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1 Matemática – 9.º Ano RESOLUÇÕES Tema 4 – Álgebra Praticar – páginas 88 a 93 1. 1.1. 2x + 30 1.2. 2(x + 30) 1.3. 5 + 15x 1.4. 4x – 7 2. 2.1. 1,30 – 12 representa a poupança em 1 kg. Então em 20 kg poupa 20 × (1,30 – 1,20) Logo, a opção correta é a [A]. 2.2. x × (1,30 – 1,20) = x × 0,10 = 0,10x = 1 1 0 x 3. 3.1. 5x – 6 – x – 4 5x x = –4 + 6 4x = 2 2x = 1 3.2. 2(x – 6) = 3x – 1 2x – 12 = 3x – 1 2x – 3x = –1 + 12 x = 11 4. 4.1. x + 7 = 5 x = 5 – 7 x = –2 C.S. = {–2} 4.2. x – 11 = 12 x = 12 + 11 x = 23 C.S. = {23} 4.3. 2x – 1 = 2x + 3 2x – 2x = 3 + 1 0x = 4 C.S. = { } Equação impossível. 4.4. 3x = 18 x = 1 3 8 x = 6 C.S. = {6} 4.5. 3 x = 11 x = 33 C.S. = {33} 4.6. 2x 5 – 1 = 2 2x – 1 = 10 2x = 10 + 1 2x = 11 x = 1 2 1 C.S. = 1 2 1 4.7. 2(x – 5) = –x – 4 2x – 10 = –x – 4 2x + x = –4 + 10 3x = 6 x = 6 3 x = 2 C.S. = {2} 4.8. –(x – 1) + 3 = 2 x 1 x + 1 1 + 3 1 = 2 x (×2) (×2) (×2) –2x + 2 + 6 = x –2x x = –2 – 6 –3x = –8 x = 8 3 C.S. = 8 3 4.9. 3 2 x 1 1 = x + 2 1 (×2) 3x – 2 = x + 1 3x x = 1 + 2 2x = 3 x = 3 2 C.S. = 3 2 5. [A] –3 × (–3) + 4 = 9 + 4 = 13 –13 [B] –(–3) + 5 = 3 + 5 = 8 2 [C] 2(–3 + 4) = 2 × 1 = 2, a afirmação é verdadeira. [D] 11 + (–3) = 8 14 Logo, a opção correta é a [C]. 6. Para verificar se 8 é solução de equação, basta substituir x por 8 e verificar a veracidade. 2(8 – 1) = 8 4 – (2 × 8 – 4)

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1

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

Tema 4 – ÁlgebraPraticar – páginas 88 a 93

1.1.1. 2x + 301.2. 2(x + 30)1.3. 5 + 15x1.4. 4x – 7

2.2.1. 1,30 – 12 → representa a poupança em 1 kg.Então em 20 kg poupa 20 × (1,30 – 1,20)Logo, a opção correta é a [A].2.2. x × (1,30 – 1,20) = x × 0,10 = 0,10x = �

110�x

3.3.1. 5x – 6 – x – 4⇔ 5x – x = –4 + 6⇔ 4x = 2⇔ 2x = 13.2. 2(x – 6) = 3x – 1⇔ 2x – 12 = 3x – 1⇔ 2x – 3x = –1 + 12⇔ –x = 11

4.4.1. x + 7 = 5⇔ x = 5 – 7⇔ x = –2C.S. = {–2}4.2. x – 11 = 12⇔ x = 12 + 11⇔ x = 23C.S. = {23}4.3. 2x – 1 = 2x + 3⇔ 2x – 2x = 3 + 1⇔ 0x = 4C.S. = { } Equação impossível.4.4. 3x = 18

⇔ x = �138�

⇔ x = 6C.S. = {6}

4.5. �3x� = 11

⇔ x = 33

C.S. = {33}

4.6. �2x5– 1� = 2

⇔ 2x – 1 = 10⇔ 2x = 10 + 1⇔ 2x = 11

⇔ x = �121�

C.S. = ��121��

4.7. 2(x – 5) = –x – 4⇔ 2x – 10 = –x – 4⇔ 2x + x = –4 + 10⇔ 3x = 6

⇔ x = �63

⇔ x = 2C.S. = {2}

4.8. –(x – 1) + 3 = �2x�

⇔ – �1x� + �

11

� + �31

� = �2x�

(×2) (×2) (×2)

⇔ –2x + 2 + 6 = x⇔ –2x – x = –2 – 6 ⇔ –3x = –8

⇔ x = �83

C.S. = ��83

��4.9. �

32x� – �

11

� = �x +

21

(×2)

⇔ 3x – 2 = x + 1⇔ 3x – x = 1 + 2⇔ 2x = 3

⇔ x = �32

C.S. = ��32

��5. [A] –3 × (–3) + 4 = 9 + 4 = 13 ≠ –13[B] –(–3) + 5 = 3 + 5 = 8 ≠ 2[C] 2(–3 + 4) = 2 × 1 = 2, a afirmação é verdadeira.[D] 11 + (–3) = 8 ≠ 14Logo, a opção correta é a [C].

6. Para verificar se 8 é solução de equação, bastasubstituir x por 8 e verificar a veracidade.

2(8 – 1) = �84

� – (2 × 8 – 4)

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RESOLUÇÕES2

A_Prova

⇔ 2 × 7 = 2 – (16 – 4)⇔ 14 = 2 – (12)⇔ 14 = –10 FalsoEntão, 8 não é solução da equação.

7. un = �2n

3– 4�

7.1. u8 = �2 × 8

3– 4

� = 4

7.2. un = 78

�2n

3– 4� = 78

⇔ 2n – 4 = 234⇔ 2n = 234 – 4 ⇔ 2n = 230

⇔ n = �2320

⇔ n = 115 R.: 78 é o termo de ordem 115.

8. Seja x a idade atual da Maria. Assim, x + 5 é aidade da Maria daqui a 5 anos e x – 5 é a idade daMaria há 5 anos.

x + 5 = 3(x – 5)⇔ x + 5 = 3x – 15⇔ x – 3x = –15 – 5⇔ –2x = –20

⇔ x = �––220

⇔ x = 10C.S. = {10}R.: A idade atual da Maria é 10 anos.

9. Seja x o peso de uma esfera.9.1. Como o peso total é 13 kg, então4 + x + 6 = 13 ⇔ x = 13 – 4 – 6 ⇔ x = 3C.S. = {3}R.: A esfera pesa 3 kg.9.2. 3x = x + 5 ⇔ 3x – x = 5

⇔ 2x = 5 ⇔ x = �52

⇔ x = 2,5C.S. = {2,5}R.: Cada esfera pesa 2,5 kg.9.3. 3x + 5 = 18⇔ 3x = 18 – 5⇔ 3x = 13

⇔ x = �133�

C.S.: = �133�

R.: Cada esfera pesa �133� kg.

10. Ppentágono = 3 × Ptriângulo

10.1. 5 × 6 = 3 × 3x ⇔ 9x = 30

10.2. 9x = 30 ⇔ x = �390� ⇔ x = �

130�

C.S. = ��130��

Logo, P = 3 × �130� = 10

R.: P = 10 cm

11.11.1. O perímetro é igual à soma de todos os ladosdo polígono.Logo, P = x + 2x + 2 + x + 8 + 3x – 1 == x + 2x + x + 3x + 2 + 8 – 1 == 7x + 911.2. Se x = 3P = 7 × 3 + 9 = 30 cmLogo, a opção correta é a [B].11.3. P = 17,47x + 9 = 17,4⇔ 7x = 17,4 – 9⇔ 7x = 8,4

⇔ �71

� x = �452�

(×5)

⇔ 35x = 42

⇔ x = �4375�

⇔ x = �65

⇔ x = 1,2C.S. = {1,2}

12. f(x) = g(x) ⇔ 2x + 4 = 6x – 412.1. a) primeiro membro: 2x + 4b) incógnita: xc) segundo membro: 6x – 412.2. 2 × 4 + 4 = 6 × 4 – 4⇔ 8 + 4 = 24 – 4⇔ 12 = 20 FalsoR.: 4 não é solução da equação f(x) = g(x).12.3. f(x) = g(x)2x + 4 = 6x – 4

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3

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

⇔ 2x – 6x = –4 – 4⇔ –4x = –8

⇔ x = �––84�

⇔ x = 2C.S. = {2}

13. Sejam n, n + 1 e n + 2 três números inteirosconsecutivos.Assim, n + n + 1 + n + 2 = 99⇔ n + n + n = 99 – 1 – 2⇔ 3n = 96

⇔ n = �936�

⇔ n = 32C.S. = {32}Logo,n = 32n + 1 = 33n + 2 = 34R.: Os números são 32, 33 e 34.

14.14.1. Como 40 € é um valor constante e os 15 € éem função do tempo, C = 40 + 15n.Logo, a opção correta é a [B].14.2. n = 3C = 40 + 15 × 3 = 40 + 45 = 85R.: O Guilherme pagará 85 €.14.3. C = 19040 + 15n = 190⇔ 15n = 190 – 40⇔ 15n = 150

⇔ n = �11550

⇔ n = 10C.S. = {10}R.: A intervenção em casa do André demorou 10horas.

15.15.1. 2x – 4 = x + 8⇔ 2x – x = 8 + 4⇔ x = 12C.S. = {12}15.2. 3x – 11 = –x + 1⇔ 3x + x = 1 + 11⇔ 4x = 12

⇔ x = �142�

⇔ x = 3C.S. = {3}15.3. 2x – 5 = 2x –4⇔ 2x – 2x = –4 + 5⇔ 0x = 1Equação impossível. C.S. = { }15.4. 3(x – 2) = 3x – 5⇔ 3x – 6 = 3x – 5⇔ 3x – 3x = –5 + 6⇔ 0x = 1Equação impossível. C.S. = { }15.5. 2(x – 2) = 4(x – 1) – 2x⇔ 2x – 4 = 4x – 4 – 2x⇔ 2x – 4x + 2x = –4 + 4⇔ 0x = 0Equação possível e indeterminada. C.S. = Q15.6. �

2x� – �

41x� = �

61

(×2) (×2)

⇔ x – 8x = 12⇔ –7x = 12

⇔ x = �1–27�

⇔ x = – �172�

C.S. = �– �172��

15.7. �x +2

1� = 15

(×2)

⇔ x + 1 = 30⇔ x = 30 – 1⇔ x = 29C.S. = {29}

15.8. 4 – �2x

3– 1� = 10

(×2) (×2)

⇔ 12 – 2x + 1 = 30⇔ –2x = 30 – 12 – 1⇔ –2x = 17

⇔ x = – �127�

C.S. = �– �127��

15.9. 2(3 – x) – �3x� = �

x –2

3�

⇔ 6 – 2x – �3x� = �

x –2

3�

(×6) (×6) (×2) (×3)

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RESOLUÇÕES4

A_Prova

⇔ 36 – 12x – 2x = 3x – 9⇔ –12x – 2x – 3x = –9 – 36⇔ –17x = –45

⇔ x = �4157�

C.S. = ��4157��

15.10. 1 – �x –

41

� = �3(x

2+ 1)�

⇔ �11

� – �x –

41

� = �3x

2+ 3�

(×4) (×2)

⇔ 4 – x + 1 = 6x + 6⇔ –x – 6x = 6 – 4 – 1⇔ –7x = 1

⇔ x = – �17

C.S. = �– �17

��16.16.1. Se a imagem é zero, então g(x) = 0.

3 – �23

� (2 – 3x) = 0

⇔ �31

� – �43

� + �63

�x = 0 (×3)

⇔ 9 – 4 + 6x⇔ 6x = –9 + 4⇔ 6x = –5

⇔ x = – �56

C.S. = �– �56

��R.: – �

56

� é o zero da função g.

16.2. f (x) = g(x)

2(x – 3) + �12

� = 3 – �23

� (2 – 3x)

⇔ 2 – 6 + �12

� = 3 – �43

� + �63

� x

(×6) (×6) (×3) (×6) (×2) (×2)

⇔ 12x – 36 + 3 = 18 – 8 + 12x⇔ 12x – 12x = 18 – 8 + 36 – 3⇔ 0x = 43 Equação impossível.C.S. = { }

17. A opção [A] não é correta porque4 × (–5) – 5 = 5(2 × (–5) – 13)

⇔ –20 – 5 = 5(–10 – 13)

⇔ –25 = 5 × (–23) FalsoAs equações são equivalentes se tiverem o mesmoconjunto-solução.

Resolvendo-as,• 4x – 5 = 5(2x – 13) ⇔ 4x – 5 = 10x – 65⇔ 4x – 10x = –65 + 5⇔ –6x = –60

⇔ x = �––660

⇔ x = 10C.S. = {10}

• �2(x

3+ 2)� = 8

⇔ �2x

3+ 4� = �

81

(×3)

⇔ 2x + 4 = 24⇔ 2x = 24 – 4 ⇔ 2x = 20

⇔ x = �220�

⇔ x = 10C.S. = {10} Logo, as equações são equivalentes e a opção [B] éa correta.A opção [C] não é a correta porque a equação épossível e determinada, C.S. = {10}A opção [D] não é a correta porque a equação épossível e determinada, C.S. = {10}Logo, a opção correta é a [B].

18. Seja x a herança deixada à Teresa. Assim, x + 50 000 representa a herança deixada àAna.

x + x + 50 000 = 200 000⇔ 2x = 200 000 – 50 000⇔ 2x = 150 000

⇔ x = �150

2000�

⇔ x = 75 000Logo, x + 50 000 = 75 000 + 50 000 = 125 000R.: A herança da Ana foi 125 000€.

19. Como A = �b ×

2h

� e a área é igual a 40 cm2, então

40 = �b ×

28

� ⇔ b = �880� ⇔ b = 10 cm

R.: A base tem 10 cm de comprimento.

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5

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

20. Seja x o número de rosas vermelhas. Assim, 2x éo número de rosas amarelas. Como existem 36 rosasno total, temos:

x + 2x = 36⇔ 3x = 36

⇔ x = �336�

⇔ x = 12Logo, 2x × 12 = 24R.: O ramo tem 24 rosas amarelas.

21. �25

� — votaram

1 – �25

� = �55

� – �25

� = �35

� — não votaram, que são 81 alunos

81 : �35

� = 81 × �53

� = 135, total de alunos.

R.: A escola do Francisco tem 135 alunos.

22. Como a soma das amplitudes dos ângulos inter-nos de um triângulo é igual a 180o, então

4x + 50 + 6x + x + 20 = 180⇔ 4x + 6x + x = 180 – 50 – 20⇔ 11x = 110

⇔ x = �11110

⇔ x = 10C.S. = {10}Como x = 10, então• 4x + 50 = 4 × 10 + 50 = 90o

• 6x = 6 × 10 = 60o

• x + 20 = 10 + 20 = 30o

O triângulo [ABC] é retângulo, porque um dos ângu-los internos tem 90o de amplitude.

23. 146 – 2 = 144Como são três autocarros, 144 : 3 = 48.Logo, 48 é o número de alunos de dois autocarros.48 + 2 = 50R.: O autocarro mais cheio transportou 50 alunos.

24. 2(x – 3) + 1 = k – 5x24.1. k = –2

2(x – 3) + 1 = –2 – 5x⇔ 2x – 6 + 1 = –2 – 5x⇔ 2x + 5x = –2 + 6 – 1 ⇔ 7x = 3

⇔ x = �37

C.S. = ��37

��

24.2. x = 52(5 – 3) + 1 = k – 5 × 5

⇔ 2 × 2 + 1 = k – 25⇔ –k = –25 – 4 – 1⇔ –k = –30⇔ k = 30

25. d = 100 cmSe um dos quadrados tem mais 20 cm de perímetro,

x + x + 20 = 100⇔ 2x = 100 – 20⇔ 2x = 80

⇔ x = �820�

⇔ x = 40C.S. = {10}Assim, x = 40 cm e x + 20 = 60 cm.R.: O fio de 100 cm foi dividido em dois fios com 40 cm e 60 cm.

26. Seja x o valor do aluguer de uma loja. Assim,x + 0,2x representa o aluguer da loja mais cara.Logo, x + x + 0,2x = 35 000⇔ 2,2x = 35 200

⇔ �2120�k = 35 200

⇔ 22x = 352 000

⇔ x = �352

22000�

⇔ x = 16 000C.S. = {16 000}x = 16 000 €x + 0,2x = 19200 €R.: A renda mensal de cada uma das lojas é 16 000 €e 19 200 €.

27.

27.1. 3(x – 1) + �4x

4+ 2� = �

2x� – (x – 4)

⇔ 3x – 3 + �4x

4+ 2� = �

2x� – x + 4

(×4) (×4) (×2) (×4) (×4)

⇔ 12x – 12 + 4x + 2 = 2x – 4x + 16⇔ 12x + 4x – 2x + 4x = 16 + 12 – 2⇔ 18x = 26

⇔ x = �2168�

⇔ x = �193�

C.S. = ��193��

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RESOLUÇÕES6

A_Prova

27.2. – �3(x

2– 1)� + �

3x� = 0

⇔ – �3x

2– 3� + �

3x� = 0

(×3) (×2)

⇔ –9x + 9 + 2x = 0⇔ –9x + 2x = –9⇔ –7x = –9

⇔ x = �97

C.S. = ��97

��

27.3. 4 – �x –

52

� – = 0,2

⇔ 4 – �x –

52

� – �x – 1

6+ 6� = �

120�

(×30) (×6) (×5) (×3)

⇔ 120 – 6x + 12 – 5x + 5 – 30 = 6⇔ –6x – 5x = 6 – 120 – 12 – 5 + 30⇔ –11x = –101

⇔ x = �11011

C.S. = ��11011

��

27.4. 4x – = –2(–x – 3)

⇔ 4x – �2x

9+ 6� = 2x + 6

(×9) (×9) (×9)

⇔ 36x – 2x – 6 = 18x + 54⇔ 36x – 2x – 18x = 54 + 6⇔ 16x = 60

⇔ x = �6106�

⇔ x = �145�

C.S. = ��145��

28.28.1. Seja x o número de eleitores.

�23

� x + �16

� x + 80 = x

28.2. �23

� x + �16

� x + 80 = x(×2) (×6) (×6)

⇔ 4x + x + 480 = 6x⇔ 4x + x – 6x = –480⇔ –x = –480 ⇔ x = 480C.S. = {480}Como são 480 eleitores, a lista B recebeu 80 votos

��16

�x = �16

� × 480 = 80�.29. Seja x o valor que o Pedro recebeu.

�2x� + �

3x� + 100 = x

(×3) (×2) (×6) (×6)

⇔ 3x + 2x + 6000 = 6x⇔ 3x + 2x – 6x = –6000⇔ –x = –6000⇔ x = 6000C.S. = {6000}Como pagou 23% de imposto, x – 0,23x = 6000.Assim, 0,77x = 6000 ⇔ x = 7792,21R.: O Pedro recebeu 7792,21 € pela venda dos reló-gios.

30. Como f (x) = g(x) ⇔ f (x) – g(x) = 0, o conjunto--solução é o mesmo, ou seja, {1, 2, 3}.Logo, a opção correta é a [D].

31. Traduzindo o problema por uma equação, temos:x + 42 = (13 + x) + (15 + x)

⇔ x – x – x = 13 + 15 – 42⇔ –x = –14⇔ x = 14C.S. = {14}R.: Daqui a 14 anos a idade da mãe será igual à somadas idades dos filhos.

32. Sabemos que f (x) = 3x – 12. 32.1. g(x) = 7 e x = 2. Então, por exemplo, g(x) = 3x + 1.32.2. Por exemplo, 3x – 12 = 3x – 1 é uma equaçãoimpossível, então g(x) = 3x – 1.32.3. Por exemplo, x – 12 = 6x – 24 é uma equaçãopossível e determinada. Então, g(x) = 6x – 24.

�x

2–1� + 3

��3

x – �3x� + 2

��3

⇔ 4 – �x –

52

� – = �120�

�x –

21

� + �62

��2

⇔ 4x – = 2x + 6�3x –

3x – 6�

��3

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7

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

33. Para que f (x) – g(x) seja igual a zero é necessárioque f (x) seja igual a g(x), ou seja, f (x) – g(x) = 0 ⇔ f (x) = g(x)Como f (2) = g(2) = –2 e f(0) = g(0) = 4, entãof (x) – g(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2C.S. = {0, 2}

34. �x –3

1� – (x – 1) = 0

⇔ �x –

31

� – x + 1 = 0(×3) (×3)

⇔ �x –

31

� – �33x� + �

33

� = 0

⇔ x – 1 – 3x + 3 = 0⇔ x – 3x = 1 – 3⇔ –2x = –2⇔ x = 1C.S. = {1}A afirmação falsa é a da opção [B].

35. Seja x o valor que cada um recebeu. Assim, �67

� x

é o valor que o João gastou e �18

� x é o valor com que

o Filipe ficou.

Como o João gastou �67

� x, então ficou �17

� x.

�18

� x + 1 = �17

� x

(7) (56) (8)

⇔ 7x + 56 = 8x⇔ 7x – 8x = –56⇔ x = 56C.S. = {56} R.: O avô deu a cada um dos netos 56 €.

36. 50 – 10 = 40 cm36.1. 40 : 2 = 20Cada fita tem (20 + 10) cm = 30 cm de comprimento.

36.2. Como cada fita mede 30 cm 30 + 30 = 60 cm60 – 56 = 4 cm, sobrepostos.R.: A zona sobreposta tem 4 cm de comprimento.

Monómios

Praticar – páginas 98 a 103

1.1.1. Parte numérica: 13Parte literal: y3

1.2. Parte numérica: 12Parte literal: não tem1.3. Parte numérica: 17k7

Parte literal: x2

1.4. Parte numérica: �7a3

5�

Parte literal: b7

2.2.1. A = 5b × 5b = 25b2

2.2. A = x2y × 2x2y = 2x4y2

2.3. A = �5t ×

22t2y� = 5t3y

3.3.1. a) A + 2B == 6x3 – 3x + 2(–3x3 + 2x2 – 3x + 1) == 6x3 – 3x – 6x3 + 4x2 – 6x + 2 == 4x2 – 9x + 2 b) B – 2C == –3x3 + 2x2 – 3x + 1 – 2(–x2 + 2x) == –3x3 + 2x2 – 3x + 1 + 2x2 – 4x == –3x3 + 4x2 – 7x + 1c) –B + A == –(–3x3 + 2x2 – 3x + 1) + 6x3 – 3x == 3x3 – 2x2 + 3x – 1 + 6x3 – 3x == 9x3 – 2x2 – 13.2. O simétrico de B é:–B = 3x3 – 2x2 + 3x – 13.3. Se x = –2B = –3 × (–2)3 + 2 × (–2)2 – 3 × (–2) + 1 == –3 × (–8) + 2 × 4 + 6 + 1 == 24 + 8 + 6 + 1 = = 39

4.4.1. (x + 1)2 = x2 + 2x + 14.2. (x – 1)2 = x2 – 2x + 14.3. (x – 2)2 = x2 – 4x + 44.4. (x + 2)2 = x2 + 4x + 44.5. (x – 3)2 = x2 – 6x + 94.6. (x + 5)2 = x2 + 10x + 254.7. (x + 10)2 = x2 + 20x + 100

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RESOLUÇÕES8

A_Prova

4.8. (x – 7)2 = x2 – 14x + 49

5.5.1. x2 – 15.2. x2 – 45.3. x2 – 255.4. x2 – 365.5. x2 – 1005.6. x2 – 121

6.6.1. (x – 5)2 = x2 – 10x + 256.2. (x – 7)2 = x2 – 14x + 496.3. (x – 6) (x + 6) = x2 – 366.4. (2x – 7) (2x + 7) = 4x2 – 49

7.7.1. 10x – 5 = 2 × 5 × x – 5 = 5(2x – 5)7.2. x2 – 12x = x × x – 12 × x = x(x – 12)7.3. y3 – 7y = y × y2 – 7y = y(y2 – 7)7.4. t4 – t5 = t4 – t × t4 = t4(1 – t)7.5. 80abc – 7ab = ab(80c – 7)7.6. 5(x – 1) – x(x – 1) = (x – 1)(5 – x)

8. [A] 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[B] 2(x – 3)2 = 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[C] 2(x – 3) (x – 3) = 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[D] 2(x – 3) (x + 3) = 2(x2 – 9) = 2x2 – 18A opção correta é a [D].

9.9.1. x2 – 16 = (x – 4)(x + 4)9.2. x2 – 10x + 25 = (x – 5)2 = (x – 5)(x – 5)9.3. a2 – 36 = (a – 6)(a + 6)9.4. 100 – x2 = (10 – x)(10 + x)9.5. t2 + 6t + 9 = (t + 3)2 = (t + 3)(t + 3)9.6. 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1)

10.10.1. 2(x – 3) = x2

⇔ 2x – 6 – x2 = 0⇔ –x2 + 2x – 6 = 0 10.2. (x – 5)2 – 3x = –3⇔ x2 – 10x + 25 – 3x + 3 = 0⇔ x2 – 13x + 28 = 0

10.3. 2��3x� – 2� ��

3x� + 2� = –1

⇔ 2��x

9

2� – 4� + 1 = 0

⇔ �29

� x2 – 8 + 1 = 0

⇔ �29

� x2 – 7 = 0

11.11.1. (x – 1) (x – 5) = 0⇔ x – 1 = 0 ∨ x – 5 = 0⇔ x = 1 ∨ x = 5C.S. = {1, 5}11.2. (2x – 4) (x – 1) = 0⇔ 2x – 4 = 0 ∨ x – 1 = 0⇔ 2x = 4 ∨ x = 1

⇔ x = �42

� ∨ x = 1

⇔ x = 2 ∨ x = 1C.S. = {1, 2}

11.3. ��2x� – 3� ��

5x� –1� = 0

⇔ �2x� –3 = 0 ∨ �

5x� –1 = 0

⇔ �2x� = 3 ∨ �

5x� = 1

⇔ x = 6 ∨ x = 5C.S. = {5, 6}11.4. (7x – 6) (2x – 5) = 0⇔ 7x – 6 = 0 ∨ 2x – 5 = 0⇔ 7x = 6 ∨ 2x = 5

⇔ x = �67

� ∨ x = �52

C.S. = ��67

�, �52

��11.5. –(–5 – x) ��

3x� + 3� = 0

⇔ 5 + x = 0 ∨ �3x� + 3 = 0

⇔ x = –5 ∨ �3x� = –3

⇔ x = –5 ∨ x = –9C.S. = {–9, –5}11.6. (x + 11) (2x – 5) = 0⇔ x + 11 = 0 ∨ 2x – 5 = 0⇔ x = –11 ∨ 2x = 5

⇔ x = –11 ∨ x = �52

C.S. = �– 11, �52

��

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9

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

12.12.1. Substituindo x por 0 obtém-se:2 × 02 – 32 = 0 ⇔ –32 = 0 FalsoAssim, concluímos que 0 não é solução da equação.12.2. 2x2 – 32 = 2(x2 – 16) = 2(x – 4) (x + 4) == (2x – 8) (x + 4)12.3. 2x2 – 32 = 0⇔ 2(x2 – 16) = 0⇔ 2(x – 4) (x + 4) = 0⇔ x – 4 = 0 ∨ x + 4 = 0⇔ x = 4 ∨ x = –3C.S. = {–4, 4}

13. A� = b × h e A� = �2

Logo, A� = (x – y)(x + 2y) e A� = x2.Então, Aamarelo = (x – y)(x + 2y) – x2 == x2 + 2xy – yx – 2y2 – x2 == xy – 2y2

14. A equação que traduz o problema é 2 × (x2 + 5) = 18.Resolvendo a equação temos:⇔ 2x2 + 10 = 18⇔ 2x2 = 18 – 10

⇔ x2 = �82

⇔ x2 = 4⇔ x ± �4�⇔ x = –2 ∨ x = 2C.S. = {–2, 2} R.: Existem dois números nestas condições, –2 e 2.

15. x2 + 100 = 0 ⇔ x2 = –100. Equação impossívelC.S. = { }Logo, a opção correta é a [B].

16. ? × 4kw2 = 162w2 ou seja, �164kk

2

ww2

3� = 4kw

17.17.1. Monómios semelhantes são monómios com amesma parte literal.

Por exemplo, –3a2b3 e �45

�a2b3.

17.2. a = –1 e b = 23(–1)2 × 23 = 3 × 8 = 24

18.18.1. Por exemplo, –5xy.18.2. Por exemplo, x + 8.

18.3. Por exemplo, x2 + 2x + 1.18.4. Por exemplo, y3 + 6.

19.19.1. 2 + (2x – 6) (2x + 6) – (x – 3)2 == 2 + 4x2 – 36 – (x2 – 6x + 9) == 2 + 4x2 – 36 – x2 + 6x – 9 = = 3x2 + 6x – 4319.2. (–x + 1)2 – 3(x – 1)(x + 1) == x2 – 2x + 1 – 3(x2 – 1) == x2 – 2x + 1 – 3x2 + 3 == –2x2 –2x + 4

20. Consideremos, por exemplo, os polinómiosx3 – 2x2 + x + 3 e x3 – 2x2 + 4x – 1 x3 – 2x2 + x + 3 – (x3 – 2x2 + 4x – 1) == x3 – x3 –2x2 + 2x2 + x – 4x + 3 + 1 == –3x + 4Ou seja, a diferença entre os dois polinómios é umpolinómio do 1.o grau.Nota: Basta que a parte numérica dos termos degrau 3 e de grau 2 seja igual nos dois polinómios.

21. P = �b ×2

h�.

Assim, P = �4x × (3

2x + 5)� = 2x(2x + 5) = 4x2 + 10x

22. A área do setor circular é igual a �34

� da área docírculo. Assim,

�34

� π × r2 = π × x2 = �3π

4x2�

Logo, a opção correta é a [D].

23. Vparalelepípedo = c × � × hLogo, Vcaixa = (2x – 4) × 2x × x = (2x – 4) × 2x2 =

= 4x3 – 8x2

24.24.1. A = b × hLogo, A = (x + 5) (x – 2) = x2 – 2x + 5x – 10 == x2 + 3x –1024.2. A = 36 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = 6O perímetro do retângulo que se obtém é:P = 2(x + 5) + 2(x – 2) == 2x + 10 + 2x – 4 == 4x + 6

Para x = 6, temos P = 4 × 6 + 6 = 24 + 6 = 30

R.: P = 30 u.c.

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RESOLUÇÕES10

A_Prova

25.25.1. (2x – 8) (x – 3) = 0⇔ 2x – 8 = 0 ∨ x – 3 = 0⇔ 2x = 8 ∨ x = 3

⇔ x = �82

� ∨ x = 3

⇔ x = 4 ∨ x = 3C.S. = {3, 4}25.2. 9x2 + 16 = 24x⇔ 9x2 – 24x + 16 = 0⇔ (3x – 4)2 = 0⇔ (3x – 4) (3x – 4) = 0⇔ 3x – 4 = 0⇔ 3x = 4

⇔ x = �43

C.S. = ��43

��25.3. 21x2 = 7x⇔ 21x2 – 7x = 0⇔ 7x(3x – 1) = 0⇔ 7x = 0 ∨ 3x – 1 = 0⇔ x = 0 ∨ 3x = 1

⇔ x = 0 ∨ x = �13

C.S. = �0, �13

��25.4. 4x2 – 36 = 0⇔ (2x – 6) (2x + 6) = 0⇔ 2x – 6 = 0 ∨ 2x + 6 = 0⇔ 2x = 6 ∨ 2x = –6

⇔ x = �62

� ∨ x = – �62

⇔ x = 3 ∨ x = –3C.S. = {–3, 3}25.5. 7x2 = 28

⇔ x = �278�

⇔ x2 = 4⇔ x = �4� ∨ x = �4�⇔ x = –2 ∨ x = 2C.S. = {–2, 2}25.6. 49 – 9x2 = 0⇔ –9x2 = –49

⇔ x2 = �499�

⇔ x = ± ��49�9��

⇔ x = – �73

� ∨ x = �73

C.S. = �– �73

�, �73

��26. Seja x o comprimento do lado de um quadradoe 2x o comprimento do lado de um outro quadrado.Assim,

(2x)2 – x2 = 27⇔ 4x2 – x2 = 27⇔ 3x2 = 27

⇔ x2 = �237�

⇔ x2 = 9⇔ x = ± 3C.S. = {3}Como x > 0, então x = 3 cm.Logo, o quadrado maior tem 6 cm de lado (2 × 3 = 6),e o seu perímetro é igual a 24 cm (6 × 4 = 24).

27. A[ABCD] = (x + 3 + x) × (x + 2 + x + 2) = = (2x + 3) (2x + 4) == 4x2 + 8x + 6x + 12 == 4x2 + 14x + 12A[BGFE] = (x + 3) × (x + 2) == x2 + 2x + 3x + 6 == x2 + 5x + 6Logo, Averde = 4x2 + 14x + 12 – (x2 + 5x + 6) == 4x2 – x2 + 14x – 5x + 12 – 6 == 3x2 + 9x + 6

28.28.1. Se não tem termo independente,a2 – 4 = 0 ⇔ a2 = 4 ⇔ a = –2 ∨ a = 2C.S. = {–2, 2}R.: a = –2 ou a = 228.2. a – 2 = 0 ⇔ a = 2, mas se a = 2 o polinómionão tem termo independente.R.: Impossível, não existe nenhum valor de a nascondições pedidas.

29.29.1. Por exemplo, 4x2 – 3x e 3x4 + 2x + 1.29.2. Por exemplo, 3x4 + 3x3 + x e 3x4 + 2x + 5.29.3. Por exemplo, 2x4 + 3x2 + 7 e 2x4 + 3x2 + 2x.

30.30.1. Se P é do 2.o grau, então k – 3 = 0 ⇔ k = 330.2. Se k = 3 e k – 2 = 0 ⇔ k = 2

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11

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

Não é possível porque se k = 3 o polinómio é do 2.o

grau e se k = 2, o polinómio é do 4.o grau.

31.31.1. 3x2 × (x – 6) – (x – 6) × 7 = (x – 6)(3x2 – 7)31.2. 4y2 – 8xy + 4x2 = (2y – 2x)2

32.32.1. 5(x – 3)2 = 125

⇔ (x – 3)2 = �1255

⇔ (x – 3)2 = 25⇔ x – 3 = –5 ∨ x – 3 = 5⇔ x = –5 + 3 ∨ x = 5 + 3⇔ x = –2 ∨ x = 8C.S. = {–2, 8}32.2. (x – 3)2 – 5(x – 3) = 0⇔ (x – 3) (x – 3 – 5) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x – 8 = 0⇔ x = 3 ∨ x = 8C.S. = {3, 8}32.3. 2(x · 3)2 = 19 + (x – 1) (x + 1)⇔ 2(x2 – 6x + 9) = 19 + x2 – 1⇔ 2x2 – 12x + 18 – 19 – x2 + 1 = 0⇔ x2 – 12x = 0⇔ x(x – 12) = 0⇔ x = 0 ∨ x – 12 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 12C.S. = {0, 12}32.4. 3x2 = 24(x – 2)⇔ 3x2 – 24x + 48 = 0⇔ 3(x2 – 8x + 16) = 0⇔ 3(x – 4)2 = 0⇔ x – 4 = 0⇔ x = 4C.S. = {4}

33. (3x – n)2 = 9x2 – 42x + n2 == 2 × 3 × x × (–n) == –6xn

–42x = –6xn ⇔ n = �––462x

x� ⇔ n = 7

Logo, a opção correta é a [D].

34.34.1. x2 + 3x – 18 == (x2 – 3x) + (6x – 18) == x(x – 3) + 6(x – 3) == (x – 3)(x + 6)

34.2. x2 = –3(x – 6)⇔ x2 + 3(x – 6) = 0⇔ x2 + 3x – 18 = 0⇔ (x – 3)(x + 6) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x + 6 = 0⇔ x = 3 ∨ x = –6C.S. = {–6, 3}

35.35.1. (ax2 – 4y)(3bx3 – 4cz + 4) + 16(y – cyz) == 3abx5 – 4aczx2 + 49x2 – 12bx3y + 16czy – 16y ++16y – 16cyz == 3abx5 + 4ax2 – 4aczx2 – 12bx3y

35.2. ax(3x2 – 4by + 1) – 3x(aby) + 7ax == 3ax3 – 4abxy + ax – 3abxy + 7ax == 3ax3 – 7abyx + 6ax

36. Se A = 18x2 então, como A� = �b ×

2h

�,

18x2 = �2x

2× h� ⇔ h = �

18x2

2

x

× 2� ⇔ h = 18x

37. A[ABCD] – A[EFGH] = g2 – h2 = (g – h)(g + h)

38.38.1. a) Se t = 0, então h = –(–0 – 2)2 + 10⇔ h = –4 + 20⇔ h = 6 mb) Se t = 1, então h = –(1 – 2)2 + 10⇔ h = –1 + 10⇔ h = 9 m38.2. h = 0

–(t – 2)2 + 10 ⇔ –(t – 2)2 = –10⇔ (t – 2)2 = 10⇔ t – 2 = – �1�0� ∨ t – 2 = �1�0�⇔ t = – �1�0� – 2 ∨ t = �1�0� + 2

< 0

Logo, t ≈ 5,2 s.

39. 2(x3 – 25) + 7(x – 5) == �2� (x – 5) (x + 5) + 7(x – 5) == (x – 5)(2x + 10 + 7) == (x – 5)(2x + 17)

40.40.1. As dimensões do paralelepípedo II são x – y, ye y, então o volume é igual aV = (x – y) × y × y = xy2 – y3

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RESOLUÇÕES12

A_Prova

40.2. VIII = (x – y) × y (x – y) = (x – y)2 × y == (x2 – 2xy + y2)y = x2y – 2xy2 + y3

VIV = (x – y) (x – y) × y = (x – y)2 × y = … == x2y – 2xy2 + y3

40.3. Vcubo – VI – VII – VIII – VIV = são iguais

= x3 – y3 – (xy2 – y3) – 2 × (x2y – 2xy2 + y3) == x3 – y3 – xy2 + y3 – 2x2y + 4xy2 + 2y3 == x3 – y3 + 3xy2 + y3 – 2x2y – 2y3 == x3 – y (2x2 – 3xy + 2y2)

41. A = �92

�(x – 4) ×

2(x + 4)� = �

92

⇔ (x – 4) (x + 4) = 9⇔ x2 – 16 – 9 = 0⇔ x2 – 25 = 0⇔ x – 5) (x + 5) = 0⇔ x = 5 ∨ x = –5C.S. = {–5, 5} Como x > 0, então x = 5 cm.O cateto maior mede 9 cm (x + 4 = 5 + 4 = 9).

42. Como A = 900 cm2, então (a – 30)2 = 900⇔ (a – 30)2 – 302 = 0⇔ (a – 30 – 30) (a – 30 + 30) = 0⇔ a – 60 = 0 ∨ a = 0⇔ a = 60 ∨ a = 0

a > 0

⇔ a = 60R.: a = 60 m

Equações literais. Sistemas de duas equações

Praticar – páginas 106 a 111

1. 5x – 3y = –20, se x = –1 e y = 55 × (–1) – 3 × 5 = –20 × –5 – 15 = –20 × –20 = 20Verdade(–1, 5) é solução da equação 5x – 3y = –20

2. 2x – y = 6Por exemplo, (1, –4) é solução de equação:2 × 1 – (–4) = 2 + 4 = 6

↑ ↑ x y

(2, –2) é solução de equação:2 × 2 – (–2) = 4 + 2 = 6

↑ ↑ x y

(–3, –12) é solução de equação:2 × (–3) – (–12) = –6 + 12 = 6

↑ ↑ x y

Logo, (1, –4), (2, –2) e (–3, –12) são soluções deequação 2x – y = 6.

3. Por exemplo, (–5, 1)↑ ↑ x y

2 × (–5) + 1 = –10 + 1 = 9, então 2x + y = –9.↑ ↑ x y

4.4.1. x – 5y – 7 = 0 ⇔ x = 5y + 74.2. 2x – 8y = 10 ⇔ 2x = 8y + 10

⇔ x = �8y +

210

⇔ x = 4y + 54.3. 3y = 5x – 11⇔ 5x – 11 = 34⇔ 5x = 3y + 11

⇔ x = �35

� y + �151�

5. Verificar se (2, 4) é solução do sistema é verifi-car se é solução das duas equações.

2 × 2 – 4 × 4 = 12 4 – 16 = 12 –12 = 12 Falso⇔ ⇔

–2 + 4 = 2 2 = 2 V

Concluímos que (2, 4) não é solução do sistemaporque não é solução de uma das equações.

6. [A] (8,2)

8 – 2 = 7 6 = 7 Falso⇔

–2 × 8 + 5 × 2 = –5

Logo, (8, 2) não é solução do sistema.

[B] (10, 3)

10 – 3 =7 7 = 7 7 = 7 V⇔ ⇔

–2 ×10 + 5 × 3 = –5 –20 + 15 = –5 –5 = –5 V

Logo (10, 3) é solução do sistema.

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13

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

[C] (2, 8)

2 – 8 = 7 –6 = 7 Falso⇔

–2 × 2 + 5 × 8 = –5

Logo, (2, 8) não é solução do sistema.

[D] (3, 10)

3 – 10 = 7 –7 = 7 Falso⇔

–2 × 3 + 5 × 10 = –5 ———

Logo, (3, 10) não é solução do sistema.A opção correta é a [B].

7.7.1. Forma canónicax + y = 9 x – (15 – x) = 9 x – 15 + x = 9

⇔ ⇔x + y = 15 y = 15 – x ———

x + x = 9 + 15 2x = 24 x = �224� x = 12

⇔ ⇔ ⇔ ⇔——— ——— ——— y = 3

C.S. = {(12, 3)}7.2. Forma canónicax + y = 1 y = 1 – x ———

⇔ ⇔ –x + y = 9 –x + 1 – x = 9 –2x = 9 –1

——— y = 1 – (–4) y =5⇔ ⇔ ⇔

x = �–82� x = –4 x = –4

C.S. = {(–4, 5)}7.3. Forma canónica2x + y = –10 2x – 3 – x = –10 2x – x = –10 + 3

⇔ ⇔ x + y = –3 y = –3 – x ———

x = –7 x = –7⇔ ⇔

y = –3 –(–7) y = 4

C.S. = {(–7, 4)}7.4. Forma canónica2y – x = 7 –x + 2y = 7 –(–1 + y) + 2y = 7

⇔ ⇔ –y + x = –1 x – y = –1 x = –1 + y

1 – y + 2y = 7 – y + 2y = 7 – 1⇔ ⇔

——— ———

y = 6 y = 6⇔ ⇔

x = –1 + 6 x = 5

C.S. = {(5, 6)}7.5. Forma canónica2x + y = 2 2x + y = 2 y = 2 – 2x

⇔ ⇔ –7y – 3x = –3 –3x – 7y = –3 –3x – 7(2 – 2x) = –3

——— –y + 2y = 7 – 1⇔ ⇔

–3x – 14 + 14x = –3 –3x + 14x = –3 + 14

——— ——— y = 2 – 2 × 1⇔ ⇔ ⇔

11x = 11 x = �1111� x = 1

y = 2 – 2 y = 0⇔ ⇔

——— x = 1

C.S. = {(1, 0)}7.6. Forma canónica4x – 2y = 14 2x – y = 7 2(–4 – 2y) – y = 7

⇔ ⇔ 2y + x = –4 x + 2y = –4 x = –4 – 2y

–8 – 4y – y = 7 –4y – y = 7 + 8 –5y = 15⇔ ⇔ ⇔

——— ———

y = �1–55� y = –3 y = –3

⇔ ⇔ ⇔ ——— x = –4 – 2 × (–3) x = 2

C.S. = {(2, –3)}

8.8.1. Por exemplo, (0, 4) porque 3 × 0 + 2 × 4 = 8 ⇔ 8 = 8 Verdadeiroe 4 = 2 × 0 – 3 ⇔ 4 = –3 Falso8.2. Por exemplo, (3, 3) porque 3 = 2 × 3 – 3 ⇔ 3 = 3 Verdadeiroe 3 × 3 + 2 × 3 = 8 ⇔ 6 + 6 = 8 Falso8.3. A solução do sistema é o par ordenado (2, 1). Éo ponto de interseção das duas retas.8.4. Resolvendo o sistema pelo método de substitui-ção, 3x + 2y = 8 3x + 2y = 8 3x + 2(–3 + 2x) = 8

⇔ ⇔ y = 2x – 3 –2x + y = –3 y = –3 + 2x

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RESOLUÇÕES14

A_Prova

3x – 6 + 4x = 8 3x + 4x = 8 + 6 7x = 14⇔ ⇔ ⇔

——— ——— ———

x = 2 x = 2⇔ ⇔

y = –3 + 2 × 2 y = 1

C.S. = {(2, 1)}

9. Como o perímetro é igual a 100 cm, P = 100

2 × (2x + y) + 2 × (3x + 2y) = 10⇔ 4x + 2y + 6x + 4y = 100⇔ 10x + 6y = 10⇔ 5x + 3y = 509.1. Se x = 4, 5 × 4 + 3y = 50⇔ 20 + 3y = 50⇔ 3y = 50 – 20 ⇔ 3y = 30

⇔ y = �330�

⇔ y = 109.2. Se y = 5, 5x + 3 × 5 = 50⇔ 5x + 15 = 50⇔ 5x = 50 – 15⇔ 5x = 35

⇔ x = �355�

⇔ x = 7Como x = 7 e y = 5A = (3x + 2y) × (2x + y), ou seja, A = (3 × 7 + 2 × 5) × (2 × 7 + 5) == (21 + 10) × (14 + 5) = 31 × 19 = 589R.: A = 589 cm2

10. Para determinar o par ordenado (x, y) bastaresolver o sistema pelo método de substituição.Forma canónica2(x – 1) = 4 + y 2x – 2 – y = 4 2x – y = 4 + 2

⇔ ⇔ –y – x = 1 –x – y = 1 ———

2x – y = 6 — 2(–y – 1) – y = 6⇔ ⇔ ⇔

–x – y = 1 –x = 1 + y ———

–3y = 8 y = – �83

� ———⇔ ⇔ ⇔

——— x = – �– �83

�� – 1 x = �83

� – �53

y = – �83

⇔ x = �

53

C.S. = ���53

�, – �83

���10.1. Para x = �

53

� e y = – �83

�, temos

2x + 3y = 2 × �53

� + 3 × �– �83

�� = �130� – �

234� = – �

134�

10.2. Para x = �53

� e y = – �83

�, temos

x – y = �53

� – �– �83

��2

= �53

� – �694� = �

195� – �

694� = – �

499�

10.3. Para x = �53

� e y = – �83

�, temos

(x + y)2 = ��53

� + �– �83

���2

= ��53

� – �83

��2

=

= �– �33

��2

= (–1)2 = 1

11. x: idade do Fernandoy: idade da filha mais velha do Fernando

• x + y = 42x + 5 – idade do Fernando daqui a 5 anos.y + 5 – idade da filha mais velha do Fernandodaqui a 5 anos

• x + 5 = 3 × (y + 5)Resolvendo o sistema com as duas equações

x + y = 42 x + y = 42 x + y = 42⇔ ⇔

x + 5 = 3(y + 5) x + 5 = 3y + 15 y = 8

Forma canónica

x + y = 41 x = 42 – y ———⇔ ⇔ ⇔

x – 3y = 10 42 – y – 3y = 10 –4y = –32

x = 42 – 8 x = 34⇔ ⇔

y = 8 y = 8

C.S. = {(34, 8)}R.: O Fernando tem 34 anos.

12.12.1. Como as retas são estritamente paralelas, o sis-tema é impossível.12.2. x y = –x + 6

0 6 → –0 + 6 = 62 4 → –2 + 6 = 4

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Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

Logo, a reta contém os pontos (0, 6) e (2, 4).12.3. a) Por exemplo,y = –x + 6

porque são retas concorrentesy = 2x + 1

b) Por exemplo,y = 2x – 1

porque são retas coincidentesy = 2x – 1

13. Sejam x o preço de cada martelo e y o preçode cada chave inglesa

3x + 2y = 29 3x = 29 – 2y x = �29

3– 2y�

⇔ ⇔ 2x + 3y = 31 ——— 2��29

3– 2y�� + 3y = 31

——— ———⇔ ⇔

�538� – �

43

� + 3y = 31 58 – 4y + 9y = 93

——— ——— x = �29 –

32 × 7�

⇔ ⇔ ⇔ – 4y + 9y = 93 – 58 y = �

355� y = 7

x = �135� x = 5

⇔ ⇔ ——— y = 7

Como cada martelo custa 5 € e cada chave inglesa 7 €.5 martelos custam 5 × 5 = 25 € e cada chave ingle-sa 7 €.Então 5 martelos e chave inglesa fica por 27 + 7 = 32 €R.: O novo pack custará 32 €.

14.14.1. Como se trata de um hexágono, n = 6S = (6 – 2) × 180o = 720o

14.2. Como x = 1080o, (n – 2) × 180o = 1980o

⇔ n – 2 = �1198800

⇔ n – 2 = 11⇔ n = 11 + 2⇔ n = 13R.: O polígono tem 13 lados.14.3. Como se trata de um pentágono, n = 5S = (5 – 2) × 180 ⇔ S = 540o

O pentágono tem cinco ângulos internos então,cada ângulo tem 108o (540o : 5 = 108o).14.4. S = (n – 2) × 180o

⇔ (n – 2) × 180o = S

⇔ n – 2 = �1S80�

⇔ n = �1S80� + 2

15.15.1. Se x = 3, y – 2 – �

23

� x = 4 ⇔ y – �23

� × 3 = 4

⇔ y = 4 + 2⇔ y = 6Se x = 6, y – �

23

� x = 4 ⇔ y – �23

� × 6 = 4

⇔ y = 4 + 4⇔ y = 8Se, por exemplo, x = 9,

y – �23

� x = 4 ⇔ y – �23

� × 9 = 4

⇔ y = 4 + 6⇔ y = 10Então

15.2. Marcar, por exemplo, os pontos (0, 4) e (3, 6) noreferencial e traçar a reta que contém esses pontos.

15.3. A solução do sistema é (3, 6), ponto onde asduas retas se intersetam.15.4. Por exemplo, y = –2x. Basta que as duas retastenham o mesmo declive.

x 0 3 6 9y 4 6 8 10

y = 2x + 1 y = 2x – 1

y = –x + 6

O

y

x–2

2

4

6

10

8

2 4 6 8 10

O

y

x–2

246

101215

8

1 2 3 4 5 6

y = x + 423

2x + y = 12

O

y

x–2

246

101215

8

1 2 3 4 5 6 7

2x + y = 12

y = –2x

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RESOLUÇÕES16

A_Prova

Como as retas são estritamente paralelas, o sistemaé impossível.

16. Para que (3, –2) seja solução de um sistema énecessário que seja solução das duas equações.

2k + y = 4 2 × 3 + (–2) = 4 6 – 2 = 4 V[A] ⇔ ⇔

x + y = 5 3 + (–2) = 5 3 – 2 = 5 F

(3, –2) não é solução da 2.a equação. Logo, não ésolução do sistema.

–x – �y +

32

� = 3 –3 – �–2

3+ 2� = 3

[B] ⇔——— ———

–3 – 0 = 3 Falso⇔

———

Como (3, –2) não é solução da 1.a equação não ésolução do sistema.

�3x� – y = – �

32

� �33

� – (–2) = – �32

[C] ⇔–(x – 2y) + 1 = –10 ———

1 + 2 = – �32

� Falso⇔

———Como (3, –2) não é solução da 1.a equação não ésolução do sistema.

x = 1 – y 3 = 1 – (–2) 3 = 3 V[D] ⇔ ⇔

y = –x + 1 –2 = –3 + 1 –2 = –2 V

(3, –2) é solução do sistema, porque é solução dasduas equações.Logo, a opção correta é a [D].

17. (1, –7) e (4, 5) são pontos da reta r.

Assim, o declive da reta é:

a = �5

4––(–17)

� = �132� = 4

Substituindo, por exemplo, x = 4 e y = 5, na equa-ção y = ax + b obtemos: 5 = 4 × b ⇔ b = 16 + 5 ⇔ b = –11Logo, a = 4 e b = –11

18.18.1. O sistema III, porque está escrito na forma

ax + bx = c

a’x + b’y = c’

18.2.

2x – �12

� (y – 3) = 2 2x – �12

� y + �32

� = 2⇔ (×2) (×2)

�2x� – �

3y� = –3 3x – 2y = –18

(×3) (×2) (×6)

4x – y = 1 ⇔ (Forma canónica)

3x – 2y = –18

18.3. [A] (1, 5)

�15

� × 1 = –1 + 2 × 5 �15

� = 9 Falso⇔

1 – 3 × 5 = 2 ———

Logo, (1, 5) não é solução do sistema II porque nãoé solução da 1.a equação do sistema.[B] (–1, –1)

�15

� × (–1) = –1 + 2 × (–1) – �15

� = –3 F⇔

–1 – 3 × (–1) = 2 2 = 2 V

Logo, (–1, –1) não é solução do sistema II porquenão é solução da 1.a equação do sistema.

[C] (5, 1)

�15

� × 5 = –1 + 2 × 1 1 = 1 V⇔

5 – 3 × 1 = 2 2 = 2 V

Logo, (5, 1) é solução do sistema II porque é soluçãodas duas equações do sistema.

[D] (1, 1)

�15

� × 1 = –1 + 2 × 1 �15

� = 1 F⇔

1 – 3 × 1 = 2 –2 = 2 F

Logo, (1, 1) não é solução do sistema porque não ésolução das duas equações.Assim a opção correta é a [C].

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17

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

18.4. Escrevendo o sistema na forma canónica,obte mos

�15

�x = –1 + 2y x = –5 + 10y x – 10y = –5(×5) (×5) ⇔ ⇔

x – 3y = 2 x – 3y = 2 x – 3y = 2

Resolvendo as duas equações em ordem a y

–10y = –5 – x y = �––51–0x

� x = �12

� + �1x

0�

⇔ ⇔ –3y = 2– x y = �

2––3x

� y = – �23

� + �3x�

x y = �12

� + �1x

0�

5 1 → �12

� + �150� = �

12

� + �12

� = 1

–5 0 → �12

� – �150� = �

12

� – �12

� = 0

Sistema possível e determinado. C.S. = {(5, 1)}

18.5. 2x – 5y = 4 2x – 5(–2 + 3x) = 4

⇔ –3x + y = –2 y = –2 + 3x

2x + 10 – 15x = 4 2x – 15x = 4 – 10⇔ ⇔

——— ———

–13x = –6 x = �163� x = �

163�

⇔ ⇔ ⇔ ——— y = – 2 + 3 × �

163� y = –2 + �

1183�

(×13)

——— x = �163�

⇔ ⇔ y = – �

2163� + �

1183� y = – �

183�

C.S. = ��163�, – �

183��

19. O sistema I é impossível porque as retas r e ssão estritamente paralelas.O sistema II é possível e indeterminado porque asretas r e s são coincidentes.Os sistemas III e IV são possíveis e determinadosporque as retas r e s são concorrentes.

20. Sejam x o preço de um par de calças e y o preçode uma blusa.20.1. x + y – preço de um par de calças e de umablusa.

x + y = 85x – 6 = y + 7

20.2. x + y – preço de um par de calças e de umablusa.

x + y = 85 x + y = 85 x + y = 85⇔ ⇔

x – 6 = y + 7 x – y = 13 85 – y – y = 13

——— ———⇔ ⇔

–y – y = 13 – 85 –2y = –72

x = 85 – 36 x = 49⇔ ⇔

y = 36 y = 36

C.S. = {(49, 36)}R.: As calças custaram 49 € e a blusa 36 €.

21. Seja x a idade do João e y a idade do Filipe.21.1. x + 5 representa a idade do João daqui a 5 anos e y + 5 representa a idade do Filipe daqui a 5anos.

x + y = 42x + 5 + y + 5 = 52

21.2.

x + y = 42 x + y = 42⇔

x + y = 52 – 10 x + y = 42

Como as equações são equivalentes, o sistema épossível e indeterminado, o que significa que o sis-tema tem uma infinidade de soluções.21.3. Por exemplo, (10, 32), (15, 27), (20, 22) e (21, 21).

O

y

x–5 1

234

–3 –1

–22 4 6 8

y = – +23

x3

y = + 12

x10

x y = – �23

� + �3x�

2 0 → – �23

� + �23

� = 0

–1 –1 → – �23

� – �13

� = –1

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RESOLUÇÕES18

A_Prova

22. Seja x o número de notas de 20 € e y o númerode notas de 100 €.20x + 100y = 1000 20(26 – y) + 100y = 1000

⇔ x + y = 26 x = 26 – y

520 – 20y + 100y = 1000⇔

———

–20y + 100y = 1000 – 520 80y = 480⇔ ⇔

——— ———

y = �48800

� y = 6 y = 6⇔ ⇔ ⇔

——— x = 26 – 6 x = 20 C.S. = {(20, 6)}O Pedro tem 20 notas de 20 € e 6 notas de 100 €.Em notas de 20 €, o Pedro tem 20 × 20 = 400 €, ouseja, a quantia é inferior a 419,99 €.R.: O Pedro não consegue comprar a bicicleta, ape-nas com as notas de 20 €.

23. Para determinar as coordenadas de A bastaresolver o sistema.y = 4x – 8 2x + 3 = 4x – 8 2x – 4x = –8 – 3

⇔ ⇔ y = 3x + 3 ——— ———

–2x = –11 x = �121� ——— x = �

121�

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ——— y = 2 × �

121� + 3 y = 11 + 3 y = 14

C.S. = ���121�, 14��

Logo, A = ��121�, 14�

O ponto B é um ponto do eixo Ox, ou seja, tem de

ordenada zero. A abcissa de B é igual à abcissa de

A, �121�.

Logo, B tem coordenadas ��121�, 0�.

A[OBA] = �b ×2

h�

A[OBA] = = �1544

� = 38,5 u.a.

24.24.1. Como a 1.a equação, y = ax + 2, tem ordenadana origem 2, corresponde à reta vermelha.Determinando o declive, o valor de a:a reta contém por exemplo, o ponto (1, 0), então0 = a × 1 + 2 ⇔ a = –2y = –2x + 2Os pontos (3, –2) e (6, 0) pertencem à reta de equa-ção bx + cy = d e –4 é a ordenada na origem, então

bx + cy = d ⇔ y = – �bc

� x + �dc

� e �dc

� = –4.

Assim, y = – �bc

� x –4

Utilizando, por exemplo, os pontos (3, –2) e (6, 0),podemos determinar o seu declive.

�06––(–32)

� = �23

�, ou seja, – �bc

� = �23

�.

Escrevendo a equação y = �23

� x – 4 na forma bx + cy = d, temos:

y = �23

� x – 4 ⇔ – �23

� x + 3y = –4 ⇔ –2x + 3y = –12

ou seja, b = –2, c = 3 e d = –12.R.: a = –2 e, por exemplo, b = –2, c = 3 e d = –12.24.2. O sistema é possível e determinado porque asretas são concorrentes. Como as retas se intersetamno ponto de coordenadas (3, –2), a solução do sis-tema é C.S. = {(3, –2)}.24.3. Como a = –2 (por 24.1.), pretendemos repre-sentar a reta de equação y = –2x – 2.

x y

0 –2–1 0

24.4. O sistema é impossível porque as retas deequações y = ax + 2 (a vermelho) e y = ax – 2 (alí-nea 24.3.) são paralelas.

25. [A] –4 × �12

� + (–3) = 5 ⇔ –2 – 3 = 5 ⇔ –5 = 5Falso.

��12

�, –5� não é solução da equação. [B] 6 × �

12

� + (–3) = 2 ⇔ 3 – 3 = 2 Falso

�121� × 14

��2

y

x–2

–4

–6

–8 y = ax – 2

O

2

4

2–2 4 6 8

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19

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

��12

�, –5� não é solução da equação. [C] –2 × �

12

� – (–3) = 20 ⇔ –1 + 3 = 20 Falso

��12

�, –5� não é solução da equação.

[D] �12

� + �(–23)� = –1 ⇔ – �

22

� = –1 Verdadeiro

Assim, a outra equação é x + �2y� = –1 e a opção cor-

reta é a [D].

26. A = π × r2 ⇔ r2 = �Aπ

� ⇔ r = ��Aπ

��Logo, a opção correta é a [B].

27.

3x + 2y = 11 3x + 2y = 11 3x + 2(6 – 2x) = 11⇔ ⇔

2x – 2 + y = 4 2x + y = 6 y = 6 – 2x

3x + 12 – 4x = 11 3x – 4x = 11 – 12⇔ ⇔

——— ———

–x = –1 x = 1 x = 1⇔ ⇔ ⇔

——— y = 6 – 2 × 1 y = 14

C.S. = {(1, 4)}

Como (k – 2p, k – p) é solução do sistema, temos:

k – 2p = 1 k = 1 + 2p k = 7⇔ ⇔

k – p = 4 1 + 2p – p = 4 p = 3

Logo, k = 7 e p = 3.

28.

–6x + 3y = 12

–ax + y = b

28.1. Por exemplo, a = 1 e b = 2.28.2. a = 2 e, por exemplo, b = 2.28.3. Por exemplo, a = 2 e b = 2.

29. Seja x o número de adultos e y o número decrianças.x + y = 300 x = 300 – y

⇔ 10x + 3y = 2440 10(300 – y) + 3y = 2440

——— ——— ⇔ ⇔

3000 – 10y + 3y = 2440 –7y = –560

x = 300 – 80 x = 220 ⇔ ⇔

y = 80 y = 80

C.S. = {(220, 80)}R.: Assistiram à peça 80 crianças.

30.30.1.

4 – �x +2y

� = 6 �41

� – �x +2y

� = �61

⇔ (×2) (×2)

�2x

2– 6� = 2�x + �

2y�� – x �

22x� – �

62

� = 2x + �22y� – x

8 – x – y = 12 –x – y = 12 – 8⇔ ⇔

x – 3 = 2x + y – x x – 2x + x – y = 3

–x – y = 4 ——— –x – (–3) = 4⇔ ⇔ ⇔

0x – y = 3 –y = 3 y = –3

–x + 3 = 4 –x = 4 – 3 –x = 1 x = –1⇔ ⇔ ⇔ ⇔

——— ——— ——— y = 3

C.S. = {(–1, 3)}30.2.

�3x

3– 1� + y = 2 �

3x3– 1� + �

y

1� = �

21

⇔ (×3) (×3)

– �x –31

� = 2y – (2x – 1) – �x –31

� = �22y� – �

22x� + �

11

(×3) (×3) (×3)

3x – 1 + 3y = 6 3x + 3y = 6 + 1⇔ ⇔

–x + 1 = 6y – 6x + 3 –x + 6x – 6y = 3 – 1

3x + 3y = 5 3x = 5 – 3y x = �53

� – y⇔ ⇔ ⇔

5x – 6y = 2 ——— 5 × ��53

� – y� – 6y = 2——— ———

⇔ ⇔ �235� – �

51y� – �

61y� = �

21

� 25 – 15y – 18y = 6(×3) (×3) (×3)

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RESOLUÇÕES20

A_Prova

——— ——— x = �53

� – �1393�

⇔ ⇔ ⇔ (×11)–33y = –19 y = �

1393� ———

x = �5353� – �

1393� x = �

3363� x = �

1121�

⇔ ⇔ ⇔ ——— ——— y = �

1393�

C.S. = ���1121�, �

1393���

31. Como �x +

34y� = x – 2y = 6 podemos escrever

�x +

34y� = 6 x + 4y = 18 6 + 2y + 4y = 18

⇔ ⇔ x – 2y = 6 x = 6 + 2y ———

6y = 12 y = 2 y = 2⇔ ⇔ ⇔

——— x = 6 + 2 × 2 x =10

C.S. = {(10, 2)}R.: x = 10 e y = 2.

32. Seja �y

x� a fração pedida.

�x –y

6� = �

14

� 4x – 24 = y ———⇔ ⇔

�y +x

2� = �

12

� 2x = y + 2 2x = 4x – 24 + 2

——— ——— 4 × 11 – 24 = y⇔ ⇔ ⇔

2x – 4x = –24 + 2 –2x = –22 x = 11

y = 20⇔

x = 11

C.S. = {(11, 20)}

R.: A fração é �1210�.

33. x + �2y� = 3y – �

5x� + 2 + 6

⇔ x + �5x� + �

2y� – 3y = 8

(×10) (×2) (×5) (×10) (×10)

⇔ 10x + 2x + 5y – 30y = 80⇔ 12x – 25y = 80Como a soma dos ângulos internos de um triânguloé igual a 180o e o triângulo é retângulo, ou seja, umdos ângulos tem de amplitude 90o, temos:

x + �2y� + 3y – �

5x� + 2 + 90 = 180o

12x – 25y = 80

x – �5x� + �

2y� + 3 = 88

⇔ (×10) (×2) (×5) (×10) (×10)12x – 25y = 802

10x – 2x + 5y + 30y = 880 8x + 35y = 880⇔ (×10) (×2) (×5) (×10) (×10) ⇔

——— x = �80

1+225y�

8��80 1+225y�� + 35y = 880

⇔ ———

�61420

� + �21020

�y + 35y = 880⇔ (×12) (×12)

———

640 + 200y + 420y = 10 560 620y = 9920⇔ ⇔

——— ———

y = 16 y = 16⇔ ⇔

x = �80 +

1225 × 16� x = 40

C.S. = {(40, 16)}R.: x = 40 e y = 16

34. Seja x o número de quilogramas de café daColômbia e y o número de quilogramas de café deSão Tomé e Príncipe.Assim, podemos construir a seguinte tabela:

Logo, ficamos a saber que x + y = 6 e 35x + 25y = 192.Para determinar x e y basta resolver o sistema.x + y = 6 x = 6 – y

⇔ 35x + 25y = 192 35(6 – y) + 25y = 192

——— ⇔

210 – 35y + 25y = 192

CAFÉ Número de quilogramas

Preço do quilograma Custo total

Colômbia x kg 35€ 35x€

São Tomé e Príncipe y kg 25€ 25y€

Mistura 6 kg 32€ 192€

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21

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

——— ———⇔ ⇔

–35y + 25y = 192 – 210 10y = 18

x = 6 – �95

� x = �251� x = 4,2

⇔ ⇔ ⇔ y = �

95

� y = �95

� y = –1,8

C.S. = {(4,2; 1,8)}R.: A mistura deve conter 4,2 kg de café da Colômbia.

Equações completas do 2.o grau

Praticar – páginas 114 a 119

1.1.1. x2 – 4x + 8 = (x2 – 4x) + 8 == (x2 – 4x + 4) + 8 – 4 == (x – 2)2 + 41.2. x2 + 16x – 5 = (x2 + 16x) –5 == (x2 – 16x + 64) – 5 – 64 == (x + 8)2 – 69

2.2.1. x2 – 10x + 12 = (x2 – 10x) + 12 == (x2 – 10x + 25) + 12 – 25 == (x – 5)2 – 132.2. x2 + 8x = (x2 + 8x + 16) + 16 == (x – 4)2 – 162.3. x2 – 2x + 12 = (x2 – 2x) + 12 == (x2 – 2x + 1) + 12 – 1 == (x – 1)2 + 112.4. x2 – x + 15 = (x2 – x) + 15 =

= �x2 – x + �14

�� + 15 – �14

� =

= �x – �12

��2+ �

549�

3. 2x2 + 2x – 12 = 0⇔ x2 + x – 6 = 0

⇔ �x2 – x + �14

�� – 6 – �14

� = 0

⇔ �x – �12

��2= �

245�

⇔ x – �12

� = ��24�5�� ∨ x + �

12

� = ��24�5��

⇔ x + �12

� = �52

� ∨ x + �12

� = – �52

⇔ x = �52

� – �12

� ∨ x = – �52

� – �12

⇔ x = �42

� ∨ x = – �62

⇔ x = 2 ∨ x = –3

4. [A] (–2) + (–2) – 1 = 0 ⇔ –2 + 2 – 1 = 0 ⇔ –1 = 0 Falso–2 não é solução da equação x2 + x – 1 = 0.[B] (–2)2 – 3 × (–2) + 2 = 0 ⇔ 4 + 6 + 2 = 0 Falso–2 não é solução da equação x2 – 3x + 2 = 0.[C] (–2 + 2) (–2 – 1) = 0 ⇔ 0 × (–3) = 0 Verdadeiro–2 é solução da equação (x + 2) (x – 1) = 0.(1 + 2) (1 – 1) = 0 ⇔ 3 × 0 = 0 Verdadeiro1 é solução da equação (x + 2) (x – 1) = 0 {–2; 2} é o conjunto-solução da equação.[D] (–2 – 2) (–2 + 1) = 0 – 4 × (–1) = 0 Falso–2 não é solução da equação (x – 2)(x + 1) = 0(1 – 2) (1 + 1) = 0 ⇔ (–1) × 2 = 0 FalsoAssim, 1 não é solução da equação (x – 2)(x + 1) = 0.Logo, a opção correta é a [C].

5.5.1. x2 + 4x + 3 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–4

2± 2�

⇔ x = �–4

2– 2� ∨ x = �

–42+ 2�

⇔ x = – �62

� ∨ x = – �22

⇔ x = –3 ∨ x = –1C.S. = {–3, –1}5.2. 2k2 – 50 = 0⇔ 2k2 = 50

⇔ k2 = �520�

⇔ k2 = 25⇔ k = –2�5� ∨ k = 2�5�⇔ k = –5 ∨ k = 5C.S. = {–5, 5}5.3. c2 + 12 = 7c⇔ c2 – 7c + 12 = 0

⇔ c =

–4 ± 4�2�–� 4� ×� 1� ×�3����

2 × 1

–(–7) ± (–�7�)2� –� 4� ×� 1� ×� 1�2�����

2 × 1

⇔ x = –4 ± 1�6� –� 1�2���

2

⇔ c = 7 ± 4�9� –� 4�8���

2

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RESOLUÇÕES22

A_Prova

⇔ c = �72± 1�

⇔ c = �82

� ∨ c = �62

⇔ c = 4 ∨ c = 3C.S. = {3, 4}5.4. (3t + 1)(2t – 1) = 0⇔ 3t + 1 = 0 ∨ 2t – 1 = 0⇔ 3t = –1 ∨ 2t = 1

⇔ t = – �13

� ∨ t = �12

C.S. = �– �13

�, �12

��5.5. x2 – 5x – 14 = 0

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = �5 –29

� ∨ x = �5 +29

⇔ x = – �42

� ∨ x = �124�

⇔ x = –2 ∨ x = 5C.S. = {–2, 7}5.6. x2 – x = 0⇔ x(x – 9) = 0⇔ x = 0 ∨ x –9 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 9C.S. = {0, 9}5.7. 2x2 + 5x – 8 = 0

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = �–5

4– 9� ∨ x = �

–54+ 9�

⇔ x = – �144� ∨ x = �

44

⇔ x = – �72

� ∨ x = 1

C.S. = �– �72

�, 1�

5.8. a2 – 8a + 7 = 0

⇔ a =

⇔ a =

⇔ a = �82– 6� ∨ a = �

82+ 6�

⇔ a = �22

� ∨ a = �124�

⇔ a = 1 ∨ a = 7C.S. = {1, 7}5.9. x(x – 1) = 6 – 2x – 4x2

⇔ x2 – x – 6 + 2x + 4x2 = 0⇔ 5x2 – x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–11±011

⇔ x = – �1120� ∨ x = �

1100�

⇔ x = – �65

� ∨ x = 1

C.S. = �– �65

�, 1�5.10. 2(x2 – 2x) = 16⇔ x2 – 2x = 8⇔ x2 – 2x – 8 = 0

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = �2 –26

� ∨ x = �2 +26

⇔ x = –2 ∨ x = 4C.S. = {–2, 4}

6. Para determinar as coordenadas dos pontos A eB, basta resolver a equação.

x2 = –x + 12⇔ x2 + x – 12 = 0

–(–5) ± (–�5�)2� –� 4� ×� 1� ×�(�–�1�4�)�����

2 × 1

5 ± 8�1���

2

–(–8) ± (–�8�)2� –� 4� ×�1� ×�7�����

2 × 1

8 ± 3�6���

2

2 ± �(–��2)2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�8�)����

2 × 1

2 ± 3�6���

2

–5 ± 5�2�–� 4� ×�2� ×�(�–�7�)����

2 × 2

–5 ± 8�1���

4

–1 ± 1�2�–� 4� ×�5� ×�(�–�6�)����

2 × 5

⇔ x = 5 ± 2�5� +� 5�6���

2

⇔ x = –5 ± 2�5� +� 5�6���

4

⇔ a = 8 ± 6�4� –� 2�8���

2

⇔ x = –1 ± 1� +� 1�2�1���

10

⇔ x = 2 ± 4� +� 3�2���

2

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23

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = �– 1

2± 7�

⇔ x = �–1

2– 7� ∨ x = �

–12+ 7�

⇔ x = – �82

� ∨ x = �62

⇔ x = –4 ∨ x = 3C.S. = {–4, 3}Como a abcissa do ponto A é –4, então a ordenadaé 16 (y = (–4)2 ⇔ y = 16). Logo, A (–4, 16).A abcissa do ponto B é 3, então y = 32 ⇔ y = 9, aordenada é 9.Logo, B (3, 9).R.: A(–4, 16) e B(3, 9)

7. Para determinar o número de soluções de umaequação do 2.o grau é necessário verificar o sinal dobinómio discriminante � = b2 – 4ac.7.1. x2 + 4x + 12 = 0, a = 1, b = 4 e c = 12 � = 42 – 4 × 1 × 12= 16 – 48= –32� < 0, então a equação x2 + 4x + 12 = 0 é impossí-vel, logo não tem soluções.7.2. 2x2 – 3x – 8 = 0, a = 2, b = –3 e c = –8 � = (–3)2 – 4 × 2 × (–8) == 9 + 64 == 3 Como � > 0, então a equação é possível. Logo, temduas soluções distintas.7.3. x2 – 2�4�x + 6 = 0, a = 1, b = –2�4� e c = 6.� = (–2�4�)2 – 4 × 1 × 6 == 24 – 24 = = 0� = 0, então a equação é possível e tem apenasuma solução.

8. Duas equações são equivalentes se tiverem omesmo conjunto solução.

x2 – x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = ��1 ±25

⇔ x = �1 –25

� ∨ x = �1 +25

⇔ x = – �42

� ∨ x = �62

⇔ x = –2 ∨ x = 3C.S. = {–2, 3}[A] x2 + x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–1

2± 5�

⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}x2 + x – 6 = 0 não é equivalente à equação dada.[B] x2 – x + 6 = 0

⇔ x =

x2 – x + 6 = 0 não é equivalente à equação dada.[C] 7(x – 3)(x + 2) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x + 2 = 0⇔ x = 3 ∨ x = –27(x – 3)(x + 2) = 0 é equivalente à equação dada.[D] 2(x + 3)(x – 2) = 0⇔ x + 3 = 0 ∨ x – 2 = 0⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}2(x + 3)(x – 2) = 0 é equivalente à equação dada.Logo, a opção correta é a [C].

9. Verificar se 4 é solução, é substituir o x por 4,2 × 42 – 7 × 4 + 3 ⇔ 2 × 16 – 28 + 3 = 0 ⇔ 7 = 0Falso. 4 não é solução da equação 2x2 – 7x + 3 = 0

–(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)�����

2 × 1

1 ± 2�5���

2

–1 ± �12�–� 4� ×� 1� ×� (�–�1�2�)����

2 × 1

–1 ± 4�9���

2

–1 ± �12�–� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)����

2 × 1

–(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� 6����

2 × 1

⇔ x = –1 ± 1� +� 4�8���

2 ⇔ x = 1 + 1� +� 2�4���

2

⇔ x = –1 ± 2�5���

2

⇔ x = equação impossível. C.S. = { }1 ± –�2�3���

2

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RESOLUÇÕES24

A_Prova

10. g(x) = x2 – 5x + 6Se a imagem é 0, então g(x) = 0.

x2 – 5x + 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �52± 1�

⇔ x = �42

� ∨ x = �62

⇔ x = 2 ∨ x = 3C.S. = {2, 3}R.: Os objetos 2 e 3 têm imagem 0.

11. x2 – 6x + k = 011.1. Se k = 0x2 – 6x = 0

⇔ x(x – 6) = 0⇔ x = 0 ∨ x – 6 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 6C.S. = {0, 6}11.2. Se x = 552 – 6 × 5 + k = 0 ⇔ 25 – 30k = 0 ⇔ k = 5C.S. = {5}Substituindo k por 5,

x2 – 6x + 5 = 0

⇔ x =

⇔ x = �62± 4�

⇔ x = �22

� ∨ x = �120�

⇔ x = 1 ∨ x = 5C.S. = {1, 5}A outra solução é 1.

12. Seja � a largura do terremo e c o comprimentodo terreno.� = c – 160 e A = 8000 então,

� = c – 160 ———⇔

c × � = 8000 c(c – 160) – 8000

——— ⇔

c2 – 160c – 8000 = 0

——— ⇔

——— ———⇔ ⇔

�160

2± 240� c = –45 ∨ c = 200

� = 200 – 160 � = 40⇔ ⇔

——— c = 200

R.: O terreno tem 40 metros de largura e 200 metrosde comprimento.

13. A área do retângulo é dada por A = b × h ouseja, A(2x – 23) × (x + 6).A área do quadrado é dada por A = �2, ou seja, A = (x – 4)2.Como os dois polígonos têm a mesma área(2x – 23) (x + 6) = (x – 4)2

Resolvendo a equação, obtemos2x2 + 12x – 23x – 138 = x2 – 8x + 16

⇔ 2x2 – x2 + 12x – 23x + 8x – 138 – 16 = 0⇔ x2 – 3x – 154 = 0

⇔ x =

⇔ x = �3 –

225� ∨ x = �

3 +225�

⇔ x = –11 ∨ x = 14

Como 2x – 23 > 0, então x > �223�. Logo, x = 14.

R.: x = 14

14. Recorrendo ao sistema,

x – 3y ——— ———⇔ ⇔

x × y = 48 3y × y = 48 y2 = 16

x = 3 × (–4) x = 3 × 4⇔ ⇔

y = –4 y = 4

–(–5) ± (–�5�)2� –� 4� ×� 1� ×� 6����

2 × 1

–(–6) ± (–�6�)2� –� 4� ×� 1� ×� 5����

2 × 1

160 ± (1�6�0�)2� –� 4� ×� 1��×�(–�8�0�0�0)����

2 × 1

–(–3) ± (–�3�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�1�5�4�)�����

2 × 1

⇔ x = 5 ± 2�5� –� 2�4���

2

⇔ x = 6 ± 3�6� –� 2�0���

2

⇔ x = 3 ± 6�2�5���

2

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25

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

x = –12 x = 12⇔ ∨

y = –4 y = 4

C.S. = {(–12, –4), (12, 4)}R.: Como os números são positivos, então são 12 e 4.

15.15.1. 2x2 – 20x + 5 = (2x2 – 20x) + 5 == 2(x2 – 10x) + 5 == 2(x2 – 10x + 25) + 5 – 50 == 2(x – 5)2 – 45

15.2. 3x2 + 12x – 1 = (3x2 + 12x) – 1 == 3(x2 – 4x) – 1 == 3(x2 + 4x + 4) – 1 – 12 == 3(x + 2)2 – 13

1616.1. 2x2 + 20x – 1 = (2x2 + 20) – 1 == 2(x2 + 10) – 1 = = 2(x2 + 10x + 25) – 1 – 50 == 2(x + 5)2 – 5116.2. 3x2 – 18x + 15 = (3x2 – 18x) + 15 == 3(x2 – 6x) + 15 == 3(x2 – 6x + 9) + 15 – 27 == 3(x – 3)2 – 1216.3. –x2 – 4x – 20 = (–x2 – 4x) – 20 == –(x2 + 4x) – 20 == –(x2 + 4x + 4) – 20 + 4 == –(x + 2)2 – 1616.4. 4x2 – 4x – 17 = (4x2 – 4x) – 17 == 4(x2 – x) – 17 =

= 4�x2 – x + �14

�� – 17 – 1 == 4�x – �

12

��2– 18

17.17.1. (x – 4)2 = 25⇔ x = –4 = –2�5� ∨ x – 4 = 2�5�⇔ x – 5 + 4 ∨ x = 5 + 4⇔ x = –1 ∨ x = 9C.S. = {–1, 9}17.2. x2 + 8x – 9 = 0⇔ x2 + 8x = 9⇔ x2 + 8x + 16 = 9 + 16⇔ (x + 4)2 = 25⇔ x + 4 = –2�5� ∨ x + 4 = 2�5�

⇔ x = –5 – 4 ∨ x = 5 – 4⇔ x = –9 ∨ x = 1C.S. = {–9, 1}17.3. x2 = 4(x + 3)⇔ x2 = 4x + 12⇔ x2 – 4x = 12⇔ x – 4x + 4 = 12 + 4⇔ (x – 2)2 = 16⇔ x – 2 = –1�6� ∨ x – 2 = 1�6�⇔ x = –4 + 2 ∨ x = 4 + 2 ⇔ x = –2 ∨ x = 6C.S. = {–2, 6}17.4. 3x2 – 30x + 75 = 0⇔ 3(x2 – 10x) + 75 = 0⇔ 3(x2 – 10x + 25) + 75 – 75 = 0⇔ (x – 5)2 = 0⇔ x – 5 = 0⇔ x = 5C.S. = {5}

18.18.1. (x + 2)2 = 3x�x + �

23

��⇔ x2 + 4x + 4 = 3x2 + 2x⇔ x2 – 3x2 + 4x – 2x + 4 = 0⇔ –2x2 + 2x + 4 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–2

–±46

⇔ x = �–44� ∨ x = �

––84�

⇔ x = –1 ∨ x = 2C.S. = {–1, 2}

18.2. �(2x2–42)2

� – �142� – �

23x� = 1

(×2) (×8) (×24)

⇔ 4x2 – 8x + 4 – 8 – 16x = 24⇔ 4x2 – 24x – 28 = 0

⇔ x =

⇔ x = �24 –

832

� ∨ x = �24 +

832

⇔ x = –1 ∨ x = 7C.S. = {–1, 7}

–2 ± (–�2�)2� –� 4� ×� (�–�2�)�×� 4�����

2 × (–2)

24 ± (–�2�4�)2� –� 4� ×� 4� ×� (�–�2�8�)�����

2 × 4

⇔ x = –2 ± 4� +� 3�2���

–4

⇔ x = 24 ± 1�0�2�4���

8

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RESOLUÇÕES26

A_Prova

18.3. (x + 3)2 + 2 = 2x2 + x + 5⇔ x2 + 6x + 9 + 2 – 2x2 – x – 5 = 0⇔ –x2 + 5x + 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–5–2± 7�

⇔ x = �––122

� ∨ x = �–22�

⇔ x = 6 ∨ x = –1C.S. = {–1, 6}18.4. 2(x – 1) (x + 1) = 3x⇔ 2(x2 – 1) – 3x = 0⇔ 2x2 – 2 – 3x = 0⇔ 2x2 – 3x – 2 = 0

⇔ x =

⇔ x = �34± 5�

⇔ x = �3 –45

� ∨ x = �3 +45

⇔ x = – �12

� ∨ x = 2

C.S. = �– �12

�, 2�19. Como o ponto A pertence ao gráfico da funçãof, para determinar o valor de a basta substituir x e yna expressão f (x) = 2x – 3, pelas coordenadas doponto A. Ou seja,f (x) = 2x – 3y = 2x – 3

⇔ a2 = 2 ��a +215�� –3

⇔ a2 = a + 15 – 3⇔ a2 – a – 12 = 0

⇔ a =

⇔ a =

⇔ a = �12± 7�

⇔ a = – �62

� ∨ a = �82

⇔ a = –3 ∨ a = 4C.S. = {–3, 4}

Se a – 3, A��–3 +215

� ; (–3)2� = (6,9)Se a = 4, A��4 +2

15�, 42� = ��

129�, 16�

20. 20.1. A equação tem uma solução dupla se � = 0,então, como � = b2 – 4ac, temos b2 – 4ac = 0.

(–1)2 – 4 × 2 × k = 0⇔ –8k = –1

⇔ k = �18

C.S. = ��18

��R.: k > �

18

20.2. A equação admite duas soluções distintas se� > 0, ou seja,

–8k + 1 > 0⇔ –8k > –1⇔ 8k < 1

⇔ k < �18

C.S. = �–�, �18

��R.: k ∈ �+�, �

18

��20.3. A equação é impossível se � < 0, ou seja,

–8k + 1 < 0⇔ –8k < –1

⇔ k = �18

C.S. = ��18

�, +��R.: k ∈ ��

18

�, +��20.4. Se –5 é solução da equação então

2 × (–5)2 – (–5) + k = 0⇔ 2 × 25 + 5 + k = 0⇔ k = –55C.S. = {–55}R.: k = –55

–5 ± 5�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� 6����

2 × (–1)

–(–3) ± (–�3�)2� –� 4� ×� 2� ×� (�–�2�)�����

2 × 2

–(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�1�2�)�����

2 × 1

1 ± 4�9���

2

⇔ x = –5 ± 2�5� +� 2�4���

–2

⇔ x = 3 ± 9� +� 1�6���

4

⇔ a = 1 + 1� +� 4�8���

2

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27

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

21. Como Asombreado = A[ACEF] – A[BCDG], entãoA[ACEF] = x × x = x2 cm2

A[BCDG] = 102 = 100 cm2

A[ACEF] – A[BCDG] = x2 – 100Com a área da região sombreada é igual a 156 cm2,entãox2 – 100 = 156

⇔ x2 = 256⇔ x = ± 2�5�6�⇔ x = –16 ∨ x = 16Como x > 10, então x = 16.R.: x = 16 cm

22. Como 4 é solução da equação, basta substituir xpor 4.

–k × 42 + 4(4 + 4) = 0⇔ –16k + 32 = 0⇔ k = 2C.S. = {2}Substituindo k por 2 na equação –kx2 + 4(x + 4) = 0obtemos: –2x2 + 4x + 16 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–4

––412

� ∨ x = �–4

–+412

⇔ x = 4 ∨ x = –2C.S. = {–2, 4}R.: A outra soluçao é –2.

23. y = x2 e y = 2(x + 1)2 – 7Para determinar a abcissa do ponto de interseçãodas duas parábolas, basta resolver a equação.x2 = 2(x + 1)2 – 7⇔ x2 = 2(x2 + 2x + 1) – 7⇔ x2 = 2x2 + 4x + 2 – 7⇔ x2 –2x2 – 4x – 2 + 7 = 0⇔ –x2 – 4x + 5 = 0

⇔ x =

⇔ x = �4–±26

⇔ x = �––22� ∨ x = �

1–02�

⇔ x = 1 ∨ x = –5

C.S. = {–5, 1}Como a abcissa do ponto A é 1, então a ordenada é y = 12 ⇔ y = 1R.: As coordenadas do ponto A são (1, 1).

24. Considerando x e y as dimensões do terreno esabendo que o terreno tem 3200 m2 de área, obte-mos a equação x × y = 3200.Como foi utilizado 220 metros de rede,

2x + y + y – 20 = 220⇔ 2x + 2y = 240⇔ x + y = 120 Escrevendo o sistemax × y = 3200

x + y = 120

Para obter o valor de x e o valor de y resolvemos osistema

x × y = 3200 (120 – y) × y = 3200⇔

x + y = 120 x = 120 – y

120y – y2 = 3200 y2 – 120y + 3200 = 0⇔ ⇔

——— ———

y = ⇔

———

y =

⇔ ———

y = x = �120

2± 40� y = 40 y = 80

⇔ ⇔ ⇔ ——— x = 80 x = 40

R.: As dimensões do terreno são 40 metros de largu-ra e 80 metros de comprimento.

25. A área atual do parque é 700 m2, ou seja,20 × y = 700.O novo parque terá 1000 m2 de área, ou seja,(x + 20) × (x + y) = 1000Como 20 × y = 700 então y = 35.Substituindo o y por 35 na equação(x + 20) × (x + y) = 1000 obtemos

–4 ± 4�2�–� 4� ×� (�–�2�)�×� (�1�6�)�����

2 × (–2)

–(–4) ± (–�4�)2� –� 4� ×� (�–�1�)�×� 5�����

2 × (–1)

–(–120) ± (–�1�2�0�)2� –� 4� ×� 1� ×� 3�2�0�0������

2 × 1

120 ± 1�4� 4�0�0� –� 1�2� 8�0�0����

2

⇔ x = –4 ± 1�4�4���

–4

⇔ x = 4 ± 3�6���

–2

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RESOLUÇÕES28

A_Prova

(x + 20) × (x + 35) = 1000⇔ x2 + 35x + 20x + 700 – 1000 = 0⇔ x2 + 55x – 300 = 0

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = �–55

2± 65�

⇔ x = –60 ∨ x = 5C.S. = {–60, 5}Como x > 0 então x = 5.x + 20 = 5 + 20 = 25 e y + x = 35 + 5 = 40R.: As dimensões do novo parque de estacionamen-to são 25 metros de largura e 40 metros de compri-mento.

26. Como x = –2 ∨ x = 5, então (x + 2)(x – 5) = 0,simplificando a equação temosx2 – 5x + 2x – 10 = 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0

27.27.1. Substituindo k por 2, obtemos

–2x2 – 2x + 4 = 0

⇔ x =

⇔ x = �2–±46

⇔ x = �–44� ∨ x = �

–84�

⇔ x = 1 ∨ x = –2C.S. = {–2, 1}27.2. Uma equação do 2.o grau admite duas solu-ções distintas se � > 0, então b2 – 4ac = (–k)2 – 4 × (–2) × 4 = k2 + 32 k2 + 32 é sempre maior do que zero.

28. Escrevendo o sistema,

x + y = 4 x = 4 – y ———⇔ ⇔

x × y = 3 (4 – y)y = 3 4y – y2 = 3

———⇔

–y2 + 4y – 3 = 0

———⇔

y =

——— x = 1 x = 3⇔ ⇔ ∨

y = y = 3 y = 1

Obtêm-se os pontos (1, 3) e (3, 1).Se x = 1 e y = 3, 2x – 3y = 2 × 1 – 3 × 3 = –7.Se x = 3 e y = 1, 2x – 3y = 2 × 3 – 3 × 1 = 3.

29. Uma equação do 2.o grau admite duas soluçõesdistintas se � > 0, então (–a)2 – 4(–1) × 5 = a2 + 20.a2 + 20 é sempre maior do que zero.

30. Como a equação admite duas soluções distintas,� > 0, com a = 2, b = 3 e c = –b.� = 32 – 4 × 2 × (–b) = 9 + 8bPor exemplo, se b = 1, 9 + 8b > 0.

31. (x2 + 12x + 32) (x2 – 5) = 0⇔ x2 + 12x + 32 = 0 ∨ x2 – 5 = 0

⇔ x = ∨ x2 = 5

⇔ x = ∨ x = –5� ∨ x = 5�

⇔ x = �–12

2– 4� ∨ x = �

–122+ 4� ∨ x = –5� ∨ x = 5�

⇔ x = –8 ∨ x = –4 ∨ x = –5� ∨ x = 5�C.S. = {–8, –4, –5�, 5�}–8 × (–4) × (–5�) × 5� = –160

32. Considerando c o comprimento e � a largura,como o seu comprimento é igual a 200 cm, então2c + 2� = 200.Se a área é igual a 2400 cm2, c × � = 2400.O sistema que traduz o enunciado é2c + 2c = 200

c × � = 2400

–55 ± 5�5�2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�3�0�0�)�����

2 × 1

–55 ± 4�2�2�5���

2

–(–2) ± (–�2�)2� –� 4� ×� (�–�2�)�×� 4�����

2 × (–2)

4 ± 4�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�3�)�����

2 × (–1)

–4 ± 1�6� –� 1�2���

–2

–12 ± 12�2�–� 4� ×� 1� ×� (�3�2�)����

2 × 1

–12 ± 1�6���

2

⇔ x = –55 ± 3�0�2�5� +� 1�2�0�0����

2

⇔ x = 2 ± 4� +� 3�2���

–4

⇔ x = ∨ x = ± 5�–12 ± 1�4�4� –� 1�2�8����

2

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29

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

Resolvendo o sistema, obtém-se:

c = c = 100 – �

⇔ ⇔ ——— (100 – �) × � = 2400

——— ———⇔ ⇔

100� – �2 – 2400 = 0 –�2 + 100� – 2400 = 0

——— ———⇔

� =

——— ———⇔ ⇔

� = � = �–10

–02± 20�

c = 100 – 60 c = 100 – 40⇔ ∨

� = 60 � = 40

c = 40 c = 60⇔ ∨

� = 60 � = 40

R.: As dimensões do retângulo são 40 cm de largurae 60 cm de comprimento.

33.33.1. Os pontos A e B são os pontos de interseçãodos dois gráficos, então:

–x2 + 2 = –x⇔ –x2 + x + 2 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–1–2± 3�

⇔ x = –1 ∨ x = 2C.S. = {–1, 2}As abcissas dos pontos A e B são respetivamente –1e 2.Para determinar as ordenadas, basta substituir ovalor de cada uma das abcissas numa das equações,yA = –(–1) = 1, a ordenada de A é 1.yB = –2 = –2, a ordenada de B é –2.Logo, A(–1, 1) e B(2, –2).33.2. Os pontos C e D têm ordenada nula e perten-cem ao gráfico de função f.

Basta substituir y por zero e determinar as abcissasde C e de D.y = –x2 + 2 ⇔ –x2 + 2 = 0 ⇔ –x2 = –2 ⇔ x = ± 2� ⇔ x = –2� ∨ x = 2�C.S. = {–2�, 2�}As abcissas dos pontos C e D são respetivamente–2� e 2�.C(–2�, 0) D(2�, 0)

A[BCD] = �b ×2

h�

A[BCD] = = 22�

R.: A[BCD] = 22� u.a.

34.34.1. A área do quadrado de lado [AP] é igual a 32 = 9 u.a.34.2. P�B� = A�B� – A�P�P�B� = 12 – xEntão a área do quadrado de lado [PB] é igual a (12 – x)2

A = (12 – x)2

34.3. A área do quadrado de lado [PB] é igual a(12 – x)2.A área do quadrado de lado [AP] é igual a x2.Então, (12 – x)2 = 25 × x2.Para determinar o valor de x basta resolver a equa-ção anterior.

144 – 24x + x2 – 25x2 = 0⇔ –24x2 – 24x + 144 = 0⇔ x2 + x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–1

2± 5�

⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}Como 0 < x < 12, então x = 2.

3535.1. Recorrendo ao teorema de Pitágoras,h2 = c1

2 + c22

52 = 32 + C�D�2

⇔ C�D�2 = 25 – 9

⇔ C�D�2 = 16

200 – 2��

2

–100 ± 1�0�0�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�2�4�0�0�)������

2 × (–1)

–100 ± 4�0�0����

–2

–1 ± 1�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� 2����

2 × (–1)

2 × 2� × 2 ��

2

–1 ± 1�2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)����

2 × 1

⇔ x = –1 ± 1� +� 8���

–2⇔ x = –1 ± 2�5�

��2

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RESOLUÇÕES30

A_Prova

⇔ C�D� = ± 1�6� ⇔ C�D� = 4↓

C�D� > 0

R.: C�D� = 4 u.c.35.2. Como os triângulos são semelhantes, então

�h4

� = ⇔ 3h = 12 – 4 �x

2�

⇔ h = �12

3– 2x�

⇔ h = 4 – �23

� x

35.3. Atotal = A[ABC] = �b ×2

h�

A[ABC] = �6 ×2

4� = �

224� = 12 u.a.

A área ocupada pelo preçário é dada por A� = b × h.

x × h = x × �4 – �23

� x� = 4x – �23

� x2

A área destinada às fotografias é igual à diferençaentre a área total e a área do preçário. Então,

12 – �4x – �23

� x2� = �23

� x2 – 4x + 12

35.4. Como a expressão de área do preçário é igual a

4x – �23

� x2, então 4x – �23

� x2 = 6

⇔ – �23

� x2 + 4x – 6 = 0

⇔ –2x2 + 12x – 18 = 0

⇔ x =

⇔ x = �142�

⇔ x = 3C.S. = {3}R.: x = 3

36.36.1. Como a abcissa de A é x e pertence ao gráficoda função y = 2x2, então A(x, 2x2).36.2. Os pontos A e B têm a mesma ordenada,então B(0, 18). Como A pertence ao gráfico da fun-ção y = 2x2, então 2x2 = 18 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3 ⇔ x = 3 (x > 0)Logo, A(3, 9).

A[AOB] = �b ×2

h�

A[AOB] = �18

2× 9� = 81 u.a.

36.3. Como B tem a mesma ordenada que A, entãoB(0, 2x2).Logo, A[AOB] = �

x ×22x2� = x3

37. A caixa tem 588 cm3 de volume e os quadradoscortados têm 9 cm2 de área9� = 3 cm, lado do quadrado recortadox – 6, lado da base da caixaV = 588

(x – 6)(x – 6) × 3 = 588⇔ 3 × (x2 – 12x + 36) – 588 = 0⇔ 3x2 – 36x + 108 – 588 = 0⇔ 3x2 – 36x – 480 = 0

⇔ x =

⇔ x = �36

6± 84�

⇔ x = –8 ∨ x = 20⇔ x = 20 cm

↓x > 0

R.: A folha de papel tinha 20 cm de lado.

38.38.1. Para determinar a altura do 2.o poste, basta

substituir x por 30 na expressão �410� (x – 10)2 + 5, ou

seja,

�410� (30 – 10)2 + 5 = �

410� × 202 + 5 = �

44000

� + 5 = 15

R.: O 2.o poste tem 15 metros de altura.

38.2. Se o ponto situa-se a 5 metros de altura, basta

igualar a expressão �410� (x – 10)2 + 5 a 5, e resolver

a equação

�410� (x – 10)2 + 5 = 5

⇔ �410� (x – 10)2 = 0

⇔ (x – 10)2 = 0⇔ x – 10 = 0⇔ x = 10C.S. = {10}R.: O ponto situa-se a 10 metros de distância do 1.o poste.

–12 ± 1�2�2�–� 4� ×� (�–�2�)�×� (�–��18�)�����

2 × (–2)

36 ± (–�3�6�)2� –� 4� ×� 3� ×� (�–�4�8�0�)�����

2 × 3

3 – �x

2�

�3

⇔ x = –12 ± 1�4�4� –� 1�4�4����

–4

⇔ x = 36 ± 1�2�9�6� +� 5�7�6�0����

6

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31

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

Relação de ordem. Intervalos. Inequações

Praticar – páginas 124 a 129

1.1.1. Se y < 11 ⇔ y + 4 < 11 + 4 ⇔ y + 4 < 151.2. Se y < 11 ⇔ 2y < 11 × 2 ⇔ 2y < 221.3. Se y < 11 ⇔ 5y < 11 × 5 ⇔ 5y < 55⇔ 5y – 10 < 55 – 10 ⇔ 5y – 10 < 45

2.2.1. –5 < x < 10⇔ –5 – 3 < x – 3 < 10 – 3 ⇔ –8 < x – 3 < 72.2. –5 < x < 10⇔ –5 × 2 < 2x < 10 × 2⇔ –10 < 2x < 202.3. –5 < x < 10⇔ –5 × 4 < 4x < 10 × 4⇔ –20 < 4x < 40⇔ –20 – 1 < 4x – 1 < 40 – 1⇔ –21 < 4x – 1 < 39

3.3.1. O perímetro é igual à soma de todos os ladosP = 1 + 1 + 2� = 2 + 2�3.2. Se 1,414 < 2� < 1,415 então 2 + 1,414 < 2 + 2� < 2 + 1,415⇔ 3,414 < 2 + 2� < 3,415

4.4.1. a > b ⇔ 2 × a > 2 × b4.2. a > b ⇔ –a < –b4.3. a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ –3a < –3b4.4. a > b ⇔ a – 3 > b – 34.5. a > b ⇔ –a < –b ⇔ –a + 5 < –b + 54.6. a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a – 2 > 3b – 2

5.5.1. [2, 6]

5.2. [–4, 2]

5.3. [–4, 2[

5.4. ]–3, 3[

5.5. ]–5, 6]

5.6. [–2, 1]

6.6.1. x > –3 ∧ x ≤ 1 ⇔ –3 < x ≤ 1R.: ]–3, 1] e –3 < x ≤ 16.2. x ≥ –7 ∧ x ≤ –5 ⇔ –7 ≤ x ≤ –5R.: [–7, –5] e –7 ≤ x ≤ –56.3. ]–7, + �[ e x > –76.4. ]–�, 3] e x ≤ 36.5. x > –11 ∧ x ≤ –3 ⇔ –11 < x ≤ –3R.: [–11, –3] e –11 < x ≤ –36.6. ]–�, 700] e x ≤ 700

7.7.1.

7.2.

8. C = [–2, 1�0�[, 1�0� ≈ 3,168.1. São todos os números inteiros compreendidosentre –2 e 3, ou seja, –2, –1, 0, 1, 2 e 3.8.2. c = {x ∈ R: –2 ≤ x ≤ 1�0�}

9. 9.1. Geometricamente:

Na forma de intervalo: [0, 10] 9.2. Geometricamente:

Na forma de intervalo: ]–4, 7[

2 3 4 5 6 71

–4 –1–2–3 0 1 2 3–5

–4 –1–2–3 0 1 2 3–5

–3 0 3

–5 0 6

–2 –1 0 1 2–3

0 9 +∞–∞

–3 0 +∞–∞

–2 0 1410

–4 0 2 75

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RESOLUÇÕES32

A_Prova

9.3. Geometricamente:

Na forma de intervalo: ]–1, 7]9.4. Geometricamente:

Na forma de intervalo: [6, 18] 9.5. Geometricamente:

Na forma de intervalo: [–3, 11[ 9.6. Geometricamente:

Na forma de intervalo: ]–�, 17] 9.7. Geometricamente:

Na forma de intervalo: ]–4, +�[ 9.8. Geometricamente:

Na forma de intervalo: ∅9.9. Geometricamente:

Na forma de intervalo: {2}9.10. Geometricamente:

Na forma de intervalo: ]–�, 22]

10.10.1. 2x – 3 ≥ 3⇔ 2x ≥ 3 + 3⇔ 2x ≥ 6

⇔ x ≥ �62

⇔ x ≥ 3C.S. = [3, +�[

10.2. 5f – 10 < 0⇔ 5f < 10

⇔ f < �150�

⇔ f < 2C.S. = ]–�, 2[10.3. 5g + 2 < 14 – g⇔ 5g + g > 14 – 2⇔ 6g > 12

⇔ g > �162�

⇔ g > 2C.S. = ]2, +�[10.4. 4x – 10 ≥ 2x + 16⇔ 4x – 2x ≥ 16 + 10⇔ 2x ≥ 26

⇔ x ≥ �226�

⇔ x ≥ 14C.S. = [13, +�[10.5. 5x ≥ 7x – 8⇔ 5x – 7x ≥ –8⇔ –2x ≥ –8⇔ 2x ≤ 8

⇔ x ≤ �82

⇔ x ≤ 4C.S. = ]–�, 4]10.6. x + 5 > 7 + 3x⇔ x – 3x > 7 – 5⇔ –2x > 2⇔ 2x < –2

⇔ x < – �22

⇔ x < –1C.S. = ]–�, –1[10.7. 3a – 2 < 19 + 49⇔ 3a – 4a < 19 + 2⇔ –a < 21⇔ a > –21C.S. = ]–21, +�[10.8. 3a – 1 ≥ a + 4⇔ 3a – a ≥ 4 + 1⇔ 2a > 5

⇔ a > �52

C.S. = ��52

� , +��

4 6 2218

–14 11–3

–13 332

–∞ 1710

–4 +∞80

–∞ 10021

–∞ 225

–1 0 2 74

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33

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

10.9. –11a – 11 > –7a + 13⇔ –11a + 7a > 13 + 11⇔ –4a > 24⇔ 4a < –24

⇔ a < – �244�

⇔ a < –6C.S. = ]–�, –6[10.10. –3(a – 1) < a + 2⇔ –3a + 3 < a + 2⇔ –3a – a < 2 – 3⇔ –4a < –1⇔ 4a > 1

⇔ a > �14

C.S. = ��14

�, +��11.11.1. 2(x – 6) > – (–x + 4)⇔ 2x –12 > x – 4⇔ 2x – x > –4 + 12⇔ x > 8C.S. = ]8, +�[11.2. 8 não é solução da inequação porque o inter-valo do conjunto solução é aberto em 8, logo 8 nãoé elemento desses conjunto.11.3. O menor número inteiro é 9, porque é omenor número inteiro maior do que 8.

12.12.1. 2x – 1 ≥ 7 ∧ 2x ≤ 12

⇔ 2x ≥ 7 + 1 ∧ x ≤ �122�

⇔ 2x ≥ 8 ∧ x ≤ 6

⇔ x ≥ �82

� ∧ x ≤ 6

⇔ x ≥ 4 ∧ x ≤ 6[4, +�[ ∩ ]–�, 6] = [4, 6]C.S. = [4, 6]12.2. 3(x – 5) < –15 ∨ 2x ≥ x – 3⇔ 3x – 15 < –15 ∨ 2x – x ≥ –3⇔ 3x < –15 + 15 ∨ x ≥ –3⇔ 3x < 0 ∨ x ≥ –3⇔ x < 0 ∨ x ≥ –3]–�, 0[ ∩ ]–3, +�[ = ]–�, +�[ = RC.S. = R12.3. –2x – 4 < –8 ∧ 2(x – 3) ≤ 4⇔ –2x < –8 + 4 ∧ 2x – 6 ≤ 4

⇔ –2x < –4 ∧ 2x ≤ 4 + 6⇔ 2x < 4 ∧ 2x ≤ 10

⇔ x < �42

� ∧ x ≤ �120�

⇔ x < 2 ∧ x ≤ 5]–�, 2[ ∩ ]–�, 5] = ]–�, 2[C.S. = ]–�, 2[

13. [A] �2� é um número irracional.

[B] –3x > –27 ⇔ 3x < 27 ⇔ x < �237� ⇔ x < 9

[C] �1�3� não pertence a A porque o intervalo éaberto em �1�3�.[D] [–1; 4[ ∩ [2; 7] = [2; 4[, verdadeira.Logo, a opção correta é a [D].

14. P = x + x + 2x + 6 + x + 4, simplificando aexpressão P = 5x + 10.Como o perímetro é inferior a 25, P < 25

5x + 10 < 25⇔ 5x < 25 – 10⇔ 5x < 15

⇔ x < �155�

⇔ x < 3C.S. = ]–�, 3[, como x > 0, então x ∈ ]0, 3[.

15. Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b.

16. [A] a < a ⇔ a – a < 0 ⇔ 0 < 0 falso[B] a ≤ a ⇔ a – a ≤ 0 ⇔ 0 < 0, a é um valor inde-finido[C] a > a ⇔ a – a > 0 ⇔ 0 > 0 falso[D] a > 0, a é um número positivo.Logo, a opção correta é a [B].

17. [A] a – 3 ≤ b – 3 ⇔ a ≤ b verdadeiro[B] –c ≤ –d ⇔ c ≥ d falsa, porque c ≤ d[C] a + c ≤ b + d verdadeiro[D] 6a ≤ 6b ⇔ a ≤ b verdadeiroLogo, a opção correta é a [B].

18.18.1. �–�, �

25

��18.2. ]3, 5[

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RESOLUÇÕES34

A_Prova

19.19.1. {x ∈ R: x > 12} = ]12, +�[19.2. {x ∈ R: –3 ≤ x < 17} = ]–3, 17[19.3. {x ∈ N: x < 5} = {1, 2, 3, 4}19.4. {x ∈ Z: –2 < x ≤ 2} = {–1, 0, 1, 2}

20. Por exemplo, {x ∈ R: x ≥ –4 ∧ x < 7}.

21. Por exemplo, {x ∈ R: x > –6 ∨ x < 3}.

22. Atrapézio = �B +

2b

� × h ou seja, �2x + 1

2+ 5x� × 3,

simplificando-a obtemos

�7x

2+ 1� × 3 = �

221� x + �

32

Como a área é inferior a 19, temos:

�221� x + �

32

� < 19

⇔ 21x + 3 < 38⇔ 21x < 38 – 3⇔ 21x < 35

⇔ x < �3251�

⇔ x < �53

C.S. = �–�, �53

��Como x > 0, então x ∈ �0, �

53

��. 23. 4(–d + 6) – 5 = –4d + 24 – 5 = –4d + 1923.1. Um valor não negativo é um valor superior ouigual a zero.Logo, –4d + 19 ≥ 0⇔ –4d ≥ –19⇔ 4d ≤ 19

⇔ d ≤ �149�

C.S. = �–�, �149��

d ∈ �–�, �149��

23.2. Se o valor da expressão pertence ao intervalo[–3, +�[, então é superior ou igual a –3. Assim,

–4d + 19 ≥ –3⇔ –4d ≥ –3 – 19⇔ –4d ≥ –22⇔ 4d ≤ 22

⇔ d ≤ �242�

⇔ d ≤ �121�

C.S. = �–�, �121��

d ∈ �–�, �121��

23.3. Se a expressão assume um valor positivo, então–4d + 19 > 0.Se a expressão é menor do que 10 então –4d + 19 < 10. Então, obtemos a conjunção

–4d + 19 > 0 ∧ –4d + 19 < 10⇔ –4d > –19 ∧ –4d < 10 – 19⇔ 4d < 19 ∧ –4d < –9

⇔ d < �149� ∧ 4d > 9

⇔ d < �149� ∧ d > �

94

C.S. = ��94

�, �149��

Logo, d � ��94

�, �149��.

24.24.1. A ∩ B = ]–�, 5[ ∩ [–4, 6[ = [–4, 5[Logo, a opção correta é a [C].24.2. a) A ∩ R = ]–�, 5[ ∩ R =

= ]–�, 5[b) A ∪ B = ]–�, 5[ ∪ [–4, 6] =

= ]–�, 6]c) B ∩ R+ = [–4, 6] ∩ R+ =

= ]0, 6]

25. [A] �3� � [0, �3�[, porque o intervalo é abertoem �3�.[B] �3� � [�2�; 7[, porque �3� > �2� e �3� < 7.[C] �3� � {�2�, 7}[D] �3� � {�2� + 1}Logo, a opção correta é a [B].

26. I. 2 – �x –

36

� ≥ –(x – 3)

⇔ 2 – �x –

36

� ≥ –x + 3⇔ 6 – x + 6 ≥ –3x + 9⇔ –x + 3x ≥ 9 – 6 – 6⇔ 2x ≥ –3

⇔ x ≥ – �32

C.S. = �– �32

�, +��

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35

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

II. 2(–x + 4) < �2x� – 1

⇔ –2x + 8 < �2x� – 1

⇔ –4x + 16 < x – 2⇔ –4x – x < –2 – 16⇔ –5x < –18 ⇔ 5x > 18

⇔ x > �158�

C.S. = ��158�, +��

III. 3 – �x –

21

� ≤ –3(2 – x) + 1

⇔ 3 – �x –

21

� ≤ –6 + 3x + 1

⇔ 6 – x + 1 ≤ –12 + 6x + 2⇔ –x – 6x ≤ –12 + 2 – 6 – 1⇔ –7x ≤ –17⇔ 7x ≥ 17

⇔ x ≥ �177�

C.S. = ��177�, +��

27. Sendo x o número de bilhetes, temos:50 + 2x ≤ 12x

⇔ –12x + 2x ≤ –50⇔ –10x ≤ 50⇔ 10x ≥ 50⇔ x ≥ 5C.S. = [5, +�[R.: O Filipe terá de assistir a mais de cinco jogospara que compense tornar-se sócio.

28. Seja x o peso de cada esfera.3x + 10 < x + 17

⇔ 3x – x < 17 – 10⇔ 2x < 7

⇔ x < �72

C.S. = �–�; �72

��Cada esfera pesa menos do que 3,5 kg.Então, k = 3.Logo, a opção correta é a [C].

29. O perímetro do triângulo é dado pela expressão2x + 2x + 3 + x + 1 = 5x + 4O perímetro do hexágono é dado pela expressão x × 6 = 6x.

Então, 5x + 4 > 6x.⇔ 5x – 6x > –4⇔ –x > –4⇔ x < 4C.S. = ]–�, 4[Como x > 0 então, x � ]0, 4[.

30. [A] A afirmação é verdadeira.[B] A afirmação é falsa. Se a < b então a ≠ b.[C] A afirmação é falsa porque –a < –b ⇔ a > b.[D] A afirmação é falsa porque –3 + a > –3 + b ⇔ a > b.Logo, a opção correta é a [B].

31. Seja x o preço dos sapatos e o y o preço dablusa.Como os sapatos custam mais 20 € do que a blusa,então x = 20 + y.A Margarida pretende comprar uns sapatos e umablusa, sem gastar mais de 200 €, então x + y ≤ 200.Como x = 20 + y, temos:

20 + y + y ≤ 200⇔ 2y ≤ 200 – 20⇔ 2y ≤ 180

⇔ y ≤ �1820

⇔ y ≤ 90C.S. = ]–�, 90]R.: A blusa custará, no máximo, 90 €.

3232.1. {x ∈ R: 2x – 4 ≥ 12} ∩ [x ∈ R: 2(x – 5) – 3 < 7}

2x ≥ 12 + 4 ∧ 2x – 10 – 3 < 7⇔ 2x ≥ 16 ∧ 2x < 7 + 10 + 3

⇔ x ≥ �126� ∧ 2x < 20

⇔ x ≥ 8 ∧ x < �220�

⇔ x ≥ 8 ∧ x < 10[8, +�[ ∩ ]–�, 10[ = [8, 10[C.S. = [8, 10[32.2. {x � Z: x ≥ 11} ∩ [x � R: x < 15}

x ≥ 11 ∧ x < 15⇔ 11 ≤ x < 15, x � Zx � {11, 12, 13}32.3. {x � N: –2(x + 3) ≥ –14} ∪ {–3, –2, –1}

–2x – 6 ≥ –14⇔ –2x ≥ –14 + 6⇔ –2x ≥ –8

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RESOLUÇÕES36

A_Prova

⇔ 2x ≤ 8

⇔ x ≥ �82

⇔ x ≤ 4, x � N{1, 2, 3, 4} ∪ {–3, –2, –1} = {–3, –2, –1, 1, 2, 3, 4}C.S. = {–3, –2, –1, 1, 2, 3, 4}

33. Se Q � 3.o Quadrante, então as coordenadastêm valor negativo. Logo,

�4(m –

31) – 5� < 0 ∧ –m + 2 < 0

⇔ �4m –

34 – 5� < 0 ∧ –m < –2

⇔ 4m – 9 < 0 ∧ m > 2⇔ 4m < 9 ∧ m > 2

⇔ m > �94

� ∧ m > 2

⇔ 2 < m < �94

m ∈ �2, �94

��34. Se C.S. = �–�, �

72

��, então x < �72

⇔ 2x < 7⇔ 2(x – 6) + 12 < 7

35.

�3(x

7– 4)� < 0 �

3x –7

12� ≤ 0 3x ≤ 12

⇔ ⇔�23

� (x –2) > – �83

� �23

�x – �43

� > �83

� 2x > –8 + 4

x ≤ �132� x ≤ 4 x ≤ 4

⇔ ⇔ ⇔2x > –4 x > – �

42

� x > –2

C.S. = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}

36. 3�x2 – �43

� x� = –k ⇔ 3x2 – 4x + k = 0

A equação é impossível se b2 – 4ac < 0, ou seja,(–4)2 – 4 × 3 × k < 0

⇔ 16 – 12k < 0⇔ –12k < –16⇔ 12k > 16

⇔ k > �1162�

⇔ k = �43

C.S. = ��43

�, +��

k ∈ ��43

�, +��37. 2x + 1, 2x + 3 e 2x + 5 são três números ímparesconsecutivos.

2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 > 53⇔ 6x > 53 – 1 – 3 – 5⇔ 6x > 44

⇔ x > �464�

⇔ x > �232�

C.S. = ��232�, +��

Como �232� ≈ 7,(3), então os três números são

2 × 8 + 1 = 172 × 8 + 3 = 192 × 8 + 5 = 21R.: 17, 19 e 21

38. B = ]–�8�, π[B ∩ N = ]–�8�, π[ ∩ {1, 2, 3, 4, 5, …} = {1, 2, 3}Os elementos comuns aos dois cojuntos são 1, 2 e 3.

39. 39.1. 3t + 27 ≤ 81

⇔ �33t� + �

237� ≤ �

831�

(:3)

⇔ t + 9 ≤ 2739.2. 3t + 27 ≤ 81⇔ t + 9 ≤ 27⇔ t + 9 – 27 ≤ 0⇔ t – 18 ≤ 0⇔ 5t – 5 × 18 ≤ 0(×5)

⇔ 5t – 90 ≤ 0

40. Começando por resolver a inequação, temos–2(x – 3) – 3 < 11

⇔ –2x + 8 – 3 < 11⇔ –2x < 11 – 8 + 3⇔ –2x < 6⇔ 2x > 6

⇔ x > – �62

⇔ x > –3]–3, +�[ ∩ Z– = {–2, –1}Logo, há dois números, –2 e –1, que satisfazem acondição –2(x – 4) – 3 < 11.

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37

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

41.41.1. 3x < 3x ⇔ 3x – 3x < 0 ⇔ 0 < 0Inequação impossível. C.S. = { }41.2. x ≥ x ⇔ x – x ≥ 0 ⇔ 0x > 0C.S. = R41.3. 5x – 1 < 5x ⇔ 5x – 5x < 1 ⇔ 0x < 1 C.S. = R

42. Como π ≈ 3,1415…[A] π � ]–�; 3,14] porque π > 3,14.[B] π � ]0; π[ porque o intervalo é aberto em π.[C] π � ]3,14; +�[, porque π > 3,14.[D] π � ]π; +�[, porque o intervalo é aberto em π.Logo, a opção correta é a [C].

43. w ≥ –�3� + 1 ∧ �25

�(4 – w) > �85

⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ �85

� – �25

�w > �85

⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ –2w ≥ 8 – 8⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ 2w ≤ 0⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ w ≤ 0w ∈ [–�3� + 1; 0]Como –�3� + 1 ≈ –0,73, então, por exemplo:

w = –0,5 = – �12

R.: w = – �12

44. [A] I ∩ A = [�2� – 1, +�[ ∩ ]–1, 4] = [–�2�, 4][B] I ∩ A = [�2� – 1, 8[ ∩ ]–1, 4] = [�2� –1, 4][C] I ∩ A = [�2� – 1, 4[ ∩ ]–1, 4] = [�2� –1, 4][D] I ∩ A = [�2� – 1, 4[ ∩ ]–1, 4] = [�2� –1, 4]Logo, a opção correta é a [B].

45. Seja c o comprimento do retângulo e � a largurado retângulo.Sabemos que c = 7 + � e P = 2� + 2c. Então,P = 2� + 2(7 + �) =

= 2� + 14 + 2� == 4� + 14

Como P ≥ 54, temos:4� + 14 ≥ 54

⇔ 4� ≥ 54 – 14⇔ 4� ≥ 40

⇔ � ≥ �440�

⇔ � ≥ 10� � [10, +�[A largura tem, no mínimo, 10 cm.

c = 7 + � ⇔ c = 7 + 10 ⇔ c = 17 cmR.: As dimensões mínimas do retângulo são 10 cmde largura e 17 cm de comprimento.

46. A média dos três valores é dado pela expressão

�8,11 +

38,42 + x� = �

13

� x + 5 + 5,1

Como a média deve ser inferior a 8,6 e superior a8,3, então:

�13

� x + 5 + 5,1 > 8,3 ∧ �13

� x + 5,51 < 8,6

⇔ �13

� x > 2,79 ∧ �13

� x < 3,09

⇔ x > 8,37 ∧ x < 9,27C.S. = ]8,37; 9,27[R.: Na última medição o valor de PH poderá estarentre 8,37 e 9,27.

Praticar + – páginas 130 a 136

1.1.1. Como as retas r e s são paralelas, então têm omesmo declive.Sendo r : y = 25 + 10x, então s: y = 10x + b.A reta s interseta o eixo Oy no ponto (40, 0).Logo, a ordenada na origem é 40.s: y = 10x + 401.2. A abcissa do ponto A é 2 e A é um ponto dereta r. Logo,y = 25 + 10 × 2 ⇔ y = 25 + 20 ⇔ y = 45Então, A(2, 45)1.3. O sistema é impossível porque as retas sãoestritamente paralelas.

2. Substituindo a por 7 e b por 3 na expressão

�2a –

53b

� + (a + b)2, obtém-se:

�2 × 7 –

53 × 3� + (7 + 3)2 =

= �14

5– 9� + 102 =

= �55

� + 100 =

= 101Logo, 7 Ψ 3 = 101

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RESOLUÇÕES38

A_Prova

3. Resolvendo o sistema

2x – y = 8 2(5 – y) – y = 8 10 – 2y – y = 8⇔ ⇔

x + y = 5 x = 5 – y ———

– 2y – y = 8 – 10 –3y = –2 ——— ⇔ ⇔ ⇔

——— ——— x = 5 – �23

——— y = �23

⇔ ⇔ x = �

135� – �

23

� x = �133�

C.S. = ���133�, �

23

���(x, y) = ��

133�, �

23

��4. Seja x a quantidade procurada.

Assim, �13

�x é terça parte dessa quantidade

�1x� + �

13

�x = �4010

(×3) (×3)

⇔ 3x + x = 1200⇔ 4x = 1200

⇔ x = �12

400�

⇔ x = 300C.S. = {300}R.: A quantidade procurada é 300.

5. A opção [A] não é a correta porque π � A, umavez que π > �2�.Como �2� � A, as opções [B] e [C] não são corre-tas.Logo, a opção correta é a [D].

6. A média dos três números é dada pela expressão

= =

= �10x

3+ 6� = �

130� x + 2

Como a média é igual a 4x, então

�130� x + 2 = 4x

(×3) (×3)

⇔ 10x + 6 = 12x⇔ 10x – 12x = –6⇔ –2x = –6

⇔ x = �––62�

⇔ x = 3C.S. = {3}• x + 9 = 3 + 9 = 12• 7x – 3 = 7 × 3 – 3 = 18• 2x = 2 × 3 = 6R.: Os números são 6, 12 e 18.

7. 3 × f (a) = g(2a)

3 × �a2

3+ 4� = 2 × 2a

⇔ a2 + 4 – 4a = 0⇔ a2 – 4a + 4 = 0⇔ (a – 2)2 = 0⇔ a = 2C.S. = {a}Logo, a opção correta é a [B].

8.8.1. 2(2x – 3) = 4x – 1⇔ 4x – 6 = 4x – 1⇔ 4x – 4x = –1 + 6⇔ 0x = 5C.S. = { }Equação impossível.

8.2. 1 – �x –

36

� = –(x – 1)

⇔ �11

� – �x –

36

� = – �1x� + �

11

(×3) (×3) (×3)

⇔ 3 – x + 6 = –3x + 3⇔ –x + 3x = 3 – 3 – 6⇔ 2x = –6

⇔ x = �–26�

⇔ x = –3C.S. = {–3}Equação possível e determinada.

8.3. 2(x – 3) = �4x

2– 6� – 3

⇔ �21x� – �

61

� = �4x

2– 6� – �

31

(×2) (×2) (×2)

⇔ 4x – 12 = 4x – 6 – 6⇔ 4x – 4x = –6 – 6 + 12⇔ 0x = 0C.S. = REquação possível e indeterminada.

(x + 9) + (7x – 3) + (2x)���

3x + 7x + 2x + 9 – 3���

2

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39

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

8.4. 2x – 3(x – 4) – �x –

26

� = – �23

⇔ �21x� – �

31x� + �

112� – �

x –2

6� = – �

23

(×6) (×6) (×6) (×3) (×2)

⇔ 12x – 18x + 72 – 3x + 18 = –4⇔ 12x – 18x – 3x = –4 – 72 – 18⇔ –9x = –94

⇔ x = �––994

⇔ x = �994�

C.S. = ��994��

Equação possível e determinada.

9.9.1. 2x = 18

⇔ x = �128�

⇔ x = 9C.S. = {9}9.2. x2 – 10x + 25 = 0⇔ (x – 5)2 = 0⇔ x – 5 = 0⇔ x = 5C.S. = {5}

10.10.1. P = A�B� + B�C� + C�D� + D�E� + E�F� + F�G� + G�H� ++ H�A�F�G� = 2x – (x – 4 + x – 4) = 2x – x + 4 – x + 4 = 8P = 2x + 4 + x – 4 + 4 + 8 + 4 + x – 4 + 4 = 4x + 1610.2. P = 36

4x + 16 = 36⇔ 4x = 36 – 16⇔ 4x = 20

⇔ x = �240�

⇔ x = 5R.: x = 510.3. Apolígono = A[ABCH] + A[DEFG]

A[ABCH] = b × hA[ABCH] = 2x × 4 = 8xA[DEFG] = b × hA[DEFG] = 8 × 4 = 32Logo, Apolígono = 8x + 3210.4. Se a área do polígono é igual a 80, então

8x + 32 = 80⇔ 8x = 80 – 32

⇔ 8x = 48

⇔ x = �488�

⇔ x = 6R.: x = 6

11. Se a = 2, então 3a – 5b2 = 6⇔ 3 × 2 – 5b2 = 6⇔ –5b2 = 6 – 6⇔ –5b2 = 0

⇔ b2 = �–05�

⇔ b2 = 0⇔ b = 0C.S. = {0}R.: b = 0

12. [A] x2 – 16 = (x – 4) (x + 4)[B] 3x – 9x2 = 3x(1 – 3x)[C] (x – 7) (x + 7) = x2 – 49[D] 2x2 – 8x + 8 = 2(x2 – 4x + 4) = 2(x – 2)2

Logo, a opção correta é a [D].

13. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.Como a + b = 3, então (a + b)2 = 32 = 9.

14. [A] Se x > y, ax + ay ≠ 0[B] Se x = y, ax + ay ≠ 0[C] Se x < y, ax + ay ≠ 0[D] Se x = –y, ax + ay = 0. Substituindo x por –y,temos –ay + ay = 0Logo, a opção correta é a [D].

15. Atrapézio = �B

2+ b� × h

Atrapézio = �x + 4

2x – 2� × 8 = �

5x2– 2� × 8 = 20x – 8

Atriângulo = �b ×

2h

Atriângulo = �(3x +

21) × 8� = 12x + 4

Como os dois polígonos têm a mesma área, bastaigualar as duas expressões 20x – 8 = 12x + 4, resol-vendo a equação em ordem a x, obtemos

20x – 12x = 4 + 8⇔ 8x = 12

⇔ x = �182�

⇔ x = �32

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RESOLUÇÕES40

A_Prova

⇔ x = 1,5C.S. = {1,5}R.: x = 1,5 cm

16. –x ≥ –10. Trocando os sinais de desigualdadeobtemos x ≤ 10.C.S. = ]–�, 10]

17. A soma dos ângulos internos de um polígono édada pela expressão S = (n – 2) × 180o.Como se trata de um pentágono, n = 5.Logo, S = (5 – 2) × 180o = 3 × 180o = 540o

A amplitude de cada ângulo interno é 108o

(540 : 5 = 108).Então, x + y + 2 = 108 e 3y + x – 22 + x + y + 2 = 180, porque é um ânguloraso.Resolvendo o sistema com as duas equações

x + y + 2 =108

3x + x – 22 + x + y + 2 = 180

x + y = 108 – 2⇔

x + x + 3y + y = 180 + 22 – 2

x + y = 106 x = 106 – y⇔ ⇔

2x + 4y = 200 2(106 – y) + 4y = 200

——— ———⇔ ⇔

212 – 2y + 4y = 200 –2y + 4y = 200 – 212

——— ———⇔ ⇔

2y + 4y = 200 – 212 2y = –12

——— x = 106 + 6 x = 112⇔ ⇔ ⇔

y = �–122

� y = –6 y = –6

C.S. = {(112, –6)}R.: x = 112 e y = –6

18. Seja x o número de cachorros ‘‘simples’’ e y onúmero de cachorros ‘‘com tudo’’.Como vendeu 25 cachorros, então x + y = 25.Como faturou 59,5 €, então 2x + 3,5y = 69,5.Obtém-se o sistema de equações:

x + y = 25 ———⇔

2x + 3,5y = 69,5 20x + 35y = 695

x = 25 – y

⇔ 20(25 – y) + 35y = 695

——— ———⇔ ⇔

500 – 20y + 35y = 695 15y = 195

——— x = 25 – 13 x = 12⇔ ⇔ ⇔

y = �11955

� y = 13 y = 13

R.: O António vendeu 13 cachorros ‘‘com tudo’’.

19. a2 + 2 × a × b + b2 = 16⇔ (a + b)2 = 16⇔ a + b = –�1�6� ∨ a + b = �1�6�⇔ a + b = –4 ∨ a + b = 4⇔ 3(a + b) = –4 × 3 ∨ 3(a + b) = 4 × 3⇔ 3a + 3b = –12 ∨ 3a + 3b = 12Logo, a opção correta é a [C].

20. Sendo x, y e z os comprimentos dos lados dotriângulo escaleno e x < y < z.

�zx

� = 2; x + y = z + 2 e x + y + z = 24

Como �zx

� = 2 ⇔ x = 2x

Substituindo z por 2x nas expressões• x + y = z + 2 ⇔ x + y = 2x + 2 ? –x + y = 2• x + y + z = 24 ⇔ x + y + 2x = 24 ⇔ 3x + y = 24

Resolvendo o sistema de equações

–x + y = 2 y = 2 + x⇔

3x + y = 24 3x + 3 + x = 24

——— ——— ———

⇔ ⇔ ⇔ 3x + x = 24 – 2 4x = 22 x = �

242�

y = 2 + �121� y = �

125� y = 7,5

⇔ ⇔ ⇔ x = �

121� x = �

121� x = 5,5

(x; y) = (5,5; 7,5)O comprimento do lado maior é z, entãoz = 2x ou seja z = 2 × 5,5 = 11R.: O lado maior tem 11 cm de comprimento.

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41

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

21. �ab

� = �1x� ⇔ x = �

ab

Logo, a opção correta é a [A].

22. Seja x o dinheiro que a Inês recebeu do avô.

Então, �4x� representa o que gastou numa mochila e

�3x� representa o que gastou num tablet.

Como sobraram 100 €, temos:

x = �4x� + �

3x� + 100

(×12) (×3) (×4) (×12)

⇔ 12x = 3x + 4x + 1200⇔ 12x – 3x – 4x = 1200⇔ 5x = 1200

⇔ x = �12

500�

⇔ x = 240C.S. = {240}R.: A Inês recebeu 240 € do seu avô.

23.

18 + x = 2 × (7 + x)⇔ 18 + x = 14 + 2x⇔ x – 2x = 14 – 18⇔ –x = –4⇔ x = 4C.S. = {4}R.: Daqui a quatro anos a Filipa terá o dobro daidade da Ana.

24.24.1. 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 624.2. ]�2�, π[ ∩ A == ]�2�, π[ ∩ ]–�, 6[ == ]�2�, π[

25. 0,002x < 0,04

⇔ – �10

200� x < �

1400�

(×10)

⇔ –2x < 40⇔ 2x > –40

⇔ x > �420�

⇔ x > –20C.S. = ]–20, +�[

26. Sejam x, x + 1, x + 2 três números inteiros conse-cutivos.

x + x + 1 + x + 2 = (2x + 2) – 6⇔ 3x + 3 = 2x + 4 – 6⇔ 3x – 2x = 4 – 6 – 3⇔ x = –5C.S. = {–5}x = –5x + 1 = –4x + 2 = –3R.: –5, –4 e –3

27. Como a e b são números naturais, então a > 0 e

b > 0 e, portanto, a + b > 0, a × b > 0 e �ab

� > 0.

Logo, as opções [A] e [B] são verdadeiras e a opção[C] é falsa.A opção [D] pode ser verdadeira.Por exemplo, 1 – 3 < 0.Logo, a opção correta é a [C].

28. Como o aluguer da caravana custa D euros pordia, em 17 dias custa 17D.Como cada quilómetro percorrido custa K cêntimospercorrendo, 5300 km, custa 5300k, ou seja 53keuros.Assim, no total, pagará 17D + 53K cêntimos.Logo, a opção correta é a [B].

29. Uma fração equivalente a �56

� é do tipo �56kk�, sendo

k ≠ 0.Então, como adicionando 5 ao numerador obtém--se 15,5k + 5 = 15⇔ 5k = 10⇔ k = 2e 6 × 2 – y = 7⇔ –y = 7 – 12⇔ y = 5

Logo, �56

××

22

� = �1102�.

Idade atual Idade daqui a x anos

Filipa 18 18 + x

Ana 7 7 + x

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RESOLUÇÕES42

A_Prova

30. A opção [A] é falsa, porque se c > d e a > 0,então a × c > a × d.A opção [B] é falsa, porque se a > 0, b > 0, b = a,então a × c > b × d.A opção [C] é verdadeira, porque se d < c e b > 0,então b × d < b × d.A opção [D] é falsa, porque se c > d e b = a, a > 0,então b × c > a × d.Logo, a opção correta é a [C].

31. –3x ≥ 9⇔ 3x < –9

⇔ x ≤ – �93

⇔ x ≤ –3Logo, a opção correta é a [D].

32. [A] (2, –8)

2 × 2 – (–8) = 4 4 + 8 = 4 falso⇔

�2 × 2

3+ (–8)� = 2 × 2 – �

43

� = 4 falso

(2, –8) não é solução do sistema porque não é solu-ção das equações do sistema.[B] (–2, –8)

2 × (–2) – (–8) = 4 –4 + 8 = 4 verdadeiro⇔

�2 × (–2

3) + (–8)� = 2 × 2 �

–43– 8� = –4 verdadeiro

(2, –8) é solução do sistema porque é solução dasduas equações do sistema.[C] (–2, 8)

2 × (–2) – 8 = 4 –4 – 8 = 4 falso⇔

�2 × (–

32) + 8� = 2 × (–2) �

–43+ 8� = 4 verdadeiro

(–2, 8) não é solução do sistema porque não é solu-ção das equações do sistema.[D] (2, 8)

2 × 2 – 8 = 4 4 – 8 = 4 falso⇔

�2 × 2

3+ 8� = 2 × 2 �

4 +3

8� = 4 verdadeiro

(2, 8) não é solução do sistema porque não é solu-ção de uma das equações do sistema.Logo, a opção correta é a [B].

33. (x – 2) (x + 2) + 16 = 7x + 2(x – 3)2 ?⇔ x2 – 4 + 16 = 7x + 2(x2 – 6x + 9)⇔ x2 – 4 + 16 = 7x + 2x2 – 12x + 18⇔ x2 – 2x2 – 7x + 12x – 4 + 16 – 18 = 0⇔ –x2 + 5x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–5

–2± 1�

⇔ x = ∨ x =

⇔ x = 3 ∨ x = –2C.S. = {2, 3}

34. Como foram necessários três autocarros de 50 lu - gares, significa que foram 150 pessoas (50 × 3 = 150).Seja x o número de alunos e y o número de profes-sores.

x + y = 150 x = 150 – y⇔

8x + 15y = 1410 8(150 – y) + 15y = 1410

——— ———⇔ ⇔

1200 – 8y + 15y = 1410 –7y = –210

——— ——— ⇔ ⇔

y = �2170

� y = 30

x = 150 – 30 x = 120 ⇔ ⇔

y = 30 y = 30

R.: Acompanharam o grupo 30 professores.

35. [A] ]–�; 10] ∩ [4; +�[ = [4; 10][B] ]–�; 4] ∩ [–10; +�[ = [–10, 4][C] ]–�; 10] ∪ [4; +�[ = R[D] ]–�; 4] ∪ [–10; +�[ = RLogo, a opção correta é a [B].

36. 8x < 17 ⇔ 16x < 34(×2) (×2)

Logo, a opção correta é a [C].

–5 ± �5�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�6�)�����

2 × (–1)

–4�–2

–6�–2

⇔ x = –5 ± �2�5� –� 2�4���

–2

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43

Matemática – 9.º Ano

RESOLUÇÕES

37. f (x) = �2(x

3– 3)� + 4x

Se a imagem é �53

� então f (x) = �53

�2(x

3– 3)� + 4x = �

53

⇔ �2x

3– 6� + 4x = �

53

⇔ 2x – 6 + 12x = 5⇔ 2x + 12x = 5 + 6⇔ 14x = 11

⇔ x = �1114�

C.S. = ��1114��

R.: O objeto é �1114�.

38.38.1. a) Como g é uma função afim, é do tipo y = ax + b. Como A(1, 5) e B(2, 4) pertencem ao seugráfico, temos:

5 = 1 × a + b a + b = 5 a = 5 – b⇔ ⇔

4 = 2 × a + b 2a + b = 4 2(5 – b) + b = 4

——— ———⇔ ⇔

10 – 2b + b = 4 –2b + b = 4 – 10

——— a = 5 – 6 a = –1⇔ ⇔ ⇔

–b = –6 b = 6 b = 6

(a, b) = (–1, 6)Então, g(x) = –x + 6.b) Como a função f é uma função quadrática comvértice na origem do referencial, então f (x) = ax2.Sendo B(2, 4) um ponto do seu gráfico, então4 = a × 22 ⇔ 4a = 4 ⇔ a = 1Logo, f (x) = x2.c) y = –x2

38.2. f (x) = 25x2 = 25

⇔ x = ± �2�5�⇔ x = –5 ∨ x = 5C.S. = {–5, 5}R.: Os objetos são –5 e 5.38.3. Como o ponto c é o ponto de interseção dosgráficos das duas funções, basta igualar as funções edeterminar o valor de x, ou seja,

x2 = –x + 6⇔ x2 + x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x = �–1

2± 5�

⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}

↓abcissa do ponto B.

Se x = –3, então g(–3) = –(–3) + 6 = 3 + 6 = 9R.: C(–3, 9).

39. (–x + 5)2 = (–x)2 + 2 × (–x) × 5 + 52 == x2 – 10x + 25Logo, a opção correta é a [D].

40. [A] 14x – 8y é um binómio.[B] 2x + 3y é um binómio.[C] 4xy é um monómio.

[D] �–x

3+ y� = – �

3x� + �

3y� é um binómio.

Logo, a opção correta é a [C].

41. 2x2 – 8x + 8 = 0⇔ 2(x2 – 4x + 4) = 0

⇔ x2 – 4x + 4 = �02

⇔ x2 – 4x + 4 = 0⇔ (x – 2)2 = 0⇔ (x – 2) = 0⇔ x = 2C.S. = {2}

42. Seja x a idade do Fernando.Então, x – 1 é a idade da Catarina.Como a soma das duas idades é 69, temos:

x + (x – 1) = 69⇔ 2x = 70

⇔ x = �720�

⇔ x = 35C.S. = {35}x – 1 = 35 – 1 = 34R.: A Catarina tem 34 anos.

–1 ± �1� –� 4� ×� (�–�6�)����

2 × 1

⇔ x = –1 ± �2�5���

2

Page 44: Matemática – 9 .º Anoexame.leyaeducacao.com/Prova_matematica9_asa/Resolucao/04_Tema4.pdf5 Matemática – 9 .º Ano RESOLUÇÕES 20. Seja x o número de rosas vermelhas. Assim,

RESOLUÇÕES44

A_Prova

43.43.1. mAB = �

100––48

� = �–24� = – �

12

43.2. Se a reta s é paralela à reta AB, então as retas

têm o mesmo declive, ou seja, – �12

�.

s: y = �12

� x + b

Como a reta AB passa no ponto (0, –3), então tem

ordenada na origem –3. Logo, s: y = – �12

� x – 3.

6. [A] –4(x – 7) = 0 ⇔ –4x + 28 = 0Equação do 1.o grau.[B] 3(x2 – 4x) = 2 + 3x2

⇔ 3x2 – 12x – 2 – 3x2 = 0 ⇔ –12x – 2 = 0Equação do 2.o grau.[C] 42 + 16 = 32Não é uma equação.[D] x(x – 4) = 7 ⇔ x2 – 4x – 7 = 0Equação do 2.o grau.Logo, a opção correta é a [D].