Matematica2 4
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Profª Débora Bastos
Regra de L’HospitalTeorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g
funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para todo x a em I, g’(x) 0. Então se e e se segue que .
Observação: O teorema também é válido para limites laterais.
Tem enorme repercussão no cálculo de limites indeterminados:
0)x(flimax
0)x(glimax
L)x('g
)x('flim
ax
L
)x(g
)x(flim
ax
0
0
0 0 1 0
ExemplosCalcule os limites abaixo:
a)
b)
c)
d)
x
senxlim
0x 1
xcoslim
0x 1
kx
1alim
kx
0x
k
k.)a(lnalim
kx
0x .)a(lnalim kx
0x .aln
)2x(sen
eelim
x22x
0x
)2xcos(
eelim
x22x
0x
2
1
11
52
x
0x xx3
xsenxelim
4
xx
0x x5x6
1xcosesenxelim
4
x
0x x5x6
1)xcossenx(elim
3
xx
0x x206
)senxx(cose)xcossenx(elim
3
x
0x x206
xcose2lim
3
1
6
2
Se ou se , então através de artifícios algébricos, transforma-se estas indeterminações em ou .
Exemplos:a)
b)
)x(g)x(flimax
0)x(g)x(flimax
0
0
xln
1
1x
xlim
1x
xln1x
1xxlnxlim
1x
xlnx
11x
1xlnx
1x
lim1x
xlnx
1x1xln1
lim1x
xln
x
1xxln
lim1x
x
xlnx1xxln
lim1x
xlnx1x
xlnxlim
1x
xlnx
1x1
xlnx
1x
lim1x
xln11
xln.1lim
1x 2
1
x2gcotxlim0x x2tg
xlim
0x
x2sec2
1lim
20x
2
x2coslim
2
0x
2
1
DiferencialSeja y=f(x) uma função derivável no intervalo
(a,b), então para todo x (a,b), temos que a derivada de f(x) é dada por:
Então:
Daí: onde g(x) é uma função infinitesimal.
Logo:Como x 0 e g(x) 0, temos x g(x) 0,
ou seja, ou
)x(' fx
)x(f)xx(flim
0x
0)x(' fx
)x(f)xx(flim
0x
)x(g)x(' fx
)x(f)xx(f
x)x(gx)x(' f)x(f)xx(f
0x)x(' f)x(f)xx(f x)x(' f)x(f)xx(f
Atenção: Exemplo:Encontre um valor aproximado para
Considere f(x) = , x = 125 e x = 3.
f(128) f(125)+f´(125).3=5+
5,04
x)x(' f)x(f)xx(f
3 128
3 x
3 2x3
1
3
x)x('f
32
25
153
1253
13 2
3 128
Atenção: Exemplo:Encontre um valor aproximado para ln(1,02)
Considere f(x) = lnx , x = 1 e x =0,02
f(1,02) f(1)+f´(1).(0,02)=
ln(1,02)0,02
x)x(' f)x(f)xx(f
x
1)x('f
02,002,01
10
Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x), então a diferencial de y, denotada por dy, será dada por
dy= f´(x)xOnde x está no domínio de f´ e x é um incremento
arbitrário de x.
Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx = x, onde x é um incremento arbitrário de x e x é qualquer número no domínio de f’.
x)x(' f)x(f)xx(f
y
x)x('fdyx)x(' fy
Decorre das definições 14 e 15:
Definição 16: dy = f´(x)dxDividindo ambos os membros por dx, temos:
Essa relação expressa a derivada como quociente de diferenciais, quando usávamos , dy e dx não tinham significado independentes.
A definição de diferencial é necessário para o conceito de integral, nosso próximo assunto.
)x´(fdx
dy
dx
dy
Mais aplicação: Cálculo de errosSeja y=f(x) uma função derivável, temos que:
Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou-se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar também os erros relativo e percentual.
f(d)=A(d) função área , d diâmetro A(d) = (d/2)2
A(d)=d2/4 dA=(d/2)dD
dA=.5,2.0,05 0,4084 cm2 máximo erro da área
Erro relativo: 0,01923 Erro percentual: 1,923%
máximo erro
aproximado valor
aproximado erro
dy relativo erroy
dy percentual erro
y
dyx100