Matemأ،tica – 9 .آ؛ 5 Matemأ،tica – 9 .آ؛ Ano RESOLUأ‡أ•ES 20. Seja x o...

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  • 1

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    Tema 4 – Álgebra Praticar – páginas 88 a 93

    1. 1.1. 2x + 30 1.2. 2(x + 30) 1.3. 5 + 15x 1.4. 4x – 7

    2. 2.1. 1,30 – 12 → representa a poupança em 1 kg. Então em 20 kg poupa 20 × (1,30 – 1,20) Logo, a opção correta é a [A]. 2.2. x × (1,30 – 1,20) = x × 0,10 = 0,10x = �

    1 1 0 �x

    3. 3.1. 5x – 6 – x – 4 ⇔ 5x – x = –4 + 6 ⇔ 4x = 2 ⇔ 2x = 1 3.2. 2(x – 6) = 3x – 1 ⇔ 2x – 12 = 3x – 1 ⇔ 2x – 3x = –1 + 12 ⇔ –x = 11

    4. 4.1. x + 7 = 5 ⇔ x = 5 – 7 ⇔ x = –2 C.S. = {–2} 4.2. x – 11 = 12 ⇔ x = 12 + 11 ⇔ x = 23 C.S. = {23} 4.3. 2x – 1 = 2x + 3 ⇔ 2x – 2x = 3 + 1 ⇔ 0x = 4 C.S. = { } Equação impossível. 4.4. 3x = 18

    ⇔ x = �1 3 8 �

    ⇔ x = 6 C.S. = {6}

    4.5. � 3 x � = 11

    ⇔ x = 33

    C.S. = {33}

    4.6. �2x 5 – 1 � = 2

    ⇔ 2x – 1 = 10 ⇔ 2x = 10 + 1 ⇔ 2x = 11

    ⇔ x = �1 2 1 �

    C.S. = ��12 1 ��

    4.7. 2(x – 5) = –x – 4 ⇔ 2x – 10 = –x – 4 ⇔ 2x + x = –4 + 10 ⇔ 3x = 6

    ⇔ x = �6 3

    ⇔ x = 2 C.S. = {2}

    4.8. –(x – 1) + 3 = � 2 x �

    ⇔ – � 1 x � + �

    1 1

    � + � 3 1

    � = � 2 x �

    (×2) (×2) (×2)

    ⇔ –2x + 2 + 6 = x ⇔ –2x – x = –2 – 6 ⇔ –3x = –8

    ⇔ x = �8 3

    C.S. = ��83�� 4.9. �3

    2 x � – �

    1 1

    � = � x +

    2 1

    (×2)

    ⇔ 3x – 2 = x + 1 ⇔ 3x – x = 1 + 2 ⇔ 2x = 3

    ⇔ x = �3 2

    C.S. = ��32�� 5. [A] –3 × (–3) + 4 = 9 + 4 = 13 ≠ –13 [B] –(–3) + 5 = 3 + 5 = 8 ≠ 2 [C] 2(–3 + 4) = 2 × 1 = 2, a afirmação é verdadeira. [D] 11 + (–3) = 8 ≠ 14 Logo, a opção correta é a [C].

    6. Para verificar se 8 é solução de equação, basta substituir x por 8 e verificar a veracidade.

    2(8 – 1) = � 8 4

    � – (2 × 8 – 4)

  • RESOLUÇÕES2

    A_Prova

    ⇔ 2 × 7 = 2 – (16 – 4) ⇔ 14 = 2 – (12) ⇔ 14 = –10 Falso Então, 8 não é solução da equação.

    7. un = � 2n

    3 – 4 �

    7.1. u8 = � 2 × 8

    3 – 4

    � = 4

    7.2. un = 78

    � 2n

    3 – 4 � = 78

    ⇔ 2n – 4 = 234 ⇔ 2n = 234 – 4 ⇔ 2n = 230

    ⇔ n = �23 2 0

    ⇔ n = 115 R.: 78 é o termo de ordem 115.

    8. Seja x a idade atual da Maria. Assim, x + 5 é a idade da Maria daqui a 5 anos e x – 5 é a idade da Maria há 5 anos.

    x + 5 = 3(x – 5) ⇔ x + 5 = 3x – 15 ⇔ x – 3x = –15 – 5 ⇔ –2x = –20

    ⇔ x = �– – 2 2 0

    ⇔ x = 10 C.S. = {10} R.: A idade atual da Maria é 10 anos.

    9. Seja x o peso de uma esfera. 9.1. Como o peso total é 13 kg, então 4 + x + 6 = 13 ⇔ x = 13 – 4 – 6 ⇔ x = 3 C.S. = {3} R.: A esfera pesa 3 kg. 9.2. 3x = x + 5 ⇔ 3x – x = 5

    ⇔ 2x = 5 ⇔ x = �5 2

    ⇔ x = 2,5 C.S. = {2,5} R.: Cada esfera pesa 2,5 kg. 9.3. 3x + 5 = 18 ⇔ 3x = 18 – 5 ⇔ 3x = 13

    ⇔ x = �1 3 3 �

    C.S.: = � 1 3 3 �

    R.: Cada esfera pesa � 1 3 3 � kg.

    10. Ppentágono = 3 × Ptriângulo 10.1. 5 × 6 = 3 × 3x ⇔ 9x = 30

    10.2. 9x = 30 ⇔ x = �3 9 0 � ⇔ x = �1

    3 0 �

    C.S. = ��13 0 ��

    Logo, P = 3 × �1 3 0 � = 10

    R.: P = 10 cm

    11. 11.1. O perímetro é igual à soma de todos os lados do polígono. Logo, P = x + 2x + 2 + x + 8 + 3x – 1 = = x + 2x + x + 3x + 2 + 8 – 1 = = 7x + 9 11.2. Se x = 3 P = 7 × 3 + 9 = 30 cm Logo, a opção correta é a [B]. 11.3. P = 17,4 7x + 9 = 17,4 ⇔ 7x = 17,4 – 9 ⇔ 7x = 8,4

    ⇔ �7 1

    � x = � 4 5 2 �

    (×5)

    ⇔ 35x = 42

    ⇔ x = �4 3 7 5 �

    ⇔ x = �6 5

    ⇔ x = 1,2 C.S. = {1,2}

    12. f(x) = g(x) ⇔ 2x + 4 = 6x – 4 12.1. a) primeiro membro: 2x + 4 b) incógnita: x c) segundo membro: 6x – 4 12.2. 2 × 4 + 4 = 6 × 4 – 4 ⇔ 8 + 4 = 24 – 4 ⇔ 12 = 20 Falso R.: 4 não é solução da equação f(x) = g(x). 12.3. f(x) = g(x) 2x + 4 = 6x – 4

  • 3

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    ⇔ 2x – 6x = –4 – 4 ⇔ –4x = –8

    ⇔ x = �– – 8 4 �

    ⇔ x = 2 C.S. = {2}

    13. Sejam n, n + 1 e n + 2 três números inteiros consecutivos. Assim, n + n + 1 + n + 2 = 99 ⇔ n + n + n = 99 – 1 – 2 ⇔ 3n = 96

    ⇔ n = �9 3 6 �

    ⇔ n = 32 C.S. = {32} Logo, n = 32 n + 1 = 33 n + 2 = 34 R.: Os números são 32, 33 e 34.

    14. 14.1. Como 40 € é um valor constante e os 15 € é em função do tempo, C = 40 + 15n. Logo, a opção correta é a [B]. 14.2. n = 3 C = 40 + 15 × 3 = 40 + 45 = 85 R.: O Guilherme pagará 85 €. 14.3. C = 190 40 + 15n = 190 ⇔ 15n = 190 – 40 ⇔ 15n = 150

    ⇔ n = �1 1 5 5 0

    ⇔ n = 10 C.S. = {10} R.: A intervenção em casa do André demorou 10 horas.

    15. 15.1. 2x – 4 = x + 8 ⇔ 2x – x = 8 + 4 ⇔ x = 12 C.S. = {12} 15.2. 3x – 11 = –x + 1 ⇔ 3x + x = 1 + 11 ⇔ 4x = 12

    ⇔ x = �1 4 2 �

    ⇔ x = 3 C.S. = {3} 15.3. 2x – 5 = 2x –4 ⇔ 2x – 2x = –4 + 5 ⇔ 0x = 1 Equação impossível. C.S. = { } 15.4. 3(x – 2) = 3x – 5 ⇔ 3x – 6 = 3x – 5 ⇔ 3x – 3x = –5 + 6 ⇔ 0x = 1 Equação impossível. C.S. = { } 15.5. 2(x – 2) = 4(x – 1) – 2x ⇔ 2x – 4 = 4x – 4 – 2x ⇔ 2x – 4x + 2x = –4 + 4 ⇔ 0x = 0 Equação possível e indeterminada. C.S. = Q 15.6. �

    2 x � – �

    4 1 x � = �

    6 1

    (×2) (×2)

    ⇔ x – 8x = 12 ⇔ –7x = 12

    ⇔ x = �1 – 2 7 �

    ⇔ x = – �1 7 2 �

    C.S. = �– �17 2 ��

    15.7. �x + 2

    1 � = 15

    (×2)

    ⇔ x + 1 = 30 ⇔ x = 30 – 1 ⇔ x = 29 C.S. = {29}

    15.8. 4 – �2x 3 – 1 � = 10

    (×2) (×2)

    ⇔ 12 – 2x + 1 = 30 ⇔ –2x = 30 – 12 – 1 ⇔ –2x = 17

    ⇔ x = – �1 2 7 �

    C.S. = �– �12 7 ��

    15.9. 2(3 – x) – � 3 x � = �

    x – 2

    3 �

    ⇔ 6 – 2x – � 3 x � = �

    x – 2

    3 �

    (×6) (×6) (×2) (×3)

  • RESOLUÇÕES4

    A_Prova

    ⇔ 36 – 12x – 2x = 3x – 9 ⇔ –12x – 2x – 3x = –9 – 36 ⇔ –17x = –45

    ⇔ x = �4 1 5 7 �

    C.S. = ��41 5 7 ��

    15.10. 1 – �x – 4

    1 � = �

    3(x 2 + 1) �

    ⇔ �1 1

    � – � x –

    4 1

    � = � 3x

    2 + 3 �

    (×4) (×2)

    ⇔ 4 – x + 1 = 6x + 6 ⇔ –x – 6x = 6 – 4 – 1 ⇔ –7x = 1

    ⇔ x = – �1 7

    C.S. = �– �17�� 16. 16.1. Se a imagem é zero, então g(x) = 0.

    3 – � 2 3

    � (2 – 3x) = 0

    ⇔ �3 1

    � – � 4 3

    � + � 6 3

    �x = 0 (×3)

    ⇔ 9 – 4 + 6x ⇔ 6x = –9 + 4 ⇔ 6x = –5

    ⇔ x = – �5 6

    C.S. = �– �56�� R.: – �

    5 6

    � é o zero da função g.

    16.2. f (x) = g(x)

    2(x – 3) + � 1 2

    � = 3 – � 2 3

    � (2 – 3x)

    ⇔ 2 – 6 + �1 2

    � = 3 – � 4 3

    � + � 6 3

    � x

    (×6) (×6) (×3) (×6) (×2) (×2)

    ⇔ 12x – 36 + 3 = 18 – 8 + 12x ⇔ 12x – 12x = 18 – 8 + 36 – 3 ⇔ 0x = 43 Equação impossível. C.S. = { }

    17. A opção [A] não é correta porque 4 × (–5) – 5 = 5(2 × (–5) – 13)

    ⇔ –20 – 5 = 5(–10 – 13)

    ⇔ –25 = 5 × (–23) Falso As equações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto-solução.

    Resolvendo-as, • 4x – 5 = 5(2x – 13) ⇔ 4x – 5 = 10x – 65 ⇔ 4x – 10x = –65 + 5 ⇔ –6x = –60

    ⇔ x = �– – 6 6 0

    ⇔ x = 10 C.S. = {10}

    • � 2(x

    3 + 2) � = 8

    ⇔ �2x 3 + 4 � = �

    8 1

    (×3)

    ⇔ 2x + 4 = 24 ⇔ 2x = 24 – 4 ⇔ 2x = 20

    ⇔ x = �2 2 0 �

    ⇔ x = 10 C.S. = {10} Logo, as equações são equivalentes e a opção [B] é a correta. A opção [C] não é a correta porque a equação é possível e determinada, C.S. = {10} A opção [D] não é a correta porque a equação é possível e determinada, C.S. = {10} Logo, a opção correta é a [B].

    18. Seja x a herança deixada à Teresa. Assim, x + 50 000 representa a herança deixada à Ana.

    x + x + 50 000 = 200 000 ⇔ 2x = 200 000 – 50 000 ⇔ 2x = 150 000

    ⇔ x = �150 2 000 �

    ⇔ x = 75 000 Logo, x + 50 000 = 75 000 + 50 000 = 125 000 R.: A herança da Ana foi 125 000€.

    19. Como A = �b × 2

    h � e a área é igual a 40 cm2, então

    40 = � b ×

    2 8

    � ⇔ b = �8 8 0 � ⇔ b = 10 cm

    R.: A base tem 10 cm de comprimento.

  • 5

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    20. Seja x o número de rosas vermelhas. Assim, 2x é o número de rosas amarelas. Como existem 36 rosas no total, temos:

    x + 2x = 36 ⇔ 3x = 36

    ⇔ x = �3 3 6 �

    ⇔ x = 12 Logo, 2x × 12 = 24 R.: O ramo tem 24 rosas amarelas.

    21. �2 5

    � — votaram

    1 – � 2 5