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Matemática – EsPCEx - 2017 Gabriel Carvalho / [email protected] Combinatória (REVISÃO FINAL) PRATICANDO EM SALA 1. (ESPCEx – 2015) Da análise combinatória, pode-se afirmar que (A) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados por três algarismos, é igual a 80. (B) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. (C) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as votais juntas é igual a 60. (D) no cinema, um casal ai sentar-se em uma fileira com dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90. (E) a quantidade de funções injetoras definidas em = {1; 3; 5} com valores em = {2; 4; 6; 8} é igual a 24. 2. (EsPCEx – 2014) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A somas de todos os números assim formados é igual a (A) 1000000 (B) 1111100 (C) 6000000 (D) 6666000 (E) 6666600 3. (ESPCEx – 2011) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição a) 144 b) 145 c) 206 d) 214 e) 215 4. (ESPCEx – 2010) Os alunos de uma escola realizam experiências no laboratório de Química utilizando 8 substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as substâncias 1, 2 e 3 não devem ser misturadas entre si, pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o gás metano é (A) 16 (B) 24 (C) 25 (D) 28 (E) 56 5. (EsPCEx – 2016) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo essas restrições? (A) 56 (B) 456 (C) 40320 (D) 72072 (E) 8648640 6. (UnB) Uma agência de viagens oferece a seus clientes circuitos turísticos compreendendo a visita a três localidades diferentes, a escolher entre as seguintes: Pantanal, Manaus, Fortaleza, Ouro Preto e Rio de Janeiro. Circuitos compreendendo a visita às mesmas localidades, em diferentes ordens, são considerados distintos. Com base nessas informações, calcule o número de possíveis circuitos que não passam pelo Rio de Janeiro. 7. (FURG – RS) O número de arranjos simples de elementos distintos tomados 3 a 3 é o dobro do número de combinações simples desses elementos tomados 4 a 4. O valor de é igual a (A) 15 (B) 12 (C) 10 (D) 9 (E) 16 8. (UFU) Um sério problema enfrentado pelas autoridades de saúde é diagnosticar a pneumonia asiática. Atualmente são conhecidos 7 sintomas dessa doença. Se em um paciente forem detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar que o número total de combinações distintas dos sintomas possíveis para que o diagnóstico de pneumonia asiática seja efetivado é igual a (A) 21 (B) 29 (C) 147 (D) 210 9. (FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis.
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Matemática – EsPCEx - 2017
Gabriel Carvalho / [email protected]
Combinatória (REVISÃO FINAL)
PRATICANDO EM SALA
1. (ESPCEx – 2015) Da análise combinatória, pode-se afirmar
que
(A) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11,
formados por três algarismos, é igual a 80.
(B) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos
distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e
6 é igual a 24.
(C) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as
votais juntas é igual a 60.
(D) no cinema, um casal ai sentar-se em uma fileira com
dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que
poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a
90.
(E) a quantidade de funções injetoras definidas em 𝐴 =
{1; 3; 5} com valores em 𝐵 = {2; 4; 6; 8} é igual a 24.
2. (EsPCEx – 2014) Permutam-se de todas as formas possíveis
os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim
formados em ordem crescente. A somas de todos os
números assim formados é igual a
(A) 1000000
(B) 1111100
(C) 6000000
(D) 6666000
(E) 6666600
3. (ESPCEx – 2011) Se todos os anagramas da palavra ESPCEX
forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX
ocupará, nessa ordenação, a posição
a) 144
b) 145
c) 206
d) 214
e) 215
4. (ESPCEx – 2010) Os alunos de uma escola realizam
experiências no laboratório de Química utilizando 8
substâncias diferentes. O experimento consiste em misturar
quantidades iguais de duas dessas substâncias e observar o
produto obtido. O professor recomenda, entretanto, que as
substâncias 𝑆1, 𝑆2 e 𝑆3 não devem ser misturadas entre si,
pois produzem como resultado o gás metano, de odor muito
ruim. Assim, o número possível de misturas diferentes que
se pode obter, sem produzir o gás metano é
(A) 16
(B) 24
(C) 25
(D) 28
(E) 56
5. (EsPCEx – 2016) Um grupo é formado por oito homens e
cinco mulheres. Deseja-se dispor essas oito pessoas em uma
fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres
ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as
posições 6, 7 e 8. Quantas formas possíveis de fila podem
ser formadas obedecendo essas restrições?
(A) 56
(B) 456
(C) 40320
(D) 72072
(E) 8648640
6. (UnB) Uma agência de viagens oferece a seus clientes
circuitos turísticos compreendendo a visita a três
localidades diferentes, a escolher entre as seguintes:
Pantanal, Manaus, Fortaleza, Ouro Preto e Rio de Janeiro.
Circuitos compreendendo a visita às mesmas localidades,
em diferentes ordens, são considerados distintos. Com base
nessas informações, calcule o número de possíveis circuitos
que não passam pelo Rio de Janeiro.
7. (FURG – RS) O número de arranjos simples de 𝑛 elementos
distintos tomados 3 a 3 é o dobro do número de
combinações simples desses elementos tomados 4 a 4. O
valor de 𝑛 é igual a
(A) 15
(B) 12
(C) 10
(D) 9
(E) 16
8. (UFU) Um sério problema enfrentado pelas autoridades de
saúde é diagnosticar a pneumonia asiática. Atualmente são
conhecidos 7 sintomas dessa doença. Se em um paciente
forem detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a
doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar que o
número total de combinações distintas dos sintomas
possíveis para que o diagnóstico de pneumonia asiática seja
efetivado é igual a
(A) 21
(B) 29
(C) 147
(D) 210
9. (FUVEST) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4
itens distintos cada, para distribuir entre a população
carente. Esses itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de
produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis.
Matemática – EsPCEx - 2017
Gabriel Carvalho / [email protected]
Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja
alimento não perecível e pelo menos um que seja produto
de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser
feitos?
(A) 360
(B) 420
(C) 540
(D) 600
(E) 640
10. (PUC – RS) O número de produtos positivos de 3 fatores
distintos que se pode obter com os elementos do conjunto
{−17; −5; −1; 3; 7; 11; 19} é
(A) 5
(B) 16
(C) 31
(D) 35
(E) 48
11. (UF Juiz de Fora – MG) Dada uma circunferência, o número
de cordas que podemos traçar com 6 pontos distintos sobre
ela é
(A) 6
(B) 12
(C) 15
(D) 24
(E) 30
12. (ITA) Considere 12 pontos distintos no plano, 5 dos quais
estão numa mesma reta. Qualquer outra reta contém, no
máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podem ser
formados com os vértices nestes pontos?
(A) 210
(B) 315
(C) 410
(D) 415
(E) 521
13. (ITA) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma
comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz.
De quantas formas distintas tal comissão poderá ser
formada?
14. De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo
pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4
mulheres?
15. Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o
digito 4 figura exatamente três vezes e o digito 8
exatamente 2 vezes?
16. (USP) Em uma comunidade, dois homens sempre se
cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se
despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem
e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão,
mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam
acenos, tanto para se cumprimentarem como para de
despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas
almoçaram juntas, todas se cumprimentaram e se
despediram na forma descrita acima. Quantos dos
presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720
apertos de mão?
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
17. (UNESP) O número de maneiras que 3 pessoas podem
sentar-se em uma fileira de 6 cadeiras vazias de modo que,
entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre exista uma
cadeira vazia, é:
A) 3. B) 6. C) 9. D) 12. E) 15.
18. (UnB) Seis astronautas devem ser divididos em dois grupos
de 3 homens cada: um grupo para ir à lua, outro para ficar
na base espacial. Calcule o número total de situações
resultantes possíveis.
19. (FGV) Por ocasião do Natal, um grupo de amigos resolveu
que cada um do grupo mandaria 3 mensagens a todos os
demais E assim foi feito. Como o total de mensagens
enviadas foi de 468, pode-se concluir que o número de
pessoas que participam desse grupo é
(A) 156
(B) 72
(C) 45
(D) 13
(E) 11
20. Quantos são os anagramas de URUGUAI que começam
por vogal?
21. Quantos são os anagramas da palavra PIRACICABA que não
têm duas letras A juntas?
22. (IME) Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPPI nos
quais não há duas letras I consecutivas?
23. (ITA) Qual é o número de soluções inteiras e não negativas
da equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 5?
24. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda
com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas
crianças não fiquem juntas?
25. De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar
uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo
não fiquem juntas?
26. Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no
mínimo três pessoas podem formar?
Matemática – EsPCEx - 2017
Gabriel Carvalho / [email protected]
GABARITO
PRATICANDO EM SALA
1. E 2. E 3. B 4. C 5. c 6. 24 7. A 8. B 9. E 10. B 11. C 12. A 13. 125 14. 371 15. 12960 16. B 17. D 18. 20 19. D 20. 600 21. 70560 22. 7350 23. 56 24. 480 25. 2880 26. 968
