MATEMATICA_FINANCEIRA_-_Regiane_Janaina_de_Menezes_31-10-11.pdf

7/18/2019 MATEMATICA_FINANCEIRA_-_Regiane_Janaina_de_Menezes_31-10-11.pdf

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Matemtica Financeira

Tcnico em Logstica

Regiane Janaina Silva de Menezes


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Regiane Janaina Silva de Menezes

2011

Cuiab-MT

Matemtica Financeira


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Presidncia da Repblica Federativa do Brasil

Ministrio da Educao

Secretaria de Educao a Distncia

Presidncia da Repblica Federativa do Brasil

Ministrio da Educao

Secretaria de Educao a Distncia

de Anpolis - GO, Ministrio da Educao e a Universidade Federal de MatoGrosso para o Sistema Escola Tcica Aberta do Brasil - e-Tec Brasil Brasil.

Este caderno foi elaborado em parceria entre o Centro de Educao Profissional

Ficha Catalogrfica

R639m Menezes, RegianeMatematica Financeira. p. : il. ; color.

ISBN

1. I. Ttulo.

CDU 00000

Universidade Federal de Mato GrossoUFMT

Coordenao InstitucionalCarlos Rinaldi

Coordenao de Produo de MaterialDidtico Impresso

Pedro Roberto Piloni

Designer MasterDaniela Mendes

IlustraoQuise G. Brito

Diagramao

Elizabeth Kock Carvalho Netto

Reviso de Lngua PortuguesaLivia de Sousa Lima Pulchrio Monteiro

Reviso CientficaClaudinet Coltri Jr.

Projeto GrficoE-TEC/MEC

Centro de Educao Profissional deAnpolis CEPA/GO

Coordenao InstitucionalJos Teodoro Coelho

Comisso de Apoio ProduoElisa Maria Gomide

Joicy Mara Rezende RolindoDenise Mendes Frana

Coordenador do CursoMaria Cristina Alves de Souza Costa


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e-Tec Brasil

Apresentao e-Tec Brasil

Prezado estudante:

Bem-vindo ao e-Tec Brasil!

Voc faz parte de uma rede nacional pblica de ensino, a Escola Tcnica Aberta do Brasil,

instituda pelo Decreto n 6.301, de 12 de dezembro 2007, com o objetivo de democrati-

zar o acesso ao ensino tcnico pblico, na modalidade a distncia. O programa resulta-

do de uma parceria entre o Ministrio da Educao, por meio das Secretaria de Educao

Profissional e Tecnolgica (SETEC), as universidades e escolas tcnicas estaduais e federa-

is.

A educao a distncia no nosso pas, de dimenses continentais e grande diversidade

regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao garantir acesso educa-

o de qualidade, e promover o fortalecimento da formao de jovens moradores de

regies distantes, geograficamente ou economicamente, dos grandes centros.

O e-Tec Brasil leva os cursos tcnicos a locais distantes das instituies de ensino e para a

periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir o ensino mdio. Os cur-

sos so ofertados pelas instituies pblicas de ensino e o atendimento ao estudante

realizado em escolas-polo integrantes das redes pblicas municipais e estaduais.

O Ministrio da Educao, as instituies pblicas de ensino tcnico, seus servidores tc-

nicos e professores acreditam que uma educao profissional qualificada integradora

do ensino mdio e educao tcnica, capaz de promover o cidado com capacidades

para produzir, mas tambm com autonomia diante das diferentes dimenses da realida-

de: cultural, social, familiar, esportiva, poltica e tica.

Ns acreditamos em voc!

Desejamos sucesso na sua formao profissional!

Ministrio da Educao

Janeiro de 2011

Nosso contato

[email protected]

Matemtica Financeira - Regiane Janaina Silva de Menezes


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Sumrio

e-Tec Brasil7Matemtica Financeira - Regiane Janaina Silva de Menezes

Palavra da Professora-Autora ..............................................................................11

Apresentao da Disciplina....................................................................................13

Aula 1 Introduo Matemtica financeira ..............................................15

Aula 2 Juros Simples .....................................................................................23

Aula 3 Juros Compostos Parte I .....................................................................33

Aula 4 Juros Composto Parte II ......................................................................41

Aula 5 Descontos ............................................................................................49

Aula 6 - Descontos Simples Parte I ....................................................................57

Aula 7 - Descontos Simples Parte II ..................................................................63

Aula8 - Descontos Composto.............................................................................71

Retomando a Conversa Inicial ..........................................................................83

Guia de Solues ................................................................................................81

Referencia ..........................................................................................................82

Currculo da Professora-autora .......................................................................85


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Indicaes do cones

cones - elementos grficos utilizados para ampliar as formas de linguagem efacilitar a organizao e a leitura hipertextual.

!

A-Z

ATENO: indica pontos de maior relevncia no texto.

SAIBA MAIS: oferece novas informaes que enriquecem o assunto oucuriosidades e notcias recentes relacionadas ao tema

GLOSSRIO: indica a definio de um termo, palavra ou expressoutilizada no texto.

MDIAS INTEGRADAS: remete o tema para outras fontes: livros, filmes,msicas,sites, programas de TV.

ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM: apresenta atividades em diferentesnveis de aprendizagem para que o estudante possa realiz-las e conferiro seu domnio do tema estudado.


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Caro(a)estudante,

Este material foi elaborado pensando em voc, por isso todo seu contedo foipreparado de forma clara e objetiva, visando sua aprendizagem.

Neste mdulo vamos entender melhor como funciona os clculos da MatemticaFinanceira, no s para uma empresa, mas tambm para seu crescimento pessoal e

profissional, tendo como objetivo principal desenvolver em voc a capacidade deexecutar as principais operaes financeiras que envolvem o dia a dia de uma empresade logstica.

Espero que atravs deste material voc possa quebrar certas barreiras em relao aclculos matemticos, deixando de lado certos termos como difcil, no sei,complicado, vivenciando assim a importncia da compreenso da matemtica em suavida cotidiana.

Aproveite cada momento de estudo, lembre-se sempre que o seu sucesso depende devoc.

Ento quero lhe desejar muito sucesso nesta nova caminhada.

Bons estudos!

Abraos!

Prof. Regiane Menezes

,

Palavra da professora-autora



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Caro(a) estudante,

Nessa disciplina estaremos abordando assuntos relevantes da rea financeira de umaempresa. Visto que de suma importncia interpretar e analisar as informaesrecebidas como taxas, juros, descontos e suas aplicaes, por isso, um profissional darea de logstica precisa ter uma viso sistmica, ou seja, o funcionamento de toda aempresa.

Assim em nossa primeira aula falaremos um pouco da histria da matemticafinanceira, como surgiu a idia de juros e outras curiosidades. Tambm iremosconhecer os termos aplicados aos clculos financeiros.

Em nossa segunda aula, comearemos a aplicar e calcular os conceitos referentes aosjuros simples abordando algumas situaes, como: clculo da taxa, perodo, montante.

Na terceira e quarta aula, demonstrarei vrias situaes envolvendo o clculo de juroscompostos, e tambm ser apresentada a diferena entre juro simples e juro composto.Nesta aula, voc tambm ir compreender como calcular taxa, perodo, montante e

vrias situaes abordando o juro composto.

Aps o estudo dos juros, voc ir conhecer alguns ttulos de crditos utilizados paradescontos, este assunto ser abordado em nossa quinta aula.

Dando continuidade ao desconto, em nossa sexta aula, voc ir compreender e analisarclculos de descontos simples e algumas particularidades para esse clculo, como:diferenciar desconto racional de desconto bancrio.

Para finalizarmos o estudo dessa disciplina, na stima e oitava aula estudaremos osclculos de descontos compostos e suas aplicaes. Durante esse estudo voc ir

perceber a importncia do setor financeiro dentro de qualquer instituio e suaaplicabilidade.

Bons estudos!

Prof. Regiane Menezes

Apresentao da Disciplina



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Introduo Matemtica Financeira

Objetivos:

Esperamos que ao final desta aula voc seja capaz de:

Compreender a importncia da matemtica financeira em nosso dia a dia;Realizar as principais operaes financeiras que envolvem o dia a dia de

uma empresa de logstica.Conhecer os conceitos utilizados na matemtica financeira;Definir juros, capital, montante e taxa.

A matemtica est na vida de todas as pessoas, em situaes que preciso, porexemplo, quantificar, calcular, analisar, planejar, afinal, faz parte da vida humana.

Nessa primeira aula vamos conhecer melhor alguns conceitos matemticos e voccompreender a importncia da matemtica financeira em nosso dia a dia.

Vamos entender o que a Matemtica Financeira?

A Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas deinvestimentos ou financiamentos de bens de consumo .

Consiste em empregar procedimentos matemticos para simplificar a operaofinanceira. E ela surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro notempo.

Taxa, inflao, ndice de preos, lucros, prejuzos, cotaes de moedas, valor atuallquido e outros itens e alternativas econmicas fazem parte dessa disciplina.

Mas o que o valor do dinheiro no tempo?

Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje valem mais que esses mesmosR$ 4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A princpio, isso nos parece muito simples,porm, poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre. Voc saberia?

A-Z

Bens de Consumo: o bem que se

destina a satisfazeras necessidades de

consumo de um

indivduo>

O fluxo pode ser representado por diagrama

30

500

05 06 10 20 25 27

10080 65 100

55100Sa das

Entradas

Tempo

O fluxo pode ser representado por diagrama

30

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Entradas

Tempo

Fluxo de Caixa:serve para

demonstrargraficamente as

transaesfinanceiras emum perodo de

tempo>


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e-Tec Brasil 18 Matemtica Financeira - Regiane Janaina Silva de Menezes

Com isso, podemos ainda conceituar Matemtica Financeira de maneira simples comoo ramo da matemtica que tem como objeto de estudo o comportamento do dinheiro aolongo do tempo.

Gostaria que voc pensasse da utilizao da Matemtica financeira na sua vida pessoale profissional como o clculo do valor de prestaes, pagamentos de impostos,rendimentos de poupana, o custo do dinheiro emprestado, deciso sobreinvestimentos numa empresa de logstica e outros.

Investimento:

so aplicaes emequipamentos visandoao aumento dacapacidade de servioprestado, fabricaoou de comercializao(instalaes,mquinas,transporte,infraestrutura).

A-Z

Exemplo:

Uma pessoa vai fazer uma compra no valor deR$ 4.000,00, usando o que tem depositado nacaderneta de poupana, que est rendendo 1% aoms. Ela quer saber, do ponto de vista financeiro,qual plano de pagamento ser mais vantajoso:

Pagar vista;Pagar em duas prestaes iguais deR$ 2 005,00 cada uma. (DANTE, 2008)

Atravs do estudo da MatemticaFinanceira voc vai compreender qualseria a melhor alternativa no exemploacima. Ento j quer dar seu palpite?

Se na vida pessoal temos que tomardecises que nos afetaro por um bomtempo, imagine na vida de umaempresa cujo faturamento bastantesuperior renda de uma famlia.Assim o estudo da MatemticaFinanceira se reveste de vitalimportncia para qualquer pessoa epara a si tuao financeira dasempresas.

Gostaria de destacar tambm sobre ocheque especial que pode oferecer vantagens aos seus clientes. Mas ateno, pois cadainstituio bancria possui uma tabela de juros. Desta forma, devemos verificar sobreos juros cobrados pelas instituies financeiras, pois alm desses juros no saldodevedor do dia tem a cobrana do IOF (Imposto sobre Operaes Financeiras).

Agora vamos conhecer alguns termos utilizados em atividades financeiras.

Bem, o primeiro que vamos entender o Capital.

,

Faturamento: ototal de vendas deuma empresa emum determinadoperodo.


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Voc sabe o que Capital? Capital o valor aplicado em alguma transao financeira.Nas operaes de crdito tambm conhecido como Principal. Voc tambm pode

classific-lo como Valor Presente, Valor Atual ou Valor Aplicado, todas essasdefinies possuem a mesma caracterstica. Mas no importa como ele chamado esim que sobre o Capital se incidem os encargos financeiros.

Continuando vamos conhecer o que significa Juros?

Juro representa a remunerao do capital empregado, seja pelo Banco ou pelaEmpresa. Quando voc aplica um capital em algo est tomando uma deciso de adiarum consumo, certo? Assim, voc espera obter de alguma forma um prmio por terdeixado de consumir e ter poupado. Esse prmio representado pelo juro que vocrecebeu caso aplique num CDB (Certificado de Depsito Bancrio) de um Banco ou

empreste o dinheiro a algum amigo.Mas juro no s prmio Se voc atrasa o pagamento de alguma obrigao financeira(duplicatas, boleto bancrio), sobre o valor atual ter incidncia de juros pelopagamento atrasado. Lembra que j falamos sobre valor atual? Isso mesmo, estamosnos referindo ao Capital.

O juro uma das mais antigas aplicaes da matemtica finan

Podemos notar que a matemtica utilizada hojeteve origem h muitos sculos e foi-seadequando. Vamos continuar nosso estudo?

Agora vamos entender o que Montante.Montante a soma do capital com os jurospodendo tambm ser chamado de valor futuroou valor final.

Quando um investidor aplica um capital porcerto tempo a uma determinada taxa, no finaldesse perodo de tempo, ele tem a suadisposio no s o valor inicial (valor presenteou capital) aplicado, mas tambm os juros quelhe so devidos. Esse total, a soma de capital ejuros chamado Montante.

Taxa de juros: Taxa de Juros o valor do juro em determinado tempo, expresso comoporcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitria ou percentual(0,15 ou 15%, respectivamente).

,

.

,

ceira. Foi-se adequandoao longo do tempo de acordo com as necessidades de cada poca, e buscando novasformas de trabalhar a relao tempo-dinheiro.

Encargos

financeiros:so juros ou

taxas cobradospelas

instituiessobre algum

tipo detransaofinanceira

A-Z

Saiba mais>http://www.somatematica.com.br/

historia.php


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Prazo e Perodos: As transaes financeiras so feitas tendo-se como referncia umaunidade de tempo (como um dia, um ms, um semestre, etc.) e a taxa de juros cobradanesse determinado tempo.Lembre-se:

A taxa de juros e o prazo devem estar sempre na mesma unidade de tempo

Como foi observado devemos tomar cuidado especial no manejo das taxas e dosperodos de tempo a fim de no trat-los com unidades diferentes.

Precisamos prestar ateno tambm no fato de que os juros podem ser calculados combase no ms e no ano comercial.

Para os clculos de Matemtica comercial e financeira utilizamos anocomercial = 360 dias e o ms comercial = 30 dias

Exemplo:

a) taxa 5% a.a. e o perodo em 5 meses.

Temos que dividir a taxa 5/12, transformando assim a taxa em ms. Pois o ano so 12meses. 5/12 = 0,41% a.m. ficaria equivalente ao perodo de 5 meses.

b) taxa de 12% a.m. e perodo de 2 anos.

Para que voc entenda as abreviaes utilizadas temos que: a.a significa ao ano, a.m. aoms , a.d. ao dia.

Nesse exemplo podemos transformar o perodo em meses (2 anos = 24 meses) eteramos ento a equivalncia. Voc percebeu que se pode transformar, tanto a taxa (i)como o perodo (t), ento o importante termos taxas equivalentes.

,

,

Capital = C

Taxa de juros = i

Perodo de tempo = n

Juros ao capital inicial = C x i x n

Montante = C+J


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Nessa primeira aula, j percebemos a importncia da Matemtica Financeira dentro docontexto de uma empresa pela tomada de decises. Lembra do primeiro exemplo?Ento j tem seu palpite? Nas prximas aulas vamos estudar como voc poderresolver a questo escolhendo

Resumindo

Hoje ns vimos a importncia da matemtica e algumas curiosidades.Vamos relembrar.

Capital: o valor aplicado em alguma operao financeira.

Juros: a remunerao pelo emprstimo do dinheiro.

Montante: a soma do capital com o juro.

Taxa: representao do juro em forma porcentual (%)

Prazo: que pode estar definido em dias, meses ou anos.

,

1)Aps a leitura do captulo defina os seguintes conceitos:

a) Capital:

b) Juros:

c) Taxa:

d) Montante:

2)Relacione as colunas:

(1) Nome que se d a valor acumulado (capital+Juro)(2) Nome da quantia empregada.(3) Como se define Prazo(4) Encargos Financeiros

3)Analisando a matemtica financeira em uma empresa, descreva com suas palavrasqual a importncia de entender esses clculos.

( ) Dias , meses e anos( ) Capital( ) Juros ou taxas cobrados pelas instituies.( ) Montante


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4)Vamos colocar em prtica o que voc aprendeu sobre a equivalncia de taxa eperodo, ento transforme cada em uma mesma unidade:

a) 12% a.a. e perodo 5 meses:

b) 5% a.m. e perodo em 15 dias:c) 24% a.m. e perodo em 2 anos:

Para poder conferir mais detalhes sobre as respostas voc poder consultar os livros:

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica financeira objetiva e aplicada. 6 . Ed. SoPaulo: Saraiva. 1999.BRANCO, Ansio Costa Castelo. Matemtica Financeira aplicada: mtodo algbrico,HP 12C, Microsoft Excel. So Paulo: Pioneira. 2002.

Caro/a estudante

Voc terminou a primeira aula, mas ainda h muito para aprender. Continue atento/apois na prxima aula as informaes sero sobre Juro Simples.

Bons Estudos!


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Aula 2Juros Simples



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Juros simples

Objetivos

Aplicar conceito de juro simplesRealizar clculos de jurosInterpretar situaes que envolvam o clculo de juros.

Nesta aula, voc ir estudar o clculo de juro simples e algumas situaes geradas pelarelao tempo-dinheiro e para isso voc precisar do uso de uma calculadora. Na aulaanterior conceituamos juros. Lembra? Ento o que juros? Juro representa aremunerao do capital empregado, seja pelo Banco ou pela Empresa. Isso mesmo,

muito bem!

Acredito que voc j viu e sabe o que uma calculadora. Mas importante frisarque, calculadoras so instrumentos que servem para dar mais velocidade


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Mas antes de falarmos sobre juros, gostaria de comentar primeiro sobre o termo taxa(%). Em televiso, rdio, jornal, folhetos de propaganda, entre outros meios decomunicao comum o uso do termo taxa.

Ex: Promoo: na compra de 3 peas ganhe um desconto de 10%.

A taxa de juro sempre apresentada em relao ao intervalo de tempo. Por exemplo:

2% a.d. ( 2% ao dia)12% a.m. (12% ao ms)10% a.b. (10% ao bimestre)24% a.t (24% ao trimestre)15% a.a. (15% ao ano)

Quando voc vai a alguma loja comprar algum produto ou em um banco obter umemprstimo, ento voc tem um prazo para pagar certo? Isso mesmo, o prazo daoperao financeira dado em dias, meses, trimestres, anos, etc.

Lembre-se que falamos no primeiro captulo que a taxa de juros e o prazo devem estarsempre na mesma unidade de tempo.

Nas transaes financeiras e comerciais so muito comuns situaes de compra aprazo, emprstimo e aplicaes. Ao comprarmos um produto a prazo, pagamos, almdo valor do produto, uma quantia chamadajuro. Quando tomamos emprestada certaquantia em dinheiro, pagamos, alm dessa quantia, um acrscimo que corresponde aoaluguel do valor empregado. Esse acrscimo tambm chamado dejuro.

,

:,


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Lembre-se que nos referimos ao cheque especial na primeira aula, ento vamosanalisar como feito esse clculo. J falamos que os juros so calculados no saldodevedor do dia.

Observe uma conta com saldo devedorDia Saldo (R$)

01 0

02 - 500,00

03 - 1.500,00

04 - 2.500,00

05 - 3.000,00

Supondo que essebanco tenha juros de9,0% ao ms noc h e q u e e s p e c i a l(0 ,3% ao d ia 9,0%/30.)

Teramos:

Dia Clculo de Juros Valor de juros

01 0 x 0,3% 0

02 500 x 0,3% 1,50

03 1500 x 0,3% 4,50

04 2500 x 0,3% 7,50

05 3000 x 0,3% 10,50

Total 24,00

Observe que somente em cinco dias o correntista ir pagar R$ 24,00 de juros, e aindano podemos esquecer que sobre esse valor tem o IOF (Imposto sobre OperaesFinanceiras).

Ento podemos verificar que o melhor evitar manter saldo devedor na conta correntede cheque especial.

Agora, ficou fcil, no verdade? Vimos vrias situaes onde podemos empregar otermo juros.

Continuando nossa aula vamos entender como realizado o clculo de juros simples.

Para calcularmos o juro simples devemos considerar :

A quantia empregada na transaoque chamada de capital ( C )A taxa porcentual paga ou recebida pelo aluguel da quantia que chamada de

taxa de juro ( i ).O tempo de durao da operao financeira que chamado de prazo ( t ).

Quando o juro calculado sobre o capital inicial e acrescentado ao mesmo somente aofinal da aplicao, ele chamado dejuro simples.

Vamos fazer um exemplo prtico, preste ateno voc ver como fcil de fazer.

Para calcularmos o juro simples produzido por um capital de R$ 200,00, taxa de jurosde 5% ao ms em trs meses, podemos proceder assim:

Vou fazer algumas perguntas, certo? Qual o nosso capital? Isso mesmo! R$ 200,00.Temos que encontrar a taxa. E a j sabe qual ? Muito bem! 5%. E para podermos fazero clculo temos ainda o prazo certo? Qual o prazo? Que legal! Voc acertou! Trsmeses.

,


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Com isso podemos concluir que temos alguns dadossobre a situao.Capital ( C ) = R$ 200,00

Taxa ( i ) = 5 % a.m. ou 0,05Prazo ( t ) = 3 meses

Voc viu que a taxa e o prazo esto na mesma unidadede tempo. Esse detalhe muito importante.

E tambm para resolvermos o clculo de juros, a taxapercentual transformada em taxa unitria. Siga oexemplo:

15% = ___= 0,15

...0,5% =___ = 0,005

...

J = C. i . t

0,5

15

100

100

Observe que a transformao feita dividindo a taxa por 100 e transformando emdecimal. (0,5 e cada 100)

De modo geral, o juro simples produzido por um capital ( C )a uma taxa de juro ( i )por um prazo ( t )ou ( n ) dado por:

Em alguns livros voc poder notar que nafrmula do juro o termo perodo (tempo) representado pela letra n

Resolvendo a situao:

J = C. i. tJ = 200,00. 0,05. 3J = 30,00

O juro simples produzido de R$ 30,00Vamos criar algumas situaes problema para que possamos entender melhor comoso realizados os clculos.

1) Exemplo:

a) Um investidor aplicou R$ 430,00 a juro simples taxa de 15% a.a. Vamos calcular omontante que receber daqui h dois anos. Lembre-se: temos que verificar se a taxa (i)e o prazo(t) esto na mesma unidade de tempo .


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Clculo do juro:Seleo de dados:C = 430,00; i = 15% a.a.; t = 2 anosJ = C. i.t

Clculo de juro:J= 430,00. 0,15. 2J = 129,00

b) Achar o tempo de aplicao de um capital de R$ 360,00 a 0,8% a.m. para render R$17,28 de juro simples.

Veja que nessa situao no temos que encontrar o juro ( j ), mas sim, o tempo ( t ).Vamos entender como se realiza o clculo?

Temos: Clculo

C = 360,00 J = C.i.ti = 0, 8% a.m. = 0,008 17, 28 = 360,00. 0,008. tj = 17,28 17, 28 = 2,88t

2,88.t = 17,28 t = t= 6 meses

No exemplo da letra a encontramos os juros simples que renderam durante umdeterminado perodo; retornando quela situao vamos encontrar o seu Montante.

a) Um investidor aplicou R$ 430,00 a juro simples taxa de 15% a.a. Vamos calcular omontante que receber daqui h dois anos. Lembre-se temos que verificar se a taxa (i)e o prazo (t) esto na mesma unidade de tempo. O juro encontrado foi de: R$ 129,00

M = C + JM = 430,00 + 129,00M = 559,00

Nessa expresso, M o montante, C o capital e J os juros.Como J = C.i.t, podemos reescrever a expresso acima da seguinte maneira:M = C + C. i. t e colocando C em evidncia, temos:

M = C ( 1 + i . t )

Est frmula relaciona o montante com o capital, com a taxa e com o perodo de tempo.

Lembre-se que nos clculos matemticos quandotenho uma varivel ela sempre fica no primeiromembroNo primeiro captulo falamos sobre o conceito de Montante(capital + juros).Vamos agora entender melhor como feito esse clculo?

,

,

:

17,282,88

Varivel:umaletra que

representaqualquer

nmero ou onmero que se

quer calcular

A-Z

E n t o v o c c o n s e g u i u v e r a d i f e r e n a e n t re o j u r o s i m p l e s e o ju r o c o m p o s t o . Q u ebo m ! P a ra r es o lv erm os c l cu lo s co m ju r os c om p os tos u t i l iz am o s a s eg u in te f rm ula:

M = C (1 + i )t


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Neste captulo entendemos como so realizados os clculos de juro simples e

vimos tambm alguns exemplos onde foi aplicada a frmula.A frmula para o clculo do :

juro simples J = C. i. t;montante M = C ( 1 + i. t)

Vamos agora colocar em prtica tudo que estudamos?

1) Calcule o juro simples produzido por um capital de R$ 2.000,00 investido a: 4

a) 9% a.a. em 8 anosb) 12% a.t. em 4 trimestresc) 18,5% a.m. em 5 mesesd) 0,5% a.s. em 4 semestres

2) Um investidor aplica a juro simples R$ 650,00 a juro simples R$ 650,00 a 1,6%a.m. por 4 meses. Um segundo investidor aplica, tambm a juro simples, R$ 800,00 a1,8% a.m., por 3 meses. 5a) Qual dos dois investidores recebe mais juros?

b) De quanto a diferena desses juros recebidos?

3)Um certo modelo de telefone est sendo vendido nas seguintes condies:Figura 2.5:

Loja A: R$ 80,00 vista ou em cheque para 30 dias a juro simples taxa de juro de 5%a.m.Loja B: R$ 70,00 vista ou um cheque para 30 dias a juro simples taxa de juro de50% a.a


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Quanto uma pessoa deve pagar por esse modelo de telefone, na loja A e na loja B, seoptar por compr-lo com cheque para 30 dias?

4)Achar o tempo de aplicao de um capital de R$ 560,00 a 0,7% ao ms, para render6R$ 11,76 de juro simples.

.

Caro/a estudante.

Sua dedicao a garantia do seu sucesso. Continue realizando as atividades e separeas horas necessrias para se dedicar ao curso que est realizando. A prxima aula sersobre Juros Compostos.

Bons estudos.

Para poderverificar com mais

detalhes suasrespostas voc

poder consultartambm, alm das

obras mencionadasna aula 1:

GIMENES,Cristiano Marchi.

Matemticafinanceira com HP

12C e Excel. SoPaulo: PearsonPrentice Hall.

2006.


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Aula 3

Parte IJuros Compostos


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Juros compostosObjetivos

Aplicar conceito de juro composto;

Verificar a diferena entre o juro simples e juro composto;

Realizar clculos de juro composto;

Interpretar situaes que envolvam o clculo de juros.

Ol como vai?Prezado/a estudante.

Dando continuidade aos nossos estudos, nesta aula veremos uma operao utilizadacom mais frequncia, os juros compostos, em que o clculo feito de maneira umpouco diferente em relao ao juro simples.

Vejamos:

Imagine um investimento de R$ 20.000,00 a uma taxa de 10% ao ms (SPINELLI eSOUZA,1998).

O clculo de juros simples que vimos no captulo anterior feito da seguinte maneira.Temos:

C = 20.000,00i = 10% a.m. = 0,10t = 1 ms

Ento temos J = 2.000,00, sendo o Montante (capital + juros)no final do ms de R$22.000,00. Ou seja, todo ms teremos juros de R$ 2.000,00 porque no juro simples oclculo feito com base no capital inicial.

Se o perodo fosse de quatro meses teramos o resultado demonstrado pela tabela:

,

,

ClculoJ = C.i.tJ = 20.000,00. 0,10. 1J = 2.000,00

Ms Clculo Juros - Juros Montante (capital + Juros)

1 20.000,00. 0,10. 1 R$ 2.000,00 R$ 22.000,00

2 20.000,00. 0,10. 1 R$ 2.000,00 R$ 24.000,00

3 20.000,00. 0,10. 1 R$ 2.000,00 R$ 26.000,00

4 20.000,00. 0,10. 1 R$ 2.000,00 R$ 28.000,00

Total R$ 8.000,00 R$ 28.000,00



36/86

O mesmo no ocorre com o clculo de juro composto.Acompanhe a mesma situao utilizando agora o juro composto.

Siga a tabela abaixo:

Ms Clculo Juros Juros Montante (capital + Juros)

1 20 000,00. 0,10. 1 R$ 2.000,00 R$ 22.000,00

2 22 000,00. 0,10. 1 R$ 2.200,00 R$ 24.200,00

3 24 200,00. 0,10. 1 R$ 2.420,00 R$ 26. 620,00

4 26 620,00. 0,10. 1 R$ 2.662,00 R$ 29.282,00

portalprofessor.mec.gov.br/fichatecnicaaula

Observe o grfico acima, o que voc pode visualizar? Verifique que a linha reta serefere ao juro simples (linear) e a linha que faz uma curva se refere ao juro composto(exponencial).

Agora compare as duas tabelas tente explicar qual a diferenaObservou?

Vou concluir o que voc observou.Com base nos clculos acima, observamos que no final do quarto ms usando o jurosimples, pagar-se ia R$ 8.000,00 de juros. O mesmo no acontece com o clculoatravs do juro composto, pois pagaramos R$ 9.282,00.Ento, podemos concluir que a taxa aplicada no juro composto sempre em relao aomontante de cada perodo.

.



37/86

Voc observou que com o clculo de juros compostos estamos pagando mais Adiferena entre os dois de R$ 1.282,00.

As insti tuies

f i n a n c e i r a sutilizam o clculode juros compostosem suas transaes.Percebeu porqueno interessantese manter umadvida no carto decrdito ou chequeespecial por umlongo perodo de

tempo?

.

Para saber maissobre o

surgimento dosbancos acesse:

http://www.somatematica.com.b

r/historia. php

Ento voc conseguiu ver a diferena entre o juro simples e o juro composto. Que bom!Para resolvermos clculos com juros compostos utilizamos a seguinte frmula:

Vamos agora resolver algumas situaes problemas para entender melhor sua

aplicao.Exemplo:

1) Lorena aplicou R$ 4.000,00 a juro composto a uma taxa de juro de 10 % ao ano,7durante 3 anos.

Em primeiro lugar vamos identificar as informaes que a situao est nosfornecendo.

C = 4.000,00i = 10% a.a. = 0,10 (lembre-se de transformar ataxa percentual em taxa unitria)

t = 3 anos

Utilizando a frmula que foi citada acima temos:

tM = C (1 + i)3M = 4.000,00 (1 + 0,10)

3M = 4.000,00 (1,10)M = 4.000,00 (1,331)M = 5.324,00

tM = C (1 + i)

,



38/86


Voc percebeu que na frmula do juro composto temos que trabalhar com expoente eque devemos primeiro resolver o que est dentro dos parnteses para depoisresolvermos a parte exponencial, certo.

Voc poder resolver manualmente atravs do clculo de resoluo depotncias ou com o auxlio de calculadoras cientficas e financeiras.

Lembre-se:Voc poder resolver as potncias de forma tradicional ou ento precisar de umacalculadora com funo exponencial (calculadora cientfica) ou funes financeiras(calculadora financeira)

,

Cuidado! Preste ateno na hora dos clculos.

Calculadora cientfica Calculadora financeira

Nos sites abaixovoc encontra o

manual decalculadorascientficas efinanceiras.

guiadicas.net/manual-da-calculadora-cientfica/inforum.i

nsite.com.br>Universidade Virtual

Vamos continuar? Agora vamos resolver outro tipo de situao tambm utilizando oclculo com juro composto.

2)Vamos calcular o juro composto produzido por uma aplicao de R$1.700,00 a8uma taxa de juro de 27 % a.a., durante 720 dias.

Lembre-se que j falamos que a taxa de juro (i) e o prazo (t) devem estar na mesmaunidade de tempo, vamos determinar o prazo, em anos.

t = (precisamos dividir por 360 em referencia ao ano comercial)

t= 2 anos

Agora podemos resolver certo? Porque a taxa de juro e o prazo esto na mesmaunidade de tempo.

Temos:C = 1.700,00i = 27 % a.a. = 0,27t = 2 anos

720360


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Clculo do montante:tM = C. (1 + i)

2M = 1.700,00 (1 + 0,27)2M = 1.700,00 ( 1,27)

M = 1.700,00. (1,6129)M = 2.741,93Encontramos o montante, mas a pergunta da situao acima se refere para calcularmoso juro composto.

Ento: Se M= C + J, podemos afirmar que J = M C J = 2.741,43 1.700,00 J = 1.041,93

Fcil no mesmo?Logo estarei lanando alguns desafios para voc resolver certo. Tenho certeza que voc

vai conseguir porque acredito na sua dedicao e no seu sucesso!ResumoNesta aula notamos a diferena entre o clculo de juro simples e o jurocomposto. Vimos que as instituies financeiras utilizam o juro composto parao clculo de suas transaes. Que o seu clculo feito com base no montante doperodo anterior e a frmula usada para esse clculo

1) Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos,durante 1 ano, taxa de 3,5% ao ms.

2)Calcule o montante de um capital inicial de R$ 5.000,00 , a juros compostos de 5%a.m., durante 6 meses.

3)Lus Carlos aplicou R$ 1.000,00 a juro composto taxa de juro de 4% a.m. durante60 dias. Determine o montante e o juro gerado por esse capital.

Prezado aluno, lembre-se que para resolver as questes acima, deve colocar a taxa dejuro e o perodo na mesma unidade de tempo e, se quiser, pode utilizar uma calculadora.

,

t M = C. (1 + i)



40/86

Para seu melhor aproveitamento voc poder ainda consultar os livros de:

SPINELLI, Walter. S.SOUZA, M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed.. So Paulo: tica.1998.

VERAS, Lilia Ladeira. Matemtica Financeira: uso de calculadora financeira,aplicaes ao mercado financeiro. 3 Ed..So Paulo:Atlas.1999.

Caro/a estudante.

Ainda no encerramos o contedo sobre juros composto. Para que esta aula no ficassemuito longa e cansativa ns a encerramos aqui. Mas juros compostos ainda o tema daprxima aula. Continue estudando com disciplina, para alcanar seu objetivo deencerrar o curso, capacitado para exercer a funo que pretende no mercado detrabalho atual.



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Aula 4

Parte IIJuros Compostos


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Juros Compostos

Objetivos

Aplicar conceito de juro composto;Realizar clculos de juro composto;Interpretar situaes que envolvam o clculo de juros.

Ol, prezado/a estudante!

Ento realizou as atividades propostas na aula anterior sobre juro composto? Econseguiu encontrar os resultados?

Que bom! Isso mesmo. Voc deve se dedicar pra alcanar a aprendizagem e acreditoque voc esteja conseguindo. Vamos continuar!

Nesta aula, vamos continuar estudando juro composto e como podemos resolver outrassituaes que sero apresentadas.

Resolveremos ainda, situaes em que encontraremos no s o montante, mas tambmtaxa e tempo utilizando o clculo do juro composto.

Vamos a mais um desafio?

Lembre-se que acredito na sua dedicao e no seu esforo.

Na terceira aula foi apresentada a frmula para calcularmos o montante certo? Almdessa frmula temos outras pra usarmos no clculo de juro composto.

O Capital tambm pode ser definido como parte do montante.tTemos:M = C ( 1 + i )

E podemos deduzir:

, ,,

MC =

(1+i)t

Cuidado! O sinal de igualdade deve situar-se junto linha da frao.)

E os juros podem ser calculados pela diferena:

J = M C

Voc deve se lembrar de resolvemos um exemplo onde encontrvamos o juroutilizando a frmula J = M C, na aula anterior.



44/86

ti

M

)1( 5)02,01(

00,000.40

5)02,1(

00,000.40

104080,1

00,000.40C

Vamos resolver alguns exemplos para entender melhor cada situao:1) Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$ 40.000,00 a juros com de 2% a.m.durante 5 meses. Calcule essa quantia.

Bem queremos encontrar o capital aplicado e vamos utilizar a frmula descrita acima.Ento temos:

M = 40.000,00i = 2% a.m. = 0,02t = 5 meses

C= C= C=

5Resolvendo o clculo (1,02) temos um expoente, ento com o auxlio de umaxcalculadora cientfica voc digita o nmero 1,02, logo em seguida aperta a tecla Y em

sua calculadora e depois o nmero que representa o expoente, neste caso o nmero 5e osinal de igualdade. Pronto, vai aparecer o resultado que voc procura. Esse clculochama-se exponencial, sempre quando aparecer algum clculo desses, voc vaiproceder desta forma.

Observao:

Se usar uma calculadora financeira,dever estudar o manual que lheensinar digitar as teclas das funesfinanceiras.

,

n

i

PV

PMT

FV

n

n

i

PV

PMT

FV

n



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2) Em quantos meses um capital de R$ 200.000,00 produz um juro de R$ 38.203,20 ,9quando aplicado a 6% ao ms, a juro composto? .

Temos:M = R$ 200.000,00 + R$ 38.203,20 = R$ 238.203,20 ( capital + juro)

C = R$ 200.000,00i = 6% ao ms = 0,06t = ?

Verificamos as informaes, agora vamos ao clculo? Lembre-se temos que encontraro tempo.

tM = C. (1 + i)

tC. (1 + i ) = M

t

(1 + i ) =t( 1 + 0,06) =

t(1,06) = 1,191016

Nesse caso teremos que aplicar uma propriedade do logaritmo.

A varivel tque era expoente e depois passa multiplicando devido a uma propriedadedo logaritmo Refere-se a 3 propriedade: logaritmo de uma potncia.

3Ex.: log 7 = 3. log 7.

Agora aplicamos logaritmos nos dois membros, assim:tlog (1,06) = log 1,191016

t. log 1,06 = log 1,191016

t = t = t = 3 meses

Logo, o capital fica aplicado durante trs meses.

Voc pode perceber que neste exemplo utilizamos o clculo com logaritmo e como ouso da calculadora cientfica tem a funo logaritmo. Vamos entender melhor?

Vamos l, no incio quando trocamos de lugar na frmula foi para facilitar o clculocolocando a varivel que estvamos procurando no primeiro membro. Lembre-se quej falamos sobre isso antes da igualdade, logo em seguida substitumos os valores que asituao nos fornece. Na matemtica, quando trocamos de membro, trocamos o sinal(multiplicao pela diviso e vice-versa / adio pela subtrao e vice-versa).

Quando vamos encontrar o tempo (perodo), temos que usar o logaritmo, ondedigitamos na calculadora o valor e logo em seguida a funo log

.

C

M

00,000.200

20,203.238

06,1log

191016,1log025306,0

075918,0



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3) O capital de R$ 2.000,00 , aplicado a juros compostos, rendeu , aps 4 meses, juros10de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros?

Ento vamos resolver? Em primeiro lugar devemos separar as informaes que a

situao problema nos fornece. Temos:

C = 2.000,00t = 4 mesesj = 165,00M = 2.165,00 ( 2.000,00 + 165,00)i = ?Nesta situao teremos que encontrar a taxa. Utilizando a frmula que voc jconhece e com a utilizao da calculadora.

tM = C ( 1 + i )

42.165,00 = 2.000,00 ( 1 + i) (vamos colocar a varivel antes da igualdade)42.000,00 (1 + i) = 2.165,00 (a varivel nesta situao e a letra i (taxa)

4( 1 + i ) = ( quando est multiplicando passa dividindo)

4( 1 + i ) = 1,0825

( 1+ i ) = ( extraindo a raiz com a calculadora ou pela propriedade doexpoente inversa do ndice da raiz)

1 + i = 1,020015981i = 1,020015981 1i = 0,020015981i = 2,0015981

Ento a taxa de juros foi de aproximadamente2% ao ms.Quando estamos trabalhando com taxa o resultado devemos multiplicar por 100.

ATENO Para voc encontrar o resultado da raiz utilizando a calculadoracientfica voc dever digitar o nmero, em seguida a tecla que indica segunda

funo 2ndf, logo aps a tecla que aparece e o ndice do radical

Na calculadora financeira operando as teclas das funes financeiras, conforme omanual, o resultado imediato.

Prezado estudante, para terminar essa primeira etapa de nossos estudos com o clculode juros, gostaria de relembrar com voc a primeira situao que foi lanada em nossaprimeira aula. Isso mesmo foi sobre o valor depositado. Ento deu seu palpite?Vamos resposta.

,

,

,

, ,

00,000.2

00,165.2

4 0825,1

!x y



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Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4.000,00, usando o que temdepositado na caderneta de poupana, que est rendendo 1% ao ms. Ela quer saber, doponto de vista financeiro, qual plano de pagamento ser mais vantajoso:

Pagar vista;Pagar em duas prestaes iguais de R$ 2.005,00 cada uma.

Pagando vista: toda quantia de R$ 4.000,00 ser gasta (sobrar Zero). Pagando emduas prestaes de R$ 2.005,00: como a caderneta de poupana utiliza o sistema dejuros compostos, aps o pagamento da primeira prestao sobrar a quantia de R$1.995,00, que render juros de 1% at o pagamento da segunda prestao. Veja:

1% de 1.995,00 = 19,95M = 1.995,00 + 19,95 = R$ 2.014,952.014,95 2.005,00 = 9,95

Logo, o segundo plano de pagamento o melhor, pois ainda sobrar a quantia de R$9,95.

< Resumo>

Neste captulo notamos vrias maneiras que podemos utilizar a frmula do jurocomposto para encontrar taxa perodo, montante. Tambm pudemos revisaralguns conceitos matemticos importantes para o clculo de juros e a utilizao deuma calculadora.

Para encontrar o capital

,

ti

MC

)1(

Vamos a mais alguns desafios?

1)Mrcia quer comprar um aparelho de som que custa R$ 640,00 a vista, mas s temR$ 600,00. Ela vai aplicar o que tem por 4 meses a juro composto de 2% a.m. Depois

disso, admitindo que no haja reajuste no preo doaparelho, ela o compraria a vista. O valor acumulado suficiente para Mrcia comprar a vista o aparelho desom? Quanto sobrar ou faltar?



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2)Um empresa aplica R$ 8.000,00 a juro composto a taxa de juro de 5,8% a.m.durante 120 dias. Qual o valor acumulado ao final dessa aplicao?

3)Marcela aplicou R$ 2.500,00 em um banco a juro composto de 12% a.a. durante48 meses. Qual o juro obtido ao final dessa aplicao?

Voc encerrou mais uma etapa e recebeu nesta aula informaes bsicas e importantespara o seu desempenho profissional. Mas necessrio prosseguir nesse processo deaprendizagem. Na prxima aula abordaremos desconto. E ento, preparado?



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Aula 5Descontos


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Desconto

Objetivos

Conceituar desconto;Compreender o que ttulo crdito;Identificar os tipos de ttulo.

Ol! Como vai?Prezad estudante.

J estamos na nossa quinta aula. Voc j percebeu como importante entender oclculo de juro para a vida financeira de qualquer empresa ou mesmo at na sua vida

pessoal. Agora vamos continuar nossos estudos e entender como realizado oDesconto.

Mas antes de comearmos a calcular Desconto, vamos conhecer um pouco sobrealguns ttulos de crdito que so utilizados nas instituies financeiras e que podem serdescontados.Ttulo de crdito um documento comprobatrio de uma dvida.

Ao contrair uma dvida a ser paga no futuro, muito comum o devedor oferecer aocredor um documento denominado ttulo, que o comprovante dessa operao.

Alguns ttulos de crdito podem sofrer a operao de desconto, que consiste no resgate

por um portador do ttulo antesdo vencimento, recebendo porele um valor menor do queaquele que receberia seaguardasse a data de seuvencimento. Os ttulos dec rd i to que podem se rdescontados so:

Letra de CmbioDuplicataNota Promissria

Vamos conhece rmelhor o que significa cada umdesses ttulos de crdito? Vocj ouviu falar de Letra deCmbio? Pois bem, Letra de Cmbio um ttulo ao portador, que emitido por umafinanceira em operaes de crdito, diretamente para pessoas fsicas ou jurdicas. Emuma Letra de Cmbio temos sempre especificado: o valor do resgate (que o valor

o(a)

Ao portador:pessoa confere

o direito dereceber o

crdito referenteao ttulo

Valor nominal: o valor de

face ou valor deresgate, ou seja,que corresponde

ao valor quepode ser

recebido pelottulo na data do

vencimento

A-Z



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nominal acrescido de juros), a data do vencimento do ttulo e a quem deve-se pagar.Lembre-se que pessoa jurdica refere-se sempre a uma empresa.

Outro ttulo de crdito muito utilizado pelas instituies financeiras a Duplicata. Aduplicata emitida por uma empresa (pessoa jurdica) contra seu cliente (pessoa fsicaou jurdica) para quem vendeu mercadorias ou prestou servios a prazo. A emisso daduplicata decorre da emisso de uma nota fiscal.

O cliente assina a duplicata dando o aceite, ou seja, declarando-se devedor daquelaquantia e obrigando-se a pag-la na data estabelecida.

Devem constar na duplicata, alm do valor nominal, (lembre-se j falamos sobre oque valor nominal anteriormente), a data de vencimento o nome do credor que aquele a quem se deve dinheiro, ou emitente. Alm desses elementos ainda compea duplicata, o nome do devedor e o nmero da nota fiscal correspondente mercadoria vendida ou aos servios prestados.

,



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Temos a nota promissria que pode ser usada entre pessoas fsicas ou, ainda pessoasfsicas e jurdicas e instituies financeiras. Trata-se de um ttulo de crdito, quecorresponde a uma promessa de pagamento em que especificado o valor nominal ou aquantia a ser paga (que a dvida inicial, normalmente acrescida de juros), a data de

vencimento do ttulo (em que a dvida deve ser paga), o nome e a assinatura do devedor,o nome do credor e da pessoa que dever receber a importncia a ser paga.

Quando o portador de um ttulo de crdito precisa de dinheiro, pode resgat-lo antes dovencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que procede operao de desconto. Mas ao resgatar o ttulo antes do vencimento, o portador norecebe o valor total ali declarado. Esse valor, que o valor final ou valor nominal Ndottulo, sofre um desconto Dque ser tanto maior quanto maior for antecipao dopagamento em relao data de vencimento.

O valor recebido pelo portador se diz valor atual do ttulo e representa a diferena entreo valor nominal e o desconto feito. Esse desconto corresponde, assim, aos juroscobrados pelo banco pela antecipao do pagamento.

Nessa aula, pde-se verificar quais so os ttulos que podem ser descontados eminstituies bancrias.Ento, depois dessas informaes, como podemos conceituar Desconto?Seria um abatimento? Isso mesmo! Muito bem!

A idia de desconto est associada com o abatimento dado a um valor monetrio emdeterminadas condies.

Assim, por exemplo, quando uma compra feita em grande quantidade comum ovendedor conceder desconto no preo da unidade. No comrci bastante comumtambm o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queirapagar a vista, geralmente proporcionado um desconto sobre o preo oferecido.

o,

Endosso:meno

assinada quelana nas costas

de um ttulo etransfere a

propriedadedele a outra

pessoa,especialmenteem cheques e

letras de cmbio

A-Z



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Uma outra situao envolvendo o conceito de desconto, que j citamos anteriormente,seria quando uma empresa vende um produto a prazo; neste caso, o vendedor emiteuma duplicata ( ttulo de crdito) que lhe dar o direito de receber do comprador , nadata futura, o valor combinado. Mas caso o vendedor necessite de dinheiro, poder ir

ao banco e efetuar um desconto de duplicata.

Ento, com isso a empresa sede ao banco o direito do recebimento da duplicata emtroca de dinheiro recebido antecipadamente. Muitas empresas agem dessa formaquando precisam de capital de giro. Capital de giro o capital, ou seja, o dinheiro,necessrio para financiar as operaes da empresa. Mas lembre-se toda transaoefetuada pelo banco tem um custo, o banco pode antecipar o pagamento de algum ttulode crdito sendo que o cliente vai receber a menos do valor nominal do ttulo.

Veja um exemplo:

Consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Necessitando do dinheiro, a empresalevou a duplicata a um banco, que lhe props um adiantamento de R$ 4.800,00 emtroca da duplicata. Podemos concluir ento que o banco props um desconto de R$200,00.

As operaes de desconto duplicatas e promissrias so bastante comuns no sistemafinanceiro, sendo uma ferramenta muito usada pelas empresas.

Prezado estudante, podemos notar o quanto importante para uma empresa o descontode duplicatas, nota promissria. Na prxima aula vamos entender melhor esse

desconto atravs de clculos.

< Resumo>Nesta aula estudamos o que um ttulo de crdito, o conceito de desconto e os tiposde ttulos de crdito que podem ser descontados. Vamos lembrar?

Letra de Cmbio um ttulo ao portador, emitido por uma financeira emoperaes de crdito direto para pessoas fsicas e jurdicas.

Duplicata usada por pessoa jurdica contra um cliente para o qual vendeumercadorias prazo ou prestou servios. Falamos tambm da Nota Promissria.

Trata-se de um ttulo de crdito que corresponde a uma promessa de pagamentoem que especificado o valor nominal. Lembrando que todos esses ttulos stero validade quando devidamente preenchidos.

E agora vamos praticar o que estudamos?

,



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1)Coloque Cpara certo e Epara errado. Comente as alternativas erradas:

( ) Ttulo de Crdito um documento comprobatrio de uma dvida.( ) Somente a Letra de Cmbio considerada um ttulo de crdito.

( ) Desconto um abatimento em um ttulo de crdito.( ) Os ttulos de crdito que podem ser descontados so nota promissria, a duplicata

e a letra de cmbio.( ) A duplicata emitida somente por pessoa jurdica.( ) Um portador de um ttulo de crdito no pode resgat-lo antes da data do

vencimento.

2)Aps uma leitura do captulo , defina os seguintes itens abaixo:

a) Capital de giro:

b) Duplicata:

c) Credor:

3)Agora que voc definiu os conceitos acima, analise cada situao descrita abaixo eaplique os conceitos que voc definiu: (capital de giro, duplicata, credor)

Situao 1: Um indivduo contrai uma dvida que ser paga no futuro, com isso odevedor assina algum documento que confirme que ciente dessa dvida, que tipo dettulo este devedor dever oferecer ao credor?

Situao 2: Uma empresa deve manter um capital para cumprir suas obrigaes dirias,tais como: despesas ocorrentes do dia; pagamentos de duplicatas; fornecedores. Como

chamado este tipo de capital importante para vida financeira da empresa?

Situao 3: Ao contrair uma dvida o devedor dever estar ciente de sua obrigao.Onde comprovar o pagamento futuro, na qual pagar a uma outra pessoa que denominada?



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Caro/a estudante

Esta aula se encerra, mas ainda vamos continuar tratando de descontos na prxima

aula. Descanse um pouco, depois de realizar as atividades propostas e volte disposto/aa continuar esta disciplina at seu final.

Bons estudos!



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Aula 6Descontos

SimplesParte I


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Desconto Simples

Objetivos

Diferenciar os tipos de descontos;Conceituar desconto comercial;Realizar clculos atravs da frmula do desconto e interpretar as situaes

que envolvam o dia a dia.

Na aula anterior comeamos nosso estudo sobre Desconto. Ento voc se lembra doque Desconto? Isso mesmo, muito bem! Desconto o abatimento no valor de umttulo de crdito. Tambm estudamos que existem alguns ttulos de crdito que podemser descontados em bancos ou outro tipo de instituio financeira.

J que estamos falando de ttulo de crdito, vamos revisar o que um ttulo de crdito?Que bom, muito bem! Vejo que voc est estudando muito, parabns! Ttulo de crdito o documento comprobatrio de uma dvida, ou seja, atravs desse tipo de documentoque o credor pode cobrar de um devedor.

Agora, nesta aula vamos comear a entender melhor como se faz esse tipo deabatimento, como ele calculado.

Ento est pronto para mais um desafio? Ento vamos l.

Existem basicamente dois tipos de descontos, desconto comercial (por fora) e desconto

racional (por dentro). Vamos iniciar nossos estudos com o desconto comercial.Desconto comercialtambm conhecido como desconto bancrio. As frmulas quevamos utilizar pra o clculo de desconto bancrio so semelhantes s de juros simples.Observe:D= descontoN= valor nominalVL= valor lquido recebido aps o descontoi= taxat=perodo de tempo

Como j foi dito em juro simples tambm encontramos a varivel npara representar operodo de tempo.

Temos tambm a frmula para encontrar o valor lquido, observe:

,

,

, ,

VL = N - DD = N. i. t

VL = N. (1 i.t)



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Vamos resolver um exemplo prtico para entender melhor como funciona o clculo dedesconto. Suponha que o credor Marcelo Santos, de posse de uma nota promissria,lembra falamos sobre nota promissria na aula anterior, deseja resgatar sua dvida em

171/1/2010.

Isso significa que Marcelo Santos quer receber a dvida dois meses antes da data danota promissria. Vamos supor que o valor nominal desse ttulo seja de R$ 100.000,00e a taxa de 1,4% a.m. para o desconto, em dois meses antes do vencimento, temos:

D=?N = 100.000,00i = 1,4% a.m. = 0,014t = 2 meses

Para o clculo de desconto tambm transformamos ataxa percentual (1,4%) em taxa unitria (0,014) eobserve que o perodo de tempo tambm eequivalente a taxa. Vamos resolver a situao? Vejacomo fcil.

D = N. i. tD = 100.000,00. 0, 014. 2D = 2.800,00

Marcelo Santos dever receber ento:N D = VLR$ 100.000,00 R$ 2.800,00 = R$ 97.200,00

VL chamada valor atual comercial, ou valor lquido do ttulo.

Assim, podemos chamar de desconto de ttulo o abatimento dado sobre o valornominal, pela antecipao do pagamento.

O desconto bancrio aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal.

Vejamos mais um exemplo de desconto bancrio (comercial).Um ttulo no valor de R$ 1.200,00, pago cinco meses antes do vencimento, ficou

18reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal utilizada?

Em primeiro lugar, vamos verificar as informaes.

N = 1.200,00 (valor nominal)t = 5 mesesL = 900,00 (valor lquido)

Esta situao pode ser resolvida de duas maneiras, usando o clculo do desconto ou afrmula do valor lquido. Veja:



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D = N.i. t D = N - VL300 = 1.200. 5.i D = 1.200,00 900,00300 = 6.000i D = 300,00

6.000i = 300 i = 0,05 ou 5%No se esquea que na matemtica a varivel fica antes da igualdade e no final, comoestamos procurando a taxa, multiplicamos por 100 para termos a taxa percentual. Vocse lembra? J falamos sobre isso nas primeiras aulas.

Vamos resolver agora utilizando a frmula do valor lquido:

VL = N .( 1 i.t)900 = 1200 ( 1 i . 5)1.200 (1-5i) = 900

1 5i = 1- 5i = 0,75 5i = 1 - 0 ,75 5i = 0,25 i = i = 0,05 ou 5%

Voc percebeu que encontramos o mesmo resultado usando frmulas diferentesporque na primeira utilizamos duas, pois tnhamos que encontrar o desconto. Nasegunda, utilizamos todas as informaes que nos foi passado atravs de uma nicafrmula.

Nessa aula, entendemos como realizado o clculo de desconto comercial ou bancrio,na prxima aula iremos trabalhar com o desconto racional, certo. Ento agora vamospraticar o que aprendemos? Lembre-se acredito na sua dedicao e praticando vocentende melhor.

Resumo

Nessa aula voc conheceu mais um pouco sobre a vida financeira de uma empresa,vimos que desconto simples pode ser comercial (bancrio) e racional. E comeamoso estudo do desconto comercial, ele tem esse nome porque o mais usado pelocomrcio e bancos.

No desconto comercial (bancrio) usamos a seguinte frmula:D = N.i. t

Para clculo com o valor lquido temos:VL = N .( 1 i.t)

,

,

0 0 0.6

3 0 0

i

200.1900

525,0



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58

Ol! Ento vamos praticar o que aprendemos nesta aula.

1)Qual o desconto que dever incidir sobre um ttulo de R$ 750,00 , pago 2 meses e 1019dias antes do vencimento, com uma taxa de 5% a.m.

2)Uma pessoa vai a um banco e desconta uma nota promissria 85 dias antes de seuvencimento, taxa de 6% a.m. Sabendo que o lquido para a pessoa foi de R$ 1.992,00,calcule o valor da promissria.

3)Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de cmbio, com vencimento para 180dias e renda fixada em 5 % a.m. de juros simples.

a) Calcule o valor nominal do ttulo.

b) Se o ttulo for descontado 150 dias antes do vencimento, quanto o investidor

receber por ele, se o desconto for comercial taxa de 5% a.m.? Analise o resultado.

Prezado(a) estudante, no exerccio n. 03 voc dever colocar em prtica o queestudamos em juros simples. Vamos prosseguir na aula 7 apresentando DescontoSimples.

Leia com ateno!Bons estudos!

,



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Aula 7Descontos

SimplesParte II


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Desconto Simples

Objetivos

Diferenciar os tipos de descontos;Conceituar desconto racional;Realizar clculos atravs da frmula do desconto racional.

Ol, caro(a) estudante! J estamos quase terminando nossos estudos sobre matemticafinanceira, esta nossa stima aula. Vimos at aqui o quanto importante entendercertos conceitos e aprender determinados clculos.

Na aula de hoje vamos continuar nossos estudos em desconto simples, entendendomelhor o desconto racional.

O desconto racional tambm conhecido como desconto por dentro, e o seu valor encontrado com base no valor lquido

Vejamos qual sua frmula:D = L. i.r

tD = Desconto racionalrL = Valor Lquidoi = taxat =perodo ( tempo)

Lembre-se:N - L = Dr

Ento, podemos calcular o Lquido da seguinte forma:

VL =

Vamos fazer alguns exemplos prticos:

1)Calcular o desconto racional de um ttulo de R$ 6.864,00 , a uma taxa de 12 % a.m. ,pago 1 ms e 6 dias antes do vencimento.

Primeiro vamos s informaes que a situao nos fornece:

N = 6.864,00i = 12% = 0,12t = 1 ms e 6 dias = 36 dias

ti

N

.1



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Lembre-se que a taxa tem que estar na mesma unidade do perodo (tempo) Como ataxa est ao ms e o tempo em dias vamos dividir 12% por 30, pois ms comercial baseado em 30 dias.

12% =

Soluo:

VL == 0,004

Soluo:

VL = (que vem da frmula de juros simples M= C(1+ i . t ) ou N= VL (1+ i.t)

.,

0 0 4,03 0

1 2,0

ti

N

.1

00,000.6

144,1

864.6

144,01

864.6

36.004,01

864.6

V L

V L

V L

V L

Calculando o desconto:

D = R$ 6.864,00 R$ 6.000,00 = R$ 864,00r

Para efetuarmos o clculo do desconto racional podemos utilizar outra frmula, casoqueira calcular o desconto diretamente, vamos entender melhor. Ficaria assim:

D =r ti

tiN

.1

..

Vamos a sua aplicao, veja o exemplo:

Qual o valor do desconto racional (por dentro) sofrido por uma nota promissria de R$4.160,00 , descontada 8 meses antes do seu vencimento, taxa de 6% a.a.?



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Vamos separar as informaes, observe que o perodo (tempo) est em meses e as taxasem anos ento temos que coloc-las na mesma unidade.

N = 4.160,00

t = 8 mesesi = 6 % a.a. = 6/12 = 0,5% a.m. = 0,005

Veja, vamos dividir a taxa por 12, pois o ano tem doze meses, assim estaremosencontrando o valor da taxa mensal, ficando ento na mesma unidade do perodo(tempo).

Ento temos o valor do desconto racional R$ 160,00

Vejamos agora uma situao que iremos aplicar os dois tipos de descontos e analisarqual seria mais vantajoso.

,

0 0,1 6 00 4,1

4 0,1 6 68.0 0 5,01

8.0 0 5,0.0 0,1 6 0.4.1

..

r

r

r

D

D

ti

tiND



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Um ttulo com valor nominal de R$ 2.000,00, a uma taxa de 3% a.m., vai serdescontado oito meses antes do vencimento. Calcule a diferena entre os descontosbancrio e racional.

Temos:N = 2.000,00i = 3% a.m. = 0,03t = 8 meses

Ento Voc se lembra sobre qual valor o desconto bancrio incide? Isso mesmo,parabns! Sobre o valor nominal, ento vamos calcular o desconto bancrio.

D = N . i . tD = 2.000,00 . 0,03 . 8D = 480,00

Fcil no mesmo?

J temos o primeiro valor R$ 480,00. Agora vamos calcular o desconto racional.Quero saber de voc, sobre que valor o desconto racional incide? Que bom, vejo quevoc aprendeu! O desconto racional incide sobre o valor lquido. Como nesta situaono temos o valor lquido podemos utilizar a frmula em que pede somente o valornominal.

Continuando nossa aula vamos entender melhor como seria o clculo de descontobancrio quando temos um conjunto de ttulos. Analise o exemplo abaixo.

Uma empresa apresenta trs duplicatas para desconto taxa simples de 21% a.m, asaber: a primeira de R$ 150.000,00 e 18 dias de prazo; a segunda de R$ 200.000,00 edias 30 dias de prazo e, a terceira, de R$ 60.000,00 e 50 dias de prazo. Determine ovalor lquido.

Soluo:

Como temos a mesma taxa de desconto pra todos os ttulos podemos ento determinaro prazo mdio no qual se desconta o somatrio dos ttulos. Observe o seguinte fluxo de

caixa em relao ao tempo de cada ttulo, lembre-se que temos um fluxo de caixa emnossa primeira aula. Ento vamos l?

, ,

,

ti

tiND r .1

..

8.03,01

8.03,0.00,000.2

rD

24,01

00,480

rD 10,387

24,1

00,480rD

328.100,0

18

30

200.000,00

60.000,00



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Aqui temos todos os ttulos e o prazo de cada um ao longo do tempo Vamos agora aoclculo para entender como chegamos ao valor lquido final .

Agora vamos ao clculo mdio:

Agora vamos ao clculo mdio:

n= = 28,5365837

VL =N. ( 1 i . t ) J utilizamos essa frmula na aula anterior

VL = 410.000,00 ( 1- 0,007 x 28,5365837)

VL = 328.100,00

Observe:

150.000,00+200.000,00+60.000,00 = 410.000,00

Ento no fcil? Assim poderemos visualizar como e feito o resgate de vrios ttulos.

Resumo

Nesta aula estudamos o desconto racional e verificamos a diferena entre odesconto comercial com o racional. Sendo que o desconto comercial conhecidotambm como bancrio o mais utilizado pelas instituies financeiras. Assimtemos a frmula do desconto racional:

Sendo que seu valor calculado com base no valor lquido do ttulo.

.

,

,

00,000.6000,000.20000,000.150

50000.603000,000.20018000.150

xxx

007,030

21,0

ti

tiND r .1

..

1)Um ttulo de R$ 300.000,00 foi resgatado dois meses antes do vencimento com ataxa de 10% a.m. de desconto racional. Pergunta-se:

a) Qual o desconto racional?



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b) Qual o valor recebido pelo seu portador?

1) O portador de uma nota promissria de R$ 60.000,00 necessitando de dinheiro,procurou uma agncia bancria 60 dias antes do vencimento do ttulo a fim de regat-

lo. O banco fez um desconto comercial com a taxa de 8% a.m.

a ) Calcule o valor do desconto feito pelo banco?

b ) Verifique a quantia recebida pelo portador do ttulo?

3)Determine o desconto racional sofrido por uma letra de cmbio de R$ 1.000,00,descontada a uma taxa de 3% a.m., 6 meses antes de seu vencimento.

Voc est quase finalizando a disciplina. Quantas informaes novas voc assimilou.

Espero que sejam teis na sua caminhada profissional. Na prxima aula o tema a serestudado ser Desconto Composto.Bons estudos!

,,



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Aula 8DescontosCompostoI



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Desconto Composto

Objetivos

Definir desconto composto;Compreender os clculos realizados em desconto composto.

Como vai?Prezado(a) estudante, estamos em nossa ltima aula e assim finalizando nossoaprendizado em matemtica financeira. Espero que voc tenha aproveitado cadamomento de estudo. Para concluirmos vamos falar sobre Desconto Composto.

Ao fazermos o estudo de descontos simples, diferenciamos o desconto bancrio doracional.

Vamos relembrar! No primeiro, as taxas incidem sobre o valor nominal enquanto nosegundo, as taxas incidem sobre o valor lquido.

J no Desconto Composto calculado sempre com taxas sobre o valor nominal.Vamos entender como feito o clculo do Desconto Composto?

O desconto composto sinnimo de juros compostos. Quanto ao valor do desconto ou dosjuros, poderamos calcul-lo em funo do valor atual ou em funo do valor nominal.

tDo Juro composto v-se a frmula: M = C. (1 + i )

A frmula que vamos utilizar a seguinte:

tV = N. va

Onde

Vamos agora entender a frmula.V = valor atual

aN= valor nominalt= perodo de tempoi= taxa a juros compostos

A frmula utilizada para calcular o Desconto composto fica assim:

D = N Vc aOnde temos:

,

iv

1

1



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D = Desconto CompostocN= valor nominalV = valor atuala

Note que alguns dados que foram apresentados acima j do seu conhecimento, poisestamos trabalhando o clculo do juro simples. Ento? Ficou fcil, no mesmo?

O clculo de Desconto Composto vai usar o exponencial, ento voc vai precisar da suacalculadora cientfica porque esse clculo com base nos juros compostos.

Preste ateno!Vamos explicar melhor utilizando um exemplo prtico.

1)De quanto ser o desconto que um ttulo de R$ 8.000,00, taxa de 8% a.m. ,

sofre ao ser resgatado dois meses antes de seu vencimento?Vamos s informaesque a situao nos fornece

N = 8.000,00i = 8% a.m. = 0,08t = 2 mesesPara calcular o desconto temos que encontrar primeiro o valor atual.

tV = N . vaV = 8.000,00 .a

V = 8.000,00 .a

2V = 8.000 . ( 0,925925925)aV = 8.000 . ( 0,8573388)aV = 6.858,72a

Agora vamos encontrar o desconto Ento temos:

D = N Vc a

D = 8.000,00 6 858,72cD = 1.131,28c

Podemos concluir que o valor do desconto de R$ 1.131,28.

Para calcular o exponencial voc far da mesma forma como foi explicado na quartaaula, lembra? Basta digitar o nmero, no caso acima seria (0,925925925) logo em

xseguida a tecla y , o valor do expoente e o sinal de igual ento voc ter o resultado.

.

,,

2

08,01

1

2

08,11



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Voc pode se perguntar: ser que tenho que digitar todos esses nmeros? Sim, necessrio, seno seu resultado ficar errado. Arredondamento feito apenas no final daoperao.

Agora vamos aplicar seus conhecimentos resolvendo uma situao em que estaroenvolvidos os trs tipos de descontos que estudamos nas ltimas aulas, verificando assima diferena entre eles. Vamos l?

Calcular trs tipos de descontos possveis para um ttulo de R$ 9.000,00, taxa de 5%a.m., resgatado cinco meses antes do vencimento.

Vamos resolver em primeiro lugar aplicando o desconto comercial (bancrio). Voc selembrada frmula aplicada? Muito bem! Isso mesmo! D = N. i. t Vejo que voc estudou.Parabns!

N = 9.000,00i = 5% a.m. = 0,05t = 5 meses

a) Desconto bancrioD = N.i.tD = 9.000. 0,05. 5D = 2.250,00

b) Desconto racionalVamos utilizar os mesmos dados para efetuar o clculo do desconto racional.

Agoraquero ver, voc se lembra como devemos calcular o desconto racional? Muitobem!

D = ento vamos l.r

D = D = 1.800,00r r

c) Desconto composto

Tenho certeza que voc j sabe, pois estamos estudando nesta aula.

tV = N . v D = N Va c a

V = 9.000,00 D = 9.000,00-7.051,73a c

5V = 9.000,00(0,952380952) D = 1.948,27a cV =9.000,00(0,783526166)aV = 7.051,73a

ti

tiN

.1

..

5.05,01

5.05,0.00,000.9

rD

25,1

00,250.2

5

0 5,1

1



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i1

1

Ento temos, desconto bancrio foi de R$ 2.250,00, desconto racional foi deR$ 1.800,00 e o desconto composto foi de R$ 1.948,27. Voc deve ter notado que odesconto bancrio o maior que existe, depois o composto e em seguida o racional,desde que seja utilizada a mesma taxa. Sendo que o desconto bancrio o mais

utilizado.

Nesta aula estudamos sobre o desconto composto, algumas situaes em que foiaplicada sua frmula. Assim temos a frmula do desconto composto:

tV = N . v / D = N V / v =a c a

Revisando temos:V = valor atualaN = valor nominal

D = Desconto compostoc

Antes de finalizar tenho mais alguns desafios para voc resolver, vamos l!

1)Qual foi o desconto composto obtido para se saldar uma dvida de R$ 80.000,00dois meses antes do vencimento e taxa de 12% a.m.?

2)Calcular o valor atual de um ttulo de R$ 12.000,00 , taxa de 9% a.m., disponvelem oito meses.

3)De posse de algumas letras de cmbio no valor de R$ 80.000,00, com vencimentoem 7 meses, quero resgat-las hoje. Para efetuar a operao, tive trs ofertas:

a) desconto bancrio com taxa de 10%;

,



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b) desconto racional com taxa de 13%;

c) desconto composto com taxa de 11.5%

Qual ser a operao mais vantajosa? Analise e d o resultado.

Desconto bancrio oferece mais vantagem

Prezado(a) aluno(a)Ao finalizar esta aula espero que voc tenha conseguido compreender todos osclculos apresentados e que consiga aplicar os conceitos que foram abordados. Seainda tiver dvidas releia o contedo, voltando primeira aula. Quem sabe ficoualguma parte que precisa ser revista com mais ateno. No desista e continueestudando sempre.



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Assim terminamos nosso mdulo de matemtica financeira, espero que voc tenhaaproveitado cada aula para conquista do seu aprendizado.

Prossiga em seus estudos, pois o processo de aprendizagem contnuo. Para manter-seatualizado preciso buscar sempre novas informaes. Assim voc estar semprerenovando sua qualificao para o trabalho.

Sucesso em sua caminhada!

Retomando a conversa inicial



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Guia de Solues

1 aula1)

a) valor aplicado em alguma operao financeira.b) a remunerao pelo emprstimo do dinheiro.c) representao do juro em forma porcentual (%).

d) a soma do capital com o juro.2)3/2/4/13)pessoal4)a) 1% a.m. b) 0,166% a.d.

c) 2 anos = 24 meses

2 aula1)a) R$ 1.440,00 b) R$ 960,00 c) R$ 1.850,00 d) R$ 40,002)a) Primeiro= R$ 41,60 Segundo = R$ 43,20 Segundo investidor recebe mais juros b) R$ 43,20 R$ 41,60 = R$ 1,603)Loja A = Montante = R$ 84,00 Loja B = Montante = R$ 72,924)t = 3 meses

3 aula1) R$ 9.066,412) R$ 6.700,473) Montante = R$ 1.081,60Juros = R$ 81,60

4 aula1) Montante= R$ 696,46

O valor acumulado o suficiente e sobrar R$ 9,462) R$ 10.023,813) J = R$ 1.433,80

5 aula1)V/F/V/V/F/F2)a) capital que a empresa deve manter para cumprir suas obrigaes. b) ttulo de crdito. c) aquele a quem se deve o dinheiro.



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3)situao 1 = duplicata Situao 2 = capital de giro Situao 3 = credor

6 aula1 ) R$ 87,502 ) R$ 2.400,003) a) R$ 65.000,00 b) VL = R$ 48.750,00

7 aula1 ) a )R$ 50.000,00 b) R$ 250.000,002 ) a ) R$ 9.600,00

b) R$ 50.400,003 ) R$ 180,008 aula

1 ) R$ 16.224,492 ) R$ 6.022,403 ) a ) R$ 56.000,00 b) R$ 38.115,18 c) R$ 42.660,71

Desconto bancrio oferece mais vantagem



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Referncias

SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira.14 Ed..So Paulo: tica, 1998.VERAS, Lilia Ladeira. Matemtica Financeira: uso de calculadora financeira,aplicaes ao mercado financeiro. 3Ed.. So Paulo: Atlas, 1999.BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, volume nico. 1 Ed.. So Paulo: tica,2008.JUER, Milton. Matemtica Financeira: praticando e aplicando. Rio de Janeiro:Qualitymark, 2003.

DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, volume nico. 1 Ed.. So Paulo:tica,2008. BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004. BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.4 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.

5 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.6 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.7 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.8 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.9 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.10 DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, volume nico. 1 Ed.. So Paulo:

tica,2008.11 DANTE, Luiz Roberto. Matemtica, volume nico. 1 Ed.. So Paulo:tica,2008.12 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.13 BIANCHINI, Edwaldo. PACCOLA, Herval. Matemtica. 1. Ed.. So Paulo:Moderna, 2004.14 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira.14 Ed..So Paulo: tica, 1998.

http://www.somatematica.com.brhttp://www.portalprofessor.mec.gov.br/fichatecnicaaula

Notas Bibliogrficas

http://www.somatematica.com.br/http://www.portalprofessor.mec.gov.br/fichatecnicaaulahttp://www.portalprofessor.mec.gov.br/fichatecnicaaulahttp://www.somatematica.com.br/


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15 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed..So Paulo: tica, 1998.16 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed..So Paulo: tica, 1998.17 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed..So Paulo: tica, 1998.18 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed..So Paulo: tica, 1998.19 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed..So Paulo: tica, 1998.20 SPINELLI, Walter. S.SOUZA; M. Helena. Matemtica Comercial e Financeira. 14Ed..So Paulo: tica, 1998.21 JUER, Milton. Matemtica Financeira: praticando e aplicando. Rio de Janeiro:Qualitymark, 2003.



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Currculo da professora- autora

e-Tec Brasil85Utilizao de Multimeios - Rafael Liberato Roberto e Andr Luis Schwerz

Regiane Janaina Silva de Menezes,Graduada em Cincias Econmicas pela UniversidadeEstadual de Anpolis UNIANA (2000), GraduadaFormao Pedaggica para Docentes Bacharis com

Licenciatura em Matemtica pela Universidade Estadualde Gois UEG (2007) e Ps-Graduada em Especializaono Ensino da Matemtica pela UniEvanglica ( 2008).Profissionalmente j atuou como no Ensino Fundamental eEnsino Mdio com a disciplina de Matemtica eatualmente est como docente do eixo Gesto e Negciosno Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA,onde tambm ministra as disciplinas de MatemticaFinanceira e Estatstica no curso Tcnico em Logstica e naFaculdade de Tecnologia SENAI Roberto Mange, ondeministra aulas no curso Agente Administrativo


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