Matemáticas

Bloque 2

Potencias Raíces cuadradas

El tablero de ajedrez

Para saber cuántas casillas tiene este tablero de ajedrez puedes fijarte en que hay 8 filas de 8 casillas cada una, luego habrá 8 x 8 = 64 casillas.

Siguiendo con el ajedrez, cuenta una leyenda que un rey muy rico quiso recompensar al inventor del ajedrez ofreciéndole el premio que él pidiera.El inventor pidió que en un tablero de ajedrez le pusieran dos granos de arroz en la primera casilla, 4 en la segunda, 8 en la tercera, 16 en la cuarta y así sucesivamente hasta la casilla 64. En cada casilla debería haber el doble de granos de arroz que en la anterior.Al rey le pareció que el inventor había pedido un premio muy pequeño. Se ve que no sabía de matemáticas.

Calcula cuántos granos de arroz habría que poner en la casilla número 16 (y solo habremos llenado dos filas del tablero).

PotenciasEn la casilla 16 habría:2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 65536 granos

Para escribir esta multiplicación de forma más breve usamos las potencias. Como multiplicamos el 2 dieciséis veces por sí mismo, escribimos:

216 = 65536Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.2 es la base y 16 es el exponente.

En los cuadrados hay que multiplicar el número de casillas que hay en un lado 2 veces por sí mismo. En los cubos hay que multiplicar los dados que hay en un lado 3 veces por sí mismo.

En el cuadrado verde hay 3x3 = 32 = 9 casillas. 32 se nombra 3 elevado a 2 o también 3 al cuadrado.En el cubo azul habrá 5x5x5 = 53= 125 dados. 53 se nombra 5 elevado a 3 o 5 al cubo.

Potencias de base 10

101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000

Las potencias de base 10 son muy prácticas para escribir números acabados en varios ceros:100000= 105 25000= 25 x1000= 25x103 600=102

Descomposición polinómica de un número

Ya sabes que un número se puede escribir así:25673= 2x10000 + 5x1000 + 6x100 + 7X10 + 3

Usando potencias de base 10 escribiremos:

25673= 2x105 + 5x10003 + 6x102 + 7x101 + 3

Números astronómicos

En la astronomía suelen emplearse números enormes. Por ejemplo, se calcula que en la Vía Láctea hay unos cien mil millones de estrellas. 100.000.000.000 se escribe mucho mejor así: 1011

Raíces cuadradasRecuerda el tablero de ajedrez. Tiene 8 casillas por cada lado y en total 8x8= 82= 64 casillas.

Si te dijeran que tienes 25 piezas cuadradas y vas a colocarlas formando un cuadrado, ¿cuántas piezas debe tener por cada lado? Lógicamente, formaremos un cuadrado de cinco piezas por lado, 5x5= 25 piezas.

¿Cuántas piezas tendrá de lado un cuadrado perfecto formado por 49 piezas? ¿Y otro de 36?

El número de piezas que tiene de lado el cuadrado que formamos con todas las piezas se llama la raíz cuadrada del número total de piezas.

Raíz cuadrada de 64= 8 Raíz cuadrada de 25= 5.

En matemáticas, la raíz cuadrada se representa con el símbolo:

64 = 8 36 = 6 49 = 7

Piensa ahora cuáles serán las raíces cuadras de 16 y de 81.

En el vestíbulo principal del colegio hay un cuadrado formado por baldosas cuadradas. Escribe el total de baldosas y el número de baldosas por lado usando potencias y raíces.

Una pregunta más:¿Qué pasaría si quisiéramos formar un tablero de ajedrez con 65 piezas cuadradas?

Si ya has averiguado cuántas baldosas negras hay en el cuadrado del vestíbulo del cole y cuál es la raíz cuadrada de ese número, imagínate que formáramos un cuadrado que tuviera por cada lado una baldosa más.

Para calcular el total de baldosas podemos multiplicar: nº de baldosas por lado x nº de baldosas por lado. Pero también podemos hacerlo partiendo del cuadrado original y calcular el nuevo número total sin multiplicar.

¿Cuántas baldosas tendría un cuadrado de 15 baldosas por cada lado?

Lo calcularíamos así: 152= 15x15 = 225

En clase aprenderemos algunos trucos para realizar mentalmente esta multiplicación de un número de dos cifras por sí mismo y para elevar al cuadrado el número siguiente sin necesidad de hacer operaciones.

Truco nº 1Elevar un número al cuadrado cuando conozco cuánto vale el cuadrado del número anterior.

Por ejemplo, si 122= 144 ¿cuánto valdrá 132?

Observa que para representar 132 añadimos al cuadrado una fila de 12 casillas por cada lado más una casilla en la esquina. Es decir añadimos 2 x12 + 1 casillas.

132 = 122 + 2 x 12 + 1 = 144 + 25 = 169

Si queremos calcular ahora 142:

169 + 2 x 13 + 1 = 169 + 27 = 196

Truco nº 2Calcular mentalmente el cuadrado de un número de dos cifras

Este truco se lo debemos a un matemático, físico y astrónomo inglés que vivió en el siglo XVIII llamado Isaac Newton. Según opinan muchos científicos, el mayor físico y matemático de todos los tiempos.

Para ello recordamos antes la propiedad distributiva: 3 x (5 + 2) = 3x5 + 3x2 = 15 + 6 = 21.

Pues bien, voy a calcular 252 = 25 x 25

Sé que 25 = 20 + 5, así que

252 = 25 x (20 +5) = 25x20 + 25x5Ahora descompongo de nuevo 25 en decenas y unidades:(20 + 5) x 20 + (20 + 5) x 5 y aplico otra vez la propiedad distributiva: 20x20 + 20x5 + 20x5 + 5x5.

Multiplicamos y sumamos todo: 252 = 400 + 100 + 100 + 25 = 625.

Parece un lío, pero observa: 1. Descomponemos el número en decenas y unidades:

25 = 20 + 5

2. Elevamos cada sumando al cuadrado:20 x 20 = 202 5 x 5 = 52

3. Multiplicamos un sumando por el otro y por 2:20x5 + 20x5 = 20x5x2

4. Sumamos todo y ya tenemos el número elevado al cuadrado.

400 + 25 + 20x5x2 = 400 + 25 + 200 = 625

En honor a su inventor este procedimiento se llama el

BINOMIO DE NEWTON