: R$ 1.000,00 x 1,05 = R$ 1.050,002º mês: R$ 1.050,00 x 1,03 = R$ 1.081,503º mês: R$ 1.081,50 x 1,02 = R$ 1.103,134º mês: R$ 1.103,13 x 1,05 = R$ 1.158,285º mês: R$ 1.158,28 x 1,04 = R$ 1.204,616º mês: R$ 1.204,61 x 1,07 = R$ 1.288,94

Conexão:

Olhe no seguinte site http://www.ipeadata.gov.

br e verifique os índices de inflação.

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Incremento no valor do ativo no trimestre:

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1 0001 1 28894 1 0 28894 100 28 894

. ,

., , , %− = − = × =

b) Taxa de inflação acumulada(1,05 × 1,03 × 1,02 × 1,05 × 1,04 × 1,07) –1 = 0,28894 x 100 = 28,894%

Exemplo 1.2: Em um determinado trimestre são apresentadas as seguintes taxas mensais de variações de preços gerais da economia: 5,4%; - 1,2% (deflação); e 3,8% Determine a taxa de inflação acumulada do tri-mestre.

Resolução: I (trim.) = [(1 + 0,054) x (1 – 0,012) x (1 + 0,038)] – 1I (trim.) = [(1,054) x (0,988) x (1,038)] – 1I (trim.) = 0,08092 x 100 = 8,092% a.t.

C.3 Juros SimpCesO primeiro regime de capitalização que iremos aprender é o regime

de capitalização simples, ou simplesmente, regime de juros simples.Nos juros simples, o dinheiro cresce linearmente ou em progressão

aritmética com o passar do tempo, pois os juros de cada período são sem-pre calculados sobre o valor inicial, não havendo incidência de juros sobre juros.

Para entendermos melhor, vamos ver o seguinte exemplo:

Exemplo 1.3 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100 no Banco do Futuro, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 10 % ao mês, no regi-me de juros simples. Determinar o saldo final acumulado nesta aplicação.

Resolução:

Mês Cálculo dos Juros mensais Juros mensais Saldo final 1 $ 100 × 10 % = $ 10 $ 1102 $ 100 × 10 % = $ 10 $ 1203 $ 100 × 10 % = $ 10 $ 130

Tabela 1.1: Cálculo Juros Simples

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Baseado neste exemplo, podemos chegar na fórmula dos juros simples:J = PV × i × nSendo que:J = jurosPV = valor presentei = taxa de jurosn = número de períodos

Neste exemplo, os juros de cada mês foi R$ 1,00, totalizando no final de três meses, R$ 30,00. Assim, podemos concluir que a pessoa irá resgatar R$ 130,00.

FV = 100 + 30 = 130

A partir do raciocínio que desenvolveremos a seguir, podemos criar outra fórmula para realizarmos o cálculo do montante.

Substituindo a fórmula básica dos juros na fórmula do montante co-locando PV em evidência teremos:

FV = PV + J J = PV x i x nsubstituindo

Fazendo a substituição chegaremos à seguinte expressão:FV = PV + (PV × i × n)Depois simplificando, chegaremos a fórmula do montante:FV= PV x (1+i x n)

Agora vamos calcular o valor futuro (FV) do exemplo 1.2 com esta nova fórmula:

Resolução: FV = PV × (1 + i × n)FV = 100 × (1 + 0,10 × 3)FV = 100 × (1 + 0,30)FV = 100 × (1,30)FV = 130

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Faremos mais alguns exemplos de aplicação dos juros simples.

Exemplo 1.4 – Determine o juros obtido a partir de um capital de R$ 2.350,00 durante 8 meses com uma taxa de 3 % ao mês, no regime de juros simples.

J = PV × i × nJ = 2.350 × 0,03 × 8J = 564

Na HP – 12C:f Reg (para limpar)2350 CHS PV240 n36 i(f) INTVisor = > $ 564

Resolução:PV = R$ 2.350,00i = 3 % a.m. = 3/100 = 0,03n = 8 mesesJ= ?

Resposta: O juro obtido é de R$ 564,00.

É importante observar que a taxa (i) e o tempo (n) devem estar na mesma unidade de tempo. Neste exemplo, a taxa está em mês e o tempo também esta na mesma unidade. Já para resolvermos exercícios de juros simples na HP – 12C, a taxa deve estar expressa em ao ano e o tempo em dias!! Para maiores detalhes, leia o apêndice sobre a calculadora HP-12C.

Exemplo 1.5 – Determinar o valor do montante acumulado em 1 ano, a partir de um principal de $ 100.000 aplicado com uma taxa de 24 % ao ano, no regime de juros simples.

FV = PV × (1 + i × n)FV = 100.000 × (1 + 0,24 × 1)FV = 100.000 × (1 + 0,24)FV = 124.000

Na HP – 12C:f Reg (para limpar)100.000 CHS PV360 n24 i(f) INTVisor = > 24.000100.000 (+)Visor = > 124.000

Resolução:PV = $ 100.000i = 24 % a.a. = 24/100 = 0,24n = 12 meses = 1 anoFV= ?

Resposta: O valor do montante acumulado é de R$ 124.000,00.

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C.3.C Taxa proporcionaC e equivaCente no regime de juros simpCes

Uma operação financeira envolve dois prazos: (I) o prazo a que re-fere à taxa de juro e (II) o prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. Até o momento, foram apresentadas fórmulas e utilizados exemplos em que esses prazos coincidem. Mas na prática isso pode não acontecer. Em inúmeras operações financeiras um capital pode ser aplicado por 15 dias em uma operação com taxa de juro expressa em meses ou em anos.

Exemplo 1.6 – Calcular os montantes acumulados no final de 1 ano, a partir de um capital inicial de R$ 100,00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros:

a) 1 % ao mêsb) 6 % ao semestrec) 12 % ao anoResolução:

a) PV = $ 100 FV = PV × (1 + i × n)i = 1 % a.m. = 1/100 = 0,01 FV = PV × (1 + 0,01 × 12)n = 1 ano = 12 meses FV = 100 × (1 + 0,12)FV= ? FV = 112

b) PV = $ 100 FV = PV × (1 + i × n)i = 6 % a.sem. = 6/100 = 0,06 FV = PV × (1 + 0,06 × 2)n = 1 ano = 2 semestres FV = 100 × (1 + 0,12)FV= ? FV = 112

c) PV = $ 100 FV = PV × (1 + i × n)i = 12 % a.a. = 12/100 = 0,12 FV = PV × (1 + 0,12 × 1)n = 1 ano FV = 100 × (1 + 0,12)FV= ? FV = 112

Neste exemplo foi aplicado R$ 100,00 durante o prazo de um ano e só mudamos a taxa de juros. Após realizados os cálculos, podemos obser-var que chegamos ao mesmo resultado. Assim podemos definir estas taxas como sendo equivalentes.

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As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juros. No regime de juros simples, as taxas proporcionais e taxas equiva-lentes são consideradas a mesma coisa, isto se deve à linearidade implícita à este regime (ASSAF NETO, 2008).

Por exemplo:A taxa de juros simples anual proporcional de 1% a.m. é 12% a.a.A taxa de juros simples mensal proporcional de 12% a.a. é 1% a.m.A taxa de juros simples semestral proporcional de 1% a.m. é 6% a.s.A taxa de juros simples semestral proporcional de 12% a.a. é 6% a.s.E assim por diante...

A taxa equivalente seria a continuação do raciocínio da taxa propor-cional (MATHIAS; GOMES, 1996).

Aplicar $1.000 durante um ano a taxa de 1% a.m. gera o mesmo va-lor de juros aplicado a uma taxa de 12% a.a. ou 6% a.s.

Por exemplo, se temos uma taxa anual, dividimos por 12 para encontrar a respectiva taxa mensal. Assim, 12 % a.a. equivale a 1 % a.m. (12% ÷12).

Se temos uma taxa semestral, multiplicamos por 2 para encontrar a equivalente anual. Deste modo, 6 % ao semestre, equivale a 12 % ao ano (6 % × 2) → em 1 ano tem 2 semestres.

É muito comum em operações de curto prazo termos o prazo defini-do em número de dias. Nestes casos, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: tempo exato e tempo comercial:

• Para cálculo do tempo exato, utilizamos o calendário do ano civil (365 dias) → o juro apurado desta forma é chamado de juro exato.

• Para cálculo do juro comercial, admitimos o mês com 30 dias e o ano com 360 dias → o juro apurado desta forma é chamado de juro comercial.

Nos exercícios deste material, utilizaremos sempre o conceito de juro comercial.

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Exemplo 1.7 – Calcular a taxa mensal proporcional a:c) 36% a.a.d) 10% a.b. (ao bimestre)e) 24% a.s. (ao semestre)f) 15% a.t. (ao trimestre)g) 9% a.q. (ao quadrimeste)

Resolução:

a) 36

123

%%= d) 15

35

%%=

b) 10

25

%%= e) 9

42 25

%, %=

c) 24

64

%%=

Agora aplicaremos o conceito de taxa equivalente e proporcional aos conceitos de juros simples

Exemplo 1.8 – Qual é a taxa diária de juros simples ganha por uma aplicação de R$ 1.300,00 que produz após um ano um montante de R$ 1.750,00?

Resposta: A taxa de juros ganha na aplicação é de 0,0962% ao dia.

Exemplo 1.9 – Um produto que a vista custa R$ 300,00 pode ser com-prado com uma entrada de R$ 80,00 e mais um pagamento de R$ 250,00 para daqui a 1 mês. Encontre a taxa de juros simples cobrada nesta operação.

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Resolução:Valor à vista = $ 300 = > como o comprador irá dar $ 80 de entrada,

financiará somente o restante = > $300 – $80 = $ 220 = > este valor será o PV (valor inicial do financiamento)

FV= $ 250 (valor final que a loja irá cobrar do cliente após 1 mês) n = 1 mêsi = ?

Resposta: A taxa de juros cobrada na operação é 13,64% ao mês.Equivalência de capitaisTemos um conceito importante dentro da Matemática Financeira.

Quando dois ou mais capitais com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, a certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum.

Como exemplo, R$ 112, 00 vencíveis daqui a dois anos e $ 100, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 12 % ao ano, ou seja, R$100, 00 na data de hoje equivale a R$ 124, 00 daqui a dois ano se considerarmos a taxa de juros simples de 12 % ao ano.

$

$

01 2

FV = 100 x (1 + 0,12 x 2)

PV = 124 (1 + 0,12 x 2)

Quando falamos em equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não podem ser fracionados sob a pena

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de alterar os resultados. Neste exemplo que acabamos de resolver, não poderia ser calculado o montante (FV) ao final do primeiro ano e, depois calculado o montante do segundo ano. Resolvendo o exercício desta ma-neira acaba ocorrendo o famoso “juros sobre juros”, pratica não adotada no regime de juros simples.

Dois capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o mesmo resultado na mesma escolhida pelo critério de juros simples.

Exemplo 1.10 – Um comerciante possui uma dívida composta de 2 pagamentos no valor de R$ 2.000,00 e R$ 2.500,00, vencíveis em 30 e 60 dias, respectivamente. O comerciante deseja liquidar estes valores em um único pagamento daqui a 150 dias. Sabe-se que ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 5 % ao mês, qual o valor que o comerciante irá pagar?

Resolução: O problema é melhor visualizado se elaborarmos um diagrama de fluxo de caixa, onde convencionou-se representar a dívida proposta na parte superior, e a dívida original na parte inferior. Também foram transformados os prazos de pagamentos para meses.

O diagrama representa a substituição de uma proposta, por outra equivalente. Então, iremos igualar os pagamentos na data escolhida pelo comerciante (data 5 → 150 dias).

Para resolvermos o exercício, faremos duas contas, pois em Matemá-tica Financeira não podemos somar valores em datas diferentes. À dívida de R$ 2.000 acrescentaremos quatro meses de juros (da data 1 até chegar na data 5 se passarão 4 meses). E à dívida de R$ 2.500,00 acrescentaremos três meses de juros (da data 2 até chegar na data 5 se passarão 3 meses).

0 1 2

3 4 5

?

$ 2.000 $ 2.500

Dívidaproposta

Dívidaoriginal

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Dívida do mês 1 Dívida do mês 2PV = $ 2.000 PV = $ 2.500n = 4 meses n = 3 mesesi = 5 % a.m. = 5/100 = 0,05 i = 5 % a.m. = 5/100 = 0,05

FV = PV + (1 × i × n)FV = [2.000 (1 + 0,05 × 4)] + [2.500 × (1 + 0,05 × 3)]FV = [2.000 (1 + 0,20)] + [2.500 × (1 + 0,15)]FV = [2.000 × 1,20)] + [2.500 × 1,15]FV = 2.400 + 2850FV = 5.275

Resposta: O valor da dívida a ser paga pelo comerciante daqui a 150 dias é de R$ 5.275,00.

C.4 Juros CompostosNo regime de capitalização composta, ou regime de juros compos-

tos, o cálculo dos juros ocorre sempre de forma cumulativa, ou seja, os juros gerados em cada período são incorporados ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante passará a render juros no período seguinte formando um novo montante.

Para visualizarmos como se dá a capitalização nos juros compostos, vamos utilizar os mesmos dados do exemplo que fizemos no item de juros simples só que agora faremos o cálculo a juros compostos:

Exemplo 1.11 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100 no Ban-co do Futuro, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 10 % ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o saldo final acumulado nesta aplicação.

Demonstraremos a resolução do exercício passo a passo:

Mês Cálculo dos Juros mensais Valor do Montante 1 $ 100 × (1+0,10) = $ 1102 $ 110 × (1+0,10) = $ 1213 $ 121 × (1+0,10) = $ 133,10

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Este cálculo também pode ser resolvido da seguinte maneira:

1.000 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) = 133,10

Observe que o valor inicial de R$ 100,00 foi multiplicado pelo fator três vezes, assim, podemos escrever a resolução da seguinte maneira:

100 x (1 + 0,10)3 = 133,10

Diferentemente dos juros simples, nos juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente ou em progressão geométrica com o passar do tempo. Teremos então, a fórmula para os juros compostos como:

FV = PV x (1 + i)n

Onde:J = jurosPV ou C = valor presente ou capital iniciali = taxa de jurosn = número de períodosFV ou M = valor futuro ou montante final

Veja a solução pela calculadora HP-12C:A função [f] [FIN] apaga somente os registros das memórias financeiras e não apa-ga o visor.A função [f] [REG] apaga todos os registros armazenados nas memórias da HP-12C e também o visor.

Calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C, fazem os cálculos de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do mon-tante. Apesar de ainda não termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula.

Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas calculadoras financeiras, onde o PV e FV devem ser inseridos com sinais opostos, indicando as saídas e entradas de caixa. Lembre-se disso sempre!

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Na HP a resolução ficará assim:

Na HP-12C:

f Reg (para limpar)

100 CHS PV

10 i

3n

FV

visor ⇒ 133,10

Exemplo 1.12 – Qual o valor do juro correspondente a um emprés-timo de R$ 78.000, pelo prazo de 7 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3 % ao mês.

Resolução: Primeiro calcularemos o valor futuro (FV) para depois encontrarmos os juros

PV = $ 78.000n = 7 mesesi = 3 % a.m. = 3/100 = 0,03FV =?J = ?

FV = PV x (1 + i)n

FV = 78.000 x (1 + 0,03)7

FV = 78.000 x (1,03)7

FV = 78.000 x (1,229874)

FV = 95.930,16

J = FV – PV

J = 95.930,16 – 78000

J = 17.930,16

Na HP-12C:

f Reg (para limpar)

78.00 CHS PV

3 i

7 n

FV

visor ⇒ 95.930,16

78.000 [–]

visor ⇒ 17.930,16

Resposta: O valor dos juros pagos deste empréstimo é de R$ 17.930,16.

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Exemplo 1.13 – Calcular o valor do depósito que devemos fazer hoje para poder retirar R$ 100.000,00 num prazo de 3 anos sabendo que a taxa de juros é de 15 % ao ano.

Resolução:FV = $ 100.000n = 3 anosi = 15 % a.a. = 15/100 = 0,15FV =?

FV PV x l i

PV x

PV x

n= +( )= +( )= ( )=

100 000 1 0 15

100 000 1 15

100 000

3

3

. ,

. ,

. PPV x

FV

FV

1 520875

100 000

1 520875

65 751 62

,

.

,

. ,

( )

=

=

Na HP-12C:

f Reg (para limpar)

100.000 CHS FV

15 i

3 n

PV

visor ⇒ 65.751,62Resposta: O valor a ser depositado é R$ 65.751,62.

Exemplo 1.14 – Fernanda gostaria de comprar uma casa no valor de R$ 200.000,00. Por não ter este valor no ato da compra, propôs ao dono quitá-la por R$ 212.304,00 só que daqui a 6 meses. Qual a taxa de juros embutida na proposta?

Resposta: A taxa de juros embutida na proposta é de 1 % ao mês.

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Exemplo 1.15 – Uma aplicação de R$ 27.000 efetuada em determi-nada data produz, à taxa composta de juros de 3,4 % ao mês, um montante de R$ 34.119,88 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.

Resposta: O prazo da operação é de 7 meses.

A calculadora HP-12C pode arredondar o tempo. Isso sempre ocorre quando o valor encontrado for fracionado. A HP-12C irá arredondar o valor para o inteiro superior.

C.5 Taxas de Juros

C.5.C Taxa equivaCente no regime de juros compostosAs taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um

mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem os mesmos juros.

No regime de juros simples vimos que 1 % ao mês é proporcional a 12 % ao ano. Isto quer dizer que, se aplicarmos um capital durante 12 meses a uma taxa de 1 % ao mês, é equivalente a aplicarmos o mesmo capital, durante o mesmo período só que a 12% ao ano, ou seja, no final obteremos o mesmo montante.

Já em juros compostos não podemos fazer este tipo de transforma-ção, pois os juros são calculados de forma exponencial. Veja o exemplo a seguir:

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Exemplo 1.16 - Calcular os montantes acumulados no final de 1 ano, a partir de um capital inicial de R$ 100,00, no regime de juros com-postos, com as seguintes taxas de juros:

a) 1 % ao mêsb) 12,6825 % ao ano

FV = PV x (1 + i)n

FV = 100 x (1 + 0,01)12

FV = 100 x (1,01)12

FV = 100 x (1,126825)FV = 112,6862

Na HP-12C:f Fin (para limpar)100 CHS PV1 i12 nFVvisor ⇒ 112,6825

a) PV = $ 100i = 1 % a.m. = 1/100 = 0,01 n = 1 ano = 12 mesesFV = ?

Resolução

FV = PV x (1 + i)n

FV = 100 x (1 + 0,126825)1

FV = 100 x (1,126825)1

FV = 100 x (1,126825)FV = 112,6825

Na HP-12C:f Fin (para limpar)100 CHS PV12,6825 i1 nFVvisor ⇒ 112,6825

b)PV = $ 100i = 12,6825 % a.a. = 12,6825/100 = 0,126825n = 1 ano FV= ?

Resolução

O montante acumulado na alternativa a e na alternativa b é R$ 112,68, ou seja,o mesmo capital (R$ 100,00) aplicado durante um mesmo período (12 meses e 1 ano), mas as taxas de juros em unidades de tempo diferen-tes (1 % ao mês e 12,6825% ao ano) produziram o mesmo montante. Isto ocorreu porque as taxas são equivalentes.

Mas como fazer essa transformação? Como encontrar a taxa equiva-lente anual de uma taxa mensal no regime de juros compostos?

Consideraremos as duas situações do exemplo anterior:a) Taxa mensal = 1% ao mês

FV = PV x (1+im)12

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b) Taxa anual = ?

FV = PV x (1+ia)1

Para que as taxas sejam equivalentes, é preciso que os montantes (FV) dos dois casos sejam iguais. Como o PV também é o mesmo, pode-mos eliminá-lo.

Igualando as equações chegamos a expressão abaixo:

(1 + ia)1 = (1 + im)12

Agora calcularemos a taxa anual (ia) equivalente a uma taxa mensal (im) de 1% ao mês

(1 + ia)1 = (1 + 1m)12

1 + ia = (1 + 0,01)12

ia = (1,01)12 – 1ia = 1,126825 – 1ia = 0,126825 x 100 = 12,6825% ao ano

Também podemos utilizar uma fórmula genérica:

i iq

quero

tenho= +( )

−1 1

Sendo que:iq = taxa equivalente a iquero = período da taxa que eu querotenho = período da taxa que eu tenho

Exemplo 1.17 – Qual a taxa equivalente composta anual de uma taxa de 1 % ao mês?

Resolução: Período da taxa que eu tenho = 1 mêsPeríodo da taxa que eu quero = 1 ano = 12 meses

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i

i

q

q

q

q

= +( )

= ( )

= −

=

1 0 01 1

1 01 1

1 126825 1

0 1

12

1

12

,

,

,

, 226825

0 126825 100 12 6825i x ao anoq = =, , %

C.5.2 Taxa efetivaTaxa efetiva (ief) informa sobre a real remuneração (ou custo) da

operação durante todo o período. Por Exemplo, R$ 1.000,00 aplicados a uma taxa de juros de 1% ao ano (regime composto), depois de 10 anos, geraram um montante igual a R$ 1.104,62. Qual foi a remuneração real (taxa efetiva) obtida nessa operação financeira? Essa questão pode ser res-pondida de duas maneiras:

• pode ser calculado quanto o capital inicial aumentou durante o perío-do em que ficou aplicado na operação:

FV PV

PV

−=

−=

1 104 62 1 000

1 0000 1046

. , .

.,

Portanto, ief = 10,46%.• pode-se encontrar a taxa de juro por década que, sendo aplicados os

R$ 1.000,00 (PV), gera R$ 1.104,62 (FV) em 1 década (n):

FV PV i

i

i

n= × +( )= × +( )

= +( )

1

1 104 62 1 000 1

1 104 62

1 0001

1 104

1

1

. , .

. ,

.

, 662 1

1 10462 1

0 1046

= +( )= −=

i

i

i

,

,

Portanto, ief = 10,46%.

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Esse Exemplo deixa claro que a taxa efetiva resulta do processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. Genericamente, uma taxa efetiva pode ser calculada por meio da fórmula a seguir: ief = (1 + i)n – 1

C.5.3 Taxa nominaC ou “de mentirinha”

Uma taxa nominal bastante conhecida no mercado é a taxa de juros da caderneta poupança, que rende 6% ao ano, capitalizada mensal-mente. A expressão capitalizada mensalmente indica tratar-se de uma taxa nominal (BRUNI; FAMÁ, 2007).

Conexão:Para saber mais sobre a taxa de juros da caderneta de poupança, acesse: http://

www4.bcb.gov.br/pec/poupanca/poupanca.asp

Também são exemplos de taxas nominais:• 18% ao ano, capitalizados mensalmente• 12% ao ano, capitalizados semestralmente• 3,6% ao ano, capitalizados diariamente.

Mas e a “taxa de mentirinha” que inicia este tópico?

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não indica uma taxa efetiva. Toda taxa nominal traz uma taxa efetiva implícita e é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples (PUCCINI, 2004).

Encontraremos então, as taxas que incidirão em cada operação, uti-lizando os mesmos exemplos anteriores:

• 18% ao ano, capitalizados mensalmente:

18

121 5

% ., % .

a a

mesesa m=

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• 12% ao ano, capitalizados semestralmente:

24

212

%% .

ao ano

semestresa s=

• 3,6% ao ano, capitalizados diariamente:

3 6

3600 01

, % .,

a a

diasao dia=

Nas operações financeiras, as taxas aplicadas serão as que acabamos de encontrar, mas se quisermos calcular a taxa que efetivamente foi co-brada, seguiremos os conceitos de juros compostos. Vejamos o exemplo a seguir:

Exemplo 1.18: Qual a taxa efetiva anual, no sistema de juros com-postos, equivalente a uma taxa nominal de 18% ao ano, capitalizada men-salmente?

1 12

1818

12

ano meses

i ao ano

=

= =% capitalizado mensalmente = 1,55% ao mês

quanto tenho = ao mês = 1 mês

quanto quero = ao anno = 12 meses

i = 1 1

1 0 0151

+( ) −

= +( )

i

i

quanto quero

quanto tenho

,22

1

12

1

1 015 1

1 1956 6

0 1956 100 19 56

= ( ) −= −= =

i

i

i x

,

,

, , % ao ano

Podemos concluir com este exemplo, que se a taxa estipulada em um contrato fosse de 18% ao ano, capitalizada mensalmente ela efetiva-mente corresponde a uma taxa de 19,56% ao ano, ou seja, a primeira taxa, é uma taxa “de mentirinha”!!

Tente fazer encontrar taxa efetiva anual, no sistema de juros com-postos, equivalente a uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizada mensalmente.

Faça este cálculo e veja que resultado encontrará. Você irá se sur-preender!!!

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C.5.4 Taxa nominaC e taxa reaC

A taxa nominal de juros é aquela adotada normalmente nas opera-ções correntes de mercado, incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação. Já a taxa real é a taxa que reflete realmente os juros que foram pagos ou recebidos (ASSAF NETO, 2008).

Assim, podemos encontrar a taxa real através da seguinte fórmula:

Taxa reali

i=

++

−1

11

Sendo que:i = taxa nominalI = taxa real

Se você aplica e ganha 5% a.a. e a inflação foi de 5,9% a.a., isso significa que a redução no poder aquisitivo da moeda foi maior que a rentabilidade de sua aplicação.

E se ganhar 7% a.a., com inflação de 10% ?

Vejamos os exemplos:Exemplo 1.19: A remuneração de R$ 100,00 em determinado título

atingiu 12,8% num período e a inflação foi de 9,2%. Qual foi o ganho no-minal? Qual foi a taxa e o ganho real?

Ganho nominal = R$ 100 x 12,80% = R$ 12,80

Taxa reali

I

Taxa real

Taxa real

=++

=++

=

1

11

1 0 128

1 0 0921

1 128

1

,

,

,

,00921

1 0329 1

0 0329 1

0 329 100

= −= −=

Taxa real

Taxa real

Taxa real x

,

,

,

TTaxa real = 3 29, %

Ganho real = R$ 100 x 3,29% = R$ 3,29

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Exemplo 1.20: Uma pessoa aplicou R$ 400.000,00 num título por 3 meses à taxa nominal de 6,5% ao trimestre e inflação de 4% ao trimestre. Qual foi a taxa real trimestral e mensal?

Taxa reali

I

Taxa real

Taxa real

=++

=++

=

1

11

1 0 065

1 0 041

1 065

1 0

,

,

,

, 441

1 024038 1

0 02438 100

2 40

= −==

Taxa real

Taxa real x

Taxa real

,

,

, %

Taxa equivalente mensal

iq i

iq

iq

iq x

quero

tenho= +( ) −

= ( ) −

= −=

1 1

1 024 1

1 0079 1

0 0079 100

1

3,

,

, == 0 79, % ao mês

C.6 TCtuCos de renda fixaOs títulos de renda fixa têm os rendimentos fixados desde o mo-

mento inicial da operação. Esses títulos são emitidos normalmente por instituições financeiras, sociedades por ações, governos e negociados com os poupadores em geral.

Os títulos de renda fixa mais negociados no mercado financeiro são os certificados e os recibos de depósitos bancários (CDB e RDB), os debêntures e as letras de câmbio. Os certificados/recibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras com o objetivo de captar recursos para suas operações de empréstimos. O CDB pode ser negociado no mercado via endosso e o RDB é intransferível (ASSAF NETO, 2008).

Conexão:

No site do Banco Central, você encontra as res-postas para as perguntas mais

frequentes acerca de aplicações financeiras: http://www.bcb.gov.br/

pre/bc_atende/port/aplica.asp

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Os títulos de renda fixa podem ser resumidos com o seguinte quadro:

Títulos de renda fixaPré-fixados Pós-fixados

rendimento final

rendimento periódico

rendimento final

rendimento periódico

Nos pré-fixados, há somente as taxas de juros nominais, enquanto no pós-fixado existem taxas de juros definidas mais uma parte variável que acompanha algum índice de inflação

Os símbolos que serão utilizados para trabalharmos com as opera-ções de títulos de renda fixa terão algumas novidades além do que já foi apresentado neste material. Assim, tem-se que:

PV = valor da aplicação (capital)FV = valor de resgate (montante)ib = taxa nominal bruta (antes do IL)iL = taxa líquida (após dedução do IR)IR = valor do imposto de renda

Agora veremos um exemplos de negociação de título de renda fixa:Exemplo 1.21 – Um título é emitido pelo valor de $10.000,00 e

resgatado por $11.200,00 ao final de um semestre. Determine a taxa de rentabilidade mensal líquida desse título, admitindo:

a) alíquota de 20% de IR pago por ocasião do resgate; b) alíquota de 9% de IR na fonte pago no momento da aplicaçãoResolução:a) Valor bruto do resgate = $11.200 (FV) ( - ) Valor de aplicação = ($10.000) (PV)( = ) Rendimento bruto = $1.200IR: 20%×$1.200 = ($240)( = ) Rendimento líquido = $960

Como o IR é pago no momento de resgate, temos o seguinte fluxo de caixa:

$11.200,00 – $240,00

$10.000,00

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iLFV IR

iL

iL a s

= − −

= −

=

PV nominal

$10.000

1

10 9601

0 096

$ .

, . .

Encontrando a taxa equivalente mensal:

i

i

i

i

q

q

q

= +( )

= ( )

= −

1 0 096 1

1 096 1

1 0154 1

1

6

0 166667

,

,

,

,

qq aomês= × =0 0154 1 1 54, , %00

Solução na HP-12 C

Teclas

f FIN f REG

1,096 ENTER

6 1x yx

1 <–>

100 <x>

Visor

0,00

1,10

1,02

0,02

1,54

Significado

Limpa registradores

Taxa efetiva

Fator de atualização

Taxa unitária

Taxa percentual

b) Valor bruto do resgate = $11.200( – ) Valor de aplicação = ($10.000)( = ) Rendimento bruto = $1.200IR: 9%*$1.200 = ($108)( = ) Rendimento líquido = $1.092

Como o IR é pago no momento de resgate, o total aplicado no título se eleva de R$ 10.000 para R$ 10.108. Assim, temos o seguinte fluxo de caixa:

$11.200,00

$10.000,00 + $108,00

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iFV

PV IR

i

i

i aosemestr

L

L

L

L

=+

=+

==

1

11 200

10 000 1081

0 108

10 8

.

.

,

, % ee Encontrando a taxa equivalente mensal:

i

i

i

q

q

q

= +( )

= ( )

= −

1 0 1080 1

1 1080 1

1 0172

1

6

0 166667

,

,

,

,

11

0 0172 1 1 72i aomêsq = × =, , %00

Solução na HP-12 C

Teclas

f FIN f REG

1,108 ENTER

6 1x yx

1 <–>

100 <x>

Visor

0,00

1,11

1,02

0,02

1,72

Significado

Limpa registradores

Taxa efetiva

Fator de atualização

Taxa unitária

Taxa percentual

Atividades01. Determinar o número de meses necessários para um capital dobrar de valor, a uma taxa de 2,5% ao mês, no regime de juros simples.

02. Qual é a taxa mensal de juros simples ganha por uma aplicação de R$ 12.000,00 que produz, após um ano, um montante de R$ 17.750,00?

03. Uma loja de eletrodomésticos tem a seguinte condição para a compra de uma máquina de lavar:

• Preço à vista = R$ 2.000,00• Condições a prazo = 20% de entrada e R$ 1.750,00 em 30 dias.

Qual a taxa de juros simples mensal embutida na venda a prazo?

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04. Quero comprar uma bicicleta com um cheque pré-datado para 45 dias no valor de R$ 430,00. Sabendo que a loja cobra uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês, calcule o preço da bicicleta caso ela fosse adquirida à vista.

05. Um imposto no valor de R$ 245,00 está sendo pago com 2 meses de atraso. Se a prefeitura cobrar juros simples de 40,80% ao ano, sobre este valor, qual será o valor que a pessoa deverá pagar de juros?

06. Um capital inicial no valor de R$ 34.000,00 gerou um montante igual a R$ 57.300,00 após três anos. Calcule a taxa mensal da operação no regi-me de juros compostos.

07. Qual o número de meses necessários para que uma aplicação de R$ 6.000,00 produza juros no valor de R$ 1.800,00 se a taxa de juros compos-tos for de 4,5% ao mês?

08. Uma empresa solicita um empréstimo de R$ 75.000,00 a juros com-postos, à taxa composta de 30% ao ano. Qual o valor a ser pago após 3 anos?

09. Um banco lança um título pagando 4% a.m. Se uma pessoa necessitar de R$ 38.000,00 daqui a 5 anos, quanto ela deverá aplicar neste título?

10. Quanto Juliana obterá de juro, ao final de 2 anos, numa aplicação que rende 7,4% ao mês de juros compostos, efetuando hoje um depósito de R$ 6.000,00?

11. Um cliente do Banco do Futuro contraiu um empréstimo no valor de R$ 8.350,00 para ser pago daqui a 8 meses, mediante uma taxa de juros compostos igual a 88% ao ano. Quanto ele irá pagar no vencimento?

12. Encontre as taxas equivalentes compostas:a) 18% ao ano para ao semestre; b) 5% ao mês para ao trimestre;c) 36% ao ano para ao mês;d) 7% ao mês para ao semestre.

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RefCexãoNeste capítulo estudamos o regime de capitalização juros simples

e o regime de capitalização composta. Observou-se que, nesse regime, o juro incide somente sobre o capital inicial da operação financeira (apli-cação ou empréstimo), ou seja, não incide sobre o saldo dos juros acu-mulados. Apesar da facilidade dos cálculos, ele não é bastante difundido na prática. Nas operações financeiras (empréstimos, aplicações, financia-mentos etc.), o mais comum é a utilização do regime de juros compostos.

No regime de capitalização composta, ao contrário dos juros sim-ples, o capital inicial e os juros acumulados são capitalizados. Trata-se da forma de capitalização mais adotada em operações financeiras. Deve-se destacar que os conceitos analisados até o momento e o instrumental ma-temático desenvolvido podem ser considerados como a base para todo o estudo de Matemática Financeira – conforme ficará claro nos próximos capítulos.

Leituras recomendadas

PASCHOARELLI, R. V. A regra do jogo: descubra o que não querem que você saiba no jogo do dinheiro. São Paulo: Saraiva, 2006.

FOLHA ON LINE. Entenda a diferença entre os principais índices de inflação. 05 Dezembro 2008. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br/folha/dinheiro/ult91u465204.shtml. Acesso em: 03/04/2010.

Referências

ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, 2003.

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10 ed. São Paulo: Atlas, 2008.

BRANCO A.C.C. Matemática Financeira Aplicada: método algé-brico, HP-12C, Microsoft Excel®. São Paulo: Pioneira Thomson Lear-ning, 2002.

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KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira aplicada e análises de investimentos. 2ª ed. São Paulo, Atlas, 1996.

LAPPONI, J. C. Matemática financeira. 1ª ed. Rio de Janeiro, Cam-pus, 2006.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo, Atlas, 1996.

No próximo capCtuCoSe pedirmos um dinheiro emprestado prometendo pagar futuramen-

te, deveremos pagar o valor mais os juros acrescidos. Utilizando o raciocí-nio inverso, se anteciparmos o pagamento de uma dívida, teremos direito a um desconto. O desconto será o tema da próxima unidade. Aprendere-mos que, para cada regime de capitalização, teremos os descontos equiva-lentes, o desconto simples e o desconto composto.

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Minhas anotações:

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Cap

CtuCo

2 Desconto Simples e

Desconto CompostoNeste segundo capítulo aprenderemos

como calcular o desconto referente a anteci-pação de um dívida ou liquidação de um título.

Objetivos da sua aprendizagemApós este capítulo, esperamos que você seja capaz de:

• conhecer como e onde são utilizados os descontos.

Você se lembra? De ter pagado uma dívida antecipadamente?

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IntroduçãoDesconto “é o abatimento concedido sobre um título de crédito em

virtude de seu resgate antecipado” (KUHNEN; BAUER, 1996, p. 47). Trata-se de uma prática bastante adotada e difundida em diversas opera-ções comerciais e bancárias. Um indivíduo, na compra de um bem de con-sumo (TV, DVD, geladeira, fogão etc.), pode deparar-se com duas opções: pagamento à vista ou parcelado com desconto. Um outro caso é a anteci-pação de vendas a prazo que as empresas realizam por meio de operações de desconto de duplicatas em bancos comerciais – “o banco proporá uma determinada taxa de desconto sobre o valor das duplicatas” (LAPPONI, 2006, p. 118).

Suponha, por exemplo, que a empresa T tome um empréstimo, a uma taxa de juro i, para ser pago (N) dentro de 5 meses. Passados 3 me-ses, a empresa resolve pagar sua dívida de forma antecipada. O banco oferece, então, um desconto (D) para que essa antecipação ocorra. Dessa forma, a empresa paga ao banco um valor descontado (valor atual). Essa operação de desconto pode ser ilustrada em um diagrama do fluxo de ca-pitais (DFC) – apresentado na figura abaixo. Por meio dessa figura, fica claro que:

Desconto = valor da nominal duplicata – valor atual

Valor inicial do empréstimo

Valor atual

0 1 2 3 4

5

Valor nominal da duplicata

Desconto

Figura 2.1 – DFC da empresa T (operação de desconto)

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Conforme destaca Assaf Neto (2008), as operações de desconto podem ser realizadas tanto como no regime de juros simples como no de juros compostos. “O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo” (p. 79). Neste capítulo, o desconto simples e o desconto composto serão analisados detalhadamente.

2.C Desconto simpCesO desconto simples é baseado nos conceitos e no ferramental ma-

temático desenvolvido no estudo do regime de capitalização conhecido como juros simples. Na prática, há dois tipos de desconto simples:

• desconto racional (ou “por dentro”); • desconto bancário (ou comercial ou “por fora”).

2.C.C Desconto ou comerciaC ou bancário ou “por fora”Método bastante utilizado no mercado, principalmente em opera-

ções de crédito bancário e comercial a curto prazo, é o chamado desconto comercial ou bancário ou “por fora”.

Este tipo de operação é muito utilizado por empresas que necessitam de capital de giro e possuem em sua carteira duplicatas originadas por suas vendas a prazo cujo valor só será recebido na data do vencimento. Este recebimento pode ser antecipado mediante esta modalidade de crédito em que o banco adianta para a empresa o dinheiro de suas vendas a prazo (MATHIAS, 2007).

Neste método de desconto, as relações básicas de juros simples tam-bém são utilizadas. Vejamos o exemplo:

Exemplo 2.1 - Suponha que uma empresa tenha emitido um título, com valor nominal (de face) de R$ 8.500,00, vencível em 10 dezembro e descontado em 10 agosto à taxa de 2,5% a.m.. Qual será o valor do des-conto e o valor atual do título se for adotado desconto comercial simple ou “por fora”?

Resolução:Observe o diagrama, o título será antecipado (descontado) em 4 me-

ses e em cada mês será concedido um desconto de 2,5%.

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0

Valor atual = ?

1 2 3

4

R$ 8.500,00

Taxa de desconto (iD)= 2,5 % ao mêsEm 4 meses será descontado = 2,5% ×4 = 10%Desconto = 8.500 × 10% = 850Valor atual = 8.500 – 850 = 7.650

Neste método de desconto a taxa incide sobre o valor nominal (N) do título, assim o valor do desconto é maior neste tipo de operação. O valor do desconto pode ser calculado multiplicando a taxa desconto pelo valor nominal do título e pelo prazo de antecipação.

D = N × iD × n

Já o valor atual foi calculado aplicando a seguinte fórmula:

A = N – D

Sendo que:N = valor nominal → valor futuro, valor de resgate, valor de face do título, montanteD = desconto comercial ou “por fora”A = valor atual, valor líquido, valor descontado, valor presente → é o valor que foi negociado antes do vencimento após ter re-cebido o descontoiD= taxa de desconto comercialn = período, prazo de antecipação, tempo

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Neste exemplo 2.1, é possível observar que foram descontados 10 % do valor nominal da duplicada, ou seja, do valor inteiro da duplicata (100% ou 1), foi retirada a décima parte. Seguindo este raciocínio, po-demos que o valor atual é a nonagésima parte do valor nominal (90%). Vejamos na fórmula:

A = N x (1 – id x n)A = 8.500 x (1 – 0,025 x 4)A = 8.500 x (1 – 0,10)A = 8.500 x (0,90)A = 7.650

Da parte inteira foi concedido umdesconto de 10%, restando a nonagésima parte (90%)

Deste exemplo, poderemos usar a seguinte fórmula:

A = N × (1 – iD × n)

Exemplo 2.2 – Determinar a taxa mensal de desconto comercial simples de uma nota promissória negociada 90 dias antes da data de seu vencimento, sendo seu valor nominal igual a R$ 27.000,00 e seu valor líquido na data do desconto de R$ 24.107,14.

Resolução: N = $ 27.000n = 90 dias = 3 mesesA= $ 24.107,14iD = ?Desconto = 27.000 – 24.107,14 = 2.892,86

D N x i x n

x i x

x i

i

D

D

D

D

===

=

2 892 86 27 000 3

2 892 86 81 000

2 892 86

8

. , .

. , .

. ,

11 000

0 0357

0 0357 100 3 57

.

,

, , % .

i

i x a m

D

D

== =

Resposta: A taxa de desconto comercial simples é de 3,57 % ao mês.

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Exemplo 2.3 – O Banco do Futuro descontou uma nota promissória por R$ 15.000,00. O banco opera com desconto comercial simples e a taxa de desconto é de 27,60 % ao ano. Sabendo que o prazo de vencimen-to da nota promissória é de 5 meses, calcule o valor nominal.

Resolução:A= $ 15.000,00iD = 27,60 % a.a. = 27,60/12 = 2,3/100 = 0,023n = 5 mesesN = ?

A N x i x n

N x x

N x

N

D= −( )= −( )= −( )=

1

15 000 1 0 023 5

15 000 1 0 115

15 000

. ,

. ,

. xx

N

N

0 885

15 000

0 885

16 949 15

,

.

,

. ,

=

=

Resposta: O valor nominal da nota promissória é de R$ 16.945,15.

O desconto comercial simples é um método diferente do desconto racional simples e, poderemos ver estas diferenças nos exemplos a seguir.

2.C.2 Desconto racionaC (ou “por dentro”)No método conhecido como desconto racional (ou “por dentro”),

os conceitos e as relações básicas de juros simples são utilizados para calcular o desconto a partir do capital inicial. Ou seja, utiliza-se o mesmo procedimento, mas ao invés de calcular o juro (J), é calculado o desconto racional (Dr) que, ao contrário do desconto comercial, o desconto incide sobre o valor inicial e não sobre o montante.

Dessa forma, utilizaremos a mesma fórmula para o cálculo dos juros simples (FV = PV x (1 + i x n)) agora usando a nomenclatura usada em exercícios de desconto:

N = A × (1 + i × n)

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Sendo que: N = valor nominal → valor futuro (FV), valor de resgate, valor de face do título, montanteDr = desconto racional ou “por dentro”A = valor atual, valor líquido, valor descontado, valor presente (PV) → é o valor que foi negociado antes do vencimento após ter recebido o descontoi= taxa de desconto racionaln = período, prazo de antecipação, tempo

Resolveremos o mesmo exemplo 2.1 seguindo os conceitos do des-conto racional simples.

Exemplo 2.4 – Suponha que uma empresa tenha emitido um título, com valor nominal (de face) de R$ 8.500,00, vencível em 10 dezembro e descontado em 10 agosto à taxa de 2,5% a.m.. Qual será o valor do des-conto e o valor atual do título se for adotado o desconto racional simples?

Resolução:N = 8.500n = 4 mesesi = 2,5% ao mêsA= ? Dr = ?N A x i x n

A x x

A x

A x

= +( )= +( )= +( )=

1

8 500 1 0 025 4

8 500 1 0 10

8 500 1 1

. ,

. ,

. ( , 00

8 500

1 10

7 727 27

)

.

,

. ,

A

A

=

=

Dr N A

Dr

Dr

= −= −=

8 500 7 727 27

772 73

. . ,

,

Observe que no desconto comercial simples (exemplo 2.1) o valor do desconto é maior e o valor líquido é menor, isto ocorre porque o des-conto é aplicado sobre o valor nominal e não sobre o valor atual como acontece nas operações de desconto racional (exemplo 2.4).

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Para quem vai liberar os recursos financeiros, como por exemplo, um banco, a melhor opção é o Desconto Comercial ou “por fora”. Já para quem vai receber a liberação deste recurso através de uma operação de desconto, a melhor opção seria o método de cálculo do Desconto Racional.

Vejamos mais alguns exemplos:

Exemplo 2.5 – Determinar a taxa mensal de desconto racional sim-ples de uma nota promissória negociada 90 dias antes da data de seu ven-cimento, sendo seu valor nominal igual a R$ 27.000,00 e seu valor líquido na data do desconto de R$ 24.107,14.

Resolução:N = $ 27.000n = 90 dias = 3 mesesA= $ 24.107,14i = ?N A x i x n

x i x

= +( )= +( )= +

1

27 000 24 107 14 1 3

27 000 24 107 14 72 321

. . ,

. . , . ,,

. . , . ,

. , . ,

.

42

27 000 24 107 14 72 321 42

2 892 86 72 321 42

2 89

x i

x i

x i

− ==

22 86 72 321 42

2 892 86

72 321 42

0 04

0 04 100 4

, . ,

. ,

. ,

,

, %

=

=

== =

x i

i

i

i x ao mêês

Resposta: A taxa de desconto racional simples é de 4 % ao mês

Exemplo 2.6 – O Banco do Futuro descontou uma nota promissória por R$ 15.000,00. O banco opera com desconto racional simples e a taxa de desconto é de 27,60 % ao ano. Sabendo que o prazo de vencimento da nota promissória é de 5 meses, calcule o valor nominal.

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Resolução: Observe que neste exemplo o valor da nota promissória já é liquido, ou seja, já sofreu um desconto. Deveremos agora calcular o valor nominal:

A = $ 15.000,00i = 27,60 % a.a. = 27,60/12 = 2,3/100 = 0,023n = 5 mesesN = ?

N A x i x n

N x x

N x

N x

= +( )= +( )= +( )=

1

15 000 1 0 023 5

15 000 1 0 115

15 000

. ,

. ,

. 11 115

16 725

,

.

( )=N

Resposta: O valor nominal da nota promissória é de R$ 16.725,00.

Vale lembrar que a operação de desconto pode utilizar juros com-postos. Complementado os estudos, vejamos agora o desconto composto.

2.2 Desconto CompostoO desconto composto “é o abatimento concedido sobre um título

por seu resgate antecipado, ou a venda de um título antes de seu venci-mento, observando os critérios da capitalização composta” (KUHNEN; BAUER, 1996, p. 91). É utilizado principalmente em operações de longo prazo. Deve-se destacar também que, assim como no regime simples, há dois tipos de desconto composto:

• Desconto Racional ou “por dentro”;• Desconto Comercial ou “por fora”.

Vejamos a seguir cada um dos métodos:

2.2.C Desconto RacionaC ou “por dentro”O desconto composto racional segue as mesmas relações do regime

de juros compostos. Portanto, este método também pode ser resolvido pelas funções financeiras do MS Excel e pela calculadora HP-12C. Já o desconto comercial composto na prática não é muito utilizado.

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Vamos começar com as fórmulas:

FV = PV x (1 + i)n

Sendo que:FV = valor futuro, valor da duplicata, valor de resgate, valor de face, valor nominal;PV = valor presente, valor líquido, valor atual, valor já descontado;Dr = desconto racional.

Já o valor do desconto, como vimos anteriormente, é a diferença entre o valor nominal da duplicata e seu valor líquido na data do desconto:

Dr = Fv – PV

Observe o Exemplo:Exemplo 2.7 – Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 75 dias a

decorrer até o seu vencimento, foi descontada pelo método do desconto composto racional em um banco à taxa de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta do cliente.

Resolução:FV= $ 24.500i= 3,5 % a.m. = 3,5/100 = 0,035n= 75 dias = 2,5 mesesPV= ?

FV PV i

PV

PV

n= × +( )= × +( )= ×( )

1

24 500 1 0 035

24 500 1 035

24 5

2 5

2 5

. ,

. ,

.

,

,

000 1 089810

24 500

1 089810

22 480 98

= ×

=

=

PV

PV

PV

,

.

,

. ,

Na HP-12C

:

Observe que neste exercício o período

esta fracioonado então temos que

acionar os comandos STO EEX

F Fin p

,

aara limpar

CHS PV

n

i

PV

Visor

( )

24 500

2 5

3 5

22 480 98

.

,

,

. ,

Resposta – O valor líquido a ser creditado na conta do cliente é de R$ 22.480,98.

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2.2.2 Desconto ComerciaC ou “por fora”O desconto comercial composto tem pouca aplicação prática. Con-

siste em sucessivos descontos sobre o valor nominal (desconto sobre des-conto). O valor atual líquido da duplicata pode ser definido por:

A = N × (1 – iD)n

Sendo que:N = valor nominal, valor futuro, valor da duplicata, valor de res-gate, valor de faceA = valor atual, valor líquido, valor presente, valor já descontado.

Observem que a fórmula é muito parecida com a do desconto co-mercial simples, só que neste caso são “descontos sobre descontos”.

Já o valor do desconto comercial (D) é o valor nominal menos o valor atual da duplicata:

D = N – A

Exemplo 2.8 – Uma duplicata de R$ 24.500,00, com 75 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada pelo método do desconto composto comercial em um banco à taxa de 3,5 % ao mês. Calcular o va-lor líquido creditado na conta do cliente.

Resolução:FV = $ 24.500d = 3,5 % a.m. = 3,5/100 = 0,035n = 75 dias = 2,5 mesesVf = ?

A N x i

A x

A x

A

D

n= −( )= −( )= ( )=

1

24 500 1 0 035

24 500 0 965

24 50

2 5

2 5

. ,

. ,

.

,

,

00 0 914783

22 412 19

x

A

,

.. ,=Resposta: O valor líquido a ser creditado na conta do cliente é

R$ 22.412,19.

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Observação: os exercícios de desconto composto comercial não podem ser resolvidos pelas funções financeiras do MS Excel nem pela calculadora HP 12-C.

2.3 FórmuCas utiCizadasResumindo em uma tabela, as fórmulas utilizadas para cálculo dos

descontos são as seguintes:

Juros Simples Juros CompostosUtilizado em operações de curto

prazoUtilizado em operações de

longo prazo

Desconto racional ou “por

dentro”

Valor atual (A) Desconto (D) Valor Atual (PV) Desconto (D)

N = A × (1 + i × n) D = N – A PV = FV x (1 + i)n D= FV – PV

Desconto Comercial (“por

fora”)

Valor atual (A) Desconto (D) Valor atual (A) Desconto (D)

A = N(1 – iD x n)

D = N – A

ou

D = N x iD x n

A = N x (1 – id)n D = N – A

Quadro 2.1 – Fórmulas de desconto

Atividades

I - Desconto simples

01. Um título de valor nominal de R$ 78.895,00 foi pago 2 meses antes do vencimento. Se a taxa mensal de desconto racional simples era de 54% ao ano, qual o valor do título na data do desconto e qual o valor do desconto?

02. O valor do desconto comercial simples de um título 3 meses antes do seu vencimento é de R$ 850,00. Considerando uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor nominal do título.

03. A Empresa Alpha Comércio Ltda. concede um desconto racional sim-ples de 3,5% ao mês para os clientes que antecipam o pagamento de suas duplicatas. Um cliente deseja antecipar o pagamento de um título de R$ 12.000,00 com vencimento programado para 75 dias. Determine o valor do desconto a ser concedido e o valor líquido a ser concedido pela empresa.

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04. Um atacadista possui, em seu grupo de contas a receber, uma nota promissória no valor de R$ 7.000,00 e cuja data de recebimento está pro-gramada para daqui a 4 meses. Sabendo que o atacadista pensa em des-contar essa nota promissória em um banco que cobra uma taxa de desconto simples de 2% a.m., calcule o valor líquido a ser recebido pelo atacadista pelos métodos:a) desconto racional;b) desconto comercial;c) faça uma comparação entre os dois métodos.

05. Um título com valor nominal de $ 700,00, com vencimento programa-do para daqui a 1 ano, será liquidado 3 meses antes da data de vencimento. Sabendo que foi aplicado o desconto racional simples a uma taxa de 3% ao mês, calcule o valor líquido e o valor do desconto.

Observação – Este diagrama de fluxo de caixa ajudará você a re-solver o exercício.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

FV = $ 700

PV = ?

II – Desconto composto01. O cliente de um banco deseja descontar uma nota promissória 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal deste título é de R$ 25.000,00. Sendo de 5% ao mês a taxa de desconto composto racional, qual o valor líquido recebido pela pessoa?

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02. Um banco libera a um cliente R$ 7.500,00 oriundos do desconto de uma duplicata de valor nominal de R$ 10.000,00, descontado à taxa de 3,5% ao mês. Calcular o prazo de antecipação em que foi descontado este título, sabendo que o banco utilizou o método do desconto composto racional.

03. Calcular a taxa mensal de desconto composto racional de um título com valor nominal de R$ 4.200,00 negociado 60 dias antes da data de seu vencimento. O valor atual deste título é de R$ 3.997,60.

04. O valor nominal de um título é de R$ 35.000,00. Este título é negocia-do mediante uma operação de desconto composto comercial 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto alcançada atinge 2,5% ao mês. Pede-se determinar o valor atual na data do desconto e o valor do desconto concedido.

05. Uma empresa tem com um banco uma dívida de R$ 70.000,00 cujo vencimento se dará daqui a 12 meses. No entanto, a empresa resolve qui-tar a dívida 3 meses antes da data do vencimento e solicita ao banco um desconto.

O banco informa que opera com o método de desconto composto comercial, sendo sua taxa de desconto de 4% ao mês.

A partir destes dados, calcule o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco e o valor que será concedido de desconto.

Gabarito

I - Desconto Simples1. R$ 72.380,73 R$ 6.514,262. R$ 18.888,893. R$ 965,52 R$ 11.034,484. a) R$ 6.481,48b) R$ 6.440,00c) O valor líquido liberado pelo desconto comercial é menor do que

o valor liberado pelo desconto racional, isto ocorre porque nas operações de desconto comercial a taxa de juros incide sobre o valor futuro (valor

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nominal), enquanto que nas operações de desconto racional a taxa incide sobre o valor inicial.

5. R$ 642,20 R$ 57,80

II - Desconto Composto1. R$ 19.588,152. 7,14 meses ( 7 meses e 4 dias)Observação: na HP-12C a resposta será 8 meses.3. 2,5% a.m.4. R$ 32.440,08 R$ 2.559,925. R$ 61.931,52 R$ 8.068,48

RefCexãoNeste capítulo, foram estudados os vários mecanismos que podem

ser utilizados para o cálculo de descontos – abatimentos concedidos em virtude de seu resgate antecipado. Trata-se de uma prática bastante adota-da em operações bancárias e comerciais, o que justifica o estudo detalha-do desse tema. Observou-se que há regimes de cálculo de desconto que adotam os conceitos e o instrumental dos juros simples e há regimes que adotam os conceitos e o instrumental dos juros compostos.

Leitura recomendadaLeia o artigo publicado no XI SEMEAD – Simpósio de Adminis-

tração mostrando uma aplicação das operações de desconto a gestão do capital de Giro:

PEREIRA, F.A.; SOUZA, Z. J. Análise da gestão do capital de giro em uma empresa de pequena e médio porte da Região de Ribeirão Preto (SP); um estudo de caso. In: SIMPÓSIO EM ADMINISTRAÇÃO. 11., 2008. São Paulo. Anais eletrônicos... São Paulo. USP, 2008. Dis-ponível em: < http://www.ead.fea.usp.br/semead/11semead/resultado/trabalhosPDF/184.pdf> Acesso em 06 abril 2010.

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Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10 ed. São Paulo: Atlas, 2008.

KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira aplicada e análises de investimentos. 2ª ed. São Paulo, Atlas, 1996.

LAPPONI, J. C. Matemática financeira. 1ª ed. Rio de Janeiro, Campus, 2006.

MATHIAS, A.B. (coord). Finanças Corporativas de Curto Prazo: a gestão do valor do capital de Giro. São Paulo: Atlas, 2007. v 1.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo, Atlas, 1996.

No próximo capCtuCoO próximo capítulo apresentará um conceito importante na

Matemática Financeira, as séries de pagamento, que são os pagamentos ou recebimentos iguais feitos durante intervalos de tempo regulares.

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Cap

CtuCo

3 Série de Pagamentos/

RecebimentosNeste capítulo, serão apresentados os

principais conceitos relativos às séries uni-formes de pagamentos – séries em que os paga-

mentos ou os recebimentos são iguais em interva-los regulares de tempo.

Série uniforme de pagamentos postecipadaSérie unifome de pagamentos antecipada

Plano de poupança

Objetivos da sua aprendizagemApós este capítulo, esperamos que você seja capaz de:

visualizar a série de recebimentos e de pagamentos como fluxo.

Você se lembra?Da última compra parcelada que você fez? Você sabe como são calcula-

dos os juros de cada parcela?

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IntroduçãoOs capítulos 1 e 2 serviram para formar a base conceitual para, en-

fim, iniciarmo-nos no mundo dos fluxos.

Em matemática financeira, “tudo é fluxo”!

Antes de resolver um

problema financeiro (na HP-12C) envolvendo pagamentos peri-

ódicos (séries de pagamento), deve-se especificar se a modalidade de pagamento é

antecipada (os pagamentos se iniciam na data 0) ou postecipada (os pagamentos se iniciam na data 1), o que é realizado por meio das fun-ções BEG e END. No Excel, para escolher a

modalidade, foi separado em 0=BEGIN, e 1=END, a opção de escolha é TYPE=0

(início de período) ou TYPE=1 (final de período).

De acordo com Assaf Neto (2008), a matemática financeira estuda o valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é analisar e comparar vários fluxos de entradas e saídas de dinheiro em diferentes mo-mentos. Seguindo a mesma linha de raciocínio, Mathias e Gomes (1996) afirmam que os problemas financeiros dependem basicamente desse fluxo de entradas e saídas. Conhecido como fluxo de caixa ou de capitais, pode ser representado graficamente em um diagrama do fluxo de caixa ou de capitais (DFC).

Trata-se de uma importante ferramenta para a análise de operações envolvendo matemática financeira, pois permite a visualização do que ocorre com o capital ao longo do período analisado – “a visuali-zação de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada” (CASA-ROTTO FILHO, KOPIT-TKE, 1998, p. 20).

O hábito de construir o DFC desenvolve a atitude de equacionar o problema antes de resolvê-lo, pre-parando uma boa parte do caminho da solução. [...] Conhecidos os dados e as especificações do problema, recomenda-se desenhar o DFC correspondente que registrará os da-dos disponíveis e o objetivo do problema, a incógnita que se deve calcular, restando apenas escolher a abordagem de resolução do problema (LAPPONI, 2006, p. 12).

A reta horizontal é uma escala de tempo, crescente da esquerda para a direita – mostra o horizonte financeiro da operação. As flechas indicam

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Série de Pagamentos/Recebimentos – Capítulo 3

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entradas e saídas de dinheiro da empresa. Uma flecha para cima signifi-ca entrada ou recebimento de dinheiro; uma flecha para baixo significa saída ou aplicação de dinheiro. Convencionou-se, ainda, que o tamanho das flechas deve representar, proporcionalmente, o valor do dinheiro que está entrando ou saindo – o que, na prática, não precisa ocorrer, desde que também seja destacado o valor do dinheiro que entrou ou saiu.

Por último, é importante destacar que, em toda operação financeira, há no mínimo dois agentes negociando: quando um dos agentes tem uma saída de capital, o outro terá uma entrada do mesmo capital. Dessa forma, ao se desenhar um DFC, deve ser apontado a qual agente envolvido na operação ele se refere.

Em resumo, o diagrama de fluxo de caixa de uma operação financei-ra é uma representação esquemática das entradas e das saídas de caixa que ocorrem ao longo do tempo. Na escala horizontal, são indicados os períodos de tempo, que podem ser: dias, meses, anos etc. Os valores de PV, PMT e FV devem ser introduzidos na calculadora com o sinal adequado, de acordo com a “convenção de sinal do fluxo de caixa”, que é a seguinte:

Ingresso ou recebimento de dinheiro (flecha apontando para cima no diagrama de fluxo de caixa): sinal positivo (+).

Saída ou pagamento de dinheiro (flecha direcionada para baixo no diagrama de fluxo de caixa): sinal negativo (-).

• A unidade de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade de tempo do período n;

• Na HP-12C e no Excel: os cinco elementos são sempre interli-gados; anular o quinto elemento que não participar do problema; observar a convenção de sinal:

– Série antecipada BEGIN / TYPE = 1 – Série postecipada END / TYPE = 0

Imagine uma operação de empréstimo: a empresa X possui R$ 100 milhões de reais para emprestar, por um ano, a uma taxa de juro de 10%. A empresa Y, por sua vez, deseja tomar esse capital. Se a transação fosse concretizada, como seria o DFC relacionado à operação para cada uma das empresas?

• empresa X: a empresa troca seu poder de compra (investimento) atu-al por um maior poder de compra (investimento) no futuro, recebendo em troca uma remuneração (prêmio), definida pelo valor da taxa de

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juro. Dessa forma, há uma saída de capital no instante 0 (hoje) igual a R$ 100 milhões e uma entrada de capital no instante 1 (daqui a um ano) igual a R$ 110 milhões. Tal dinâmica pode ser observada no DFC apresentado na figura 3.1.

R$ 100 milhões

0

1

R$ 110 milhões

Entradas(+)

Saídas(–)

Figura 3.1 – DFC da empresa X

• empresa Y: a empresa Y troca seu poder de compra (investimento) futuro por um poder de compra (investimento) no presente, pagan-do em troca uma remuneração (prêmio), definida pelo valor da taxa de juro. Dessa forma, há uma entrada de capital no instante 0 (hoje) igual a R$ 100 milhões e uma saída de capital no instante 1 (daqui a um ano) igual a R$ 110 milhões. Tal dinâmica pode ser observada no DFC apresentado na figura 3.2.

R$ 100 milhões

0

1

R$ 110 milhões

Entradas(+)

Saídas(–)

Figura 3.2 – DFC da empresa Y

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Série de Pagamentos/Recebimentos – Capítulo 3

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O próximo quadro apresenta as principais variáveis que serão utilizadas no estudo de matemática financeira, assim como o símbolo adotado, no curso, para cada uma delas – essa simbologia facilitará a aprendizagem. Além disso, o quadro também mostra diversas denominações adotadas para cada uma das variáveis – o que ajudará os alunos caso estes consultem outros livros.

Variável Símbolo Definição

Prazo N• duração da operação;

• outras denominações: tempo, número de períodos, quantidade de prestações etc.

Juro J • remuneração (ou pagamento) que se deve receber (ou fazer) pelo empréstimo de capital.

Taxa de juro I

• coeficiente que determina o valor do juro;

• custo de fazer empréstimos (tomadores);

• remuneração do capital (poupadores).

Valor presente PV

• capital em determinado momento (tomado emprestado ou aplicado);

• outras denominações: capital, valor atual, valor presen-te, principal da operação, valor de aquisição, valor do em-préstimo, valor do financiado, valor do resgate antecipado etc.

Valor futuro FV

• valor do capital em qualquer período posterior ao anali-sado (capital inicial mais juros);

• valor acumulado resultante de uma determinada quantia de capital aplicada a uma taxa periódica de juro por deter-minado tempo;

• outras denominações: montante, futuro, valor acumulado da operação, valor nominal de um título, valor de face, va-lor residual de um bem, valor do capital acrescido de seus rendimentos etc.

Parcela PMT • fluxo de caixa, valor de cada parcela, de cada prestação, de cada depósito, de cada amortização etc.

Quadro 3.1 – Matemática financeira: principais variáveisLapponi (2006), Assaf Neto (2008) e Kuhnen e Bauer (1996)

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Após observar o quadro 3.1, já é possível definir, por meio de fór-mulas matemáticas, algumas das variáveis apresentadas. Para simplificar as análises a serem realizadas a seguir, será considerado que o prazo é igual a um, ou seja, que a operação se concretiza em um período. Tal sim-plificação será relatada ao longo do capítulo.

O juro (J) pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro (FV) e o valor presente (PV). Ou seja, o valor do juro corresponde à diferença entre o capital final (montante) e o capital inicial da operação financei-ra. Consequentemente: (i) o valor futuro é igual ao valor presente mais o juro e (ii) o valor presente é igual ao valor futuro menos o juro. Por Exemplo, quando uma pessoa toma um capital emprestado, ao final do período estipulado, ela deverá ter pagado o valor tomado mais o juro (remuneração) definido.

J = FV - PVFV = PV + JPV = FV - J

Conforme já foi apontado, a taxa de juro (i) é o coeficiente que determina o valor do juro – da remuneração (poupadores) ou do custo (tomadores) de uma operação financeira. Ou seja, é a proporção que o juro representa no valor presente; a parcela do valor presente exigida a mais – remuneração (emprestador) ou custo (tomador) – para a concre-tização da operação.

iJ

PV=

A taxa de juro pode ser representada das seguintes for-mas: (i) percentual (50%, por Exemplo) – valor do juro para cada centésima parte do capital – ou (ii) unitária (0,50, por Exemplo) – rendimento de cada unidade de capital. Nas fórmulas de ma-temática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando- -se a taxa unitária de juro.

O juro também pode ser calculado pela multiplicação do valor pre-sente pela taxa de juro. Dessa forma, fica claro que a taxa de juro mede a “prosperidade de uma operação” (LAPPONI, 2006, p. 5). Isto porque, se i = 0 (juro nulo), o valor (capital) final será igual ao valor (capital) inicial.

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Série de Pagamentos/Recebimentos – Capítulo 3

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Se i > 0 (juro positivo), o valor final será maior do que o valor inicial; se i < 0 (juro negativo), o valor final será menor do que o valor inicial.

J = PV×iA sucessão de pagamentos ou recebimentos (de juros, por Exemplo)

recebe várias denominações: séries de pagamento, fluxo de caixa, anuida-de, séries etc. É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Normalmente, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividen-dos etc. (ASSAF NETO, 2008)

No presente capítulo, o objetivo é estudar, detalhadamente, as séries de pagamento/recebimento. Primeiramente, é importante apontar que os capitais (pagamentos ou recebimentos) referidos a uma dada taxa de juro i são chamados de anuidade. Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O intervalo de tempo entre dois termos é chamado de período e a soma dos períodos é conhecida como a duração da anuidade. O valor presente de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos – soma feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. Já o valor futuro (montante) de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos, considerada uma dada taxa de juro e uma data focal (MA-THIAS; GOMES, 1996)

Os termos da anuidade serão representados, no estudo, pelo símbolo PMT. Já para os demais elementos, será empregada a mesma simbologia adotada até aqui: valor presente (PV), valor futuro (FV), prazo (n) e taxa de juro (i). Deve-se destacar, ainda, que existem tipos distintos de séries (anuidades), que podem ser diferenciadas em relação a quatro aspectos:

(i) período de ocorrência• postecipadas ou vencidas: os termos são exigíveis no fim dos períodos;• antecipadas: os termos são exigíveis no início dos períodos;• diferidas: os termos são exigíveis em uma data diferente do primeiro

período (com carência).

(ii) periodicidade• periódicas: todos os períodos são iguais;• não periódicas: os períodos não são iguais entre si.

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(iii) duração• temporárias (ou limitadas): duração limitada;• perpétuas (ou indeferidas): duração ilimitada.

(iv) valoresconstantes (ou uniformes): todos os termos são iguais;variáveis: os termos não são iguais entre si.O modelo básico de séries de pagamento/recebimento pode ser re-

presentado, graficamente, da seguinte maneira:

VP PMT PMT PMT PMT PMT

10 2 3 n – 1 n

Entradas(+)

Saídas(–)

ASSAF NETO (2008, P. 99)

Figura 3.3 – Modelo padrão de séries de pagamento/recebimento

Se for uma série de pagamentos, as setas que representam os termos (PMT) devem apontar para baixo. Se for uma série de recebimentos, as setas que representam os termos (PMT) devem apontar para cima.

A figura acima ilustra, claramente, as características fundamentais do modelo básico de séries de pagamento/recebimento:

I. o PMT inicial ocorre em n = 1, ou seja, após o período inicial (postecipada);

II. a diferença entre a data de um termo e outro é constante, ou seja, todos os períodos são iguais (periódica);

III. o prazo do fluxo é fixo (temporária) eIV. todos os termos (PMT) são iguais (uniformes).

Vejamos com maiores detalhes as séries postecipadas (e o plano de poupança) e as antecipadas.

3.C Série uniforme de pagamentos postecipadaNas séries uniformes de pagamentos postecipada, os pagamentos

começam a ocorrer no final do primeiro período, ou seja, a prestação ini-cial do financiamento é paga no final do primeiro período do prazo contra-tado (ASSAF NETO, 2008).

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VP PMT PMT PMT PMT PMT

10 2 3 n – 1 n

Entradas(+)

Saídas(–)

Figura 3.4 – Modelo básico de séries de pagamento/recebimento: representação do cálculo do valor presente (Assaf Neto, 2008, p. 99).

O valor presente nada mais é do que o somatório dos valores de cada um dos termos atualizados para a data que se deseja analisar.

PVPMT

i

PMT

i

PMT

i

PMT

i

PMT

in

=+( )

++( )

++( )

++( )

++( )

+−1 1 1 1 1

1 2 3 4 1...

PPMT

in

1+( )

Genericamente, o valor presente pode ser calculado por meio da fórmula abaixo. A dedução dessa fórmula é complicada e trabalhosa, fu-gindo do escopo do estudo. Por isso, optou-se por apenas apresentá-la:

PV PMTi

i i

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

1 1

1

Sendo que:PV (ou A) = valor presente, valor atual, valor inicial ou valor que será financiadoPMT (ou P) = pagamentos ou recebimentos (prestações)i = taxa de jurosn = período

Utilizamos as mesmas siglas (PV, FV, PMT, i, n) encontradas na HP-12C ou Excel.

A expressão apresentada dentro dos colchetes é chamada de Fator Atual de uma série de pagamentos, mas devido a facilidade da utilização de calculadoras, calcularemos algebricamente este fator sem o auxílio de tabelas.

Para entender melhor estes conceitos, vamos resolver os exemplos a seguir:

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Exemplo 3.1 – Um carro é vendido à vista por R$ 35.000,00. Um comprador deseja financiá-lo em 36 meses pagando uma taxa de 1,99% ao mês. Calcule o valor da prestação sabendo que a primeira prestação foi paga um mês após a compra.

Resolução:

1 2 3 36

0

PV = R$ 35.000,00

PMT=?

PV= $ 35.000n = 36 mesesi = 1,99 % a.m. = 1,99/100 = 0,0199PMT = ?

PV PMTi

i i

PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+

1 1

1

35 0001 0 0199 1

1

36

.,

00 0199 0 0199

35 0001 0199 1

1 0199

36

36

3

, ,

.,

,

( ) ×

= ×( ) −

( )PMT

660 0199

35 0002 03270 1

2 03270 0 0199

3

×

= ×−

×

,

.,

, ,PMT

55 0001 03270

0 040451

35 000 25 529653

25 000

.,

,

. ,

.

= ×

= ×

PMT

PMT

225 529653

1 370 95

,

. ,

=

=

PMT

PMT

Na HP-12C:

Para resolvermos uma

série postecipada

devemos

,

aantes apertar os

comandos g END

f Reg para limpar

g END

:

( )mmodo postecipado

CHS PV

i

n

PMT

Visor

( )

35 000

1 99

36

1 370

.

,

. ,995

Resposta: O comprador irá pagar uma prestação de R$ 1.370,95.

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Exemplo 3.2 – Um apartamento custa à vista R$ 200.000,00, mas pode ser adquirido com uma entrada de 20 % e o financiamento do saldo restante em 60 prestações iguais mensais a uma taxa de juros de 2 % ao mês. Calcule o valor das parcelas.

Resolução: Valor à vista = $ 200.000 ⇒ como o comprador irá dar 20 % de entrada, financiará somente o restante:

$ 200.000 × 20 % = $ 40.000 ⇒ $ 200.000 – $ 40.000 = $ 160.000 ⇒ este valor será o PV (valor inicial do financiamento)

n = 60 mesesi = 2 % a.m. = 2/100 = 0,02PMT =?

Cabe ressaltar que esta situação é uma série postecipada, pois a en-trada é diferente das demais prestações. O desenvolvimento do exercício ficará assim:

PV PMTi

i i

PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+ −

+

1 1

1

160 0001 0 02 1

1 0

60

.( , )

,, ,

., ,

( , )

02 0 02

160 0001 02 0 02

1 02 1

60

60

60

( ) ×

= ×( ) ×

PMT

= ×−

×

=

160 0003 281031 1

3 281031 0 02

160 000

.,

, ,

.

PMT

PMTT

PMT

×

= ×

2 281031

0 065621

160 000 34 760887

160 000

34 76

,

,

. ,

.

, 00887

4 602 88

=

=

PMT

PMT . ,

Na HP-12C:

f Reg para limpar

g END modo postecipado

( )( )

160 0. 000

2

60

4 602 88

CHS PV

i

n

PMT

Visor ⇒ . ,

Resposta: O valor de cada prestação será R$ 4.602,88.

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Exemplo 3.3 – Uma moto usada está sendo vendida por R$ 1.000,00 de entrada mais 12 pagamentos iguais mensais de R$ 500,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 3,5 % ao mês, determine o valor do preço à vista da moto.

Resolução: Neste exercício estamos procurando o valor à vista, mas como resolveremos?

Observe que uma parte está a prazo, no caso as parcelas de R$ 500,00 e outra parte já foi dada como entrada, os R$ 1.000,00. Os juros só estão embutidos na parte a prazo, pois como os R$ 1.000,00 é a entrada (data 0), não tem juros. Então, primeiramente acharemos o PV de no final do exercício somaremos com a entrada.

A resolução ficará assim:

PV PMTi

i i

PV

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+ −

+

1 1

1

5001 0 035 1

1 0 035

12( , )

,(( ) ×

= ×−

( ) ×

12

12

12

0 035

5001 035 1

1 035 0 035

,

( , )

, ,PV

= ×−

×

= ×

PV

PV

5001 511069 1

1 511069 0 035

5000 511069

0 0

,

, ,

,

, 552887

500 0 103484

500

0 103484

4 831 66

= ×

=

=

PV

PV

PV

,

,

. ,

agora vvamos somar a entrada

PV 4.831,66 1.000 5.831,66= + =

Na HP-12C:

f Fin para limpar

g END modo postecipado

C

( )( )

500 HHS PMT

i

n

PV

Visor

Visor

3 5

12

4 831 66

1 000

5 831 66

,

. ,

.

. ,

⇒+⇒

Resposta: O valor à vista da moto é R$ 5.831,66.

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3.2 Série Uniforme de Pagamentos AntecipadaO primeiro pagamento ocorre na data 0 (zero), ou seja o primeiro

pagamento ocorre no ato da contratação do empréstimo ou financiamento, mas vale ressaltar que o valor desta primeira prestação é igual aos demais pagamentos. Muitos conhecem este sistema como série de pagamentos com entrada. Nós podemos encontrar o valor desta prestação através se-guinte fórmula:

Para resolvermos uma série antecipada, devemos antes apertar os comandos g BEG – aparecerá a palavra BEGIN no visor (para tirar, é só apertar g END).

PV PMTi

i i

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

1 1

11

Sendo que:PV (ou A) = valor presente, valor atual ou valor que será financiadoPMT (ou P) = pagamentos ou recebimentos (prestações)i = taxa de jurosn = período, número de prestações em determinado período

Vamos resolver alguns exemplos:

Exemplo 3.4 – Um carro é vendido à vista por R$ 35.000,00. Um comprador deseja financiá-lo em 36 meses pagando uma taxa de 1,99% ao mês. Calcule o valor da prestação sabendo que a primeira prestação foi paga no ato da compra.

Resolução:

1 2 3 36

0

PV = R$ 35.000,00

PMT=?

Entrada igual as demaisprestações

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PV= $ 35.000 n = 36 mesesi = 1,99 % a.m. = 1,99/100 = 0,0199PMT = ?

PV PMTi

i i

PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

1 1

1

35 0001 0 0199 1

1

36

.,

11 0 0199 0 0199

35 0001 0 0199 1

1 0

36 1

36

+( ) ×

= ×+( ) −

+

−, ,

.,

PMT,, ,

.,

,

0199 0 0199

35 0001 0199 1

1 0199

35

36

35

( ) ×

= ×( ) −

( )PMT

××

= ×−

×

0 0199

35 0002 03270 1

1 993039 0 0199

3

,

.,

, ,PMT

55 0001 03270

0 039661

35 000 26 038173

35 000

.,

,

. ,

.

= ×

= ×

PMT

PMT

226 038173

1 344 20

,

. ,PMT =

Na HP-12C:

f Reg para limpar

g BEG modo antecipado

( )( )

35 000.

CHS PV

i

n

PMT

Visor

1 99

36

1 344 20

,

. ,⇒

Resposta: O comprador irá pagar uma prestação de R$ 1.344,20.

Exemplo 3.5 – Uma loja oferece um liquidificador a ser pago em 4 parcelas iguais mensais de R$ 30,00, sendo a primeira parcela paga no ato da compra (1+4). Sabendo a taxa de juros cobrada pela loja é de 3 % ao mês, qual o valor do liquidificador a vista?

Resolução:PMT = $ 30n = 4 mesesi = 3 % a.m. = 3/100 = 0,03 PV= ?

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PV PMTi

i i

PV

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+( )

−1 1

1

301 0 03 1

1 0 03

1

4,

,44 1

4

3

0 03

301 03 1

1 03 0 03

30

− ×

= ×( ) −

( ) ×

= ×

,

,

, ,PV

PV11 125509 9

1 092727 0 03

300 125509

0 032782

,

, ,

,

,

−×

= ×

PV

PPV

PV

= ×=

30 3 3828595

114 86

,

,

Na HP-12C:

Para resolvermos uma série

antecipada devemos a, nntes apertar

os comandos g BEG aparecerá a

palavra BEGI

NN no visor

para tirar é só apertar g END

f g para li

, :

Re

( )mmpar

g BEG modo antecipado

CHS PMT

i

n

PV

Visor

( )( )

30

3

4

114,886

Resposta: O valor à vista do liquidificador é R$ 114,86.

3.3 PCano de Poupança Pode ser que o interesse não seja calcular o valor presente. É pos-

sível que, a partir do prazo (n), da taxa de juro (i) e dos termos (PMT), deseje-se encontrar o valor futuro. Este é encontrado pelo somatório dos valores futuros (montantes) de cada um dos termos (PMT) da série de pa-gamentos/recebimentos. Este tipo de situação pode ser chamado de plano de poupança

O plano de poupança nada mais é do que depósitos efetuados em inter-valos de tempo constantes e acumulados até uma determinada data escolhida.

VF

PMT PMT PMT PMT PMT

10 2 3 n – 1 n

Entradas(+)

Saídas(–)

Figura 3.5 – Modelo básico de séries de pagamento/recebimento: representação do cálculo do valor futuro – Plano de poupança

Fonte: Assaf Neto (2008, p. 101).

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O valor acumulado (FV) a partir destes depósitos pode ser encontra-do através da seguinte fórmula:

FV PMTi

i

n

=+( ) −

*1 1

Sendo que:FV = valor futuro, montante acumuladoPMT = pagamentos, depósitosi = taxa de jurosn = período, número de prestações em determinado período

É importante destacar que esta fórmula aqui apresentada é para uma série postecipada, onde os depósitos são efetuados ao final do período. Então, para resolvermos estes exercícios na calculadora HP-12C devere-mos utilizar o modo END e para resolvermos no MS Excel®, deveremos colocar na lacuna Tipo o número 0.

Vamos aos exemplos:

Exemplo 3.6 – Pretendo depositar R$ 100,00 durante 3 meses na poupança a uma taxa de 2 % ao mês. Qual o valor acumulado na poupan-ça ao final dos 3 meses?

Resolução:

0 1 2 3

FV = ?

PMT= $ 100

PMT = $ 100n = 3 mesesi = 2 % a.m. = 2/100 = 0,02FV= ?

FV PMTi

i

FV

FV

n

= ×+( ) −

= ×+( ) −

=

1 1

1001 0 02 1

0 02

1

3,

,

0001 02 1

0 02

1001 061208 1

0 02

100

3

×( ) −

= ×−

=

,

,

,

,FV

FV ××

= ×=

0 061208

0 02

100 3 0604

306 04

,

,

,

,

FV

FV

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Na HP-12C:

f g para limpar

g END modo postecipado

C

Re ( )( )

100 HHS PMT

i

n

FV

Visor

2

3

306 04⇒ ,

Resposta: O valor acumulado na poupança será R$ 306,04

Exemplo 3.7 – Se meu filho entrar na faculdade daqui a 5 anos preten-do dar um carro a ele no valor de R$ 30.000,00. Quanto devo depositar, men-salmente, para obter o montante necessário ao final deste período, supondo que a taxa mensal de remuneração da poupança é de 0,6 % ao mês?

Resolução: FV= $ 30.000n = 5 anos = 60 depósitos mensaisi = 0,6 % a.m. = 0,6/100 = 0,006PMT = ?

FV PMTi

i

PMT

n

= ×+( ) −

= ×+( ) −

1 1

30 0001 0 006 1

0 006

60

.,

,

= ×( ) −

= ×

30 0001 006 1

0 006

30 0001 431788

60

.,

,

.,

PMT

PMT−−

= ×

= ×

1

0 006

30 0000 431788

0 006

30 000 71

,

.,

,

. ,

PMT

PMT 9964735

30 000

71 964735

416 87

PMT

PMT

=

=

.

,

,

Na HP-12C:

f g para limpar

g END modo postecipado

Re

.

( )( )

30 000

CHS FV

i0 6,

Resposta: Deverei depositar mensalmente R$ 416,87.

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Atividades01. Ao comprar um par de tênis, paguei 5 parcelas mensais iguais de R$ 80,00 sem entrada. A loja cobrou uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Qual seria o valor do par de tênis se quisesse tê-lo adquirido à vista?

02. O preço de um apartamento à vista é de R$ 300.000,00. Um compra-dor ofereceu R$ 70.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 60 prestações iguais mensais financiado a uma taxa de juros de 3% ao mês. Calcule o valor das prestações que o comprador deverá pagar.

03. Uma loja vende notebooks em quatro pagamentos mensais iguais, sendo 1+3 pagamentos. O valor à vista do computador é de R$ 2.199,00, e a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. Nessas condições, qual o valor de cada prestação?

04. Quanto uma pessoa tem que aplicar ao final de cada mês para acumu-lar R$ 10.000,00 para viajar à Europa daqui a 2 anos, sabendo que a taxa de juros da aplicação é de 2% ao mês?

05. Uma TV LCD de 32 polegadas é oferecida em duas lojas nas seguin-tes condições:

Loja A – 3 parcelas mensais de R$ 600,00, sendo uma destas presta-ções considerada como entrada;

Loja B – 5 parcelas mensais de R$ 250,00, com uma entrada de R$ 700,00.

Qual é a melhor proposta de compra, sabendo-se que a taxa utiliza-da foi de 2,5% ao mês?06. Um investidor aplicará, ao final de cada mês, a quantia de R$ 1.500,00 em uma alternativa de poupança que rende 0,7% ao mês. Que montante irá resgatar após 3 anos?

RefCexãoEstes conceitos apresentados são de fundamental importância para

conhecermos como é o comportamento do valor do dinheiro no tempo. È normal nos depararmos com a situação da compra de um bem

em que temos o valor a prazo, mas queremos calcular o valor à vista. É comum não sabermos como calculá-lo. Para encontrar este valor à vista,

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Série de Pagamentos/Recebimentos – Capítulo 3

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não basta apenas tirar os juros de cada prestação, mas sim trazê-las a valor presente; só assim encontraremos o valor correto.

Leitura recomendadaPara maior conhecimento do assunto, leia o capitulo 7 do livro a

seguir:

BRUNI, A.L.; FAMÁ, R. A matemática das finanças. 3. ed. São Pau-lo: Atlas, 2008.

Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2008.

CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investi-mentos. São Paulo: Atlas, 1998.

KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira aplicada e análises de investimentos. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.

LAPPONI, J. C. Matemática financeira. 1. ed. Rio de Janeiro: Cam-pus, 2006.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.

No próximo capituCoNo próximo capítulo foram apresentados os conceitos referentes ao

cálculo das séries uniformes de pagamentos. No próximo capítulo, apren-deremos os métodos de amortização. Será mostrado como o principal e os encargos da dívida são devolvidos ao credor.

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Minhas anotações:

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Cap

CtuCo

4 Sistemas de Amorti-

zação de Empréstimos e Financiamentos

No quarto capítulo serão apresentados os sistemas de amortização. Estes sistemas são

desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e de financiamentos de longo prazo que

envolvem o desembolso do principal emprestado e dos encargos financeiros.

Objetivos da sua aprendizagem• Entender o mecanismo do cálculo dos sistemas de amortização

apresentados;• Fazer comparações entre os métodos.

Você se lembra?Se você já comprou uma casa financiada, provavelmente se lembra de

ter ouvido falar em sistema de amortização.

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IntroduçãoEm operações de empréstimos ou de

financiamentos, é chamado de amortização o pagamento do principal por meio de uma ou mais parcelas periódicas. Os encargos financeiros representam os juros da ope-ração (custo para o devedor e retorno para o credor). Já prestação é o valor da amorti-zação mais os encargos financeiros devidos e saldo devedor é o valor do principal da dívida, em determinado momento, após a dedução do valor já pago a título de amortização.

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS

Conforme destaca Assaf Neto (2008), existem algumas maneiras de se amortizar uma dívida. Nesta aula, serão comentados os principais sistemas de amortização – todos adotam os juros compostos.

4.C Sistema de amortização constante – TabeCa SAC

Nesse sistema, as amortizações do principal são iguais (constantes) durante todo o prazo da operação. O valor da amortização é obtido dividindo- -se o capital emprestado pelo número de prestações. Os juros, por sua vez, são decrescentes, pois incidem sobre o saldo devedor – que se reduz após o pagamento de cada amortização. Consequentemente, as prestações – amortização mais juro – também são decrescentes ao longo do tempo. O SAC é ilustrado na figura 4.1.

Conforme já foi apontado, o valor das amortizações (A) – ou seja, do pagamento do principal – é determinado pela divisão do valor presente pelo número de prestações.

Conexão:

Para saber mais sobre sistemas de amortização, acesse o site: http://www.

administradores.com.br/informe-se/artigos/sistema-de-amortiza-

cao/23225/

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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos – Capítulo 4

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Prestação

Juro

Amortização

Períodos

Figura 4.1 – Sistema de amortização constante (SAC)Mathias e Gomes (1996, p. 309)

A partir do Exemplo a seguir, vamos conhecer o mecanismo do cál-culo e construir a planilha de amortização:

Exemplo 4.1 – Um banco empresta o valor de R$ 1.000,00 com taxa de 8% ao mês para ser pago em 5 pagamentos mensais, calculados pelo SAC. Elabore a planilha de financiamento.

Resolução – As etapas aqui apresentadas são somente para apresen-tar o mecanismo do cálculo deste sistema. Quando você estiver familiari-zado com o método, poderá resolvê-lo diretamente na planilha.

1ª etapa – Cálculo da parcela de amortização

amortização do empréstimo

=valor

n

Amortização = =1.000

5200

2ª etapa – Cálculo da parcela do saldo devedor O saldo devedor é reduzido, a cada período, a um montante igual a

uma amortização (PV/n).

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SDt = SDt-1 – parcela amortizaçãotSD1 = 1.000 – 200 = 800SD2 = 800 – 200 = 600SD3 = 600 – 200 = 400SD4 = 400 – 200 = 200SD5 = 200 – 200 = 0

3ª etapa – Cálculo dos jurosOs juros (J) são calculados sobre o saldo devedor. Eles se reduzem

a cada período.Jurost = SDt-1 × taxa de jurosJuros1 = 1.000 × 8 % = 80Juros2 = 800 × 8 % = 64Juros3 = 600 × 8 % = 48Juros4 = 400 × 8 % = 32Juros5 = 200 × 8 % = 16

4ª etapa – Cálculo da prestaçãoA prestação (PMT) é igual à soma da amortização com os juros. Seu

valor em um dado instante t é:Prestaçãot = Amortizaçãot + JurostPrestação1 = 200 + 80 = 280Prestação2 = 200 + 64 = 262Prestação3 = 200 + 48 = 248Prestação4 = 200 + 32 = 232Prestação5 = 200 + 16 = 216

A planilha ficará assim:

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,00 – – –1 R$ 800,00 R$ 200,00 R$ 80,00 R$ 280,002 R$ 600,00 R$ 200,00 R$ 64,00 R$ 264,003 R$ 400,00 R$ 200,00 R$ 48,00 R$ 248,004 R$ 200,00 R$ 200,00 R$ 32,00 R$ 232,005 0 R$ 200,00 R$ 16,00 R$ 216,00

Total R$ 1.000,00 R$ 240,00 R$ 1.240,00

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O Exemplo 4.1 não previu a existência de prazo de carência para a amortização do empréstimo. As condições de cada operação devem ser estabelecidas em contrato firmado entre o credor e o devedor.

Mas vamos supor que o credor necessitava de um prazo de carência de 3 meses (contado a partir do final do 1º mês). Para recalcular este fi-nanciamento, vamos propor 2 situações:

1. Os juros serão pagos durante o período de carência;2. Os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor a cada

período que passa, e a amortização será calculada sobre o saldo devedor do último período de carência.

1ª situação – Os juros serão pagos durante o período de carência

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,001 R$ 1.000,00 R$ - R$ 80,00 R$ 80,002 R$ 1.000,00 R$ - R$ 80,00 R$ 80,003 R$ 1.000,00 R$ 80,00 R$ 80,004 R$ 800,00 R$ 200,00 R$ 80,00 R$ 280,005 R$ 600,00 R$ 200,00 R$ 64,00 R$ 264,006 R$ 400,00 R$ 200,00 R$ 48,00 R$ 248,007 R$ 200,00 R$ 200,00 R$ 32,00 R$ 232,008 R$ - R$ 200,00 R$ 16,00 R$ 216,00Total R$ 1.000,00 R$ 480,00 R$ 1.480,00

Nestes 3 meses de carência, somente os juros de cada mês é que estão sendo pagos, não amortizando o valor da dívida. Como os juros vão sendo pagos a cada mês, o saldo devedor não vai aumentando.

2ª situação – Os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo deve-dor a cada período que passa, e a amortização será calculada sobre o saldo devedor do último período de carência.

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Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes. Con-

sequentemente, as amortizações devem ser crescentes – para manter as prestações

constantes. Portanto, no SAF, os juros decres-cem e as amortizações crescem ao longo do

tempo, e a soma dessas duas parcelas é constante e igual ao valor da prestação.

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,001 R$ 1.080,002 R$ 1.166,403 R$ 1.259,714 R$ 1.007,77 R$ 251,94 R$ 100,78 R$ 352,725 R$ 755,83 R$ 251,94 R$ 80,62 R$ 332,566 R$ 503,88 R$ 251,94 R$ 60,47 R$ 312,417 R$ 251,94 R$ 251,94 R$ 40,31 R$ 292,258 R$ - R$ 251,94 R$ 20,16 R$ 272,10

Total R$ 1.259,71 R$ 302,33 R$ 1.562,04

A cada período que passa, os juros são incorporados ao saldo deve-dor seguindo as relações dos juros compostos:

n = 1 => 1.000 × (1+0,08) = 1.080n = 2 => 1.080 × (1+0,08) = 1.166,40n = 3 => 1.166,40× (1+0,08) =

1.259,71

Já a amortização é cal-culada sobre o saldo devedor do último período de carência (período 3):

Amortização = =1 259 71

5251 94

. ,,

A partir desse período, os cálcu-los são feitos da maneira habitual.

4.2 Sistema de amortização francês – tabeCa priceEnquanto no SAC as amortizações são iguais, no Sistema de Amor-

tização Francês (SAF) as prestações é que devem ser iguais, periódicas e sucessivas – por isso, também é chamado de Sistema de Prestação Cons-tante (SPC). Devido a essa característica, pode-se dizer que as prestações “equivalem [...] ao modelo-padrão de fluxos de caixa” (ASSAF NETO, 2008 p.201), apresentado na unidade anterior.

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O SAF é ilustrado na figura a seguir:Prestação

Juro

Amortização

Períodos

Figura 4.2 – Sistema de Amortização Francês (SAF)Mathias e Gomes (1996, p. 309)

Vamos utilizar os dados do Exemplo 4.1.Exemplo 4.2 – Um banco empresta o valor de R$ 1.000,00 com

uma taxa de 8% ao mês para ser pago em 5 pagamentos mensais, calcula-dos pelo Sistema de Amortização Francês. Elabore a planilha de financia-mento.

Resolução: 1ª etapa – Cálculo da prestação as parcelas são calculadas por meio

da fórmula para cálculo das prestações uniformes:

PV PMTi

i i

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

1 1

1

PV PMTi

i i

PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+

1 1

1

1 0001 0 08 1

1 0 08

5

.,

,(( ) ×

=( ) −

( ) ×

5

5

5

0 08

1 0001 08 1

1 08 0 08

1 0

,

.,

, ,

.

PMT

0001 469328 1

1 469328 0 08

1 0000 469328

0 1

= ×−

= ×

PMT

PMT

,

, ,

.,

, 117576

1 000 3 991698

1 000

3 991698

250 51

= ×

=

=

. ,

.

,

,

PMT

PMT

PMT

Na HP-12C:

f Reg (para limpar)g END (modo postecipado)

1.000 CHS PV8 i5 nPMT Visor => 250,46

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Após o calculo da prestação, devemos fazer os cálculos seguintes período por período:

2ª etapa – Cálculo dos jurosO juro (J) em determinado período t é calculado da seguinte manei-

ra – lembrando que o juro incide sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou no final do período imediatamente anterior):

Jurost = SDt-1 × taxa de juros

3ª etapa – Cálculo da parcela de amortizaçãoAmortizaçãot = Prestaçãot - Jurost

4ª etapa – Cálculo da parcela do saldo devedorO saldo devedor (SD) de cada período t é determinado pela diferen-

ça entre o valor devido no início da operação e a amortização do período.SDt = SDt-1 – parcela amortizaçãot

A planilha ficará assim:Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 R$ 1.000,00 1 R$ 829,54 R$ 170,46 R$ 80,00 R$ 250,46 2 R$ 645,45 R$ 184,09 R$ 66,36 R$ 250,46 3 R$ 446,63 R$ 198,82 R$ 51,64 R$ 250,46 4 R$ 231,90 R$ 214,73 R$ 35,73 R$ 250,46 5 R$ 0,00 R$ 231,90 R$ 18,55 R$ 250,46 Total R$ 1.000,00 R$ 252,28 R$ 1.252,28

Também poderemos realizar todos estes cálculos pela HP – 12 C:Na HP-12C:f Reg(para limpar)g END (modo postecipado)

1.000 CHS PV8 i5 nPMT Visor => 250,46

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Agora não podemos apagar a calculadora, pois iremos apertar uma sequência de teclas até preencher toda a planilha. Conforme formos cli-cando, a HP-12C vai mostrando cada um dos valores.

Comando Função Período Visor1 f Amort Juros 1º período 80,00x><y Amortização 170,46RCL PV Saldo devedor 829,541 f Amort Juros 2º período 66,36x><y Amortização 184,09RCL PV Saldo devedor 645,451 f Amort Juros 3º período 51,64x><y Amortização 198,82RCL PV Saldo devedor 446,631 f Amort Juros 4º período 35,73x><y Amortização 214,73RCL PV Saldo devedor 231,901 f Amort Juros 5º período 18,55x><y Amortização 231,90RCL PV Saldo devedor 0,00

Nesse sistema de amortização, os juros vão diminuindo com o pas-sar do tempo e a amortização vai aumentando. Observe que, nas primeiras prestações, pagamos mais juros do que amortizamos a dívida.

Esta tabela foi construída sem um período de carência. Se quiser-mos calcular com um período de carência de 3 meses, vamos proceder de duas maneiras, como fizemos no Sistema de Amortização Constante:

1. Os juros serão pagos durante o período de carência;2. Os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor a cada

período que passa, e a amortização será calculada sobre o saldo devedor do último período de carência.

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1ª situação – Os juros serão pagos durante o período de carência;

Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 R$ 1.000,00 1 R$ 1.000,00 R$ 80,00 R$ 80,00 2 R$ 1.000,00 R$ 80,00 R$ 80,00 3 R$ 1.000,00 R$ 80,00 R$ 80,00 4 R$ 829,54 R$ 170,46 R$ 80,00 R$ 250,46 5 R$ 645,45 R$ 184,09 R$ 66,36 R$ 250,46 6 R$ 446,63 R$ 198,82 R$ 51,64 R$ 250,46 7 R$ 231,90 R$ 214,73 R$ 35,73 R$ 250,46 8 R$ 0,00 R$ 231,90 R$ 18,55 R$ 250,46 Total R$ 1.000,00 R$ 492,28 R$ 1.492,28

No período de carência, só será pago o valor dos juros. As pres-tações serão calculadas a partir do saldo devedor do terceiro período. Como os juros vão sendo pagos a cada mês, o saldo devedor não vai aumentando.

Na HP-12C:

f Reg (para limpar)g END (modo postecipado)

1.000 CHS PV8 i5 nPMT Visor => 250,46

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PV PMTi

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PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+

1 1

1

1 0001 0 08 1

1 0 08

5

.,

,(( ) ×

=( ) −

( ) ×

5

5

5

0 08

1 0001 08 1

1 08 0 08

1 0

,

.,

, ,

.

PMT

0001 469328 1

1 469328 0 08

1 0000 469328

0 1

= ×−

= ×

PMT

PMT

,

, ,

.,

, 117576

1 000 3 991698

1 000

3 991698

250 51

= ×

=

=

. ,

.

,

,

PMT

PMT

PMT

2ª situação – Os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo deve-dor a cada período que passa, e a amortização será calculada sobre o saldo devedor do último período de carência.

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,00 1 R$ 1.080,00 2 R$ 1.166,40 3 R$ 1.259,71 4 R$ 1.044,99 R$ 214,73 R$ 100,78 R$ 315,50 5 R$ 813,08 R$ 231,90 R$ 83,60 R$ 315,50 6 R$ 562,63 R$ 250,46 R$ 65,05 R$ 315,50 7 R$ 292,13 R$ 270,49 R$ 45,01 R$ 315,50 8 R$ 0,00 R$ 292,13 R$ 23,37 R$ 315,50 Total R$ 1.259,71 R$ 317,80 R$ 1.577,52

Como feito anteriormente, a cada período que passa os juros são incorporados ao saldo devedor seguindo as relações dos juros compostos:

n = 1 => 1.000 × (1+0,08) = 1.080n = 2 => 1.080 × (1+0,08) = 1.166,40n = 3 => 1.166,40× (1+0,08) = 1.259,71

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Na HP-12C:

f Fin (para limpar)g END (modo postecipado)

1.259,71CHS PV8 i5 nPMT Visor => 315,50

Já a prestação é calculada sobre o saldo devedor do último período de carência (período 3).

PMT PVi i

i

PMT

n

n= ×

+( ) ×

+( ) −

= ×+( ) ×

1

1 1

1 0 08 0 085

1.259,71, ,

(( , )

( , ) ,

( , )

1 0 08 1

1 08 0 08

1 08 1

5

5

5

+ −

= ××−

PMT 1.259,71

= ××−

= ×

PMT

PMT

1.259,71

1.259,71

1 469328 0 08

1 469328 1

, ,

,

00 117546

0 469328

0 250456

315 50

,

,

,

,

= ×=

PMT

PMT

1.259,71

4.3 Sistema de amortização americano – tabeCa saaO último caso que deve ser analisado é o sistema de amortização ameri-

cano (SAA), por meio do qual é estipulado que o capital financiado (empres-tado) deve ser pago em uma única parcela no final do período contratado. Ou seja, não há amortizações intermediárias durante o período da operação. Os juros, por sua vez, são pagos periodicamente. Portanto, as prestações interme-diárias são compostas apenas de juros. O SAA é ilustrado na figura abaixo.

Prestação

Juro

Períodos

Principal

Figura 4.3 – Sistema de Amortização Americano (SAA)Mathias e Gomes (1996, p. 310)

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Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos – Capítulo 4

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Exemplo 4.3 – Empréstimo de $ 5.000.000,00. Devolução em 24 meses (8 trimestres). Taxa de juros de 3,6% a.t. e amortizações pelo siste-ma americano. Elabore a planilha financeira.

Nós temos que preencher a seguinte tabela:

SAA sem carência e pagamentos de juros

Trimestres Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 5.000.00012345678 5.000.000

5.000.000 0 0

Para isso, alguns cálculos são necessários. Saldo devedor (SD): continuará R$ 5.000.000,00 até o final do pe-

ríodo.Juros (J) = Nesta situação, os juros são pagos periodicamente duran-

te o prazo da operação.Jurost = SDt-1 × taxa de juros

Prestação (PMT) – A última prestação (8ª) é constituída pela amor-tização total do empréstimo e pela última parcela dos juros. Deste modo:

Prestação1 = J1Prestação8 = Amortização8 +J8 Depois desses cálculos, podemos preencher a planilha.

SAA sem carência e pagamentos de juros

Trimestres Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 5.000.000 180.0001 5.000.000 0 180.000 180.0002 5.000.000 0 180.000 180.0003 5.000.000 0 180.000 180.0004 5.000.000 0 180.000 180.000

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Trimestres Saldo devedor Amortização Juros Prestação5 5.000.000 0 180.000 180.0006 5.000.000 0 180.000 180.0007 5.000.000 0 180.000 180.0008 5.000.000 5.000.000 180.000 5.180.000

5.000.000 1.140.00 6.440.000

Nota-se que, nesse sistema, o principal (amortização) é pago somen-te no final do contrato. Por isso, as prestações são formadas unicamente pelos juros, exceto a última, que soma juros e o principal.

4.4 Sistema de Amortização Misto (SAM)O Sistema de Amortização Misto (SAM) é uma combinação dos

Sistemas de Amortização Francês (SAF) e Sistemas de Amortização Constante (SAC). Este método foi desenvolvido originalmente para ope-rações do Sistema Financeiro de Habitação e, ele é basicamente calculado através da média aritmética do SAF e SAC (ASSAF NETO, 2002).

Dessa maneira, os valores da planilha são calculados da seguinte forma:

Cálculo da prestação SAM

Prestação SAM = Prestação PrestaçãoSAC SAF+

2

Cálculo da parcela de amortização SAM

Amortização SAM =Amortização AmortizaçãoSAC DF+

2

Cálculo dos juros SAM

Juros SAM =Juros JurosSAC SAF+

2

Cálculo do Saldo Devedor SAM

Saldo Devedor =Saldo Devedor Saldo DevedorSAC SAF+

2

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Resolveremos o exemplo 4.3 baseado nos exemplos 4.1 (Sistema de Amortização Constante) e 4.2 (Sistema de Amortização Francês).

Exemplo 4.3: Um banco empresta o valor de R$ 1.000,00 com uma taxa de 8 % ao mês para ser pago em 5 pagamentos mensais, calculados pelo SAM. Elabore a planilha de financiamento.

Resolução: Como as planilhas dos métodos SAC e SAF já foram elaboradas no exemplos anteriores, agora somente montaremos a planilha do SAM.

• Sistema de Amortização Constante

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,00 – – –1 R$ 800,00 R$ 200,00 R$ 80,00 R$ 280,002 R$ 600,00 R$ 200,00 R$ 64,00 R$ 264,003 R$ 400,00 R$ 200,00 R$ 48,00 R$ 248,004 R$ 200,00 R$ 200,00 R$ 32,00 R$ 232,005 0 R$ 200,00 R$ 16,00 R$ 216,00

Total R$ 1.000,00 R$ 240,00 R$ 1.240,00

• Sistema de Amortização Francês

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,001 R$ 829,54 R$ 170,46 R$ 80,00 R$ 250,462 R$ 645,45 R$ 184,09 R$ 66,36 R$ 250,463 R$ 446,63 R$ 198,82 R$ 51,64 R$ 250,464 R$ 231,90 R$ 214,73 R$ 35,73 R$ 250,465 R$ 0,00 R$ 231,90 R$ 18,55 R$ 250,46

Total R$ 1.000,00 R$ 252,28 R$ 1.252,28

Cálculo da Prestação Prestação1 = (280 + 250,46) / 2 = 265,23Prestação2 = (264 + 250,46) / 2 = 257,23Prestação3 = (248 + 250,46) / 2 = 249,23Prestação4 = (232 + 250,46) / 2 = 241,23Prestação5 = (216 + 250,46) / 2 = 233,23

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Cálculo da Amortização:Amortização1 = (200 + 170,46) / 2 = 185,23Amortização2 = (200 + 184,09) / 2 = 192,04Amortização3 = (200 + 198,82) / 2 = 199,41Amortização4 = (200 + 214,73) / 2 = 207,36Amortização5 = (200 + 231,90) / 2 = 215,95

Cálculo dos jurosJuros1 = (80 + 80,00) / 2 = 80Juros2 = (64 + 66,36) / 2 = 65,18Juros3 = (48 + 51,64) / 2 = 49,82Juros4 = (32 + 35,73) / 2 = 33,86Juros5 = (16 + 18,55) / 2 = 17,27

Cálculo do Saldo Devedor SD1 = (800 + 829,54) / 2 = 814,77SD2 = (600 + 645,45) / 2 = 622,72SD3 = (400 + 446,63) / 2 = 423,31SD4 = (200 + 231,90) / 2 = 215,95SD5 = 0 + 0

Construção da planilha Sistema de Amortização Misto

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 1.000,001 R$ 814,77 R$ 185,23 R$ 80 R$ 265,232 R$ 622,72 R$ 192,04 R$ 65,18 R$ 257,233 R$ 423,31 R$ 199,41 R$ 49,82 R$ 249,234 R$ 215,95 R$ 207,36 R$ 33,86 R$ 241,235 R$ 0,00 R$ 215,95 R$ 17,27 R$ 233,23

Total R$ 1.000,00 R$ 246,14 R$ 1.246,14

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4.5 Comparação entre os métodos SAC, SAF e SAM

Após aprendermos cada um dos métodos, é possível identificar que as prestações e os juros do Sistema de Amortização Constante são decres-centes, a amortização é constante e, neste método o tomador do emprés-timo começa a pagar prestações maiores que no Sistema de Amortização Francês.

Com relação ao Sistema de Amortização Francês, as prestações são iguais, o valor da amortização é crescente, ou seja, aumenta com o passar do tempo enquanto que os juros embutido em cada parcela vai diminuindo (decrescente).

O Sistema de Amortização Misto é uma média dos dois métodos anteriores e, suas parcelas são decrescentes, e a amortização é crescente. A primeira parcela deste método é menor que do SAC, mas maior que do SAF. Já sua última prestação ocorre o contrário. Ela é menor que do SAF, mas maior que do SAC.

Atividades01. Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em 6 presta-ções mensais sem carência a uma taxa de 5% ao mês. Elabore a planilha do financiamento pelo Sistema de Amortização Francês e pelo Sistema de Amortização Constante.

02. Utilize os dados do exercício 1 e construa uma planilha SAC com 4 meses de carência para cada um dos casos:

a) juros pagos durante o período de carência;b) juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.

03. Utilize os dados do exercício 1 e construa uma planilha SAF com 4 meses de carência para cada um dos casos:

a) juros pagos durante o período de carência;b) juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.

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Leitura recomendadaPara maior conhecimento do assunto, leia o capitulo 8 do livro a

seguir:

BRUNI, A.L.; FAMÁ, R. A matemática das finanças. 3. ed. São Pau-lo: Atlas, 2008.

Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2008.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.

No próximo capCtuCoApós aprendermos os conceitos do valor do dinheiro no tempo,

utilizaremos estes conceitos para analisar opções de investimentos. As análises serão feitas considerando-se o fluxo de caixa e o custo do capital, ou a taxa mínima de atratividade que os investidores desejam receber de retorno.

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Cap

CtuCo

5 Análise de

Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor

Presente Líquido e Payback No quinto capítulo, vamos aprender as ferra-

mentas quantitativas para a análise de investimen-tos. Aprenderemos três ferramentas: uma que faz as

análises em valores monetários (valor presente líquido – VPL), outra que analisa qual o retorno dos projetos em

termos percentuais (taxa interna de retorno – TIR) e outra que analisa o tempo de retorno (payback).

Objetivos da sua aprendizagem• Aprender a tomada de decisão sobre investimentos.

• Utilizar as ferramentas para tomada de decisão: valor presente líqui-do (VPL), taxa interna de retorno (TIR) e payback.

Você se lembra?Você se lembra da última decisão que tomou acerca de adquirir um deter-minado bem? Que aspectos você considerou para fazer a melhor escolha? Neste capítulo, aprenderemos as ferramentas de análise de investimentos nas quais, com certeza, você um dia já pensou intuitivamente.

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A depreciação é definida como o desgaste efetivo por uso ou perda de

utilidade, mesmo por ação da natureza ou por obsolescência. O valor inicial do ativo

é deduzido na contabilidade pela parcela da depreciação de cada período até tornar-se nulo (MANUAL DE CONTABILIDADE DA

SOCIEDADE POR AÇÕES, 2009).

Introdução

O que uma empresa deve levar em conta para decidir se compra ou não uma nova máquina (investe)? A empresa deve seguir estes passos (BLANCHARD, 1999, p. 141-3):

I. estimar quanto tempo a máquina vai durar: à medida que o tempo passa, as máquinas tornam-se cada vez menos confiáveis e de manutenção mais cara, o que é conhecido como depreciação. Uma forma simples de avaliar essa depreciação é presumir que a máquina perde sua eficiência a uma taxa δ (taxa de depreciação). Dessa forma, uma nova máquina esse ano valerá (1 - δ) no pró-ximo ano, (1 - δ)2 daqui a dois anos e assim sucessi-vamente;II. calcular o valor atual dos lucros: leva algum tempo para que a máqui-na seja instalada. Dessa forma, uma máquina comprada no ano t se torna operacional, gera lucro e ini-cia sua operação somente um ano mais tarde, em t + 1; III. decidir se compra uma máquina ou não: essa decisão depen-de da relação entre o valor atual dos lucros esperados e o preço

MEDIOIM

AGES / PHOTODISC / GETTY IMAGES

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Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

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da máquina. Se o valor atual for menor do que o preço, a empresa não deverá comprar a máquina – estará pagando mais do que espera ter de volta em lucros mais tarde –; em contrapartida, se o valor atual for maior do que o preço, a empresa deverá comprar a nova máquina.

O mesmo raciocínio utilizado para a determinação da compra de uma nova máquina pode ser adotado para qualquer outra decisão de in-vestimento – construção de uma nova fábrica, renovação de um conjunto de escritórios, expansão das instalações, entre outros. Portanto, o investi-mento depende positivamente do valor atual esperado dos lucros futuros – quanto maiores forem os lucros correntes e/ou esperados, maior será o nível do investimento.

O cálculo do valor atual esperado dos lucros futuros é uma aplica-ção dos conceitos de matemática financeira analisados ao longo do curso. Nessa aula, outros métodos de avaliação de investimentos que utilizam o ferramental da disciplina serão estudados.

5.C PaybackConsiste na determinação do tempo necessário para que o valor do

investimento seja recuperado por meio dos fluxos de caixa promovidos pelo investimento (ASSAF NETO, 2003). Para o cálculo do payback, veremos duas abordagens, como mostrado por Bruni & Fama (2003): o payback simples e o payback descontado.

5.C.C Payback simpCesO payback é um método simples que estima qual o prazo necessário

para a recuperação do investimento. Para o cálculo do payback simples, basta somar os fluxos de caixa gerados pelo investimento até igualar ao investimento inicial.

Quanto a aceitar ou rejeitar determinado projeto de investimento baseado no cálculo do payback, o período de payback obtido deve ser confrontado com o período limite estabelecido pela empresa.

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Exemplo 5.1– Calcule o payback simples dos projetos apre-sentados a seguir, supondo um prazo máximo aceitável pela empresa para recuperação do investimento igual a três anos.

Projetos Investimen-to inicial

Fluxos de caixa

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

A – $ 600.000 $ 300.000 $ 300.000 $ 50.000 $ 100.000 $ 200.000

B – $ 600.000 $ 100.000 $ 200.000 $ 200.000 $ 200.000 $ 100.000

Resolução:Para calcular o payback simples do exemplo 5.1, basta somar os

fluxos de caixa até eles se igualarem ao investimento inicial. O cálculo do payback do projeto A ficará da seguinte maneira:

Payback

Paybac

A = + =300 000 300 000 600 000. . .

ano 1 ano 2

��� �� ��� ��

kkA = 2 anos

Também poderemos montar uma tabela, verificando em qual perío-do o saldo se tornou igual a zero:

FC Saldo de investimento

0 (600.000,00) (600.000,00)1 300.000,00 (300.000,00)2 300.000,00 –3 50.000,00 50.000,004 100.000,00 150.000,005 200.000,00 350.000,00

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Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

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O cálculo do payback do projeto B ficará da seguinte maneira:

PaybackB

ano ano ano

= + +100 000 200 000 200 000

1 2 3

. . .

��� �� ��� �� ���� ��

500 000

100 000600 000

.

$ .$ .

ainda precisa depara completar os(( )

+� ������ ������

��� �200 000

100 000

.

$ .preciso de

desse valor

�� =

= + =

700 000.

PaybackB 3100.000

200.0003,5 anos

Ou calculando através de uma tabela:

FC Saldo de in-vestimento

0 (600.000,00) (600.000,00)1 100.000,00 (500.000,00)2 200.000,00 (300.000,00)3 200.000,00 (100.000,00)4 200.000,00 100.000,005 100.000,00 200.000,00

100.000__________ = 0,5200.000

Falta R$ 100.000,00Preciso de R$ 100.000,00 dos R$ 200.000,00 do ano 4

É possível concluir que, no projeto A, a empresa conseguirá o retorno do investimento em dois anos. Já no projeto B o retorno do investimento se dará em três anos e meio. No quarto ano do projeto B, é preciso considerar apenas $ 100.000 dos $ 200.000 gerados pelo fluxo de caixa; assim, o pay-back simples do projeto B é igual a 3 + (100.000/200.000) = 3,5 anos.

Se o período máximo aceitável pela empresa é de três anos, o proje-to A deverá ser escolhido; já que o payback do projeto B excede o período máximo pela empresa que é de três anos.

Por ser um método de cálculo fácil, o payback simples não leva em consideração o valor do dinheiro no tempo. Os fluxos de caixa são sim-plesmente somados e não descontados a uma determinada taxa de juros.

Essa taxa, que também é chamada de taxa de desconto, taxa mínima de atratividade (TMA), custo de capital ou custo de oportunidade, refere-se ao retorno mínimo que deve ser conseguido de um projeto para manter seu valor de mercado (GITMAN, 2001).

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O custo de capital é a taxa de retorno mínima necessária para atrair capital para um investimento. Também pode ser entendido como a taxa que o investidor pode obter em outro investimento de risco semelhante. É a taxa de desconto ou o valor do dinheiro no tempo usada para converter o valor esperado dos fluxos de caixa em valor presente (MARTELANC, PASIN, CAVALCANTE, 2005).

Com a intenção de contornar essa situação apresentada, aprenderemos ou-tro critério: o payback descontado, que considera a taxa de desconto no cálculo.

5.C.2 Payback descontadoNo cálculo do payback descontado, como mostrado anteriormente,

é considerado o custo do capital. O método de cálculo é similar ao utiliza-do no payback simples, bastando trazer a valor presente os fluxos de caixa (BRUNI & FAMÁ, 2003).

Para trazer a valor presente um valor futuro, será utilizada a seguin-te fórmula aprendida na disciplina de Matemática Financeira (fórmula 1):

PVFV

i n=

+( )1 (1)

Para entendermos melhor este conceito, faremos o exemplo anterior só que agora considerando o custo do capital:

Exemplo 5.2 – Calcule o payback simples dos projetos apresentados a seguir, supondo um prazo máximo aceitável pela

empresa para recuperação do investimento igual a três anos e um custo de capital de 10% ao ano.

Projetos Investimen-to inicial

Fluxos de caixa

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

A – $ 600.000 $ 300.000 $ 300.000 $ 50.000 $ 100.000 $ 200.000

B – $ 600.000 $ 100.000 $ 200.000 $ 200.000 $ 200.000 $ 100.000

Resolução:O payback descontado é calculado através do valor presente de cada

um dos fluxos de caixa futuros. Observe o cálculo do payback de cada um dos projetos analisados:

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Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

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Payback do projeto A:Ano Valor presente – Projeto A

1 PV = + =300 000

1 0 10272 727 27

1

.

( , ). ,

2 PV = + =300 000

1 0 10 2

.

( , )247.933,88

3 PV =+

=50 000

1 0 10 3

.

( , )37.565,74

4 PV =+

=100 000

1 0 10 4

.

( , )68.301,34

5 PV =+

=200 000

1 0 10124 184 26

5

.

( , ). ,

PaybackA = + +272 727 27. ,

ano 1 ano 2

247.933,88 37.565,� �� �� � �� �� 774

ano 3

ainda precisa de $ 41.771,11para c

� �� ��

558 228 89. ,

oompletar os $600.000

ano 4

68.301,34

( )

+� �������� ��������

� �� ���� �� ��precisa de $41.771,11desse total

= 626 530 23. ,

PaybackAA = + = 3 41.771,11

68.301,34 anos3 61,

Payback do projeto B:

Ano Valor presente – Projeto B

1 PV =+

=100 000

1 0 1090 909 9

1

.

( , ). ,0

2 PV =+

=200 000

1 0 1065 289 25

2

.

( , ). ,1

3 PV =+

=200 000

1 0 1050 262 96

3

.

( , ). ,1

4 PV =+

=200 000

1 0 10136 602 69

4

.

( , ). ,

5 PV =+

=100 000

1 0 1062 092 13

5

.

( , ). ,

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PaybackB

ano ano

= + +90 909 09

1

165 289 25

2

150 262. , . , . ,

��� �� � �� �� 996

3

136 602 69

4

543 063 99

ano ano

ainda precisa

� �� �� � �� ��+ . ,

. ,

ddepara completar os

$ . ,$ .56 936 01

600 000

� �� ��

� ���������� ������������ ��+ 62 092 13

5

56 936 01

. ,

$ . ,

ano

precisa de

dess

ee total

PaybackA

��� ��

=

= + =

605 156 12

456 936 01

62 092 134

. ,

. ,

. ,,, 91 anos

O projeto A tem um payback descontado de 3,61 anos e o projeto B tem um payback de 4,91 anos. Assim, nenhum projeto atende ao tempo mínimo requerido pela empresa que é de três anos.

O payback, tanto o simples quanto o descontado, não considera o fluxo de caixa como um todo. Isso pode ser visualizado mais facilmente no payback do projeto A, em que só são considerados os valores dos anos (3,61) necessários para recuperar o investimento inicial.

Os cálculos do payback descontado também podem ser feitos por meio da tabela, como no payback simples.

Os métodos apresentados a seguir considerarão todos os valores do fluxo de caixa. Os métodos apresentados serão o valor presente líquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR).

5.2 VaCor presente CCquido (VPL)O valor presente líquido (em inglês, Net Present Value – NPV) é

obtido ao se subtrair o investimento inicial de um projeto do valor presen-te de seus fluxos de entrada de caixa (GITMAN, 2001). O valor presente líquido mostra o resultado econômico (riqueza) do projeto atualizado (ASSAF NETO, 2003).

A fórmula (2) para o cálculo do VPL é apresentada a seguir:

VPLi i i i n

=+

++

++

++

−FC FC FC FC

investime( ) ( ) ( )

...( )1 1 1 11 2 3

nnto inicial 2( )

É importante destacar que o NPV não identifica diretamente a taxa de rentabilidade (ou custo) da operação financeira – “ao descontar todos os fluxos de entradas e saídas de caixa por uma taxa de desconto mínima aceitável, denota, em última análise, o resultado econômico da alternativa financeira expressa em moeda atualizada” (ASSAF NETO, 2008, p. 278).

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Para cálculo do valor presente líquido, deve ser respeitado o sinal dos números, negativo para saídas e positivo para entradas. Isso é

necessário para interpretar o resultado, pois ele poderá ser positivo ou negativo. O resultado

sempre será em valor monetário.

Para decidir se um investimento deve ou não ser realizado utilizan-do a VPL, deve-se seguir a seguinte regra:

• se o VPL for maior que zero, o projeto deve ser aceito, pois mostra uma geração de riqueza líquida positiva;

• se o VPL for menor que zero, o projeto deve ser rejeitado, pois mostra uma destruição de valor;

• se o VPL for igual que zero, é indiferente aceitar ou não o projeto.

Exemplo 5.3 – Calcule o valor presente líquido do projeto apresentado na tabela abaixo. A taxa mínima de atratividade é de 15% ao ano.

Investimento inicialFluxos de caixa

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4

– $ 600 $ 200 $ 230 $ 250 $ 220

VPL =+

++

++

++

200 230 250 220

( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 0 15 1 0 15 1 0 15 1 0 151 2 3 4

= + + +

6

200 230 250 220

00

1 15 1 15 1 15 1 151 2 3 4VPL

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

= + + +

6

200 230 250 220

00

1 15 1 3225 1 520875 1 749006VPL

, , , , −

= + + +[ ] −

= [ ]−

6

6

6

00

173 91 173 91 164 37 125 78 00

637 97 0

VPL

VPL

, , , ,

, 00

37 91VPL = ,

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E na HP – 12C?

Na HP-12 C, estes cálculos são realizados utilizando-se as teclas: CFj e CF0, sendo que CF0 é o investimento inicial e CFj são os fluxos de caixa. Primeiro, devemos entrar com a sequência de dados, sempre respeitando os de sinais positivos e os de negati-vos. Se for um valor negativo, devemos usar a tecla CHS (inverte o sinal).

Os dados devem ser inseridos sempre respeitando a ordem do fluxo de caixa, ou seja, digita-se primeiro o investimento inicial (digita o valor e depois f CF0) e depois cada um dos fluxos de cai-xa. Para cada entrada de dados, deve-se digitar o valor e depois f CFj.

Se temos que calcular o VPL, devemos apertar f NPV; e, para calcular a TIR, devemos apertar f IRR.

Não devemos nos esquecer de que, para o cálculo do VPL, devemos inserir a taxa de desconto, ou seja, o i.

A resolução ficará da seguinte maneira, calculando na HP-12C:

Resolvendo na HP-12C:600 CHS g CF0200 g CFj230 g CFj250 g CFj220 g CFj15 i f NPV37,97 (resposta visor)

O VPL de R$ 37,91 obtido no exemplo 5.3 indica que os fluxos de entrada de caixa somados na data zero superam o investimento inicial; assim, o projeto deve ser aceito.

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Exemplo 5.4 – Uma transportadora está analisan-do a compra de um caminhão no valor de R$ 103.000,00. A uti-

lização desse veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em R$ 30.000,00, R$ 35.000,00, R$ 32.000,00, R$ 28.000,00 e R$ 37.000,00, respectivamente. Se a empresa espera uma taxa de retorno de 15% a.a., qual o valor presente líquido?

Investimento inicialFluxos de caixa

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5

– $ 103.000 $ 30.000 $ 35.000 $ 32.000 $ 28.000 $ 37.000

Resolução:

0 1 2 3 4 5 anos

37.000,00

103.000,00

30.000,00 35.000,00 32.000,00 28.000,00

VPL =+

++

++

+30.000 35.000 32.000 28.000

( , ) ( , ) ( , )1 0 15 1 0 15 1 0 151 2 3 (( , ) ( , ).

( , )

1 0 15 1 0 15103 000

1 15

4 5

1

++

+

= +

37.000

30.000VPL

335.000 32.000 28.000 37.000

( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 15 1 15 1 15 1 152 3 4 5+ + +

= + + +

103 000

1 15 1 3225 1 520875

.

, , ,VPL

30.000 35.000 32.000 28..000 37.000

1 749006 2 011357103 000

26 086 96 26

, ,.

. ,

+

= +VPL .. , . , . , . , .

.

465 03 21 040 51 16 009 09 18 395 54 103 000

107 99

+ + +[ ] −=VPL 77 13 103 000

4 997 13

, .

. ,

−=VPL

Resolvendo na HP-12C:103.000 CHS g CF030.000 g CFj35.000 g CFj32.000 g CFj28.000 g CFj37.000 g CFj15 i f NPV4.997,13 (resposta visor)

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Deve-se destacar que, se o VPL for maior do que zero, significa que o retorno gerado pelo investimento excede ao mínimo desejado pela empresa. Simultaneamente, o método da TIR aponta que o investimento produz uma taxa de rentabilidade periódica superior à taxa mínima requerida.

Resumo, o critério deste método estabelece que, enquanto o valor presente das entradas for maior que o valor presente das saídas, o projeto deve ser recomendado do ponto de vista econômico.

O método do valor presente líquido analisa o projeto em valores monetários. O método que veremos a seguir, taxa interna de retorno (TIR), fará a análise em termos percentuais (taxa).

5.3 Taxa interna de retorno (tir)O método da taxa interna de retorno (TIR) representa a taxa de re-

torno que iguala, em determinado momento, o valor presente das entradas com o valor presente das saídas previstas de caixa (fórmula 3). Normal-mente, utiliza-se como referência a data de início do investimento – data 0 (ASSAF NETO, 2003).

Investimento inicial FC FC FC FC=+

++

++

++( ) ( ) ( )

...(1 1 1 11 2 3i i i ii n)

3( )

Também podemos considerar que a TIR é a taxa de desconto que tor-na o valor presente líquido igual a zero, como pode ser visto na fórmula 4:

0 FC FC FC FC

Investimento ini=+

++

++

++

−( ) ( ) ( )

...( )1 1 1 11 2 3i i i i n

ccial 4( )

A taxa interna de retorno é facilmente calculada através de uma cal-culadora financeira ou de planilhas eletrônicas.

Neste método de avaliação, a aceitação ou a rejeição de determi-nada alternativa de investimento é decidida a partir da comparação da taxa interna de retorno obtida com a rentabilidade mínima requerida pela empresa para seus investimentos, também chamada de taxa mínima de atratividade (TMA).

Considerando que os valores de caixa ocorrem em diferentes mo-mentos, é possível concluir que o método da TIR, ao levar em conta o valor do dinheiro no tempo, expressa na verdade a rentabilidade, se for uma aplicação, ou o custo, no caso de um empréstimo ou financiamento, do fluxo de caixa (ASSAF NETO, 2008, p. 272).

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Para decidir se um investimento deve ou não ser realizado utilizan-do a TIR, é necessário compará-la à taxa requerida (r) – também chamada de taxa mínima requerida ou de custo de capital; representa o mínimo de rentabilidade que a empresa espera obter com o investimento.

• se TIR > TMA, o investimento deve ser realizado;• se TIR < TMA, o investimento não deve ser realizado.

Exemplo 3.5 – Baseado no exemplo 3.3, calcule a taxa interna de retorno do projeto apresentado na tabela abaixo. A taxa

mínima de atratividade é de 15% ao ano.

Investimento inicialFluxos de caixa

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4

– $ 600 $ 200 $ 230 $ 250 $ 220

Algebricamente, o cálculo da TIR é feito da seguinte maneira:

600200

1

230

1

250

1

220

12 3 4=

+( ) ++( )

++

++i i i i( ) ( )

Como explicado anteriormente, a TIR é facilmente resolvida por planilhas eletrônicas ou pela calculadora HP-12C:

Resolvendo na HP-12C:600 CHS g CF0200 g CFj230 g CFj250 g CFj220 g CFjf IRR18,02 (resposta visor)A TIR do projeto analisado é 18,02% e é maior do que a taxa míni-

ma de atratividade requerida pela empresa.Este exercício também pode ser visualizado através do gráfico 1.

Observe que a taxa interna de retorno é a taxa que é igual ao valor presen-te líquido a zero.

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-200,00

-100,00

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

Taxa de desconto

VPL

TIR

Gráfico 5.1. – VPL e TIR do exemplo 3.3

Atividades01. Uma empresa está considerando um projeto que exige investimen-to inicial de R$ 42.000,00 e fluxos de entrada de caixa após o IR de R$ 7.000,00 por ano durante 10 anos. O período de payback máximo aceitável é de 8 anos.a) Determine o payback simples para esse projeto. A empresa deve acei-tar esse projeto? Por quê?

b) Determine o payback descontado para esse projeto, supondo um custo de capital de 8% ao ano. A empresa deve aceitar esse projeto? Por quê?

02. A Fábrica Cheirosa está considerando investir em uma nova máqui-na para envasar os perfumes. A máquina exige investimento inicial de R$ 30.000,00 e vai gerar fluxos de caixa, após o imposto de renda, de R$ 6.000,00 durante o período de 8 anos. Calcule o valor presente líquido (VPL) para cada um dos custos de capital listados abaixo e indique se a máquina deve ou não ser aceita. Explique sua decisão.

a) Custo de capital 10% ao anob) Custo de capital 12% ao anoc) Custo de capital 14% ao ano

03. Calcule a TIR do projeto apresentado no exercício 2.

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04. Uma empresa está considerando um investimento em um projeto de longo prazo que necessita de investimento inicial de R$ 18.250,00 e terá retornos anuais, após o imposto de renda, de R$ 4.000,00 durante 7 anos. O custo de capital da empresa é de 10% ao ano. Pede-se:

a) determinar a taxa interna de retorno (TIR);b) determinar o valor presente líquido (VPL);c) A empresa deve aceitar o projeto? Por quê?

05. Determinar a TIR (IRR) dos seguintes fluxos de caixa anuais:

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3Projeto A (10.000,00) 5.000,00 4.000,00 3.000,00Projeto B (30.000,00) 12.000,00 12.000,00 15.000,00

06. Um imóvel é colocado à venda por $360.000,00 à vista, ou em 7 prestações: as 2 primeiras de $50.000,00, duas seguintes de $70.000,00 e as três últimas de $80.000,00. Qual o custo mensal dessa operação (TIR)?

RefCexãoUm investimento, quando tratado individualmente, será considera-

do economicamente atraente se: (i) o NPV for positivo; (ii) a TIR for superior à taxa mínima requerida; (iii) o payback for maior que o tempo retorno esperado. O valor presente líquido analisa o projeto em valores monetários.

Com isso, é possível verificar qual o valor atual que está tendo de retorno do projeto. Já a TIR verifica qual a taxa, ou seja, analisa em termos per-centuais qual é este retorno, e o payback analisa somente o tempo, sem considerar a taxa de desconto.

Leitura recomendadaAprofunde seus conhecimentos a respeito dos temas tratados aqui

lendo o artigo “Os métodos quantitativos de análise de investimentos”, do professor Alexandre Assaf Neto, que consta nos Cadernos de Estudos da FIPECAFI, número 06, outubro de 1992. Você poderá acessá-lo em: http://www.eac.fea.usp.br/cadernos/completos/cad06/metodos_quantitati-vos.pdf

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Referências

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2008.

BLANCHARD, O. Macroeconomia. Rio de Janeiro: Campus, 1999.

LAPPONI, J. C. Matemática financeira. 1. ed. Rio de Janeiro: Cam-pus, 2006.

MANUAL DE CONTABILIDADE DAS SOCIEDADES POR AÇÕES: aplicável às demais sociedades. FIPECAFI. 7 ed. São Paulo: Atlas, 2009.

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Gabarito

Capítulo 11. PV = 1 FV PV i n

n

n

n

= + ×= × + ×

= + ×

− = ×= ×

( )

( , )

,

,

,

1

2 1 1 0 025

2

11 0 025

2 1 0 025

1 0 025 nn

n

n meses

=

=

1

0 025

40

,

FV = 2n = ?i = 2,5% a.m. / 100 = 0,025

2. PV = 12.000,00 FV PV i n

i

i

= × + ×= × + ×= +

( )

. . ( )

. . .

1

17 750 12 000 1 12

17 750 12 000 144 000

177 750 12000 144 000

5 750

144 000

0 039931 100

3 99

. .

.

.

,

, % .

− =

=

= ×=

i

i

i

i a mm.

FV = 17.750,00n = 1 ano = 12 mesesi = ? mensal

3. 2.000 . 20% entrada = 400 FV PV i n

i

i

= × + ×= × + ×= +−

( )

. ( )

. . .

. .

1

1 750 1600 1 1

1 750 1 600 1 600

1 750 1 6000 1 600

150 1600

150

1600

0 093750 100

9 38

==

=

= ×=

.

,

, % . .

i

i

i

i

i a m

2.000 – 400 = 1.600,00 valor financiadoPV = 1.600,00FV = 1.750,00n = 30 dias = 1 mês i = ? mensal

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4. PV = ? FV PV i n

PV

PV

PV

= × + ×= × + ×= × +=

( )

( , )

( , )

1

430 1 0 001833 45

430 1 0 0825

430 ××

=

=

1 0825

430

1 0825

397 23

,

,

,

PV

PV

FV = 430n = 45 diasi = 5,5 % a.m. / 30 dias = 0,183333 % a.d.0,183333 / 100 = 0,001833

5. I = 40,80% a.a ÷ 12 meses = 3,4% a.m. ÷ 100 = 0,034 J PV i n

J

J

= × ×= × ×=

245 0 034 2

16 66

,

,

PV = 245,00n= 2 mesesJ=?

6.PV = 34.000,00 FV PV i

i

i

n= × +

= +

= +

( )

. . ( )

.

.( )

,

1

57 300 34 000 1

57 300

34 0001

1 6852

36

36

994 1

1 685294 1

1 014604 1

1 014604 1

0

36

36 3636

= +

= +

= += −=

( )

, ( )

,

,

i

i

i

i

i ,,

, % . .

014604 100

1 46

×=i a m

FV = 57.300,00n = 3 anos = 36 mesesi = ?

6.n = ? FV PV i

n

n

n

= × +

= × +

= +

=

( )

. . ( , )

( , )

,

1

7 800 6 000 1 0 045

7800

60001 0 045

1 3 1,,

log , log ,

, ,

, ,

045

1 3 1 045

0 113943 0 019116

0 113943 0 01911

n

n

n

n

==

= ÷ 66

5 96n = ,

PV = 6.000,00J = 1.800,00FV = 7.800,00i = 4,5 % a.m.

Aproximadamente 6 meses

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113

Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

EAD

-15

- M

atem

átic

a Fi

nanc

eira

– P

roib

ida

a re

prod

ução

– ©

Uni

SEB

8.PV = 75.000,00 FV

FV

FV

FV

= × +

= ×= ×=

75 000 1 0 30

75 000 1 30

75000 2 197

164 7

3

3

. ( , )

. ( , )

,

. 775 00,

i = 30% a.a.n = 3 anosFV = ?

9.i = 4% a.m. FV PV i

PV

PV

P

n= × +

= × +

= ×=

( )

. ( , )

. ( , )

.

1

38 000 1 0 04

38 000 1 04

38 000

60

60

VV

PV

PV

×

=

=

10 519627

38 000

10 519627

3 612 30

,

.

,

. ,

FV = 38.000,00n = 5 anos = 60 mesesPV = ?

10.J = ? FV PV i

FV

FV

FV

n= × +

= × +

= ×=

( )

. ( , )

. ( , )

.

1

6 000 1 0 074

6 000 1 074

6 000

24

24

××=

= −= −=

5 547570

33 285 42

33285 42 6 000

27 285 42

,

. ,

, .

. ,

FV

J FV PV

J

J

PV = 6.000,00i = 7,4% a.m.n = 2 anos = 24 meses

11.

PV = 8.350,00 FV PV i

FV

FV

quero

temho= × +

= × +

= ×

( )

. ( , )

. ( , )

1

8 350 1 0 88

8 350 1 88

8

12

8

122

0 6666678 350 1 88

8 350 1 523253

12 719 16

FV

FV

FV

= ×= ×=

. ( , )

. ,

. ,

,

i = 88% a.a.n = 8 mesesFV = ?

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114

Matemática Financeira

Proi

bida

a r

epro

duçã

o –

© U

niSEB

12. a) 18% ao ano para ao semestre

iq

iq

iq

iq

= +( )

= ( )

= −=

1 0 18 1

1 18 1

1 086278 1

0

6

12

0 5

,

,

,

,

,

0086278 100

8 63

×=iq a s, % . .

b) 5% ao mês para ao trimestre

iq

iq

iq

iq

= +( )

= ( )

= −=

1 0 05 1

1 05 1

1 157625 1

0 157

3

1

3

,

,

,

, 6625 100

15 76

×=iq a trim, % . .

c) 36% ao ano para ao mês

iq

iq

iq

= +( )

= ( )

= −

1 0 36 1

1 36 1

1 025955 1

1

12

0 083333

,

,

,

,

iiq

iq a m

= ×=

0 025955 100

2 59

,

, % .

d) 7% ao mês para ao semestre

iq

iq

iq

iq

= +( )

= ( )

= −=

1 0 07 1

1 07 1

1 500730 1

0 500

6

1

6

,

,

,

, 7730 100

50 07

×=iq a s, % . .

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115

Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

EAD

-15

- M

atem

átic

a Fi

nanc

eira

– P

roib

ida

a re

prod

ução

– ©

Uni

SEB

Capítulo 2

Desconto Simples1.N = 78.895,00 N A i n

A

A

A

= × + ×

= × + ×( )= × +( )= ×

( )

. ,

. ,

.

1

78 895 1 0 045 2

78 895 1 0 09

78 895 1,,

.

,

. ,

09

78 895

1 09

72 380 73

A

A

=

=

n = 2 mesesi = 54% a.a ÷ 12 meses = 4,5% a.m. ÷ 100 = 0,045A = ?Dr = ?

Dr N A

Dr

Dr

= −= −=

78 895 72 380 73

6 514 27

. . ,

. ,

2.D = 850,00 D N d n

FV

FV

FV

FV

= × ×= × ×= ×

=

=

850 0 015 3

850 0 045

850

0 045

18 888 89

,

,

,

. ,

n = 3 mesesd = 18% a.a ÷ 12 meses = 1,5% a.m. ÷ 100 = 0,015N = ?

3.i = 3,5% a.m. / 100=0,035 N A i n

A

A

= × + ×

= × + ×( )= × +

( )

. , ,

. ( , )

.

1

12 000 1 0 035 2 5

12 000 1 0 0875

12 000 == ×

=

=

A

A

A

1 0875

12 000

1 0875

11 034 48

,

.

,

. ,

N = 12.000,00n = 75 dias = 2,5 meses A = ?Dr = ?

Dr N A

Dr

Dr

= −= −=

12 000 11 034 48

965 52

. . ,

,

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116

Matemática Financeira

Proi

bida

a r

epro

duçã

o –

© U

niSEB

4.N= 7.000,00n = 4 meses d = 2% a.ma DescontoRacional

N A i n

A

A

)

( )

. ( , )

. (

= × + ×= × + ×= × +

1

7 000 1 0 02 4

7 000 1 00 08

7 000 1 08

7 000 1 08

6 481 48

, )

. ,

. ,

. ,

= ×= ÷=

A

A

A

b DescontoComercial

D N d n

D

D

A N D

A

)

. ,

.

= × ×= × ×=

= −= −

7 000 0 02 4

560

7 000 5560 6 440= .

c) O valor líquido liberado pelo desconto comercial é menor do que o valor liberado pelo desconto racional. Isso ocorre porque, nas operações de desconto comercial, a taxa de ju-ros incide sobre o valor futuro (valor nominal), enquanto que, nas operações de desconto racional, a taxa incide sobre o valor inicial.

5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112

FV = $ 700

PV = ?

N =700,00 N A i n

A

A

A

A

= × + ×

= × + ×( )= × +( )= ×

=

( )

,

,

,

,

1

700 1 0 03 3

700 1 0 09

700 1 09

700

1 009

642 20A = ,

n=3 mesesi=3%.am.

Dr N A

Dr

Dr

= −= −=

700 642 20

57 80

,

,

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117

Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

EAD

-15

- M

atem

átic

a Fi

nanc

eira

– P

roib

ida

a re

prod

ução

– ©

Uni

SEB

Desconto Composto1.FV

i a m

n meses

PV

== ⇒==

25000

5 0 05

5

% . . ,

?

FV PV i

PV

PV

PV

n= × +( )= × +( )= ×( )= ×

1

25 000 1 0 05

25 000 1 05

25 000

5

5

. ,

. ,

. 11 276282

25 000

1 276282

19 588 15

,

.

,

. ,

PV

PV

=

=

2.FV

i a m

n

PV

== ⇒==

10 000

3 5 0 035

7 500

.

, % . . ,

?

.

FV PV in

n

= × +( )= × +( )= ×( )

1

10 000 7 500 1 0 0035

10 000 7 5000 1 0035

. . ,

. . ,nn

n

n

10 000

7 5001 0035

1 333333 1 0035

1 333333 1 00

.

.,

, ,

log , log ,

= ( )

=

= 335

1 333333 1 0035

0 124938628 0 0149403498

0 1

n

n

n

n

log , log ,

, ,

,

= ×= ×

=224938628

0 0149403498

8 4

,

,n =

3.FV

n dias meses

PV

i

== =

==

4 200

60 2

3 997 60

.

. ,

?

FV PV i

i

i

n= × +( )= × +( )

= +( )

1

4 200 3 997 60 1

4 200

3 997 601

1 050

2

2

. . ,

.

. ,

, 6630 1

1 050630 1

1 025002 1

1 025002 1

0 0250

2

2

= +( )

= +( )= +

= −=

i

i

i

i

i

,

,

,

, 002

2 5i = , %

Page 118: Matemática Financeira - Yolaprofhubert.yolasite.com/resources/LIVRO... · de viabilidade dos projetos de investimentos, o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno

118

Matemática Financeira

Proi

bida

a r

epro

duçã

o –

© U

niSEB

4.A

N

d a m

n

=== ⇒=

?

.

, % . . ,

35 000

2 5 0 025

3

A N d

A

A

A

n= × −( )= × −( )= ×( )= ×

1

35 000 1 0 025

35 000 0 975

35 000 0 9

3

3

. ,

. ,

. , 226859

32 440 08

35 000 32 440 08

2 559 92

A

D N A

D

D

=

= −= −=

. ,

. . ,

. ,

5.N

n

d a m

A

=== ⇒=

70 000

3

4 0 04

.

% . . ,

?

A N d

A

A

A

n= × −( )= × −( )= ×( )= ×

1

70 000 1 0 04

70 000 0 96

70 000 0 884

3

3

. ,

. ,

. , 7736

61 931 52

70 000 61 931 52

8 068 48

A

D N A

D

D

=

= −= −=

. ,

. . ,

. ,

Capítulo 31.

PMT

i

n

PV

PMT

== ÷ ⇒===

80 00

2 5 100 0 025

5

80

,

, % ,

?

PV PMTi

i

PV

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+( )

1 1

1 1

801 0 025 1

1 0 025

5,

,55

0 025

801 131408 1

1 131408 0 025

80

×

= ×−

×

= ×

,

,

, ,PV

PV00 131408

0 028285

80 4 645854

371 67

,

,

,

,

= ×=

PV

PV

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119

Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

EAD

-15

- M

atem

átic

a Fi

nanc

eira

– P

roib

ida

a re

prod

ução

– ©

Uni

SEB

2.PV entrada

i a m

n mes

= − == ÷ ⇒=

300 000 70 000 230 000

3 100 0 03

60

. . ( ) .

% . . ,

ees

PMT = ?

PV PMTi

i

PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) ×

1 1

1 1

230 0001 0 03 0 03

60

., ,

11 0 03 1

230 0001 03 0 03

1 03 1

60

60

60

+( ) −

= ×( ) ×

( ) −

,

., ,

,PMT

= ×−

×

=

230 0005 891603 1

5 891603 0 03

230 000

.,

, ,

.

PMT

PMTT

PMT

PMT

×

= ×

=

4 891603

0 176748

230 000 27 675577

230 000

2

,

,

. ,

.

77 675577

8 310 59

,

. ,PMT =

3.i a m

n

PV

PMT

= ⇒= + ===

4 0 04

1 3 4

2 199 00

% . . ,

. ,

?

série antecipada

PV PMTi

i

PMT

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+

1 1

1 1

2 1991 0 04 1

1 0

1

4

.,

,004 0 04

2 1991 04 1

1 04 0 04

4 1

4

3

( ) ×

= ×( ) −

( ) ×

−,

.,

, ,PMT

= ×−

×

= ×

2 1991 169859 1

1 124864 0 04

2 1990 1698

.,

, ,

.,

PMT

PMT559

0 044995

2 199 3 775063

2 199

3 775063

58

,

. ,

.

,

= ×

=

=

PMT

PMT

PMT 22 50,

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Matemática Financeira

Proi

bida

a r

epro

duçã

o –

© U

niSEB

4.

FV

n anos meses

i a m

PMT

== ⇒= ⇒

=

10 000

2 24

2 0 02

.

% . . ,

?

FV PMTi i

i

PMT

n

= ×+( ) ×

= ×+( ) −

1

10 0001 0 02 1

0 02

24

.,

,

= ×( ) −

= ×−

10 0001 02 1

0 02

10 001 608437 1

0 0

24

.,

,

.,

,

PMT

PMT22

10 0000 608437

0 02

10 000 30 421862

10

= ×

= ×

=

.,

,

. ,

.

PMT

PMT

PMT0000

30 421862

328 71

,

,PMT =

5.Loja A:PMT

PV

i a m

n

==

− ⇒=

600

2 5 0 025

3

?

, % . . ,

serie antecipada (entrada iguual as parcelas)

PV PMTi

i i

PV

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+

1 1

1

6001 0 025 1

1 0 02

1

3,

, 55 0 025

6001 025 1

1 025 0 025

3 1

3

2

( ) ×

= ×( ) −

( ) ×

−,

,

,

, ,PV

= ×−

×

= ×

,

,

, ,

,

PV

PV

6001 0768906 1

1 050625 0 025

6000 076890

00 026266

600 2 927358

1 756 44

,

,

. ,

= ×=

PV

PV

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121

Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

EAD

-15

- M

atem

átic

a Fi

nanc

eira

– P

roib

ida

a re

prod

ução

– ©

Uni

SEB

Loja B:PMT

PV

i a m

n meses

==

= ⇒=

250

2 5 0 025

5

?

, % . . ,

PV PMTi

i i

PV

n

n= ×

+( ) −

+( ) ×

= ×+( ) −

+(

1 1

1

2501 0 025 1

1 0 025

5,

, )) ×

= ×( ) −

( ) ×

5

5

5

0 025

2501 025 1

1 025 0 025

,

,

, ,PV

PV == ×−

×

= ×

2501 131408 1

1 131408 0 025

2500 131408

0 02828

,

, ,

,

,PV

55

250 4 645854

1 161 46 700

1 861 46

= ×

= + ( )=

PV

PV ENTRADA

PV

,

. ,

. ,

6.FV

PMT

i a m

n meses

==

= ⇒=

?

, % . . ,

1500

0 7 0 007

36

FV PMTi i

i

FV

n

= ×+( ) ×

= ×+( ) −

1

15001 0 007 1

0 007

36,

,

FFV

FV

= ×( ) −

= ×−

15001 007 1

0 007

15001 285467 1

0 007

36,

,

,

,

= ×

= ×=

FV

FV

FV

15000 285467

0 007

1500 40 781000

61 171

,

,

,

. ,,50

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Matemática Financeira

Proi

bida

a r

epro

duçã

o –

© U

niSEB

Capítulo 41.

SAFSaldo devedor Amortização Juros Prestação

0 R$ 15.000,00 – – –1 R$ 12.794,74 R$ 2.205,26 R$ 750,00 R$ 2.955,262 R$ 10.479,21 R$ 2.315,53 R$ 639,74 R$ 2.955,263 R$ 8.047,91 R$ 2.431,30 R$ 523,96 R$ 2.955,264 R$ 5.495,05 R$ 2.552,87 R$ 402,40 R$ 2,955,265 R$ 2.814,54 R$ 2.680,51 R$ 274,75 R$ 2.955,266 R$ – R$ 2.814,54 R$ 140,73 R$ 2.955,26Total R$ 15.000,00 R$ 2.731,57 R$ 17.731,57

SACSaldo devedor Amortização Juros Prestação

0 R$ 15.000,00 – – –1 R$ 12.500,00 R$ 2.500,00 R$ 750,00 R$ 3.250,002 R$ 10.000,00 R$ 2.500,00 R$ 625,00 R$ 3.125,003 R$ 7.500,00 R$ 2.500,00 R$ 500,00 R$ 3.000,004 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00 R$ 375,00 R$ 2.875,005 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00 R$ 250,00 R$ 2.750,006 R$ – R$ 2.500,00 R$ 125,00 R$ 2.625,00Total R$ 15.000,00 R$ 2.625,00 R$ 17.625,00

2.

a)

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 15.000,00 – – –1 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,002 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,003 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,004 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,005 R$ 12.500,00 R$ 2.500,00 R$ 750,00 R$ 3.250,006 R$ 10.000,00 R$ 2.500,00 R$ 625,00 R$ 3.125,00

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Análise de Investimentos – Taxa Interna de Retorno, Valor Presente Líquido e Payback – Capítulo 5

EAD

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átic

a Fi

nanc

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– P

roib

ida

a re

prod

ução

– ©

Uni

SEB

7 R$ 7.500,00 R$ 2.500,00 R$ 500,00 R$ 3.000,008 R$ 5.000,00 R$ 2.500,00 R$ 375,00 R$ 2.875,009 R$ 2.500,00 R$ 2.500,00 R$ 250,00 R$ 2.750,0010 R$ – R$ 2.500,00 R$ 125,00 R$ 2.625,00Total R$ 15.000,00 R$ 2.625,00 R$ 17.625,00

b) juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 15.000,00 – – –1 R$ 15.750,00 – – –2 R$ 16.537,50 – – –3 R$ 17.364,38 – – –4 R$ 18.232,59 – – –5 R$ 15.193,83 R$ 3.038,77 R$ 911,63 R$ 3.950,406 R$ 12.155,06 R$ 3.038,77 R$ 759,69 R$ 3.798,467 R$ 9.116,30 R$ 3.038,77 R$ 607,75 R$ 3.646,528 R$ 6.077,53 R$ 3.038,77 R$ 455,81 R$ 3.494,589 R$ 3.038,77 R$ 3.038,77 R$ 303,88 R$ 3.342,6410 R$ – R$ 3.038,77 R$ 151,94 R$ 3.190,70Total R$ 18.232,59 R$ 3.190,70 R$ 21.423,40

3.a) juros pagos durante o período de carência;

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 15.000,00 – – –1 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,002 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,003 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,004 R$ 15.000,00 – R$ 750,00 R$ 750,005 R$ 12.794,74 R$ 2.205,26 R$ 750,00 R$ 2.955,266 R$ 10.479,21 R$ 2.315,53 R$ 639,74 R$ 2.955,267 R$ 8.047,91 R$ 2.431,30 R$ 523,96 R$ 2.955,268 R$ 5.495,05 R$ 2.552,87 R$ 402,40 R$ 2.955,269 R$ 2.814,54 R$ 2.680,51 R$ 274,75 R$ 2.955,2610 R$ – R$ 2.814,54 R$ 140,73 R$ 2.955,26Total R$ 15.000,00 R$ 2.731,57 R$ 17.731,57

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b) juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.

Saldo devedor Amortização Juros Prestação0 R$ 15.000,00 – – –1 R$ 15.750,00 – – –2 R$ 16.537,50 – – –3 R$ 17.364,38 – – –4 R$ 18.232,59 – – –5 R$ 15.552,08 R$ 2.680,51 R$ 911,63 R$ 3.592,146 R$ 12.737,55 R$ 2.814,54 R$ 777,60 R$ 3.592,147 R$ 9.782,29 R$ 2.955,26 R$ 636,88 R$ 3.592,148 R$ 6.679,26 R$ 3,103,03 R$ 489,11 R$ 3.592,149 R$ 3.421,09 R$ 3,258,18 R$ 333,96 R$ 3.592,1410 R$ – R$ 3,421,09 R$ 171,05 R$ 3.592,14Total R$ 18.232,59 R$ 3.320,24 R$ 21.552,84

Capítulo 51.a) Payback

FC Saldo0 42.000,00 42.000,001 7.000,00 35.000,002 7.000,00 28.000,003 7.000,00 21.000,004 7.000,00 14.000,005 7.000,00 7.000,006 7.000,00 – 6 anos7 7.000,008 7.000,009 7.000,0010 7.000,00

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b) payback descontadoDeverá ser calculado primeiramente o PV (valor presente) de cada um dos fluxos de cai-xa e depois calcular o PV

SaldoPV do fluxo de caixa 42.000

1 R$ 6.481,48 R$ 35.518,522 R$ 6.001,37 R$ 29.517,153 R$ 5.556,83 R$ 23.960,324 R$ 5.145,21 R$ 18.815,115 R$ 4.764,08 R$ 14.051,036 R$ 4.411,19 R$ 9.639,847 R$ 4.084,43 R$ 5.555,418 R$ 3.781,88 R$ 1773,53 1.773,53 ÷ 3.501,74 = 0, 505479 R$ 3.501,74 (R$ 1.728,22)10 R$ 3.242,35 (R$ 4.970,57) Payback = 8,5 anos

2.

0 – 30.000,001 6.000,002 6.000,003 6.000,004 6.000,005 6.000,006 6.000,007 6.000,008 6.000,00

a) Custo de Capital 10 % ao ano

VPL FCi

FCi

FCi

FCi

investimento inicn=+( )

++( )

++( )

+…+( )

−1 1 1 1

1 2 3iial

VPL =+( )

++( )

++( )

+6 000

1 0 10

6 000

1 0 10

6 000

1 0 10

6 0001 2 3

.

,

.

,

.

,

.

11 0 10

6 000

1 0 10

6 000

1 0 10

6 000

1 0 10

6

4 5 5 6+( )+

+( )+

+( )+

+( )+

,

.

,

.

,

.

,

.0000

1 0 10

6 000

1 0 1030 000

7 8+( )+

+( )−

,

.

,.

VPL = + + + + + +5 454 55 4 958 58 4 507 89 4 098 08 3 725 53 3 386 84. , . , . , . , . , . , 33 078 95 2 799 04 30 000

32 009 56 30 000

. , . , .

. , .

+ −= − =VPL 2.009,56

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Na HP – 12C30.000 CHS g Cf06.000 g Cfj8 g Nj (como os 6.000 se repete 8 vezes, não precisa digitar novamente, só indicar que se repete)10 if NPV2.009,56

b) Custo de Capital 12% ao anoVPL = – R$ 194,16

c) Custo de Capital 14 % ao anoVPL = – R$ 2.166.82A fabrica só deverá investir na máquina se o custo de capital for igual a 10%, pois para os demais custos o VPL se torna negativo.Obs: Para resolver na HP (ou pela fórmula), é só refazer os cálculos com as outras taxas.

3.30.000 CHS g Cf06.000 g Cfj8 g Nj (como os 6.000 se repete 8 vezes, não precisa digitar novamente, só indicar que se repete)10 if IRR11,81%

4. TIR e VPL18.250 CHS g Cf04.000 g Cfj7 g Nj (como os 4.000 se repete 7 vezes, não precisa digitar novamente, só indicar que se repete)10 if IRR12,01%f NPV1.223,88

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ida

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VPL FCi

FCi

FCi

FCi

investimento inicn=+( )

++( )

++( )

+…+( )

−1 1 1 1

1 2 3iial

VPL =+( )

++( )

++( )

+4 000

1 0 10

4 000

1 0 10

4 000

1 0 10

4 0001 2 3

.

,

.

,

.

,

.

11 0 10

4 000

1 0 10

4 000

1 0 10

4 000

1 0 10

4

4 5 5

6

+( )+

+( )+

+( )+

+( )+

,

.

,

.

,

.

,

.0000

1 0 1018 250

7+( )−

,.

VPL = + + + + + +3 636 36 3 305 78 3 005 26 2 732 05 2 483 69 2 257 90. , . , . , . , . , . , 22 052 63 18 250. , .−

VPL = − =19 473 68 30 000. , . 1.223,88

5.• Projeto A10.000 CHS g Cf05.000 g Cfj4.000 g Cfj3.000 g Cfjf IRR10,65%

• Projeto B30.000 CHS g Cf09.000 g Cfj12.000 g Cfj15.000 g Cfjf IRR8,89%

6.360.000 CHS g Cf050.000 g Cfj2 g Nj70.000 g Cfj2 g Nj80.000 g Cfj3 g Njf IRR7,08%

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