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Capítulo 1

Matemática ElementarConjuntos

19 de fevereiro de 2019

Igor [email protected]

Instituto Metrópole DigitalUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

Natal-RN

mailto:[email protected]

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IMD1001Matemática Elementar

Igor Oliveira

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Introdução

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União e Interseção

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op leó r Dt ie giM t ao ltutits

n IÍndice

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n IApresentação da Aula

Motivação

Praticamente toda a matemática atual é formulada na linguagemde conjuntos mesmo sendo a mais simples das ideias matemáti-cas. Portanto, o bom entendimento de como trabalhar com con-juntos é fundamental.

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n IA Noção de Conjunto

I Um conjunto é definido por seus elementos (e nada mais).Isso nos traz imediatamente que dois conjuntos são iguaisse, e somente se, possuem os mesmos elementos.

I Dados um conjunto A e um objeto qualquer b, há somenteuma pergunta cabível para nós: b é um elemento doconjunto A? Tal pergunta só admite sim ou não comoresposta. Isso se dá porque, na Matemática, qualquerafirmação é verdadeira ou é falsa, sem possibilidade deuma terceira opção ou de ser as duas coisas ao mesmotempo.

I O item anterior faz parecer que a Matemática é infalível seutilizada corretamente, mas ela não é. Gödel provou quetodo sistema formal é falho no sentido de que vai possuirverdades que não podem ser provadas – os chamadosparadoxos. Antes de assistir ao vídeo Este vídeo estámentindo, reflita se você vai acreditar nele ou não.

https://youtu.be/UI1xR_AECrU

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Exemplo 1

O conjunto PP dos números primos pares pode serrepresentado por PP = {x ; x é primo e par} = {2}. Nuncaescreva PP = {números primos pares}.

Exemplo 2

Temos V = {a,e, i ,o,u} como sendo o conjunto das vogais.

Quando um elemento pertence a um determinado conjunto,usamos o símbolo ∈, e, quando não pertence, usamos /∈.

Exemplo 3

Considere PP e V conforme definido anteriormente. Temosque e ∈ V e 3 /∈ PP.

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Definição 4

O conjunto que não possui elementos é chamado deconjunto vazio e é representado por ∅.

Exemplo 5

Quais outros conjuntos você conhece? Que tal pensar sobre oconjunto A = {x ; x /∈ A}?

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n IA Relação de Inclusão

Definição 6

Sejam A e B conjuntos. Se todo elemento de A for tambémelemento de B, diz-se que A é um subconjunto de B, que Aestá contido em B, ou que A é parte de B. Para indicar essefato, usa-se a notação A ⊂ B.

Quando A não é um subconjunto de B, escreve-se A 6⊂ B. Emoutras palavras, existe pelo menos um elemento a tal quea ∈ A e a /∈ B.

Definição 7

Quando A ⊂ B, dizemos que B contém A e escrevemos B ⊃ A.

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Exemplo 8

Sejam T o conjunto de todos os triângulos e P o conjunto dospolígonos do plano. Todo triângulo é um polígono, logo T ⊂ P.

Exemplo 9

Na Geometria, uma reta, um plano e o espaço são conjuntos.Seus elementos são pontos.Quando dizemos que uma reta r está no plano Π, estamosafirmando que r está contida em Π ou, equivalentemente, quer é um subconjunto de Π, pois todos os pontos que pertencema r pertencem também a Π.Nesse caso, deve-se escrever r ⊂ Π. Porém, não é corretodizer que r pertence a Π, nem escrever r ∈ Π. Os elementosdo conjunto Π são pontos e não retas.

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Exemplo 10

Para todo conjunto A, vale ∅ ⊂ A.

Definição 11

Dizemos que A 6= ∅ é um subconjunto próprio de B quandoA ⊂ B e A 6= B.

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Proposição 12 (Propriedades da inclusão)

Sejam A, B e C conjuntos. Tem-se:i. Reflexividade: A ⊂ A;ii. Antissimetria: Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B;iii. Transitividade: Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.

Demonstração no quadro.

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Definição 13

Dado um conjunto A, chamamos de conjunto das partes de Ao conjunto formado por todos os seus subconjuntos, edenotamo-lo P(A).

Exemplo 14

Dado A = {1,2,3}, determine P(A).

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n IO Complementar de um Conjunto

A noção de complementar de um conjunto só faz sentidoquando fixamos um conjunto universo, que denotaremos porU . Uma vez fixado U , todos os elementos consideradospertencerão a U e todos os conjuntos serão subconjuntos deU . Por exemplo, na geometria plana, U é o plano.

Definição 15

Dado um conjunto A (isto é, um subconjunto de U), chama-secomplementar de A ao conjunto AC formado pelos elementosde U que não pertencem a A.

Exemplo 16

Seja U o conjunto dos triângulos. Qual o complementar doconjunto dos triângulos escalenos?

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Proposição 17 (Propriedades do complementar)

Fixado um conjunto universo U , sejam A e B conjuntos.Tem-se:

i. UC = ∅ e ∅C = U ;

ii.(AC

)C= A (Todo conjunto é complementar do seu

complementar);iii. Se A ⊂ B então BC ⊂ AC (se um conjunto está contido em

outro, seu complementar contém o complementar desseoutro).


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Definição 18

A diferença entre dois conjuntos A e B é definida por:

B \ A = {x ; x ∈ B e x /∈ A} .

I Em geral, não temos B \ A = A\B. Pense em umcontraexemplo a essa igualdade.

I Note que AC = U \ A.

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14 União e Interseção

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n IUnião e Interseção de Conjuntos

Definição 19

Dados os conjuntos A e B:i. A união (ou reunião) A ∪ B é o conjunto formado pelos

elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntosA e B;

ii. A interseção A ∩ B é o conjunto formado por elementosque pertencem a ambos A e B.

Exemplo 20

Sejam A = {1,2,3} e B = {2,5}. Determine A ∪ B, A ∩ B,A \ B e B \ A.

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15 União e Interseção

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n IUnião e Interseção de Conjuntos

Proposição 21 (Propriedades da união e interseção)

Sejam A, B e C conjuntos. Tem-se:i. Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A e A ∩ B = B ∩ A;ii. Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) e

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);iii. Distributividade, de uma em relação à outra:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) eA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

iv. A ⊂ (A ∪ B) e (A ∩ B) ⊂ A;

v. Leis de DeMorgan: (A ∪ B)C = AC ∩ BC e(A ∩ B)C = AC ∪ BC .


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n IAtividade Online

Atividade 01 - Notação Básica de ConjuntoVeja o desempenho na Missão O Mundo da Matemática -Probabilidade

https://pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/e/basic_set_notation

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n IConjuntos e Lógica

Em toda essa seção, considere P e Q propriedades aplicáveisaos elementos de U . Considere também A = {x ; x possui P}e B = {x ; x possui Q}.

I Inclusão e implicação: A ⊂ B é equivalente a P =⇒ Q.I Igualdade e bi-implicação: A = B é equivalente a

P ⇐⇒ Q.

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18 Lógica

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Exemplo 22

Analise as implicações abaixo:

x2 + 1 = 0 =⇒(x2 + 1

) (x2 − 1

)= 0 ·

(x2 − 1

)=⇒ x4 − 1 = 0

=⇒ x4 = 1=⇒ x ∈ {−1,1}

Isso quer dizer que o conjunto solução de x2 + 1 = 0 é{−1,1}?

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19 Lógica

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I Complementar e negação: AC é equivalente a ∼ P;I Podemos combinar os itens (ii) e (iii) da Proposição 17

(Propriedades do complementar) e obter que

P =⇒ Q se, e somente se, ∼ Q =⇒ ∼ P.

Chamamos ∼ Q =⇒ ∼ P de contrapositiva de P =⇒ Q.I Chamamos Q =⇒ P de recíproca de P =⇒ Q e

P∧ ∼ Q de negação de P =⇒ Q.

Exemplos no Exercício 29.

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Exemplo 23

Observe as afirmações abaixo:I Todo número primo maior do que 2 é ímpar;I Todo número par maior do que 2 é composto.

Essas afirmações dizem exatamente a mesma coisa, ou seja,exprimem a mesma ideia, só que com diferentes termos.Podemos reescrevê-las na forma de implicações vendoclaramente que uma é a contrapositiva da outra, todas sob ahipótese que n ∈ N, n > 2:

n primo =⇒ n ímpar∼ (n ímpar ) =⇒ ∼ (n primo )

n par =⇒ n composto

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21 Lógica

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I União e disjunção: A ∪ B é equivalente a P ∨Q (P ou Q).I Interseção e conjunção: A ∩ B é equivalente a P ∧Q (P e

Q).

Observação 24

O conectivo lógico ou tem significado diferente do usadonormalmente no português. Na linguagem coloquial, usamosP ou Q sem permitir que sejam as duas coisas ao mesmotempo. Analisem a seguinte história:Um obstetra que também era matemático acabara de realizarum parto quando o pai perguntou: “É menino ou menina,doutor?”. E ele respondeu: “sim”.

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22 Lógica

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n IConjuntos e LógicaResumo

A = B P ⇐⇒ QA ⊂ B P =⇒ Q

AC ∼ PA ∪ B P ∨QA ∩ B P ∧Q

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Problema: A polícia prende quatro homens, um dos quaiscometeu um furto. Eles fazem as seguintes declarações:

I Arnaldo: Bernaldo fez o furto.I Bernaldo: Cernaldo fez o furto.I Dernaldo: eu não fiz o furto.I Cernaldo: Bernaldo mente ao dizer que eu fiz o furto.

Se sabemos que só uma destas declarações é a verdadeira,quem é culpado pelo furto?

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n IExercícios

1. Decida quais das afirmações a seguir estão corretas.Justifique suas respostas.a. ∅ ∈ ∅;b. ∅ ⊂ ∅;c. ∅ ∈ {∅};d. ∅ ⊂ {∅}.2. Complete as demonstrações da Proposição 21 que nãoforam feitas em sala de aula.3. Demonstre que os seguintes itens são equivalentes:a. A ∪ B = B;b. A ⊂ B;c. A ∩ B = A.Dica: Para tanto, é preciso provar a. ⇐⇒ b. e b. ⇐⇒ c..Outra maneira é provar a. =⇒ b., b. =⇒ c. e por fim,c. =⇒ a..

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n IExercícios

4. O diagrama de Venn para os conjuntos X , Y , Z decompõeo plano em oito regiões. Numere essas regiões e exprimacada um dos conjuntos abaixo como união de algumas dessasregiões. (Por exemplo: X ∩ Y = 1 ∪ 2.)

a.(X C ∪ Y

)C;

b.(X C ∪ Y

)∪ Z C ;

c.(X C ∩ Y

)∪(X ∩ Z C

);

d. (X ∪ Y )C ∩ Z .5. Exprimindo cada membro como união de regiõesnumeradas, prove as igualdades:a. (X ∪ Y ) ∩ Z = (X ∩ Z ) ∪ (Y ∩ Z );

b. X ∪ (Y ∩ Z )C = X ∪ Y C ∪ Z C .6. Sejam A, B e C conjuntos. Determine uma condiçãonecessária e suficiente para que se tenhaA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C.

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n IExercícios

7. Recorde a definição da diferença entre conjuntos:

B \ A = {x ; x ∈ B e x /∈ A} .

Mostre quea. B \ A = ∅ se, e somente se, B ⊂ A;b. B \ A = B se, e somente se, A ∩ B = ∅;c. Vale a igualdade B \ A = A \ B se, e somente se, A = B;d. Determine uma condição necessária e suficiente para que

se tenhaA \ (B \ C) = (A \ B) \ C.

8. Dê exemplos de implicações, envolvendo conteúdos deensino médio, que sejam: verdadeiras com recíprocaverdadeira; verdadeiras com recíproca falsa; falsas, comrecíproca verdadeira; falsas, com recíproca falsa.

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n IExercícios

9. Considere P, Q e R condições aplicáveis aos elementos deum conjunto universo U , e A, B e C os subconjuntos de U doselementos que satisfazem P, Q e R, respectivamente.Expresse, em termos de implicações entre P, Q e R, asseguintes relações entre os conjuntos A, B e C.a. A ∩ BC ⊂ C;b. AC ∪ BC ⊂ C;c. AC ∪ B ⊂ CC ;d. AC ⊂ BC ∪ C;e. A ⊂ BC ∪ CC .10. Considere as seguintes (aparentes) equivalências lógicas:

x = 1 ⇐⇒ x2 − 2x + 1 = 0

⇐⇒ x2 − 2 · 1 + 1 = 0

⇐⇒ x2 − 1 = 0⇐⇒ x = ±1

Conclusão (?): x = 1 ⇐⇒ x = ±1. Onde está o erro?

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11. Escreva as recíprocas, contrapositivas e negaçõesmatemáticas das seguintes afirmações:a. Todos os gatos têm rabo; (G =⇒ R)

Recíproca: Se têm rabo então é gato; (R =⇒ G)Contrapositiva: Se não tem rabo então não é gato;(∼ R =⇒ ∼ G)Negação: Existe um gato que não tem rabo. (G∧ ∼ R)

b. Sempre que chove, eu saio de guarda-chuva ou fico emcasa;

c. Todas as bolas de ping pong são redondas e brancas;d. Sempre que é terça-feira e o dia do mês é um número

primo, eu vou ao cinema;e. Todas as camisas amarelas ou vermelhas têm manga

comprida;f. Todas as coisas quadradas ou redondas são amarelas e

vermelhas.

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n IExercícios

12. Considere os conjuntos: F composto por todos osfilósofos; M por todos os matemáticos; C por todos oscientistas; e P por todos os professores.a. Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a

linguagem de conjuntos:(i) Todos os matemáticos são cientistas; (ii) Algunsmatemáticos são professores; (iii) Alguns cientistas sãofilósofos; (iv) Todos os filósofos são cientistas ouprofessores; (v) Nem todo professor é cientista.

b. Faça o mesmo com as afirmativas abaixo:(vi) Alguns matemáticos são filósofos; (vii) Nem todofilósofo é cientista; (viii) Alguns filósofos são professores;(ix) Se um filósofo não é matemático, ele é professor; (x)Alguns filósofos são matemáticos.

c. Tomando as cinco primeiras afirmativas como hipóteses,verifique quais das afirmativas do segundo grupo sãonecessariamente verdadeiras.

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n IExercícios

13. Considere um grupo de 4 cartões, que possuem uma letraescrita em um dos lados e um número do outro. Suponha queseja feita, sobre esses cartões, a seguinte afirmação: Todocartão com uma vogal de um lado tem um número ímpar dooutro. Quais dos cartões abaixo você precisaria virar paraverificar se essa afirmativa é verdadeira ou falsa?

A 1 B 4

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n IBibliografia

[1] LIMA, Elon L.Números e Funções Reais.1. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.

[2] LIMA, Elon L; CARVALHO, Paulo César P; Wagner,Eduardo; MORGADO, Augusto C.A Matemática do Ensino Médio. Vol. 1.9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.

[3] OLIVEIRA, Krerley I M; FERNÁNDEZ, Adán J C.Iniciação à Matemática: um Curso com Problemas eSoluções.2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2010.

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