Matemática Aplicada (Agronomía) -...

Matemaacutetica Aplicada (Agronomiacutea)

Hernaacuten Castro Zhttpinst-matutalcacl~hcastro

hcastroinst-matutalcacl

Uacuteltima actualizacioacuten 20 de Abril del 2014

Apunte financiado parcialmente por Proyecto de investigacioacuten asociativa ACT 56

Iacutendice general

1 Repaso 111 Algunas herramientas de caacutelculo 1

111 Derivadas 1112 Ejercicios 3113 Algunos conceptos relativos a la derivada 3114 Ejercicios 7

12 Optimizacioacuten en una variable 8121 Ejercicios 13

13 Razoacuten de cambio 16131 Ejercicios 18

14 Funciones exponenciales y logariacutetmicas 19141 Ejercicios 21

2 Modelos funcionales 2321 Nociones baacutesicas de modelamiento matemaacutetico 2322 Anaacutelisis Marginal y aproximacioacuten de funciones 25

221 Ejercicios 2823 Modelos exponenciales y logariacutetmicos 29

231 Ejercicios 3524 Funciones de dos variables 36

241 Ejercicios 38242 Graacuteficos de funciones 39

25 Derivadas parciales 40251 Ejercicios 44

26 Optimizacioacuten de funciones de dos variables 44261 Extremos relativos y puntos criacuteticos en dos variables 45262 Ejercicios 48

27 Optimizacioacuten aplicada 49

ii

271 Ejercicios 5228 Optimizacioacuten con restricciones 53

281 Multiplicadores de Lagrange 54282 Ejercicios 56

29 Ajuste de curvas 56291 Ajuste de rectas recta de miacutenimos cuadrados (RMC) 57292 Ajustes no lineales 60293 Ejercicios 65

3 Programacioacuten lineal 6831 Solucioacuten graacutefica de problemas de programacioacuten lineal en dos variables 68

311 Ejercicios 7032 Modelos de programacioacuten lineal en dos variables 71

321 Ejercicios 7533 Modelos de programacioacuten lineal en tres o mas variables 77

331 Ejercicios 7734 Meacutetodo Simplex 77

341 Ejercicios 774 Ecuaciones diferenciales 78

41 Introduccioacuten 78411 Ejercicios 80

42 EDOs de primer orden 80421 Soluciones por integracioacuten directa 80422 Ejercicios 80423 Ecuaciones autoacutenomas 81424 Ejercicios 83425 Soluciones por separacioacuten de variables 84426 Ejercicios 85427 EDOs lineales de primer orden 86428 Problemas de valor inicial 87429 Ejercicios 88

43 Modelos que usan EDOs de primer orden 89431 Dinaacutemica de poblaciones 89432 Objetos en caiacuteda libre 91433 Ley de Torricelli 95434 Ley de enfriamiento de Newton 96

435 Mezcla de soluciones 97436 Ejercicios 99

44 EDOs lineales de segundo orden 102441 EDOs lineales de segundo orden homogeacutenea 102442 EDOs lineales de segundo orden no-homogeacutenea 103443 Problemas de valor inicial 104444 Ejercicios 104

45 Modelos que usan EDOs de segundo orden 105451 Ejercicios 105

46 Sistemas de EDOs lineales de primer orden 105461 Solucioacuten de un sistema de EDOs lineales 106462 Problemas de valor inicial para sistemas de EDOs 107463 Ejercicios 107

47 Modelos que usan Sistemas de EDOs 108471 Ejercicios 108

Bibliografiacutea 109

PrefacioEste apunte ha sido elaborado para el curso ldquoMatemaacutetica Aplicadardquo que se dicta para la carrera de

Agronomiacutea en la Universidad de TalcaDado que el curso es un compendio de materias expuestas en diversos libros lo que se ha hecho es

recopilar dichas materias organizarlas en la manera en que se exponen en el curso ademaacutes de incorporardiversos ejercicios en cada seccioacuten

Cabe mencionar que tanto algunos contenidos teoacutericos como algunos ejemplos han sido extraiacutedos dela bibliografiacutea sentildealada con el fin de que este apunte sea lo maacutes auto-contenido posible Ademaacutes se hanincorporado ejemplos y ejercicios de autoriacutea de quieacuten escribe este manuscrito para complementar loscontenidos

Finalmente aclarar que este apunte estaacute en permanente construccioacuten por lo que la exposicioacuten dealgunas materias tanto como la lista de ejercicios puede variar en el tiempo Ademaacutes algunos contenidosauacuten no estaacuten completos

v

Capiacutetulo 1

Repaso11 Algunas herramientas de caacutelculo111 DerivadasDefinicioacuten 11 Dada una funcioacuten f definida en un intervalo I sube R definimos la derivada de f en x0 isin Icomo

f prime(x0) = lımhrarr0f (x0 + h)minus f (x0)

h Observacioacuten 11 El liacutemite en la definicioacuten de la derivada puede no existir Si este es el caso

decimos que la funcioacuten no es diferenciable en x0Es importante recordar que la derivada de una funcioacuten tiene varias interpretaciones En primerlugar si tenemos dos variables x y relacionadas por una funcioacuten f es decir y = f (x) entoncesf prime(x0) representa la tasa instantaacutenea de cambio de la variable y con respecto a la variable x en elinstante x0Otra interpretacioacuten de la derivada se puede obtener al observar el graacutefico de la funcioacuten f En estecaso el valor f prime(x0) corresponde a la pendiente de la recta tangente al graacutefico de f (x) en el punto(x0 f (x0)) Ver figura 11 para visualizar este punto

Para efectos praacutecticos no utilizamos la definicioacuten formal de la derivada por el contrario debemosconocer las derivadas de ciertas funciones baacutesicas y las reglas para obtener derivadas de funcionesgeneradas a partir de estas funciones baacutesicas

Dentro de las funciones baacutesicas consideramos polinomios funciones trigonomeacutetricas logaritmos yexponenciales Asiacute como se debe saber calcular la derivadas de funciones generadas a partir de lasanteriores mediante operaciones entre funciones sumas restas productos (regla del producto) cocientes(regla del cociente) composiciones (regla de la cadena)

El siguiente ejemplo ilustra alguno casos

1

Matemaacutetica aplicada - Agronomiacutea IMAFI - UTalca

y = f (x)

y = f (x0) + f prime(x0)(x minus x0)f (x0)

x0

Figura 11 La derivada es la pendiente de la recta tangente

Ejemplo 11 Encontrar la derivada de f (x) = sen x + ex2+4ln(tan x) + x5

Solucioacuten Para encontrar la derivada iremos paso a paso

f prime(x) =(sen x + ex2+4x middot ln x + x5

)prime

=(sen x + ex2+4)prime middot (x middot ln x + x5)minus (sen x + ex2+4) middot (x middot ln x + x5)prime

(x middot ln x + x5)2

=(

(sen x)prime + (ex2+4)prime) middot (x middot ln x + x5)minus (sen x + ex2+4) middot ((x middot ln x)prime + (x5)prime)(x middot ln x + x5)2

=(cos x + 2x middot ex2+4) middot (x middot ln x + x5)minus (sen x + ex2+4) middot ((ln x + 1) + 5x4)


Otro tipo de derivadas que debemos ser capaces de calcular es aquella que requiere derivacioacutenimpliacutecita cuando la variable dependiente y la variable independiente estaacuten relacionadas mediante unaecuacioacutenEjemplo 12 Calcular la derivada de y en teacuterminos de x e y cuando x2y+ tany = log2(xy)Solucioacuten En esto casos debemos derivar ambos lados de la ecuacioacuten con respecto a la variable x asumiendo que y depende de x El principal cuidado que debemos tener es que siempre asumimos que y

2

IMAFI - UTalca Matemaacutetica aplicada - Agronomiacutea

es una funcioacuten que depende de x por lo que la derivada de y es entonces dydx y para obtener la derivadade funciones de y debemos usar la regla de la cadena

ddx(x2y+ tany) = d

dx(log2(xy))

2xy+ x2dydx + sec2 y middot dydx = 1xy ln 2

(y+ x dydx

)

de donde deducimos quedydx =

1x ln 2 minus 2xy

x2 + sec2 yminus 1y ln 2

112 EjerciciosEjercicio 11 Calcule las derivadas de

1 f (x) = sen(x2)2 f (x) = sen2 x 3 f (x) = x2

x5 + 3radicx + 1 + x cos x 4 f (x) = e2x 5 f (x) = 22x

6 f (x) = ln(x5)7 f (x) = (ln(x))58 f (x) = log2 x 9 f (t) = A

1 + Ceminuskt donde A C y k son constantespositivas

Ejercicio 12 Dada la relacioacuten entre x e y encuentre dydx 1 x2 +y2 = R2 donde R es una constante positiva2 yx2 + lny = cos(xy)

3 x2 + 13y3x minus y = 10

113 Algunos conceptos relativos a la derivadaDefinicioacuten 12 (Nuacutemeros y puntos criacuteticos) Dado un intervalo I sube R decimos que c isin I es un nuacutemerocriacutetico para la funcioacuten f I minusrarr R si

1 f prime(c) no esta definido oacute2 f prime(c) estaacute definido y f prime(c) = 0

Ademaacutes si c es un nuacutemero criacutetico decimos que el par (c f (c)) es un punto criacutetico para la funcioacutenEjemplo 13 Encontrar los puntos criacuteticos de la funcioacuten f (x) = cos x en el intervalo [0 3π)

3


Solucioacuten La derivada de la funcioacuten f estaacute dada por f prime(x) = minus sen x que estaacute definida en todo el intervaloluego para encontrar los puntos criacuteticos debemos resolver la ecuacioacuten

minus sen x = 0Si resolvemos la ecuacioacuten nos damos cuenta que el conjunto solucioacuten estaacute dado por todos los muacutelti-plos enteros de π es decir minus4πminus3πminus2πminusπ 0 π 2π 3π 4π de los cuales soacutelo 0 π 2πpertenecen al intervalo en cuestioacuten Luego los puntos criacuteticos son exactamente (0 1) (πminus1) y (2π 1) Ejemplo 14 Encontrar los puntos criacuteticos de la funcioacuten f (x) = |x| en el intervalo [minus1 1)Solucioacuten En este caso la funcioacuten |x| no es diferenciable en c = 0 (iquestPor queacute) Por lo que tenemos que0 es un punto criacutetico Por otra parte cuando x 6= 0 la derivada de |x| nunca se anula (iquestPor queacute) dedonde deducimos que el uacutenico punto criacutetico de la funcioacuten es (0 0)

Definicioacuten 13 (Monotoniacutea de funciones) Dado un intervalo I sube R y una funcioacuten f I minusrarr R Decimosque

una funcioacuten es creciente si cada vez que x1 lt x2 entonces f (x1) lt f (x2)una funcioacuten es decreciente si cada vez que x1 lt x2 entonces f (x1) gt f (x2)

Ejemplo 15 Determine donde la funcioacuten f (x) = x2 minus x es creciente y donde es decreciente

minus2 minus15 minus1 minus05 05 1 15 2minus1

1

2

3

4

5

6

bull

bull

Figura 12 Graacutefico de f (x) = x2 minus x en [minus2 2]iquestCoacutemo determinamos si una funcioacuten es creciente o decreciente

Teorema 11 (Test de la primera derivada para determinar monotoniacutea) Dado un intervalo I sube R y unafuncioacuten diferenciable f I minusrarr R Tenemos que

f es creciente en el intervalo I si f prime(x) gt 0 para todo x isin I f es decreciente en el intervalo I si f prime(x) lt 0 para todo x isin I

4


Solucioacuten (Ejemplo 15) Calculamos la derivada de f y obtenemos f prime(x) = 2x minus 1 Para determinar el tipode monotoniacutea de la funcioacuten debemos analizar el signo de f Para ello encontramos los puntos criacuteticos eneste caso solo hay uno x = 1

2 y dividimos el intervalo en cuestioacuten usando los puntos criacuteticos

intervalo f prime(x) signo de f prime(x) f (x)(minusinfin 12) 2x minus 1 minus decreciente(12 infin) 2x minus 1 + creciente

Definicioacuten 14 (Extremos relativos) Decimos que una funcioacuten f tiene un

maacuteximo relativo en x0 si es que f (x0) ge f (x) para todo x e un intervalo a lt c lt bmiacutenimo relativo en x0 si es que f (x0) le f (x) para todo x e un intervalo a lt c lt b

Ejemplo 16 Encontrar los maacuteximos y miacutenimos relativos de la funcioacuten f (x) = x3 minus 3x

minus3 minus2 minus1 1 2 3

minus20

minus10

10

20 bull

bull

Figura 13 Graacutefico de x3 minus 3x en [minus3 3]iquestCoacutemo encontrar extremos relativos

Teorema 12 (Test de la primera derivada para extremos relativos) Dado un intervalo I sube R y unafuncioacuten diferenciable f I minusrarr R Tenemos que

x0 es un maacuteximo relativo para f si es que f prime(x) gt 0 a la izquierda de x0 y f prime(x) lt 0 a la derecha dex0x0 es un miacutenimo relativo para f si es que f prime(x) lt 0 a la izquierda de x0 y f prime(x) gt 0 a la derecha dex0

5


Solucioacuten (Ejemplo 16) Calculamos f prime(x) = 3x2 minus 3 de donde obtenemos 2 puntos criacuteticos (minus1 2) y(1minus2) Tenemos la siguiente tabla

intervalo f prime(x) signo de f prime(x)(minusinfinminus1) 3(x + 1)(x minus 1) +(minus1 1) 3(x + 1)(x minus 1) minus(1infin) 3(x + 1)(x minus 1) +

de donde concluimos que f tiene un maacuteximo relativo en x = minus1 y un miacutenimo relativo en x = 1

Definicioacuten 15 (Convexidad y concavidad) Decimos queuna funcioacuten f es convexa si es que f prime(x) es creciente en el intervalouna funcioacuten f es coacutencava si es que f prime(x) es decreciente en el intervalo

Teorema 13 (Test de la segunda derivada para determinar convexidad o concavidad) Dado un intervaloI sube R y una funcioacuten dos veces diferenciable f I minusrarr R Tenemos que

f es convexa en el intervalo I si f primeprime(x) gt 0 para todo x isin I f es coacutencava en el intervalo I si f primeprime(x) lt 0 para todo x isin I

Definicioacuten 16 (Puntos de inflexioacuten) Decimos que f tiene un punto de inflexioacuten en el c si es que laconvexidad de la funcioacuten cambia es decir si es que

f es convexa a la izquierda de c y coacutencava a la derecha de c oacutef es coacutencava a la izquierda de c y convexa a la derecha de c

Teorema 14 (Test de la segunda derivada para encontrar puntos de inflexioacuten) Dado un intervalo I sube Ry una funcioacuten f I minusrarr R Tenemos si que c es un punto de inflexioacuten entonces

f primeprime(c) no existe oacutef primeprime(c) existe y f primeprime(c) = 0

Ejemplo 17 Sea f (x) = x3 minus 3x definida sobre todos los reales Determine donde la funcioacuten es coacutencavay donde es convexa Ademaacutes encuentre los puntos de inflexioacutenSolucioacuten Tenemos que f prime(x) = 3x2minus3 por lo que f primeprime(x) = 6x para todo x Por lo tanto tenemos un posiblepunto de inflexioacuten en (0 0)

intervalo f primeprime(x) signo de f primeprime(x)(minusinfin 0) 6x minus(0infin) 6x +

De donde deducimos que f es coacutencava en (minusinfin 0) y convexa en (0infin) Ademaacutes (0 0) es un punto deinflexioacuten

6


Teorema 15 (Test de la segunda derivada para extremos relativos) Dado un intervalo I sube R y unafuncioacuten 2 veces diferenciable f I minusrarr R Tenemos que si x0 isin I satisface f prime(x0) = 0 entonces

x0 es un maacuteximo relativo para f si es que f primeprime(x0) gt 0x0 es un miacutenimo relativo para f si es que f primeprime(x0) lt 0

Ejemplo 18 Sea f (x) = x4 minus 2x2 definida sobre todos los reales Encuentre los extremos relativos deesta funcioacuten e identifique los maacuteximos y miacutenimos relativos

minus2 minus15 minus1 minus05 05 1 15 2

2

4

6

8 bullbull

Figura 14 Graacutefico de f (x) = x4 minus 2x2 en [minus2 2]Solucioacuten Primero identificamos los puntos criacuteticos usando la derivada de f que se puede escribir comof prime(x) = 4x3 minus 4x = 4x(x + 1)(x minus 1) de donde deducimos que hay solo 3 nuacutemeros criacuteticos c = minus1 c = 0y c = 1

Para identificar los extremos relativos calculamos la segunda derivada f primeprime(x) = 12x2 minus 4 y evaluamoslos puntos criacuteticos donde obtenemos

f primeprime(x) f primeprime(c)12x2 minus 4 812x2 minus 4 minus412x2 minus 4 8

De donde concluimos que f tiene miacutenimos relativos cuando c = minus1 y c = 1 y un maacuteximo relativo cuandoc = 0

114 EjerciciosEjercicio 13 Dado los graacuteficos de la figura 15 identifique intervalos de crecimiento decrecimientoconvexidad concavidad puntos criacuteticos puntos de inflexioacuten extremos relativos y absolutosEjercicio 14 Dada la funcioacuten f (x) determine puntos criacuteticos intervalos de crecimiento y decrecimientointervalos de convexidad y concavidad y puntos de inflexioacuten Finalmente haga un bosquejo del graacutefico dela funcioacuten utilizando la informacioacuten anterior

7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)

Figura 15 Graacuteficos para el ejercicio 13

1 f (x) = x 23 en [minus1 2)2 f (x) = (x minus 1) 13 en [minus2 2]3 f (x) = minus 136x3 + 18x2 + 73x minus 2 en [0 4]

4 f (x) = x 23 (2x minus 5) definida sobre todos los reales

5 f (x) = eminusx + x en [0 10]

12 Optimizacioacuten en una variableDefinicioacuten 17 (Maacuteximos y miacutenimos absolutos) Sea f una funcioacuten definida en un intervalo I que contienea un nuacutemero c Decimos que

f (c) es el maacuteximo absoluto de f en I si f (c) ge f (x) para todo x en I yf (c) es el miacutenimo absoluto de f en I si f (c) le f (x) para todo x en I

Habitualmente los extremos absolutos coinciden con los extremos relativos sin embargo hay ocasionesdonde esto no ocurre A continuacioacuten veremos como determinar los extremos absolutos de una funcioacuten

minus1 minus05 05 1 15 2

05

1

15

2 bull

bull

Figura 16 Graacutefico de f (x) = |x| en [minus1 2]

8


dada En primer lugar consideraremos el caso en que el intervalo I es un intervalo cerrado [a b]Teorema 16 (Teorema del Valor extremo) Sea f una funcioacuten continua definida en el intervalo cerrado[a b] Entonces f alcanza sus valores extremos en el intervalo


05

1

15

2

bull

Figura 17 Graacutefico de f (x) = |x| en [minus1 2) Notar que esta funcioacuten no alcanza su maacuteximoGracias a este teorema encontrar valores extremos de una funcioacuten continua en un intervalo cerrado

[a b] es relativamente directo

1 Verificamos que la funcioacuten es continua y que el intervalo es cerrado2 Encontramos los nuacutemeros criacuteticos para la funcioacuten f 3 Calculamos los valores de f en los nuacutemeros criacuteticos ademaacutes calculamos f (a) y f (b)4 El mayor de los valores obtenidos en el paso anterior es el maacuteximo absoluto y el menor de los

valores es el miacutenimo absolutoEjemplo 19 Encontrar los valores extremos de la funcioacuten f (x) = 2x3 minus 3x2 minus 12x minus 7 en el intervalo[minus3 0]

Solucioacuten Siguiendo el procedimiento primero nos damos cuenta que la funcioacuten es un polinomio porlo tanto es continua Luego debemos encontrar los nuacutemeros criacuteticos de f para ello calculamos f prime(x) =6x2 minus 6x minus 12 = 6(x minus 2)(x + 1) y nos percatamos que solo hay dos posibles candidatos c = minus1 y c = 2Sin embargo c = 2 no pertenece al intervalo por lo cual no lo consideramos Finalmente calculamos losvalores de f en los puntos criacuteticos y en los extremos del intervalo

f (x) c f (c)2x3 minus 3x2 minus 12x minus 7 minus3 minus522x3 minus 3x2 minus 12x minus 7 minus1 02x3 minus 3x2 minus 12x minus 7 0 minus7

9


minus3 minus25 minus2 minus15 minus1 minus05

minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull

Figura 18 Graacutefico de f (x) = 2x3 minus 3x2 minus 12x minus 7 en [minus3 0]

De donde deducimos que el maacuteximo absoluto es 0 y se alcanza cuando x = minus1 El miacutenimo absoluto esminus52 y se alcanza cuando x = minus3

Tambieacuten estaremos interesados en encontrar los valores extremos de funciones que no estaacuten definidasen intervalos cerrados en cuyo caso no tenemos garantizada la existencia de dichos valores extremosya que el Teorema del valor extremos no aplica

Para encontrar los valores extremos en estos casos procedemos a encontrar los nuacutemeros criacuteticos yevaluamos la funcioacuten en ellos junto con los extremos del intervalo (si los hubiese) Sin embargo parapoder concluir necesitamos hacer una anaacutelisis extra usando la primera o la segunda derivada de lafuncioacuten Anaacutelisis del graacuteficoEjemplo 110 Sea f (t) = t3 minus 21

2 t2 + 30t + 20 Encuentre si es que los hubiese el maacuteximo y miacutenimoabsoluto de la funcioacuten f en el intervalo t ge 2Solucioacuten En este caso el intervalo es no-acotado por lo que la existencia de los valores extremosno estaacute garantizada Para buscar los valores extremos primero determinamos los nuacutemeros criacuteticosf prime(t) = 3t2minus 21t+ 30 = 3(t2minus 7t+ 10) = 3(tminus 2)(tminus 5) De donde deducimos que hay 2 nuacutemeros criacuteticost = 2 y t = 5 Para saber si estamos en presencia de maacuteximos o miacutenimos debemos estudiar mas a fondola funcioacuten En primer lugar analizamos la primera derivada en cada sub-intervalo

intervalo f prime(t) signo de f prime(t)(2 5) 3(t minus 2)(t minus 5) minus(5infin) 3(t minus 2)(t minus 5) +

de donde podemos deducir de inmediato que t = 5 es un miacutenimo absoluto ya que f es decreciente paratodo t lt 5 y creciente para todo t gt 5 Por otra parte para t = 2 tenemos un maacuteximo local que NO esun maacuteximo absoluto pues para lımtrarrinfin f (t) = +infin (ver Figura 19)

10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull

Figura 19 Graacutefico de f (t) = t3 minus 212 t2 + 30t + 20 para t ge 2

En resumen podemos tenemos la siguiente guiacutea para resolver problemas de optimizacioacuten

1 Identificar que es lo que se quiere maximizar o minimizar Una vez hecho esto asignar nombres alas variables de intereacutes

2 Expresar mediante ecuaciones o desigualdades las relaciones entre las variables Usualmente unafigura puede ayudar en este proceso

3 Reducir la cantidad a ser optimizada para obtener una funcioacuten de una sola variable independienteAdemaacutes se deben identificar posibles restricciones a dicha variable

4 Si denotamos por f (x) a la cantidad a ser optimizada encontramos f prime(x) y determinamos todoslos puntos criacuteticos Luego identificamos el valor requerido (maacuteximo o miacutenimo) usando los meacutetodosanteriormente expuestos

5 Interpretar el resultado en teacuterminos del problema originalSolucioacuten (Ejemplo 21) Recordar que ya realizamos los primeros 3 pasos y habiacuteamos llegado a laconclusioacuten de que queriacuteamos resolver el siguiente problema

minimizar la funcioacuten 2x + 800x

sujeto a que x gt 0(Prsquo)

Para resolver entonces consideramos f (x) = 2x+ 800x y calculamos f prime(x) = 2minus 800x2 de donde obtenemosque el uacutenico punto criacutetico relevante estaacute dado por x = radic400 = 20 Ademaacutes observamos que cuandox lt 20 la funcioacuten es decreciente (f prime(x) lt 0) y cuando x gt 20 la funcioacuten es creciente (f prime(x) gt 0) dedonde concluimos que x = 20 determina un miacutenimo absoluto para f En otras palabras necesitamos2 middot 20 + 800

20 = 80 metros de cerca y el corral tiene las dimensiones expresadas en la Figura 110

11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2

Figura 110 Dimensiones de la cerca ideal

Ejemplo 111 Encontrar los valores extremos de la funcioacuten f (x) = x2 + 16x cuando x gt 0

2 4 6 8 10

50

100

150

Figura 111 Graacutefico de f (x) = x2 + 16x para x gt 0

Solucioacuten Notar que la funcioacuten es discontinua solo cuando x = 0 valor que no estaacute incluido en elintervalo Dicho esto podemos calcular la derivada

f prime(x) = 2x minus 16x2 = 2 (x3 minus 8)

x2 De aquiacute deducimos que x = 2 es el uacutenico nuacutemero criacutetico para la funcioacuten (observar que 0 no se encuentraen el intervalo de intereacutes)

Para determinar si x = 2 es un extremo relativo utilizaremos el test de la primera derivada

intervalo f prime(x) signo de f prime(x)

(0 2) 2 (x3 minus 8)x2 minus

(2infin) 2 (x3 minus 8)x2 +

12


De donde podemos concluir que f tiene un miacutenimo relativo en x = 2 ademaacutes dado que la funcioacuten essiempre decreciente cuando x lt 2 y siempre creciente cuando x gt 2 podemos concluir que en realidad ftiene un miacutenimo absoluto cuando x = 2 Por otra parte dado que lımxrarr0+ f (x) = lımxrarrinfin f (x) = +infin concluimosque f no tiene maacuteximo absoluto

Ejemplo 112 Un agricultor estima que si planta 60 naranjos entonces la cosecha seraacute de 400 naranjaspor aacuterbol La cosecha disminuiraacute 4 naranjas por aacuterbol si es que se planta 1 aacuterbol adicional iquestCuaacutentosaacuterboles deben plantarse para maximizar la cosechaSolucioacuten Nuestro objetivo es maximizar la cosecha por lo que debemos expresar la cosecha como unafuncioacuten

cosecha total = (cantidad de aacuterboles) middot (cosecha por aacuterbol)Observemos que la cantidad de aacuterboles puede ser expresada como 60 + x donde cada x denota un aacuterbolplantado en adicioacuten a los 60 y que la cantidad de naranjas puede ser expresada como 400minus 4x es decirnuestra funcioacuten queda

C (x) = (60 + x)(400minus 4x) = 4(6000 + 40x minus x2)A continuacioacuten identificamos restricciones sobre las variables que en nuestro caso es x Como dijimoscada x representa un aacuterbol plantado con la observacioacuten de que x puede ser negativo en cuyo casoindica que se debe cortar un aacuterbol Dado que inicialmente tenemos 60 aacuterboles la restriccioacuten es quex ge minus60 (no podemos cortar mas aacuterboles de los que tenemos)

Es decir nuestro problema queda maximizar C (x) = 4(6000 + 40x minus x2)

sujeto a que x ge minus60

Para resolver esto calculamos C prime(x) = 8(20minus x) y deducimos que solo hay un nuacutemero criacutetico c = 20Dado que nuestro intervalo es no acotado debemos hacer determinar si este nuacutemero criacutetico es un maacuteximoo miacutenimo usando los test de la primera o segunda derivada

Si calculamos la segunda derivada notamos que C primeprime(x) = minus8 lt 0 para todo x por lo tanto deducimosque c = 20 es un maacuteximo relativo Para determinar si es que es un maacuteximo absoluto observamos que lafuncioacuten es creciente para todo x lt 20 y decreciente para todo x gt 20 En conclusioacuten podemos decir quela cosecha se maximiza si plantamos 20 aacuterboles adicionales es decir si tenemos una plantacioacuten de 80aacuterboles

121 EjerciciosEjercicio 15 El granjero del ejemplo 21 al no saber teacutecnicas de optimizacioacuten comproacute para su corral decaballos 200 metros de cerca Como vimos anteriormente la cantidad oacuteptima necesitada es de solo 80metros por lo que le sobraron 120 metros de cerca Ante esto decide que es tiempo de construir unnuevo corral para sus chanchos y vacas Dado que esta vez no quiere desaprovechar nada le preguntaa los estudiantes de este curso iquestCuaacutel es el aacuterea maacutexima que puede cercar utilizando los 120 metros

13


de cerca Resuelva este problema bajo el supuesto de que los corrales son rectangulares y que estaacutendispuestos como indica la figura 112

Vacas Chanchos

Figura 112 Corral para chanchos y vacas

Ejercicio 16 Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartoacuten rectangular que mide 5 metrospor 8 metros La caja se realiza cortando las regiones sombreadas y luego doblando por la lineaspunteadas (Ver figura 113) iquestCuaacuteles son las dimensiones x y z que maximizan el volumen de la caja

x

xxx y y

z 5

8Figura 113 Diagrama para el ejercicio 16

Ejercicio 17 Un triaacutengulo isoacutesceles tiene un veacutertice en el origen y su base es paralela al eje x con losextremos ubicados en la curva 12y = 36minus x2 Determine las dimensiones del triaacutengulo de aacuterea maacuteximabajo dichas condiciones Ver figura 114Ejercicio 18 El gerente de una faacutebrica estima que cuando q miles de unidades de un producto sonproducidas cada mes el costo de la produccioacuten seraacute de C (q) = 04q2 + 3q+ 40 miles de pesos Ademaacutesestima que las q unidades seraacuten vendidas a un precio de p(q) = 222minus 12q miles de pesos por unidad

1 Determine el nivel de produccioacuten que le otorgaraacute la mayor ganancia a la empresa iquestCuaacutento esdicha maacutexima ganancia Hint La ganancia es igual a los ingresos menos los costos

14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull

Figura 114 Diagrama para el ejercicio 17

2 iquestA queacute nivel de produccioacuten se minimiza el costo promedio por unidad Hint El costo promedio estaacutedado por C (q)

q Ejercicio 19 La ley de Poiseuille dice que la rapidez de la sangre que fluye a r centiacutemetros del ejecentral de una arteria de radio R estaacute dada por

S(r) = c(R2 minus r2)donde c es una constante positiva Determine a que distancia del eje central de la arteria la sangre fluyecon mayor rapidez Hint R y c son constantes conocidas por lo que su respuesta debe ser en teacuterminosde c y R Ejercicio 110 La reaccioacuten del cuerpo humano a algunas sustancias psicotroacutepicas se puede modelarmediante la ecuacioacuten

R(D) = D2(C

2 minusD3)

donde D es la dosis y C es una constante que indica la maacutexima dosis que se puede dar La tasa decambio de R con respecto a D se denomina sensibilidad

1 Encuentre el valor de D para el cual la sensibilidad es mayor iquestCuaacutel es la maacutexima sensibilidadHint Su respuesta debe estar en teacuterminos de C

2 iquestCual es la reaccioacuten cuando se utiliza la dosis obtenida anteriormenteEjercicio 111 Debemos construir un tambor ciliacutendrico para guardar V cm3 de agua (V es una cantidadfija conocida) En virtud que queremos que el tambor nos dure bastante tiempo decidimos que estesea construido con acero inoxidable pero como dicho material es caro decidimos colocarle una tapade plaacutestico El costo del acero inoxidable es $300 por centiacutemetro cuadrado en tanto que el costo delplaacutestico es de $100 por centiacutemetro cuadrado Determine las medidas del tambor (alto y radio de la base)que nos hacen gastar la menor cantidad de dinero

15


Ejercicio 112 Una empresa de buses interurbanos arrienda sus buses de 50 pasajeros para viajesespeciales a grupos de mas de 35 personas Si un grupo de 35 personas solicita el servicio entoncescada persona debe pagar $6000 Para grupos mas grandes el costo por pasajero se reduce en $50por cada persona adicional a los 35 (es decir si hay 36 personas cada persona cancela $5950 si hay37 entonces cada persona cancela $5900 etc) Determine la cantidad de pasajeros que hacer que laempresa de buses reciba la mayor cantidad de dinero Hint Recuerde que deben viajar un nuacutemero enterode personasEjercicio 113 Una empresa de bebidas gaseosas desea introducir al mercado el formato de bebidas de500 cm3 enlatadas Determine las dimensiones de la lata de modo que esta utilice la menor cantidad dematerial para su construccioacuten Hint la superficie de un cilindro se puede calcular como la suma de lasuperficie de las tapas mas la superficie del contornoEjercicio 114 Determine las dimensiones de la lata en el ejercicio 113 si es que el costo de las tapases el doble que el costo de la superficie del contorno Hint recuerde que quiere minimizar costos

13 Razoacuten de cambioEn ciertos problemas praacutecticos x e y (o quizaacutes mas variables) estaacuten relacionadas por una ecuacioacuten

y ambas variables se puede considerar como funciones de una tercera variable t la que usualmenterepresenta al tiempo Bajo este escenario a veces es uacutetil relacionar las tasas a las que x e y variacutean conel tiempo es decir relacionar dxdt con dydt A continuacioacuten presentamos un procedimiento general paraafrontar este tipo de problemas

1 Cuando es pertinente hacer un diagrama para representar la situacioacuten y asignar nombres a lasvariables

2 Determinar una ecuacioacuten que relacione las variables3 Usar diferenciacioacuten impliacutecita para obtener una ecuacioacuten que relacione las tasas de cambio4 Determinar que datos son conocidos y cuales son los que se quiere obtener

Ejemplo 113 El jefe de una empresa determina que cuando q cientos de unidades de cierto productoson producidas el costo total de produccioacuten es de C miles de pesos donde

C2 minus 3q3 = 4275Cuando 1500 unidades estaacuten siendo producidas el nivel de la produccioacuten esta incrementaacutendose a unatasa de 20 unidades por semana iquestCuaacutel es el costo total a este tiempo y a que tasa estaacute cambiandoSolucioacuten Queremos encontrar C y dCdt cuando q = 15 (recordar que q representa cientos de unidades)En primer lugar de la ecuacioacuten que relaciona C con q obtenemos que

C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16


de donde obtenemos que C = 120 Por otra parte si derivamos la ecuacioacuten con respecto a t obtenemosque

2C dCdt = 9q2dqdt o sea

dCdt = 9q2

2Cdqdt

Luego para concluir reemplazamos C = 120 miles de pesos q = 15 y dqdt = 20100 = 2

10 (recordar que qestaacute en cientos) de donde obtenemos

dCdt = 9 middot (15)2

2 middot 120 middot210 = 27

16

Es decir C estaacute cambiando a 2716 = 1 6875 miles de pesos por semana es decir a $16875 por semana

Ejemplo 114 Un lago ha sido contaminado por una planta ubicada en su costa Un grupo ecoloacutegicodetermina que cuando los niveles de contaminacioacuten es x partes por milloacuten (ppm) habraacuten F peces en ellago donde

F = 320003 +radicx

Cuando hay 4000 peces restantes en el lago la contaminacioacuten crece a una tasa de 14 ppmsemana iquestAqueacute tasa estaacute cambiando la poblacioacuten de peces en este tiempoSolucioacuten Notamos que F middot (3 +radicx) = 32000 y reemplazamos F = 4000 para obtener que a este tiempose tiene

4000 (3 +radicx) = 32000de donde se obtiene que x = 25 Ahora para obtener la tasa de cambio de la poblacioacuten de pecesderivamos la ecuacioacuten respecto a t para obtener

dFdt(3 +radicx)+ F 1

2radicxdxdt = 0

o sea dFdt = minus F

2radicx (3 +radicx)dxdt

y cuando reemplazamos los valores conocidos obtenemosdFdt = minus 4000

2radic25(3 +radic25) middot1410 = minus70

es decir la poblacioacuten de peces disminuye a una tasa de 70 peces por semana

17


131 EjerciciosEjercicio 115 Un bloque de hielo que se usa para refrigerar se puede modelar como un cubo de lado sEn estos instantes el bloque tiene un volumen de 125000 cm3 y se esta derritiendo a una tasa de 1000cm3 por hora

1 iquestCuaacutento mide el lado del cubo en estos instantes iquestA queacute tasa esta variando s2 iquestA queacute tasa variacutea el aacuterea de la superficie del cubo

Ejercicio 116 Una escalera de 10 metros estaacute apoyada sobre una pared La parte superior de la escaleraempieza a resbalar hacia abajo a una velocidad de 3 metros por segundo (Ver figura 115) iquestCuaacuten raacutepidose mueve la parte inferior de la escalera cuando la parte superior esta a 6 metros del suelo

3msdarr

10 m

rarrFigura 115 Escalera cayeacutendose

Ejercicio 117 Hacia un tanque coacutenico (cono invertido) fluye agua a razoacuten de 8 m3min Si la altura deltanque es de 12 m y el radio de la base del cono es de 6 m iquestQueacute tan raacutepido sube el nivel del aguacuando eacutesta tiene una altura de 4 mEjercicio 118 Se infla un globo esfeacuterico a razoacuten de 10 cm3min Calcular la tasa de cambio del radio delglobo cuando el volumen de eacuteste es de 15 cm3 Hint El volumen de una esfera estaacute dado por V = 43πr3Ejercicio 119 Un colector de aguas lluvia tiene 40 m de largo y 20 m de ancho Ademaacutes tiene 8 mde profundidad en su parte mas profunda y 3 m en su parte menos profunda (Ver figura 116) En undiacutea lluvioso se estima que fluyen 10 m3hora hacia el colector iquestCon queacute rapidez sube el nivel del aguacuando esta tiene

1 3 m de altura2 6 m de altura

Hint haga un dibujo del perfil del colector en cada instanteEjercicio 120 Un avioacuten que vuela hacia el norte a 640 kmh pasa sobre cierta ciudad al medio diacutea(12h00) Un segundo avioacuten que va hacia el este a 600 kmh estaacute directamente encima de la misma ciudad15 minutos mas tarde (12h15) Si los aviones estaacuten volando a la misma altitud que tan raacutepido se estaacutenseparando a la 115 pm(13h15) Hint haga un dibujo mirado desde arriba de los aviones

18


4020

8

3

Figura 116 Colector de aguas lluvia

Ejercicio 121 Se deja caer una piedra a un lago en calma lo que provoca que se produzcan ondascirculares El radio del circulo exterior crece a un ritmo constante de 1 metro por segundo iquestA queacute ritmocambia el aacuterea de la regioacuten circular cuando el radio es de 4 metrosEjercicio 122 Un auto estaacute a 30 kms al NORTE de una ciudad y se dirige hacia el NORTE a 25 kmshSimultaacuteneamente un camioacuten se encuentra a 40 kms al ESTE y se desplaza al ESTE a 50 kmsh iquestCuaacutenraacutepido cambia la distancia entre los vehiacuteculos en ese instante Hint Recuerde el teorema de Pitaacutegoras

14 Funciones exponenciales y logariacutetmicasDefinicioacuten 18 (Funciones exponenciales) Dado b gt 0 denotado como base existe una uacutenica funcioacutenf (x) denotada como funcioacuten exponencial de base b tal que

f (x) = bx Observacioacuten 12 Cosas a recordar Suponga que a b gt 0 entonces

1 bx = by entonces x = y2 ax = bx entonces a = b3 bx middot by = bx+y

4 (bx )y = bxmiddoty5 Si a gt 0 entonces (ab)x = ax middot bx 6 bminusx = 1

bx

Si b gt 1 entonces1 lımxrarrinfinbx = +infin2 lımxrarrminusinfinbx = 0

3 lımxrarrinfinbminusx = 04 lımxrarrminusinfinbminusx = +infin

19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1

Figura 117 Funciones exponenciales

Un caso muy importante es el que se produce cuando b = e asymp 27182 Esto pues la funcioacutenf (x) = ex es la uacutenica funcioacuten que satisface f prime(x) = f (x) por esto (y otras razones) es que e se denominala base naturalEjemplo 115 Se estima que en t antildeos la poblacioacuten de cierto paiacutes seraacute de P(t) = 50e002t millones depersonas

1 iquestCuaacutel es la poblacioacuten actual2 iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten en 30 antildeos

Solucioacuten 1 La poblacioacuten inicial es cuando t = 0 o sea P(0) = 50 millones de personas2 En 30 antildeos la poblacioacuten seraacute de P(30) = 50e 35 asymp 9111 millones de personas

Definicioacuten 19 (Funciones logariacutetmicas) Dado b gt 0 denotado como base existe una uacutenica funcioacuten f (x)denotada como funcioacuten logariacutetmica de base b tal que

f (x) = logb xObservacioacuten 13 Cosas a recordar Suponga que a b gt 0 entonces

1 logb x = logb y entonces x = y2 loga x = logb x entonces a = b3 logb(x middot y) = logb x + logb y4 logb xy = y logb x en particular logb xminus1 =

minus logb x 5 Funcioacuten inversa logb bx = x y blogb x = x

6 Cambio de base logb x = loga xloga b

Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1

y = logb x 0 lt b lt 1

Figura 118 Funciones logariacutetmicas

1 lımxrarrinfin logb x = +infin 2 lımxrarr0+ logb x = minusinfin

Al igual que antes distinguimos el caso en que b = e y denotamos por ln x = loge x y denominamosa esta funcioacuten como logaritmo natural

Dado que lo necesitaremos recordemos las derivadas de las funciones exponenciales y logariacutetmicasTeorema 17 (Derivadas de funciones exponenciales y logariacutetmicas) Sea b gt 0 entonces

1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x

3 ddx (bx ) = ex middot lnb4 ddx (logb x) = 1

lnb middot1x

141 EjerciciosEjercicio 123 Resolver las siguientes ecuaciones

1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)

5 e2x + ex minus 2 = 0 Hint Defina u = ex Ejercicio 124 Simplifique las siguientes expresiones sin usar calculadora

1 e3 ln 4 minus 3 log2 16 2 ln(9e2) + ln(3eminus2)Ejercicio 125 Cuando una cadena cable telefoacutenico o similar es colgado entre dos postes la curva quese forma es una catenaria Una catenaria tiacutepica esta dada por la foacutermula

C (x) = 18(e4x + eminus4x)

21


1 Encuentre el miacutenimo de esta catenaria cuando minus10 lt x lt 102 Bosqueje el graacutefico de C (x) en el intervalo [minus2 2] iquestCuaacutel es la altura miacutenima a la que se puede

colgar un cable modelado por esta catenaria en [minus2 2] para que el cable no toque el sueloEjercicio 126 Bosqueje el graacutefico de las siguiente funciones identificando puntos criacuteticos puntos deinflexioacuten y maacuteximosmiacutenimos si es que los hubiese

1 f (x) = x2eminusx

2 g(x) = ln(radicx)x2 x gt 0

3 h(x) = 41 + eminusx x ge 0

22

Capiacutetulo 2

Modelos funcionales21 Nociones baacutesicas de modelamiento matemaacutetico

El modelamiento matemaacutetico es un tipo de modelo cientiacutefico que usa formulismos matemaacuteticospara expresar relaciones entre variables yo paraacutemetros para estudiar el comportamiento de sistemascomplejos ante situaciones difiacuteciles de observar en la realidad

Baacutesicamente el modelamiento matemaacutetico consta de 4 etapas Formulacioacuten Anaacutelisis Interpretacioacuten yTesteo

1 Formulacioacuten Dada una situacioacuten compleja de la vida real (Ejemplo una epidemia de mosquitos)debemos asumir ciertas condiciones que nos permiten simplificar el entendimiento del problema(identificar las variables relevantes hacer supuestos en base a experimentacioacuten etc) para asiacute poderestablecer un modelo

2 Anaacutelisis del Modelo Esta etapa consiste en usar las herramientas matemaacuteticas (caacutelculo ecuacionesdiferenciales etc) para resolver el modelo (Ejemplo la poblacioacuten de mosquitos aumenta a una tasaexponencial)

3 Interpretacioacuten Durante esta etapa debemos aplicar las conclusiones obtenidas durante el anaacutelisisa nuestro problema real produciendo alguna prediccioacuten (Ejemplo los mosquitos se apoderan delmundo)

4 Testeo y ajustes Volvemos a experimentar y comparamos los resultados experimentales con laprediccioacuten del modelo Finalizada esta etapa hay dos opciones el modelo predijo correctamentelos resultados experimentales o bien es necesario ajustar el modelo para tomar en cuenta lasdiscrepancias

Ejemplo 21 En una granja se planea construir un corral para caballos al costado de un riacuteo El corraldebe ser rectangular y debe contar con 800 metros cuadrados Ademaacutes es necesario cercar en los 3costados no adyacentes al riacuteo iquestCuaacutentos metros de cerca se necesitan

23


x x

y

rsquoAacuterea = 800 m2

Figura 21 Corral para caballos

Solucioacuten Para estudiar este tipo de ejemplos siempre es uacutetil hacer un diagrama que represente lasituacioacuten En este caso tenemos lo ilustrado en la Figura 21 En segundo lugar debemos identificar lasvariables relevantes En el caso del ejemplo tenemos 2 variables el ancho del corral (la variable x en laimagen) y el largo del corral (la variable y)

Luego identificamos las condiciones que satisfacen las variables En el caso del ejemplo la condicioacutenprincipal es que el aacuterea del corral debe ser de 800 m2 es decir

x middot y = 800Luego debemos identificar el problema en cuestioacuten En el ejemplo queremos saber la cantidad de metrosde cerca necesario lo que se puede representar por

2x + yFinalmente hacemos un supuesto que es bastante razonable Queremos usar la menor cantidad de cercaposible ya que esto reduciriacutea los costos asociados a la construccioacuten del corral

Con todo lo anterior el problema queda modelado por el siguiente ejercicio matemaacutetico

minimizar la funcioacuten 2x + ysujeto a que x middot y = 800

x gt 0 e y gt 0(P)

Reduccioacuten de variables en primer lugar observamos que la restriccioacuten x middot y = 800 puede escribirsecomo y = 800

x lo que nos permite re-escribir nuestro problema como



Este problema se puede resolver utilizando las herramientas de caacutelculo en una variable aprendidas encursos anteriores Sin embargo uno de los propoacutesitos de este curso es aprender a trabajar directamentecon el problema (P) y para ello debemos conocer toacutepicos de caacutelculo en varias variables

24


22 Anaacutelisis Marginal y aproximacioacuten de funcionesEn economiacutea usualmente se utiliza la derivada para estimar el cambio en una cantidad (por ejemplo

costos ingresos o ganancia) que resulta de incrementar en 1 unidad el nivel de produccioacuten Dicho uso sedenota como anaacutelisis marginal

Motivacioacuten Supongamos que C (x) representa el costo de producir x unidades de cierto producto Sise estaacuten produciendo x0 unidades entonces la derivada

C prime(x0) = lımhrarr0C (x0 + h)minus C (x0)

hse conoces como el costo marginal de producir x0 unidades

Ahora si consideramos h = 1 tenemos queC prime(x0) asymp C (x0 + 1)minus C (x0)

es decir C prime(x0) aproxima el costo adicional de producir una unidad extra a x0 (Ver figura 22)

y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)

Figura 22 Costo marginal En rojo se aprecia graacuteficamente el valor de C prime(x0)

Ejemplo 22 Se estima que cuando se producen x unidades de cierto producto el costo seraacute deC (x) = 18x2 +3x+98 miles de pesos y que cuando x unidades se venden el precio es de p(x) = 13 (75minus x)miles de pesos

1 Encuentre el costo marginal los ingresos marginales y la ganancia marginal2 Use el costo marginal para estimar el costo de producir la novena unidad iquestCuaacutel es el costo real de

dicha unidad

25


3 Use el ingreso marginal para estimar el ingreso de vender la novena unidad iquestCuaacutel es el ingresoreal

Solucioacuten 1 El costo marginal esC prime(x) = 1

4x + 3El ingreso total esta dado por I(x) = x middotp(x) = x3 (75minus x) = 25xminus x2

3 por lo tanto el ingreso marginales

I prime(x) = 25minus 23x

Finalmente la ganancia se puede calcular como G(x) = I(x)minus C (x) = 25x minus x23 minus

(18x2 + 3x + 98) =minus1124x2 + 22x minus 98 y la ganancia marginal es

Gprime(x) = I prime(x)minus C prime(x) = 25minus 23x minus

(14x + 3

)= 22minus 11

12x

2 C prime(8) = 5 Para obtener el costo real de la novena unidad calculamos C (9)minus C (8) = 10818 minus 130 =418 = 5125

3 I prime(8) = 593 = 19 6 y el ingreso real es de I(9)minus I(8) = 198minus 5363 = 583 = 19 3

En teacuterminos un poco mas generales uno puede utilizar la derivada para aproximar cualquier funcioacutenRecordemos que la derivada se puede definir como


h luego si es que h es suficientemente pequentildeo podemos escribir

f prime(x0) asymp f (x0 + h)minus f (x0)h

o equivalentementef (x0 + h) asymp f (x0) + f prime(x0)h

de donde obtenemosTeorema 21 (Aproximacioacuten por incrementos) Sea f una funcioacuten diferenciable en x0 y sea ∆x un pequentildeoincremento en x entonces

f (x0 + ∆x) asymp f (x0) + f prime(x0)∆xSimilarmente si denotamos ∆f = f (x0 + ∆x)minus f (x0) al cambio en la funcioacuten entonces

∆f asymp f prime(x0)∆xEjemplo 23 Suponga que el costo total de producir q kilos de cierto producto es C (q) = 3q2 + 5q+ 10Si el nivel de produccioacuten es de 40 kilos estimar como cambia el costo si es que se producen 405 kilos

26


Solucioacuten Sabemos que el costo de producir 40 kilos es de C (40) = 3(40)2 + 5(40) + 10 = 5010 y nospiden estimar ∆C (el cambio en el costo) cuando ∆q = 05 (el cambio en los kilos) y q = 40 (los kilosque inicialmente se producen) es decir

∆C asymp C prime(40) middot 05Para ello calculamos C prime(q) = 6q+ 5 y C prime(40) = 245 por lo tanto

∆C asymp 2452 = 1225

Ademaacutes el costo total de producir 405 kilos puede ser aproximado porC (405) asymp C (40) + C prime(40) middot 05 = C (40) + ∆C

es decir el costo inicial de producir 40 kilos mas el cambio en el costo de producir medio kilo maacutes esdecir

C (405) asymp 5010 + 1225 = 51225Para comparar notemos que el costo real de producir 405 kilos estaacute dado por

C (405) = 3(405)2 + 5(405) + 10 = 513325es decir estamos cometiendo un error de 513315minus 51225 = 1065

Otro uso que se le puede dar al teorema de aproximacioacuten es estimar errores de propagacioacutenEjemplo 24 Un tecnoacutelogo medico modela un tumor como una esfera por lo que utiliza la foacutermulaV = 43πr3 para calcular su volumen Luego de un examen determina que el diaacutemetro del tumor de unpaciente es de 25 cm pero la maacutequina utilizada tiene un margen de error maacuteximo de un 2 iquestQueacute tanpreciso es el caacutelculo del volumenSolucioacuten Tenemos que d = R2 por lo tanto V = 16πd3 por lo que el volumen calculado por el tecnoacutelogoes de

V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3

Sin embargo hay un error de medicioacuten de un 2 es decir la medida del diaacutemetro puede crecer o disminuiren1 25 middot 002 = 005 Para estimar el posible error en el volumen utilizamos el teorema de aproximacioacuten

∆V asymp V prime(d)∆dEn nuestro caso V prime(d) = 12πd2 d = 25 y ∆d = plusmn005 por lo que

∆V asymp 12π (25)2 middot (plusmn005) asymp plusmn0491 cm3

1La variacioacuten se calcula como(error en la medicioacuten)=(medicioacuten)times(error porcentual)

27


O sea el volumen real debiese estar en7690 = 8181minus 0491 w V w 8181 + 0491 = 8672

Otra situacioacuten tiacutepica es la ldquoinversardquo es decir deseamos producir una variacioacuten determinada en lafuncioacuten por lo que queremos saber cuanto debemos cambiar en x para obtener dicha variacioacutenEjemplo 25 La produccioacuten de una faacutebrica es Q(L) = 900L 13 unidades donde L es el nuacutemero detrabajadores En la actualidad hay 1000 trabajadores y se nos pide estimar cuaacutentos trabajadoresadicionales se requieren para aumentar la produccioacuten en 15 unidadesSolucioacuten Si usamos el teorema de aproximacioacuten tenemos que

∆Q asymp Qprime(L)∆LLo que queremos saber en este caso es ∆L conociendo que L = 1000 y que ∆Q = 15 es decir

∆L asymp ∆QQprime(L) = 15

Qprime(1000)

pero Qprime(L) = 300Lminus 23 de donde Qprime(1000) = 300(1000) 23

= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5

es decir se necesitan alrededor de 5 trabajadores adicionales

221 EjerciciosEjercicio 21 Dada la funcioacuten de costo C (x) y el precio p(x) determine el costo marginal el ingresomarginal y la ganancia marginal de producir la cuarta unidad

1 C (x) = 15x2 + 4x + 57 p(x) = 14 (36minus x)2 C (x) = 59x2 + 5x + 73 p(x) = minusx2 minus 2x + 33

Ejercicio 22 Estime cuanto varia la funcioacuten dada cuando se produce el incremento mencionado

1 f (x) = x2 minus 3x + 5 cuando x cambia de 5 a 532 f (x) = x

x + 1 minus 3 cuando x cambia de 4 a 38

28


Ejercicio 23 Un estudio medioambiental sugiere que en t antildeos el nivel de monoacutexido de carbono en elaire seraacute de

C (t) = 005t2 + 01t + 34 partes por millonAproximadamente iquestCuaacutento variaraacute el nivel del monoacutexido de carbono en los proacuteximos 6 mesesEjercicio 24 Un estudio de eficiencia determina que el trabajador promedio que llega a las 800 amhabraacute producido

f (x) = minusx3 + 6x2 + 15 unidadesx horas mas tarde Aproximadamente iquestCuaacutentas unidades produciraacute el trabajador entre las 900 am y las915 amEjercicio 25 Una empresa aviacutecola estima que la produccioacuten semanal de huevos puede ser modelada porla funcioacuten H(g) = 30g 23 donde g representa el nuacutemero de gallinas En la actualidad la empresa cuentacon 100 gallinas Estime cuantas gallinas adicionales se necesitan para incrementar la produccioacuten dehuevos en 10 huevos por semanaEjercicio 26 La ley de Stefan-Boltzmann en fiacutesica dice que un cuerpo emite energiacutea teacutermica de acuerdoa la foacutermula E(T ) = σT 4 donde E es la cantidad de energiacutea emitida por una superficie a temperatura T(medida en grados Kelvin) y σ es la constante de Stefan-Boltzmann σ = 5 67times 10minus8 Wm2middotK4 Estime elcambio porcentual en E que se produce al incrementar la temperatura T en un 2 Ejercicio 27 Un tumor canceroso es modelado como una esfera de radio r

1 iquestA queacute tasa estaacute cambiando el volumen V = 43πr3 con respecto a r cuando r = 075 cm2 Estime el error porcentual maacuteximo que se puede permitir a la medicioacuten del diaacutemetro del tumor si

es que se quiere garantizar un error en el caacutelculo del volumen no mayor a un 8

23 Modelos exponenciales y logariacutetmicosModelo de crecimiento y decrecimiento exponencial

En estos casos suponemos que la funcioacuten se comporta como una funcioacuten exponencial es decirQ(t) = Aekt o bien Q(t) = Aeminuskt

donde A y k son constantes positivas Este tipo de funciones sirve para modelar por ejemplo elcrecimiento no acotado (cuando Q(t) = Aekt) o decrecimiento hasta la extincioacuten (cuando Q(t) = Aeminuskt)de una poblacioacutenEjemplo 26 La densidad de poblacioacuten a x km del centro de una ciudad es modelada mediante unafuncioacuten exponencial

Q(x) = Aeminuskx miles de personas por km2Encuentre la funcioacuten si la densidad en el centro del la ciudad es de 15 mil personas por km2 y a 10 kmdel centro es de 9 mil personas por km2 iquestCuaacutel es la densidad de poblacioacuten a 20 km del centro iquestCuaacutel esla tasa de cambio de la densidad de poblacioacuten a 20 km del centro

29


Q(t) = Aekt

A Q(t) = Aeminusktbull

Figura 23 Modelos exponenciales

Solucioacuten La densidad en el centro de la ciudad es cuando x = 0 es decir Q(0) = A = 15 mil personaspor km2 Por otra parte la densidad a 10 km del centro es Q(10) = 9 mil personas por km2 de dondededucimos que 9 = 15eminus10k o sea k = minus 110 ln 35

Finalmente calculamos Q(20) = 15e2 ln 35 = 15 middot 3252 = 275 = 54 miles de personas por km2 Ademaacutes

Qprime(t) = minusAkeminuskt = 32 ln 35e t10 ln 35 de donde Qprime(20) = 2750 ln 35

Curvas de aprendizajeUsamos una funcioacuten de la forma

Q(t) = B minus Aeminuskt donde A B y k son constantes positivas Este tipo de funciones sirve para modelar por ejemplo larelacioacuten entre la eficiencia de un individuo respecto a la experiencia que eacuteste tenga asiacute como cierto tipode poblaciones en ecosistemas acotados

y = B minus Aeminuskt

bull

B

B minus A

Figura 24 Curva de aprendizaje

30


Ejemplo 27 La tasa a la que un trabajador cosecha uvas es una funcioacuten de su experiencia Se estimaque un trabajador promedio cosecha luego de t meses

Q(t) = 700minus 400eminus05t racimos de uva al diacutea

1 iquestCuaacutentos racimos cosecha un trabajador nuevo2 iquestCuaacutentos racimos cosecha un trabajador con 2 meses de experiencia3 Aproximadamente iquestcuaacutentos racimos cosechariacutea un trabajador si llevara ldquouna vidardquo trabajando

Solucioacuten 1 Un trabajador nuevo cosecha Q(0) = 300 racimos de uva2 Luego de 2 meses un trabajador cosecha Q(2) = 700minus 400eminus1 asymp 55285 racimos de uva3 Esto quiere decir que lo maacuteximo que puede cosechar un trabajador es lımtrarrinfinQ(t) = 700 racimos de

uva

Curvas logiacutesticas

Otra funcioacuten similar a la curva de aprendizaje es la llamada Curva logiacutestica Dicha funcioacuten se puedeescribir como

Q(t) = B1 + Aeminuskt

donde A B y k son constantes positivas

y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt

Figura 25 Curva logiacutestica y su crecimiento exponencial al comienzo

La principal diferencia con la curva de aprendizaje es que esta curva tiene un comportamientosimilar a la curva exponencial y = B1+Aekt para valores pequentildeos de t Esta curva se utiliza usualmentepara modelar poblaciones en un ecosistema con recursos finitos donde inicialmente hay un crecimientoexponencial de la poblacioacuten La cantidad B denota la capacidad maacutexima que tiene dicho ecosistema

31


Teorema 22 (Derivadas de la funcioacuten logiacutestica) SeaQ(t) = B1 + Aeminuskt una funcioacuten logiacutestica de paraacutemetros

A B k gt 0 Tenemos que

1 Qprime(t) = ABkeminuskt(1 + Aeminuskt)2

2 Qprimeprime(t) = ABk2eminuskt(1 + Aeminuskt)3(Aeminuskt minus 1)

Ejercicio 28 Un buen ejercicio de caacutelculo es demostrar el teorema anterior es decir calcular lasderivadas de Q(t) = B

1 + Aeminuskt asumiendo que A B k son constantesEjemplo 28 Un apicultor estima que t meses despueacutes de establecida una colmena la cantidad de abejasque tendraacute estaraacute dada por

Q(t) = 10001 + 9eminust

1 Determine la poblacioacuten inicial de abejas2 iquestCuaacutentas abejas habraacuten al cabo de 3 meses3 iquestA queacute tasa se reproducen las abejas luego de 3 meses4 iquestCuaacutendo las abejas se reproducen con mayor rapidez5 Determine la capacidad maacutexima de la colmena

Solucioacuten 1 El apicultor empezoacute con Q(0) = 10001 + 9 = 100 abejas

2 Luego de 3 meses habraacuten Q(3) = 10001 + 9eminus3 asymp 691 abejas

3 La tasa de reproduccioacuten estaacute dada por R(t) = Qprime(t) = 9000eminust(1 + 9eminust)2 por lo que la tasa al tercer mes

esR(3) = 9000eminus3

(1 + 9eminus3)2 asymp 214 abejas por mes

4 Para determinar esto debemos maximizar la tasa de reproduccioacuten es decir debemos encontrar elmaacuteximo de la funcioacuten

R(t) = 9000eminust(1 + 9eminust)2

Para ello encontramos sus puntos criacuteticos es decir debemos mirar R prime(t) Si hacemos el caacutelculoobtenemos que

R prime(t) = Qprimeprime(t) = 9000eminust(1 + 9eminust)3

(9eminust minus 1)

32


De aquiacute deducimos que hay solo un punto criacutetico que satisface 9eminustminus1 = 0 es decir t = ln 9 asymp 2197Ademaacutes podemos usar el test de la primera derivada ya que R prime(t) gt 0 cuando t lt ln(9) y R prime(t) lt 0cuando t gt ln(9) por lo que t = ln(9) es un maacuteximo para R(t)En otras palabras hemos maximizado Qprime(t) la tasa de reproduccioacutenObservacioacuten En este punto es importante no confundirse en los conceptos Nos piden maximizaruna tasa es decir maximizar una derivada Lo conveniente es denotar a la derivada con un nuevonombre en este caso llamamos R(t) = Qprime(t) y ldquoolvidarnosrdquo que R(t) es la derivada de otra funcioacutenLuego procedemos de la manera habitual para maximizar la funcioacuten R(t)

5 La capacidad maacutexima de la colmena es de lımtrarrinfinQ(t) = 1000 abejas

Otro uso habitual es en el de modelamiento de epidemias o plagas En este caso la cantidad Bdenota la cantidad maacutexima de individuos susceptibles a ser contagiadosEjemplo 29 El ministerio de Salud estimoacute que t semanas despueacutes del brote de la gripe porcinaaproximadamente

Q(t) = 201 + 19eminus15t miles de personas

se habiacutean contagiado en Chile1 iquestCuaacutentas personas teniacutean la gripe al comienzo de la epidemia iquestCuaacutentos contagiados habiacutean luego

de 2 semanas2 iquestCuaacutendo comenzoacute a decaer la tasa de infeccioacuten3 iquestCuaacutenta gente estaraacute eventualmente enferma

Solucioacuten 1 La cantidad inicial de infectados es de Q(0) = 1 (o sea mil personas) y al cabo de 2semanas habiacutean Q(2) = 20

1 + 19eminus3 asymp 1028 miles de personas contagiadas2 La tasa de infeccioacuten comienza a decaer luego de alcanzar su maacuteximo es decir debemos encontrar

el maacuteximo deR(t) = Qprime(t) = 570eminus15t

(1 + 19eminus15t)2 Para ello encontramos sus puntos criacuteticos es decir debemos calcular

R prime(t) = Qprimeprime(t) = 855eminus15t (19eminus15t minus 1)(1 + 19eminus15t)3

de donde deducimos que el uacutenico punto criacutetico satisface 19eminus15tminus1 = 0 o sea t = ln 1915 asymp 196 asymp 2

semanas Ejercicio propuesto verificar que efectivamente este punto criacutetico es un maacuteximo paraQprime(t)

33


3 La cantidad de personas que se eventualmente se enfermara estaacute dada por lımtrarrinfinQ(t) = 20 milpersonas

Tambieacuten hay situaciones en que un modelo logariacutetmico es pertinenteEjemplo 210 Se ha estimado que luego de los 8 antildeos la capacidad aeroacutebica de una persona de x antildeosde edad puede ser modelada por la funcioacuten

A(x) = 110(ln x minus 2)x x ge 8

1 Bosqueje el graacutefico de A(x)2 iquestA queacute edad una persona alcanza su peak de capacidad aeroacutebica3 iquestA queacute edad la capacidad aeroacutebica decrece con mayor rapidez

Solucioacuten Para encontrar el peak debemos determinar los nuacutemeros criacuteticos Aprime(x) = 110x2 (3minus ln x) de

donde deducimos que x = e3 asymp 2009 es el uacutenico punto criacutetico Si analizamos la funcioacuten nos damoscuenta que cuando 0 lt x lt e3 la funcioacuten es creciente y cuando x gt e3 la funcioacuten es decreciente por loque cuando x = e3 asymp 20 es cuando se alcanza el peak de la capacidad aeroacutebica

8 90

Figura 26 Graacutefico de A(x)

La segunda pregunta nos pide encontrar cuando la capacidad aeroacutebica decrece con mayor rapidezesto es cuando Aprime(x) es lo mas negativa posible En otras palabras debemos encontrar el miacutenimo absolutode Aprime(x) Para ello encontramos Aprimeprime(x) = 110x3 (2 ln x minus 7) de donde x = e 72 asymp 3312 es el uacutenico nuacutemerocriacutetico para Aprime Si analizamos Aprime notamos que Aprime decrece cuando 0 lt x lt e 72 y crece cuando x gt e 72 porlo tanto x asymp 33 es el miacutenimo absoluto para Aprime

Notamos que cuando x = e 72 entonces Aprime(e 72 ) = minus55eminus7 lt 0 es decir la capacidad aeroacutebica estadecreciendo en este instante a su maacutexima rapidez

34


231 EjerciciosEjercicio 29 Se estima que en t antildeos la poblacioacuten de cierto paiacutes seraacute P(t) = 50e002t millones dehabitantes

1 iquestCuaacutel es la poblacioacuten actual del paiacutes2 iquestCuaacutel seraacute la poblacioacuten en 20 antildeos3 iquestA queacute tasa estaacute cambiando la poblacioacuten luego de t antildeos

Ejercicio 210 Se estima que luego de t semanas trabajando un trabajador postal es capaz de despacharQ(t) = 20minus 10eminus3t paquetes por diacutea

1 iquestCuaacutentos paquetes despacha un trabajador recieacuten contratado2 iquestCuaacutentos paquetes despacha el trabajador luego de 1 mes trabajando3 iquestCuaacutentos paquetes puede aspirar a despachar un trabajador con mucha experiencia

Ejercicio 211 Una epidemia se propaga en una comunidad de tal forma que despueacutes de t semanasdespueacutes de su aparicioacuten el nuacutemero de individuos contagiados estaacute dado por la funcioacuten

f (t) = A1 + Ceminuskt

donde A es la cantidad total de individuos susceptibles a la infeccioacuten y C k son constantes positivasDetermine el tiempo y la cantidad de individuos cuaacutendo la epidemia se propaga a su mayor velocidadEjercicio 212 Un estudio determina que luego de t horas de introducida una toxina a una colonia debacterias la poblacioacuten seraacute de

P(t) = 10000(7 + 15eminus005t + teminus005t)

1 iquestCuaacutel es la poblacioacuten en el momento en que se introduce la toxina2 iquestEn queacute momento la poblacioacuten alcanza su maacuteximo iquestCuaacutel es la maacutexima poblacioacuten3 iquestQueacute sucede eventualmente (t rarr +infin) con la colonia de bacterias

Ejercicio 213 Una empresa de seguros estima que bajo ciertas condiciones la probabilidad de que unapersona fallezca conduciendo su vehiacuteculo a los x antildeos es de

P(x) = xeminusx

1 Encuentre el maacuteximo valor de P(x) y la edad a la que esto ocurre2 Estime la probabilidad de morir manejando de un recieacuten nacido y de un anciano

35


3 Bosqueje el graacutefico de P(x)Ejercicio 214 El encargado de un zooloacutegico estima que la funcioacuten

f (x) = 4eminus(ln x)2x x gt 0

entrega una buena estimacioacuten de la cantidad de animales en el zooloacutegico que tienen x antildeos de edad1 Bosqueje el graacutefico de la funcioacuten cuando x gt 0 Hint La funcioacuten es siempre positiva y satisface

lımxrarr0+ f (x) = lımxrarrinfin f (x) = 02 Determine cuaacutel es la edad maacutes comuacuten entre los animales Hint la edad maacutes comuacuten es donde la

cantidad de animales es mayorEjercicio 215 Suponga que para un organismo de x antildeos de edad la tasa de reproduccioacuten per caacutepitaestaacute determinada por

R(x) = ln (100x2eminusx)x

iquestCuaacutel es la edad oacuteptima para la reproduccioacuten iquestCuaacutel es la tasa de reproduccioacuten a esa edad Hint Laedad oacuteptima para la reproduccioacuten se alcanza cuando la tasa de reproduccioacuten es maacutexima

24 Funciones de dos variablesUsualmente en aplicaciones nos encontramos con modelos que involucran mas de una variable

independiente A modo de ejemplo recordamos el problema de la cerca desarrollado en el Ejemplo 21en dicho caso teniacuteamos las variables x e y que representaban el ancho y el largo de la cerca por lo quela funcioacuten que modela la cantidad de cerca puede ser escrita como

L(x y) = 2x + yEsta es una tiacutepica funcioacuten de dos variables A continuacioacuten tenemos la definicioacuten de tales funcionesDefinicioacuten 21 Una funcioacuten de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado (x y) en undominio D un uacutenico valor real f (x y)

Es importante remarcar que en aplicaciones lo que usualmente se entrega es una foacutermula para f (x y)donde el dominio estaacute ldquoimpliacutecitamenterdquo definido como el conjunto de pares ordenados (x y) para loscuales la funcioacuten esta bien definida

En el ejemplo de la cerca debe quedar claro que el dominio de la funcioacuten L(x y) son todos los pares(x y) tales que x gt 0 e y gt 0 esto pues ambas cantidades representan la longitud de un segmento Estosuele ocurrir cuando las variables tienen alguna connotacioacuten relativa a un problema real en el caso delejemplo las distancias son siempre positivas

Por otra parte hay situaciones en las que no hay una interpretacioacuten clara del significado de lasvariables En tales casos la misma foacutermula nos permite encontrar el dominio de la funcioacuten Dicha situacioacutense muestra en los siguiente ejemplos

36


Ejemplo 211

1 Sea f (x y) = 3x2 + 5yx minus y Determine el dominio de f y calcule f (2 3)

Solucioacuten Para que f esteacute bien definida nos debemos preocupar de no dividir por 0 Es decirx minus y 6= 0 o equivalentemente x 6= yDe lo anterior tenemos que el punto (2 3) pertenece al dominio por lo que podemos calcular

f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27

2 Sea g(x y) = xey + ln x Determine el dominio de g y calcule g(e2 e)Solucioacuten Aquiacute la funcioacuten estaacute indefinida cuando x le 0 puesto que el logaritmo natural solo estadefinido para valores positivos de donde concluimos que el dominio son todos los pares ordenados(x y) tales que x gt 0Como e2 gt 0 tenemos que el par (e2 e) pertenece al dominio luego calculamos

g(e2 e) = e2 middot ee + lne2 = e2+e + 23 Sea h(x y) =radic9minus x2 minus y2 Determine el dominio de h y calcule h(1 2)

Solucioacuten En este caso nos debemos preocupar que lo que se encuentra dentro de la raiacutez cuadradasea mayor que 0 es decir 9minus x2 minus y2 ge 0 o equivalentemente x2 + y2 le 9Vale la pena recordar que la ecuacioacuten en el plano cartesiano de una circunferencia de radio Rcentrado en las coordenadas (x0 y0) estaacute dada por

(x minus x0)2 + (yminus y0)2 = R2Ademaacutes el conjunto de los pares (x y) tales que (x minus x0)2 + (yminusy0)2 le R2 corresponde a los paresque se encuentran dentro de la circunferenciaFinalmente notamos que (1 2) estaacute en el domino de la funcioacuten por lo que calculamos

h(1 1) =radic9minus 12 minus 22 = radic4 = 24 Sea f (x y) = log2 (x + yminus 4) Determine el dominio de f

Solucioacuten Ahora la condicioacuten es que x + y minus 4 gt 0 es decir el domino es el conjunto de todoslos pares (x y) tales que x + y gt 4 Un buen ejercicio es determinar como se puede graficar estedominio

Ejemplo 212 Suponga que en cierta faacutebrica se estima que la produccioacuten de cierto producto estaacute dadapor

Q(K L) = 60K 13L 23 unidadesdonde K es el capital invertido (en millones de pesos) y L es la cantidad de trabajadores

37


1 Encuentre la produccioacuten si el capital es de $512 millones y de 1000 trabajadoresSolucioacuten Debemos calcular Q(512 1000) es decir

Q(512 1000) = 60 middot (512) 13 middot (1000) 23 = 60 middot 8 middot 100 = 480002 iquestQueacute sucede si se duplican el capital y la cantidad de trabajadores

Solucioacuten Si el capital inicial es K y la cantidad de trabajadores es L entonces debemos calcularQ(2K 2L)

Q(2K 2L) = 60(2K ) 13 (2L) 23 = 2 middot 60K 13L 23 = 2Q(K L)en otras palabras la produccioacuten se duplica

Ejemplo 213 Una poblacioacuten de 5 millones de habitantes crece exponencialmente comoP(k t) = 5ekt

donde k es la tasa de crecimiento (per caacutepita) anual y t es la cantidad de antildeos transcurridos iquestCuaacutel seraacutela poblacioacuten dentro de 7 antildeos si es que la poblacioacuten crece a un 3 anualSolucioacuten Tenemos que k = 003 y t = 7 de donde la poblacioacuten dentro de 7 antildeos seraacute P(003 7) =5e003middot7 asymp 616839 millones de habitantes

241 EjerciciosEjercicio 216 Calcule el valor de la funcioacuten en los valores dados

1 f (x y z) = xey + yex f (1 1) f (ln 2 ln 3)2 g(x y) = log2(x + y2) g(1 1) g(7 5)3 h(x y) =radicx2 minus y2 h(minus1 0) h(10minus5)

Ejercicio 217 Encuentre el domino de las siguientes funciones1 f (x y) = 5x + 4y

3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2

4 j(x y) = log2(1minus x2)x minus y2

Ejercicio 218 El coeficiente intelectual de una persona se mide mediante la siguiente foacutermulaC (am) = 100m

a donde a es la edad fisioloacutegica de la persona y m es la edad mental de la persona

1 Encuentre el domino de la funcioacuten C

38


2 iquestCuaacutel es el coeficiente intelectual de una persona de 20 antildeos de edad con una edad mental de 18antildeos

3 iquestCuaacutel es el coeficiente intelectual de una persona que tiene la misma edad mental que su edadfisioloacutegica

Ejercicio 219 La ley de Poiseuille dice que la velocidad de la sangre V en cms que fluye a r cms deleje central del vaso sanguiacuteneo de radio R cms y largo L cms estaacute dada por

V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)

donde P es la presioacuten del vaso en dinascm2 Suponga que para un vaso sanguiacuteneo en particular sedetermina que su radio es de 00075 cms y es de 1675 cms de largo

1 Escriba la funcioacuten V como una funcioacuten solo de R y P Determine su dominio2 iquestQueacute tan raacutepido fluye la sangre a 0004 cms del eje si la presioacuten es de 3875 dinascm2

Nota ldquodinardquo es una medida de fuerza tal que 100000 dinas equivalen a 1 Newton

242 Graacuteficos de funcionesA diferencia de las funciones de una variable las funciones de dos variables deben ser graficadas en

el espacio tridimensional A continuacioacuten observaremos algunos graacuteficos de dichas funcionesEjercicio 220 Investigar sobre como graficar funciones de dos variables usando herramientas compu-tacionales Una manera simple de hacer esto es utilizar Google

httpwwwgoogleclsearchq=x^22By^2+from+-2+to+2

39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z

(a) Paraboloide f (x y) = x2 + y2

minus10

1minus1 0 10

1

xy

z(b) Cono f (x y) =radicx2 + y2

minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(c) Silla de montar f (x y) = y2 minusx2

minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z

(d) f (x y) = eminus(x2+y2)

minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz

(f ) f (x y) = x(1minus x)y(1minus y)Figura 27 Graacuteficos de algunas funciones de dos variables

25 Derivadas parcialesComo vimos en los problemas de una variable conocer las derivadas de una funcioacuten es de gran

utilidad por ejemplo para obtener puntos criacuteticos lo que en aplicaciones nos permite resolver problemasde optimizacioacuten

Es por ello que debemos generalizar el concepto de derivada para el caso en que tratamos confunciones de dos variablesDefinicioacuten 22 Suponga que z = f (x y) es una funcioacuten de dos variables La derivada parcial de f conrespecto a x es la funcioacuten que resulta de derivar con respecto a x la f (x y) asumiendo que y es constanteDenotamos dicha derivada parcial como

fx (x y) o partfpartx (x y)

Similarmente la derivada parcial de f con respecto a y es la funcioacuten que resulta de derivar con respectoa y la f (x y) asumiendo que x es constante y la denotamos como

fy(x y) o partfparty (x y)

40


Si ambas derivadas existen decimos que la funcioacuten es diferenciableEjemplo 214 Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones

1 f (x y) = x2 + y2Solucioacuten fx (x y) = 2x

fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)

Solucioacuten fx (x y) = ln(x + y) + xx + y

fy(x y) = xx + y

3 f (x y) = sen(xey)Solucioacuten fx (x y) = ey cos(xey)

fy(x y) = xey cos(xey)Asiacute como tenemos el concepto de derivada parcial tambieacuten podemos hablar de las derivadas de

segundo orden Una observacioacuten importante es que a diferencia del caso de una variable para funcionesde dos variables hay mas de una segunda derivadaDefinicioacuten 23 Suponga que z = f (x y) es una funcioacuten de dos variables Tenemos cuatro derivadas desegundo orden las que se obtienen de la siguiente manera

fxx (x y) = part2fpartx2 (x y) que es la funcioacuten que resulta de calcular la derivada parcial respecto a x de

la derivada parcial respecto a x fyy(x y) = part2f

party2 (x y) que es la funcioacuten que resulta de calcular la derivada parcial respecto a y dela derivada parcial respecto a yfxy(x y) = part2f

partypartx (x y) que es la funcioacuten que resulta de calcular la derivada parcial respecto a yde la derivada parcial respecto a x yfyx (x y) = part2f

partxparty (x y) que es la funcioacuten que resulta de calcular la derivada parcial respecto a xde la derivada parcial respecto a y

Si todas las derivadas de segundo orden existen decimos que la funcioacuten es dos veces diferenciableEjemplo 215 Encuentre las derivadas de segundo orden de las siguiente funciones

41


1 f (x y) = x3 + y3Solucioacuten fx (x y) = 3x2

fy(x y) = 3y2fxx (x y) = 6x fyy(x y) = 6yfxy(x y) = 0fyx (x y) = 0

2 f (x y) = xy3 + 5xy2 + 2x + 1Solucioacuten fx (x y) = y3 + 5y+ 2

fy(x y) = 3xy2 + 5x fxx (x y) = 0fyy(x y) = 6xyfxy(x y) = 3y2 + 5fyx (x y) = 3y2 + 5

3 f (x y) = exy+2x2 Solucioacuten fx (x y) = (y+ 4x)exy+2x2

fy(x y) = xexy+2x2 fxx (x y) = (4 + (y+ 4x)2)exy+2x2 fyy(x y) = x2exy+2x2 fxy(x y) = (1 + x(y+ 4x))exy+2x2 fyx (x y) = (1 + x(y+ 4x))exy+2x2

Como observamos en todos los ejemplos anteriores las funciones fxy(x y) y fyx (x y) son iguales Estono es casualidad de hecho para (casi2) todas las funciones se tiene que fxy = fyx Es por esto que en losejercicios solo necesitamos calcular tres derivadas de segundo orden

Otro toacutepico de importancia es el relativo a la regla de la cadena cuando las funciones tienen dosvariables Recordemos que cuando teniacuteamos una funcioacuten de una variable y = f (x) era habitual introducir

2Las funciones para las que esto no es cierto son bastante patoloacutegicas Una de estas funciones es

f (x y) =xy(x2 minus y2)x2 + y2 para (x y) 6= (0 0)

0 para (x y) = (0 0)

Este tipo de funciones raramente aparece en aplicaciones por lo que no nos preocuparemos de ellas

42


el concepto de que x dependiacutea una tercera variable t y nos interesaba saber como depende y de dichavariable es decir nos interesaba calcular dydt Para ello usaacutebamos la regla de la cadena

dydt = f prime(x)dxdt

En el caso de dos variables lo que sucede es que tenemos que z = f (x y) y tanto x como y dependende una cuarta variable t Para obtener la tasa de cambio de z respecto a t necesitamos generalizar laregla de la cadena que conocemos para una variableTeorema 23 (Regla de la cadena) Sea z = f (x y) una funcioacuten diferenciable y supongamos que x e yson funciones de t es decir x = x(t) e y = y(t) Entonces z se puede considerar como una funcioacuten de ty tenemos que dz

dt = fx (x y)dxdt + fy(x y)dydt

Ejemplo 216 Dada la funciones z = f (x y) x(t) e y(t) calcule dzdt

1 f (x y) = x2 + y2 x(t) = 1 + t y(t) = t2 + eminust Solucioacuten Tenemos que

fx (x y) = 2xfy(x y) = 2y

dxdt = 1dydt = 2t minus eminust

de donde obtenemos que dzdt = 2x + 2 (2t minus eminust)y

2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t

Solucioacuten En este casofx (x y) = ln x + 1fy(x y) = 0

dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1

t2 de donde obtenemos que dz

dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43


3 f (x y) = cos(x2 + xy) x(t) = 1t + 1 y(t) = sen t

Solucioacuten Calculamosfx (x y) = minus (2x + y) sen(x2 + xy)fy(x y) = minusx sen(x2 + xy)

dxdt = minus 1

(t + 1)2 dydt = cos t

de donde obtenemos quedzdt = (2x + y) sen(x2 + xy)

(t + 1)2 minus x sen(x2 + xy) cos t

251 EjerciciosEjercicio 221 Calcule las derivadas de segundo orden de las siguientes funciones

1 f (x y) = 3x2 minus 4y2 + 5xyminus 5x + 6yminus 902 f (x y) = 50exy3 f (x y) = x minus 5eminusxy4 f (x y) = 1

1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)

6 f (x y) = e2minusxx minus y

7 f (x y) = ln(2x2 + 3y2)Ejercicio 222 Dadas las funciones z = f (x y) x(t) e y(t) calcule dzdt

1 f (x y) = 300 minus 20x2 + 40y x(t) = 100 y(t) =150minusradict

2 f (x y) = 3xy x(t) = t y(t) = t2 minus 1

3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t

4 f (x y) = x + yx minus y x(t) = t3 + 1

t3 y(t) = cos t

26 Optimizacioacuten de funciones de dos variablesHasta ahora hemos visto problemas de optimizacioacuten en una variable sin embargo hay situaciones en

las que se requieren mas de una variable independiente para modelar ciertos problemas como lo ilustrael siguiente ejemploEjemplo 217 Se desea construir una piscina para contener 4 m3 de agua3 iquestCuaacuteles son las dimensionesde la piscina que minimizan la cantidad de revestimiento del interior de la piscina

31 m3 asymp1000 litros

44


Para resolver este problema es conveniente hacer un dibujo (Figura 28) para visualizar las variablespertinentes

yx

z

Figura 28 Piscina

Como vemos el problema consiste en minimizar la superficie de la piscina es decir minimizar lafuncioacuten de tres variables

S(x y z) = 2xz + 2zy+ xybajo la restriccioacuten de que el volumen de la piscina es de 4 m3 es decir

V = xyz = 4Tal como en el ejemplo de la cerca (Ejemplo 21) podemos usar la segunda ecuacioacuten para reducir elnuacutemero de variables Por ejemplo podemos escribir que

z = 4xy

de donde reemplazando en la funcioacuten S obtenemos la funcioacuten de dos variablesS(x y) = 8

y + 8x + xy

Es decir nuestro problema ha sido reducido al siguiente problema de caacutelculo

minimizar la funcioacuten 8y + 8

x + xysujeto a que x gt 0 e y gt 0

(O)

iquestCoacutemo resolvemos este problema

261 Extremos relativos y puntos criacuteticos en dos variablesDefinicioacuten 24 (Extremos relativos) Decimos que la funcioacuten f tiene un

Maacuteximo relativo en el punto (a b) si f (a b) ge f (x y) para todo (x y) ldquocercardquo de (a b)

45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1

maacuteximo relativo

miacutenimo relativox

yz

Figura 29 Extremos relativos

Miacutenimo relativo en el punto (a b) si f (a b) le f (x y) para todo (x y) ldquocercardquo de (a b)Al igual que en el caso de una variable para encontrar extremos relativos la herramienta crucial es

la derivadaDefinicioacuten 25 (Puntos Criacuteticos) Dada una funcioacuten diferenciable f decimos que (a b) es un punto criacutetico4si

fx (a b) = 0 y fy(a b) = 0Ejemplo 218 Encuentre los puntos criacuteticos de f (x y) = x2 + y2Solucioacuten Ejemplo resuelto en clases

Asiacute como en problemas de una variable los puntos criacuteticos son candidatos a ser extremos relativoscomo lo muestra el siguiente teoremaTeorema 24 Si las derivadas parciales de primer orden existen entonces los extremos relativos seencuentran en los puntos criacuteticos

El teorema anterior nos da una herramienta para encontrar extremos relativos primero debemosencontrar los puntos criacuteticos y luego chequeamos cual de estos es un maacuteximo o miacutenimo relativoEjemplo 219 Encuentre los puntos criacuteticos de f (x y) = x3 + y3Solucioacuten Tenemos que fx (x y) = 3x2 y fx (x y) = 3y2 luego (0 0) es el uacutenico punto criacutetico

iquestCoacutemo determinamos si un punto criacutetico es un extremo relativoA diferencia del caso de una variable donde teniacuteamos el test de la primera derivada cuando trabajamos

con dos variables dicho test no puede ser aplicado Sin embargo existe un test de la segunda derivada4Asiacute como en el caso de una variable puede darse la situacioacuten que la funcioacuten no tenga derivadas en (a b) En dicho caso

(a b) tambieacuten es un punto criacutetico En este curso no nos preocuparemos de dichos casos

46


Teorema 25 (Test de la segunda derivada para extremos relativos) Dada una funcioacuten dos vecesdiferenciable definimos la funcioacuten

D(x y) = fxx (x y) middot fyy(x y)minus (fxy(x y))2 Para encontrar los extremos relativos seguimos el siguiente procedimiento

1 Encontramos los puntos criacuteticos de la funcioacuten2 Para cada punto criacutetico (a b) evaluamos D(a b)3 Si D(a b) gt 0 entonces evaluamos fxx (a b)

Si fxx (a b) gt 0 entonces (a b) es un miacutenimo relativoSi fxx (a b) lt 0 entonces (a b) es un maacuteximo relativoSi fxx (a b) = 0 entonces no podemos decir nada acerca de (a b)

4 Si D(a b) lt 0 entonces (a b) es un punto silla Este tipo de puntos no es un extremo relativo5 Si D(a b) = 0 entonces no podemos decir nada acerca de (a b)El teorema anterior se puede resumir con el siguiente cuadro Sea (a b) un punto criacutetico para f

entoncessigno de D(a b) signo de fxx (a b) (a b) es un

+ + miacutenimo relativo+ minus maacuteximo relativominus punto silla

minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z

Figura 210 La funcioacuten f (x y) = y2 minus x2 tiene un punto silla en (0 0)

Ejemplo 220 Encuentre los extremos relativos y puntos sillas de las siguiente funciones

47


1 f (x y) = x2 + y2Solucioacuten Ejemplo resuelto en clases

2 f (x y) = y2 minus x2 (Ver figura 210)Solucioacuten En este caso fx (x y) = minus2x y fy(x y) = 2y luego (0 0) es el uacutenico punto criacutetico Sicalculamos D(x y) obtenemos que

D(x y) = minus4luego D(0 0) = minus4 lt 0 es decir (0 0) es un punto silla

3 f (x y) = x3 minus y3 minus 6xySolucioacuten Ejemplo resuelto en clases

4 f (x y) = 12x minus x3 minus 4y2Solucioacuten Encontramos que fx (x y) = 12minus 3x2 y fy(x y) = minus8y de donde deducimos que hay dospuntos criacuteticos (2 0) y (minus2 0) Para determinar el tipo de punto criacutetico calculamos

D(x y) = 48xde donde D(2 0) = 92 gt 0 es decir el punto (2 0) es un miacutenimo relativo Por otra parte D(minus2 0) =minus92 lt 0 es decir (minus2 0) es un punto silla

Observacioacuten 22 Algunos se preguntaraacuten iquestQueacute pasa con los extremos absolutos La respuesta puedeser bastante complicada sin embargo en este curso asumiremos siempre que si es que la funcioacuten dedos variables tiene un uacutenico extremo relativo este debe ser absoluto es decir si encontramos un uacutenicomiacutenimo relativo este deber ser el miacutenimo absoluto de la funcioacuten asiacute tambieacuten si encontramos un uacutenicomaacuteximo relativo este debe ser el maacuteximo absoluto de la funcioacuten

262 EjerciciosEjercicio 223 Dada la funcioacuten f (x y) encuentre los puntos criacuteticos y clasifiacutequelos como maacuteximosrelativos miacutenimos relativos o puntos silla

1 f (x y) = 5minus x2 minus y22 f (x y) = xy3 f (x y) = 16

x + 6y + x2 minus 3y2

4 f (x y) = 2x3 + y3 + 3x2 minus 3yminus 12x minus 45 f (x y) = x3 + y2 minus 6xy+ 9x + 5y+ 26 f (x y) = xy2 minus 6x2 minus 3y2

48


27 Optimizacioacuten aplicadaA continuacioacuten veremos diversas aplicaciones En primer lugar volvamos al ejemplo de la piscina

(Ejemplo (O)) Teniacuteamos el siguiente problema

minimizar la funcioacuten S(x y) = 8y + 8


(O)

Para ello sigamos el procedimiento dado anteriormente

1 Primer encontramos los puntos criacuteticos Tenemos que Sx (x y) = minus 8x2 + y y Sy(x y) = minus 8

y2 + x Siigualamos ambas cantidades a 0 encontramos que

y = 8x2 y x = 8

y2

Si reemplazamos el valor de y en la ecuacioacuten para x obtenemos que

x = 8( 8x2)2 = x4

8

O equivalentemente x4minus 8x = 0 de donde obtenemos que x = 0 o x = 2 Pero x = 0 no es un valorvaacutelido para la funcioacuten es decir x = 2 es el uacutenico valor relevante Luego si reemplazamos x = 2 enla ecuacioacuten para y obtenemos que y = 2Es decir el punto (2 2) es el uacutenico punto criacutetico para la funcioacuten

2 Ahora necesitamos evaluar D(2 2) = Sxx (2 2) middot Syy(2 2) minus (Sxy(2 2))2 por lo que necesitamoscalcular las derivadas de segundo orden

Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1

por lo queD(2 2) = 16

23 middot 1623 minus 12 = 3 gt 0

Y como Sxx (2 2) = 2 gt 0 concluimos que (2 2) es un miacutenimo relativo pero como es el uacutenico es elmiacutenimo absoluto para S

Finalmente concluimos que las dimensiones de la piscina deben ser de 2 mtimes 2 mtimes 1 m (Recordarque z = 4

xy )

49


yx

z

Figura 211 Caja con tapa y base

Ejemplo 221 Se quiere construir una caja rectangular de 32 cm3 para ello se utilizan 3 materialesdistintos El material para los costados de la caja cuesta 1000 pesos por cm2 el material para labase cuesta 3000 pesos por cm2 y el material para la tapa cuesta 5000 pesos por cm2 Determine lasdimensiones de la caja mas barata

Solucioacuten Para resolver este problema es conveniente hacer un dibujo (Ver figura 211) Tenemos que elcosto de la caja se puede escribir como

C (x y z) = (costo de los lados)+(costo de la base)+(costo de la tapa)= (2xz + 2zy) middot 1 + xy middot 3 + xy middot 5= 2xz + 2zy+ 8xy miles de pesos

Por otra parte tenemos que el volumen de la caja debe ser de 32 cm3 es decir xyz = 32 de dondez = 32

xy Luego nuestro problema es minimizar

C (x y) = 64y + 64

x + 8xyProcedemos como siempre

1 Puntos criacuteticos Cx (x y) = minus64x2 + 8y Cy(x y) = minus64

y2 + 8x De donde el uacutenico punto criacutetico es elpunto (2 2)

2 Evaluamos D(2 2) Cxx (x y) = 2 middot 64x3 Cyy(x y) = 2 middot 64

y3 Cxy(x y) = 8 de donde

D(2 2) = 162 minus 82 = 3 middot 82 gt 0Ademas Cxx (2 2) = 128

23 gt 0 es decir nuestro uacutenico punto criacutetico es un miacutenimo

De donde concluimos que la caja debe ser de dimensiones 2 cmtimes 2 cmtimes 8 cm

50


Ejemplo 222 Una tienda de abarrotes vende dos marcas bebidas de fantasiacutea de tres litros Si el preciode venta de una de las marcas es x y el de la otra es y el duentildeo del almaceacuten estima que la gananciapor ventas estaraacute dada por la funcioacuten

G(x y) = (x minus 2)(40minus 50x + 40y) + (yminus 2)(20 + 60x minus 70y) miles de pesosEncuentre los precios x e y que maximizan la gananciaSolucioacuten Tal como antes seguimos el procedimiento

1 Puntos criacuteticos Gx (x y) = 20 minus 100x + 100y Gy(x y) = 80 + 100x minus 140y Si igualamos ambascantidades a 0 obtenemos el siguiente sistema

5x minus 5y = 15x minus 7y = minus4

De donde obtenemos que x = 2710 = 27 e y = 52 = 25 O sea el punto (2710 52) es el uacutenico punto

criacutetico para G2 Evaluamos D (2710 52

) Gxx (x y) = minus100 Gyy(x y) = minus140 y Gxy(x y) = 0 por lo tanto

D(27

10 52)

= 14000 gt 0

Finalmente evaluamos Gxx (2710 52) = minus100 lt 0 por lo que nuestro uacutenico punto criacutetico es un maacuteximo

Concluimos que para maximizar la ganancia debemos vender la marca x a $2700 y la marca y a$2500

Ejemplo 223 El gerente de una compantildeiacutea distribuidora de alimentos determina que sus tres clientesmas importantes se pueden ubicar en el mapa como lo muestra la figura 212

iquestEn queacute lugar del mapa debe establecerse el centro de distribucioacuten de modo que se minimice lasuma de los cuadrados de las distancias a cada clienteSolucioacuten En primer lugar recordamos que la distancia al cuadrado entre dos puntos en el plano dadospor (x1 y1) y (x2 y2) puede ser calculada mediante la foacutermula

d2 = (x1 minus x2)2 + (y1 minus y2)2Con esto si el centro de distribucioacuten se ubica en el punto (x y) entonces la suma de los cuadrados delas distancias a cada cliente esta dada por

f (x y) = (distancia al cliente A)2 + (distancia al cliente B)2 + (distancia al cliente C)2= [(x minus 1)2 + (yminus 5)2]+ [x2 + y2]+ [(x minus 8)2 + y2]

51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)

Figura 212 Diagrama para el centro de distribucioacuten

1 Puntos criacuteticos fx (x y) = 6x minus 18 fy(x y) = 6yminus 10 De donde el uacutenico punto criacutetico es el punto(3 53)

2 Evaluamos D (3 53) fxx (x y) = 6 fyy(x y) = 6 fxy = 0 por lo tanto

D(

3 53)

= 36 gt 0

ademaacutes fxx (3 53) = 6 gt 0 es decir nuestro uacutenico punto criacutetico es un miacutenimo

Concluimos que se debe ubicar el centro de distribucioacuten en el punto (3 53)

271 EjerciciosEjercicio 224 Un almaceacuten vende dos marcas de comida para perros Si cobra x pesos por una marca ey pesos por la otra el duentildeo estima que ganaraacute

G(x y) = minus5x2 + 10xyminus 20x minus 7y2 + 240yminus 5300iquestCuaacuteles deben ser los precios de las comidas de modo que se maximicen las gananciasEjercicio 225 Se desea construir una antena para celulares para comunicar a cuatro comunas Si lascomunas estaacuten ubicadas en los puntos (minus5 0) (1 7) (9 0) y (0minus8) determine el lugar (x y) donde sedebe ubicar la antena de modo que se minimice la suma de las distancias al cuadrado desde la antenahacia cada comunaEjercicio 226 El gerente de una compantildeiacutea de transporte tiene 3 clientes que se pueden ubicar en unmapa en las coordenadas A = (0 0) B = (2 7) y C = (8 1) (las coordenadas estaacuten en kiloacutemetros) De

52


acuerdo a sus caacutelculos el costo de traslado hacia A es de $200 por kiloacutemetro recorrido mientras que elcosto de traslado a B es de $150 por kiloacutemetro y a C es de $230 por kiloacutemetro

iquestEn queacute lugar del mapa debe establecerse su centro de operaciones de modo que se minimicen suscostos de trasladoEjercicio 227 Se quiere construir una caja rectangular sin tapa de 18 cm3 para ello se utilizan 2materiales distintos El material para los costados de la caja cuesta 3000 pesos por cm2 el materialpara la base cuesta 4000 pesos por cm2 Determine las dimensiones de la caja mas barataEjercicio 228 Una empresa produce 2 tipos de fertilizante fertilizantes A y B Si se producen x unidadesde A e y unidades de B se determina que la ganancia es de

G(x y) = x(100minus x) + y(100minus y)minus (x2 + xy+ y2)iquestCuaacutentas unidades de cada fertilizante se deben producir para maximizar la ganancia

28 Optimizacioacuten con restriccionesComo hemos visto en diversos problemas aplicados es usual que tengamos restricciones sobre las

variables Por ejemplo recordemos el Ejemplo 21 del granjero que queriacutea construir una cerca para suscaballos (Figura 213)

x xy

Aacuterea = 800 m2


En dicho problema habiacuteamos llegado a la conclusioacuten de que debiacuteamos resolver el siguiente ejerciciode optimizacioacuten


x gt 0 e y gt 0(P)

La manera en que resolvimos dicho ejercicio fue utilizando meacutetodos de una variable (usamos larestriccioacuten x middot y = 800 para despejar y y dejar todo en teacuterminos de x) sin embargo hay situacionesen las que despejar una de las variables es imposible (por ejemplo cuando la restriccioacuten es algo comosen(xy) + ex+y = 1) iquestCoacutemo enfrentamos dichos casos

53


281 Multiplicadores de LagrangeUna de las teacutecnicas mas uacutetiles en la optimizacioacuten con restricciones es el llamado meacutetodo de los

multiplicadores de Lagrange donde se introduce una tercera variable (un multiplicador) que nos permiteresolver el problema de optimizacioacuten con restricciones sin la necesidad de despejar una de las variablesen la restriccioacuten

El meacutetodo consiste en lo siguiente1 Supongamos que tenemos el problema optimizar la funcioacuten f (x y)

sujeto a que g(x y) = k (L)

2 Para resolver este problema buscamos los valores x y y λ tales quefx (x y) = λgx (x y)fy(x y) = λgy(x y)g(x y) = k

Esto nos da una lista de valores x = a y = b y λrsquos (al igual que con los puntos criacuteticos puedenhaber maacutes de uno)

3 Luego evaluamos la funcioacuten f en cada uno de los puntos (a b) obtenidos en el paso anterior4 Finalmente el valor maacuteximo (o miacutenimo) del problema L seraacute el mayor (o menor)5 valor obtenido en

el paso 3Para ilustrar el meacutetodo resolvamos el ejemplo 21 usando multiplicadores de Lagrange Queremos

resolver minimizar la funcioacuten 2x + ysujeto a que x middot y = 800 (P)

Luego para este caso en particular tenemos que f (x y) = 2x + y g(x y) = xy y k = 800 Luegofx (x y) = 2 fy(x y) = 1 gx (x y) = y y gy(x y) = x El meacutetodo nos dice que debemos resolver el sistemade 3times3 dado por

2 = fx (x y) = λgx (x y) = λy1 = fy(x y) = λgy(x y) = λxxy = g(x y) = k = 800

De donde deducimos que x = plusmn20 y = plusmn40 y aunque no lo utilizaremos λ = plusmn 120 Sin embargo estamos

interesados en el caso de que x y gt 0 luego solo nos preocupamos del punto (20 40) En este casoobtenemos que el menor valor se obtiene cuando x = 20 e y = 40 que es exactamente la medida queobtuvimos usando teacutecnicas de una variable

5En estricto rigor esto no es completamente cierto sin embargo para efectos de este curso solo nos preocuparemos de estasituacioacuten

54


Ejemplo 224 Encuentre el maacuteximo y miacutenimo de la funcioacuten f (x y) = xy sujeta a la restriccioacuten x2 +y2 = 8Solucioacuten En este caso tenemos que f (x y) = xy g(x y) = x2 + y2 y k = 8 De donde nuestro sistemade 3times3 queda

y = fx (x y) = λgx (x y) = λ2xx = fy(x y) = λgy(x y) = λ2y

x2 + y2 = g(x y) = k = 800De donde obtenemos que 2λ = y

x = xy es decir x2 = y2 Luego x2 = 4 = y2 o sea x = plusmn2 = y Por lo

tanto tenemos cuatro posibles puntos (minus2minus2) (minus2 2) (2minus2) y (2 2)Para concluir debemos evaluar f (x y) en todos estos puntosf (minus2minus2) = 4f (minus2 2) = minus4f (2minus2) = minus4 yf (2 2) = 4

De donde concluimos que el valor maacuteximo es 4 y se alcanza en (minus2minus2) y (2 2) y el valor miacutenimo es minus4y se alcanza en (minus2 2) y (2minus2)

Ejemplo 225 Encuentre el miacutenimo de la funcioacuten f (x y) = 2x2 + 4y2 minus 3xyminus 2x minus 23y+ 3 sujeta a larestriccioacuten x + y = 15Solucioacuten En este caso obtenemos que x = 8 y = 7 λ = 9 y f (8 7) = minus18

Ejemplo 226 Maximice la funcioacuten U(x y) = 10x06y04 sujeta a la restriccioacuten 20x + 30y = 600Solucioacuten Para resolver este problema planteamos las ecuaciones

6xminus04y04 = 20λ4x06yminus06 = 30λ20x + 30y = 600

Si despejamos λ en las primeras 2 ecuaciones obtenemos que

λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06

de donde deducimos que 9y = 4x Si reemplazamos esta relacioacuten en la tercera ecuacioacuten obtenemosque 5 middot 9y + 30y = 600 es decir 75y = 600 lo que nos da y = 8 Volviendo a la relacioacuten entre x e yobtenemos que x = 18

Luego la funcioacuten alcanza su maacuteximo en el punto (18 8) y su valor maacuteximo es U(18 8) asymp 13014

55


282 EjerciciosEjercicio 229 Encuentre el maacuteximo de la funcioacuten f (x y) = xy sujeta a la restriccioacuten x + y = 1Ejercicio 230 Encuentre el miacutenimo de la funcioacuten f (x y) = x2 + y2 sujeta a la restriccioacuten xy = 1Ejercicio 231 Encuentre el miacutenimo de la funcioacuten f (x y) = x2 minus y2 sujeta a la restriccioacuten x2 + y2 = 4Ejercicio 232 Encuentre el maacuteximo y el miacutenimo de la funcioacuten f (x y) = x2minusy2minus2y sujeta a la restriccioacutenx2 + y2 = 1Ejercicio 233 Encuentre el maacuteximo y el miacutenimo de la funcioacuten f (x y) = exy sujeta a la restriccioacutenx2 + y2 = 4Ejercicio 234 Una faacutebrica produce dos tipos de televisores LED y LCD El gerente estima que cuandox cientos de LEDs e y cientos de LCDs se producen entonces la ganancia anual seraacute de

G(x y) = minus03x2 minus 05xyminus 04y2 + 85x + 125yminus 2500 millones de pesosSi la empresa puede producir 30000 televisores en total iquestcuaacutentos LEDs y LCDs se deben producir paramaximizar la gananciaEjercicio 235 Se desea construir una caja con base cuadrada tal que el contorno maacutes el alto debe serexactamente 108 cms (Ver figura 214) iquestCuaacutel es la caja con tales caracteriacutesticas que tiene el volumenmas grande

xx

y contorno=4x

Figura 214 Caja para el ejercicio 235

29 Ajuste de curvasHasta el momento hemos visto ciertos tipos de problemas de modelamiento en los cuales las funciones

estaacuten previamente determinadas sin embargo esto no suele ocurrir en problemas realesLo que usualmente ocurre es que se realizan experimentos y mediciones para obtener informacioacuten

relativa a cierto sistema fiacutesico econoacutemico o social y luego se interpretan dichas mediciones en teacuterminosmatemaacuteticos A continuacioacuten detallamos un ejemplo de aquello

56


Ejemplo 227 Un productor agriacutecola ha encontrado los siguientes datos respecto al precio de uno desus productos

Produccioacuten x Precio de la demanda p6 74310 53917 30822 20728 12835 73

iquestQueacute funcioacuten p = f (x) es la que ldquomejorrdquo representa dichos datos

Para resolver este tipo de problemas una de las herramientas mas uacutetiles es graficar los datos y ldquoverrdquola funcioacuten

10 20 30

200

400

600

x

p

Figura 215 Datos del ejemplo 227

Del graacutefico podemos apreciar una suerte de comportamiento exponencial negativo es decir deberiacuteamostener que p = Aeminuskx donde k gt 0 Entonces la pregunta que surge es iquestCoacutemo encontramos las constanteA y k de modo que la funcioacuten resultante se ldquoacerquerdquo a los datos

291 Ajuste de rectas recta de miacutenimos cuadrados (RMC)Para encontrar la solucioacuten del ejemplo anterior primero debemos ser capaces de resolver un caso mas

simple El caso en que los datos se asemejan a una recta Para ello necesitamos la siguiente definicioacuten

57


Definicioacuten 26 (Recta de miacutenimos cuadrados) Dados n pares ordenados (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)definimos la recta de miacutenimos cuadrados como la recta y = mx + b donde

m = nsum (xy)minus (sum x) middot (sumy)nsum x2 minus (sum x)2

yb =

(sum x2) middot (sumy)minus (sum x) middot (sum xy)nsum x2 minus (sum x)2

dondesum x = x1 + x2 + + xnsumy = y1 + y2 + + ynsum x2 = x21 + x22 + + x2nsum xy = x1 middot y1 + x2 middot y2 + + xn middot yn

Esta recta tiene la particularidad de ser la recta que minimiza las distancias al cuadrado hacia lospuntos Siguiendo como ejemplo la figura 216 lo que queremos encontrar son m y b tales que

S(mb) = d21 + d23 + d23 = (mx1 + bminus y1)2 + (mx2 + bminus y2)2 + (mx2 + bminus y2)2

es miacutenima El resultado de minimizar esta funcioacuten cuando se hace para n puntos es lo que se obtienepara m y b en la definicioacuten 26

y = mx + b

d1

d2

d3

x

y

Figura 216 Recta de miacutenimos cuadrados

Ejemplo 228 Encuentre la recta de miacutenimos cuadrados para los puntos (1 1) (2 3) (4 3)Solucioacuten El procedimiento para resolver este tipo de problemas es Primero tabulamos los datos de lasiguiente manera

58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19

Luego usamos las foacutermulas para la pendiente de la recta m y para el coeficiente de posicioacuten b dadas enla definicioacuten 26

m = nsum (x middot y)minus (sum x) middot (sumy)nsum x2 minus (sum x)2 = 3 middot 19minus 7 middot 7

3 middot 21minus 72 = 47

yb =

(sum x2) middot (sumy)minus (sum x) middot (sum xy)nsum x2 minus (sum x)2 = 21 middot 7minus 7 middot 19

3 middot 21minus 72 = 1Por lo tanto la RMC es

y = 47x + 1

Ejemplo 229 Cierta universidad ha recopilado los siguientes datos respecto a las notas de los alumnosde primer antildeo respecto a sus notas en la ensentildeanza media

Promedio de notas ensentildeanza media 50 55 60 65 70Promedio de notas primer antildeo universidad 45 48 50 55 65

Encuentre la RMC que mejor representa a estos datos iquestCoacutemo cambia la RMC si es que se agrega eldato extra Nota ensentildeanza media=4 Nota primer antildeo=2Solucioacuten Si denotamos por x a las notas de la ensentildeanza media y por y a las notas del primer antildeo enla universidad tenemos que nuestra tabla queda

x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59


Lo que nos dam = 094

yb = minus038

Por lo tanto la RMC es y = 094x minus 038Si agregamos el punto (4 2) nuestra tabla queda (notar que al agregar un dato extra debemos solo

preocuparnos de la fila del dato extra y la fila de las sumas el resto de la tabla queda igual)

x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844

Es decir la nueva recta de miacutenimos cuadrados esy = 1334x minus 2844

En la figura 217 se pueden ver ambas rectas

292 Ajustes no linealesVolvamos al ejemplo 227 Teniacuteamos que nuestros datos asemejaban a una funcioacuten exponencial

p = Aekx y queriacuteamos encontrar A y k Una manera de hacer esto es usando la recta de miacutenimoscuadrados El problema es que nuestra funcioacuten candidato NO ES LINEAL iquestCoacutemo solucionamos esto

La respuesta es usar el logaritmo natural para convertir la funcioacuten original en una funcioacuten linealNuestra funcioacuten candidato es p = Aekx por lo que si aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de laecuacioacuten nos queda

lnp = kx + lnAluego si denotamos y = lnp m = k y b = lnA nos queda que nuestra funcioacuten candidato es y = mx + buna funcioacuten lineal para la cual podemos usar la RMC La tabla para encontrar esta RMC queda

60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332

De donde obtenemos quem = minus008 b = 7 09

es decir la recta queda y = minus008x + 709 Para concluir el problema debemos retornar a la funcioacutenexponencial es decir debemos recordar que k = m = minus008 y que lnA = b = 709 de donde obtenemosque A = e709 = 119991 Por lo tanto nuestra funcioacuten queda

p = 119991eminus008x lo que graacuteficamente se ve como

Otro tipo de ajustes no lineales son los ajustes polinomiales y = axc como el que se ve a continuacioacutenEjemplo 230 Suponga que se han recopilado los siguiente datos

H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102

1 Grafique los puntos en el plano H-W

61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p

Figura 218 Funcioacuten exponencial ajustada para el ejemplo 227

2 Encuentre la RMC3 Asuma que los datos se ajustan a una curva de la forma W = aHc Encuentre a y c4 Grafique la RMC y la curva resultante W = aHc en un mismo graacutefico

Solucioacuten 1 El graacutefico de los puntos se puede ver en la figura 219

10 80 13010

50

110

H

W

Figura 219 Graacutefico para el ejemplo 230

2 Para la RMC encontramos que W = 12H minus 540953 Para encontrar la funcioacuten polinomial debemos transformar nuestra foacutermula no lineal W = aHc en

una lineal Para ello nuevamente usamos el logaritmo natural y obtenemos quelnW = lna+ c lnH

Luego si denotamos por y = lnW x = lnH m = c y b = lna llegamos a la recta y = mx + bPara encontrar m y b usamos el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados y obtenemos la siguiente tabla

62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784

De donde encontramos que m = 17016 y b = minus36559 Finalmente recordamos que c = m = 17016y que lna = b = minus36559 es decir a = eminus36559 = 00258 Por lo tanto nuestra curva queda

W = 00258H170164 Ver la figura 220 Como se puede ver en el graacutefico ambas curvas se ajustan bastante bien a

los puntos por lo que la eleccioacuten de cual es mejor dependeraacute de que curva entregue mejorespredicciones Por ejemplo si de las restricciones del problema (por ejemplo H puede representarla altura de un individuo y W su peso) determinamos que los valores de W deben ser siemprepositivos entonces la RMC no es una buena curva de ajuste pues como se aprecia en la figurapara valores de H menores a 45 el valor resultante es negativo

10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W

Figura 220 Graacutefico con curvas ajustadas para el ejemplo 230

Veamos ahora otro ejemplo de ajuste esta vez con datos reales Los censos en ChileEjemplo 231 La siguiente tabla nos entrega los datos del censo en Chile para el periodo 1920ndash2002 enmillones de personas

63


Antildeo 1920 1930 1940 1952 1960 1970 1982 1992 2002Poblacioacuten 3730 4287 5024 5933 7374 8885 11330 13348 15116

1 Grafique los datos en el plano cartesiano2 Encuentre la RMC asociada a estos datos3 Para maacutes preguntas refieacuterase al ejercicio 243

Solucioacuten 1 El graacutefico de los datos se puede ver en la figura 221

1920 2000

4

15

t

P(t)

Figura 221 Datos de censos en Chile

2 En primer lugar encontramos la RMC haciendo la tabla con los datos pertinentest P t2 t middot P

1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64


De donde la RMC quedaP = 01434x minus 2728894

Una observacioacuten relevante es que en casos praacutecticos uno debe tener cuidado con las aproximacionesen especial cuando se trabaja con nuacutemeros grandes Por ejemplo si consideramos solo los primeros2 lugares decimales la recta quedariacutea P = 014t minus 27289 y el graacutefico es como en la figura 222

1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)

Figura 222 Recta miacutenimos cuadrados para el ejemplo 231 Hay que tener cuidado con la cantidad dedecimales que se usan

293 EjerciciosEjercicio 236 En los siguientes casos grafique los puntos y encuentre la RMC asociada

1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)

Ejercicio 237 En los siguientes casos grafique los puntos y encuentre la curva exponencial (y = Aekx )que mejor se ajusta a los datos (Hint siga la solucioacuten del ejemplo 227)

1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)

Ejercicio 238 En los siguientes casos grafique los puntos y encuentre la curva polinomial (y = axc)que mejor se ajusta a los datos (Hint siga la solucioacuten del ejemplo 230)

1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65


2 (576 53) (1092 137) (1997 383) (3002 781) (3552 1045) (4201 1350) (5357 1956) (7473 3192)Ejercicio 239 Encuentre la RMC asociada a los siguientes datos

x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35

y prediga el valor esperado cuando x = 37Ejercicio 240 Un productor recopila los siguientes datos

Produccioacuten en cientos x 5 10 15 20 25 30 35Precio de la demanda en miles de pesos p 44 38 32 25 18 12 6

1 Grafique los datos2 Encuentre la RMC3 Use la RMC para predecir el precio cuando se producen 4000 unidades

Ejercicio 241 El jefe de marketing de una empresa ha recopilado los siguientes datos que relacionanlos gastos en publicidad mensual y las ventas mensuales

Gasto en publicidad (millones) P 3 4 7 9 10Ventas (miles de unidades) V 78 86 138 145 156

1 Grafique estos datos2 Encuentre la RMC3 Use la RMC para predecir las ventas mensuales si es que se gastan $5000000 en publicidad

Ejercicio 242 Complete los detalles de la RMC del ejemplo 230 es decir haga la tabla pertinente yencuentre la ecuacioacuten de la rectaEjercicio 243 Siguiendo con el ejemplo del censo Ejemplo 231 Responda las siguientes preguntas

1 Suponga ahora que la poblacioacuten crece de forma exponencial (P(t) = Aekt) Usando 4 lugares deci-males encuentre la curva que mejor se ajusta a los datos iquestQueacute sucede si es que solo se consideran2 decimales Grafique los datos y las funciones usando alguna herramienta computacional6

6Una herramienta gratuita para hacer dichos graacuteficos es LibreOffice que es muy similar a Microsoft Office pero de libreacceso Si tienen alguna pregunta respecto a como utilizar esta herramienta me pueden consultar viacutea e-mail

66


2 Suponga ahora que los datos siguen una funcioacuten polinomial (P(t) = atc) Usando 4 lugaresdecimales encuentre la curva que mejor que ajusta a esos datos

3 En todos los casos (RMC exponencial y polinomial) prediga la poblacioacuten para el antildeo 2012 Comoreferencia seguacuten el censo recieacuten pasado la poblacioacuten de Chile es de7 16342 millones de personasiquestQueacute modelo entrega la prediccioacuten mas cercana a la realidad

4 iquestCoacutemo quedan los modelos si se agrega el dato del 2012 de la pregunta anterior Es deciragregamos el par (201216342) a los datos que ya teniacuteamos Seguacuten estos modelos iquestCuaacutel seriacutea lapoblacioacuten de Chile para el antildeo 2022

7Al menos eso ha dicho el INE en su uacuteltima actualizacioacuten al 26 de Febrero del 2014 httpwwwcensocl

67

Capiacutetulo 3

Programacioacuten linealComo vimos en la uacuteltima parte del capiacutetulo anterior en cierto tipo de problemas queremos optimizar

una funcioacuten bajo ciertas restricciones La programacioacuten lineal es un caso bastante similar al anteriorespeciacuteficamente aplica a los modelos en los que la funcioacuten a optimizar f es lineal y la restriccioacuten g estambieacuten lineal La gran diferencia seraacute que para estos problemas tendremos mas de una restriccioacutenlineal las que ademaacutes pueden ser desigualdades como por ejemplo

maximizar la funcioacuten 4x + 7ysujeto a que 3x + y le 10

5x minus 4y le 1x y ge 0

(PL)

Este tipo de problemas suele aparecer con frecuencia en aplicaciones a la economiacutea transporte yciencias sociales y en este curso nos enfocaremos al caso en que dichos modelos cuentan con solo condos variables independientes En tales cases desarrollaremos un meacutetodo bastante simple que sirve pararesolver dichos problemas Asimismo nos interiorizaremos en como plantear problemas aplicados paraobtener un problema de programacioacuten lineal

Para mayor desarrollo del tema refieacuterase al libro ldquoInvestigacioacuten de operacionesrdquo de Hamdy A Taha[11]

31 Solucioacuten graacutefica de problemas de programacioacuten lineal en dos variablesEl procedimiento de solucioacuten graacutefica comprende dos pasos

1 Determinar el espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo2 Determinar la solucioacuten oacuteptima entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones usando el

meacutetodo graacutefico

68


Usaremos el ejemplo (PL) para ilustrar como utilizar este procedimientoSolucioacuten En primer lugar graficamos el conjunto de soluciones factibles (que definimos como el conjuntode los (x y) que satisfacen todas las restricciones del problema) usando las ecuaciones de las restriccionesPara mas detalles de como hacer esto Ver los apuntes tomados en clases El conjunto resultante sepuede ver en la figura 31

10 3x + y le 10darr

5x minus 4y le 1uarr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y

Figura 31 Conjunto de soluciones factibles para el ejemplo PL

Una vez hecho esto graficamos la recta z = 4x + 7y para dos valores crecientes (por que queremosmaximizar) de z y observamos la direccioacuten en la que se ldquomuevenrdquo las rectas (Ver figura 32)

10

4x + 7y = 7uarruarr

4x + 7y = 21uarruarr

x

y

Figura 32 Grafico de z = 4x+7y para dos valores arbitrarios de z z = 7 y z = 21 Notar que las rectasSIEMPRE son paralelas

Finalmente determinamos el punto en el conjunto de soluciones factibles que resulta de mover lomas posible nuestra recta z = 4x + 7y en la direccioacuten en la que z crece (Figura 33) De acuerdo a lafigura el punto para el cual se hace mas grande z es el punto (0 10) La conclusioacuten es que la funcioacutenz = 4x + 7y se maximiza en el punto (x y) = (0 10)

A continuacioacuten veremos como aplicar el meacutetodo para problemas de minimizacioacuten

69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y

Figura 33 ldquoMovemosrdquo la recta z = 4x + 7y lo mas posible sin salirnos del conjunto factible

Ejemplo 31 Resolver el siguiente problema de programacioacuten lineal

minimizar la funcioacuten 3x + 5ysujeto a que x + 6y ge 3

4x + y ge 1x le 4y le 2

Solucioacuten Ejemplo resuelto en clases La acotacioacuten importante es que por ser un problema de minimizacioacutendebemos determinar la direccioacuten en la que decrece z = 3x + 5y y ldquomovernosrdquo lo mas posible en dichadireccioacuten

En clases llamamos a la solucioacuten el punto A y por falta de tiempo no di las coordenadas La respuestaes A(x y) = ( 323 1123

)

311 EjerciciosEjercicio 31 Resuelva los siguientes problemas de programacioacuten lineal usando el meacutetodo graacutefico Enlos problemas que se pide optimizar se deben encontrar tanto el maacuteximo como el miacutenimo

1

max 5x + 6ysa x + y le 4

x + 2y le 6x y ge 0

2

max 2x + 3ysa 3x + 2y le 6minus x + y le 0x y ge 0

3

max 6x + 3ysa 3x + 2y le 6

x minus y le 0x y ge 0

4

max x + ysa minus x + y le 0

3x minus y le 3x y ge 0

70


5

max 2x + ysa yminus 2x le 0

2yminus x ge 0x + y le 4

6

max 2y+ xsa yminus 2x le 0


7

optimizar yminus xsa yminus 2x le 0


8

optimizar x + ysa x + y ge minus3

3x minus y le 33yminus 2x le 6x y ge 0

9

optimizar yminus xsa x + y ge minus3


32 Modelos de programacioacuten lineal en dos variablesEn esta seccioacuten veremos que tipo de problemas se puede modelar usando teacutecnicas de programacioacuten

lineal Baacutesicamente un modelo de programacioacuten lineal tiene tres componentes1 Las variables que se tratan de determinar2 El objetivo (la meta) que se trata de optimizar3 Las restricciones que se deben satisfacerPor lo que en cada problema debemos ser capaces de identificar dichos componentes

Ejemplo 32 Una tienda vende dos clases de gaseosas la gaseosa A y la gaseosa B que es mas barataEl margen de utilidad aproximado de A es $5 por lata y la de B es $7 por lata En promedio la tiendano vende maacutes de 500 latas diarias Se estima que se venden al menos 100 latas de A diarias y que B sevende a lo menos el doble que A iquestCuaacutentas latas diarias de cada marca se deben tener en stock paramaximizar la utilidadSolucioacuten Ejemplo resuelto en clases En resumen el problema era resolver


x ge 100y ge 2xx y ge 0

donde x latas de A e y latas de B La respuesta es 100 latas de A y 400 latas de B

71


Ejemplo 33 Una escuela prepara una excursioacuten para 400 alumnos La empresa de transporte tiene 8autobuses de 40 asientos y 10 de 50 asientos pero solo dispone de 9 conductores Contratar de un busgrande cuesta $800000 y uno pequentildeo cuesta $600000 Calcular cuaacutentos buses de cada tipo hay queutilizar para que la excursioacuten resulte lo mas econoacutemica posible para la escuelaSolucioacuten Ejemplo resuelto en clases En resumen el problema se puede escribir como (quizaacutes en clasesintercambieacute los nombres de las variables)

min 600x + 800y (miles de pesos)sa 40x + 50y ge 400

x + y le 9x y ge 0

donde x buses de 40 pasajeros e y buses de 50 pasajeros La respuesta es 5 buses de 40 pasajerosy 4 buses de 50 pasajerosEjemplo 34 Se contrata a una empresa para que reciba 60000 kg de tomates maduros a $70 por kilocon los cuales produce jugo de tomate y salsa de tomate ambos enlatados los que se empacan en cajasde 24 latas En una lata de jugo se usa 1 kg de tomates frescos y en una de salsa 13 kg La demanda delos productos en el mercado se limita a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de salsa (cualquier excedentese perderaacute) La ganancia al por mayor por caja de jugo y de salsa es de $1800 y $900 respectivamenteDeduzca un programa oacuteptimo de produccioacuten para la empresaSolucioacuten Planteamiento del problema resuelto en clases En resumen teniacuteamos que

max 18x + 9y (miles de pesos)sa x le 2000

y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0

donde x cajas de jugo de tomate (1 caja jugo = 24 kilos tomate) e y cajas de salsa de tomate (1 cajasalsa = 8 kilos tomate) El conjunto de soluciones factibles se puede graficar como en la figura 34 Notarque aquiacute lo hice sin dividir por mil en el graacutefico pero la figura queda igual La uacutenica diferencia es quetodo estaacute en sus valores reales

Luego graficamos las rectas z = 18x + 9y para valores crecientes de z (Figura 35) y determinamosel oacuteptimo

Posteriormente el oacuteptimo se encuentra en la interseccioacuten de las rectas y = 6000 y 24x+8y = 60000que nos da como respuesta x = 500 y = 6000 es decir se deben vender 500 cajas de tomate en jugoy 6000 cajas de salsa de tomates lo que nos daraacute una ganancia de 18middot500+9middot6000=63000 miles depesos o sea 63 millones de pesos

A continuacioacuten presentamos un ejemplo en el que el conjunto factible es un poco mas complicado

72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y

Figura 34 Conjunto de soluciones factibles para el Ejemplo 34

bullacaacute estaacute el oacuteptimo

18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y

Figura 35 Encontrando el oacuteptimo para el ejemplo 34

Ejemplo 35 Una faacutebrica produce pinturas para interiores y exteriores utilizando dos materias primasM1 y M2 La tabla siguiente proporciona los datos baacutesicos del problema

Pinturas para Pinturas para Disponibilidadexteriores (ton) interiores (ton) diaria (ton)

Materia prima M1 (ton) 6 4 24Materia prima M2 (ton) 1 2 6

Utilidad diaria (miles de U$ por ton) 5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede sermayor que 1 tonelada maacutes que la de pintura para exteriores Tambieacuten que la demanda maacutexima diariade pintura para interiores es de 2 toneladas La faacutebrica desea determinar la cantidad de cada tipo depintura que maximiza la utilidad diaria total

73


Solucioacuten Primero identificamos las variables pertinentesx Toneladas producidas diariamente de pintura para exterioresy Toneladas producidas diariamente de pintura para interiores

Para formar la funcioacuten objetivo la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible Si z representala utilidad diaria total el objetivo de la empresa se expresa como

Maximizar z = 5x + 4y (miles de doacutelares)A continuacioacuten encontramos las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demandaLas restricciones en materias primas se expresan como sigue

(Uso de materia prima para ambas pintuas) le (Disponibilidad de materia prima)que seguacuten los datos del problema eacutesto se puede expresar como

Uso de la materia prima M1 = 6x + 4yUso de la materia prima M2 = 1x + 2y

Dado que el uso de las materias primas estaacute limitado por 24 y 6 respectivamente tenemos que6x + 4y le 24x + 2y le 6

Por otra parte tenemos restricciones dadas por la demanda En primer lugar demanda diaria depintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada maacutes que la de pintura para exteriores o enteacuterminos de nuestras variables y le 1 + x en segundo lugar que la demanda maacutexima diaria de pinturapara interiores es de 2 toneladas o sea y le 2

Finalmente observamos que hay una restriccioacuten impliacutecita esta es que las cantidades x e y deben sermayores que 0 pues ambas son cantidades fiacutesicas

Resumiendo nuestro problema es el siguiente

maximizar la funcioacuten 5x + 4ysujeto a que 6x + 4y le 24

x + 2y le 6yminus x le 1y le 2x y gt 0

A continuacioacuten determinamos el conjunto factible mediante un graacutefico (Ver figura 36)Una vez hecho esto graficamos la funcioacuten utilidad z = 5x + 4y para valores crecientes de z

y determinamos el oacuteptimo (ver Figura 37) La solucioacuten oacuteptima se encuentra en el punto rojo Las

74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y

Figura 36 Conjunto de soluciones factibles para el ejemplo 35

1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y

Figura 37 Determinamos el oacuteptimo para el ejemplo 35

coordenadas de dicho punto se encuentran resolviendo la interseccioacuten de las rectas respectivas es decirde las rectas 6x + 4y = 24 y x + 2y = 6 Esto nos da como solucioacuten el punto x = 3 e y = 15 en cuyocaso z = 21

Esto quiere decir que debemos vender 3 toneladas de pintura para exteriores y 15 toneladas depintura para interiores lo que nos daraacute una utilidad de 21 mil doacutelares

321 EjerciciosEjercicio 32 Una empresa fabrica dos tipos de productos con un costo de produccioacuten por unidad de$2000 y $3000 respectivamente Para hacer que el negocio sea rentable se ha determinado que sedebe fabricar a lo menos 10 kg de producto al diacutea Ademaacutes se determina que por razones logiacutesticas nose pueden producir mas de 15 kg del primer producto y 20 kg del segundo Establezca el modelo queminimiza los costos y encuentre la solucioacuten oacuteptimaEjercicio 33 Juan acaba de entrar a la universidad y desea repartir su tiempo disponible aproxima-damente de 10 horas por diacutea entre estudios y entretencioacuten Para ello estima que entretenerse le es

75


doblemente placentero que estudiar Tambieacuten desea estudiar al menos un tiempo igual al que pasaentretenieacutendose Sin embargo se da cuenta que para cumplir con sus obligaciones acadeacutemicas no puedepasar mas de 4 horas diarias en entretencioacuten iquestCoacutemo debe repartir Juan su tiempo para maximizar suplacerEjercicio 34 Una faacutebrica produce dos clases de motores eleacutectricos cada uno en una liacutenea de produccioacutenaparte Las capacidades diarias de las dos liacuteneas son de 600 y de 750 motores respectivamente El motortipo 1 usa 10 unidades de cierto componente electroacutenico y el motor tipo 2 usa 8 unidades El proveedorde ese componente puede suministrar 8000 piezas por diacutea Las utilidades son $60 mil pesos por cadamotor de tipo 1 y $40 mil pesos por cada uno de tipo 2 Determine la mezcla oacuteptima de produccioacuten diariaEjercicio 35 Una faacutebrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate 100 kg de almendras y85 kg de frutas Produce dos tipos de cajas la de tipo A contiene 3 kg de chocolate 1 kg de almendrasy 1 kg de frutas la de tipo B contiene 2 kg de chocolate 15 kg de almendras y 1 kg de frutas Losprecios de las cajas de tipo A y B son $13000 y $13500 pesos respectivamente iquestCuaacutentas cajas debefabricar de cada tipo para maximizar su ventaEjercicio 36 Una pasteleriacutea produce dos productos pasteles y galletas Las galletas requieren 200gramos de azuacutecar y 100 gramos de harina Los pasteles requieren 200 gramos de harina y 100 gramosde azuacutecar Se ganan $100 por cada galleta y $80 por cada pastel Si se disponen de 5 kilos de harina y7 kilos de azuacutecar Encuentre la produccioacuten que maximiza las gananciasEjercicio 37 Una faacutebrica de zapatos de cuero produce dos liacuteneas modelos de lujo y modelos regularesCada tipo modelo requiere un pie cuadrado de cuero Un modelo regular necesita 1 hora de mano deobra mientras que un modelo de lujo requiere 2 horas de mano de obra Cada semana se dispone de 40pies cuadrados de cuero y de 60 horas de mano de obra Si cada zapato regular genera una utilidad de$30 mil y cada modelo de lujo representa una utilidad de $40 mil encuentre la produccioacuten que maximizala utilidad de la faacutebricaEjercicio 38 Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas Elfabricante dispone para la confeccioacuten de 750 m de tejido de algodoacuten y 1000 m de tejido de polieacutesterCada pantaloacuten precisa 1 m de algodoacuten y 2 m de polieacutester Para cada chaqueta se necesitan 15 m dealgodoacuten y 1 m de polieacutester El precio del pantaloacuten se fija en $50000 y el de la chaqueta en $40000iquestQueacute nuacutemero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que eacutestosconsigan una venta maacuteximaEjercicio 39 Una compantildeiacutea fabrica y vende dos modelos de laacutempara L1 y L2 Para su fabricacioacuten senecesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2 y un trabajode maacutequina de 20 minutos para L1 y de 10 minutos para L2 Se dispone para el trabajo manual de 100horas al mes y para la maacutequina 80 horas al mes Sabiendo que el beneficio por unidad es de $15000 y$10000 para L1 y L2 respectivamente planificar la produccioacuten para obtener el maacuteximo beneficioEjercicio 310 En una granja de pollos se da una dieta para engordar con una composicioacuten miacutenima de15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B En el mercado solo se encuentran dosclases de compuestos el tipo X con una composicioacuten de 1 unidad de A y 5 de B y el otro tipo Y con unacomposicioacuten de 5 unidades de A y 1 de B El precio del tipo X es de $10000 y del tipo Y es de $30000iquestQueacute cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo miacutenimo

76


Ejercicio 311 Al comienzo del antildeo escolar se lanzan diversas ofertas de uacutetiles escolares Unos almacenesquieren ofrecer 600 cuadernos 500 carpetas y 400 laacutepices para la oferta empaquetaacutendolos de dos formasdistintas en el primer paquete tendraacute 2 cuadernos 1 carpeta y 2 laacutepices en tanto que el segundo tendraacute3 cuadernos 1 carpeta y 1 laacutepices Los precios de cada paquete seraacuten $650 y $700 respectivamenteiquestCuaacutentos paquetes conviene vender obtener el maacuteximo beneficioEjercicio 312 Una faacutebrica de vino produce 2 tipos de vino tinto y blanco Cada botella de un litro devino tinto produce una ganancia de $500 y cada botella de un litro de vino blanco produce una gananciade $400 Se estima que para producir 1 litro de vino tinto se necesita 1 kilo de uva y para producir 1litro de vino blanco se necesita 075 kilos de uva Ademaacutes para satisfacer la demanda se deben producirun miacutenimo de 20 litros de vino blanco Si la faacutebrica cuenta con 100 kilos de uva calcule la produccioacuten decada tipo de vino que maximiza la ganancia

33 Modelos de programacioacuten lineal en tres o mas variables331 Ejercicios34 Meacutetodo Simplex341 Ejercicios

77

Capiacutetulo 4

Ecuaciones diferencialesGran parte de este capiacutetulo estaraacute basado en el libro ldquoEcuaciones diferenciales con aplicaciones de

modeladordquo de Dennis Zill [13] que se puede encontrar en la biblioteca La gran mayoriacutea de los ejemplosy ejercicios seraacuten recopilados de dicho libro

41 IntroduccioacutenHasta ahora hemos aprendido que la derivada dydx de la funcioacuten y = f (x) es en si otra funcioacuten de

x que se determina siguiendo las reglas adecuadas por ejemplo si y = ex2 entonces dydx = 2xex2 Alreemplazar ex2 por el siacutembolo y se obtiene

dydx = 2xy (41)

El problema al que nos enfrentaremos en lo que queda de semestre no es ldquodada una funcioacuten y = f (x)determinar su derivadardquo si no que ldquodada una ecuacioacuten diferencial como la ecuacioacuten 41 iquesthay alguacutenmeacutetodo por el cual podamos llegar a la funcioacuten desconocida y = f (x)Definicioacuten 41 (Ecuacioacuten Diferencial) Una ecuacioacuten diferencial (ED) es una ecuacioacuten que involucraderivadas de una o mas funciones desconocidas de una o mas variables independientes Dichas ecuacionesse pueden clasificar como

Ecuacioacuten diferencial ordinaria (EDO) Si hay solo una funcioacuten desconocida que depende de unasola variable independienteSistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Si hay 2 o mas funciones desconocidas quedependen de una sola variable independienteEcuacioacuten diferencial parcial (EDP) Si hay solo una funcioacuten desconocida que depende de 2 o masvariables independientes

78


Sistema de ecuaciones diferenciales parciales Si hay 2 o mas funciones desconocidas que dependende 2 o mas variables independientes

Definicioacuten 42 El orden de una ED es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuacioacutenEjemplo 41 1 yprime = 2x + y es una EDO de primer orden

2 x minus 2x minus 15x = 0 es una EDO de segundo orden3 partupartt = part2u

partx2 es una EDP de segundo orden

4dxdt = 2x + 2ydydt = x + 3y

es un sistema de EDOs de primer orden

Definicioacuten 43 Una EDO lineal es una ecuacioacuten que puede ser escrita comoy(n) + anminus1(x)y(nminus1) + + a1(x)yprime + a0(x)y = f (x)

donde ai(x) son funciones conocidas de x para i = 0 1 nminus 1 n Si la ecuacioacuten no tiene esta formadecimos que la EDO es no-linealEjemplo 42 1 3yprimeprimeprime + yprime minus 10y = 90 es una EDO lineal

2 yprimeprime + 3xy+ 4y = cos x es una EDO lineal3 yprime + (sen x)y = x es una EDO lineal4 yprime + y2 + y = 0 es una EDO no-lineal

Definicioacuten 44 Una solucioacuten de una ED es cualquier funcioacuten que satisfaga la ecuacioacutenEjemplo 43 1 La funcioacuten y(x) = 0 es una solucioacuten de yprimeprime minus 2y+ y = 0

2 La funcioacuten y(x) = xex es una solucioacuten de yprimeprime minus 2yprime + y = 03 La funcioacuten y(x) = 1

16x4 es una solucioacuten de yprime = xradicy4 La funcioacuten y(x) = x + 1 no es una solucioacuten de yprime + y = ex 5 La funcioacuten u(x y) = x2 + y2 es una solucioacuten de uxx + uyy = 4

Definicioacuten 45 Definimos el intervalo de definicioacuten de una solucioacuten de una EDO como el intervalo masgrande donde la solucioacuten y todas sus derivadas pertinentes son continuasEjemplo 44 1 El intervalo de solucioacuten para y(x) = xex solucioacuten de yprimeprime minus 2y+ y = 0 es (minusinfininfin)

2 El intervalo de solucioacuten para y(x) = 116x4 solucioacuten de yprime = xradicy es (minusinfininfin)

3 El intervalo de solucioacuten para y(x) = 1x solucioacuten de xyprime + y = 0 es (minusinfin 0) oacute (0infin)

79


411 EjerciciosEjercicio 41 Verifique que las funciones indicadas son soluciones de la EDO dada

1 y(x) = eminus x2 2yprime + y = 02 y(x) = C1 cos(4x) + C2 sen(4x) yprimeprime + 16y = 03 y(t) = e3t cos(2t) yminus 6y+ 13y = 04 y(x) = minus(cos x) ln(sec x + tan x) yprimeprime + y = tan x

5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2

6 y(x) = (1minus sen(x))minus 12 2yprime = y3 cos x 7 Verifique las soluciones del ejemplo 412

42 EDOs de primer orden421 Soluciones por integracioacuten directa

Este meacutetodo aplica para ecuaciones de la formayprime = f (x)

donde f (x) es una funcioacuten conocida Para resolver este tipo de ecuaciones simplemente debemos integrary =

intf + C

donde int f es una primitiva de f y C es una constante arbitrariaEjemplo 45 Resolver yprime = sen x Solucioacuten De acuerdo al meacutetodo de integracioacuten directa tenemos que

y(x) =int

sen xdx= minus cos x + C

Luego y(x) = C minus cos x es la solucioacuten y su intervalo de definicioacuten es (minusinfininfin)

Ejemplo 46 Resolver xyprime = 1Solucioacuten Para resolver esta ecuacioacuten primero dividimos por x (de inmediato asumimos que x 6= 0) Luego

y(x) =int 1x dx

= ln |x|+ CLuego y(x) = ln |x|+ C es la solucioacuten y su intervalo de definicioacuten es (minusinfin 0) oacute (0infin) El intervalo quese escoge dependeraacute de las condiciones iniciales del problema

422 EjerciciosEjercicio 42 Resolver las siguientes EDOs usando el meacutetodo de integracioacuten directa

80


1 yprime = 52 yprime = 5x 3 y = minuse3t 4 yprime = (x + 1)25 yprime = (3x + 5)76 y = 8t(4t2 + 5)97 yprime = x2ex3+8

8 yprime = sen(x)9 yprime = sen(5x)

10 yprime = 2x2 minus 9

11 yprime = x2 minus 4xxradicx

12 yprime = (ln x)2

13 yprime = eradicxradicx

423 Ecuaciones autoacutenomasDefinicioacuten 46 (Ecuacioacuten autoacutenoma) Una ecuacioacuten autoacutenoma es una ecuacioacuten de la forma

yprime = g(y)donde g(y) es una funcioacuten continua

Para resolver este tipo de ecuaciones lo que hacemos es ldquodespejarrdquo de la siguiente formayprime = g(y)dydx = g(y)

1g(y)dy = dx

de donde podemos integrar para obtenerint 1g(y)dy =

intdx = x + C

Luego si denotamos G(y) = int 1g(y)dy obtenemosG(y) = x + C

Ejemplo 47 Resolver yprime = y3Solucioacuten Seguimos el meacutetodo y obtenemos que

yprime = y3

yminus3yprime = 1intyminus3dy =

int1dx

yminus2minus2 = x + C

81


de donde obtenemos que hay dos posibles soluciones y1(x) =radic 1Aminus 2x e y2(x) = minus

radic 1Aminus 2x donde

A = minus2C es una constante arbitraria y su intervalo de definicioacuten es (minusinfin A2)

Al observar mas detenidamente el ejemplo anterior notamos que la funcioacuten constante y = 0 tambieacutenes una solucioacuten de la ecuacioacuten que no obtuvimos con nuestro meacutetodo La razoacuten de esto es que alcomenzar el meacutetodo dividimos por y3 donde impliacutecitamente supusimos que y 6= 0

Por lo anterior es que al resolver ecuaciones autoacutenomas mediante este meacutetodo uno debe tenerpresente que al dividir por g(y) se pueden perder soluciones Esto ocurre para todas las funcionesconstantes y = y0 donde cuando g(y0) = 0Ejemplo 48 Resolver yprime = y2 minus 4Solucioacuten Identificamos la ecuacioacuten como autoacutenoma por lo que tenemos dos soluciones constantesy1 = minus2 e y2 = 2 Por otra parte

yprimey2 minus 4 = 1

int 1y2 minus 4dy =

intdx

Para calcular la integral usamos fracciones parcialesint 1y2 minus 4dy = 1

4int 1yminus 2dyminus 1

4int 1y+ 2dy

= 14 ln |yminus 2| minus 1

4 ln |y+ 2|= 1

4 ln∣∣∣∣yminus 2y+ 2

∣∣∣∣

De donde obtenemos que14 ln

∣∣∣∣yminus 2y+ 2

∣∣∣∣ =int

dx = x + CPara concluir hacemos un poco de aacutelgebra para obtener que

y(x) = 21 + Ae4x1minus Ae4x

cuyo intervalo de solucioacuten depende del signo de A Si A le 0 entonces el intervalo de solucioacuten es(minusinfininfin) y si A gt 0 entonces el intervalo de solucioacuten es (minusinfin 14 lnA) oacute (14 lnAinfin) Observar tambieacutenque cuando A = 0 obtenemos y = 2 solucioacuten que inicialmente habiacuteamos encontrado sin embargo lafuncioacuten constante y = minus2 no es parte de la familia

Ejemplo 49 Resolver yprime = y3 minus y

82


Solucioacuten En primer lugar identificamos que esta es una ecuacioacuten autoacutenoma Luego resolvemos la ecuacioacuteny3 minus y = 0 y obtenemos tres soluciones constantes para la ecuacioacuten diferencial

y1 = 0y2 = 1y3 = minus1

Ahora si resolvemos la ecuacioacuten utilizando el meacutetodo expuesto anteriormente obtenemosdydx = y3 minus yint 1

y3 minus ydy =int

dx

Para integrar el lado izquierdo usamos fracciones parciales1

y3 minus y = minus 1y +

12y+ 1 +12yminus 1

de donde obtenemos queint 1y3 minus ydy = minus lny+ 1

2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)

De donde obtenemos que nuestra solucioacuten satisfacey2 minus Ae2xyminus 1 = 0

donde A gt 0 es una constante arbitraria Notar que se obtienen 2 soluciones distintas (las raiacuteces dela ecuacioacuten) Ademas observamos que cuando A = 0 se recuperan las soluciones y2 = 1 e y3 = minus1 sinembargo la solucioacuten y1 = 0 no se puede obtener de la foacutermula

424 EjerciciosEjercicio 43 Encuentre las soluciones constantes y la solucioacuten general de las siguientes EDOs autoacuteno-mas

1 yprime = y2 yprime = 1

y 3 yprime = ey4 yprime = e2y

5 yprime = y26 yprime = yminus y27 yprime = k(yminusB) donde k y B son constantes cono-

cidas

83


425 Soluciones por separacioacuten de variablesEste meacutetodo generaliza los dos casos anteriores ya que aplica para ecuaciones de la forma

yprime = f (x)g(y)donde f (x) y g(y) son funciones conocidas Para resolver este tipo de ecuaciones utilizamos la mismaidea de ldquodespejarrdquo que usamos anteriormente

yprime = f (x)g(y)dydx = f (x)g(y)

1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx

Luego si denotamos G(y) = int 1g(y)dy y F (x) = int f (x)dx a las respectivas primitivas obtenemosG(y) = F (x) + C

Ejemplo 410 Resolver yprime = minus xy Solucioacuten Escribimos

yyprime = minusxintydy =

intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C

Notamos que C = y22 + x2

2 ge 0 luego podemos asumir que C = D22 Con esto podemos despejar y de la

siguiente maneray2 = D2 minus x2

y = plusmnradicD2 minus x2Es decir hay dos familias de soluciones y(x) = radicD2 minus x2 e y(x) = minusradicD2 minus x2 y en ambos casos elintervalo de solucioacuten es (minusDD)

Concluimos esta seccioacuten con un par de ejemplos

84


Ejemplo 411 Resolver la ecuacioacuten (1 + x)yprime = ySolucioacuten Escribimos para x 6= minus1

yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx

ln |y| = ln |1 + x|+ CDe acaacute obtenemos que |y| = eC |1 + x| = A |1 + x| en el intervalo (minusinfinminus1) oacute (minus1infin) Sin embargo sidespejamos y obtenemos que y(x) = A(1 + x) donde A es una constante arbitraria Ademaacutes vemos que lafuncioacuten y(x) = A(1 + x) es una solucioacuten en el intervalo (minusinfininfin)

Ejemplo 412 Resolver la ecuacioacuten yprime = xy 12 Solucioacuten Tal como vimos en clases el meacutetodo de separacioacuten de variables nos entrega la solucioacuten

y(x) =(x2

4 + C1)2

= 116(x2 + C)2 en el intervalo (minusinfininfin)

donde C = 4C1 es una constante arbitraria Sin embargo esta familia de soluciones no es la uacutenica puesla funcioacuten y equiv 0 tambieacuten es una solucioacuten (que no estaacute contenida en la familia anterior) Ademaacutes deestas dos soluciones existe una tercera familia de soluciones la que resulta de ldquopegarrdquo las funcionesanteriores en el punto x = a Esto es la funcioacuten

y(x) =

0 x lt a116(x2 minus a2)2 x ge a

donde a es un nuacutemero real cualquiera

426 EjerciciosEjercicio 44 Resolver las siguientes EDOs usando el meacutetodo de separacioacuten de variables

1 yprime = minus xy

2 yprime = minusyx 3 yprime = ey sen(2x)4 yprime = e3x+2y5 yprime = xy2

6 yprime = x2(yminus y2)7 yprime = kx(y minus B) donde k y B son constantes

conocidas8 (e2y minus y) dydx = ey sen(x)9 (ex + eminusx )yprime = y2

85


427 EDOs lineales de primer ordenSon ecuaciones del tipo

yprime + p(x)y = f (x) (42)donde p(x) y f (x) son funciones conocidas Para resolver esto usamos el denominado factor integranteDefinimos la funcioacuten P = int p y multiplicamos la ecuacioacuten por eP(x) (denominado factor integrante) dedonde obtenemos que d

dx(eP(x)y(x)) = f (x)eP(x)

Si integramos esta ecuacioacuten tenemos queint ddx(eP(x)y(x)) dx =

intf (x)eP(x)dx

luegoeP(x)y(x) = C +

intf (x)eP (x)dx

donde C es una constante arbitraria Finalmente llegamos a quey(x) = CeminusP(x) + eminusP(x)

intf (x)eP (x)dx

La funcioacuten y(x) obtenida se denomina solucioacuten general de la ecuacioacuten en tanto que el teacutermino yh(x) =CeminusP(x) es la solucioacuten de la ecuacioacuten homogeacutenea

yprime + p(x)y = 0 (43)y el teacutermino yp(x) = eminusP(x) int feP es una solucioacuten particular de la ecuacioacuten (42)Ejemplo 413 Resolver yprime minus 3y = 6Solucioacuten Notamos que el factor integrante es eminus int 3dx = eminus3x Luego multiplicamos por el factor integrantey obtenemos que

eminus3xyprime minus 3eminus3xy = 6eminus3xddx(eminus3xy(x)) = 6eminus3x

int ddx(eminus3xy(x)) dx =

int6eminus3xdx

eminus3xy(x) = minus2eminus3x + CDe donde obtenemos que la solucioacuten es

y(x) = minus2 + Ce3x cuyo intervalo de solucioacuten es (minusinfininfin)

86


Ejemplo 414 Resolver xyprime minus 4y = x6ex Solucioacuten En primer lugar debemos escribir la ecuacioacuten en su forma normal es decir suponemos quex 6= 0 y dividimos por x

yprime minus 4x y = x5ex

De aquiacute observamos que el factor integrante es eminus int 4x dx = eminus4 ln|x| = |x|minus4Para continuar debemos separar los casos x gt 0 y x lt 0 Resolveremos primero el caso x gt 0 Aquiacute

|x|4 = x4 y nuestra ecuacioacuten quedaxminus4yprime minus 4xminus5y = xex

ddx(xminus4y) = xexint d

dx(xminus4y(x)) dx =

intxexdx

Para calcular la integral del lado derecho debemos usar integracioacuten por partesintxexdx = xex minus

intexdx

= xex minus ex de donde concluimos que

xminus4y(x) = C + xex minus exy(x) = Cx4 + x5ex minus x4ex

cuyo intervalo de definicioacuten es (0infin)El caso x lt 0 queda propuesto como ejercicio

428 Problemas de valor inicialUn problema de valor inicial (PVI en corto) es una ecuacioacuten diferencial del tipo

yprime = f (x y)y(x0) = y0

(PVI)

donde f (x y) es una funcioacuten de 2 variables y (x0 y0) es un punto en el plano x minus y El resultado de estaseccioacuten es el Teorema de Existencia y UnicidadTeorema 41 Si la funcioacuten f (x y) es continua y diferenciable en las cercaniacuteas de (x0 y0) y ademaacutes lafuncioacuten partf

party es continua entonces la ecuacioacuten (PVI) tiene una uacutenica solucioacuten que estaacute definida en unintervalo de la forma (x0 minus a x0 + b) donde a b gt 0

87


Este teorema tiene utilidad principalmente para verificar antes de empezar a resolver una ecuacioacutenque una solucioacuten existe en segundo lugar sirve para comprobar que una solucioacuten encontrada esefectivamente la uacutenica solucioacutenEjemplo 415 Verifique si se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad para lossiguientes problemas

1 yprime minus y = 0 y(0) = 12 yprime = minus2xy2 y(0) = minus13 yprime = xradicy y(0) = 24 yprime = xradicy y(0) = 05 xyprime = y y(0) = 0

429 EjerciciosEjercicio 45 En los siguientes problemas encuentre la solucioacuten general de la ecuacioacuten lineal de primerorden indicando el o los intervalos donde la solucioacuten puede estar definida

1 yprime = 5y2 3yprime + 12y = 43 yprime + y = e3x 4 yprime + 3x2y = x2

5 xyprime + 2y = 36 yprime = 2y+ x2 + 57 xyprime minus y = x2 sen x 8 (1 + x)yprime minus xy = x + x2

Ejercicio 46 En los siguientes problemas resuelva el PVI indique el intervalo donde la solucioacuten estaacutedefinida y determine si la solucioacuten obtenida es uacutenica

1 yprime + 5y = 20 y(0) = 22 yprime = 2y+ x(e3x minus e2x ) y(0) = 23 Q = 5t4Q Q(0) = minus74 T = k(T minus 50) T (0) = 200 Asuma que k es una

constante conocida5 xyprime + y = ex y(1) = 2

6 yprime + tan xy = cos2 x y(0) = minus17 (x + 1)yprime + y = ln x y(1) = 108 yprime = y2 cos x y(minus2) = 13 9 xyprime = y2 minus y y (12

) = 12 10 yprime = 2x + 1

2y y(minus2) = minus1

88


43 Modelos que usan EDOs de primer orden431 Dinaacutemica de poblaciones

De acuerdo a Thomas Malthus la tasa a la cual la poblacioacuten de un paiacutes crece en un instante t esproporcional a la poblacioacuten del paiacutes en ese instante Matemaacuteticamente hablando dicha frase se puedeinterpretar de la siguiente forma Si denotamos por P(t) a la poblacioacuten del paiacutes al instante t entoncesla tasa de crecimiento en dicho instante estaacute dada por dPdt (t) luego la hipoacutetesis de Malthus se puedeescribir como dP

dt (t) prop P(t)donde el siacutembolo prop significa ldquoproporcional ardquo Recordamos que dos magnitudes a y b son proporcionalessi es que existe una constante k tal que a = kb luego el modelo Malthusiano queda

dPdt = kP

donde k es una constante de proporcionalidadEste modelo es usualmente utilizado para modelar el crecimiento de pequentildeas poblaciones en periacuteodos

cortos de tiempo como por ejemplo una colonia de bacterias en un plato de PetriAl resolver esta EDO bajo la condicioacuten inicial P(0) = P0 que representa que la poblacioacuten al tiempo

t = 0 es de P0 habitantes obtenemos queP(t) = P0ekt

que coincide con el modelo exponencial visto en el primer capiacutetulo de este curso Asiacute como vimos endicho capiacutetulo este modelo no siempre es adecuado por ejemplo no considera situaciones en las quehay ciertas tasas de natalidad mortalidad inmigracioacuten emigracioacuten etceacutetera

iquestCoacutemo incorporar una tasa de natalidad per caacutepita constante β y una tasa de mortalidad per caacutepitaconstante δ Para ello recurrimos a la interpretacioacuten de Malthus quien nos dice que k = β minus δ es decirnuestro modelo completo queda como

dPdt = (β minus δ)PP(0) = P0

(44)

La ecuacioacuten (44) sirve para modelar situaciones como las descritas anteriormente (poblacionespequentildeas en periacuteodos cortos de tiempo y sin entrada o salida de nuevos organismos) por lo que nosqueda por preguntarnos que hacer en el caso de una poblacioacuten con mayor cantidad de habitantes opara periacuteodos mas largos de tiempo

La manera habitual de responder a esa pregunta es relajar la condicioacuten de que las tasas seanconstantes en la ecuacioacuten (44) es decir considerar el caso en que

β = β(t P) y δ = δ(t P)

89


lo que nos deja con una ecuacioacuten no-lineal y bastante difiacutecil de resolver en general Un modelo simplificadobasado en lo anterior es el que propuso el matemaacutetico Pierre Verhulst quien supone que la tasa demortalidad es constante y que la tasa de natalidad es una funcioacuten lineal de P es decir

β(t P) = β0 minus β1P(t)de donde el modelo queda como

dPdt = (β0 minus δ minus β1P)PP(0) = P0

Si denotamos por r = β0 minus δ y K = β0 minus δβ1

entonces el modelo queda de la formadPdt = r

K P(K minus P)P(0) = P0

(45)

La ecuacioacuten (45) se conoce como ecuacioacuten logiacutestica de Verhulst y tiene como solucioacuten (EjercicioResolver la ecuacioacuten usando fracciones parciales) a la funcioacuten logiacutestica

P(t) = K1 + Aeminusrt (46)

Si recordamos lo visto en la seccioacuten 23 tenemos que el valor de K representa la capacidad maacutexima delsistema tambieacuten denotada como ldquopoblacioacuten liacutemiterdquo Ademaacutes podemos interpretar la constante r = β0 minus δcomo una suerte de ldquotasa netardquo de crecimiento

iquestCoacutemo utilizamos esto en aplicacionesEjemplo 416 (Mosca de la fruta en un recipiente cerrado) Cierto ambiente es capaz de sostener Mindividuos Si la tasa de crecimiento neto es proporcional a M minus P encuentre un modelo que representela poblacioacutenSolucioacuten Tenemos que β minus δ = k(M minus P) donde k es una constante de proporcionalidad Utilizando elmodelo geneacuterico dado por la ecuacioacuten (44) llegamos a que

dPdt = (β minus δ)P = kP(M minus P)

es decir es una ecuacioacuten logiacutestica

Ejemplo 417 (Poblacioacuten caniacutebal) Una comunidad cerrada cuenta con una tasa de natalidad constanteigual a β y una tasa de mortalidad proporcional a P Determine una ecuacioacuten diferencial que modele lasituacioacutenSolucioacuten En este caso tenemos que δ = αP luego la ecuacioacuten (44) queda

dPdt = (β minus δ)P = (β minus αP)P = αP

(βα minus P

)

que es una ecuacioacuten logiacutestica

90


Ejemplo 418 (Propagacioacuten de una enfermedad) En una comunidad cerrada con PT habitantes la tasade contagio de cierta enfermedad es proporcional a la interacciones entre individuos sanos y enfermosDetermine una ecuacioacuten que modele la propagacioacuten de la enfermedadSolucioacuten Si denotamos por P(t) al nuacutemero de personas contagiadas al instante t lo que nos dicen esque dP

dt prop P(PT minus P)donde (PT minus P) es la cantidad de individuos sanos1 Es decir tenemos que

dPdt = kP(PT minus P)

otra ecuacioacuten logiacutestica

La serie de ejemplos anteriores muestra que se pueden modelar diversas situaciones con la ecuacioacutenlogiacutestica sin embargo auacuten no consideramos el caso en que la comunidad es abierta es decir permitimos lallegada y salida de individuos En tales casos tenemos que las tasas ri y re no son nulas Por ejemplo unapoblacioacuten que se rige por el modelo logiacutestico ademaacutes cuenta con una tasa neta de inmigracioacutenemigracioacutende R = ri minus re individuos por antildeo dP

dt = rK P(K minus P) + R

Para resolver esta ecuacioacuten de manera expliacutecita incluso en el caso en que R es constante se necesitanteacutecnicas un poco mas avanzadas de integracioacuten las que no veremos en este curso2 Es por esto que solonos remitiremos al uso de la ecuacioacuten logiacutestica para comunidades cerradas

432 Objetos en caiacuteda libreDe acuerdo a la segunda ley de Newton tenemos que la sumatoria de fuerzas sobre un objeto es

igual a la masa del mismo por su aceleracioacuten es decirFneta = ma

Si denotamos por v a la velocidad del objeto tenemos queFneta = mv

Ahora en el caso de un objeto en caiacuteda libre suponemos que no hay fuerzas externas a la gravedadactuando sobre el objeto es decir3 Fneta = Fgravedad = minusmg lo que nos da una ecuacioacuten diferencial parala velocidad el objeto

mv = minusmg1Observar que estamos modelando una ldquointeraccioacutenrdquo entre dos individuos como el producto de las variables Esto seraacute

utilizada constantemente en el futuro2El caso en que r K y R son constantes se puede resolver usando fracciones parciales Cualquier otro caso escapa a las

teacutecnicas que estudiaremos en este curso3La constante g asymp 98 m

s2 denota la aceleracioacuten de gravedad en la Tierra

91


Objeto de masa mGravedad g asymp 98 m

s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0

Figura 41 Masa en caiacuteda libre

o equivalentementev = minusg

Esta ecuacioacuten se resuelve integrando directamente para obtener quev (t) = v0 minus gt

donde v0 = v (0) la velocidad inicial del objeto Similarmente tenemos que si h es la altura del objetoentonces v = h por lo que tenemos la ecuacioacuten diferencial para determinar la altura del objeto alinstante t dada por

h = v = v0 minus gtintegrando obtenemos que

h(t) = h0 + v0t minus gt22

donde h0 = h(0) es la altura inicial del objetoEjemplo 419 (Arquero suicida) Un arquero con intenciones suicidas lanza verticalmente desde el suelouna flecha con velocidad inicial de 49 ms Determine la altura maacutexima de la flecha y el tiempo que letoma al arquero recibir el flechazo de vueltaSolucioacuten Usando la solucioacuten obtenida tenemos que

v (t) = 49minus 98ty

h(t) = 49t minus 49t2Para resolver este problema debemos interpretar en teacuterminos matemaacuteticos que significa alcanzar laaltura maacutexima La clave es notar que la flecha cambia de direccioacuten al llegar al maacuteximo es decir pasamosde una velocidad positiva (se mueve hacia arriba) a una negativa (se mueve hacia abajo) en otraspalabras la condicioacuten es que la velocidad sea exactamente 0

v (t) = 0rArr 49minus 98t = 0rArr t = 4998 = 5

92


Es decir luego de 5 segundos la flecha alcanza su altura maacutexima Para determina la altura basta concalcular h(5) = h(t) = 49 middot 5minus 49(5)2 = 1225 metros

Para determinar cuanto tiempo tarda la flecha en impactar al arquero notamos que dicha situacioacutenocurre cuando h(t) = 0 (la flecha llega al nivel del piso) es decir

h(t) = 0rArr 49t minus 49t2 = 0rArr t = 0 oacute t = 10La solucioacuten t = 0 representa el momento en que se disparoacute la flecha y la solucioacuten t = 10 representa eltiempo que demora la flecha en impactar al arquero

Observacioacuten 41 En el ejemplo anterior muchos pensaraacuten iquestpor queacute calculamos el tiempo de retorno sies mucho mas faacutecil decir que la flecha se demora lo mismo en subir al maacuteximo que en bajar

La razoacuten por la cual lo resolvimos imponiendo la condicioacuten h(t) = 0 es en virtud de que dicha condicioacutenaplica en cualquier circunstancia no solo en el caso de caiacuteda libre iquestQueacute pasariacutea si agregamos resistenciadel aire a nuestro ejemplo Nuestra intuicioacuten nos dice que quizaacutes la flecha se deberiacutea demorar mas encaer que subir Sin importar nuestra buena o mala intuicioacuten la condicioacuten h(t) = 0 siempre nos daraacute larespuesta exacta al tiempo de retorno al suelo asiacute como la condicioacuten v (t) = 0 siempre nos daraacute el tiempoque le toma al objeto llegar a su altura maacutexima

Veamos que pasa si suponemos que aparte de la gravedad tenemos una fuerza de resistencia almovimiento fuerza de roce es decir

Fneta = Fgravedad + FroceiquestCoacutemo se modela la fuerza de roce

En primer lugar la fuerza de roce se opone al movimiento (es decir debe tener el signo opuesto alsigno de la velocidad) y habitualmente se supone que la fuerza es proporcional a v o a una potencia dev es decir

Froce = minuskvpdonde k gt 0 y p ge 1 son constantes empiacutericas siendo los casos p = 1 y p = 2 los mas usados Veamosel caso de un modelo con roce lineal es decir p = 1 El modelo diferencial quedariacutea como

mv = minusmgminus kvde donde obtenemos la ecuacioacuten diferencial

v + kmv = minusg

En este punto definimos la cantidadρ = k

my la denotamos coeficiente de arrastre esta constante es una constante empiacuterica que depende del objetoen cuestioacuten

93


Para resolver la EDO resultante utilizamos el factor integrante eρt y obtenemos que la solucioacutengeneral estaacute dada por

v (t) = minusgρ + Ceminusρt Si consideramos que la velocidad inicial del objeto es v (0) = v0 obtenemos la foacutermula para v (t)

v (t) =(v0 + g

ρ)eminusρt minus gρ

Una observacioacuten importante es que cuando hay roce se obtiene lo que se llama velocidad terminalque se calcula mediante

vT = lımtrarrinfin v (t) = minusgρ Esta velocidad es la maacutexima velocidad que puede alcanzar un objeto en caiacuteda libre independiente dela altura a la que este se deje caer Esta foacutermula explica de alguna manera el por queacute funcionan losparacaiacutedas ya que de no haber roce un paracaidista aumentariacutea su velocidad en todo momento durantesu caiacutedaEjemplo 420 (Arquero suicida con roce) Veamos como afecta un roce lineal a nuestro arquero suicidaSupongamos que la flecha utilizada tiene un coeficiente de arrastre ρ = 004 Utilizando la foacutermularecieacuten calculada obtenemos que

v (t) = 294eminus t25 minus 245Ademaacutes si recordamos que h = v obtenemos que

h(t) = 7350minus 245t minus 7350eminus t25 Ahora para calcular la altura maacutexima imponemos la condicioacuten v (t) = 0 y encontramos que

tmax = 25 ln 294245 asymp 456 segundos

de donde la altura maacutexima eshmax = h(tmax ) asymp 1083

En cuanto al tiempo de retorno este es mucho mas complicado de calcular que en el caso anteriorya que si bien la condicioacuten h(t) = 0 sigue siendo correcta el resolver dicha ecuacioacuten es algo no trivial yque escapa a las teacutecnicas de este curso Una manera de hacerlo es mediante el uso de un computador(teacutecnicas numeacutericas) de donde obtenemos que

timpacto asymp 941 segundosObservar que 914minus 456 = 485 es decir el tiempo de descenso es mas largo que tiempo de ascensoconfirmando que cuando hay roce nuestra intuicioacuten puede ser incorrecta

94


A(h)

A0hH

R

Figura 42 Ley de Torricelli

433 Ley de TorricelliEsta ley nos permite calcular el nivel del agua en un recipiente que se vaciacutea debido a un pequentildeo

agujero en su fondoDe acuerdo a Torricelli el agua solo cae producto de la fuerza de gravedad cuya aceleracioacuten

denotamos por g razoacuten de la cual se puede determinar una ecuacioacuten que modele la altura h del niveldel agua si el aacuterea del agujero es A0 y el aacuterea del nivel del agua cuando eacutesta tiene una altura h esA(h) entonces tenemos que la ecuacioacuten

dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)

nos permite determinar la altura h en cualquier instante tEjemplo 421 (Recipiente ciliacutendrico) En este caso A(h) = πR2

Ejemplo 422 (Recipiente cuadrado) En este caso A(h) = ab

Figura 43 Ley de TorricelliEjemplo 423 (Recipiente coacutenico truncado) En este caso A(h) = πH2 (h(R1 minus R0) +HR0)2

95


A(h)

A0hH

R1

R0


434 Ley de enfriamiento de NewtonDe acuerdo a Newton la tasa a la cual cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la

diferencia de la temperatura del objeto y el medio en el cual estaacute sumergido es decir si denotamos porT (t) a la temperatura del objeto al instante t y TM a la temperatura del medio tenemos que

dTdt prop T minus TM

de donde tenemos que dTdt = k(T minus TM )

Una simplificacioacuten que se suele hacer es suponer que TM es constante en cuyo caso normalmentetenemos que k lt 0Ejemplo 424 Una taza de cafeacute se enfriacutea seguacuten la ley de Newton Si inicialmente el cafeacute estaba hirviendo(T (0) = 100) y la temperatura ambiente es de 13deg estime la temperatura del cafeacute luego de 2 minutos sies que k = minus1Solucioacuten De acuerdo al modelo tenemos que la temperatura del cafeacute se puede modelar mediante laecuacioacuten diferencial T = minus(T minus 13)

T (0) = 100Resolvemos esta ecuacioacuten usando separacioacuten de variables

dTdt = minus(T minus 13)int 1

T minus 13dT = minusint

dtln(T minus 13) = minust + C

96


Figura 45 Mezcla de soluciones

de donde T (t) = 13 + eCminust = 13 + Aeminust donde A = eC Imponiendo la condicioacuten T (0) = 100 obtenemosque

T (t) = 13 + 87eminust Concluimos diciendo que la temperatura luego de 2 minutos es T (2) = 13 + 87eminus2 asymp 2477

435 Mezcla de solucionesLa mezcla de dos soluciones con concentraciones distintas puede ser modelada mediante una ecuacioacuten

diferencial Para entender la idea usaremos un ejemploSe tiene un estanque que inicialmente contiene L0 litros de solucioacuten de agua con sal con una

concentracioacuten de ci kilos de sal por litro de agua Al instante t = 0 se agrega al estanque una solucioacutende agua con sal con una concentracioacuten de ce kilos de sal por litro de agua la cual se incorpora a unatasa de re litros por segundo y simultaacuteneamente se extrae la solucioacuten resultante a una tasa de rs litrospor segundo

Nos interesa saber la concentracioacuten de la solucioacuten que extraemos del estanque en cualquier instantet para ello denotamos por S(t) a la cantidad de sal en el estanque al instante t Por ejemplo al instanteinicial tenemos que hay

S(0) = L0 middot cikilos de sal iquestCoacutemo determinamos la cantidad de sal en otro instante t La clave es utilizar una ecuacioacutendiferencial notamos que la tasa a la cual variacutea la cantidad de sal en el estanque se puede escribir de lasiguiente forma

dSdt = Re minus Rs

donde Re simboliza la cantidad de sal que ingresa al estanque por segundo y Rs es la cantidad de sal

97


que sale del estanque por segundo Estas cantidades se pueden calcular de la siguiente formaRe = (tasa de entrada de la solucioacuten)times (concentracioacuten de entrada de sal)Rs = (tasa de salida de la solucioacuten)times (concentracioacuten de salida de sal)

En nuestro problema tenemos queRe = re middot ceRs = rs

L0 + (re minus rs)t S(t)

Luego nuestro modelo queda de la siguiente formadSdt = re middot ce minus rs

L0 + (re minus rs)t S(t)S(0) = L0 middot ci

Para resolver esta ecuacioacuten en aplicaciones utilizamos el meacutetodo del factor integrante puesto quelas cantidades re ce rs pueden ser tanto constantes o funciones del tiempoEjemplo 425 Se agregan 3 litros por minuto de salmuera con una concentracioacuten de 05 kilos por litroa un estanque que contiene 300 litros de salmuera con una concentracioacuten de 02 kilos por litro Si seextraen 3 litros por minuto del estanque iquestcuaacutel es la concentracioacuten de la salmuera que saleSolucioacuten Tenemos que identificar las variables

L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3

de donde nuestro modelo queda dSdt = 15minus 1

100S(t)S(0) = 60

Ejemplo 426 Resuelva el problema anterior suponiendo que se extraen solo 2 litros por minutoSolucioacuten Lo uacutenico que cambia es que rs = 2 lo que nos deja como modelo

dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98


436 EjerciciosEn los siguientes ejercicios se usa la notacioacuten vista en clases Tal como mencioneacute al comenzar esta

parte del curso para ver mas ejemplos resueltos y ejercicios propuestos referirse al libro de D Zill [13]o el libro de M Spiegel [9] que aparecen en la bibliografiacutea De hecho muchos de los ejercicios aquiacutepropuestos se encuentran en esos libros (iexclvarios con solucioacuten)Ejercicio 47 Plantee modelos de poblacioacuten como ecuaciones diferenciales en los siguientes casosAdemaacutes entregue la solucioacuten del PVI obtenido

1 La tasa de natalidad (β) es proporcional a la poblacioacuten Y las tasas de mortalidad (δ) inmigracioacuten(ri) y emigracioacuten (re) son constantes

2 La tasa de crecimiento neto (k = βminusδ es constante) y la tasa neta de salida y entrada de poblacioacutenri minus re = cos t Esto indica que en ciertos periacuteodos hay inmigracioacuten con nada de emigracioacuten y enotros sucede todo lo contrario Tales supuestos pueden modelar (al menos de modo rudimentario)el periacuteodo de vacaciones en una ciudad

Ejercicio 48 A un hospital con PT individuos llega una persona portadora de un virus altamente contagio-so Si P(t) representa los individuos que tienen el virus al instante t determine una ecuacioacuten diferencialque modele los siguientes casos (iexclno resuelva las ecuaciones) Siempre suponga que inicialmente eluacutenico infectado es la persona que ingresa al hospital y que se presume que la tasa a la cual variacutea lapoblacioacuten enferma es proporcional a las interacciones entre individuos sin el virus y con el virus

1 Las autoridades declaran cuarentena (no entran ni salen individuos)2 Las autoridades dejan salir pacientes no infectados a una tasa de r13 Las autoridades dan por perdida la batalla y no dejan salir a nadie del hospital sin embargo

permite el ingreso de portadores del virus a una tasa de r24 iquestCoacutemo cambian los modelos si es que P(t) representa a los individuos no contagiados

Ejercicio 49 Una placa de Petri contiene inicialmente una colonia de 1000 bacterias Cuando t = 1 semide que el nuacutemero de bacterias es de 1500 Si la tasa de crecimiento de la colonia es proporcionalal numero de bacterias P(t) en eacutesta determine el tiempo necesario para que la colonia se triplique encantidadEjercicio 410 La poblacioacuten de una comunidad crece a una tasa que es proporcional al nuacutemero deindividuos en ella Si la poblacioacuten inicial se duplicoacute luego de 5 antildeos iquestcuaacutento tiempo le toma a la poblacioacutentriplicarse iquesty cuadruplicarseEjercicio 411 En una plantacioacuten de alerces se considera un modelo en el que la tasa de reproduccioacutenes proporcional a la cantidad de alerces pero en adicioacuten se talan alerces a una tasa de r gt 0 alercespor diacutea Esto nos da el modelo dP

dt = kP minus rdonde k r gt 0 son constantes Si la cantidad inicial de alerces es de 1000 aacuterboles y las tasas estaacutendadas por k = 005 r = 100 Se presume que bajo estas condiciones no deberiacutean quedar alerces luegode t0 diacuteas Encuentre t0 (Hint resuelva la ecuacioacuten P(t) = 0)

99


Ejercicio 412 Un estudiante contagiado de un tipo de gripe llega a un campus cerrado de una universi-dad con 1000 estudiantes inicialmente sanos Determine una ecuacioacuten diferencial para el nuacutemero deestudiantes contagiados si es que la tasa a la cual se esparce la gripe es proporcional al nuacutemero deinteracciones entre los estudiantes contagiados y los sanos

Si es que en adicioacuten se sabe que el nuacutemero de estudiantes contagiados luego de 4 diacuteas es de 50estudiantes determine el nuacutemero de estudiantes contagiados luego de 6 diacuteasEjercicio 413 Cierta poblacioacuten se rige por el modelo logiacutestico

dPdt = P(01minus 10minus7P) P(0) = 5000

donde t se mide en meses iquestCuaacutel es el valor liacutemite de la poblacioacuten iquestCuaacutendo la poblacioacuten seraacute igual a lamitad de la poblacioacuten liacutemiteEjercicio 414 Un estanque pierde agua debido a un orificio en su base Usando la ley de Torricellivista en clases responda las siguientes preguntas en los casos en que el estanque es un cilindro unparalelepiacutepedo un cono y un cono invertido Suponga que todas las constantes son conocidas

1 El tiempo que demora en vaciarse el estanque si es que eacuteste estaba originalmente lleno2 Determine el nivel del agua cuando el estanque estaacute a medio llenar asiacute como la velocidad a la que

disminuye el nivel del agua en ese instante3 iquestA queacute velocidad disminuye el nivel del agua justo en el instante en que el estanque esta vaciacuteo4 Suponga que se agrega agua al estanque a una tasa de r m3 por segundo iquestCoacutemo cambia el modelo

Hint Notar que la ecuacioacuten de Torricelli expresa un cambio en el nivel del agua por lo que agregametros cuacutebicos indica cambios en el volumen del agua por lo que se deben ajustar los datos paraque todo mida lo mismo

Hint Le puede servir saber que el volumen de un cilindro de altura H y radio R de su base es deV = πR2H en tanto que el volumen de un cono de altura H y radio R de su base es de V = 13πR2H Ejercicio 415 Se dispara verticalmente una bala de cantildeoacuten de 5 kilos desde el piso con velocidad inicialde 100 ms Responda las siguientes preguntas suponiendo que 1) no hay resistencia del aire 2) laresistencia del aire es la forma FR = minus0025v

1 iquestCuaacutel es la altura maacutexima de la bala2 iquestA queacute velocidad impactariacutea la bala a un avioacuten que vuela a la mitad de la altura maacutexima determinada

en la parte anterior3 En el caso sin resistencia del aire iquestCuaacutel es la velocidad a la que regresa la bala al suelo si es que

no impacta a ninguacuten objeto4 En el caso con resistencia del aire se puede calcular la determinada velocidad terminal Esta

velocidad corresponde al liacutemite de v cuando t rarr infin Encuentre la velocidad terminal para esteejemplo (Esto sirve para explicar por queacute los paracaiacutedas funcionan)

100


Ejercicio 416 Un recipiente contiene 500 litros de una solucioacuten compuesta por 90 de agua y 10 dealcohol Otra solucioacuten con 50 de agua y 50 de alcohol se va antildeadiendo al recipiente a razoacuten de 4 litrospor minuto Simultaacuteneamente el recipiente se va vaciando a razoacuten de 5 litros por minuto Suponiendoque el contenido del recipiente se revuelve constantemente iquestcuaacutento alcohol hay en el recipiente a los 10minutosEjercicio 417 Un recipiente contiene 500 litros de una solucioacuten que contiene 50 kilos de sal Al recipientese le agregar una solucioacuten salada con una concentracioacuten de 025 kilos por litro a razoacuten de 10 litros porminuto Simultaacuteneamente el recipiente se va vaciando a razoacuten de 5 litros por minuto Suponiendo que elcontenido del recipiente se revuelve constantemente iquestcuaacutento sal hay en el recipiente a los 10 minutosEjercicio 418 Un recipiente contiene 200 litros de una solucioacuten que contiene 15 kilos de azuacutecar Alrecipiente se le agrega agua destilada a un tasa de 10 litros por minuto Simultaacuteneamente el recipientese va vaciando a la misma tasa (10 litros por minuto) Suponiendo que el contenido del recipiente serevuelve constantemente responda las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutenta azuacutecar hay en el recipiente a los 15 minutos2 Calcular el tiempo que tarda la cantidad de azuacutecar en llegar a los 5 kilos3 La intuicioacuten nos dice que luego de mucho tiempo realizando este proceso la cantidad de azuacutecar

en el recipiente deberiacutea ser cada vez menor Hallar la cantidad de azuacutecar cuando t rarr infin paracontrastar nuestra intuicioacuten con este modelo

Ejercicio 419 Usando la ley de Newton para el enfriamientocalentamiento resuelva el siguienteescenario Suponga que se prepara una taza de cafeacute con agua hirviendo (T = 100deg) la que se deja sobreuna mesa en una pieza a temperatura ambiente (suponga que TM = 10deg es constante) Si luego de 10minutos la temperatura de la tasa de cafeacute es de 40deg grados determine la temperatura del cafeacute luego de30 minutos

iquestCoacutemo cambiariacutea el modelo si es que la temperatura ambiente no es constante Suponga para fijarideas que TM (t) = 10 + 10 cos(t) (es decir la temperatura oscila en torno a los 10deg)Ejercicio 420 Cuando se saca un queque del horno se mide que su temperatura es de 200deg Tresminutos despueacutes su temperatura es de 100deg iquestCuaacutento tiempo toma para que el queque alcance 21deg detemperatura si es que la temperatura ambiente es de 20degEjercicio 421 Un termoacutemetro se lleva del interior de una habitacioacuten aislada hacia el exterior donde latemperatura es de 5deg Luego de 1 minuto el termoacutemetro mide 15deg y luego de 5 minutes mide 10deg iquestCuaacutelera la temperatura al interior de la habitacioacutenEjercicio 422 Un cadaacutever se encuentra en una pieza cerrada donde la temperatura ambiente es de 20degAl momento en que se encontroacute el cadaacutever la temperatura del cuerpo era de 35deg Una hora despueacutes sehizo una segunda medicioacuten que determinoacute que la temperatura era de 30deg Suponiendo que la hora demuerte es t = 0 y que la temperatura del cuerpo era de 37deg determine cuantas horas transcurrierondesde que la persona murioacute hasta que se encontroacute el cadaacutever

101


Ejercicio 423 El modelo de enfriamiento de Newton no toma en cuenta la superficie del objeto queestaacute en contacto con el ambiente (es razonable pensar que a mayor superficie mayor debiese ser lapeacuterdidaganancia de temperatura) Una manera de corregir esto es considerar la ecuacioacuten

dTdt = kS(T minus TM )

donde S representa la superficie del cuerpo y k es una constante Suponga que la superficie del cadaacuteverencontrado en el problema anterior es de 4 m2 y responda las mismas preguntas iquestCoacutemo cambian susrespuestas si la superficie del cadaacutever es ahora de 3 m2Ejercicio 424 En teoriacutea de aprendizaje la tasa a la que se memoriza un concepto suele suponerse esproporcional a la cantidad que queda por memorizar Suponga que M denota la cantidad total de lo quese quiere memorizar y que A(t) es la cantidad de materia memorizada Determine y resuelva la ecuacioacutendiferencial que modela esta situacioacutenEjercicio 425 Escriba un modelo que represente la situacioacuten de aprendizaje pero que considere que latasa de contenidos memorizados ademaacutes de ser proporcional a lo que queda por memoriza disminuyeproducto del paso del tiempo a una tasa r Resuelva el modelo obtenido suponiendo que r es constantey conocida

44 EDOs lineales de segundo ordenNos enfocaremos en las EDOs lineales de segundo orden cuyos coeficientes son constantes es decir

ecuaciones de la formaAyprimeprime + Byprime + Cy = g(x)

donde A 6= 0 B y C son constantes conocidas y g(x) es una funcioacuten conocida

441 EDOs lineales de segundo orden homogeacuteneaSon ecuaciones donde g(x) equiv 0 o sea de la forma

Ayprimeprime + Byprime + Cy = 0 (48)Para resolver estas ecuaciones proponemos una solucioacuten de la forma y = eλx y buscamos el o los λrsquosque nos dan una solucioacutenDefinicioacuten 47 (Ecuacioacuten auxiliar) Dado λ definimos la ecuacioacuten auxiliar como

Aλ2 + Bλ+ C = 0 (49)Para encontrar la solucioacuten general de la ecuacioacuten (48) resolvemos la ecuacioacuten auxiliar (49) y

escribimos la solucioacuten general comoy(x) = C1y1 + C2y2

donde C1 y C2 son constantes y la funciones y1 e y2 se denotan soluciones de la ecuacioacuten homogeacuteneay se calculan como

102


Caso 1 Dos raiacuteces reales y distintas (B2 minus 4AC gt 0) Si las raiacuteces son λ1 y λ2 entoncesy1(x) = eλ1x

ey2(x) = eλ2x

Caso 2 Dos raiacuteces complejos conjugadas (B2 minus 4AC lt 0) Si las raiacuteces son λ1 = α + βi y λ2 = α minus βientonces

y1(x) = eαx cos(βx)e

y2(x) = eαx sen(βx)Caso 3 Una raiacutez real repetido (B2 minus 4AC = 0) En este caso la raiacutez es λ1(= minus B2A ) y tenemos que

y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x

442 EDOs lineales de segundo orden no-homogeacuteneaEs el caso de la ecuacioacuten

Ayprimeprime + Byprime + Cy = g(x)donde g(x) es una funcioacuten conocida Para encontrar la solucioacuten general de esta ecuacioacuten resolvemosprimero la ecuacioacuten homogeacutenea (g(x) equiv 0) y obtenemos las funciones y1 e y2 como lo hicimos anterior-mente (dependiendo de como sean las raiacuteces de la ecuacioacuten auxiliar) Luego definimos la funcioacuten solucioacutenparticular

yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)donde

u1(x) = minusint y2(x)g(x)A(y1yprime2 minus yprime1y2)

yu2(x) =

int y1(x)g(x)A(y1yprime2 minus yprime1y2)

y obtenemos que la solucioacuten general de la EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantesno-homogeacutenea es

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yp(x)donde C1 y C2 son constantes

103


443 Problemas de valor inicialEs el caso de la ecuacioacuten

Ayprimeprime + Byprime + Cy = g(x)cuenta ademaacutes con una condicioacuten inicial del tipo

y(x0) = y0 yprime(x0) = y1donde x0 y0 y1 son valores conocidos Dado que sabemos resolver la ecuacioacuten y obtenemos unasolucioacuten de la forma

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yp(x)la tarea es encontrar las constantes C1 y C2 de modo que se satisfaga la condicioacuten inicial (es decirevaluamos la funcioacuten y(x) y su derivada yprime(x) cuando x = x0) Esto se traduce en resolver un sistemalineal de 2times 2

444 EjerciciosEjercicio 426 Verifique si la funcioacuten dada es o no una solucioacuten de la EDO de segundo orden

1 y(x) = ex minus eminusx yprimeprime minus y = 02 y(x) = 4e4x minus 10eminusx yprimeprime minus 3yprime minus 4y = 03 y(x) = 10minus x2 xyprimeprime minus yprime = 04 y(x) = 4 + 10 cos x minus sen x yprimeprime + y = 0

5 y(x) = 3e2x yprimeprime minus 6yprime + 5y = minus9e2x

6 y(x) = sen(5x) yprimeprime + 5yprime minus y = cos x

7 y(x) = x2 + 3x yprimeprime minus 6yprime + 5y = 5x2 + 3x minus 16

Ejercicio 427 Resuelva las siguientes EDOs de segundo orden

1 yprimeprime minus yprime minus 12y = 02 yprimeprime minus 4y = 03 yprimeprime minus 2yprime + 5y = 0

4 4yprimeprime minus 4yprime + y = 05 yprimeprime minus 7yprime + 10y = 24ex 6 2yprimeprime + 2yprime + y = x

Ejercicio 428 Resuelva los siguientes problemas de valor inicial

1 yprimeprime + 16y = 0 y(0) = 2 yprime(0) = minus22 yprimeprime + y = 0 y (π3

) = 0 yprime (π3) = 2

3 yprimeprime minus 4yprime minus 5y = 0 y(1) = 0 yprime(1) = 2

4 4yprimeprime minus 4yprime minus 3y = 0 y(0) = 1 yprime(0) = 55 yprimeprime minus y = e2x y(0) = 0 yprime(0) = 06 2yprimeprime + yprime minus y = x + 1 y(0) = 1 yprime(0) = 0

104


45 Modelos que usan EDOs de segundo orden451 Ejercicios

46 Sistemas de EDOs lineales de primer ordenNos enfocaremos en el estudio de sistemas de EDOs lineales homogeacuteneas de primer orden con

coeficientes constantes es decir sistemas de la formadxdt = ax + bydydt = cx + ey

(410)

donde a b c y e son constantes conocidas Para resolver este tipo de sistemas utilizaremos el conceptode valores y vectores propiosDefinicioacuten 48 (Matriz asociada) Es la matriz

A =a bc e

Usando notacioacuten matricial un sistema lineal de ecuaciones diferenciales se puede escribir comodXdt = AX

donde X(t) =x(t)y(t)

Definicioacuten 49 (Valor propio) Decimos que λ es un valor propio para el sistema de EDOs (410) si es unvalor propio de la matriz asociada A En otras palabras es una solucioacuten de la ecuacioacuten det(Aminus λI) = 0En nuestro caso de 2 variables la ecuacioacuten es

(aminus λ)(eminus λ)minus bc = 0

Definicioacuten 410 (Vector propio) Si λ es un valor propio para el sistema (410) entonces k =k1k2

es

un vector propio si es que satisface el sistema de ecuaciones lineales Ak = λk es decirak1 + bk2 = λk1ck1 + ek2 = λk2

(411)

105


461 Solucioacuten de un sistema de EDOs linealesLas soluciones se calculan dependiendo de los valores propios obtenidos

Caso 1 Dos valores propios reales y distintos λ1 y λ2En este caso hay un vector propio asociado a cada valor propio k1 =

k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22

asociado a λ2 La solucioacuten general del sistema se puede escribir como

x(t) = C1k11eλ1t + C2k21eλ2t y(t) = C1k12eλ1t + C2k22eλ2t

o en notacioacuten matricialX(t) = C1k1eλ1t + C2k2eλ2t

donde C1 y C2 son constantesCaso 2 Dos valores propios complejos conjugados λ1 = α + βi y λ2 = α minus βi

En este caso solo hay que calcular el vector propio asociado a λ1 que seraacute de la forma

k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi

La solucioacuten general del sistema se puede escribir comox(t) = C1eαt (γ1 cos(βt)minus δ1 sen(βt)) + C2eαt (δ1 cos(βt) + γ1 sen(βt)) y(t) = C1eαt (γ2 cos(βt)minus δ2 sen(βt)) + C2eαt (δ2 cos(βt) + γ2 sen(βt))

o en notacioacuten matricialX(t) = C1eαt(γ cosβt minus δ sinβt) + C2eαt(δ cosβt + γ sinβt)

donde C1 y C2 son constantesCaso 3 Un valor propio real repetido λ = λ1 = λ2

En este caso tenemos el vector propio asociado a λ que llamamos k =k1k2

y un vector propio

generalizado p =p1p2

que se calcula resolviendo el sistema lineal ((Aminus λI)p = k)

ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106


Hecho esto la solucioacuten general esx(t) = C1k1eλt + C2

(k1teλt + p1eλt)

y(t) = C1k2eλt + C2(k2teλt + p2eλt

) o en notacioacuten matricial

X(t) = C1keλt + C2(

kteλt + peλt)

donde C1 y C2 son constantes

462 Problemas de valor inicial para sistemas de EDOsSon problemas en los que se tiene un sistema de la forma

dxdt = ax + bydydt = cx + ey

pero ademaacutes contamos con condiciones iniciales de la formax(t0) = x0 y(t0) = y0

donde t0 denota un ldquotiempo inicialrdquo (usualmente 0) y x0 y0 son las ldquoposiciones inicialesrdquo Para resolverestos problemas debemos primero resolver el sistema encontrando soluciones usando las foacutermulasanteriores que cuentan con 2 constantes arbitrarias C1 y C2 las cuales encontraremos al imponer lascondiciones iniciales (o sea evaluamos las funciones para t = t0) y resolver el sistema lineal de 2times 2resultante

463 EjerciciosEjercicio 429 Resolver los siguientes sistemas de EDOs

1dxdt = x + 2ydydt = 4x + 3y


3dxdt = 10x minus 5ydydt = 8x minus 12y

4dxdt = minus4x + 2ydydt = minus5

2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y

6dydt = minus3x + ydxdt = minus6x + 2y

7dxdt = 3x minus ydydt = 9x minus 3y

8dydt = 4xdxdt = 9y+ 12x

9dxdt = minusy+ 6xdydt = 5x + 2y

Ejercicio 430 Resuelva los problemas del ejercicio anterior sujetos a las siguientes condiciones iniciales1 x(0) = 3 y(0) = 52 x(0) = 1 y(0) = 1

3 x(0) = 10 y(0) = 0

47 Modelos que usan Sistemas de EDOs471 Ejercicios

108

Bibliografiacutea[1] Bazaraa Mokhtar S Programacioacuten lineal y flujo en redes Meacutexico Limusa[2] Hoffmann Laurence D 1943- Caacutelculo para la administracioacuten economiacutea y ciencias sociales Santafeacute

de Bogotaacute McGraw-Hill c2001[3] Jauffred M Francisco J Meacutetodos de optimizacioacuten programacioacuten lineal graacuteficas Meacutexico Centro

Regional de Ayuda Teacutecnica 1971[4] Larson Hostetler Edwards Caacutelculo Vols 1 y 2 5a edicioacuten McGraw-Hill 1995[5] Neuhauser Claudia Matemaacuteticas para Ciencias Pearson 2009[6] OlsquoNeil Peter V Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea anaacutelisis de Fourier ecuaciones diferenciales

parciales y anaacutelisis complejo Australia Thomson c2004[7] Roxin Emilio O Ecuaciones diferenciales ordinarias y teoriacutea de control Buenos Aires EUDEBA

c1968[8] Simmons George Finlay 1925- Caacutelculo y geometriacutea analiacutetica Madrid McGraw-Hill[9] Spiegel Murray R Ecuaciones diferenciales aplicadas Meacutexico Prentice Hall Hispanoamericana

1983[10] Stewart James Caacutelculo Meacutexico D F International Thomsom Editores[11] Taha Hamdy A Investigacioacuten de operaciones Meacutexico Alfaomega c19952004[12] Winston Wayne L Investigacioacuten de operaciones Meacutexico Grupo Editorial Iberoamericana c1994[13] Zill Dennis G 1940- Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Meacutexico Thomson

2007

109

Repaso

Algunas herramientas de caacutelculo

Derivadas

Ejercicios

Algunos conceptos relativos a la derivada

Ejercicios

Optimizacioacuten en una variable

Ejercicios

Razoacuten de cambio

Ejercicios

Funciones exponenciales y logariacutetmicas

Ejercicios

Modelos funcionales

Nociones baacutesicas de modelamiento matemaacutetico

Anaacutelisis Marginal y aproximacioacuten de funciones

Ejercicios

Modelos exponenciales y logariacutetmicos

Ejercicios

Funciones de dos variables

Ejercicios

Graacuteficos de funciones

Derivadas parciales

Ejercicios

Optimizacioacuten de funciones de dos variables

Extremos relativos y puntos criacuteticos en dos variables

Ejercicios

Optimizacioacuten aplicada

Ejercicios

Optimizacioacuten con restricciones

Multiplicadores de Lagrange

Ejercicios

Ajuste de curvas

Ajuste de rectas recta de miacutenimos cuadrados (RMC)

Ajustes no lineales

Ejercicios

Programacioacuten lineal

Solucioacuten graacutefica de problemas de programacioacuten lineal en dos variables

Ejercicios

Modelos de programacioacuten lineal en dos variables

Ejercicios

Modelos de programacioacuten lineal en tres o mas variables

Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios

Ecuaciones diferenciales

Introduccioacuten

Ejercicios

EDOs de primer orden

Soluciones por integracioacuten directa

Ejercicios

Ecuaciones autoacutenomas

Ejercicios

Soluciones por separacioacuten de variables

Ejercicios

EDOs lineales de primer orden

Problemas de valor inicial

Ejercicios

Modelos que usan EDOs de primer orden

Dinaacutemica de poblaciones

Objetos en caiacuteda libre

Ley de Torricelli

Ley de enfriamiento de Newton

Mezcla de soluciones

Ejercicios

EDOs lineales de segundo orden

EDOs lineales de segundo orden homogeacutenea

EDOs lineales de segundo orden no-homogeacutenea


Ejercicios

Modelos que usan EDOs de segundo orden

Ejercicios

Sistemas de EDOs lineales de primer orden

Solucioacuten de un sistema de EDOs lineales

Problemas de valor inicial para sistemas de EDOs

Ejercicios

Modelos que usan Sistemas de EDOs

Ejercicios

Bibliografiacutea

Iacutendice general

1 Repaso 111 Algunas herramientas de caacutelculo 1

111 Derivadas 1112 Ejercicios 3113 Algunos conceptos relativos a la derivada 3114 Ejercicios 7

12 Optimizacioacuten en una variable 8121 Ejercicios 13

13 Razoacuten de cambio 16131 Ejercicios 18

14 Funciones exponenciales y logariacutetmicas 19141 Ejercicios 21

2 Modelos funcionales 2321 Nociones baacutesicas de modelamiento matemaacutetico 2322 Anaacutelisis Marginal y aproximacioacuten de funciones 25

221 Ejercicios 2823 Modelos exponenciales y logariacutetmicos 29

231 Ejercicios 3524 Funciones de dos variables 36

241 Ejercicios 38242 Graacuteficos de funciones 39

25 Derivadas parciales 40251 Ejercicios 44

26 Optimizacioacuten de funciones de dos variables 44261 Extremos relativos y puntos criacuteticos en dos variables 45262 Ejercicios 48

27 Optimizacioacuten aplicada 49

ii























v

Capiacutetulo 1








1


y = f (x)


x0





)prime



=(





2



ddx(x2y+ tany) = d

dx(log2(xy))


(y+ x dydx

)


1x ln 2 minus 2xy








3 x2 + 13y3x minus y = 10




3








1

2

3

4

5

6

bull

bull




4









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea























v

Capiacutetulo 1








1


y = f (x)


x0





)prime



=(





2



ddx(x2y+ tany) = d

dx(log2(xy))


(y+ x dydx

)


1x ln 2 minus 2xy








3 x2 + 13y3x minus y = 10




3








1

2

3

4

5

6

bull

bull




4









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea

Capiacutetulo 1








1


y = f (x)


x0





)prime



=(





2



ddx(x2y+ tany) = d

dx(log2(xy))


(y+ x dydx

)


1x ln 2 minus 2xy








3 x2 + 13y3x minus y = 10




3








1

2

3

4

5

6

bull

bull




4









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea


y = f (x)


x0





)prime



=(





2



ddx(x2y+ tany) = d

dx(log2(xy))


(y+ x dydx

)


1x ln 2 minus 2xy








3 x2 + 13y3x minus y = 10




3








1

2

3

4

5

6

bull

bull




4









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea



ddx(x2y+ tany) = d

dx(log2(xy))


(y+ x dydx

)


1x ln 2 minus 2xy








3 x2 + 13y3x minus y = 10




3








1

2

3

4

5

6

bull

bull




4









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea








1

2

3

4

5

6

bull

bull




4









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea









minus20

minus10

10

20 bull

bull




5















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea















6






2

4

6

8 bullbull






7


minus1 15minus125

bull

bull

5

(a)

minus134 minus087

bull

5

-8

43

(b)minus2 2 3

bull

bull

2

4

3

(c)




5 f (x) = eminusx + x en [0 10]





05

1

15

2 bull

bull


8




05

1

15

2

bull







9



minus50

minus40

minus30

minus20

minus10bull

bull








10


1 2 3 4 5 6 7 8

40

60

80

100

bull












11


20 m 20 m

40 m

Aacuterea = 800 m2



2 4 6 8 10

50

100

150









12











13



Vacas Chanchos



x

xxx y y

z 5




14


12y = 36 minus x2

bull

bull

bull





R(D) = D2(C

2 minusD3)




15









C2 = 4275 + 3q3 = 4275 + 3 middot 153 = 4275 + 3 middot 3325 = 4275 + 10125 = 14400

16




dCdt = 9q2

2Cdqdt





16



F = 320003 +radicx




2radicxdxdt = 0






17





3msdarr

10 m





18


4020

8

3







bx



19


1

y = bx b gt 1

y = bx 0 lt b lt 1










Si b gt 1 entonces

20


1

y = logb x b gt 1






1 ddx (ex ) = ex

2 ddx (ln x) = 1x


lnb middot1x


1 3 = e20x 2 2 ln x = 13 2x2+x = 4

4 ln(x minus 2) + 3 = ln(x + 1)




21




1 f (x) = x2eminusx



22

Capiacutetulo 2









23


x x

y









x gt 0 e y gt 0(P)






24









y = C (x)

C (x0)

C (x0 + 1)

x0 x0 + 1

C prime(x0)




dicha unidad

25










(14x + 3

)= 22minus 11

12x











26




∆C asymp 2452 = 1225






V = 16π(25)3 asymp 8181 cm3





27






Qprime(1000)


= 3 por lo tanto

∆L asymp 153 = 5







28











29


Q(t) = Aekt









bull

B

B minus A


30






uva





y = B1+Aeminuskt

bull

B

B1+A

B1+A ekt



31








Q(t) = 10001 + 9eminust











(9eminust minus 1)

32















33








8 90




34












P(x) = xeminusx


35















36


Ejemplo 211



f (2 3) = 3(2)2 + 5(3)2minus 3 = minus27









37











3x minus 5y

2 g(x y) = xln(x + y)

3 h(x y) = exy1 + x2





38





V (r R L P) = 93PL

(R2 minus r2)







39


minus10

1minus1 0 10

1

2

xy

z


minus10

1minus1 0 10

1

xy


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z


minus20

2minus2 0 20

05

1

xy

z


minus10

1minus1 0 1minus1

0

1

xy

z

(e) f (x y) = xy

0

1minus05 0 05 1 150

5

middot10minus2

x

yz








40




fy(x y) = 2y2 f (x y) = x ln(x + y)


fy(x y) = xx + y










41












0 para (x y) = (0 0)


42











2 f (x y) = x ln x x(t) = t 13 y(t) = t + 1t


dxdt = 1

3tminus23

dydt = 1minus 1


dt = 13tminus

23 (1 + ln x)

43




dxdt = minus 1






1 + 10eminusxy

5 f (x y) = cos2(x + y)





3 f (x y) = x 12y 23 x(t) = et y(t) = ln t


t3 y(t) = cos t




44



yx

z

Figura 28 Piscina




z = 4xy


y + 8x + xy




(O)




45


minus20

2minus2 0 2minus1

0

1



yz










46









minus20

2minus2 0 2minus5

05

punto silla

xy

z



47













48






(O)




y = 8x2 y x = 8

y2


x = 8( 8x2)2 = x4

8



Sxx (x y) = 16x3 Syy(x y) = 16

y3 Sxy = 1





xy )

49


yx

z







C (x y) = 64y + 64









50









D(27

10 52)

= 14000 gt 0







51


B(0 0)

A

(1 5)

C(8 0)

(x y)




D(

3 53)

= 36 gt 0





52







x xy

Aacuterea = 800 m2




x gt 0 e y gt 0(P)


53
















54












λ = 3(yx)04 y λ = 4

3( xy)06



55




xx

y contorno=4x





56






10 20 30

200

400

600

x

p





57




yb =






y = mx + b

d1

d2

d3

x

y



58


x y x2 xy1 1 1 12 3 4 64 3 9 12sum 7 7 21 19




yb =



y = 47x + 1




x y x2 xy5 45 25 225

55 48 3025 2646 5 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 30 263 1825 16015

59



yb = minus038



x y x2 xy4 2 16 85 45 25 225

55 48 3025 2646 3 36 30

65 55 4225 35757 65 49 455sum 34 283 1985 16815


yb = minus2844







60


1 4 7

1

4

7

y = 094x minus 038

y = 1334x minus 2844

x

y


x p y = lnp x2 xy6 743 661 36 396610 539 629 100 62917 308 573 289 974122 207 533 484 1173228 128 485 784 1358635 73 429 1225 15017sum 118 3311 2918 60332





H 879 953 1067 1154 1272 1358W 524 603 731 837 980 1102


61


10 20 30

200

400

600p = 119991eminus008x

x

p




10 80 13010

50

110

H

W





62


x = lnH y = lnW x2 xy44762 39589 200364 17720945570 40993 207665 18680846700 42918 218091 20042947484 44282 225473 21022348458 45850 234814 22217749112 47023 241197 230938sum 282086 260646 1327604 1227784




10 45 80 130 18010

50

110

190

W = 12H minus 54095

W = 00258H17016

H

W



63





1920 2000

4

15

t

P(t)



1920 3730 3686400 7161601930 4287 3724900 8273911940 5024 3763600 9746561952 5933 3810304 11581221960 7374 3841600 14453041970 8885 3880900 17503451982 11330 3928324 22456061992 13348 3968064 26589222002 15116 4008004 3026223sum 17648 75027 34612096 148027284

64




1920 2000

4

15

RMC

Rectaaproxim

ada

t

P(t)



1 (0 1) (2 3) (4 2)2 (1 2) (2 4) (4 4) (5 2)3 (minus2 5) (0 4) (2 3) (4 2) (6 1)4 (0 1) (1 16) (22 3) (31 39) (4 5)


1 (1 156) (3 17) (5 183) (7 20) (10 224)2 (2 134) (4 9) (6 6) (8 4) (10 27)


1 (1 05) (2 3) (3 10) (4 15) (5 24) (6 37)

65



x 2 25 3 3 35 35 4 4y 15 2 25 35 25 3 3 35










66






67

Capiacutetulo 3





(PL)






68



10 3x + y le 10darr


y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y



10

4x + 7y = 7uarruarr


x

y




69


4x + 7y = z

bull(0 10)

x

y







)


1


x + 2y le 6x y ge 0

2


3



4



70


5



6



7



8



9









71




x + y le 9x y ge 0



y le 600024x + 8y le 60000x y ge 0





72


2000 2500

6000

7500

24x + 8y le 60000darr

y le 6000darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

xle2000darr

x

y



18x + 9y = 27000uarr

18x + 9y = 45000uarr

x

y







73















74


1 2 3 4 5 6

123

6 6x + 4y le 24darr

x + 2y le 6darr

y minus x le 1

darr

y le 2darr

y ge 0uarr

xge0 uarr

x

y


1 2 3 4

1

2


bull5x + 4y = 10uarr 5x + 4y = 15

uarr

x

y





75



76




77

Capiacutetulo 4





dydx = 2xy (41)



78

















79




5 y(t) = 5 tan(5t) y = 25 + y2





intf + C


y(x) =int




y(x) =int 1x dx



80






12 yprime = (ln x)2





1g(y)dy = dx


intdx = x + C



yprime = y3


int1dx


81








int 1y2 minus 4dy =

intdx



4int 1y+ 2dy


4 ln |y+ 2|= 1


∣∣∣∣



∣∣∣∣ =int





82



y1 = 0y2 = 1y3 = minus1


y3 minus ydy =int

dx



12y+ 1 +12yminus 1


2 ln(y+ 1) + 12 ln(yminus 1) = ln

( (y+ 1) 12 (yminus 1) 12y

)







cidas

83





1g(y)dy = f (x)dx


intf (x)dx




intminusxdx

y22 = minusx2

2 + C






84



yprimey = 1

1 + xint 1ydy =

int 11 + x dx



y(x) =(x2

4 + C1)2



y(x) =




1 yprime = minus xy




85






intf (x)eP(x)dx


intf (x)eP (x)dx


intf (x)eP (x)dx





int6eminus3xdx



86








intxexdx


intexdx






(PVI)



87











) = 12 10 yprime = 2x + 1


88





dPdt = kP







(44)



β = β(t P) y δ = δ(t P)

89








(45)









(βα minus P

)


90

















91



s2

Suelo

Altura inicial h0

Velocidad incial v0











92












v + kmv = minusg



93




v (t) =(v0 + g










94


A(h)

A0hH

R





dhdt = minus A0

A(h)radic2gh (47)




95


A(h)

A0hH

R1

R0











96










dSdt = Re minus Rs


97








L0 = 300ci = 02re = 3ce = 05rs = 3


100S(t)S(0) = 60


dSdt = 15minus 3

300 + t S(t)S(0) = 60

98











99














100







101













102



ey2(x) = eλ2x




y1(x) = eλ1x

ey2(x) = xeλ1x





yu2(x) =




103
















) = 0 yprime (π3) = 2



104





(410)


A =a bc e






es


(411)

105




k11k12

asociado a λ1 y

k2 =k21k22






k =k1k2

=

γ1 + δ1iγ2 + δ2i

=

γ1γ2

+

δ1δ2

i = γ + δi





y un vector propio



ap1 + bp2 = λp1 + k1cp1 + ep2 = λp2 + k2

106



(k1teλt + p1eλt)




kteλt + peλt)











2x + 2y

107


5dxdt = minus5

2x + 2ydydt = 3

4x minus 2y






3 x(0) = 10 y(0) = 0


108







2007

109

Repaso


Derivadas

Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Modelos funcionales



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios


Derivadas parciales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios

Ajuste de curvas


Ajustes no lineales

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios

Meacutetodo Simplex

Ejercicios


Introduccioacuten

Ejercicios



Ejercicios


Ejercicios


Ejercicios



Ejercicios




Ley de Torricelli



Ejercicios





Ejercicios


Ejercicios




Ejercicios


Ejercicios

Bibliografiacutea

Matemática Aplicada (Agronomía) -...

Documents

Transcript of Matemática Aplicada (Agronomía) -...