Matemática Vestibular - FUVEST · é 2, P 2 está a uma altura menor do que P 1 e a distância de...

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Matemática

Vestibular - FUVEST 1. (Fuvest 2014) Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x, y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função

12

f(x) log x 4.

O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de abscissa x 1, e atinge o chão no

ponto B, de ordenada y 0, conforme figura abaixo.

Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 10m/s2 como o valor da aceleração da gravidade, a) encontre a abscissa do ponto B; b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de

sua altura y e de sua velocidade escalar v; c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo;

d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que 60 m / s.

2. (Fuvest 2015) Em uma transformação química, há conservação de massa e dos elementos químicos envolvidos, o que pode ser expresso em termos dos coeficientes e índices nas equações químicas. a) Escreva um sistema linear que represente as relações entre os coeficientes x, y, z e w na

equação química 8 18 2 2 2x C H y O z CO w H O

b) Encontre todas as soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos.

3. (Fuvest 2011) Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da

figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor comum é chamado “razão áurea”.

A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas

2

propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela. Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal, 23, 1, january, 1992, pp. 2-19. a) Reescreva o trecho “(...) mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na

literatura e na estética são falsas ou equivocadas”, substituindo a conjunção que o inicia por “embora”, com as devidas alterações.

b) O verbo da oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” está na voz passiva analítica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sintética, fazendo as devidas alterações.

c) Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono regular. Utilize semelhança de

triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.

4. (Fuvest 2015) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,

x n 1 , se n 1 x nf(x)

n 1 x, se n x n 1

a) Esboce o gráfico de f para 0 x 6.

b) Encontre os valores de x, 0 x 6, tais que 1

f(x) .5

5. (Fuvest 2015) Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos,

representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n 1, é formada por n escolhas

sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e

#* *# é uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista,

a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?

b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho

menor ou igual a N? 6. (Fuvest 2015) Resolva as inequações:

a) 3 2x x 6x 0;

b) 3 22log x x 6x 2.

3

7. (Fuvest 2015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado

BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O

são colineares, AD 2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado AB do triângulo ABC;

b) a medida do segmento CO.

8. (Fuvest 2014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por

mf(x) 2 ,

x n

para x n.

a) No caso em que m n 2, mostre que a igualdade f( 2) 2 se verifica.

b) No caso em que m n 2, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados.

c) No caso em que m n 2, esboce a parte do gráfico de f em que x 2, levando em conta

as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.

d) Existe um par de inteiros (m,n) (2,2) tal que a condição f( 2) 2 continue sendo

satisfeita?2 9. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero 0 0A OBΔ de lado 7cm.

a) Sendo 1A o ponto médio do segmento 0 0A B , e B1 o ponto simétrico de 1A em relação à

reta determinada por O e 0B , determine o comprimento de 1OB .

b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo

1 1A OB ,Δ pode‐se obter o triângulo 2 2A OBΔ tal que 2A é o ponto médio do segmento 1 1A B ,

e 2B o ponto simétrico de 2A em relação à reta determinada por O e 1B . Repetindo mais

uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo 3 3A OB .Δ Assim, sucessivamente, pode‐se

construir uma sequência de triângulos n nA OBΔ tais que, para todo nn 1, A é o ponto médio

de n 1 n 1A B , e nB , o ponto simétrico de nA em relação à reta determinada por O e n 1B ,

conforme figura abaixo.

4

Denotando por na , para n 1, o comprimento do segmento n 1 nA A , verifique que

1 2 3a ,a ,a , ... é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal

0 1 2 nA A A ...A ,n 1.

O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP' é

perpendicular à reta r e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'.

10. (Fuvest 2014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se

uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por: i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas. Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine

a) os quocientes A

B

P

P e R

B

P;

P

b) o número An de bolas azuis e o número Bn de bolas brancas no recipiente.

11. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura abaixo.

5

A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto

médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge

a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo

agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da

reflexão. Determine a tangente de α e o seno de .θ

12. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a

20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico

gasta para ir do pico A ao pico B? 13. (Fuvest 2013)

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por

A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado

que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 14. (Fuvest 2013)

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Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos

dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 1OP tem comprimento 6 e o braço

1 2P P tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor

do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do

chão, determine

a) o seno e o cosseno do ângulo 2ˆP OQ entre a reta 2OP e o plano do chão;

b) a medida do ângulo 1 2ˆOP P entre os braços do guindaste;

c) o seno do ângulo 1ˆP OQ entre o braço 1OP e o plano do chão.

15. (Fuvest 2012)

Considere a função f, cujo domínio é o intervalo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições:

- para 0 x 1 , tem-se f(x) = 3x + 1;

- para 1 x 2 , tem-se f(x) 2x 6 ;

- f é linear no intervalo [2, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura ao lado; - a área sob o gráfico de f no intervalo [2, 5] é o triplo da área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2]. Com base nessas informações, a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado a seguir, o gráfico de f no intervalo [0, 2];

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b) determine a área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2]; c) determine f(4). 16. (Fuvest 2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade

2x 10x 21 3x 15 .

17. (Fuvest 2012)

Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta

AO . Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3 e BC 2 3 . Nessas

condições, determine

a) a medida do segmento CD ;

b) o raio da circunferência; c) a área do triângulo AOB; d) a área da região hachurada na figura. 18. (Fuvest 2012)

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5 , o

ângulo interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede 2α . Sabe-se,

também, que 2 cos(2 ) 3cos 1 0α α

8

Nessas condições, calcule a) o valor de sen α ;

b) o comprimento do lado AC .

19. (Fuvest 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação

2y 4x 8x 12 e a reta r de equação y 3x 6. Determine:

a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o

vértice V da parábola P.

b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r.

c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.

20. (Fuvest 2011) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade

2

16 4

1log 1 x log 1 x .

2

21. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2

= 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1,

tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta 1 2O O no ponto Q. Sendo assim, determine

a) o comprimento P1P2; b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1; c) a área do triângulo QO2P2. 22. (Fuvest 2010) Seja f(x) = x 1, x , e considere também a função composta g(x) =

f(f(x)), x .

a) Esboce o gráfico da função f, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de

interseção com os eixos coordenados.

b) Esboce o gráfico da função g, no desenho da folha de respostas, indicando seus pontos de

interseção com os eixos coordenados.

c) Determine os valores de x para os quais g(x) = 5.

23. (Fuvest 2010) No triangulo ABC da figura, a mediana AM , relativa ao lado BC , e

perpendicular ao lado AB . Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se á e a medida do angulo

A B C, determine

9

a) sen á.

b) o comprimento AC.

c) a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB .

d) a área do triangulo AMC.

24. (Fuvest 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma

bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir.

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola

vermelha.

Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de

incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?

25. (Fuvest 2010) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada

a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta.

No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das

rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão.

Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de

voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$

200,00 por hora adicional de viagem.

a) Indique a localização das cidades A, B e C no esquema apresentado na folha de respostas.

b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a

aproximação 2 = 1,4)

10

c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta.

d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70

km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça o preço mínimo para o

transportador aceitar o trabalho.

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Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Quando B Bx x y 0.

Assim: 4

41 1

2 2

1log x 4 0 log x 4 x x 2

2

x 16 unidades de comprimento.

b) Usando a expressão da Energia Mecânica:

2 2

mec cin pot mec mec

2

mec

M v vE E E E M g y E M g y

2 2

vE M 10 y unidades de energia.

2

c) Como o corpo parte do repouso em x = 1, temos v0 = 0.

Na expressão dada, para x = 1, temos:

1

2

y log 1 4 0 4 y 4.

Aplicando esses dados na expressão obtida no anterior:

2 2

mec mec

mec

v 0E M 10 y E M 10 4

2 2

E 40 M.

Pela conservação da Energia Mecânica:

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1

2

v v vM 10 log x 4 40 M 40 10 log x 40 -10 log x

2 2 2

v -20 log x .

Caso queiramos eliminar o sinal (–) do radicando, podemos mudar o logaritmo para a base 2:

2 21 1 2

2 22

log x log xlog x log x log x.

1 1log

2

Assim:

2v 20 log x unidades de velocidade.

Resposta da questão 2: [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] a) C: 8x = z

H: 18x = 2w

12

O: 2y = 2z +w Daí, temos o seguinte sistema linear:

z 8x

w 9x

2y 2z w

b) Para resolver o sistema acima vamos considerar x 2 ,α então:

w 18 ,α z 16α e y 25α

e a solução do sistema indeterminado será S 2 ,25 ,16 ,18 para * .α α α α α

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] a) O número de átomos do lado esquerdo da equação é igual ao número de átomos do lado

direito da equação para cada elemento químico.

8 18 2 2 2x C H y O z CO w H O

8x C z C

18x H 2w H

2y O (2z w) O

Sistema linear:

8x z

18x 2w

2y 2z w

b) Soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos:

8x z

18x 2w

2y 2z w

z 8x

w 9x

2y 2 8x 9x

z 8x

w 9x

y 12,5 x

Para números inteiros e positivos do tipo x 2t, substituindo, vem:

z 8 2t

w 9 2t

y 12,5 2t

x 2t

z 16 t

w 18 t

y 25 t

Resposta da questão 3:

a) “(...) embora muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética sejam falsas e equivocadas”.

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b) “Infelizmente, divulgaram-se amplamente essas afirmações sobre a razão áurea”.

c) PAC ~ MBC

y x

x y y

AC BC

AB AC

Portanto, C divide o segmento AB na razão áurea.


a) x, se 0 x 1

n 1 f(x)2 x, se 1 x 2

x 2, se 2 x 3n 3 f(x)

2 x, se 3 x 4

x 4, se 4 x 6n 5 f(x)

6 x, se 5 x 6

De acordo com as funções acima, temos o seguinte gráfico.

b) Considerando 1

f(x) ,5

temos:

14

1x

5

1 92 x x

5 5

1 11x 2 x

5 5

1 194 x x

5 5

1 21x 4 x

5 5

1 296 x x

5 5

Portanto, 1

x5

ou 9

x5

ou 11

x5

ou 19

x5

ou 21

x5

ou 29

x .5

Resposta da questão 5: a) palavras com uma letra: 2

palavras com duas letras: 22 palavras com três letras: 23

E assim sucessivamente. Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 será dado por:

2 4 9 16 32 62.

b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos:

N

6

N 1 6

N 1 6

N 1

2 2 110

2 1

2 2 10

2 10 2

2 1000002

20

19

2 1024 1024 1000002

2 512 1024 1000002

Logo, N 1 20 N 19.


a) 3 2 2x x 6x 0 x (x x 6) 0

Sabendo que as raízes da equação 2x (x x 6) 0 são 2, 0 e 3, temos o estudo do

sinal da expressão 3 2x x 6x e, assim, resolver a inequação 3 2x x 6x 0.

Portanto, o conjunto solução da inequação é:

S x / 2 x 0 ou x 3

b) Condição de existência do logaritmo: 2x (x x 6) 0 2 x 0 ou x 3

15

3 2 3 2 3 22 2log (x x 6x) 2 log x x 6x log 4 x x 6x 4 0

Sabendo que x 1 é raiz da expressão 3 2x x 6x 4, temos:

3 2x x 6x 4 0 2(x 1) (x 2x 4) 0

As raízes da equação 2(x 1) (x 2x 4) 0 são 1 5, 1 e 1 5.

Daí, temos o estudo do sinal da expressão 3 2x x 6x 4 0

Fazendo agora a intersecção destes intervalos com a condição de existência, temos:

Portanto, a solução da inequação logarítmica será dada por:

S 2, 1 5 1, 0 3, 1 5


a) No AOE :Δ 22 2 2AE r 3r AE 8r AE 2r 2

AB 2r 3 r 3 r 2ADB ~ AEO AB AB

3r 22 2 r 2Δ Δ

b) No ACO,Δ temos:

2 2 2CO (2r r) r CO 3 r CO r 3

16


a) Se m n 2, então

2f( 2) 2

2 2

2 2 22

2 2 2 2

2 ( 2 2)2

2

2 2 2

2.

b) Se m n 2, então 2

f(x) 2 ,x 2

com x 2. Tomando x 0, vem 2

f(0) 2 1.0 2

Logo, o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas é (0,1). Por outro

lado, pondo f(x) 0, obtemos 2

0 2 x 1.x 2

Portanto, o ponto de interseção do

gráfico de f com o eixo das abscissas é ( 1, 0).

c) O gráfico de f, para x 2, pode ser obtido a partir do gráfico da função g : ,

definida por 2

g(x) ,x

da seguinte forma: (i) um deslocamento horizontal de duas unidades

para a esquerda; (ii) uma reflexão em torno do eixo das abscissas; e (iii) um deslocamento vertical de duas unidades para cima.

d) Se f( 2) 2, então

m m2 2 2 2

2 n 2 n

m 2 2 2 2n 2n

m 2n 2 2 (2 n).

Sendo m, n , tem-se que m 2n 2 e 2 n . Logo, a igualdade é verificada se, e

somente se, m 2n 2 0 e 2 n 0, o que ocorre apenas para m n 2.


a) Como 0 1 1OB A B , 1 2 2 1A A A B e 2OA é comum aos triângulos 1 2OA A e 1 2OB A ,

segue-se que os triângulos 1 2OA A e 1 2OB A são congruentes por LAL. Além disso,

17

1 0 1 2OA B OA A 90 e 1 0 2A B A 60 implicam em 1 1OA B 60 . Portanto, o triângulo

1 1OA B é equilátero. Desse modo, o resultado pedido corresponde à altura do triângulo

0 0A OB , ou seja, 7 3

cm.2

b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que

n 1n

OA 3OA ,

2

com n 1.

Daí, como n 1n n 1 n

OAa A A ,

2

temos

n

n 1

n n 1

OAa 32 ,a 2OA

2

para todo n 1 e, portanto, 1 2 3a , a , a , é uma progressão geométrica de primeiro termo

17

a cm2

e razão 3

.2

c) O comprimento da poligonal 0 1 2 nA A A A , com n 1, corresponde à soma dos n primeiros

termos da progressão geométrica 1 2 3a , a , a , , ou seja,

n

n3

127 3

7(2 3) 1 cm.2 23

12

Resposta da questão 10: a) Temos

A A B B R B B A Rn P n P P 16 P 10 P 5 P 4 P .

Logo,

B B A A B

A

B

16 P 10 P 5 P 5 P 6 P

P 6

P 5

e

RB R

B

P16 P 4 P 4.

P

b) Dividindo ambos os lados da igualdade A A B B R Bn P n P P 16 P por BP , vem

18

A B R BA B A B

B B B B

A B

P P P P 6n n 16 n n 12

P P P P 5

5n (12 n ).

6

Como An e Bn são inteiros maiores do que 1, segue-se, por inspeção, que só pode ser

An 5 e Bn 6.


Considere a figura, em que P' e Q ' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em

relação a RT, com T pertencente a L.

Como Q e Q ' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do

triângulo PRP'. Logo, RS 2 ST e, portanto, RT 3 ST.

Do triângulo PRT, vem

PTtg60 PT 3 3 ST

RT

e

PT 3 3 STsen60 PR

3PR

2

PR 6 ST.

Do triângulo PST, obtemos

PT 3 3 STtg tg

ST ST

tg 3 3.

α α

α

Sabendo que 2 2cossec 1 cotgα α e que α é agudo, encontramos

19

2

2 1 27cossec 1 sen

283 3

3 21sen .

14

α α

α

Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem

PRQR RS 2 ST2

sen sen sen3 21

14

21sen .

7

α θ θ

θ


a) x 20

ATD ~ ABC : x 60 m.900 300

Δ Δ

b) 2 2

AB 300 900 300 10

Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos:

300 10 1,5.t t 200 10.


a) A = 4 3 = 12.

b) No triângulo ADE, 3

sen .x

θ

20

Logo, a área do triângulo BB’C será dada por:

1 1 3A 2x 4 sen 2x 4 12.

2 2 xθ

c) Considerando que 3

sen sen(180 ) .x

θ θ

S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)

S(A’B’C’D’) = 1 1 1 1

.2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) .2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) 122 2 2 2

θ θ θ θ

S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

S(A’B’C’D’) = 60


a) 22 1 10

sen P ÔQ .102 10 10

10

103

100

90

100

101

10

101QOPcos

2

2

21

b) 2 2 2

1 2 2 1 2 1ÔPP 90 , pois OP PP OP

c) 1 2 2 1 2 2ˆ ÔPP OP Q, logo P OP P OQΔ Δ α

12 6 6 3Êntão, sen P OQ sen 2 2sen cos 2 .

10 52 10 2 10α α α

Resposta da questão 15: a)

b)

1 2A A A

(1 4).1 (2 4).1 11A

2 2 2

11A

2

c)

22

Considerando que f(4) = k, temos:

3 4 1 2A A 3. A A

(2 k).2 1.k 11 293 3k 4 33 k

2 2 2 3

Logo, 29

f 43

.


s x / 1 x 4 ou 6 x 9


a) Temos:

23

2

CD 8 3.2 3

CD 48

CD 4 3

b) No triângulo ADC, temos:

2 22 2 2(2r) 4 3 8 3 4r 192 48 r 36 r 6

c) 22 2 2 2h 3 3 6 h 36 27 h 9 h 3

6 3.3A A 9. 3

2

d) 3 1

sen 30 e = 120°6 2

α α β

Área pedida:

2

AOB.6

A A3

A 12 9 3

A 3 4 3 3

Δπ

π

π

Resposta da questão 18: a) Observe o cálculo a seguir:

2 2

2

2

2

2.cos(2 ) 3.cos 1 0

2.(cos sen ) 3.cos 1 0

2.(2.cos 1) 3.cos 1 0

4cos 3.cos 1 0

25

1cos3 5

cos 48

cos 1(não coném)

1 15logo, sen = 1

4 4

α α

α α α

α α

α α

Δ

αα

α

α

b) traçando uma reta r representada na figura, temos:

24

15 5x

10cosx

15 5x

1 10

4 x

10x 4 15 20x

30x 4 15

2 15x

15

α


a) Fazendo y 0, temos: 20 4x 8x 12

Resolvendo a equação, temos: x = -1 ou x = 3. Logo, A(-1,0) e B(3,0)

Vértice da parábola v

2V

8x 1

2.( 4)

y 4.1 8.1 1 16

Logo, V = (1,16)

b) Resolvendo o sistema 2y 4x 8x 12

y 3x 6

2 24x 8x 12 3x 6 4x 5x 6 0 resolvendo a equação, temos: x = 2

Considerando x = 2, temos y = 12. Logo, C(2,12)

25

c) 1 2 3A A A A

12 16 .12.16 1.12A

2 2 2

A 36


Condição de existência 21 x 0

1 x 11 x 0

Escrevendo na base 4, temos: 2

44

log (1 x ) 1log 1 x

2 2

Multiplicando a desigualdade por 2, temos:

2

4 4log (1 x ) log 1 x 1 2

4 2

1 xlog 1

(1 x )

2

2

1 x1 4

1 x

Resolvendo, temos:

3 3S x R / x

5 5


a) x2 + 92 = 152 x = 12

b) 9.12

A 12.3 902

c) y 3

3x 12 y 4y 12 12

Logo, A = 12.(12 4)

962

26

Resposta da questão 22: a)

b)

c) 1- x - 1 = 5 1- x = 6 convém) (não 5x61x

7x7x61x

a) Os pontos de intersecção são (1; 0), (– 1; 0) e (0; – 1).

b) Os pontos de intersecção são (2; 0), (0; 0) e (– 2; 0)

c) S = {– 7; 7} Resposta da questão 23:

a) )60 30(2

1sen :ABM

o eNo

o

b) 3 31AB : 222

ABABMNo

cos.3.4.234222 AC

72

3..3.4.234

222 ACAC

27

c) 24

sen30 :BHC o

hh

No

d) ooo

CMA 12060180ˆ

A = 2

32.1.

2

1120.2.1.

2

1osen =

2

3

Respostas: 3

a) 30 b) 7 c) 2 d)2


yy

xx

8,0

4,0

9,0

2,1

~~ 321

Aplicando a propriedade da proporção

Nas duas últimas razões:

yy

xx

8,0

4,0

9,0

2,1

8,0

4,0

9,0

2,1

xx

Resolvendo temos: x = 6/17

Resposta x = 6/17 m


a)

Matemática Vestibular - FUVEST · é 2, P 2 está a uma altura menor do que P 1 e a distância de...

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