Matemática – 9 .º Anoexame.leyaeducacao.com/Prova_matematica9_asa/Resolucao/04_Tema4.pdf5...

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    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    Tema 4 – ÁlgebraPraticar – páginas 88 a 93

    1.1.1. 2x + 301.2. 2(x + 30)1.3. 5 + 15x1.4. 4x – 7

    2.2.1. 1,30 – 12 → representa a poupança em 1 kg.Então em 20 kg poupa 20 × (1,30 – 1,20)Logo, a opção correta é a [A].2.2. x × (1,30 – 1,20) = x × 0,10 = 0,10x = �

    110�x

    3.3.1. 5x – 6 – x – 4⇔ 5x – x = –4 + 6⇔ 4x = 2⇔ 2x = 13.2. 2(x – 6) = 3x – 1⇔ 2x – 12 = 3x – 1⇔ 2x – 3x = –1 + 12⇔ –x = 11

    4.4.1. x + 7 = 5⇔ x = 5 – 7⇔ x = –2C.S. = {–2}4.2. x – 11 = 12⇔ x = 12 + 11⇔ x = 23C.S. = {23}4.3. 2x – 1 = 2x + 3⇔ 2x – 2x = 3 + 1⇔ 0x = 4C.S. = { } Equação impossível.4.4. 3x = 18

    ⇔ x = �138�

    ⇔ x = 6C.S. = {6}

    4.5. �3x� = 11

    ⇔ x = 33

    C.S. = {33}

    4.6. �2x5– 1� = 2

    ⇔ 2x – 1 = 10⇔ 2x = 10 + 1⇔ 2x = 11

    ⇔ x = �121�

    C.S. = ��121��

    4.7. 2(x – 5) = –x – 4⇔ 2x – 10 = –x – 4⇔ 2x + x = –4 + 10⇔ 3x = 6

    ⇔ x = �63

    ⇔ x = 2C.S. = {2}

    4.8. –(x – 1) + 3 = �2x�

    ⇔ – �1x� + �

    11

    � + �31

    � = �2x�

    (×2) (×2) (×2)

    ⇔ –2x + 2 + 6 = x⇔ –2x – x = –2 – 6 ⇔ –3x = –8

    ⇔ x = �83

    C.S. = ��83��4.9. �3

    2x� – �

    11

    � = �x +

    21

    (×2)

    ⇔ 3x – 2 = x + 1⇔ 3x – x = 1 + 2⇔ 2x = 3

    ⇔ x = �32

    C.S. = ��32��5. [A] –3 × (–3) + 4 = 9 + 4 = 13 ≠ –13[B] –(–3) + 5 = 3 + 5 = 8 ≠ 2[C] 2(–3 + 4) = 2 × 1 = 2, a afirmação é verdadeira.[D] 11 + (–3) = 8 ≠ 14Logo, a opção correta é a [C].

    6. Para verificar se 8 é solução de equação, bastasubstituir x por 8 e verificar a veracidade.

    2(8 – 1) = �84

    � – (2 × 8 – 4)

  • RESOLUÇÕES2

    A_Prova

    ⇔ 2 × 7 = 2 – (16 – 4)⇔ 14 = 2 – (12)⇔ 14 = –10 FalsoEntão, 8 não é solução da equação.

    7. un = �2n

    3– 4�

    7.1. u8 = �2 × 8

    3– 4

    � = 4

    7.2. un = 78

    �2n

    3– 4� = 78

    ⇔ 2n – 4 = 234⇔ 2n = 234 – 4 ⇔ 2n = 230

    ⇔ n = �2320

    ⇔ n = 115 R.: 78 é o termo de ordem 115.

    8. Seja x a idade atual da Maria. Assim, x + 5 é aidade da Maria daqui a 5 anos e x – 5 é a idade daMaria há 5 anos.

    x + 5 = 3(x – 5)⇔ x + 5 = 3x – 15⇔ x – 3x = –15 – 5⇔ –2x = –20

    ⇔ x = �––220

    ⇔ x = 10C.S. = {10}R.: A idade atual da Maria é 10 anos.

    9. Seja x o peso de uma esfera.9.1. Como o peso total é 13 kg, então4 + x + 6 = 13 ⇔ x = 13 – 4 – 6 ⇔ x = 3C.S. = {3}R.: A esfera pesa 3 kg.9.2. 3x = x + 5 ⇔ 3x – x = 5

    ⇔ 2x = 5 ⇔ x = �52

    ⇔ x = 2,5C.S. = {2,5}R.: Cada esfera pesa 2,5 kg.9.3. 3x + 5 = 18⇔ 3x = 18 – 5⇔ 3x = 13

    ⇔ x = �133�

    C.S.: = �133�

    R.: Cada esfera pesa �133� kg.

    10. Ppentágono = 3 × Ptriângulo10.1. 5 × 6 = 3 × 3x ⇔ 9x = 30

    10.2. 9x = 30 ⇔ x = �390� ⇔ x = �1

    30�

    C.S. = ��130��

    Logo, P = 3 × �130� = 10

    R.: P = 10 cm

    11.11.1. O perímetro é igual à soma de todos os ladosdo polígono.Logo, P = x + 2x + 2 + x + 8 + 3x – 1 == x + 2x + x + 3x + 2 + 8 – 1 == 7x + 911.2. Se x = 3P = 7 × 3 + 9 = 30 cmLogo, a opção correta é a [B].11.3. P = 17,47x + 9 = 17,4⇔ 7x = 17,4 – 9⇔ 7x = 8,4

    ⇔ �71

    � x = �452�

    (×5)

    ⇔ 35x = 42

    ⇔ x = �4375�

    ⇔ x = �65

    ⇔ x = 1,2C.S. = {1,2}

    12. f(x) = g(x) ⇔ 2x + 4 = 6x – 412.1. a) primeiro membro: 2x + 4b) incógnita: xc) segundo membro: 6x – 412.2. 2 × 4 + 4 = 6 × 4 – 4⇔ 8 + 4 = 24 – 4⇔ 12 = 20 FalsoR.: 4 não é solução da equação f(x) = g(x).12.3. f(x) = g(x)2x + 4 = 6x – 4

  • 3

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    ⇔ 2x – 6x = –4 – 4⇔ –4x = –8

    ⇔ x = �––84�

    ⇔ x = 2C.S. = {2}

    13. Sejam n, n + 1 e n + 2 três números inteirosconsecutivos.Assim, n + n + 1 + n + 2 = 99⇔ n + n + n = 99 – 1 – 2⇔ 3n = 96

    ⇔ n = �936�

    ⇔ n = 32C.S. = {32}Logo,n = 32n + 1 = 33n + 2 = 34R.: Os números são 32, 33 e 34.

    14.14.1. Como 40 € é um valor constante e os 15 € éem função do tempo, C = 40 + 15n.Logo, a opção correta é a [B].14.2. n = 3C = 40 + 15 × 3 = 40 + 45 = 85R.: O Guilherme pagará 85 €.14.3. C = 19040 + 15n = 190⇔ 15n = 190 – 40⇔ 15n = 150

    ⇔ n = �11550

    ⇔ n = 10C.S. = {10}R.: A intervenção em casa do André demorou 10horas.

    15.15.1. 2x – 4 = x + 8⇔ 2x – x = 8 + 4⇔ x = 12C.S. = {12}15.2. 3x – 11 = –x + 1⇔ 3x + x = 1 + 11⇔ 4x = 12

    ⇔ x = �142�

    ⇔ x = 3C.S. = {3}15.3. 2x – 5 = 2x –4⇔ 2x – 2x = –4 + 5⇔ 0x = 1Equação impossível. C.S. = { }15.4. 3(x – 2) = 3x – 5⇔ 3x – 6 = 3x – 5⇔ 3x – 3x = –5 + 6⇔ 0x = 1Equação impossível. C.S. = { }15.5. 2(x – 2) = 4(x – 1) – 2x⇔ 2x – 4 = 4x – 4 – 2x⇔ 2x – 4x + 2x = –4 + 4⇔ 0x = 0Equação possível e indeterminada. C.S. = Q15.6. �

    2x� – �

    41x� = �

    61

    (×2) (×2)

    ⇔ x – 8x = 12⇔ –7x = 12

    ⇔ x = �1–27�

    ⇔ x = – �172�

    C.S. = �– �172��

    15.7. �x +2

    1� = 15

    (×2)

    ⇔ x + 1 = 30⇔ x = 30 – 1⇔ x = 29C.S. = {29}

    15.8. 4 – �2x3– 1� = 10

    (×2) (×2)

    ⇔ 12 – 2x + 1 = 30⇔ –2x = 30 – 12 – 1⇔ –2x = 17

    ⇔ x = – �127�

    C.S. = �– �127��

    15.9. 2(3 – x) – �3x� = �

    x –2

    3�

    ⇔ 6 – 2x – �3x� = �

    x –2

    3�

    (×6) (×6) (×2) (×3)

  • RESOLUÇÕES4

    A_Prova

    ⇔ 36 – 12x – 2x = 3x – 9⇔ –12x – 2x – 3x = –9 – 36⇔ –17x = –45

    ⇔ x = �4157�

    C.S. = ��4157��

    15.10. 1 – �x –4

    1� = �

    3(x2+ 1)�

    ⇔ �11

    � – �x –

    41

    � = �3x

    2+ 3�

    (×4) (×2)

    ⇔ 4 – x + 1 = 6x + 6⇔ –x – 6x = 6 – 4 – 1⇔ –7x = 1

    ⇔ x = – �17

    C.S. = �– �17��16.16.1. Se a imagem é zero, então g(x) = 0.

    3 – �23

    � (2 – 3x) = 0

    ⇔ �31

    � – �43

    � + �63

    �x = 0 (×3)

    ⇔ 9 – 4 + 6x⇔ 6x = –9 + 4⇔ 6x = –5

    ⇔ x = – �56

    C.S. = �– �56��R.: – �

    56

    � é o zero da função g.

    16.2. f (x) = g(x)

    2(x – 3) + �12

    � = 3 – �23

    � (2 – 3x)

    ⇔ 2 – 6 + �12

    � = 3 – �43

    � + �63

    � x

    (×6) (×6) (×3) (×6) (×2) (×2)

    ⇔ 12x – 36 + 3 = 18 – 8 + 12x⇔ 12x – 12x = 18 – 8 + 36 – 3⇔ 0x = 43 Equação impossível.C.S. = { }

    17. A opção [A] não é correta porque4 × (–5) – 5 = 5(2 × (–5) – 13)

    ⇔ –20 – 5 = 5(–10 – 13)

    ⇔ –25 = 5 × (–23) FalsoAs equações são equivalentes se tiverem o mesmoconjunto-solução.

    Resolvendo-as,• 4x – 5 = 5(2x – 13) ⇔ 4x – 5 = 10x – 65⇔ 4x – 10x = –65 + 5⇔ –6x = –60

    ⇔ x = �––660

    ⇔ x = 10C.S. = {10}

    • �2(x

    3+ 2)� = 8

    ⇔ �2x3+ 4� = �

    81

    (×3)

    ⇔ 2x + 4 = 24⇔ 2x = 24 – 4 ⇔ 2x = 20

    ⇔ x = �220�

    ⇔ x = 10C.S. = {10} Logo, as equações são equivalentes e a opção [B] éa correta.A opção [C] não é a correta porque a equação épossível e determinada, C.S. = {10}A opção [D] não é a correta porque a equação épossível e determinada, C.S. = {10}Logo, a opção correta é a [B].

    18. Seja x a herança deixada à Teresa. Assim, x + 50 000 representa a herança deixada àAna.

    x + x + 50 000 = 200 000⇔ 2x = 200 000 – 50 000⇔ 2x = 150 000

    ⇔ x = �1502000�

    ⇔ x = 75 000Logo, x + 50 000 = 75 000 + 50 000 = 125 000R.: A herança da Ana foi 125 000€.

    19. Como A = �b ×2

    h� e a área é igual a 40 cm2, então

    40 = �b ×

    28

    � ⇔ b = �880� ⇔ b = 10 cm

    R.: A base tem 10 cm de comprimento.

  • 5

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    20. Seja x o número de rosas vermelhas. Assim, 2x éo número de rosas amarelas. Como existem 36 rosasno total, temos:

    x + 2x = 36⇔ 3x = 36

    ⇔ x = �336�

    ⇔ x = 12Logo, 2x × 12 = 24R.: O ramo tem 24 rosas amarelas.

    21. �25

    � — votaram

    1 – �25

    � = �55

    � – �25

    � = �35

    � — não votaram, que são 81 alunos

    81 : �35

    � = 81 × �53

    � = 135, total de alunos.

    R.: A escola do Francisco tem 135 alunos.

    22. Como a soma das amplitudes dos ângulos inter-nos de um triângulo é igual a 180o, então

    4x + 50 + 6x + x + 20 = 180⇔ 4x + 6x + x = 180 – 50 – 20⇔ 11x = 110

    ⇔ x = �11110

    ⇔ x = 10C.S. = {10}Como x = 10, então• 4x + 50 = 4 × 10 + 50 = 90o

    • 6x = 6 × 10 = 60o

    • x + 20 = 10 + 20 = 30o

    O triângulo [ABC] é retângulo, porque um dos ângu-los internos tem 90o de amplitude.

    23. 146 – 2 = 144Como são três autocarros, 144 : 3 = 48.Logo, 48 é o número de alunos de dois autocarros.48 + 2 = 50R.: O autocarro mais cheio transportou 50 alunos.

    24. 2(x – 3) + 1 = k – 5x24.1. k = –2

    2(x – 3) + 1 = –2 – 5x⇔ 2x – 6 + 1 = –2 – 5x⇔ 2x + 5x = –2 + 6 – 1 ⇔ 7x = 3

    ⇔ x = �37

    C.S. = ��37��

    24.2. x = 52(5 – 3) + 1 = k – 5 × 5

    ⇔ 2 × 2 + 1 = k – 25⇔ –k = –25 – 4 – 1⇔ –k = –30⇔ k = 30

    25. d = 100 cmSe um dos quadrados tem mais 20 cm de perímetro,

    x + x + 20 = 100⇔ 2x = 100 – 20⇔ 2x = 80

    ⇔ x = �820�

    ⇔ x = 40C.S. = {10}Assim, x = 40 cm e x + 20 = 60 cm.R.: O fio de 100 cm foi dividido em dois fios com 40 cm e 60 cm.

    26. Seja x o valor do aluguer de uma loja. Assim,x + 0,2x representa o aluguer da loja mais cara.Logo, x + x + 0,2x = 35 000⇔ 2,2x = 35 200

    ⇔ �2120�k = 35 200

    ⇔ 22x = 352 000

    ⇔ x = �35222

    000�

    ⇔ x = 16 000C.S. = {16 000}x = 16 000 €x + 0,2x = 19200 €R.: A renda mensal de cada uma das lojas é 16 000 €e 19 200 €.

    27.

    27.1. 3(x – 1) + �4x4+ 2� = �

    2x� – (x – 4)

    ⇔ 3x – 3 + �4x4+ 2� = �

    2x� – x + 4

    (×4) (×4) (×2) (×4) (×4)

    ⇔ 12x – 12 + 4x + 2 = 2x – 4x + 16⇔ 12x + 4x – 2x + 4x = 16 + 12 – 2⇔ 18x = 26

    ⇔ x = �2168�

    ⇔ x = �193�

    C.S. = ��193��

  • RESOLUÇÕES6

    A_Prova

    27.2. – �3(x2– 1)� + �

    3x� = 0

    ⇔ – �3x2– 3� + �

    3x� = 0

    (×3) (×2)

    ⇔ –9x + 9 + 2x = 0⇔ –9x + 2x = –9⇔ –7x = –9

    ⇔ x = �97

    C.S. = ��97��

    27.3. 4 – �x –5

    2� – = 0,2

    ⇔ 4 – �x –5

    2� – �

    x – 16

    + 6� = �

    120�

    (×30) (×6) (×5) (×3)

    ⇔ 120 – 6x + 12 – 5x + 5 – 30 = 6⇔ –6x – 5x = 6 – 120 – 12 – 5 + 30⇔ –11x = –101

    ⇔ x = �11011

    C.S. = ��11011

    ��

    27.4. 4x – = –2(–x – 3)

    ⇔ 4x – �2x9+ 6� = 2x + 6

    (×9) (×9) (×9)

    ⇔ 36x – 2x – 6 = 18x + 54⇔ 36x – 2x – 18x = 54 + 6⇔ 16x = 60

    ⇔ x = �6106�

    ⇔ x = �145�

    C.S. = ��145��

    28.28.1. Seja x o número de eleitores.

    �23

    � x + �16

    � x + 80 = x

    28.2. �23

    � x + �16

    � x + 80 = x(×2) (×6) (×6)

    ⇔ 4x + x + 480 = 6x⇔ 4x + x – 6x = –480⇔ –x = –480 ⇔ x = 480C.S. = {480}Como são 480 eleitores, a lista B recebeu 80 votos

    ��16�x = �16

    � × 480 = 80�.29. Seja x o valor que o Pedro recebeu.

    �2x� + �

    3x� + 100 = x

    (×3) (×2) (×6) (×6)

    ⇔ 3x + 2x + 6000 = 6x⇔ 3x + 2x – 6x = –6000⇔ –x = –6000⇔ x = 6000C.S. = {6000}Como pagou 23% de imposto, x – 0,23x = 6000.Assim, 0,77x = 6000 ⇔ x = 7792,21R.: O Pedro recebeu 7792,21 € pela venda dos reló-gios.

    30. Como f (x) = g(x) ⇔ f (x) – g(x) = 0, o conjunto--solução é o mesmo, ou seja, {1, 2, 3}.Logo, a opção correta é a [D].

    31. Traduzindo o problema por uma equação, temos:x + 42 = (13 + x) + (15 + x)

    ⇔ x – x – x = 13 + 15 – 42⇔ –x = –14⇔ x = 14C.S. = {14}R.: Daqui a 14 anos a idade da mãe será igual à somadas idades dos filhos.

    32. Sabemos que f (x) = 3x – 12. 32.1. g(x) = 7 e x = 2. Então, por exemplo, g(x) = 3x + 1.32.2. Por exemplo, 3x – 12 = 3x – 1 é uma equaçãoimpossível, então g(x) = 3x – 1.32.3. Por exemplo, x – 12 = 6x – 24 é uma equaçãopossível e determinada. Então, g(x) = 6x – 24.

    �x

    2–1� + 3

    ��3

    x – �3x� + 2

    ��3

    ⇔ 4 – �x –5

    2� – = �

    120�

    �x –

    21

    � + �62

    ��2

    ⇔ 4x – = 2x + 6�3x –

    3x – 6�

    ��3

  • 7

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    33. Para que f (x) – g(x) seja igual a zero é necessárioque f (x) seja igual a g(x), ou seja, f (x) – g(x) = 0 ⇔ f (x) = g(x)Como f (2) = g(2) = –2 e f(0) = g(0) = 4, entãof (x) – g(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2C.S. = {0, 2}

    34. �x –3

    1� – (x – 1) = 0

    ⇔ �x –3

    1� – x + 1 = 0

    (×3) (×3)

    ⇔ �x –3

    1� – �

    33x� + �

    33

    � = 0

    ⇔ x – 1 – 3x + 3 = 0⇔ x – 3x = 1 – 3⇔ –2x = –2⇔ x = 1C.S. = {1}A afirmação falsa é a da opção [B].

    35. Seja x o valor que cada um recebeu. Assim, �67

    � x

    é o valor que o João gastou e �18

    � x é o valor com que

    o Filipe ficou.

    Como o João gastou �67

    � x, então ficou �17

    � x.

    �18

    � x + 1 = �17

    � x

    (7) (56) (8)

    ⇔ 7x + 56 = 8x⇔ 7x – 8x = –56⇔ x = 56C.S. = {56} R.: O avô deu a cada um dos netos 56 €.

    36. 50 – 10 = 40 cm36.1. 40 : 2 = 20Cada fita tem (20 + 10) cm = 30 cm de comprimento.

    36.2. Como cada fita mede 30 cm 30 + 30 = 60 cm60 – 56 = 4 cm, sobrepostos.R.: A zona sobreposta tem 4 cm de comprimento.

    Monómios

    Praticar – páginas 98 a 103

    1.1.1. Parte numérica: 13Parte literal: y3

    1.2. Parte numérica: 12Parte literal: não tem1.3. Parte numérica: 17k7

    Parte literal: x2

    1.4. Parte numérica: �7a3

    5�

    Parte literal: b7

    2.2.1. A = 5b × 5b = 25b2

    2.2. A = x2y × 2x2y = 2x4y2

    2.3. A = �5t ×22t2y� = 5t3y

    3.3.1. a) A + 2B == 6x3 – 3x + 2(–3x3 + 2x2 – 3x + 1) == 6x3 – 3x – 6x3 + 4x2 – 6x + 2 == 4x2 – 9x + 2 b) B – 2C == –3x3 + 2x2 – 3x + 1 – 2(–x2 + 2x) == –3x3 + 2x2 – 3x + 1 + 2x2 – 4x == –3x3 + 4x2 – 7x + 1c) –B + A == –(–3x3 + 2x2 – 3x + 1) + 6x3 – 3x == 3x3 – 2x2 + 3x – 1 + 6x3 – 3x == 9x3 – 2x2 – 13.2. O simétrico de B é:–B = 3x3 – 2x2 + 3x – 13.3. Se x = –2B = –3 × (–2)3 + 2 × (–2)2 – 3 × (–2) + 1 == –3 × (–8) + 2 × 4 + 6 + 1 == 24 + 8 + 6 + 1 = = 39

    4.4.1. (x + 1)2 = x2 + 2x + 14.2. (x – 1)2 = x2 – 2x + 14.3. (x – 2)2 = x2 – 4x + 44.4. (x + 2)2 = x2 + 4x + 44.5. (x – 3)2 = x2 – 6x + 94.6. (x + 5)2 = x2 + 10x + 254.7. (x + 10)2 = x2 + 20x + 100

  • RESOLUÇÕES8

    A_Prova

    4.8. (x – 7)2 = x2 – 14x + 49

    5.5.1. x2 – 15.2. x2 – 45.3. x2 – 255.4. x2 – 365.5. x2 – 1005.6. x2 – 121

    6.6.1. (x – 5)2 = x2 – 10x + 256.2. (x – 7)2 = x2 – 14x + 496.3. (x – 6) (x + 6) = x2 – 366.4. (2x – 7) (2x + 7) = 4x2 – 49

    7.7.1. 10x – 5 = 2 × 5 × x – 5 = 5(2x – 5)7.2. x2 – 12x = x × x – 12 × x = x(x – 12)7.3. y3 – 7y = y × y2 – 7y = y(y2 – 7)7.4. t4 – t5 = t4 – t × t4 = t4(1 – t)7.5. 80abc – 7ab = ab(80c – 7)7.6. 5(x – 1) – x(x – 1) = (x – 1)(5 – x)

    8. [A] 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[B] 2(x – 3)2 = 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[C] 2(x – 3) (x – 3) = 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[D] 2(x – 3) (x + 3) = 2(x2 – 9) = 2x2 – 18A opção correta é a [D].

    9.9.1. x2 – 16 = (x – 4)(x + 4)9.2. x2 – 10x + 25 = (x – 5)2 = (x – 5)(x – 5)9.3. a2 – 36 = (a – 6)(a + 6)9.4. 100 – x2 = (10 – x)(10 + x)9.5. t2 + 6t + 9 = (t + 3)2 = (t + 3)(t + 3)9.6. 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1)

    10.10.1. 2(x – 3) = x2

    ⇔ 2x – 6 – x2 = 0⇔ –x2 + 2x – 6 = 0 10.2. (x – 5)2 – 3x = –3⇔ x2 – 10x + 25 – 3x + 3 = 0⇔ x2 – 13x + 28 = 0

    10.3. 2��3x� – 2� ��3

    x� + 2� = –1

    ⇔ 2��x92� – 4� + 1 = 0

    ⇔ �29

    � x2 – 8 + 1 = 0

    ⇔ �29

    � x2 – 7 = 0

    11.11.1. (x – 1) (x – 5) = 0⇔ x – 1 = 0 ∨ x – 5 = 0⇔ x = 1 ∨ x = 5C.S. = {1, 5}11.2. (2x – 4) (x – 1) = 0⇔ 2x – 4 = 0 ∨ x – 1 = 0⇔ 2x = 4 ∨ x = 1

    ⇔ x = �42

    � ∨ x = 1

    ⇔ x = 2 ∨ x = 1C.S. = {1, 2}

    11.3. ��2x� – 3� ��5

    x� –1� = 0

    ⇔ �2x� –3 = 0 ∨ �

    5x� –1 = 0

    ⇔ �2x� = 3 ∨ �

    5x� = 1

    ⇔ x = 6 ∨ x = 5C.S. = {5, 6}11.4. (7x – 6) (2x – 5) = 0⇔ 7x – 6 = 0 ∨ 2x – 5 = 0⇔ 7x = 6 ∨ 2x = 5

    ⇔ x = �67

    � ∨ x = �52

    C.S. = ��67�, �52

    ��11.5. –(–5 – x) ��3

    x� + 3� = 0

    ⇔ 5 + x = 0 ∨ �3x� + 3 = 0

    ⇔ x = –5 ∨ �3x� = –3

    ⇔ x = –5 ∨ x = –9C.S. = {–9, –5}11.6. (x + 11) (2x – 5) = 0⇔ x + 11 = 0 ∨ 2x – 5 = 0⇔ x = –11 ∨ 2x = 5

    ⇔ x = –11 ∨ x = �52

    C.S. = �– 11, �52��

  • 9

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    12.12.1. Substituindo x por 0 obtém-se:2 × 02 – 32 = 0 ⇔ –32 = 0 FalsoAssim, concluímos que 0 não é solução da equação.12.2. 2x2 – 32 = 2(x2 – 16) = 2(x – 4) (x + 4) == (2x – 8) (x + 4)12.3. 2x2 – 32 = 0⇔ 2(x2 – 16) = 0⇔ 2(x – 4) (x + 4) = 0⇔ x – 4 = 0 ∨ x + 4 = 0⇔ x = 4 ∨ x = –3C.S. = {–4, 4}

    13. A� = b × h e A� = �2

    Logo, A� = (x – y)(x + 2y) e A� = x2.Então, Aamarelo = (x – y)(x + 2y) – x2 == x2 + 2xy – yx – 2y2 – x2 == xy – 2y2

    14. A equação que traduz o problema é 2 × (x2 + 5) = 18.Resolvendo a equação temos:⇔ 2x2 + 10 = 18⇔ 2x2 = 18 – 10

    ⇔ x2 = �82

    ⇔ x2 = 4⇔ x ± �4�⇔ x = –2 ∨ x = 2C.S. = {–2, 2} R.: Existem dois números nestas condições, –2 e 2.

    15. x2 + 100 = 0 ⇔ x2 = –100. Equação impossívelC.S. = { }Logo, a opção correta é a [B].

    16. ? × 4kw2 = 162w2 ou seja, �164kk

    2

    ww2

    3� = 4kw

    17.17.1. Monómios semelhantes são monómios com amesma parte literal.

    Por exemplo, –3a2b3 e �45

    �a2b3.

    17.2. a = –1 e b = 23(–1)2 × 23 = 3 × 8 = 24

    18.18.1. Por exemplo, –5xy.18.2. Por exemplo, x + 8.

    18.3. Por exemplo, x2 + 2x + 1.18.4. Por exemplo, y3 + 6.

    19.19.1. 2 + (2x – 6) (2x + 6) – (x – 3)2 == 2 + 4x2 – 36 – (x2 – 6x + 9) == 2 + 4x2 – 36 – x2 + 6x – 9 = = 3x2 + 6x – 4319.2. (–x + 1)2 – 3(x – 1)(x + 1) == x2 – 2x + 1 – 3(x2 – 1) == x2 – 2x + 1 – 3x2 + 3 == –2x2 –2x + 4

    20. Consideremos, por exemplo, os polinómiosx3 – 2x2 + x + 3 e x3 – 2x2 + 4x – 1 x3 – 2x2 + x + 3 – (x3 – 2x2 + 4x – 1) == x3 – x3 –2x2 + 2x2 + x – 4x + 3 + 1 == –3x + 4Ou seja, a diferença entre os dois polinómios é umpolinómio do 1.o grau.Nota: Basta que a parte numérica dos termos degrau 3 e de grau 2 seja igual nos dois polinómios.

    21. P = �b ×2

    h�.

    Assim, P = �4x × (3

    2x + 5)� = 2x(2x + 5) = 4x2 + 10x

    22. A área do setor circular é igual a �34

    � da área docírculo. Assim,

    �34

    � π × r2 = π × x2 = �3π4x2�

    Logo, a opção correta é a [D].

    23. Vparalelepípedo = c × � × hLogo, Vcaixa = (2x – 4) × 2x × x = (2x – 4) × 2x2 =

    = 4x3 – 8x2

    24.24.1. A = b × hLogo, A = (x + 5) (x – 2) = x2 – 2x + 5x – 10 == x2 + 3x –1024.2. A = 36 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = 6O perímetro do retângulo que se obtém é:P = 2(x + 5) + 2(x – 2) == 2x + 10 + 2x – 4 == 4x + 6

    Para x = 6, temos P = 4 × 6 + 6 = 24 + 6 = 30

    R.: P = 30 u.c.

  • RESOLUÇÕES10

    A_Prova

    25.25.1. (2x – 8) (x – 3) = 0⇔ 2x – 8 = 0 ∨ x – 3 = 0⇔ 2x = 8 ∨ x = 3

    ⇔ x = �82

    � ∨ x = 3

    ⇔ x = 4 ∨ x = 3C.S. = {3, 4}25.2. 9x2 + 16 = 24x⇔ 9x2 – 24x + 16 = 0⇔ (3x – 4)2 = 0⇔ (3x – 4) (3x – 4) = 0⇔ 3x – 4 = 0⇔ 3x = 4

    ⇔ x = �43

    C.S. = ��43��25.3. 21x2 = 7x⇔ 21x2 – 7x = 0⇔ 7x(3x – 1) = 0⇔ 7x = 0 ∨ 3x – 1 = 0⇔ x = 0 ∨ 3x = 1

    ⇔ x = 0 ∨ x = �13

    C.S. = �0, �13��25.4. 4x2 – 36 = 0⇔ (2x – 6) (2x + 6) = 0⇔ 2x – 6 = 0 ∨ 2x + 6 = 0⇔ 2x = 6 ∨ 2x = –6

    ⇔ x = �62

    � ∨ x = – �62

    ⇔ x = 3 ∨ x = –3C.S. = {–3, 3}25.5. 7x2 = 28

    ⇔ x = �278�

    ⇔ x2 = 4⇔ x = �4� ∨ x = �4�⇔ x = –2 ∨ x = 2C.S. = {–2, 2}25.6. 49 – 9x2 = 0⇔ –9x2 = –49

    ⇔ x2 = �499�

    ⇔ x = ± ��49�9��

    ⇔ x = – �73

    � ∨ x = �73

    C.S. = �– �73�, �73

    ��26. Seja x o comprimento do lado de um quadradoe 2x o comprimento do lado de um outro quadrado.Assim,

    (2x)2 – x2 = 27⇔ 4x2 – x2 = 27⇔ 3x2 = 27

    ⇔ x2 = �237�

    ⇔ x2 = 9⇔ x = ± 3C.S. = {3}Como x > 0, então x = 3 cm.Logo, o quadrado maior tem 6 cm de lado (2 × 3 = 6),e o seu perímetro é igual a 24 cm (6 × 4 = 24).

    27. A[ABCD] = (x + 3 + x) × (x + 2 + x + 2) = = (2x + 3) (2x + 4) == 4x2 + 8x + 6x + 12 == 4x2 + 14x + 12A[BGFE] = (x + 3) × (x + 2) == x2 + 2x + 3x + 6 == x2 + 5x + 6Logo, Averde = 4x2 + 14x + 12 – (x2 + 5x + 6) == 4x2 – x2 + 14x – 5x + 12 – 6 == 3x2 + 9x + 6

    28.28.1. Se não tem termo independente,a2 – 4 = 0 ⇔ a2 = 4 ⇔ a = –2 ∨ a = 2C.S. = {–2, 2}R.: a = –2 ou a = 228.2. a – 2 = 0 ⇔ a = 2, mas se a = 2 o polinómionão tem termo independente.R.: Impossível, não existe nenhum valor de a nascondições pedidas.

    29.29.1. Por exemplo, 4x2 – 3x e 3x4 + 2x + 1.29.2. Por exemplo, 3x4 + 3x3 + x e 3x4 + 2x + 5.29.3. Por exemplo, 2x4 + 3x2 + 7 e 2x4 + 3x2 + 2x.

    30.30.1. Se P é do 2.o grau, então k – 3 = 0 ⇔ k = 330.2. Se k = 3 e k – 2 = 0 ⇔ k = 2

  • 11

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    Não é possível porque se k = 3 o polinómio é do 2.o

    grau e se k = 2, o polinómio é do 4.o grau.

    31.31.1. 3x2 × (x – 6) – (x – 6) × 7 = (x – 6)(3x2 – 7)31.2. 4y2 – 8xy + 4x2 = (2y – 2x)2

    32.32.1. 5(x – 3)2 = 125

    ⇔ (x – 3)2 = �1255

    ⇔ (x – 3)2 = 25⇔ x – 3 = –5 ∨ x – 3 = 5⇔ x = –5 + 3 ∨ x = 5 + 3⇔ x = –2 ∨ x = 8C.S. = {–2, 8}32.2. (x – 3)2 – 5(x – 3) = 0⇔ (x – 3) (x – 3 – 5) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x – 8 = 0⇔ x = 3 ∨ x = 8C.S. = {3, 8}32.3. 2(x · 3)2 = 19 + (x – 1) (x + 1)⇔ 2(x2 – 6x + 9) = 19 + x2 – 1⇔ 2x2 – 12x + 18 – 19 – x2 + 1 = 0⇔ x2 – 12x = 0⇔ x(x – 12) = 0⇔ x = 0 ∨ x – 12 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 12C.S. = {0, 12}32.4. 3x2 = 24(x – 2)⇔ 3x2 – 24x + 48 = 0⇔ 3(x2 – 8x + 16) = 0⇔ 3(x – 4)2 = 0⇔ x – 4 = 0⇔ x = 4C.S. = {4}

    33. (3x – n)2 = 9x2 – 42x + n2 == 2 × 3 × x × (–n) == –6xn

    –42x = –6xn ⇔ n = �––462x

    x� ⇔ n = 7

    Logo, a opção correta é a [D].

    34.34.1. x2 + 3x – 18 == (x2 – 3x) + (6x – 18) == x(x – 3) + 6(x – 3) == (x – 3)(x + 6)

    34.2. x2 = –3(x – 6)⇔ x2 + 3(x – 6) = 0⇔ x2 + 3x – 18 = 0⇔ (x – 3)(x + 6) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x + 6 = 0⇔ x = 3 ∨ x = –6C.S. = {–6, 3}

    35.35.1. (ax2 – 4y)(3bx3 – 4cz + 4) + 16(y – cyz) == 3abx5 – 4aczx2 + 49x2 – 12bx3y + 16czy – 16y ++16y – 16cyz == 3abx5 + 4ax2 – 4aczx2 – 12bx3y35.2. ax(3x2 – 4by + 1) – 3x(aby) + 7ax == 3ax3 – 4abxy + ax – 3abxy + 7ax == 3ax3 – 7abyx + 6ax

    36. Se A = 18x2 então, como A� = �b ×

    2h

    �,

    18x2 = �2x

    2× h� ⇔ h = �18x

    2

    2

    x

    × 2� ⇔ h = 18x

    37. A[ABCD] – A[EFGH] = g2 – h2 = (g – h)(g + h)

    38.38.1. a) Se t = 0, então h = –(–0 – 2)2 + 10⇔ h = –4 + 20⇔ h = 6 mb) Se t = 1, então h = –(1 – 2)2 + 10⇔ h = –1 + 10⇔ h = 9 m38.2. h = 0

    –(t – 2)2 + 10 ⇔ –(t – 2)2 = –10⇔ (t – 2)2 = 10⇔ t – 2 = – �1�0� ∨ t – 2 = �1�0�⇔ t = – �1�0� – 2 ∨ t = �1�0� + 2

    < 0

    Logo, t ≈ 5,2 s.

    39. 2(x3 – 25) + 7(x – 5) == �2� (x – 5) (x + 5) + 7(x – 5) == (x – 5)(2x + 10 + 7) == (x – 5)(2x + 17)

    40.40.1. As dimensões do paralelepípedo II são x – y, ye y, então o volume é igual aV = (x – y) × y × y = xy2 – y3

  • RESOLUÇÕES12

    A_Prova

    40.2. VIII = (x – y) × y (x – y) = (x – y)2 × y == (x2 – 2xy + y2)y = x2y – 2xy2 + y3

    VIV = (x – y) (x – y) × y = (x – y)2 × y = … == x2y – 2xy2 + y3

    40.3. Vcubo – VI – VII – VIII – VIV = são iguais

    = x3 – y3 – (xy2 – y3) – 2 × (x2y – 2xy2 + y3) == x3 – y3 – xy2 + y3 – 2x2y + 4xy2 + 2y3 == x3 – y3 + 3xy2 + y3 – 2x2y – 2y3 == x3 – y (2x2 – 3xy + 2y2)

    41. A = �92

    �(x – 4) ×

    2(x + 4)� = �

    92

    ⇔ (x – 4) (x + 4) = 9⇔ x2 – 16 – 9 = 0⇔ x2 – 25 = 0⇔ x – 5) (x + 5) = 0⇔ x = 5 ∨ x = –5C.S. = {–5, 5} Como x > 0, então x = 5 cm.O cateto maior mede 9 cm (x + 4 = 5 + 4 = 9).

    42. Como A = 900 cm2, então (a – 30)2 = 900⇔ (a – 30)2 – 302 = 0⇔ (a – 30 – 30) (a – 30 + 30) = 0⇔ a – 60 = 0 ∨ a = 0⇔ a = 60 ∨ a = 0

    a > 0

    ⇔ a = 60R.: a = 60 m

    Equações literais. Sistemas de duas equações

    Praticar – páginas 106 a 111

    1. 5x – 3y = –20, se x = –1 e y = 55 × (–1) – 3 × 5 = –20 × –5 – 15 = –20 × –20 = 20Verdade(–1, 5) é solução da equação 5x – 3y = –20

    2. 2x – y = 6Por exemplo, (1, –4) é solução de equação:2 × 1 – (–4) = 2 + 4 = 6

    ↑ ↑ x y

    (2, –2) é solução de equação:2 × 2 – (–2) = 4 + 2 = 6

    ↑ ↑ x y

    (–3, –12) é solução de equação:2 × (–3) – (–12) = –6 + 12 = 6

    ↑ ↑ x y

    Logo, (1, –4), (2, –2) e (–3, –12) são soluções deequação 2x – y = 6.

    3. Por exemplo, (–5, 1)↑ ↑ x y

    2 × (–5) + 1 = –10 + 1 = 9, então 2x + y = –9.↑ ↑ x y

    4.4.1. x – 5y – 7 = 0 ⇔ x = 5y + 74.2. 2x – 8y = 10 ⇔ 2x = 8y + 10

    ⇔ x = �8y +2

    10�

    ⇔ x = 4y + 54.3. 3y = 5x – 11⇔ 5x – 11 = 34⇔ 5x = 3y + 11

    ⇔ x = �35

    � y + �151�

    5. Verificar se (2, 4) é solução do sistema é verifi-car se é solução das duas equações.

    2 × 2 – 4 × 4 = 12 4 – 16 = 12 –12 = 12 Falso⇔ ⇔

    –2 + 4 = 2 2 = 2 V

    Concluímos que (2, 4) não é solução do sistemaporque não é solução de uma das equações.

    6. [A] (8,2)

    8 – 2 = 7 6 = 7 Falso⇔

    –2 × 8 + 5 × 2 = –5

    Logo, (8, 2) não é solução do sistema.

    [B] (10, 3)

    10 – 3 =7 7 = 7 7 = 7 V⇔ ⇔

    –2 ×10 + 5 × 3 = –5 –20 + 15 = –5 –5 = –5 V

    Logo (10, 3) é solução do sistema.

  • 13

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    [C] (2, 8)

    2 – 8 = 7 –6 = 7 Falso⇔

    –2 × 2 + 5 × 8 = –5

    Logo, (2, 8) não é solução do sistema.

    [D] (3, 10)

    3 – 10 = 7 –7 = 7 Falso⇔

    –2 × 3 + 5 × 10 = –5 ———

    Logo, (3, 10) não é solução do sistema.A opção correta é a [B].

    7.7.1. Forma canónicax + y = 9 x – (15 – x) = 9 x – 15 + x = 9

    ⇔ ⇔x + y = 15 y = 15 – x ———

    x + x = 9 + 15 2x = 24 x = �224� x = 12

    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔——— ——— ——— y = 3

    C.S. = {(12, 3)}7.2. Forma canónicax + y = 1 y = 1 – x ———

    ⇔ ⇔ –x + y = 9 –x + 1 – x = 9 –2x = 9 –1

    ——— y = 1 – (–4) y =5⇔ ⇔ ⇔

    x = �–82� x = –4 x = –4

    C.S. = {(–4, 5)}7.3. Forma canónica2x + y = –10 2x – 3 – x = –10 2x – x = –10 + 3

    ⇔ ⇔ x + y = –3 y = –3 – x ———

    x = –7 x = –7⇔ ⇔

    y = –3 –(–7) y = 4

    C.S. = {(–7, 4)}7.4. Forma canónica2y – x = 7 –x + 2y = 7 –(–1 + y) + 2y = 7

    ⇔ ⇔ –y + x = –1 x – y = –1 x = –1 + y

    1 – y + 2y = 7 – y + 2y = 7 – 1⇔ ⇔

    ——— ———

    y = 6 y = 6⇔ ⇔

    x = –1 + 6 x = 5

    C.S. = {(5, 6)}7.5. Forma canónica2x + y = 2 2x + y = 2 y = 2 – 2x

    ⇔ ⇔ –7y – 3x = –3 –3x – 7y = –3 –3x – 7(2 – 2x) = –3

    ——— –y + 2y = 7 – 1⇔ ⇔

    –3x – 14 + 14x = –3 –3x + 14x = –3 + 14

    ——— ——— y = 2 – 2 × 1⇔ ⇔ ⇔

    11x = 11 x = �1111� x = 1

    y = 2 – 2 y = 0⇔ ⇔

    ——— x = 1

    C.S. = {(1, 0)}7.6. Forma canónica4x – 2y = 14 2x – y = 7 2(–4 – 2y) – y = 7

    ⇔ ⇔ 2y + x = –4 x + 2y = –4 x = –4 – 2y

    –8 – 4y – y = 7 –4y – y = 7 + 8 –5y = 15⇔ ⇔ ⇔

    ——— ———

    y = �1–55� y = –3 y = –3

    ⇔ ⇔ ⇔ ——— x = –4 – 2 × (–3) x = 2

    C.S. = {(2, –3)}

    8.8.1. Por exemplo, (0, 4) porque 3 × 0 + 2 × 4 = 8 ⇔ 8 = 8 Verdadeiroe 4 = 2 × 0 – 3 ⇔ 4 = –3 Falso8.2. Por exemplo, (3, 3) porque 3 = 2 × 3 – 3 ⇔ 3 = 3 Verdadeiroe 3 × 3 + 2 × 3 = 8 ⇔ 6 + 6 = 8 Falso8.3. A solução do sistema é o par ordenado (2, 1). Éo ponto de interseção das duas retas.8.4. Resolvendo o sistema pelo método de substitui-ção, 3x + 2y = 8 3x + 2y = 8 3x + 2(–3 + 2x) = 8

    ⇔ ⇔ y = 2x – 3 –2x + y = –3 y = –3 + 2x

  • RESOLUÇÕES14

    A_Prova

    3x – 6 + 4x = 8 3x + 4x = 8 + 6 7x = 14⇔ ⇔ ⇔

    ——— ——— ———

    x = 2 x = 2⇔ ⇔

    y = –3 + 2 × 2 y = 1

    C.S. = {(2, 1)}

    9. Como o perímetro é igual a 100 cm, P = 100

    2 × (2x + y) + 2 × (3x + 2y) = 10⇔ 4x + 2y + 6x + 4y = 100⇔ 10x + 6y = 10⇔ 5x + 3y = 509.1. Se x = 4, 5 × 4 + 3y = 50⇔ 20 + 3y = 50⇔ 3y = 50 – 20 ⇔ 3y = 30

    ⇔ y = �330�

    ⇔ y = 109.2. Se y = 5, 5x + 3 × 5 = 50⇔ 5x + 15 = 50⇔ 5x = 50 – 15⇔ 5x = 35

    ⇔ x = �355�

    ⇔ x = 7Como x = 7 e y = 5A = (3x + 2y) × (2x + y), ou seja, A = (3 × 7 + 2 × 5) × (2 × 7 + 5) == (21 + 10) × (14 + 5) = 31 × 19 = 589R.: A = 589 cm2

    10. Para determinar o par ordenado (x, y) bastaresolver o sistema pelo método de substituição.Forma canónica2(x – 1) = 4 + y 2x – 2 – y = 4 2x – y = 4 + 2

    ⇔ ⇔ –y – x = 1 –x – y = 1 ———

    2x – y = 6 — 2(–y – 1) – y = 6⇔ ⇔ ⇔

    –x – y = 1 –x = 1 + y ———

    –3y = 8 y = – �83

    � ———⇔ ⇔ ⇔

    ——— x = – �– �83�� – 1 x = �83

    � – �53

    y = – �83

    ⇔ x = �

    53

    C.S. = ���53�, – �83

    ���10.1. Para x = �5

    3� e y = – �

    83

    �, temos

    2x + 3y = 2 × �53

    � + 3 × �– �83�� = �130� – �

    234� = – �

    134�

    10.2. Para x = �53

    � e y = – �83

    �, temos

    x – y = �53

    � – �– �83��2

    = �53

    � – �694� = �

    195� – �

    694� = – �

    499�

    10.3. Para x = �53

    � e y = – �83

    �, temos

    (x + y)2 = ��53� + �– �83

    ���2

    = ��53� – �83

    ��2

    =

    = �– �33��2

    = (–1)2 = 1

    11. x: idade do Fernandoy: idade da filha mais velha do Fernando

    • x + y = 42x + 5 – idade do Fernando daqui a 5 anos.y + 5 – idade da filha mais velha do Fernandodaqui a 5 anos

    • x + 5 = 3 × (y + 5)Resolvendo o sistema com as duas equações

    x + y = 42 x + y = 42 x + y = 42⇔ ⇔

    x + 5 = 3(y + 5) x + 5 = 3y + 15 y = 8

    Forma canónica

    x + y = 41 x = 42 – y ———⇔ ⇔ ⇔

    x – 3y = 10 42 – y – 3y = 10 –4y = –32

    x = 42 – 8 x = 34⇔ ⇔

    y = 8 y = 8

    C.S. = {(34, 8)}R.: O Fernando tem 34 anos.

    12.12.1. Como as retas são estritamente paralelas, o sis-tema é impossível.12.2. x y = –x + 6

    0 6 → –0 + 6 = 62 4 → –2 + 6 = 4

  • 15

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    Logo, a reta contém os pontos (0, 6) e (2, 4).12.3. a) Por exemplo,y = –x + 6

    porque são retas concorrentesy = 2x + 1

    b) Por exemplo,y = 2x – 1

    porque são retas coincidentesy = 2x – 1

    13. Sejam x o preço de cada martelo e y o preçode cada chave inglesa

    3x + 2y = 29 3x = 29 – 2y x = �29

    3– 2y�

    ⇔ ⇔ 2x + 3y = 31 ——— 2��29 3

    – 2y�� + 3y = 31

    ——— ———⇔ ⇔

    �538� – �

    43

    � + 3y = 31 58 – 4y + 9y = 93

    ——— ——— x = �29 –

    32 × 7�

    ⇔ ⇔ ⇔ – 4y + 9y = 93 – 58 y = �

    355� y = 7

    x = �135� x = 5

    ⇔ ⇔ ——— y = 7

    Como cada martelo custa 5 € e cada chave inglesa 7 €.5 martelos custam 5 × 5 = 25 € e cada chave ingle-sa 7 €.Então 5 martelos e chave inglesa fica por 27 + 7 = 32 €R.: O novo pack custará 32 €.

    14.14.1. Como se trata de um hexágono, n = 6S = (6 – 2) × 180o = 720o

    14.2. Como x = 1080o, (n – 2) × 180o = 1980o

    ⇔ n – 2 = �1198800

    ⇔ n – 2 = 11⇔ n = 11 + 2⇔ n = 13R.: O polígono tem 13 lados.14.3. Como se trata de um pentágono, n = 5S = (5 – 2) × 180 ⇔ S = 540o

    O pentágono tem cinco ângulos internos então,cada ângulo tem 108o (540o : 5 = 108o).14.4. S = (n – 2) × 180o

    ⇔ (n – 2) × 180o = S

    ⇔ n – 2 = �1S80�

    ⇔ n = �1S80� + 2

    15.15.1. Se x = 3, y – 2 – �2

    3� x = 4 ⇔ y – �2

    3� × 3 = 4

    ⇔ y = 4 + 2⇔ y = 6Se x = 6, y – �

    23

    � x = 4 ⇔ y – �23

    � × 6 = 4

    ⇔ y = 4 + 4⇔ y = 8Se, por exemplo, x = 9,

    y – �23

    � x = 4 ⇔ y – �23

    � × 9 = 4

    ⇔ y = 4 + 6⇔ y = 10Então

    15.2. Marcar, por exemplo, os pontos (0, 4) e (3, 6) noreferencial e traçar a reta que contém esses pontos.

    15.3. A solução do sistema é (3, 6), ponto onde asduas retas se intersetam.15.4. Por exemplo, y = –2x. Basta que as duas retastenham o mesmo declive.

    x 0 3 6 9y 4 6 8 10

    y = 2x + 1 y = 2x – 1

    y = –x + 6

    O

    y

    x–2

    2

    4

    6

    10

    8

    2 4 6 8 10

    O

    y

    x–2

    246

    101215

    8

    1 2 3 4 5 6

    y = x + 423

    2x + y = 12

    O

    y

    x–2

    246

    101215

    8

    1 2 3 4 5 6 7

    2x + y = 12

    y = –2x

  • RESOLUÇÕES16

    A_Prova

    Como as retas são estritamente paralelas, o sistemaé impossível.

    16. Para que (3, –2) seja solução de um sistema énecessário que seja solução das duas equações.

    2k + y = 4 2 × 3 + (–2) = 4 6 – 2 = 4 V[A] ⇔ ⇔

    x + y = 5 3 + (–2) = 5 3 – 2 = 5 F

    (3, –2) não é solução da 2.a equação. Logo, não ésolução do sistema.

    –x – �y +

    32

    � = 3 –3 – �–2

    3+ 2� = 3

    [B] ⇔——— ———

    –3 – 0 = 3 Falso⇔

    ———

    Como (3, –2) não é solução da 1.a equação não ésolução do sistema.

    �3x� – y = – �

    32

    � �33

    � – (–2) = – �32

    [C] ⇔–(x – 2y) + 1 = –10 ———

    1 + 2 = – �32

    � Falso⇔

    ———Como (3, –2) não é solução da 1.a equação não ésolução do sistema.

    x = 1 – y 3 = 1 – (–2) 3 = 3 V[D] ⇔ ⇔

    y = –x + 1 –2 = –3 + 1 –2 = –2 V

    (3, –2) é solução do sistema, porque é solução dasduas equações.Logo, a opção correta é a [D].

    17. (1, –7) e (4, 5) são pontos da reta r.

    Assim, o declive da reta é:

    a = �5

    4––(–17)

    � = �132� = 4

    Substituindo, por exemplo, x = 4 e y = 5, na equa-ção y = ax + b obtemos: 5 = 4 × b ⇔ b = 16 + 5 ⇔ b = –11Logo, a = 4 e b = –11

    18.18.1. O sistema III, porque está escrito na forma

    ax + bx = c

    a’x + b’y = c’

    18.2.

    2x – �12

    � (y – 3) = 2 2x – �12

    � y + �32

    � = 2⇔ (×2) (×2)

    �2x� – �

    3y� = –3 3x – 2y = –18

    (×3) (×2) (×6)

    4x – y = 1 ⇔ (Forma canónica)

    3x – 2y = –18

    18.3. [A] (1, 5)

    �15

    � × 1 = –1 + 2 × 5 �15

    � = 9 Falso⇔

    1 – 3 × 5 = 2 ———

    Logo, (1, 5) não é solução do sistema II porque nãoé solução da 1.a equação do sistema.[B] (–1, –1)

    �15

    � × (–1) = –1 + 2 × (–1) – �15

    � = –3 F⇔

    –1 – 3 × (–1) = 2 2 = 2 V

    Logo, (–1, –1) não é solução do sistema II porquenão é solução da 1.a equação do sistema.

    [C] (5, 1)

    �15

    � × 5 = –1 + 2 × 1 1 = 1 V⇔

    5 – 3 × 1 = 2 2 = 2 V

    Logo, (5, 1) é solução do sistema II porque é soluçãodas duas equações do sistema.

    [D] (1, 1)

    �15

    � × 1 = –1 + 2 × 1 �15

    � = 1 F⇔

    1 – 3 × 1 = 2 –2 = 2 F

    Logo, (1, 1) não é solução do sistema porque não ésolução das duas equações.Assim a opção correta é a [C].

  • 17

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    18.4. Escrevendo o sistema na forma canónica,obte mos

    �15

    �x = –1 + 2y x = –5 + 10y x – 10y = –5(×5) (×5) ⇔ ⇔

    x – 3y = 2 x – 3y = 2 x – 3y = 2

    Resolvendo as duas equações em ordem a y

    –10y = –5 – x y = �––51–0x

    � x = �12

    � + �1x

    0�

    ⇔ ⇔ –3y = 2– x y = �

    2––3x

    � y = – �23

    � + �3x�

    x y = �12

    � + �1x

    0�

    5 1 → �12

    � + �150� = �

    12

    � + �12

    � = 1

    –5 0 → �12

    � – �150� = �

    12

    � – �12

    � = 0

    Sistema possível e determinado. C.S. = {(5, 1)}

    18.5. 2x – 5y = 4 2x – 5(–2 + 3x) = 4

    ⇔ –3x + y = –2 y = –2 + 3x

    2x + 10 – 15x = 4 2x – 15x = 4 – 10⇔ ⇔

    ——— ———

    –13x = –6 x = �163� x = �

    163�

    ⇔ ⇔ ⇔ ——— y = – 2 + 3 × �

    163� y = –2 + �

    1183�

    (×13)

    ——— x = �163�

    ⇔ ⇔ y = – �

    2163� + �

    1183� y = – �

    183�

    C.S. = ��163�, – �

    183��

    19. O sistema I é impossível porque as retas r e ssão estritamente paralelas.O sistema II é possível e indeterminado porque asretas r e s são coincidentes.Os sistemas III e IV são possíveis e determinadosporque as retas r e s são concorrentes.

    20. Sejam x o preço de um par de calças e y o preçode uma blusa.20.1. x + y – preço de um par de calças e de umablusa.

    x + y = 85x – 6 = y + 7

    20.2. x + y – preço de um par de calças e de umablusa.

    x + y = 85 x + y = 85 x + y = 85⇔ ⇔

    x – 6 = y + 7 x – y = 13 85 – y – y = 13

    ——— ———⇔ ⇔

    –y – y = 13 – 85 –2y = –72

    x = 85 – 36 x = 49⇔ ⇔

    y = 36 y = 36

    C.S. = {(49, 36)}R.: As calças custaram 49 € e a blusa 36 €.

    21. Seja x a idade do João e y a idade do Filipe.21.1. x + 5 representa a idade do João daqui a 5 anos e y + 5 representa a idade do Filipe daqui a 5anos.

    x + y = 42x + 5 + y + 5 = 52

    21.2.

    x + y = 42 x + y = 42⇔

    x + y = 52 – 10 x + y = 42

    Como as equações são equivalentes, o sistema épossível e indeterminado, o que significa que o sis-tema tem uma infinidade de soluções.21.3. Por exemplo, (10, 32), (15, 27), (20, 22) e (21, 21).

    O

    y

    x–5 1

    234

    –3 –1

    –22 4 6 8

    y = – +23

    x3

    y = + 12

    x10

    x y = – �23

    � + �3x�

    2 0 → – �23

    � + �23

    � = 0

    –1 –1 → – �23

    � – �13

    � = –1

  • RESOLUÇÕES18

    A_Prova

    22. Seja x o número de notas de 20 € e y o númerode notas de 100 €.20x + 100y = 1000 20(26 – y) + 100y = 1000

    ⇔ x + y = 26 x = 26 – y

    520 – 20y + 100y = 1000⇔

    ———

    –20y + 100y = 1000 – 520 80y = 480⇔ ⇔

    ——— ———

    y = �48800

    � y = 6 y = 6⇔ ⇔ ⇔

    ——— x = 26 – 6 x = 20 C.S. = {(20, 6)}O Pedro tem 20 notas de 20 € e 6 notas de 100 €.Em notas de 20 €, o Pedro tem 20 × 20 = 400 €, ouseja, a quantia é inferior a 419,99 €.R.: O Pedro não consegue comprar a bicicleta, ape-nas com as notas de 20 €.

    23. Para determinar as coordenadas de A bastaresolver o sistema.y = 4x – 8 2x + 3 = 4x – 8 2x – 4x = –8 – 3

    ⇔ ⇔ y = 3x + 3 ——— ———

    –2x = –11 x = �121� ——— x = �

    121�

    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ——— y = 2 × �1

    21� + 3 y = 11 + 3 y = 14

    C.S. = ���121�, 14��

    Logo, A = ��121�, 14�

    O ponto B é um ponto do eixo Ox, ou seja, tem de

    ordenada zero. A abcissa de B é igual à abcissa de

    A, �121�.

    Logo, B tem coordenadas ��121�, 0�.

    A[OBA] = �b ×2

    h�

    A[OBA] = = �1544

    � = 38,5 u.a.

    24.24.1. Como a 1.a equação, y = ax + 2, tem ordenadana origem 2, corresponde à reta vermelha.Determinando o declive, o valor de a:a reta contém por exemplo, o ponto (1, 0), então0 = a × 1 + 2 ⇔ a = –2y = –2x + 2Os pontos (3, –2) e (6, 0) pertencem à reta de equa-ção bx + cy = d e –4 é a ordenada na origem, então

    bx + cy = d ⇔ y = – �bc

    � x + �dc

    � e �dc

    � = –4.

    Assim, y = – �bc

    � x –4

    Utilizando, por exemplo, os pontos (3, –2) e (6, 0),podemos determinar o seu declive.

    �06––(–32)

    � = �23

    �, ou seja, – �bc

    � = �23

    �.

    Escrevendo a equação y = �23

    � x – 4 na forma bx + cy = d, temos:

    y = �23

    � x – 4 ⇔ – �23

    � x + 3y = –4 ⇔ –2x + 3y = –12

    ou seja, b = –2, c = 3 e d = –12.R.: a = –2 e, por exemplo, b = –2, c = 3 e d = –12.24.2. O sistema é possível e determinado porque asretas são concorrentes. Como as retas se intersetamno ponto de coordenadas (3, –2), a solução do sis-tema é C.S. = {(3, –2)}.24.3. Como a = –2 (por 24.1.), pretendemos repre-sentar a reta de equação y = –2x – 2.

    x y

    0 –2–1 0

    24.4. O sistema é impossível porque as retas deequações y = ax + 2 (a vermelho) e y = ax – 2 (alí-nea 24.3.) são paralelas.

    25. [A] –4 × �12

    � + (–3) = 5 ⇔ –2 – 3 = 5 ⇔ –5 = 5Falso.

    ��12�, –5� não é solução da equação. [B] 6 × �1

    2� + (–3) = 2 ⇔ 3 – 3 = 2 Falso

    �121� × 14

    ��2

    y

    x–2

    –4

    –6

    –8 y = ax – 2

    O

    2

    4

    2–2 4 6 8

  • 19

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    ��12�, –5� não é solução da equação. [C] –2 × �1

    2� – (–3) = 20 ⇔ –1 + 3 = 20 Falso

    ��12�, –5� não é solução da equação.

    [D] �12

    � + �(–23)� = –1 ⇔ – �2

    2� = –1 Verdadeiro

    Assim, a outra equação é x + �2y� = –1 e a opção cor-

    reta é a [D].

    26. A = π × r2 ⇔ r2 = �Aπ

    � ⇔ r = ��Aπ��Logo, a opção correta é a [B].

    27.

    3x + 2y = 11 3x + 2y = 11 3x + 2(6 – 2x) = 11⇔ ⇔

    2x – 2 + y = 4 2x + y = 6 y = 6 – 2x

    3x + 12 – 4x = 11 3x – 4x = 11 – 12⇔ ⇔

    ——— ———

    –x = –1 x = 1 x = 1⇔ ⇔ ⇔

    ——— y = 6 – 2 × 1 y = 14

    C.S. = {(1, 4)}

    Como (k – 2p, k – p) é solução do sistema, temos:

    k – 2p = 1 k = 1 + 2p k = 7⇔ ⇔

    k – p = 4 1 + 2p – p = 4 p = 3

    Logo, k = 7 e p = 3.

    28.

    –6x + 3y = 12

    –ax + y = b

    28.1. Por exemplo, a = 1 e b = 2.28.2. a = 2 e, por exemplo, b = 2.28.3. Por exemplo, a = 2 e b = 2.

    29. Seja x o número de adultos e y o número decrianças.x + y = 300 x = 300 – y

    ⇔ 10x + 3y = 2440 10(300 – y) + 3y = 2440

    ——— ——— ⇔ ⇔

    3000 – 10y + 3y = 2440 –7y = –560

    x = 300 – 80 x = 220 ⇔ ⇔

    y = 80 y = 80

    C.S. = {(220, 80)}R.: Assistiram à peça 80 crianças.

    30.30.1.

    4 – �x +2y

    � = 6 �41

    � – �x +2y

    � = �61

    ⇔ (×2) (×2)�2x

    2– 6� = 2�x + �2

    y�� – x �22

    x� – �

    62

    � = 2x + �22y� – x

    8 – x – y = 12 –x – y = 12 – 8⇔ ⇔

    x – 3 = 2x + y – x x – 2x + x – y = 3

    –x – y = 4 ——— –x – (–3) = 4⇔ ⇔ ⇔

    0x – y = 3 –y = 3 y = –3

    –x + 3 = 4 –x = 4 – 3 –x = 1 x = –1⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    ——— ——— ——— y = 3

    C.S. = {(–1, 3)}30.2.

    �3x

    3– 1� + y = 2 �

    3x3– 1� + �

    y

    1� = �

    21

    ⇔ (×3) (×3)

    – �x –31

    � = 2y – (2x – 1) – �x –31

    � = �22y� – �

    22x� + �

    11

    (×3) (×3) (×3)

    3x – 1 + 3y = 6 3x + 3y = 6 + 1⇔ ⇔

    –x + 1 = 6y – 6x + 3 –x + 6x – 6y = 3 – 1

    3x + 3y = 5 3x = 5 – 3y x = �53

    � – y⇔ ⇔ ⇔

    5x – 6y = 2 ——— 5 × ��53� – y� – 6y = 2——— ———

    ⇔ ⇔ �235� – �

    51y� – �

    61y� = �

    21

    � 25 – 15y – 18y = 6(×3) (×3) (×3)

  • RESOLUÇÕES20

    A_Prova

    ——— ——— x = �53

    � – �1393�

    ⇔ ⇔ ⇔ (×11)–33y = –19 y = �

    1393� ———

    x = �5353� – �

    1393� x = �

    3363� x = �

    1121�

    ⇔ ⇔ ⇔ ——— ——— y = �

    1393�

    C.S. = ���1121�, �

    1393���

    31. Como �x +34y� = x – 2y = 6 podemos escrever

    �x +

    34y� = 6 x + 4y = 18 6 + 2y + 4y = 18

    ⇔ ⇔ x – 2y = 6 x = 6 + 2y ———

    6y = 12 y = 2 y = 2⇔ ⇔ ⇔

    ——— x = 6 + 2 × 2 x =10

    C.S. = {(10, 2)}R.: x = 10 e y = 2.

    32. Seja �y

    x� a fração pedida.

    �x –y

    6� = �

    14

    � 4x – 24 = y ———⇔ ⇔

    �y +x

    2� = �

    12

    � 2x = y + 2 2x = 4x – 24 + 2

    ——— ——— 4 × 11 – 24 = y⇔ ⇔ ⇔

    2x – 4x = –24 + 2 –2x = –22 x = 11

    y = 20⇔

    x = 11

    C.S. = {(11, 20)}

    R.: A fração é �1210�.

    33. x + �2y� = 3y – �

    5x� + 2 + 6

    ⇔ x + �5x� + �

    2y� – 3y = 8

    (×10) (×2) (×5) (×10) (×10)

    ⇔ 10x + 2x + 5y – 30y = 80⇔ 12x – 25y = 80Como a soma dos ângulos internos de um triânguloé igual a 180o e o triângulo é retângulo, ou seja, umdos ângulos tem de amplitude 90o, temos:

    x + �2y� + 3y – �

    5x� + 2 + 90 = 180o

    12x – 25y = 80

    x – �5x� + �

    2y� + 3 = 88

    ⇔ (×10) (×2) (×5) (×10) (×10)12x – 25y = 802

    10x – 2x + 5y + 30y = 880 8x + 35y = 880⇔ (×10) (×2) (×5) (×10) (×10) ⇔

    ——— x = �80

    1+225y�

    8��80 1+225y�� + 35y = 880

    ⇔ ———

    �61420

    � + �21020

    �y + 35y = 880⇔ (×12) (×12)

    ———

    640 + 200y + 420y = 10 560 620y = 9920⇔ ⇔

    ——— ———

    y = 16 y = 16⇔ ⇔

    x = �80 +

    1225 × 16� x = 40

    C.S. = {(40, 16)}R.: x = 40 e y = 16

    34. Seja x o número de quilogramas de café daColômbia e y o número de quilogramas de café deSão Tomé e Príncipe.Assim, podemos construir a seguinte tabela:

    Logo, ficamos a saber que x + y = 6 e 35x + 25y = 192.Para determinar x e y basta resolver o sistema.x + y = 6 x = 6 – y

    ⇔ 35x + 25y = 192 35(6 – y) + 25y = 192

    ——— ⇔

    210 – 35y + 25y = 192

    CAFÉ Número de quilogramasPreço do quilograma Custo total

    Colômbia x kg 35€ 35x€

    São Tomé e Príncipe y kg 25€ 25y€

    Mistura 6 kg 32€ 192€

  • 21

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    ——— ———⇔ ⇔

    –35y + 25y = 192 – 210 10y = 18

    x = 6 – �95

    � x = �251� x = 4,2

    ⇔ ⇔ ⇔ y = �

    95

    � y = �95

    � y = –1,8

    C.S. = {(4,2; 1,8)}R.: A mistura deve conter 4,2 kg de café da Colômbia.

    Equações completas do 2.o grau

    Praticar – páginas 114 a 119

    1.1.1. x2 – 4x + 8 = (x2 – 4x) + 8 == (x2 – 4x + 4) + 8 – 4 == (x – 2)2 + 41.2. x2 + 16x – 5 = (x2 + 16x) –5 == (x2 – 16x + 64) – 5 – 64 == (x + 8)2 – 69

    2.2.1. x2 – 10x + 12 = (x2 – 10x) + 12 == (x2 – 10x + 25) + 12 – 25 == (x – 5)2 – 132.2. x2 + 8x = (x2 + 8x + 16) + 16 == (x – 4)2 – 162.3. x2 – 2x + 12 = (x2 – 2x) + 12 == (x2 – 2x + 1) + 12 – 1 == (x – 1)2 + 112.4. x2 – x + 15 = (x2 – x) + 15 =

    = �x2 – x + �14�� + 15 – �14

    � =

    = �x – �12��2+ �

    549�

    3. 2x2 + 2x – 12 = 0⇔ x2 + x – 6 = 0

    ⇔ �x2 – x + �14�� – 6 – �14

    � = 0

    ⇔ �x – �12��2= �

    245�

    ⇔ x – �12

    � = ��24�5�� ∨ x + �12� = ��24�5��⇔ x + �1

    2� = �

    52

    � ∨ x + �12

    � = – �52

    ⇔ x = �52

    � – �12

    � ∨ x = – �52

    � – �12

    ⇔ x = �42

    � ∨ x = – �62

    ⇔ x = 2 ∨ x = –3

    4. [A] (–2) + (–2) – 1 = 0 ⇔ –2 + 2 – 1 = 0 ⇔ –1 = 0 Falso–2 não é solução da equação x2 + x – 1 = 0.[B] (–2)2 – 3 × (–2) + 2 = 0 ⇔ 4 + 6 + 2 = 0 Falso–2 não é solução da equação x2 – 3x + 2 = 0.[C] (–2 + 2) (–2 – 1) = 0 ⇔ 0 × (–3) = 0 Verdadeiro–2 é solução da equação (x + 2) (x – 1) = 0.(1 + 2) (1 – 1) = 0 ⇔ 3 × 0 = 0 Verdadeiro1 é solução da equação (x + 2) (x – 1) = 0 {–2; 2} é o conjunto-solução da equação.[D] (–2 – 2) (–2 + 1) = 0 – 4 × (–1) = 0 Falso–2 não é solução da equação (x – 2)(x + 1) = 0(1 – 2) (1 + 1) = 0 ⇔ (–1) × 2 = 0 FalsoAssim, 1 não é solução da equação (x – 2)(x + 1) = 0.Logo, a opção correta é a [C].

    5.5.1. x2 + 4x + 3 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–42± 2�

    ⇔ x = �–42– 2� ∨ x = �–4

    2+ 2�

    ⇔ x = – �62

    � ∨ x = – �22

    ⇔ x = –3 ∨ x = –1C.S. = {–3, –1}5.2. 2k2 – 50 = 0⇔ 2k2 = 50

    ⇔ k2 = �520�

    ⇔ k2 = 25⇔ k = –2�5� ∨ k = 2�5�⇔ k = –5 ∨ k = 5C.S. = {–5, 5}5.3. c2 + 12 = 7c⇔ c2 – 7c + 12 = 0

    ⇔ c =

    –4 ± 4�2�–� 4� ×� 1� ×�3����

    2 × 1

    –(–7) ± (–�7�)2� –� 4� ×� 1� ×� 1�2�����

    2 × 1

    ⇔ x = –4 ± 1�6� –� 1�2���2

    ⇔ c = 7 ± 4�9� –� 4�8���2

  • RESOLUÇÕES22

    A_Prova

    ⇔ c = �72± 1�

    ⇔ c = �82

    � ∨ c = �62

    ⇔ c = 4 ∨ c = 3C.S. = {3, 4}5.4. (3t + 1)(2t – 1) = 0⇔ 3t + 1 = 0 ∨ 2t – 1 = 0⇔ 3t = –1 ∨ 2t = 1

    ⇔ t = – �13

    � ∨ t = �12

    C.S. = �– �13�, �12

    ��5.5. x2 – 5x – 14 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x =

    ⇔ x = �5 –29

    � ∨ x = �5 +29

    ⇔ x = – �42

    � ∨ x = �124�

    ⇔ x = –2 ∨ x = 5C.S. = {–2, 7}5.6. x2 – x = 0⇔ x(x – 9) = 0⇔ x = 0 ∨ x –9 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 9C.S. = {0, 9}5.7. 2x2 + 5x – 8 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–54– 9� ∨ x = �–5

    4+ 9�

    ⇔ x = – �144� ∨ x = �4

    4�

    ⇔ x = – �72

    � ∨ x = 1

    C.S. = �– �72�, 1�

    5.8. a2 – 8a + 7 = 0

    ⇔ a =

    ⇔ a =

    ⇔ a = �82– 6� ∨ a = �8

    2+ 6�

    ⇔ a = �22

    � ∨ a = �124�

    ⇔ a = 1 ∨ a = 7C.S. = {1, 7}5.9. x(x – 1) = 6 – 2x – 4x2

    ⇔ x2 – x – 6 + 2x + 4x2 = 0⇔ 5x2 – x – 6 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–11±011

    ⇔ x = – �1120� ∨ x = �1

    100�

    ⇔ x = – �65

    � ∨ x = 1

    C.S. = �– �65�, 1�5.10. 2(x2 – 2x) = 16⇔ x2 – 2x = 8⇔ x2 – 2x – 8 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x =

    ⇔ x = �2 –26

    � ∨ x = �2 +26

    ⇔ x = –2 ∨ x = 4C.S. = {–2, 4}

    6. Para determinar as coordenadas dos pontos A eB, basta resolver a equação.

    x2 = –x + 12⇔ x2 + x – 12 = 0

    –(–5) ± (–�5�)2� –� 4� ×� 1� ×�(�–�1�4�)�����

    2 × 1

    5 ± 8�1���

    2

    –(–8) ± (–�8�)2� –� 4� ×�1� ×�7�����

    2 × 1

    8 ± 3�6���

    2

    2 ± �(–��2)2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�8�)����

    2 × 1

    2 ± 3�6���

    2

    –5 ± 5�2�–� 4� ×�2� ×�(�–�7�)����

    2 × 2

    –5 ± 8�1���

    4

    –1 ± 1�2�–� 4� ×�5� ×�(�–�6�)����

    2 × 5⇔ x = 5 ± 2�5� +� 5�6���

    2

    ⇔ x = –5 ± 2�5� +� 5�6���4

    ⇔ a = 8 ± 6�4� –� 2�8���2

    ⇔ x = –1 ± 1� +� 1�2�1���10

    ⇔ x = 2 ± 4� +� 3�2���2

  • 23

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    ⇔ x =

    ⇔ x =

    ⇔ x = �– 12± 7�

    ⇔ x = �–12– 7� ∨ x = �–1

    2+ 7�

    ⇔ x = – �82

    � ∨ x = �62

    ⇔ x = –4 ∨ x = 3C.S. = {–4, 3}Como a abcissa do ponto A é –4, então a ordenadaé 16 (y = (–4)2 ⇔ y = 16). Logo, A (–4, 16).A abcissa do ponto B é 3, então y = 32 ⇔ y = 9, aordenada é 9.Logo, B (3, 9).R.: A(–4, 16) e B(3, 9)

    7. Para determinar o número de soluções de umaequação do 2.o grau é necessário verificar o sinal dobinómio discriminante � = b2 – 4ac.7.1. x2 + 4x + 12 = 0, a = 1, b = 4 e c = 12 � = 42 – 4 × 1 × 12= 16 – 48= –32� < 0, então a equação x2 + 4x + 12 = 0 é impossí-vel, logo não tem soluções.7.2. 2x2 – 3x – 8 = 0, a = 2, b = –3 e c = –8 � = (–3)2 – 4 × 2 × (–8) == 9 + 64 == 3 Como � > 0, então a equação é possível. Logo, temduas soluções distintas.7.3. x2 – 2�4�x + 6 = 0, a = 1, b = –2�4� e c = 6.� = (–2�4�)2 – 4 × 1 × 6 == 24 – 24 = = 0� = 0, então a equação é possível e tem apenasuma solução.

    8. Duas equações são equivalentes se tiverem omesmo conjunto solução.

    x2 – x – 6 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x =

    ⇔ x = ��1 ±25

    ⇔ x = �1 –25

    � ∨ x = �1 +25

    ⇔ x = – �42

    � ∨ x = �62

    ⇔ x = –2 ∨ x = 3C.S. = {–2, 3}[A] x2 + x – 6 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–12± 5�

    ⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}x2 + x – 6 = 0 não é equivalente à equação dada.[B] x2 – x + 6 = 0

    ⇔ x =

    x2 – x + 6 = 0 não é equivalente à equação dada.[C] 7(x – 3)(x + 2) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x + 2 = 0⇔ x = 3 ∨ x = –27(x – 3)(x + 2) = 0 é equivalente à equação dada.[D] 2(x + 3)(x – 2) = 0⇔ x + 3 = 0 ∨ x – 2 = 0⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}2(x + 3)(x – 2) = 0 é equivalente à equação dada.Logo, a opção correta é a [C].

    9. Verificar se 4 é solução, é substituir o x por 4,2 × 42 – 7 × 4 + 3 ⇔ 2 × 16 – 28 + 3 = 0 ⇔ 7 = 0Falso. 4 não é solução da equação 2x2 – 7x + 3 = 0

    –(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)�����

    2 × 1

    1 ± 2�5���

    2

    –1 ± �12�–� 4� ×� 1� ×� (�–�1�2�)����

    2 × 1

    –1 ± 4�9���

    2

    –1 ± �12�–� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)����

    2 × 1

    –(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� 6����

    2 × 1

    ⇔ x = –1 ± 1� +� 4�8���2 ⇔ x = 1 + 1� +� 2�4���

    2

    ⇔ x = –1 ± 2�5���2

    ⇔ x = equação impossível. C.S. = { }1 ± –�2�3���2

  • RESOLUÇÕES24

    A_Prova

    10. g(x) = x2 – 5x + 6Se a imagem é 0, então g(x) = 0.

    x2 – 5x + 6 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �52± 1�

    ⇔ x = �42

    � ∨ x = �62

    ⇔ x = 2 ∨ x = 3C.S. = {2, 3}R.: Os objetos 2 e 3 têm imagem 0.

    11. x2 – 6x + k = 011.1. Se k = 0x2 – 6x = 0

    ⇔ x(x – 6) = 0⇔ x = 0 ∨ x – 6 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 6C.S. = {0, 6}11.2. Se x = 552 – 6 × 5 + k = 0 ⇔ 25 – 30k = 0 ⇔ k = 5C.S. = {5}Substituindo k por 5,

    x2 – 6x + 5 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �62± 4�

    ⇔ x = �22

    � ∨ x = �120�

    ⇔ x = 1 ∨ x = 5C.S. = {1, 5}A outra solução é 1.

    12. Seja � a largura do terremo e c o comprimentodo terreno.� = c – 160 e A = 8000 então,

    � = c – 160 ———⇔

    c × � = 8000 c(c – 160) – 8000

    ——— ⇔

    c2 – 160c – 8000 = 0

    ——— ⇔

    ——— ———⇔ ⇔

    �160

    2± 240� c = –45 ∨ c = 200

    � = 200 – 160 � = 40⇔ ⇔

    ——— c = 200

    R.: O terreno tem 40 metros de largura e 200 metrosde comprimento.

    13. A área do retângulo é dada por A = b × h ouseja, A(2x – 23) × (x + 6).A área do quadrado é dada por A = �2, ou seja, A = (x – 4)2.Como os dois polígonos têm a mesma área(2x – 23) (x + 6) = (x – 4)2

    Resolvendo a equação, obtemos2x2 + 12x – 23x – 138 = x2 – 8x + 16

    ⇔ 2x2 – x2 + 12x – 23x + 8x – 138 – 16 = 0⇔ x2 – 3x – 154 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �3 –225� ∨ x = �3 +

    225�

    ⇔ x = –11 ∨ x = 14

    Como 2x – 23 > 0, então x > �223�. Logo, x = 14.

    R.: x = 14

    14. Recorrendo ao sistema,

    x – 3y ——— ———⇔ ⇔

    x × y = 48 3y × y = 48 y2 = 16

    x = 3 × (–4) x = 3 × 4⇔ ⇔

    y = –4 y = 4

    –(–5) ± (–�5�)2� –� 4� ×� 1� ×� 6����

    2 × 1

    –(–6) ± (–�6�)2� –� 4� ×� 1� ×� 5����

    2 × 1

    160 ± (1�6�0�)2� –� 4� ×� 1��×�(–�8�0�0�0)����

    2 × 1

    –(–3) ± (–�3�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�1�5�4�)�����

    2 × 1

    ⇔ x = 5 ± 2�5� –� 2�4���2

    ⇔ x = 6 ± 3�6� –� 2�0���2

    ⇔ x = 3 ± 6�2�5���2

  • 25

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    x = –12 x = 12⇔ ∨

    y = –4 y = 4

    C.S. = {(–12, –4), (12, 4)}R.: Como os números são positivos, então são 12 e 4.

    15.15.1. 2x2 – 20x + 5 = (2x2 – 20x) + 5 == 2(x2 – 10x) + 5 == 2(x2 – 10x + 25) + 5 – 50 == 2(x – 5)2 – 45

    15.2. 3x2 + 12x – 1 = (3x2 + 12x) – 1 == 3(x2 – 4x) – 1 == 3(x2 + 4x + 4) – 1 – 12 == 3(x + 2)2 – 13

    1616.1. 2x2 + 20x – 1 = (2x2 + 20) – 1 == 2(x2 + 10) – 1 = = 2(x2 + 10x + 25) – 1 – 50 == 2(x + 5)2 – 5116.2. 3x2 – 18x + 15 = (3x2 – 18x) + 15 == 3(x2 – 6x) + 15 == 3(x2 – 6x + 9) + 15 – 27 == 3(x – 3)2 – 1216.3. –x2 – 4x – 20 = (–x2 – 4x) – 20 == –(x2 + 4x) – 20 == –(x2 + 4x + 4) – 20 + 4 == –(x + 2)2 – 1616.4. 4x2 – 4x – 17 = (4x2 – 4x) – 17 == 4(x2 – x) – 17 =

    = 4�x2 – x + �14�� – 17 – 1 == 4�x – �12��

    2– 18

    17.17.1. (x – 4)2 = 25⇔ x = –4 = –2�5� ∨ x – 4 = 2�5�⇔ x – 5 + 4 ∨ x = 5 + 4⇔ x = –1 ∨ x = 9C.S. = {–1, 9}17.2. x2 + 8x – 9 = 0⇔ x2 + 8x = 9⇔ x2 + 8x + 16 = 9 + 16⇔ (x + 4)2 = 25⇔ x + 4 = –2�5� ∨ x + 4 = 2�5�

    ⇔ x = –5 – 4 ∨ x = 5 – 4⇔ x = –9 ∨ x = 1C.S. = {–9, 1}17.3. x2 = 4(x + 3)⇔ x2 = 4x + 12⇔ x2 – 4x = 12⇔ x – 4x + 4 = 12 + 4⇔ (x – 2)2 = 16⇔ x – 2 = –1�6� ∨ x – 2 = 1�6�⇔ x = –4 + 2 ∨ x = 4 + 2 ⇔ x = –2 ∨ x = 6C.S. = {–2, 6}17.4. 3x2 – 30x + 75 = 0⇔ 3(x2 – 10x) + 75 = 0⇔ 3(x2 – 10x + 25) + 75 – 75 = 0⇔ (x – 5)2 = 0⇔ x – 5 = 0⇔ x = 5C.S. = {5}

    18.18.1. (x + 2)2 = 3x�x + �23��⇔ x2 + 4x + 4 = 3x2 + 2x⇔ x2 – 3x2 + 4x – 2x + 4 = 0⇔ –2x2 + 2x + 4 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–2–±46

    ⇔ x = �–44� ∨ x = �–

    –84�

    ⇔ x = –1 ∨ x = 2C.S. = {–1, 2}

    18.2. �(2x2–42)2

    � – �142� – �

    23x� = 1

    (×2) (×8) (×24)

    ⇔ 4x2 – 8x + 4 – 8 – 16x = 24⇔ 4x2 – 24x – 28 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �24 –832

    � ∨ x = �24 +832

    ⇔ x = –1 ∨ x = 7C.S. = {–1, 7}

    –2 ± (–�2�)2� –� 4� ×� (�–�2�)�×� 4�����

    2 × (–2)

    24 ± (–�2�4�)2� –� 4� ×� 4� ×� (�–�2�8�)�����

    2 × 4

    ⇔ x = –2 ± 4� +� 3�2���–4

    ⇔ x = 24 ± 1�0�2�4���8

  • RESOLUÇÕES26

    A_Prova

    18.3. (x + 3)2 + 2 = 2x2 + x + 5⇔ x2 + 6x + 9 + 2 – 2x2 – x – 5 = 0⇔ –x2 + 5x + 6 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–5–2± 7�

    ⇔ x = �––122

    � ∨ x = �–22�

    ⇔ x = 6 ∨ x = –1C.S. = {–1, 6}18.4. 2(x – 1) (x + 1) = 3x⇔ 2(x2 – 1) – 3x = 0⇔ 2x2 – 2 – 3x = 0⇔ 2x2 – 3x – 2 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �34± 5�

    ⇔ x = �3 –45

    � ∨ x = �3 +45

    ⇔ x = – �12

    � ∨ x = 2

    C.S. = �– �12�, 2�19. Como o ponto A pertence ao gráfico da funçãof, para determinar o valor de a basta substituir x e yna expressão f (x) = 2x – 3, pelas coordenadas doponto A. Ou seja,f (x) = 2x – 3y = 2x – 3

    ⇔ a2 = 2 ��a +215�� –3

    ⇔ a2 = a + 15 – 3⇔ a2 – a – 12 = 0

    ⇔ a =

    ⇔ a =

    ⇔ a = �12± 7�

    ⇔ a = – �62

    � ∨ a = �82

    ⇔ a = –3 ∨ a = 4C.S. = {–3, 4}

    Se a – 3, A��–3 +215

    � ; (–3)2� = (6,9)Se a = 4, A��4 +2

    15�, 42� = ��12

    9�, 16�

    20. 20.1. A equação tem uma solução dupla se � = 0,então, como � = b2 – 4ac, temos b2 – 4ac = 0.

    (–1)2 – 4 × 2 × k = 0⇔ –8k = –1

    ⇔ k = �18

    C.S. = ��18��R.: k > �

    18

    20.2. A equação admite duas soluções distintas se� > 0, ou seja,

    –8k + 1 > 0⇔ –8k > –1⇔ 8k < 1

    ⇔ k < �18

    C.S. = �–�, �18��R.: k ∈ �+�, �18��20.3. A equação é impossível se � < 0, ou seja,

    –8k + 1 < 0⇔ –8k < –1

    ⇔ k = �18

    C.S. = ��18�, +��R.: k ∈ ��18�, +��20.4. Se –5 é solução da equação então

    2 × (–5)2 – (–5) + k = 0⇔ 2 × 25 + 5 + k = 0⇔ k = –55C.S. = {–55}R.: k = –55

    –5 ± 5�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� 6����

    2 × (–1)

    –(–3) ± (–�3�)2� –� 4� ×� 2� ×� (�–�2�)�����

    2 × 2

    –(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�1�2�)�����

    2 × 1

    1 ± 4�9���

    2

    ⇔ x = –5 ± 2�5� +� 2�4���–2

    ⇔ x = 3 ± 9� +� 1�6���4

    ⇔ a = 1 + 1� +� 4�8���2

  • 27

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    21. Como Asombreado = A[ACEF] – A[BCDG], entãoA[ACEF] = x × x = x2 cm2

    A[BCDG] = 102 = 100 cm2

    A[ACEF] – A[BCDG] = x2 – 100Com a área da região sombreada é igual a 156 cm2,entãox2 – 100 = 156

    ⇔ x2 = 256⇔ x = ± 2�5�6�⇔ x = –16 ∨ x = 16Como x > 10, então x = 16.R.: x = 16 cm

    22. Como 4 é solução da equação, basta substituir xpor 4.

    –k × 42 + 4(4 + 4) = 0⇔ –16k + 32 = 0⇔ k = 2C.S. = {2}Substituindo k por 2 na equação –kx2 + 4(x + 4) = 0obtemos: –2x2 + 4x + 16 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–4––412

    � ∨ x = �–4–+412

    ⇔ x = 4 ∨ x = –2C.S. = {–2, 4}R.: A outra soluçao é –2.

    23. y = x2 e y = 2(x + 1)2 – 7Para determinar a abcissa do ponto de interseçãodas duas parábolas, basta resolver a equação.x2 = 2(x + 1)2 – 7⇔ x2 = 2(x2 + 2x + 1) – 7⇔ x2 = 2x2 + 4x + 2 – 7⇔ x2 –2x2 – 4x – 2 + 7 = 0⇔ –x2 – 4x + 5 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �4–±26

    ⇔ x = �––22� ∨ x = �1

    –02�

    ⇔ x = 1 ∨ x = –5

    C.S. = {–5, 1}Como a abcissa do ponto A é 1, então a ordenada é y = 12 ⇔ y = 1R.: As coordenadas do ponto A são (1, 1).

    24. Considerando x e y as dimensões do terreno esabendo que o terreno tem 3200 m2 de área, obte-mos a equação x × y = 3200.Como foi utilizado 220 metros de rede,

    2x + y + y – 20 = 220⇔ 2x + 2y = 240⇔ x + y = 120 Escrevendo o sistemax × y = 3200

    x + y = 120

    Para obter o valor de x e o valor de y resolvemos osistema

    x × y = 3200 (120 – y) × y = 3200⇔

    x + y = 120 x = 120 – y

    120y – y2 = 3200 y2 – 120y + 3200 = 0⇔ ⇔

    ——— ———

    y = ⇔

    ———

    y =

    ⇔ ———

    y = x = �120

    2± 40� y = 40 y = 80

    ⇔ ⇔ ⇔ ——— x = 80 x = 40

    R.: As dimensões do terreno são 40 metros de largu-ra e 80 metros de comprimento.

    25. A área atual do parque é 700 m2, ou seja,20 × y = 700.O novo parque terá 1000 m2 de área, ou seja,(x + 20) × (x + y) = 1000Como 20 × y = 700 então y = 35.Substituindo o y por 35 na equação(x + 20) × (x + y) = 1000 obtemos

    –4 ± 4�2�–� 4� ×� (�–�2�)�×� (�1�6�)�����

    2 × (–2)

    –(–4) ± (–�4�)2� –� 4� ×� (�–�1�)�×� 5�����

    2 × (–1)

    –(–120) ± (–�1�2�0�)2� –� 4� ×� 1� ×� 3�2�0�0������

    2 × 1

    120 ± 1�4� 4�0�0� –� 1�2� 8�0�0����

    2

    ⇔ x = –4 ± 1�4�4���–4

    ⇔ x = 4 ± 3�6���–2

  • RESOLUÇÕES28

    A_Prova

    (x + 20) × (x + 35) = 1000⇔ x2 + 35x + 20x + 700 – 1000 = 0⇔ x2 + 55x – 300 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–552± 65�

    ⇔ x = –60 ∨ x = 5C.S. = {–60, 5}Como x > 0 então x = 5.x + 20 = 5 + 20 = 25 e y + x = 35 + 5 = 40R.: As dimensões do novo parque de estacionamen-to são 25 metros de largura e 40 metros de compri-mento.

    26. Como x = –2 ∨ x = 5, então (x + 2)(x – 5) = 0,simplificando a equação temosx2 – 5x + 2x – 10 = 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0

    27.27.1. Substituindo k por 2, obtemos

    –2x2 – 2x + 4 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �2–±46

    ⇔ x = �–44� ∨ x = �

    –84�

    ⇔ x = 1 ∨ x = –2C.S. = {–2, 1}27.2. Uma equação do 2.o grau admite duas solu-ções distintas se � > 0, então b2 – 4ac = (–k)2 – 4 × (–2) × 4 = k2 + 32 k2 + 32 é sempre maior do que zero.

    28. Escrevendo o sistema,

    x + y = 4 x = 4 – y ———⇔ ⇔

    x × y = 3 (4 – y)y = 3 4y – y2 = 3

    ———⇔

    –y2 + 4y – 3 = 0

    ———⇔

    y =

    ——— x = 1 x = 3⇔ ⇔ ∨

    y = y = 3 y = 1

    Obtêm-se os pontos (1, 3) e (3, 1).Se x = 1 e y = 3, 2x – 3y = 2 × 1 – 3 × 3 = –7.Se x = 3 e y = 1, 2x – 3y = 2 × 3 – 3 × 1 = 3.

    29. Uma equação do 2.o grau admite duas soluçõesdistintas se � > 0, então (–a)2 – 4(–1) × 5 = a2 + 20.a2 + 20 é sempre maior do que zero.

    30. Como a equação admite duas soluções distintas,� > 0, com a = 2, b = 3 e c = –b.� = 32 – 4 × 2 × (–b) = 9 + 8bPor exemplo, se b = 1, 9 + 8b > 0.

    31. (x2 + 12x + 32) (x2 – 5) = 0⇔ x2 + 12x + 32 = 0 ∨ x2 – 5 = 0

    ⇔ x = ∨ x2 = 5

    ⇔ x = ∨ x = –5� ∨ x = 5�

    ⇔ x = �–122– 4� ∨ x = �–12

    2+ 4� ∨ x = –5� ∨ x = 5�

    ⇔ x = –8 ∨ x = –4 ∨ x = –5� ∨ x = 5�C.S. = {–8, –4, –5�, 5�}–8 × (–4) × (–5�) × 5� = –160

    32. Considerando c o comprimento e � a largura,como o seu comprimento é igual a 200 cm, então2c + 2� = 200.Se a área é igual a 2400 cm2, c × � = 2400.O sistema que traduz o enunciado é2c + 2c = 200

    c × � = 2400

    –55 ± 5�5�2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�3�0�0�)�����

    2 × 1

    –55 ± 4�2�2�5���

    2

    –(–2) ± (–�2�)2� –� 4� ×� (�–�2�)�×� 4�����

    2 × (–2)

    4 ± 4�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�3�)�����

    2 × (–1)

    –4 ± 1�6� –� 1�2���

    –2

    –12 ± 12�2�–� 4� ×� 1� ×� (�3�2�)����

    2 × 1

    –12 ± 1�6���

    2

    ⇔ x = –55 ± 3�0�2�5� +� 1�2�0�0����2

    ⇔ x = 2 ± 4� +� 3�2���–4

    ⇔ x = ∨ x = ± 5�–12 ± 1�4�4� –� 1�2�8����2

  • 29

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    Resolvendo o sistema, obtém-se:

    c = c = 100 – �

    ⇔ ⇔ ——— (100 – �) × � = 2400

    ——— ———⇔ ⇔

    100� – �2 – 2400 = 0 –�2 + 100� – 2400 = 0

    ——— ———⇔

    � =

    ——— ———⇔ ⇔

    � = � = �–10

    –02± 20�

    c = 100 – 60 c = 100 – 40⇔ ∨

    � = 60 � = 40

    c = 40 c = 60⇔ ∨

    � = 60 � = 40

    R.: As dimensões do retângulo são 40 cm de largurae 60 cm de comprimento.

    33.33.1. Os pontos A e B são os pontos de interseçãodos dois gráficos, então:

    –x2 + 2 = –x⇔ –x2 + x + 2 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–1–2± 3�

    ⇔ x = –1 ∨ x = 2C.S. = {–1, 2}As abcissas dos pontos A e B são respetivamente –1e 2.Para determinar as ordenadas, basta substituir ovalor de cada uma das abcissas numa das equações,yA = –(–1) = 1, a ordenada de A é 1.yB = –2 = –2, a ordenada de B é –2.Logo, A(–1, 1) e B(2, –2).33.2. Os pontos C e D têm ordenada nula e perten-cem ao gráfico de função f.

    Basta substituir y por zero e determinar as abcissasde C e de D.y = –x2 + 2 ⇔ –x2 + 2 = 0 ⇔ –x2 = –2 ⇔ x = ± 2� ⇔ x = –2� ∨ x = 2�C.S. = {–2�, 2�}As abcissas dos pontos C e D são respetivamente–2� e 2�.C(–2�, 0) D(2�, 0)

    A[BCD] = �b ×2

    h�

    A[BCD] = = 22�

    R.: A[BCD] = 22� u.a.

    34.34.1. A área do quadrado de lado [AP] é igual a 32 = 9 u.a.34.2. P�B� = A�B� – A�P�P�B� = 12 – xEntão a área do quadrado de lado [PB] é igual a (12 – x)2

    A = (12 – x)2

    34.3. A área do quadrado de lado [PB] é igual a(12 – x)2.A área do quadrado de lado [AP] é igual a x2.Então, (12 – x)2 = 25 × x2.Para determinar o valor de x basta resolver a equa-ção anterior.

    144 – 24x + x2 – 25x2 = 0⇔ –24x2 – 24x + 144 = 0⇔ x2 + x – 6 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �–12± 5�

    ⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}Como 0 < x < 12, então x = 2.

    3535.1. Recorrendo ao teorema de Pitágoras,h2 = c1

    2 + c22

    52 = 32 + C�D�2

    ⇔ C�D�2 = 25 – 9

    ⇔ C�D�2 = 16

    200 – 2��

    2

    –100 ± 1�0�0�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�2�4�0�0�)������

    2 × (–1)

    –100 ± 4�0�0����

    –2

    –1 ± 1�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� 2����

    2 × (–1)

    2 × 2� × 2 ��

    2

    –1 ± 1�2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)����

    2 × 1

    ⇔ x = –1 ± 1� +� 8���–2

    ⇔ x = –1 ± 2�5���2

  • RESOLUÇÕES30

    A_Prova

    ⇔ C�D� = ± 1�6� ⇔ C�D� = 4↓

    C�D� > 0

    R.: C�D� = 4 u.c.35.2. Como os triângulos são semelhantes, então

    �h4

    � = ⇔ 3h = 12 – 4 �x2

    ⇔ h = �123– 2x�

    ⇔ h = 4 – �23

    � x

    35.3. Atotal = A[ABC] = �b ×2

    h�

    A[ABC] = �6 ×2

    4� = �

    224� = 12 u.a.

    A área ocupada pelo preçário é dada por A� = b × h.

    x × h = x × �4 – �23� x� = 4x – �23

    � x2

    A área destinada às fotografias é igual à diferençaentre a área total e a área do preçário. Então,

    12 – �4x – �23� x2� = �23

    � x2 – 4x + 12

    35.4. Como a expressão de área do preçário é igual a

    4x – �23

    � x2, então 4x – �23

    � x2 = 6

    ⇔ – �23

    � x2 + 4x – 6 = 0

    ⇔ –2x2 + 12x – 18 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �142�

    ⇔ x = 3C.S. = {3}R.: x = 3

    36.36.1. Como a abcissa de A é x e pertence ao gráficoda função y = 2x2, então A(x, 2x2).36.2. Os pontos A e B têm a mesma ordenada,então B(0, 18). Como A pertence ao gráfico da fun-ção y = 2x2, então 2x2 = 18 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3 ⇔ x = 3 (x > 0)Logo, A(3, 9).

    A[AOB] = �b ×2

    h�

    A[AOB] = �18

    2× 9� = 81 u.a.

    36.3. Como B tem a mesma ordenada que A, entãoB(0, 2x2).Logo, A[AOB] = �

    x ×22x2� = x3

    37. A caixa tem 588 cm3 de volume e os quadradoscortados têm 9 cm2 de área9� = 3 cm, lado do quadrado recortadox – 6, lado da base da caixaV = 588

    (x – 6)(x – 6) × 3 = 588⇔ 3 × (x2 – 12x + 36) – 588 = 0⇔ 3x2 – 36x + 108 – 588 = 0⇔ 3x2 – 36x – 480 = 0

    ⇔ x =

    ⇔ x = �366± 84�

    ⇔ x = –8 ∨ x = 20⇔ x = 20 cm

    ↓x > 0

    R.: A folha de papel tinha 20 cm de lado.

    38.38.1. Para determinar a altura do 2.o poste, basta

    substituir x por 30 na expressão �410� (x – 10)2 + 5, ou

    seja,

    �410� (30 – 10)2 + 5 = �

    410� × 202 + 5 = �4

    4000

    � + 5 = 15

    R.: O 2.o poste tem 15 metros de altura.

    38.2. Se o ponto situa-se a 5 metros de altura, basta

    igualar a expressão �410� (x – 10)2 + 5 a 5, e resolver

    a equação

    �410� (x – 10)2 + 5 = 5

    ⇔ �410� (x – 10)2 = 0

    ⇔ (x – 10)2 = 0⇔ x – 10 = 0⇔ x = 10C.S. = {10}R.: O ponto situa-se a 10 metros de distância do 1.o poste.

    –12 ± 1�2�2�–� 4� ×� (�–�2�)�×� (�–��18�)�����

    2 × (–2)

    36 ± (–�3�6�)2� –� 4� ×� 3� ×� (�–�4�8�0�)�����

    2 × 3

    3 – �x

    2�

    �3

    ⇔ x = –12 ± 1�4�4� –� 1�4�4����–4

    ⇔ x = 36 ± 1�2�9�6� +� 5�7�6�0����6

  • 31

    Matemática – 9.º Ano

    RESOLUÇÕES

    Relação de ordem. Intervalos. Inequações

    Praticar – páginas 124 a 129

    1.1.1. Se y < 11 ⇔ y + 4 < 11 + 4 ⇔ y + 4 < 151.2. Se y < 11 ⇔ 2y < 11 × 2 ⇔ 2y < 221.3. Se y < 11 ⇔ 5y < 11 × 5 ⇔ 5y < 55⇔ 5y – 10 < 55 – 10 ⇔ 5y – 10 < 45

    2.2.1. –5 < x < 10⇔ –5 – 3 < x – 3 < 10 – 3 ⇔ –8 < x – 3 < 72.2. –5 < x < 10⇔ –5 × 2 < 2x < 10 × 2⇔ –10 < 2x < 202.3. –5 < x < 10⇔ –5 × 4 < 4x < 10 × 4⇔ –20 < 4x < 40⇔ –20 – 1 < 4x – 1 < 40 – 1⇔ –21 < 4x – 1 < 39

    3.3.1. O perímetro é igual à soma de todos os ladosP = 1 + 1 + 2� = 2 + 2�3.2. Se 1,414 < 2� < 1,415 então 2 + 1,414 < 2 + 2� < 2 + 1,415⇔ 3,414 < 2 + 2� < 3,415

    4.4.1. a > b ⇔ 2 × a > 2 × b4.2. a > b ⇔ –a < –b4.3. a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ –3a < –3b4.4. a > b ⇔ a – 3 > b – 34.5. a > b ⇔ –a < –b ⇔ –a + 5 < –b + 54.6. a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a – 2 > 3b – 2

    5.5.1. [2, 6]

    5.2. [–4, 2]

    5.3. [–4, 2[

    5.4. ]–3, 3[

    5.5. ]–5, 6]

    5.6. [–2, 1]

    6.6.1. x > –3 ∧ x ≤ 1 ⇔ –3 < x ≤ 1R.: ]–3, 1] e –3 < x ≤ 16.2. x ≥ –7 ∧ x ≤ –5 ⇔ –7 ≤ x ≤ –5R.: [–7, –5] e –7 ≤ x ≤ –56.3. ]–7, + �[ e x > –76.4. ]–�, 3] e x ≤ 36.5. x > –11 ∧ x ≤ –3 ⇔ –11 < x ≤ –3R.: [–11, –3] e –11 < x ≤ –36.6. ]–�, 700] e x ≤ 700

    7.7.1.

    7.2.

    8. C = [–2, 1�0�[, 1�0� ≈ 3,168.1. São todos os números inteiros compreendidosentre –2 e 3, ou seja, –2, –1, 0, 1, 2 e 3.8.2. c = {x ∈ R: –2 ≤ x ≤ 1�0�}

    9. 9.1. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: [0, 10] 9.2. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: ]–4, 7[

    2 3 4 5 6 71

    –4 –1–2–3 0 1 2 3–5

    –4 –1–2–3 0 1 2 3–5

    –3 0 3

    –5 0 6

    –2 –1 0 1 2–3

    0 9 +∞–∞

    –3 0 +∞–∞

    –2 0 1410

    –4 0 2 75

  • RESOLUÇÕES32

    A_Prova

    9.3. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: ]–1, 7]9.4. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: [6, 18] 9.5. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: [–3, 11[ 9.6. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: ]–�, 17] 9.7. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: ]–4, +�[ 9.8. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: ∅9.9. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: {2}9.10. Geometricamente:

    Na forma de intervalo: ]–�, 22]

    10.10.1. 2x – 3 ≥ 3⇔ 2x ≥ 3 + 3⇔ 2x ≥ 6

    ⇔ x ≥ �62

    ⇔ x ≥ 3C.S. = [3, +�[

    10.2. 5f – 10 < 0⇔ 5f < 10

    ⇔ f < �150�

    ⇔ f < 2C.S. = ]–�, 2[10.3. 5g + 2 < 14 – g⇔ 5g + g > 14 – 2⇔ 6g > 12

    ⇔ g > �162�

    ⇔ g > 2C.S. = ]2, +�[10.4. 4x – 10 ≥ 2x + 16⇔ 4x – 2x ≥ 16 + 10⇔ 2x ≥ 26

    ⇔ x ≥ �226�

    ⇔ x ≥ 14C.S. = [13, +�[10.5. 5